21.3函数的应用

沪科版数学九年级上册21.3 第2课时二次函数与一元二次不等式教学课件

-1 O 3 x
拓广探索：
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么方程ax2+bx+c=2的根是 _x_1_=_-_2_，__x_2_=_4___; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_x_<_-2_或__x_>__4__; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_-_2_<_x_<_4___y.
(-2,2)
2
-1 O
(4,2) 3x
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2
的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有
_1___ 个交点，坐标是_(_2_,0_)__.方程ax2+bx+c=0的根是
_x_=_2___.
y
O
2
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有___0___个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？解：(1)当a>0时, ax2+bx+c<0无解；
解：根据题目提供的条件，画出草图：
y
ax2 bx＞kx
ax2 bx＞kx 2
x＞3
x＜0
O
3x
ax2 bx＜kx
0＜x＜3
由图可知，不等式 ax2 bx＞kx 的解集为
x＞3或 x＜0 .
方法归纳
不等式 ax2 bx c＞mx n 的解集是二次函数
y ax2 bx c 的图象在直线 y mx n上方的点的

初中数学沪科版九年级上册《21.3二次函数与一元二次方程》教案

21.3二次函数与一元二次方程教学设计题目：写出二次函数y=x2-2x-3的顶点坐标,对称轴，并画出它的图象.教师提示：通过列表法展示该二次函数的画图过程探究一提问：当x为何值时，y=0?展示列表与图像，启发学生思考图像与x轴的交点，同时y=0时，即是方程x2-2x-3=0的解。

【例】如图，说一说二次函数y=x2+3x+2的图像与x轴有几个交点？交点的横坐标与一元二次方程x2+3x+2=0的根有什么关系？引导并帮学生完善结论：总结：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴有两个公共点(x1，0)、(x2，0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2 ,反之亦成立.探究二：观察二次函数y=x²-6x+9的图象和二次函数y=x²-2x+3的图象，分别说出一元二次方程x²-6x+9=0和x²-2x+3=0的根的情况.提问：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系?例：用图象法求一元二次方程x²+2x－1= 0 的近似解（精确到0.1）。

教师展示两种不同的解答方法。

变式：利用二次函数的图象求一元二次方程x²+x －1= 0 的近似解。

小试牛刀：1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-h）2与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若AB=4，则点M到直线l的距离为（）A． 2 B．3 C．4 D．52.小明研究二次函数y=-x2+2mx-m2+1（m为常数）性质时有如下结论：①该二次函数图象顶点始终在平行于x轴的直线上；②该二次函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的值范围为m≥2；④点A（x1y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＞y2；其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43. 一如图，抛物线y=x2-3x+k+1与x轴相交于O，A两点．求k的值及点A的坐标。

21.3《二次函数与一元二次方程第1课时》教案

21.3二次函数与一元二次方程
第1课时
一、教学目标
1.理解二次函数图象与X轴交点的横坐标与一元二次方程的根之间的联系.
2 .经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，渗透数形结合的思想方法.
3 .通过共同探究的方式，培养学生的合作交流意识，以及观察问题和解决问题的能力.
4 .在探索二次函数与一元二次方程的关系的过程中，让学生感受数学知识之间的内在联系，认识到事物之间的联系与转化.
二、教学重难点
重点：理解二次函数图象与X轴交点的横坐标就是一元二次方程的根难点：探索二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
函数值等于O时自变量X的一个值，即二次函数的图象与X轴一个交点的横坐标.
即：
二次函败「必7丫，2, 二一元二次方程>J3x+20,
：）。

时，图象与簿!有两个交点11Δ^40c>0,有两个不相等的实败根」
2 .如果函数值y等于-5又会怎样呢？
首先，在图象上画出直线产-5此时这条直线与二次函数的图象有一个交点（-T，-》；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-；,得到方程的解是M=X2=
结合上边的分析及其图象，我们得到：
：二痴由y⅛r÷2,U -元二次方程H=/
:图粼与直线r4只有一个交点：：A='*=C,有两个相等的实数《1:
3 .如果函数值y等于-2,又会怎样呢？
同样，先在图象上画出直线产-2,此时这条直线与二次函数的图象无交点；再求解其对应的一元二次方程f+3x+2=-2,此方程无解.。

21.3实际问题与一元二次方程的应用(3)--上课用

需将每斤的售价降低多少元？
二.例题讲解：4.销售问题
练习 . 某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，
第一个月以单价 80 元 / 件销售，售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时的单价为40元/件，设第二个月单价降低x元． (1)填表(不需化简)：
二.例题讲解：4.销售问题
例2．某精品店购进甲、乙两种小礼品，已知
1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进
2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（1）求甲礼品的进价；
二.例题讲解：4.销售问题
例2．某精品店购进甲、乙两种小礼品，已知
1件甲礼品的进价比1件乙礼品的进价多1元，购进
2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
2件甲礼品与1件乙礼品共需11元．
（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，当甲礼品的售价定为多
少时，才能使每天销售甲礼品的利润为60元？
二.例题讲解：4.销售问题
练习．有一批图形计算器，原售价为每台800 元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一台单价为 780 元，买两台每台都为 760 元．依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙公司一律按原售价的75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（ 1 ）若此单位需购买 6 台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少；
（2）经市场调查发现，若甲礼品按6元/件销售，
则每天可卖 40 件；若按 5 元 / 件销售，则每天可卖

21.3二次函数表达式的确定

答案
14
7
课前预习 1 2
课堂合作课堂合作
当堂检测
求二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的交点坐标,实际上是令二次函数中的 y=0,求得 x 的值,这就是与 x 轴交点的横坐标.
8
课前预习 1 2
课堂合作课堂合作
当堂检测
针对性训练见当堂检测· 基础达标栏目第 5 题
9
课前预习 1 2
3.若抛物线 y=kx2-7x-7 和 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( B ) A.k≥C.k>B.k≥- ,且 k≠0 D.k>- ,且 k≠0
7 4
7 4
2
课前预习
课堂合作
当堂检测
4.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则方程 ax2+bx+c=0 的两根是
x1=-1,x2=3
6
课前预习 1 2
课堂合作课堂合作
当堂检测
解:(1)因为小球是从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起,此时 v0=40,h0=0,所以 h 与 t 的关系为 h=-5t2+40t. (2)因为落地时 h=0,所以-5t2+40t=0,解得 t=8(s)或 t=0(舍去). (3)小球的高度为 35 m 时,h=35,解方程-5t2+40t=35,可得 t=1 或 7. (4)小球的高度大于 0,即小球在地面以上的时间,从图象上看出是在 x 轴上方的部分,即 0<t<8.
关闭
解:(1)因为点 A(1,1)在二次函数 y=x2-2ax+b 的图象上,所以 1=1-2a+b,可得 b=2a. (2)根据题意,方程 x2-2ax+b=0 有两个相等的实数根, 所以 4a2-4b=4a2-8a=0,解得 a=0 或 a=2. 当 a=0 时,y=x2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0); 当 a=2 时,y=x2-4x+4=(x-2)2,这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0). 所以,这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0).

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计3一. 教材分析沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》是本册教材中的重要内容，它旨在让学生通过学习二次函数与一元二次方程的关系，掌握求解一元二次方程的方法，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。

本节内容与前面的二次函数知识紧密相连，为后续的代数学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在求解一元二次方程时，可能会对公式法和解根的判别式混淆。

因此，在教学过程中，需要引导学生明确两者之间的关系，并通过实例让学生体会二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够掌握一元二次方程的解法，理解二次函数与一元二次方程的关系，并能运用二次函数的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的解法，二次函数与一元二次方程的关系。

2.教学难点：二次函数与一元二次方程在实际问题中的应用。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。

六.说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次函数与一元二次方程的关系，激发学生的学习兴趣。

2.讲解：讲解一元二次方程的解法，引导学生通过公式法和因式分解法求解一元二次方程。

3.探究：引导学生发现二次函数的图像与一元二次方程的解之间的关系，总结二次函数与一元二次方程的内在联系。

4.应用：通过实例，让学生运用二次函数的性质解决实际问题，体会数学在生活中的应用。

九年级上21.3用计算器求锐角三角函数值教案教学设计

21.3用计算器求锐角三角函数值教学目标（一）知识教学点1．会用计算器求出一个数的平方、平方根、立方、立方根。

2．会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角。

（二）能力训学点：培养学生熟练地使用现代化辅助计算手段的能力（三）德育渗透点；激发学生学习兴趣与求知欲。

教学重点：会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角教学过程问题1 你能用计算器求出（1）45、（2）35100⨯、（3）4749+、（4）32038的值吗？试一试。

说明和建议（1）组织学生人人用计算器来计算上述运算，分别求出它们的结果，使学生回忆出以前学过的用计算器进行数的乘方、开方的计算方法。

（2）在计算上述4个问题时，采取兵教兵的方法，教师只需作个别辅导。

计算结束后，可叫学生逐一说出使用计算器的顺序和方法，以纠正学生中存在的错误。

在使用CZ1206型计算器时，要求乘方的底数大于或等于0，当算式中乘方的底数小于0，且指数是奇数时,应将计算器中得到的结果加上负号，再进行加、减、乘、除运算时，只要按四则运算算式顺序输入数据与运算符号即可完成运算，具有括号的算式，可按照算式中的括号出现的顺序按 [ ] 键即可，如计算：200—｛2⨯3—〔8÷4+2⨯（3—4⨯2）—（5+6）〕｝可按以下顺序按键2 、 0 、 0 、 - 、〔、 2 、×、3 、 - 、 [ 、 8 、 ÷ 、4 、+ 、 2 、 × 、 [ 、 3 、 - 、 4 、× 、 2 、 ] 、 - 、 [ 、 5+ 、 6 、 ] 、 ] 、 ] 、 = ，显示176（4）教师还可以出一组加减乘除和乘方、开方的简单的计算题，让学生练习，以复习和巩固以前学过的计算器的有关内容和方法。

问题2使用计算器进行计算，逐一回答问题。

（1）用计算器求锐角的三角函数值时应首先按哪一个键？（2）怎样用计算器求锐角的三角函数值？要注意什么问题？说明和建议：（1）对求非整数度数的锐角三角函数值时，要先把它化为以度为单位的角后再求它的三角函数值。

沪科版数学九年级上册21.3二次函数与一元二次方程课件(共24张PPT)

第21章二次函数与反比例函数
21.3 二次函数与一元二次方程
学习目标
学习重难点
重点
难点
1.理解二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.3.了解用图象法求一元二次方程的近似根的方法.
二次函数图象、性质确定方程的解.
二次函数与一元二次方程(不等式)的关系.
D
C
3.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．解：当k＝3时，函数y＝2x＋1是一次函数．∵一次函数y＝2x＋1与x轴有一个交点，∴k＝3;当k≠3时，y＝(k－3)x2＋2x＋1是二次函数．∵二次函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，∴Δ＝b2－4ac≥0.∵b2－4ac＝22－4(k－3)＝－4k＋16，∴－4k＋16≥0. ∴k≤4且k≠3.综上所述，k的取值范围是k≤4.
归纳小结
1.二次函数与一元二次方程的关系：一般地，关于x的一元二次方程的根，就是二次函数的值为0时自变量x的值，也就是函数的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数与x轴交点个数的确定. 可有一元二次方程的根的判别式来表示判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
思考：如何利用二次函数求一元二次方程的近似解.例：求一元二次方程x2+2x-1=0的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程x²+2x-1=0的根就是抛物线y=x²+2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
想一想：观察下列二次函数，图象与x轴有公共点吗? 如果有，公共点的横坐标是多少?当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少?由此你能得出相应的一元二次方程的根吗?(1) y＝x2＋x－2.(2)y＝x2－6x＋9.(3)y＝x2－x＋1.

沪科版-数学-九年级上册-21.3 二次函数与一元二次方程课件

自变量的取值(范围) x＜x1或x＞x2 x＝x1或x＝x2 x1＜x＜x2 x1＜x＜x2 x＝x1或x＝x2 x＜x1或x＞x2
1 已知关于x的函数y＝(k－1)x2－2kx＋k＋2的图象与x轴有公共点． (1)求k的取值范围． (2)若x1，x2是函数图象与x轴两个公共点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2. ①求k的值； ②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．
n)，B(m＋6，n)，则 n＝__9__．
导引：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，
∴当x b 时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.
2
又∵抛物线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，点A，B关于直
线
xb 2
对称,∴
A
b 2
3,
n
,
B
b 2
3,
n
.
将A 点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，得
21.3 二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二次方程间的关系
1 课堂讲解二次函数与一元二次方程之间的关系
抛物线与x轴的交点个数之间的关系
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．
(3)解：由(2)得y＝2x2－2x，其图象如图所示． ∵抛物线与x轴的两个公共点的坐标分别为 (0，0)，(1，0)， ∴当y＜0时，0＜x＜1；当y＞0时，x＜0或x＞1.
总结
根据图象可直观地回答使得函数y的值大于、等于或小于零时x的取值(范围)，具体如下表所述：

21.3 二次函数与一元二次方程

出，4s时落回地面。
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实
数根（精确到0.1）. y
方法: (1)先作出图象;
(2)写出交点的坐标;
（-1.3、0）、（2.3、0）
x
(3)得出方程的解. 1
x =-1.3，x =2.3。
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
?
小结：
本节课你有什么收获？
(1)证明 : 令y 0, 得2 x2 mx m2 0 (m)2 4 2 m2 9m2 0
不论m取何值, 抛物线与 x轴总有公共点 .
(2) A(1,0)在抛物线y 2x2 mx m2 上 0 2 12 m 1 m2 即m2 m 2 0, (m 2)(m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为(2,0)
?
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2
考虑下列问题:
(1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间?
∵（-4）²-4*4.1＜0，
当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根
它的高度为15m。
（2）解方程
（4）解方程
20=20t-5t²
0=20t-5t²
t²-4t+4=0
t²-4t=0
t 1=
t
2
=2.
当球飞行2s时，
t1 =0， t2 =4. 当球飞行0s和4s时，
t
它的高度为20m。它的高度为0m，即0s飞

一元二次方程的应用(几何问题)

下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
x
可列方程为 (32 − x)(20 − x) = 540，
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 m.
20-x 32-x
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
27 cm
21cm
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
分析:这本书的长宽之比为 9 : 7 ，正中央的长方形的长宽之比为 9 : 7 ，上下边衬与左右边衬的宽度之比为 9 : 7.
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
27 cm
1 (27 9a) : 1 (21 7a)
多少米？
A
D
解：设 AB 的长是 x m. 列方程，得 (58 − 2x)x = 200，
B
C
整理得 x2 − 29x + 100 = 0. 解得 x1 = 25，x2 = 4. 当 x = 25 时，58 − 2x = 8；
当 x = 4 时，58 − 2x = 50.
答：羊圈的边 AB 和 BC 的长各是 25 m，8 m 或 4 m， 50 m.
答：道路的宽为 (18 - 274) m.
x
20-x
32-2x 32
21.3.3 一元二次方程的应用（几何问题）
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样
宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草
坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道
路的宽为多少？
2x
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.

沪科版九年级数学 21.3 二次函数与一元二次方程(学习、上课课件)

解题秘方：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，掌握
二次函数的图象与性质是解题关键．
感悟新知
知1－练
(1)若 m=－3，求该抛物线与 x 轴交点的坐标；
解：当 m=－3 时，抛物线为 y=x2+2x－3.
令 y=0，则 x2+2x－3=0，解得 x1=－3， x2=1，
∴该抛物线与 x 轴交点的坐标为( －3，0)和(1，0) .
线y=x2+2x+k 与 x 轴只有一个交点，则
1 ．
k=_______
感悟新知
知识点 2
二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系
知2－讲
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的公共点的横坐标
是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解，因此可以借助二次函数的
图象求一元二次方程的解 .
知1－讲
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c的
图象
a>0
a<0
抛物线与
(x1，0)，(x2，0)
x轴的交点ቆ－b没来自交点，0ቇ感悟新知
拓宽视野
知1－讲
已知二次函数y＝ax2 ＋bx＋c，求当y＝m时自变量x
的值，可以解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m；反之，解一
元二次方程ax2＋bx＋c＝m可以看成是已知y＝ax2＋bx＋c
c，并确定抛物线与直线的公共点的坐标；
(3)公共点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c=0 的解 .
感悟新知
知2－练
例2
[母题教材 P34 习题 T4 ]利用二次函数的图象求一元
二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1).

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计2一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的，通过本节内容的学习，使学生能够进一步理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图象与性质有一定的了解。

但是，对于如何运用二次函数的性质来解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。

因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.使学生能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.如何运用二次函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生通过自主学习、合作学习，探究二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。

六. 教学准备1.教案设计。

2.PPT制作。

3.练习题准备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生思考二次函数与一元二次方程之间的关系。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数的性质解决实际问题。

3.操练（10分钟）教师引导学生进行练习，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用所学知识解决问题，进一步巩固所学内容。

5.拓展（10分钟）教师引导学生进行拓展学习，让学生了解二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用。

6.小结（5分钟）教师对本节内容进行小结，使学生对所学内容有一个清晰的认识。

7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生课后进行巩固练习。

8.板书（5分钟）教师对本节内容的板书设计，使学生能够直观地了解二次函数与一元二次方程之间的关系。

沪科版初中九年级上册数学教案第21章二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程

21.3 二次函数与一元二次方程1.体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；2.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征.3.经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想.4.培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质.【教学重点】经历“类比——观察——发现——归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程.【教学难点】准确理解二次函数与一元二次方程的关系.一、情景导入，初步认知我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.【教学说明】让学生通过对旧知识的回顾及对新知识的思考，梳理旧知识，起到承上启下之效，同时通过老师的引导，培养学生的形成解决一类问题的通用方法的思维品质.二、思考探究，获取新知1.观察二次函数y=x2+3x+2的图象，并回答下列问题.（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根有什么关系？【教学说明】引起学生的认知冲突，激发学生的求知欲望，大胆猜想，通过交流寻求解决类似问题的方法.【归纳结论】一元二次方程ax2+bx+c=0.当Δ≥0时有实数根，这个实数根就是对应二次函数y＝ax2＋bx＋c的值等于0时自变量x的一个值，即二次函数的图象与x轴一个交点的横坐标.2.用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0近似解.（精确到0.1）由图象可知，方程有两个实数根，一个在-3和-2之间，另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根，由图象可估计这个根是-2.5或-2.4，利用计算器进行探索，见下表：观察上表可以发现，当x分别取-3和-2时，对应的y由正变负，可见在-3和-2之间肯定有一个x使y=0,即方程的一个根.题目要求精确到0.1,当x=-2.4时，y=-0.04比y=0.25更接近0，所以选x=-2.4.因此，方程x2+2x-1=0在-3和-2之间精确到0.1的根为x=-2.4.请仿照上面的方法，求出方程精确到0.1的另一个根.3.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求：分别画出函数y=x2,y=-2x+1的图象，如图，它们交点A,B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.【教学说明】引导学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ B ）A.ac＞0B.方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C.2a-b=0D.当x＞0时，y随x的增大而减小【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断.解：A.∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac ＜0，故本选项错误；B.∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C.∵抛物线对称轴为x=1，∴2a+b=0，故本选项错误；D.∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故本选项错误.故选B.2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（ C ）A.-1.6B.3.2C.4.4D.以上都不对【分析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图形和已知条件即可求出x2.解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4. 故选C.3.根据下列表格的对应值：判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ C ）A.8＜x＜9B.9＜x＜10C.10＜x＜11D.11＜x＜12【分析】根据表格知道8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，由此即可推出方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围.解：依题意得当8＜x＜12，y随x的增大而增大，而-0.38＜0＜1.2，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是10＜x＜11.故选C.【教学说明】学生独立完成3个小题，小组交流所做结果，练习巩固，加深理解.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题21.3”中第2、4、8题.本节课主要是向学生渗透两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合思想.三种题型：函数图象与x轴交点的横坐标、方程根的个数、函数图象的交点坐标.。

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计

沪科版数学九年级上册21.3《二次函数与一元二次方程》教学设计一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是沪科版数学九年级上册第21.3节的内容。

本节内容是在学生已经学习了二次函数的图像和性质的基础上，进一步引导学生通过观察二次函数的图像，探究其与一元二次方程之间的关系，从而加深学生对二次函数和一元二次方程的理解。

教材通过具体的例子，引导学生从图像的角度去观察、分析和解决问题，提高学生的数形结合思想。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有了初步的认识。

但是，对于如何通过二次函数的图像来解决一元二次方程，可能会感到困惑。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系，提高学生解决问题的能力。

2.过程与方法：培养学生观察、操作、思考的能力，提高学生的数形结合思想。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。

2.难点：如何引导学生从图像的角度去分析和解决问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、观察法、小组合作法等教学方法，引导学生通过观察、操作、思考等活动，自己去发现二次函数与一元二次方程之间的关系，提高学生的自主学习能力。

六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，准备好相关的教学工具和材料。

2.学生准备：预习相关内容，了解二次函数的图像和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示一个二次函数的图像，并提出相关问题，引导学生观察和思考。

3.操练（10分钟）教师引导学生通过观察二次函数的图像，找出其与一元二次方程之间的关系。

沪科版九年级数学第21章21.3.2 阅读与思考——由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集

知1－讲
x
… －2.5 －2.4 …
y
…
0.25 －0.04 …
观察上表可以发现，当x分别取－2.5和－2.4时，对
应的y由正变负，可见在－2.5与－2.4之间肯定有一个x使
y＝0，即有方程x2＋2x－1＝0的一个根．题目只要求精确
到0.1，这时取x＝－2.5或x＝－2.4作为根都符合要．但
当x＝－2.4时，y＝－0.04比y＝0.25(x＝－2.5)更接近0，
（来自《点拨》）
知2－练
1 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)如图，则关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集是( ) A．x<2 B．x>－3 C．－3<x<1 D．x<－3或x>1
（来自《典中点》）
知2－练
2 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．下列结论：
①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4； ②4a＋
有两相异实根
x1，x2（x1＜ x2）
有两相等实根
x1＝x2＝
b 2a
没有实根
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)的
解集
x x x1
或x x2
x
x
b
2a
ax2＋bx＋c
＜0(a＞0)的 x x1 x x2
Ф
解集
Δ＜0 R Ф
1.必做: 完成教材P33 T1-T3 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
例2 阅读材料，解答问题．利用图象法解一元二次不等式：x2－2x－3＞0. 解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数． ∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示．