同济六版高等数学第八章第四节课件

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同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程

高等数学的学习建议
重视基础知识：掌握基本概念、定理和公式，为后续学习打下坚实基础。
多做练习：通过大量练习，加深对知识点的理解和记忆纳总结：及时归纳所学内容，找出重点和难点，有针对性地进行
复习。
培养数学思维：高等数学不仅仅是计算和公式，更重要的是培养数学思维和解决问题
平面的判定条件
三个不共线的点确定一个平面
两条相交直线确定一个平面
一条直线与这条直线外一点确定一个平面
两平面相交，交线是两平面的公共线
平面的性质定理
平面内任意两点确定一条直线
平面内任意三点确定一个平面
平面内任意四点确定一个平面
平面内任意五点确定一个平面
04
平面与直线的位置关系
平行关系
几何法求解平面方程
定义：通过几何图形和空间位置关系来求解平面方程的方法
适用范围：适用于平面图形比较简单的情况
步骤：先确定平面上的两个不共线的点，然后通过这两个点确定平面的法向量，最后写出平面方程
注意事项：需要熟练掌握空间几何和向量知识
参数法求解平面方程
参数方程的建立参数的消元过程参数的求解方法参数法求解平面方程的步骤
平面方程的基本形式
多个平面的交面求解
两个平面的交线求解
实际应用中的交面求解
07
总结与展望
本节内容的总结回顾
平面方程的建立与求解方法平面方程的应用举例平面方程的分类与性质平面方程与其他数学概念的联系
下节内容的预习准备
回顾本节内容：回顾平面及其方程的相关概念和知识点，加深对平面几何的理解。
的方程。
点法：通过已知平面上的一个点和该平面的法向量，确定一个平面的

同济六版高数课件(青岛大学)8.4

第四节空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
第八章
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
例如,方程组
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C R( y, z ) 0 x0 T ( x, z ) 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y0
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例如,
x2 y2 z 2 1 C: 2 x ( y 1) 2 ( z 1) 2 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o x
1 y
x 2 2 y 2 2 y 0 z0
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又如,
上半球面和锥面
x 2 y 2 ax z0
ay x
x 2 z 2 a 2 y 0
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( x 0 , z 0)
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高等数学第六版上下册全同济大学出版社

引例2
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例1. 海伦公式
(满射)
例2. 如图所示,
对应阴影部分的面积
则在数集
自身之间定义了一种映射 (满射)
例3. 如图所示, 则有 r
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(满射)
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说明:
映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同的惯用
使
பைடு நூலகம்
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
第一章
函数与极限
分析基础
函数 — 研究对象极限 — 研究方法
— 研究桥梁
第一节映射与函数
一、集合二、映射三、函数
第一章
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一、集合
1. 定义及表示法
简称集
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素.
左邻域 :
右邻域 :
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2. 集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B.

《同济版高数》课件

数学是一门美丽而强大的学科，它存在于生活的方方面面，深深影响着我们的世界。
持续学习
高等数学是学习其他学科的基础，要不断提高自己的数学能力。
勇于挑战
数学中的难题和挑战并不可怕，要勇敢面对并寻求解决方法。
采用多样化的教学方法和工具，激发学生对数学的兴趣和思考能力。
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教材简介
《同济版高数》是一套针对高等数学课程编写的教材系列。内容丰富、结构清晰，旨在帮助学生全面理解和掌握高等数学的核心概念和方法。
PPT目录结构
第一章
函数与极限
第三章
函数的应用
第二章
导数与微分
第四章
微分中值定理与导数的应用
教学设计理念
创新教学
互动学习
畅，保持学生的专注度。
3
视觉引导
运用动画和视觉引导，帮助学生理解步骤和概念。
学习效果评估
1 定期测评
设置阶段性测验，及时检查学生的学习进展和掌握情况。
2 反馈指导
提供个性化的学习反馈和指导，帮助学生改进学习方法和提高成绩。
3 课堂讨论
鼓励学生参与课堂讨论，提高学习的互动性和深度。
结论和要点
数学的魅力
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同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

第五篇向量代数与空间解析几何第八章向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节空间直角坐标系空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.yxzO图8-2空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为yxz OyxzA B C (,,)M x y zg212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离．解由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -． 4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ； (2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点．8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离． 9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节空间向量的代数运算空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB u u u r来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c r r rL 来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB u u u r，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ．平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.向量的线性运算向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB u u u r 、AD u u u r 分别表示a 与b ，然后以AB u u u r 、ADu u u r 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC u u u r称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．abAD abc =a +b图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1) a +b =b +a (交换律)．(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3) 0a +=a ．向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA u u u r ，OB u u u r分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-u u u r u u u r u u u r u u u ra b =OA BO BA =+=u u u r u u u r u u u r ．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-8数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa，方向：当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ．abcda +b +c +daabb-a b BAC(2) ()+λμλμ+a =a a ．(3)()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与❒a 同方向的单位向量叫做❒a 的单位向量，记做ae ，即aa e a ρρρ=.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA u u u u r ,a AD =u u u r b AB =u u u r c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C u u u u r u u u u raC'B'A'D'DC图8-9解 ''AC AB BC CC =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 'AB BC AA =++u u u r u u u r u u u r a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有, 定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .向量的坐标表示向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB u u u r的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段uuuu r A B ''的值A B ''叫做向量AB u u u r 在轴u 上的投影，记作u u u ru prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当uuuu rA B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''u u u u r 与轴u 反向时，投影取负号．注 (1) 向量在轴上投影是标量．设MN u u u u r为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN u u u u r在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．事实上，设MN u u u u ra =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r a =．由于MA u u u r 与i 平行，MB u u u r与j 平行，MC u u u u r 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =u u u r i ，MB y =u u u rj ，MC z =u u u u r k ，yxzOA B CM即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN u u u u r 及NM u u u u r的直角坐标．解由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN u u u u r 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM u u u u r的坐标为{5, 4, 4}-．例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB u u u r上的点M 将它分为两条有向线段AM u u u u r 和MB u u u r ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标.图8-14解如图8-14，因为AM u u u u r 与MB u u u r 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅u u u u r u u u r，而122{,,}AM x x y y z z =---u u u u r， 222{,,}MB x x y y z z =---u u u r222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---u u u r所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=-解得xy zO MNCBAPi jkRPQM 1M 2xyzγβα121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当1 点M 的有向线段→AB 的中点其坐标为221x x x +=221y y y +=221z z z +=向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量12a M M =u u u u u ur r 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量❒a的方向角.图8-15因为向量❒a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅u u u u u u r r12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅u u u u u u r r(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅u u u u u u r r公式中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量❒a 的方向余弦.而{,,}{cos }x y z a a a a a γ==⋅v vcos ,cos ,cos }a a e αβγ=⋅r u u r{cos ,cos ,a e αβ=u u r 同方向的单位向量.而❒a =M M 12u u u u u u r()M R +21，,x M P a M Q ==11故向量a r 的模为从而向量a r222222222cos x z x y zxyzxyza a a aa a aa a aαβγ===++++++ (8-2-4)并且 222coscos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M u u u u u u r的模、方向余弦和方向角.解 12(12,32,0(1,1,M M =--=-u u u u u u r2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 222αβγ=-==-；23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB u u u r同方向的单位向量e r .解因为{74,10,35}{3,1,2},u u u rAB =---=-所以 AB ==u u u r于是e =r向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量ABu u u r的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅u u u r．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念．定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知： (1) 2⋅a a =a ，因此=a ．(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用．数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ． (3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ．(4) 0⋅≥a a 当且仅当0a=时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ．解由坐标向量的特点及向量内积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ．解由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k 121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =． (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则==a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=(8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明由题意可知{2, 6, 0}AB =-u u u r ，={3, 1, 1}AC ---u u u r，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=u u u r u u u r，所以AB AC ⊥u u u r u u u r ．即ABC ∆是直角三角形．向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA u u u r的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =u u u r u u u rM F ,F ．M 的方向与OA u u u r 及F 都垂直，且OA u u u r，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-16 向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积． (2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17 (3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质：对任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ．(2) 分配律: ()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ．FMθ解 ⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k 121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ．注设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==．若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解21111212101212021----⨯--=-ij k a b =i j +k 234=--i j +k ．因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而32111⨯--ij kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量．例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解由两向量积的模的几何意义知：以AB u u u r 、AC u u u r为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯u u u r u u u r ，由于{3, 3, 4}AB =--u u u r ，{2, 1, 1}AC =--u u u r，因此33453211AB AC ⨯=--=++--u u u r u u u ri j ki j k ，所以AB AC ⨯==u u u r u u u r故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c r r r，如果先作前两个向量a r 与b r 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c r 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c r r r的混合积，记做()a b c ⨯⋅r r r 或abc ⎡⎤⎣⎦r r r . 说明：三个不共面向量,,a b c r r r 的混合积的绝对值等于以,,a b c r r r为棱的平行六面体的体积V .定理如果111a X i Y j Z k =++r r r r ，222b X i Y j Z k =++r r r r ，333c X i Y j Z k =++r r r r，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦r r r 习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c r r r为单位向量,且满足0a b c ++=r r r r ,求.a b b c c a ++r r r r r r gg g 6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322ab c a b + c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==u u u r求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1)⋅a b ； (2) 25⋅a b ； (3) a ； (4) cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算（1）g g ()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯g .13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值． 14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积． 15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥u u u u u u rn ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅u u u u u u rn ,而0000{, , }M M x x y y z z =---u u u u u u r，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程．解所求平面π的法向量必定同时垂直于12u u u u u u r M M 与13u u u u u u r M M ．因此可取12u u u u u u r M M 与13u u u u u u rM M 的向量积1213u u u u u u r u u u u u u rM M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即 1213n =u u u u u u r u u u u u u r M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}u u u u u u r M M =--，13{2, 3, 1}u u u u u u rM M =--，因此1213-631i jkn =u u u u u u r u u u u u u rM M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。

《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT

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二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节反常积分
第五章
积分限有限常义积分被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分

F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式

arcsin x a

a 0

arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积分 1x收敛01

x2

同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程

制造领域，如汽车、航空和船舶制造等。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例如计算物体的质量、重心、转动惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积、体积等。
积分在经济中有广泛的应用，例如计算总成本、总收益、总利润等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广，表示一个三元函数在某个区域上的累积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程

直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线的方法，它由一个方程组组成，表示曲线上任意一点的坐标与三个直角坐标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和位置，通过解方程组可以求得曲线上点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线的一种常用方法，其中参数的变化反映了曲线上点的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度，曲率越大，弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点的方向变化速率，与曲线的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空间曲线的弯曲程度和形状。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的方向向量决定，方向向量表示了曲线上任意两点的相对位置。
切线向量

高数同济六版课件D85平面方程

平面的截距式
截距式：Ax+By+C=0
性质：平面的截距式表示平面上任意一点到原点的距离
特点：截距式可以表示任意平面，包括平行平面和垂直平面
应用：截距式在解决立体几何问题、解析几何问题等方面有广泛应用
平面的斜率式
斜率式：平面方程的一种表示形式，用于描述平面的斜率和截距
截距：平面与x轴或y轴的交点，表示平面在坐标轴上的位置
● a. 选取已知点P(x0, y0, z0) ● b. 计算向量AP(x1, y1, z1)和向量BP(x2, y2, z2) ● c. 计算向量AP和向量BP的叉乘 ● d. 计算叉乘的结果与向量AP和向量BP的点积 ● e. 求解平面方程
● 应用：适用于求解已知点的平面方程
一般式求解
平面方程的一般式：Ax+By+Cz+D=0 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
斜率：平面与x轴或y轴的夹角，表示平面的倾斜程度
斜率式的应用：用于求解平面方程、判断平面的性质和特点等
平面的点向式
点：平面上的任意一点
点向式：平面方程的一种表示形式，由一个点和一个向量组成
向量：平面的法向量，垂直于平面
性质：点向式可以表示平面上任意一点的位置和方向
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值特殊情况： a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当 A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面

《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分

f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)

f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
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3. 若

是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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结束
例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)

d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到

du 1 u2
arcsin u C

f [ ( x)] ( x)dx

同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程

曲面的应用领域
物理学：研究曲面形状对物理现象的影响
计算机图形学：用于创建三维模型和动画
地质学：用于描述地球表面的形态
生物学：用于研究生物体的表面结构
工程学：用于设计各种曲面形状的物体，如汽车车身、飞机机翼等
数学：用于研究曲面的性质和结构，以及解决相关的数学问题
06
曲面方程的解题技巧与注意事项
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
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目录
添加目录项标题曲面方程的求解方法曲面方程的拓展知识
曲面及其方程的基本概念
曲面方程的应用实例曲面方程的解题技巧与注意事项
01
添加章节标题
02
曲面及其方程的基本概念
曲面的定义和分类
曲面的定义：曲面是连续但不光滑的二维图形，由一条或多条曲线组成
04
曲面方程的应用实例
球面方程的应用
定义：球面方程是描述球面形状的数学方程应用实例1：计算球面上的点到球心的距离应用实例2：确定球面上点的坐标应用实例3：绘制球面图形
柱面方程的应用
定义：柱面方程是平面与空间直线或平面相交形成的曲面
应用实例1：在计算机图形学中，柱面方程可以用来描述三维图形的旋转和扭曲
总结：通过对解题思路的总结，可以更好地掌握曲面方程的解题技巧和注意事项，提高解题效率。
感谢观看
汇报人：PPT
解题技巧
熟练掌握曲面方程的基本形式和性质
灵活运用代数运算技巧，简化方程
掌握常见的曲面方程的解题方法
注意方程的适用范围和限制条件
注意事项
理解曲面方程的基本概念和性质

高数同济六版课件D8-6空间直线

1. 空间直线方程
一般式
对称式
参数式
内容小结
直线
2. 线与线的关系
直线
夹角公式:
平面 :
L⊥
L //
夹角公式：
3. 面与线间的关系
直线 L :
作业 P48 3，4，5，7，9
P48 题2, 10
思考与练习
解：
相交,求此直线方程 .
的方向向量为
例如, 当
和它的方向向量
3. 参数式方程
设
得参数式方程 :
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
再求直线的方向向量
令 x = 1, 解方程组
,得
交已知直线的两平面的法向量为
是直线上一点 .
故所给直线的对称式方程为
参数式方程为
解题思路:
先找直线上一点;
再找直线的方向向量.
是直线上一点
第六节
一、空间直线方程
二、线面间的位置关系
空间直线及其方程
第八章
一、空间直线方程
因此其一般式方程
1. 一般式方程
直线可视为两平面交线，
(不唯一)
2. 对称式方程
故有
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
设直线上的动点为
则
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
直线方程为
已知直线上一点
过 A 点及
面的法向量为则所求直线的方向量方法1 利用叉积.
所以
一直线过点
且垂直于直线
又和直线
备用题
设所求直线与 L2 的交点为
待求直线的方向向量
方法2 利用所求直线与L2 的交点 .