福建省宁德市2017届高三毕业班第二次质量检查数学(理)试题+Word版含答案

2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．第I 卷1至3页，第II 卷4至6页，满分150．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集{|13}U x x =∈-≤≤Z ,0.5{1,2},{|log ,}A B y y x x A ===∈，则集合()U C A B =（A ）{3}（B ）{1,0,3}-（C ）{1,0,1,2}-（D ）{1,0,1,2,3}-（2）若复数z 满足i1i z z =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 （A ）11i 22-+ （B ）11i 22-- （C ）11i 22- （D ）11i 22+（3）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ,4a ,8a 成等比数列，则{}n a 的前8项和8S = （A ）72（B ）56（C ）36（D ） 16（4）已知函数()2cos (0)f x x ωω=>图象的两相邻对称轴间的距离为2π．若将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()y g x =的图象，则()y g x =在下列区间上为减函数的是 （A ）2233ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （B ）[]π0， （C ）[]2ππ，3 （D ）23π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦， （5）阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则 输出的结果是 （A ）12 （B ）23 （C ）89（D ）1（6）已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=-，当(]0,2x ∈时，()=2x f x ，则在区间(]4,6上满足 ()=(3)12f x f +的实数x 的值为（A ） 6 （B ）5 （C ）92（D ）2log 21 （7）若关于x 的不等式224k k kx -+≥的解集是M ，则对任意的正实数k ，总有（A ）{}01x x M ≤<⊆ （B ）{}13x x M ≤≤⊆ （C ）{}13x x M ≤<⊆ （D ）{}24x x M <≤⊆（８）等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，60B ∠= ．若抛物线Γ恰过,,,A B C D四点，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（A （B （C （D （9）设1e ，2e 为单位向量，满足1212⋅=e e ，非零向量112212,,λλλλ=+∈R a e e ，则1||||λa 的最大值为（A ）12（B （C ）1 （D（10）榫卯（s ŭn m ăo ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式． 我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等 建筑都用到了榫卯结构．如图所示是一种榫卯构件中 卯的三视图，其体积为 （A ）21 （B ） 22.5 （C ）23.5 （D ） 25（11）已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，以OP为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M ．若点P ，M ，F 三点共线，且MFO ∆的面积是PMO ∆面积的5倍，则双曲线C 的离心率为（A （B （C （D （12）已知直线1:l y x a =+分别与直线2:2(1)l y x =+ 及曲线:ln C y x x =+交于A ，B 两点，则A ，B 两点间距离的最小值为（A （B ）3 （C （D ）2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷理 科 数 学 第II 卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答. 在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)、（23）题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若3(1)(1)x ax -+的展开式中2x 的系数为2，则实数a 的值为__________．（14）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是__________．（15）已知菱形ABCD 的边长为6，60A ∠= ．沿对角线BD 将该菱形折成锐二面角A BD C --，连结AC ．若三棱锥A BCD -面积为__________．（16）若数列{}n a 满足211()()lg(1)n n n n a a a n n n +-=+++，且11a =，则100a =__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，3B π∠=．D 为边BC 上的点，E 为AD 上的点，且8AE =，AC =4CED π∠=．（Ⅰ）求CE 的长；（Ⅱ）若5CD =，求cos DAB ∠的值．ECBA某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经对本地养鱼场年利润率的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图．对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可能性为0.6，不赔不赚的可能性为0.2，亏损30%的可能性为0.2．假设该公司投资本地养鱼场的资金为(0)x x ≥千万元，投资远洋捕捞队的资金为(0)y y ≥千万元．（Ⅰ）利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润ξ的分布列和数学期望E ξ．（Ⅱ）为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半．试用调研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大．（19）（本小题满分12分）在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，1D E EF ==，2DC BF ==，30EAD ︒∠=．（Ⅰ）求证：AE ⊥平面CDEF ；（Ⅱ）在线段BD 上确定一点G ，使得平面EAD 与平面FAG 所成的角为30 ．GFEDCBA已知过点(1,3)-，(1,1)且圆心在直线1y x =-上的圆C 与x 轴相交于,A B 两点，曲线Γ上的任意一点P 与,A B 两点连线的斜率之积为34-．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）过原点O 作射线OM ，ON ，分别平行于PA ，PB ，交曲线Γ于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足1()()f x f x=，且当[1,)x ∈+∞时，11()e l n ()x f x x a x t x-=++--，t ∈R ．（Ⅰ）若0a ≥，试讨论函数()f x 的零点个数； （Ⅱ）若1t =，求证：当1a ≥-时，()0f x ≥．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是+cos ,sin .x m t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=．（Ⅰ）当1m =-，=30α 时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）当1m =时，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()()212f x x x t t =+--∈R ． （Ⅰ）当3t =时，解关于x 的不等式()1f x <； （Ⅱ）x ∃∈R ，使()5f x ≤-，求t 的取值范围．2017年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查试卷数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． （1）A （2）B （3）A （4）D （5）C （6）B （7）A （8）C （9）D （10）B （11）C （12）D 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．（13）13（14）25 （15）52π （16）300三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． （17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解：（Ⅰ） ∵344AEC ππ∠=π-=，……………………………………………1分 在AEC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅∠，………2分∴216064CE =++，∴2960CE +-=， ………………………………………………………4分∴CE =. ………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CE CDCDE CED=∠∠， ………………6分∴5sin CDE ∠=， ∴4sin 5CDE ∠=， ………………………………………………………………7分 ∵点D 在边BC 上，∴3CDE B π∠>∠=，∴CDE ∠只能为钝角，………………………………………………………8分∴3cos 5CDE ∠=-，…………………………………………………………9分∴cos cos()3DAB CDE π∠=∠- ，………………………………………10分cos cos sin sin 33CDE CDE ππ=∠+∠314525=-⨯+=分 （18）本小题主要考查频率分布直方图、平均数、随机变量的分布列及数学期望、线性规划等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0.6y ，0，﹣0.3y ，……………………1分随机变量ξ的分布列为…………………3分 ∴0.360.060.3E y y y ξ=-=；………………………………………………………4分 （Ⅱ）根据题意得，,x y 满足的条件为:6,1,20,0.x y x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎪⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ①………………………6分 由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为0.30.20.5(0.1)0.20.50.10.2 1.00.30.2 2.0-⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+所以本地养鱼场的年利润为0.20x 千万元. ………………8分 所以明年两个项目的利润之和为0.20.3z x y =+ ………9分 作出不等式组①所表示的平面区域如右图所示，即可行域. 当直线0.20.3z x y =+经过可行域上的点M 时，截距3.0z最大， 即z 最大.解方程组6,1.2x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2,4.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………11分 所以z 的最大值为0.2020.304 1.6⨯+⨯=千万元．即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最大值为1.6千万元 ……………………………12分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解：（Ⅰ） 四边形ABCD 是正方形，∴2AD DC ==.在ADE ∆中，EADDEAED AD ∠=∠sin sin ，即030sin 1sin 2=∠AED1sin =∠AED90AED ∴∠=，即AE DE ⊥．………………… 2分在梯形ABFE 中，过点E 作EP//BF ，交AB 于点P. ∵EF//AB ,∴EP=BF =2.，PB=EF =1， ∴AP=AB-PB =1在ADE t ∆R 中，可求AE 4,4222==+EP AP AE ∴222EP AP AE =+∴AE AB ⊥..………………………………………… 4分 ∴AE EF ⊥. 又EF DE E = ，∴AE ⊥平面CDEF .……………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，AE DC ⊥，又AD DC ⊥， ∴DC ⊥平面AED ，又DC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面AED .…………………6分 如图，过D 作平面ABCD 的垂线D H ， 以点D 为坐标原点，,,DA DC DH 所在直线分别 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),((2,0,0)2D B C F A ， GFE DCBA(2,2,0)DB =，3(2AF =- ．……………7分设(2,2,0)DG DB λλλ== ，[0,1]λ∈，则(22,2,0)AG λλ=-.设平面FAG 的一个法向量1(,,),x y z =n 则11,AF AG ⊥⊥uu u v uuu vn n ， ∴110,0,AF AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n即302(22)20x x+y λλ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，，令x = ，得1(1)25).λλ=--，n ……………………………………………………………9分易知平面EAD 的一个法向量2(01,0)=，n . ………………………………………8分由已知得1212cos30⋅===⋅n n n n o，化简得29610λλ-+=，∴13λ=． ……………………………………………………………………………11分∴当点G 满足13DG DB =时，平面EAD 与平面FAG 所成角的大小为30 .………12分20．本题主要考查直线、圆、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．解法一：（Ⅰ）∵圆C 过点(1,3)-，(1,1)，∴圆心在直线1y =-上，………………………………………………………………1分 又圆心在直线1y x =-上，∴当1y =-时，0x =，即圆心为(0,1)-.……………………………………2分 又(0,1)-与(1,1)，∴圆C 的方程为22(1)5x y ++=.………………………………………………3分 令0y =，得2x =±. ……………………………………………………………4分 不妨设(2,0)A -，(2,0)B ， 由题意可得2AP y k x =+，2BP yk x =-， ∴3224AP BPy y k k x x ⋅=⋅=-+-,∴曲线Γ的方程为：22143x y +=(2x ≠±)．………………………………6分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，射线OM 的斜率为(0)k k ≠，则射线ON 的斜率为34k-. 22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212221212,3412.34x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩………………………7分∴OM =8分同理，ON =9分∴OM ON ⋅设234(3)k t t +=>，则234t k -=，∴OM ON ⋅10分 又∵11(0,)3t ∈，∴7]2OM ON ⋅∈.………………………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）设11(,)M x y ，射线OM 的斜率为(0)k k ≠，则射线ON 的斜率为34k-. 22,1,43y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212221212,3412.34x kk y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩………………………………………………7分∴OM =8分同理ON =9分∴OM ON ⋅=10分4819241612≤++<kk………………………………………………………11分2732≤⋅<∴ONOM即7]2OM ON⋅∈．………………………………………………………12分（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解: （Ⅰ）[1,)x∈+∞时，121()e0xaf x ax x-'=+++>，……………………………1分∴()f x在[1,)+∞上为增函数；……………………………………………………… 2分当(0,1]x∈时，1[1,+x∈∞），又1()()f x fx=，∴211()()0f x fx x''=-<，∴()f x在(0,1]上为减函数. ………………………………………………………………3分∴min()(1)1f x f t==-．∴当1t<时，函数()f x在定义域内无零点；当1t=时，函数()f x在定义域内有一个零点；当1t>时，(1)10f t=-<，e1e111(e)e lne(e)e(e)0e et tt t t tt tf a t a--=++--=+->，∴函数()f x在[1,)+∞上必有一个零点．又由1()()f x fx=，故函数()f x在(0,1]上也必有一个零点．∴当1t>时，函数()f x在定义域内有两个零点．………………………………………6分（Ⅱ）[1,)x∈+∞时，∵1a≥-，1xx-≥，故11()a x xx x-≥-+，∴111111()e ln()1e ln1(e)(ln1)x x xf x x a x x x x xx x x---=++--≥+-+-=-++-，……7分设1()e xg x x-=-，则1()e10xg x-'=-≥，()g x在[1,)+∞上单调递增，∴()(1)0g x g≥=，∴1e x x -≥，……………………………………………………………9分∴1ln x x -≥，又111ln x x-≥， 故1ln 1x x ≥-，即1ln 10x x+-≥，…………………………………10分 ∴11(e )(ln 1)0x x x x--++-≥. ∴当1a ≥-时，当[1,)x ∈+∞时，11()e ln ()10x f x x a x x-=++--≥， 又(0,1]x ∈时，1()()f x f x=，………………………………………11分 所以当(0,1)x ∈时，11()e ln ()10x f x x a x x-=++--≥也成立． 综上，当1a ≥-时，()0f x ≥.………………………………………12分（22）选修44-；坐标系与参数方程本小题考查直线的参数方程和圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等． 满分10分．解：（Ⅰ）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的普通方程为22(2)4x y -+=，…………………………… 2分所以曲线C 是以(2,0)M 为圆心，2为半径的圆.由直线l的参数方程为1,1,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 得直线l的直角坐标方程为10x +=． …………………………4分由圆心M 到直线l的距离322d ==<， 故直线l 与曲线C 相交. ……………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得 22cos 30t t α--=，………………………………………………………6分2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<，所以12,t t 异号， …………………………………………………………7分则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，…………………………………8分 所以1cos 2α=± 又[)0,απ∈……………………………………………9分 所以直线l 的倾斜角3απ=或23π. …………………………………10分 （23）选修45-：不等式选讲本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分． 解（Ⅰ）原不等式可化为3,221231x x x ⎧>⎪⎨⎪+-+<⎩或132221231x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩，或122123 1.x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+-<⎩，.....３分解得x ∈∅或1324x -≤<或12x <-．. ....................................................4分 综上，原不等式的解集是34x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.........................................................5分 （Ⅱ）解：,x ∃∈R 使()5f x ≤-，等价于min ()5f x ≤-...................................6分()()()212212=1+f x x x t x x t t =+--≤+-- ........................................7分1+()1+t f x t ∴-≤≤，所以()f x 取得最小值1+t -.................................................................................8分1+5t ∴-≤-，得4t ≥或6,t ≤-∴t 的取值范围是(][)64,-∞-+∞ ，..............................................................10分。