成才之路高中数学北师大选修同步练习：第章 § 综合法与分析法

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数学北师大版选修2-2同步练习第一章§2综合法和分析法含解析精品

高手支招6体验成功基础巩固1.设a ＋b ＝1,且a ＞0,b ＞0.求证:（a+a 1）2+(b+b1)2≥225.证明：(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225⇐(a 2+b 2)+(21a +21b )+4≥225⇐(a 2+b 2)+(21a+21b )≥217.∵ab≤(2b a +)2=41,∴ab 1≥4,∴21a+21b ≥ab 2≥8.又∵a 2+b 2≥212)(2=+b a ,∴(a 2+b 2)+(2211b a +)≥217, ∴(a+a 1)2+(b+b1)2≥225.思路分析：由于式子化简后可产生常见不等式中的形式,所以用综合法加以证明.2.已知a,b ＞0，求证:a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc. 证明：∵b 2+c 2≥2bc,a ＞0,∴a(b 2+c 2)≥2abc.又∵c 2+a 2≥2ac,b ＞0, ∴b(c 2+a 2)≥2abc.∴a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.思路分析：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 3.若ybx a +=1(a,b,x,y ＞0,且a≠b),求证:x+y≥(a +b )2. 答案：证明：∵a,b,x,y ＞0,且x a +yb =1, ∴x+y=(x+y)(x a +y b )=a+b+x ay +ybx ≥a+b+2ab =(b a +)2.∴原不等式成立.思路分析：利用已知条件把a,b 与x,y 的关系相互转化,也就是通过1的代入把x+y 转换为a,b. 4.求证:3+7＜2+6.证明:要证原不等式成立,只需证(73+)2＜(2+6)2, 即证10+221＜10+224, 也即证24＜24, ∵21＜24,∴21＜24.从而原不等式73+＜2+6成立.思路分析：无理数大小的比较通常利用乘方转化为有理数再比较.5.已知a ＞b ＞c,且a+b+c=0,求证:aacb -2＜3.证明:∵a ＞b ＞c,且a+b+c=0,∴a ＞0,c ＜0,要证原不等式成立,只要证ac b -2＜3a,即证b 2-ac ＜3a 2,也即证(a+c)2-ac ＜3a 2,即(a-c)(2a+c)＞0,∵a-c ＞0,2a+c=(a+c)+a=a-b ＞0. ∴(a-c)(2a+c)＞0成立,故原不等式成立.思路分析：由已知很难找到直接证出结论的方法,所以可以采用分析法,依次找结论成立的充分条件探索解题的思路.6.在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC. 证明:∵锐角三角形中,A+B ＞2π,∴A ＞2π-B.∴0＜2π-B ＜A ＜2π, 又∵在(0,2π)内正弦函数是单调递增函数, ∴sinA ＞sin(2π-B)=cosB,即sinA ＞cosB.①同理sinB ＞cosC,② sinC ＞cosA.③由①+②+③得,sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC.思路分析：此题采用综合法通过构造角的不等式转化为利用三角函数的单调性来证明,此法比常用的和差化积形式简单.7.已知:a 、b 、c 是不全相等的正数,且0＜x ＜1.求证:log x2b a ++log x 2c b ++log x 2c a +＜log x a+log x b+log x C.证明:要证明log x 2b a ++log x 2c b ++log x 2ca +＜log x a+log x b+log x c,只需要证明log x ［2)(b a +·2)(c b +·2)(c a +］＜log x (abc).由已知0＜x ＜1,只需证明2b a +·2c b +·2ca +＞abc. 由公式知2b a +≥ab ＞0,2c b +≥bc ＞0,2ca +≥ac ＞0.∵a 、b 、c 不全相等,上面三式相乘,2b a +·2c b +·2c a +＞222c b a =bc, 即2b a +·2c b +·2c a +＞abc 成立.∴log x 2b a ++og x 2c b ++log x 2ca +＜log x a+log x b+log x c 成立.思路分析：由于式子较为复杂,不易找到证明思路,所以考虑用分析法证明.8.如图:E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点,平面a 过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证:EH ∥FG. 证明:连结BD.∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点. ∴EH ∥BD.又BD ⊂面BCD,EH ⊄面BCD, ∴EH ∥面BCD.又EH ⊂a 、a∩面BCD ＝FG , ∴EH ∥FG.思路分析：直接应用立体几何中的直线与平面平行的性质定理即可证明,要注意灵活应用直线与平面平行的判定与性质定理. 综合应用9.如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA 1=4,点D 是AB 的中点.(1)求证AC ⊥BC 1;(2)求证AC 1//平面CDB 1;(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC ⊥BC,且BC 1在平面ABC 内的射影为BC, ∴AC ⊥BC 1.(2)证明：设CB 1与C 1B 的交点为E,连结DE, ∵D 是AB 的中点,E 是BC 1的中点, ∴DE//AC 1,∵DE ⊂平面CDB 1,AC 1⊄平面CDB 1, ∴AC 1//平面CDB 1.(3)解：∵DE//AC 1,∴∠CED 为AC 1与B 1C 所成的角, 在△CED 中ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB 1=22，∴cos ∠CED=522252228=∙∙. ∴异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值为522. 思路分析：本题是考查平行垂直的论证及异面直线所成角的求法.要充分分析题目中的平行垂直条件,可以用立体几何方法来证,也可以6用向量法来证. 10.已知动圆过定点（2p ,0）,且与直线x=2p-相切,其中p ＞0.(1)求动圆圆心C 的轨迹的方程;(2)设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,当α,β变化且α+β为定值θ(0＜θ＜π)时,证明直线AB 恒过定点,并求出该定点的坐标.答案：(1)解：如图,设M 为动圆圆心,（2p ,0）记为F,过点M 作直线x=2p-的垂线,垂足为N,由题意知:|MF|=|MN|即动点M 到定点F 与定直线x=2p-的距离相等,由抛物线的定义知,点M 的轨迹为抛物线,其中F （2p ,0）为焦点,x=2p-为准线,所以轨迹方程为y 2=2px(p ＞0);(2)证明：如图,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意得x 1≠x 2(否则α+β=π),且x 1,x 2≠0,所以直线AB 的斜率存在,设其方程为y=kx+b,显然x 1=py 221,x 2=p y222,将y=kx+b 与y 2=2px(p ＞0)联立消去x,得ky 2-2py+2pb=0.由韦达定理知,y 1+y 2=kp 2,y 1·y 2=k pb 2.①(i)当θ=2π时,即α+β=2π时,tanα·tanβ=1,所以11x y ·22x y =1,x 1x 2-y 1y 2=0,222214p y y -y 1y 2=0.所以y 1y 2=4p 2.由①知:kpb2=4p 2,所以b=2pk.因此直线AB 的方程可表示为y=kx+2pk,即k(x+2p)-y=0,所以直线AB 恒过定点(-2p,0). (ii)当θ≠2π时,由α+β=θ,得tanθ=tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=221214)(2py y y y p -+. 将①式代入上式整理化简可得:tanθ=pkb p22-,所以b=θtan 2p +2pk,此时,直线AB 的方程可表示为y=kx+pkp212-,即k(x+2p)-(θtan 2p -)=0.所以直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p). 所以由(i)(ii)知,当θ=2π时,直线AB 恒过定点(-2p,0),当θ≠2π时直线AB 恒过定点(-2p,θtan 2p ).思路分析：此题是圆锥曲线的综合题,(1)动点的轨迹方程求解时,常常结合其满足的几何特征及常见圆锥曲线的定义来分析比较容易,即常用数形结合的方法.(2)直线过定点问题必须引入参数表示出直线的方程由直线系方程来解.11.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3, …,其中A 、B 为常数. (1)求A 与B 的值;(2)证明:数列{a n }为等差数列;(3)证明:不等式mn a 5-n m a a ＞1对任何正整数m,n 都成立. 答案：（1）解：由已知,得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18. 由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,知⎩⎨⎧+=-+=--,2122,732312B A S S B A S S 即⎩⎨⎧-=+-=+,482,28B A B A 解得A=-20,B=-8.（2）证明:由（1）得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,① 所以(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28,②②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20,③ 所以(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20.④s ④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0. 因为a n+1=S n+1-S n ,所以(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+7)a n+1=0, 因为(5n+2)≠0,所以a n+3-2a n+2+a n+1=0.所以a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1. 又a 3-a 2=a 2-a 1=5,所以数列{a n }为等差数列.（3）证明：由（2）可知,a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m mn a a a -5＞1, 只要证5a mn ＞1+a m a n +2n m a a ,因为a mn =5mn-4,a m a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16, 故只要证5(5mn-4)＞1+25mn-20(m+n)+16+2n m a a ,即只要证20m+20n-37＞2n m a a ,因为2n m a a ≤a m +a n =5m+5n-8＜5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.思路分析：本题主要考查等差数列的定义、通项公式等及利用分析法来证明问题.。

北师大版高中数学选修(2-2)-1.2分析法与综合法的区别和联系

分析法与综合法的区别和联系一、知识要点：综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法．所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知…可知1…可知2…结论”．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“结论须知1须知2…已知”；基本步骤：要证……只需证……，只需证……①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法⑵用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式出发，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到显然成立的不等式，书写方法习惯上用“ ”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简单化原则：寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。

二、综合应用(2)综合证明表述如下：∵ AF是直线，且∠1=∠2(已知)，∴∠3=∠4(等量减等量其差相等)．又∵ BE＝CD(已知)，BC=BC(公共边)，∴△EBC≌△DCB(边角边)．∴ BD=CE(全等三角形对应边相等)．例1 已知AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，且交AB于E(如图)．求证：DE=AE．思路分析(1)用综合法探求，其思路如下： (2)用分析法探求，其思路如下：至此，恰好是题设条件，问题得到解决．评述：由于分析是执果索因，立足于寻找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于寻找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半采取先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．例如对下面这道数学问题：例2 已知AF是直线，∠1=∠2，BE=CD，如图4－4．求证：BD=CE．思路分析 (1)分析思路如下：至此步骤，均为题设中提供的条件，问题获得解决．。

成才之路高中数学北师大选修练习：第章归纳与类比

第一章 §1一、选择题1．(2014·太原模拟)如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )[答案] A[解析] 观察题干中的三个图形，前一个图形以中心为原点沿顺时针旋转144°得到后一图形，类比可知选A.2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A.r 22 B ．l 22C ．lr 2D ．不可类比[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 3．(2013·华池一中期中)平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( ) A.43a B.63a C.54a D.64a [答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题4．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10(91＋109)2＝1 000.5．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力．依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x(2－1)x ＋2，f 2(x )＝x 3x ＋4＝x(22－1)x ＋22，f 3(x )＝x 7x ＋8＝x(23－1)x ＋23，f 4(x )＝x 15x ＋16＝1(24－1)x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.三、解答题6．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －b a x 与l 2：y ＝bax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝bax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求点P 1、P 2的坐标； (2)猜想点P n 的坐标公式．[分析] 两直线的交点坐标可通过解方程组求出，由两点坐标又可写出新的直线方程，从而猜想出点P n 的坐标．[解析] (1)解方程组⎩⎨⎧y ＝b －ba x ，y ＝ba x ，得P 1(a 2，b2)．过(0，b )，(a 2，0)两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立，解得P 2(a 3，b3)．(2)由(1)可猜想P n (a n ＋1，bn ＋1).一、选择题1．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .2．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形[答案] C[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．3．(2014·三峡名校联考)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n－1个式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1B．1＋122＋132＋…＋1n2<12n＋1C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1nD．1＋122＋132＋…＋1n2<n2n＋1 [答案] C[解析]观察可得第n－1个式子中不等式的左边为数列{1i2]的前n项的和，右边为分式2n－1n.4．(2014·临沂模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2 009＋a2 010＋a2 011等于()A．1 003 B．1 005C．1 006 D．2 011[答案] B[解析]观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.5．(2014·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258 C.15750 D.355113[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V ≈275L 2h 时，π≈258.本题的关键是理解“若V ≈136L 2h ，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题6．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC .拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为________．[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC . 7．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案] F ＋V －E ＝2 [解析] 5＋6－9＝2， 6＋6－10＝2， 6＋8－12＝2， ∴F ＋V －E ＝2. 三、解答题 8．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23；S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34；S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45；由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．9．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sin α＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立．10．已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d ；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则a m ＋a n ＝2a p ； (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．[解析] 在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n ，则可推出： (1)通项b n ＝b m ·q n －m ；(2)若m ＋n ＝p ＋q ，其中m ，n ，p ，q ∈N ＋，则b m ·b n ＝b p ·b q ；(3)若m ＋n ＝2p ，m ，n ，p ∈N ＋，则 b m ·b n ＝b 2p ；(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．。

高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第一章 §2 综合法与分析法

§综合法与分析法阅读下面的例题．例：若实数，满足＋＝，证明：＋≥.证明：因为＋＝，所以＋≥＝＝＝，故＋≥成立．问题：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法()含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．()思路：综合法的基本思路是“由因导果”．()模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中为条件，为结论.你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法()含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．()思路：分析法的基本思路是“执果索因”．()模式：若用表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例]已知，是正数，且＋＝，求证：＋≥.[思路点拨]由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]法一：∵，为正数，且＋＝，∴＋≥，∴≤，∴＋＝＝≥.法二：∵，为正数，∴＋≥＞，＋≥＞，。

成才之路北师大数学选修习题第章定积分§ 含解析

第四章 §3一、选择题1．已知自由下落物体的速度为v ＝gt ，则物体从t ＝0到t ＝t 0所走过的路程为( ) A ．13gt 20B ．gt 20 C.12gt 20 D ．14gt 20[答案] C[解析] ⎠⎛0to gt d t ＝12gt 2|⎪⎪to0＝12gt 20.2．如果1 N 的力能把弹簧拉长1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx .当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，则k ＝100，所以F (x )＝100x ，所以W ＝∫0.060100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18 J.3．(2014·湖北理，6)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由题意，要满足f (x )，g (x )是区间[－1,1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝0.① ⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝(－12cos x )|1－1＝0，故第①组是区间[－1,1]上的正交函数；②⎠⎛－11f (x )g (x )d x ＝⎠⎛1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝(x 33－x )|1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1,1]上的正交函数；③⎠⎛－1 1f (x )g (x )d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 44|1－1＝0，故第③组是区间[－1,1]上的正交函数．综上，其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数是2.4．直线y ＝2x ，x ＝1，x ＝2与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为( )A ．28π3B ．32πC ．4π3D ．3π[答案] A[解析] 由V ＝⎠⎛12π·(2x )2d x ＝π⎠⎛124x 2d x ＝4π⎠⎛12x 2d x ＝4π·13x 3|21＝4π3(8－1)＝28π3. 5．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．14B ．15C ．16D ．17[答案] C[解析] 本题考查了定积分的计算与几何概型的算法，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xy ＝x∴O (0,0)，B (1,1)，∴S 阴影＝⎠⎛01(x －x )dx ＝(23x 32 －x 22)|10＝23－12＝16，∴P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16. 定积分的几何意义是四边梯形的面积，几何概型的概率计算方法是几何度量的比值．二、填空题6．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01 f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案]33[解析] 因为(a 3x 3＋cx )′＝ax 2＋c ，所以⎠⎛01 f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 2＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去)．故填33. 7．(2015·福建理，13)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．[答案]512[解析] 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2d x ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512. 8．(2014·宁波五校联考)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．[答案]163[解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得直线与抛物线的交点横坐标为x ＝－1，由题意得，由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为：⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x＝(23x 3＋2x 2＋2x ) ⎪⎪⎪1-1＝23＋2＋2＋23－2＋2＝163. 三、解答题9．求由曲线y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x 所围成图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －x 2，y ＝2x 2－4x ，得x 1＝0，x 2＝2.如图所示，所求图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＋|⎠⎛02(2x 2－4x )d x |＝⎠⎛02(2x －x 2)d x －⎠⎛02(2x 2－4x )d x＝(x 2－13x 3)|20－(23x 3－2x 2)|20＝4. 10．求由曲线y ＝sin x 与x 轴在区间[0,2π]上所围成的图形的面积S .[分析] y ＝sin x 在[0，π]上的积分为正值，在[π，2π]上的积分为负值，其面积应取绝对值．[解析] 如图所示，所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋|∫2ππsin x d x |＝(－cos x )|π0－(－cos x )|2ππ＝4.一、选择题1．求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 作出图形，容易判断应选B.2．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4 C.163 D ．6[答案] C[解析] 由题意知，所围成的面积⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝(23x 32 －12x 2＋2x )|40＝23×432 －12×42＋2×4＝163.[点评] 本小题重在考查由两条曲线与y 轴所围成的曲边形的面积，要注意用函数值较大的减去函数值较小函数的积分值，并注意积分上、下限范围．3．(2014·广州模拟)物体A 以v ＝3t 3＋1(m /s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后物体A 追上物体B 所用的时间t (s )为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C[解析] 因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t10t d t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)|t 0＝t 3＋t －5t 2＝5⇒(t －5)(t 2＋1)＝0，即t ＝5.二、填空题4．由直线y ＝x 和曲线y ＝x 3(x ≥0)所围成的图形绕x 轴旋转，求所得旋转体的体积为________．[答案]4π21[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 3(x ≥0)，求得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以V ＝⎠⎛01πx 2d x －⎠⎛01πx 6d x＝π⎠⎛1x2d x－π⎠⎛1x6d x＝π⎝⎛⎭⎫13－17＝π×421＝4π21.5．抛物线y＝x2与直线y＝23x所围成的图形的面积是________．[答案]481[解析]如图，y＝x2与y＝23x的交点坐标为(0,0)和(23，49)，所以所求的面积为S＝⎠⎛23(23x－x2)d x＝(13x2－13x3)⎪⎪⎪23＝13[(23)2－(23)3]－0＝481.6．曲线y＝e x，直线x＝0，x＝12与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为________．[答案](e－1)π2[解析]V＝⎠⎛12π(e x)2d x＝π⎠⎛12e2x d x＝π×12e2x⎪⎪⎪12＝π2(e－1)＝(e－1)π2.三、解答题7．计算(y－1)2＝x＋1及y＝x所围的平面图形的面积．[分析] 首先画出草图(如图所示)，若选x为积分变量，则需将图形分割，运算繁琐，可选用y作为积分变量，为此求出两线交点的纵坐标，确定出被积函数和积分的上、下限．[解析] 将已知条件改写为x ＝y 以及x ＝(y －1)2－1，由图知所求面积为阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝(y －1)2－1，得交点的纵坐标为y 1＝0及y 2＝3，因此，阴影部分面积S ＝⎠⎛03{y －[(y －1)2－1]}d y ＝⎠⎛03(3y －y 2)d y ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32y 2－13y 330＝92. [点评] 解此类问题要注意观察草图及被积函数式子的特点，灵活选用积分变量． 8．求由曲线y ＝x 2，直线y ＝x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． [解析] 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的图形如图中阴影部分．设所得旋转体的体积为V ，根据图像可以看出V 等于直线y ＝x ，x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝1与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V 2)．因为V 1＝⎠⎛01πx 2d x ＝⎪⎪π·13x 310＝π3×(13－03)＝π3， V 2＝⎠⎛01π(x 2)2d x ＝π⎠⎛01x 4dx ＝⎪⎪π·15x 510＝π5，所以V ＝V 1－V 2＝π3－π5＝2π15.[点评] 求旋转体的体积时，要先画出平面图形，分析旋转体的形状，再利用定积分求解，本题中所求的旋转体的体积是由两个不同的旋转体的体积作差得到的．。

成才之路高中数学北师大选修同步练习：第章 § 第课时类比推理

第三章 §1 第2课时1.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．r 22B ．l 22C ．lr 2D ．不可类比[答案] C2．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n －2)·180°(n ∈N *，且n ≥3)A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④[答案] C[解析] ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[答案] B[解析] 根据立体几何中线面之间的位置关系知，②③是正确的结论． 4．(2013·辽师大附中期中)类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边 (2)中位线长等于底边长的一半 (3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质：(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3) D ．都不对[答案] C[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．下列类比推理恰当的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把(ab )n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b nD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c [答案] D[解析] 选项A ，B ，C 没有从本质属性上类比，是简单类比，从而出现错误．二、填空题6．对于平面几何中的命题：“夹在两平行线之间的平行线段的长度相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到的命题是：______________________________.[答案] 夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等7．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为__________ ________.[答案] a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9[解析] 等比数列中，“乘积”类比到等差数列中“和”，故应有结论为a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 9＝2×9.8．(2014·湖南长沙实验中学、沙城一中联考)在平面几何里有射影定理：设△ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2＝BD ·BC ．拓展到空间，在四面体A －BCD 中，DA ⊥平面ABC ，点O 是A 在平面BCD 内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC 、△BOC 、△BDC 三者面积之间关系为__________ ________.[答案] S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC [解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD 与一侧面ABC 垂直的四棱锥的侧面ABC 的面积，将此直角边AB 在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC 在底面的射影△OBC 及底面△BCD 的面积可得S 2△ABC ＝S △OBC ·S △DBC ．三、解答题9．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间中，并判断类比的结论是否成立； (1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交； (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．[解析] 平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．10．我们已经学过了等比数列，是否也有等积数列呢？ (1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义；(2)若{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，试写出{a n }的通项公式及前n 项和公式．[答案] (1)略 (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数3，n 为偶数 S n ＝⎩⎨⎧5n2，n 为偶数5n －12，n 为奇数[解析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{a n }是等积数列，且首项a 1＝2，公积为6，所以a 2＝3，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＝3，…，即{a n }的所有奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数 .当n 为偶数时，前n 项和S n ＝5n2；当n 为奇数时，前n 项和S n ＝5(n －1)2＋2＝5n －12.即S n＝⎩⎪⎨⎪⎧5n2，n 为偶数，5n －12，n 为奇数.一、选择题11．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在▱ABCD 中，有AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋AD 2)，那么在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 21＋BD 21＋CA 21＋DB 21等于( )A ．2(AB 2＋AD 2＋AA 21) B ．3(AB 2＋AD 2＋AA 21) C ．4(AB 2＋AD 2＋AA 21) D ．4(AB 2＋AD 2)[答案] C[解析] 如图所示，四边形AA 1C 1C 和BB 1D 1D 也都是平行四边形，从而有AC 21＋CA 21＝2(AC 2＋AA 21)，BD 21＋DB 21＝2(BD 2＋BB 21)，所以AC 21＋CA 21＋BD 21＋DB 21＝2(AC 2＋BD 2)＋4AA 21＝4(AB 2＋AD 2＋AA 21)．12.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )A ．5＋12B ．5－12C ．5－1D ．5＋1[答案] A[解析] 如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)， ∴FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )，又∵FB →⊥AB →，∴FB →·AB →＝b 2－ac ＝0， ∴c 2－a 2－ac ＝0， ∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故应选A ．二、填空题13．(全国高考Ⅱ)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，例如两组对边平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件：①__________________________________________；充要条件：②________________________________________________________. (写出你认为正确的两个充要条件)[答案] 答案不唯一，如两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形14．(2014·阜阳一中模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .由类比推理可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝__________ ________.[答案] b 2n －1n[解析] 将等差数列前n 项和类比到等比数列前n 项的积，将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”．因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n .所以类比可得：在等比数列{b n }中，若其前n 项的积为P n ，则P 2n －1＝b 2n －1n. 15．在以原点为圆心，半径为r 的圆上有一点P (x 0，y 0)，则圆的面积S 圆＝πr 2，过点P 的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，当离心率e 趋近于0时，短半轴b就趋近于长半轴a ，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S 椭圆＝__________________.类比过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程，则过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为__________ ________.[答案] πabx 1a 2·x ＋y 1b2·y ＝1 [解析] 当椭圆的离心率e 趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a ，b 都趋近于圆的半径r ，故由圆的面积S ＝πr 2＝π·r ·r ，猜想椭圆面积S 椭＝π·a ·b ，其严格证明可用定积分处理．而由切线方程x 0·x ＋y 0·y ＝r 2变形得x 0r 2·x ＋y 0r 2·y ＝1，则过椭圆上一点P (x 1，y 1)的椭圆的切线方程为x 1a 2·x＋y 1b2·y ＝1，其严格证明可用导数求切线处理． 16．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是__________ ________.[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ， ∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ， ∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ， ∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.三、解答题 17．点P ⎝⎛⎭⎫22，22在圆C ：x 2＋y 2＝1上，经过点P 的圆的切线方程为22x ＋22y ＝1，又点Q (2,1)在圆C 外部，容易证明直线2x ＋y ＝1与圆相交，点R ⎝⎛⎭⎫12，12在圆C 的内部．直线12x ＋12y ＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？[解析] 点P (a ，b )在⊙C ：x 2＋y 2＝r 2上时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相切；点P 在⊙C 内时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相离；点P 在⊙C 外部时，直线ax ＋by ＝r 2与⊙C 相交．容易证明此结论是正确的．18．我们知道：12＝ 1， 22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1， 32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1， 42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1， ……n 2＝(n －1)2＋2(n －1)＋1，左右两边分别相加，得n 2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋n ∴1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.类比上述推理方法写出求12＋22＋32＋…＋n 2的表达式的过程． [解析] 我们记S 1(n )＝1＋2＋3＋…＋n ，S 2(n )＝12＋22＋32＋…＋n 2，…S k (n )＝1k ＋2k ＋3k ＋…＋n k (k ∈N *)．已知13＝ 1，23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1， 33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1， 43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1， ……n 3＝(n －1)3＋3(n －1)2＋3(n －1)＋1. 将左右两边分别相加，得S 3(n )＝[S 3(n )－n 3]＋3[S 2(n )－n 2]＋3[S 1(n )－n ]＋n . 由此知S 2(n )＝n 3＋3n 2＋2n －3S 1(n )3＝2n 3＋3n 2＋n6＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步训练：(2)综合法与分析法 Word版含答案

（2）综合法与分析法1、以下是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中, ①②两条流程线与"推理与证明"中的思维方法匹配正确的是( )A.①—综合法, ②—分析法B.①—分析法, ②—综合法C.①—综合法, ②—反证法D.①—分析法, ②—反证法2、下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的表述有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3、关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法4、命题“任意角θ,44cos sin cos2θθθ-=”的证明:“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了() A.分析法 B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法5、数学中的综合法是( )A.由结果追溯到产生原因的思维方法B.由原因推导到结果的思维方法C.由反例说明结果不成立的思维方法D.由特例推导到一般的思维方法6、下列说法正确的个数有( ) ①用22121()1()n i i n i i y y R yy ∧=-=-=--∑∑刻画回归效果,当2R 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好;②可导函数f ()x 在0x x =处取得极值,则0()0f x '=;③归纳推理是由特殊到一般的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理;④综合法证明数学问题是“由因索果”,分析法证明数学问题是“执果索因”.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7、下列说法不正确的是（）A. 综合法是由因导果的顺推证法B. 分析法是执果索因的逆推证法C. 分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的充分条件D. 综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用8、在证明命题"对于任意角θ,44cos sin cos 2θθθ-="的过程"44cos sin θθ+()()2222cos sin cos sin θθθθ=+-22cos sin θθ=-cos2θ="中,应用了( )A.分析法B.综合法C.分析法和综合法综合使用D.间接证明法9、如下图,根据图中的数构成的规律, a 所表示的数是()A.12B.48C.60D.14410、分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的( )A ．必要条件B ．充分条件C ．必要条件D ．必要条件或成分条件11、请阅读下列材料:若两个正实数12,a a 满足22121,a a +=那么12a a +≤证明:构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++,因为对一切实数,恒有()0,f x ≥,所以0,∆≤,从而得2124()80,a a +=≤,所以12a a +≤,根据上述证明方法,若个正实数满足时22212...1n a a a +++=,你能得到的结论为__________。

2018-2019学年北师大版高中数学选修2-2同步配套：1.2 综合法与分析法1.2.1

当且仅当
a=b=c=
1 3
时,等号成立.
题型一
题型二题型三
题型二
用综合法证明几何问题
【例2】如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C 与AB的中点,A1B交AB1于点G.
求证:(1)A1B⊥AD; (2)CE∥平面AB1D.
分析:(1)为了证明A1B⊥AD,可证A1B⊥平面AB1D,连接DG,显然 A1B⊥AB1,所以证明A1B⊥DG,可利用△A1DB是等腰三角形以及点 G是A1B的中点得证.
明不等式.
题型一题型二题型三
证法一:∵x+y=1,∴
1
+
1 ��
1
+
1 ��
=
1
+
��+��
2
+
��
2
+
��
=5+2
��
+
��
.
∵x>0,y>0,∴
��
=
题型一题型二题型三
证法二:∵x>0,y>0,1=x+y≥2
��,
当且仅当x=y=
1 2
时,等号成立,
∴xy≤14.
1
1
11 1
故 1 + �� 1 + �� = 1 + �� + �� + ��
=1+

成才之路北师大数学选修22习题第1章综合测试含解析

第一章综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点 [答案] C[解析] 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形表示的侧面，所以边的中点对应的就是正三角形的中心．故选C ．2．不等式a ＞b 与1a ＞1b 同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞bC ．1b ＜1a ＜0D ．1a ＞1b＞0[答案] B[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b1a ＞1b ⇔⎩⎨⎧a ＞b a －bab ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞bab ＜0⇔a ＞0＞b ，故选B. 3．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解[答案] C[解析] 至少有两个解包含：有两解，有一解，无解三种情况． 4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] ∵f (n )＝1n ＋0＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n 2－n ∴f (n )中共有n 2－n ＋1项． f (2)＝12＋0＋12＋1＋12＋2＝12＋13＋145．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6B ．1a n ＋1＝1a n ＋3C ．a n ＋1＝a n1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n[答案] B[解析] 观察前四项知它们分子相同，分母相差6， ∴{1a n}为等差数列． 6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1) [答案] B[解析] 依题意，由和相同的整数对分为一组不难得知，第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对．这样前n 组一共有n (n ＋1)2个整数对．注意到10×(10＋1)2<60<11×(11＋1)2.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置，为(5,7)．故选B. 7．设a 、b 、c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 三个数( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 [答案] D[解析] a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c ≥2，当且仅当a ＝1，b ＝1，c ＝1时取等号∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6∴a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2.8．把1,3,6,10,15,21，…，这些数叫作三角形数，如图所示，则第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30[答案] B[解析] 第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10，因此，由归纳推理得第n 个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋n )n 2.由此可以得出第七个三角形数是28.9．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c ；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( )A ．VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B ．2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C ．3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D ．4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4[答案] C[解析] 将△ABC 的三条边长a 、b 、c 类比到四面体P －ABC 的四个面面积S 1、S 2、S 3、S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数13，从而可知选C ．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4. 10．(2015·陕西文，10)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q[答案] C[解析] p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )；q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln (ab )，因为a ＋b2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f (a ＋b2)＞f (ab )，所以q ＞p ＝r ，故答案选C ．二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11.(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________． [答案] f (2n )＞n ＋22[解析] 由前几项的规律可得答案．13.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．[答案] 8[解析] y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A (－2，－1)．又∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， ∴2m ＋n ＝1.又∵mn >0，∴m >0，n >0.∴2m ＋n ＝1≥22mn ，当且仅当2m ＝n ＝12，即m ＝14，n ＝12时取等号，∴mn ≤18.∴1m ＋2n ＝2m ＋n mn ＝1mn≥8.14．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 10＝________.[答案] 1 000[解析] 前10项共使用了1＋2＋3＋4＋…＋10＝55个奇数，a 10为由第46个到第55个奇数的和，即a 10＝(2×46－1)＋(2×47－1)＋…＋(2×55－1)＝10(91＋109)2＝1 000.15．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．[答案]x1＋2014x[解析] f 1(x )＝f (x )＝x 1＋x ，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝11＋2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋21＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，…，f 2014(x )＝x1＋2014x.应寻求规律，找出解析式．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba≥a ＋b . [证明] 证法一：(综合法) ∵a >0，b >0， ∴a b ＋b ≥2a ，当且仅当a ＝b 时取等号，同理：ba＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时取等号．∴a b ＋b ＋ba＋a ≥2a ＋2b ，即a b ＋ba≥a ＋b . 证法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证：a a ＋b b ≥a b ＋b a ，只需证：a a ＋b b －a b －b a ≥0，而a (a －b )－b (a －b )＝(a ＋b )(a －b )2≥0，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a b ＋ba≥a ＋b . 证法三：(反证法) 假设当a >0，b >0时，a b ＋ba<a ＋b . 由a b ＋b a <a ＋b ，得a b ＋ba －a －b <0，即a a ＋b b －a b －b aa b＝a (a －b )－b (a －b )a b＝(a ＋b )(a －b )2a b<0，当a >0，b >0时，显然不成立，∴假设不成立．故a b ＋ba≥a ＋b . 17．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．[证明] 如图(1)所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD 2＝1AB 2＋1AC2. 猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直， AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 如图(2)，连结BE 交CD 于F ，连结AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . 而AF ⊂面ACD ， ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF 2＝1AC 2＋1AD2 ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2，故猜想正确．18．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．[分析] 利用不完全归纳法猜想归纳出a n ，然后用数学归纳法证明．解题的关键是根据已知条件和假设寻找a k 与a k ＋1和S k 与S k ＋1之间的关系．[解析] (1)由已知，得a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10，a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(n ＝1)5×2n －2(n ≥2).(2)①证明当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，表达式成立．当n ＝1时显然成立，下面用数学归纳法证明n ≥2时结论亦成立． ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时表达式成立，即a k ＝5×2k －2，则当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2 ＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1＝5×2(k ＋1)－2.故当n ＝k ＋1时，表达式也成立．由①②可知，对一切n (n ≥2，n ∈N ＋)都有a n ＝5×2n －2.19.在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A ，B 分别是椭圆长轴的左右端点，点P (x ，y )是椭圆上不同于A ，B 的任意一点，则k AP ·k BP ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A ，B ，P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A ，B ，P 为异于A ，B 的椭圆上的任意一点，则有k AP ·k BP ＝－b 2a2.20.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是f (x )＝0的一个根；(2)试比较1a 与c 的大小；(3)证明：－20，当0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0，与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a>c .(3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0， ∴b ＝－1－ac . 又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a ，即－b 2a <1a .又a >0，∴b >－2， ∴－20且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立． [解析] (1)因为对任意n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上，所以S n ＝b n ＋r .当n ＝1时，a 1＝S 1＝b ＋r ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝b n ＋r －(b n －1＋r )＝b n －b n －1＝(b －1)b n －1，又因为{a n }为等比数列，所以r ＝－1，公比为b ，a n ＝(b －1)b n －1.(2)证明：当b ＝2时，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1， b n ＝2(log 2a n ＋1)＝2(log 22n －1＋1)＝2n ，则b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式：32·54·76…·2n ＋12n >n ＋1. ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2>k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1) ＝4(k ＋1)2＋4(k ＋1)＋14(k ＋1)＝(k ＋1)＋1＋14(k ＋1)>(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可得，不等式对任何n ∈N ＋都成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1恒成立．。

2018-2019学年北师大版数学选修1-2同步学案：第三章 3 综合法与分析法

§3 综合法与分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一综合法思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc .又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .答案利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理综合法的定义及特点(1)定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，我们把这样的思维方法称为综合法．(2)思路：综合法的基本思路是“由因导果”．(3)模式：综合法可以用以下的框图表示 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q其中P 为条件，Q 为结论．知识点二分析法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab . 证明：要证a ＋b 2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ，只需证a＋b－2ab≥0，只需证(a－b)2≥0，因为(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．答案从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理分析法的定义及特征(1)定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法．(2)思路：分析法的基本思路是“执果索因”．(3)模式：若用Q表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件1．综合法是执果索因的逆推证法．(×)2．分析法就是从结论推向已知．(×)3．分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆．(√)类型一用综合法证明不等式例1已知a，b，c∈R，且它们互不相等，求证：a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，a4＋c4≥2a2c2，∴2(a4＋b4＋c4)≥2(a2b2＋b2c2＋c2a2)，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.又∵a，b，c互不相等，∴a4＋b4＋c4＞a2b2＋b2c2＋c2a2.反思与感悟综合法证明问题的步骤：跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3. 考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3，又a ，b ，c 为不全相等的正实数，而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2，且上述三式等号不能同时成立，所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a－3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3. 类型二分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．反思与感悟分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)．这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的．它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”．跟踪训练2 设a >b >0，求证：a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )．考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明因为a >b >0，所以a 2>ab >b 2，所以a 2－ab >0. 要证a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )，只需证a 2－ab a 2－b 2－ab －b 2>a 2－ab a 2＋ab ，只需证a 2－b 2－ab －b 2<a 2＋ab . 又a 2－b 2<a 2＋ab ＋ab －b 2显然成立，所以a 2－b 2＋ab －b 2>a (a －b )成立．类型三分析法与综合法的综合应用例3 △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其对边分别为a ，b ，c .求证：(a ＋b )－1＋ (b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1. 考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1，即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3，即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1. 即证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，即证c 2＋a 2＝ac ＋b 2.因为△ABC 三个内角A ，B ，C 成等差数列，所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac .所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立，命题得证．引申探究本例改为求证a ＋b1＋a ＋b >c 1＋c. 证明要证a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c，只需证a ＋b ＋(a ＋b )c >(1＋a ＋b )c ，即证a ＋b >c .而a ＋b >c 显然成立，所以a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c. 反思与感悟综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．跟踪训练3 已知a ，b ，c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需证log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )，由已知0<x <1，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc ，由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立． ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立.1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程为：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，其应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．类比法考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 B解析在证明过程中使用了平方差公式，以及同角的三角函数的关系式，符合综合法的定义，故证明过程使用了综合法．2．要证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2，∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.3．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x中最大的是( ) A ．aB ．bC ．cD ．随x 取值不同而不同考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案 C解析 ∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ，∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0， ∴c >b >a .4．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数，那么实数a 的值为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 1解析 ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数， ∴f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1＝0， ∴a ＝1.5．已知a ，b ，c 都为正实数，求证：a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3，只需证a 2＋b 2＋c 23≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 32，只需证3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≥0，而这是显然成立的，所以a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3成立．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.一、选择题1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D .这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案 B解析分析法证明的本质是证明使结论成立的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．故选B.2．若实数x ，y 满足不等式xy >1，x ＋y ≥0，则( )A ．x >0，y >0B ．x <0，y <0C ．x >0，y <0D ．x <0，y >0考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案 A 解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，xy >1，得⎩⎨⎧ x >0，y >0. 3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1) 考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析由题意得，f (x )在区间(0，＋∞)上是减少的，只有f (x )＝1x符合要求． 4．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案 D解析要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证a 2b 2－(a 2＋b 2)＋1≥0，即证(a 2－1)(b 2－1)≥0.5．在非等边三角形ABC 中，A 为钝角，则三边a ，b ，c 满足的条件是() A ．b 2＋c 2≥a 2 B ．b 2＋c 2>a 2C ．b 2＋c 2≤a 2D ．b 2＋c 2<a 2考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案 D解析由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵A 为钝角，∴cos A <0，则b 2＋c 2<a 2.6．若A ，B 为△ABC 的内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案 C解析由正弦定理得a sin A ＝b sin B＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)，又A ，B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .7．设a ，b >0，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab <1 考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案 B解析因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab ，又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab . 8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )是减少的．若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负B ．恒等于零C ．恒为正D ．无法确定正负考点综合法及应用题点利用综合法解决函数问题答案 A解析由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )是减少的，可知f (x )在R 上是减少的．由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，所以f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)<0.二、填空题9．“已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8”的证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立．这种证法是________．(填“综合法”或“分析法”)考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案综合法解析本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．考点分析法及应用题点寻找结论成立的充分条件答案 a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 11．设a ≥0，b ≥0，a 2＋b 22＝1，则a ·1＋b 2的最大值为________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案 324解析 a ·1＋b 2＝2a ·12＋b 22≤22⎝⎛⎭⎫a 2＋12＋b 22＝324，当且仅当a 2＝12＋b 22且a 2＋b 22＝1，即a ＝32，b ＝22时，等号成立．三、解答题12．已知n ∈N ＋，且n ≥2，求证：1n >n －n －1. 考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证1n >n －n －1，即证1>n －n (n －1)，只需证n (n －1)>n －1.∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2，只需证n >n －1，该不等式显然成立，故原不等式成立． 13．(1)用分析法证明：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ； (2)设a ，b 是两个不相等的正数，且1a ＋1b＝1，用综合法证明：a ＋b >4. 考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明 (1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，只需证2a ＋2a 2－4<4a ，只需证a 2－4<a .∵a 2－4<a 2显然成立，∴a 2－4<a 成立， ∴a ＋2＋a －2<2a 成立．(2)∵a >0，b >0，且a ≠b ，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b＝1＋1＋b a ＋a b>2＋2b a ·a b ＝4， ∴a ＋b >4.四、探究与拓展14．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题答案 ⎣⎡⎭⎫－2，32 解析当n 为偶数时，a <2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a <32；当n 为奇数时，a >－2－1n ，而－2－1n<－2，所以a ≥－2. 综上可得，－2≤a <32. 15．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形．考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明由A ，B ，C 成等差数列，得2B ＝A ＋C .①由于A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③ 由a ，b ，c 成等比数列，得b 2＝ac ，④由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，从而a＝c，所以A＝C.⑤，所以△ABC为等边三角形．由②③⑤，得A＝B＝C＝π3。

高二数学北师大版选修2-2同步精练1.2综合法与分析 Word版含答案

.已知函数()＝，若()＝，则(－)＝()．
．．－．．
．＞＞，∈＋，且≥恒成立，则的最大值为()．
．．．．
．若，∈，且＋＝，则＋＋的最大值为()．
．．．．
．在等比数列{}中，若，是方程－＋＝的两根，则的值为()．
．．±．．±
. 正方体中，为的中点，则直线垂直于()．
．．．．
．给出下列三个命题：①若≥＞－，则≥；②若正整数和满足
≤，则≤；③设(，)为⊙：＋＝上任一点，⊙是以(，)为圆心且半径为的圆，当(－)＋(－)＝时，⊙与⊙相切．其中假命题的个数为()．．．．．
．若＝，＝，＝，则()．
．＜＜．＜＜．＜＜．＜＜
．若＝－，＝，则与的大小关系为．
．在△中，若＝(＋)，求证：∠＝∠．
．已知≥，求证：.
参考答案
.答案：解析：∵()＝，∴＝.
∴(－)＝＝＝－.
.答案：解析：∵＞＞，且恒成立，
∴＝＋≥(当且仅当＝＋时，“＝”成立)，
∴的最大值为.
.答案：解析：∵＋＝，∴＝－，
∴＋＋＝＋－＋＝－＋＝－(－)＝－(－)＋≤，
∴当＝时，＋＋取得最大值为.
.答案：解析：∵{}是等比数列，∴＝.
又∵，是方程－＋＝的两根，
∴＝，且，同号，∴＝，∴＝.
又∵＋＝，
∴，都大于，∴＝.
.答案：
解析：连接，
∵⊥，⊥，∩＝，
∴⊥平面.
而平面，
∴⊥.
而∥，∴⊥.
.答案：解析：要证≥，只需证(＋)≥(＋)，即证≥，而≥显然成立，故①正确；要证，只需证(－)≤，只需证≥，而≥显然成立，故②正确；⊙上点到⊙的圆心距离为，两圆不一定相切，故③为假命题．。

《成才之路》2015-2016学年高中数学北师大版选修1-2同步练习第3章§3综合法与分析法

第三章 §3一、选择题1．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B2．证明7－1>11－5成立的过程如下：证明：要证7－1>11－5，只要证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1，即证35>11，即证35>11.因为35>11显然成立，所以原不等式成立．以上证明过程应用了( ) A ．综合法B ．分析法C ．综合法与分析法的综合使用D ．间接证法 [答案] B3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C ．a 2＋b 2ab ≥a ＋bD ．2ab a ＋b ≥ab[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab a ＋b ≤1，∴2aba ＋b ≤ab .4．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<1<ab[答案] B[解析] ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22<a 2＋b22(a ≠b )．5．(2015·天津文，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a[答案] B[解析] 由f (x )为偶函数得m ＝0，所以a ＝2－log 0.53＝3，b ＝2log 25＝5，c ＝f (0)＝20＝1，故选B ．6．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析]a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)．二、填空题7．在数列{a n }中，若a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13，则a 10等于________. [答案] 14[解析] ∵1a n ＋1＝1a n ＋13，a 1＝1，∴1a n ＝1＋(n －1)×13＝n ＋23. ∴a n ＝3n ＋2，∴a 10＝14.8．若三点A (a,2)、B (3,7)、C (－2，－9a )在同一条直线上，则a 的值为________. [答案] 2或29[解析] AB →＝(3－a,5)， BC →＝(－5，－9a －7)．当AB →∥BC →时，A ，B ，C 三点共线， (3－a )(－9a －7)＋5×5＝0，解得a ＝2或a ＝29.三、解答题9．设a 、b 、c ∈R ，求证a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2.[证明] ∵(a －1)2＋(b －12)2＋c 2≥0，∴a 2－2a ＋1＋b 2－b ＋14＋c 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2≥2a ＋b －54，∵2a ＋b －54>2a ＋b －2.∴a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2.10．在锐角三角形中，比较sin A ＋sin B ＋sin C 与cos A ＋cos B ＋cos C 的大小． [解析] 在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴A >π2－B ．∴0<π2－B <A <π2.又∵在区间(0，π2)内正弦函数是增加的，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，即sin A >cos B ．① 同理sin B >cos C ，② sin C >cos A ．③ 由①＋②＋③，得sin A ＋sin B ＋sin C >cos A ＋cos B ＋cos C ．一、选择题11．在R 上定义运算⊙a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1＋∞)D ．(－1,2)[答案] C[解析] x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1.12．(2014·哈六中期中)若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y 4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B ．13．(2015·陕西文，10)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q[答案] C[解析] p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln ab ；q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ，因为a ＋b2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f (a ＋b2)＞f (ab )，所以q ＞p ＝r ，故答案选C ．14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m ，n 都有：(1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出下列三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26；其中正确的结论个数是( )个．( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)构成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A ．二、填空题15．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则 cos(α－β)＝________.[答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ②①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.16．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m 与n 的大小关系为________. [答案] m >n[解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，所以a ＋b 2>a ＋b2，所以m >n . 三、解答题17．(2013·山东肥城二中高二期中)已知a 、b 、c 、d 为正实数，试用分析法证明：a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd .[证明] 要证a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd 成立，只需证 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，也就是(bc ＋ad )2≥0. ∵(bc ＋ad )2≥0显然成立， ∴a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd .18．若α、β为锐角，且cos αsin β＋cos βsin α＝2.求证：α＋β＝π2.[证明] 设f (x )＝cos x sin β＋cos βsin x ，x ∈(0，π2)，显然f (x )为单调减函数．∵f (α)＝2，f (π2－β)＝cos (π2－β)sin β＋cos βsin (π2－β)＝2，即f (α)＝f (π2－β)，又f (x )在x ∈(0，π2)上单调递减，∴α＝π2－β，∴α＋β＝π2.。

【成才之路】2021学年高中数学 3.3综合法与分析法同步检测北师大版选修1-2(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学 3.3综合法与分析法同步检测北师大版选修1-2一、选择题1．分析法证明问题是从所证命题的结论动身，寻求使那个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件[答案] A2．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，那么f (a )＋f (b )＋f (c )的值( ) A ．必然大于零 B ．一定等于零 C ．必然小于零 D ．正负都有可能 [答案] A[解析] f (x )＝x 3＋x 是奇函数，且在R 上是增函数，由a ＋b >0得a >－b ，因此f (a )>f (－b )，即f (a )＋f (b )>0，同理f (a )＋f (c )>0，f (b )＋f (c )>0，因此f (a )＋f (b )＋f (c )>0. 3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，那么必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1 D ．a 2＋b 22<1<ab[答案] B[解析] ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22<a 2＋b 22(a ≠b )． 4．设0<x <1，那么a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定[答案] C[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x＜0，因此b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，因此b ＝1＋x >2x ＝a ，因此a qD ．不确定[答案] B [解析] q ＝ab ＋mad n＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，那么A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A[答案] A [解析]a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)．二、填空题7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b2，n ＝lga ＋b2，那么m 与n 的大小关系为________．[答案] m >n [解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab >a ＋b >0，因此a ＋b2>a ＋b2，因此m >n .8．若是aa ＋b b >a b ＋b a ，那么实数a 、b 应知足的条件是________．[答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0 [解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a－b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0只需a ≠b 且a 、b 都不小于零即可．9．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，那么a ，b ，c 的大小关系为________．[答案] a >c >b [解析] b ＝47＋3，c ＝46＋2，显然b <c ，而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，因此a >c ，综上知a >c >b .三、解答题10．设a 、b 、c ∈R ，求证a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2. [证明]∵(a －1)2＋(b －12)2＋c 2≥0， ∴a 2－2a ＋1＋b 2－b ＋14＋c 2≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥2a ＋b －54， ∵2a ＋b －54>2a ＋b －2.∴a 2＋b 2＋c 2>2a ＋b －2. 一、选择题11．在R 上概念运算⊙a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，那么知足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1＋∞)D ．(－1,2)[答案] C[解析] x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0⇒x 2＋x －2<0⇒－2<x <1.12．要使3a －3b <3a －b 成立，a 、b 应知足的条件是( )A ．ab <0且a >bB ．ab >0且a >bC ．ab <0且a <bD ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b[答案] D[解析] 3a －3b <3a －b ⇔a －b ＋33ab 2－33a 2b <a －b .∴3ab 2<3a 2b .∴当ab >0时，有3b <3a ，即b <a ；当ab <0时，有3b >3a ，即b >a .13．(2021·哈六中期中)假设两个正实数x 、y 知足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，那么实数m的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)[答案] B[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4xy ≥2＋2y 4x ·4xy＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，应选B.14．(2021·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m ，n 都有： (1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出以下三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26；其中正确的结论个数是( )个．( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0[答案] A[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)组成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，应选A.二、填空题15．假设sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，那么 cos(α－β)＝________.[答案] －12[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ②①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－12.三、解答题16．(2021·山东肥城二中高二期中)已知a 、b 、c 、d 为正实数，试用分析法证明：a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac＋bd .[解析] 要证a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd 成立，只需证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，即证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd ，也确实是(bc ＋ad )2≥0. ∵(bc ＋ad )2≥0显然成立， ∴a 2＋b 2·c 2＋d 2≥ac ＋bd .17．已知a ≥－12，b ≥－12，a ＋b ＝1，求证：2a ＋1＋2b ＋1≤22.下面是证明进程：要证2a ＋1＋2b ＋1≤22，只需证2(a ＋b )＋2＋22a ＋1·2b ＋1≤8.∵a ＋b ＝1，∴即证2a ＋1·2b ＋1≤2，只需证(2a ＋1)(2b ＋1)≤4，即证ab ≤14.∵ab ≤a ＋b2，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14.∵ab ≤14成立，因此2a ＋1＋2b ＋1≤22成立．试分析找出上述证明进程中的错误，并给予订正．[解析] 上述解法中，对ab ≤14的证明是错误的．因为ab ≤a ＋b2成立的条件是a ≥0，b ≥0，而原题条件是a ≥－12，b ≥－12，不知足上述条件．正确解答为：在错解中，得2a ＋1·2b ＋1≤2.∵a ≥－12，b ≥－12，∴2a ＋1≥0,2b ＋1≥0. ∴2a ＋1·2b ＋1≤2a ＋1＋2b ＋12＝2a ＋b ＋12＝2，即2a ＋1·2b ＋1≤2成立，因此原不等式成立．。

高中数学3.3综合法与分析法同步精练-北师大版选修

高中数学 3.3 综合法与分析法同步精练北师大版选修1-21．锐角三角形的内角A、B满足1=tan A tan Bsin2A-，则有( )．A．sin 2A－cos B＝0 B．sin 2A＋cos B＝0 C．sin 2A－sin B＝0 D．sin 2A＋sin B＝02．若ln2=2a，ln33b=，ln5=5c，则( )．A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c3．若x，y∈R，且2x2＋y2＝6，则x2＋y2＋2x的最大值是( )．A．4 B．5 C．6 D．74．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，152f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是__________．5．若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________.6．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0.7．设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：221125+2a ba b⎛⎫⎛⎫++≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8．已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：111111 222a b c b c c a a b++≥+++.9.已知对所有实数x，不等式2222222121log+2log+log<014a a ax xa a a(-)(-)-恒成立，求a的取值范围．参考答案1．A 由已知得sin 1sin =cos 2sin cos A B A A cosA B-⋅， ∴22sin 1=tan 2sin cos A B A A-，∴cos 2=tan sin 2A B A -，即－cot 2A ＝tan B ，∴tan 2=tan 2A B π⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴2=2A B ππ+-，∴ 2=2A B π-，∴2=2A B π-. ∵cos 2=sin 22A A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴sin 2A ＝cos B ， ∴sin 2A －cos B ＝0. 2． C ln 2ln 33ln 22ln 31===(ln 8ln 9)<02366a b ----，所以a ＜b . 同理，可得c ＜a ，因而c ＜a ＜b .3．D 由2222=62,[=2y x x t x y x⎧-∈⎪⎨++⎪⎩ 得t ＝x 2＋6－2x 2＋2x＝－x 2＋2x ＋6＝－(x －1)2＋7.∵1[∈，∴当x ＝1时，t 有最大值7.4．1(4)>(1)>52f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭由函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，可知x ＝2为函数对称轴，且y ＝f (x )在(2，＋∞)为减函数．5．12- 观察已知条件中有三个角α，β，γ，而所求结论中只有两个角α，β，所以我们只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin 2γ＋cos 2γ＝1消去γ.由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)，cos γ＝－(cos α＋cos β)，∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ＝1，整理得出cos(α－β)的值即可．6．证明：要证ab ＋bc ＋ca ≤0，∵a ＋b ＋c ＝0，故只要证ab ＋bc ＋ca ≤(a ＋b ＋c )2，即证a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ≥0，亦即证12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]≥0，而这是显然的，∴原不等式成立．7．证明：∵2a b +≤22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.∴2222111112111252=.2222a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+ +++++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+++≥≥≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ ∴2211252a b a b ⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 8．证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴1111222a b a b⎛⎫+≥≥ ⎪+⎝⎭，1111222b c b c⎛⎫+≥≥ ⎪+⎝⎭，1111222c a c a⎛⎫+≥≥ ⎪+⎝⎭. 三个不等式相加即得111111222a b c b c c a a b++≥+++++. 9. 解：令2222222121=[log ]2log 14a a a y x log x a a a (-)(-)⎛⎫++ ⎪-⎝⎭，要使各对数都有意义，必须满足条件2221>02>0>0111>04a a a a a a a a (-)⎧⎪⎪⎪⇒⎨--⎪⎪(-)⎪⎩，①抛物线开口向下，函数二次项系数应为负值，故必有221log <0a a(-)，② 抛物线与x 轴无交点，则判别式 2222222211=2log 4log log <014a a a a a a ⎡⎤(-)(-)⎛⎫⎡⎤- ⎪⎢⎥⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦V .③ 由①知a ＞1或a ＜0；由②有221log +log 2<0a a -，即22211log log <log 2a a -，解得0＜a ＜2.联立①与②有1＜a ＜2；再解③，先观察对数表达式中真数式的结构，令2=log 1a z a -，则可转化为关于z 的二次不等式(1＋z )2－(1－z )·2(－1－z )＜0，整理得－(z ＋1)(z －3)＜0. 解得z ＞3或z ＜－1，即有22log >log 81a a -或221log <log 12a a -. ∴8<7a 或a ＜－1. 联立①②③得出a 的取值范围为81<<7a .。

《成才之路》2015-2016学年高中数学北师大版选修1-2同步练习第1章§1回归分析第1课时

第一章§1第1课时1.下列两个变量之间是相关关系的是()A．匀速直线运动的距程与时间B．球的体积与半径C．角度与它的正弦值D．一个考生的数学成绩与物理成绩[答案] D[解析]相关关系不是确定的函数关系，这里A、B、C都是确定的函数关系．2．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是()A．角度和它的余弦值B．正方形的边长与面积C．正n边形的边数和它的所有内角之和D．人的年龄和身高[答案] D[解析]是否为函数关系主要取决于任给一个自变量的值是否有唯一确定的因变量的值与其对应，据此，A、B、C中都存在一个确定的函数关系，只有人的年龄与身高之间不存在函数关系．3．工人工资依劳动生产率变化的线性回归方程为y＝50＋80x，下列判断正确的是() A．劳动生产率为1时，工资为80B．劳动生产率提高1时，工资提高80C．劳动生产率提高1时，工资提高130D．当月工资为250时，劳动生产率为2[答案] B[解析]利用线性回归方程的意义来解．回归直线斜率为80，所以x每增加1，y增加80，即劳动生产率提高1时，工资提高80.根据线性回归方程，相应于x＝1的估计值y＝130，故A错，应选B．4．(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是()A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关[答案] C[解析] 因为变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，其中－0.1<0，所以x 与y 成负相关；又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ＝ky ＋b (k >0)，则将y ＝－0.1x ＋1代入即可得到：z ＝k (－0.1x ＋1)＋b ＝－0.1kx ＋(k ＋b )，所以－0.1k <0，所以x 与z 负相关，综上可知，应选C ．5．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有( )A ．a 与r 符号相同B ．a 与r 符号相反C ．b 与r 符号相同D ．b 与r 符号相反[答案] C[解析] 根据b 与r 的计算公式可知，b 与r 符号相同． 6．对于相关关系r ，下列说法正确的是( ) A ．|r |越大，相关程度越小 B ．|r |越小，相关程度越大C ．|r |越大，相关程度越小，|r |越小，相关程度越大D ．|r |≤1且|r |越接近于1，相关程度越大，|r |越接近于0，相关程度越小 [答案] D[解析] |r |≤1，当|r |越接近于1，误差越小，变量之间的线性相关程度越高；|r |越接近于0，误差越大，变量之间的线性相关程度越低，故选D .二、填空题7．回归分析是处理变量之间________关系的一种数量统计方法． [答案] 相关[解析] 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数量统计方法． 8．已知x 、y 的取值如下表：若x 、y 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为________. [答案] 2.6[解析] 由已知得x －＝2，y －＝4.5，而回归方程过点(x －，y －)，则4.5＝0.95×2＋a ， ∴a ＝2.6. 三、解答题9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． [答案] (1)散点图略 (2)y ^＝0.5x ＋0.4 (3)5.9万元 [解析] (1)依题意，画出散点图如图所示，(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.则b ^＝∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝15(x i －x －)2＝1020＝0.5，a ^＝y －－b ^x －＝0.4， ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. (3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年销售金额为5.9万元．10．某研究所研究耕种深度x (单位：cm)与水稻产量y (单位：t)的关系，所得的数据如下表：试求每公顷水稻产量和耕种深度的线性相关系数与线性回归方程． [答案] 相关系数0.995 回归直线方程y ^＝1.21＋0.59x [解析] 将数据列成下表：由此可得x ＝786＝13，y ＝53.36≈8.9.进而可求得相关系数r ≈0.995，所以认为每公顷水稻产量y 和耕种深度x 有较强的线性相关程度．由计算公式得b ^＝0.59，a ^＝y －b x ≈1.21，故y 对x 的线性回归方程为y ^＝1.21＋0.59x .11.对于回归分析，下列说法错误的是( )A ．在回归分析中，变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．回归分析中，如果r ＝±1，说明x 与y 之间完全线性相关D ．样本相关系数r ∈(－1,1) [答案] D[解析] ∵相关系数|r |≤1，∴D 错．12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] 此题必须明确回归直线方程过定点(x ，y )．易求得x ＝3.5，y ＝42，则将(3.5,42)代入y ^＝b ^x ＋a ^中得：42＝9.4×3.5＋a ^，即a ^＝9.1，则y ＝9.4x ＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．13．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题考查线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．14．假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x ，y )：A ．y ＝1.218 2x ＋14.192B ．y ＝1.218 2＋14.192xC ．y ＝1.218 2－14.192xD ．y ＝1.218 2x －14.192[答案] D[解析] 由表中数据可得x ＝71，y ＝72.3，因为回归直线一定经过点(x ，y )，经验证只有D 满足条件．二、填空题15．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表：那么变量y 关于x [答案] y ^＝0.575x －14.9[解析] 根据公式计算可得b ^＝0.575，a ^＝－14.9，所以回归直线方程是y ^＝0.575x －14.9.16．某市居民2010～2014年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)的统计资料如下表所示：出有__________线性相关关系．[答案] 13 正[解析] 中位数的定义的考查，奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数，而偶数个时须取中间两数的平均数．，r ≈0.97，正相关．三、解答题17．某5名学生的数学成绩和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)如果x 、y 呈线性相关关系，求y 对x 的线性回归方程． [答案] (1)散点图略 (2)y ^,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x . [解析] (1)散点图如图：(2)x ＝73.2，y＝67.8，∑i ＝15x 2i ＝27 174，∑i ＝15y 2i ＝23 167，∑i ＝15x i y i ＝25 054，∴b ^,\s\up6(^))＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625，a ^＝y －－b ^x －＝22.05，所求回归方程为y ^,\s\up6(^))＝22.05＋0.625x .18．(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t2，a ^＝y －b ^t .[解析] (1)列表计算如下这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l nt ＝∑i ＝1nt i －n t2＝55－5×32＝10，l ny ＝∑i ＝1nt i y i－n t y ＝120－5×3×7.2＝12.从而b ^＝l ny l nt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．。

学北师大版高中数学选修同步配套：. 综合法与分析法..2

【例 3】已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数 f(x+1)与 f(x)的图像
关于 y 轴对称.求证: +
分析:要证明 +
1
2
1
2
为偶函数.
1
2
为偶函数,只需证明 +
的图像的对称轴为y 轴,或证明 +
1
2
= - +
1
2
.
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题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理 D典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型四
反思证明问题比较好的方法是用分析法去思考,寻找证明途径,用
综合法进行书写;或者综合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需
知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,逐步缩小条件与结论
之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.
目标导航
HISHISHULI
IANLITOUXI
题型四
解:不都成立.
设 μ=x +c,则 μ≥c,
2
2 +1+
2 +
=
+1
,

2 + 1 +
1+ +1 1+
故
−
=
−

2 +
( + 1)- ( + 1) ( -1)( - )
=
=
.

要使不等式
即
2 +1+
1
1
∴μ≥ , 也就是x2+c≥ ,

成才之路高中数学人教B选修同步练习第章第课时综合法与分析法

第二章 2.2 第1课时一、选择题1．分析法证明问题是从所证命题的结论出发，寻求使这个结论成立的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既非充分条件又非必要条件 [答案] A[解析] 分析法证明是从所证命题的结论出发，寻求使结论成立的充分条件． 2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．归纳法[答案] B[解析] 要证明3＋7<25最合理的方法是分析法． 3．a >0，b >0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．a ＋b ＋1ab≥2 2 B ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 C.a 2＋b 2ab ≥a ＋bD.2ab a ＋b ≥ab [答案] D[解析] ∵a >0，b >0，∴2aba ＋b ≤ab .4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－(a －12)2≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2 ≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，只有当b a >0时，才有b a ＋ab≥2，∴应选C.5．若a 、b ∈R ，则1a 3>1b 3成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．b >aC ．a 1b 3，但1a 3>1b3⇒/a 1b3的一个充分不必要条件．6．若x 、y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 [答案] B[解析] 由y 2＝6x －2x 2≥0得0≤x ≤3，从而x 2＋y 2＋2x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝3时，最大值为15.二、填空题7．已知a 、b 是互不相等的正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b 与4的大小关系是________．[答案] 1a ＋1b>4[解析] ∵a 、b 是互不相等的正数，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b>4. 8．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3一定是________(形状)三角形．[答案] 等边[解析] 由OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，∴△P 1P 2P 3是等边三角形．三、解答题9．用分析法、综合法证明：若a >0，b >0，a ≠b ，则a ＋b2>ab .[证明] (1)分析法为了证明a ＋b2>ab 成立，需证明下面不等式成立：a ＋b >2ab由于a >0，b >0，即要证(a ＋b )2>4ab 成立．展开这个不等式左边，即得a 2＋2ab ＋b 2>4ab 即证a 2－2ab ＋b 2>0成立．即证(a －b )2>0成立，以上证明过程步步可逆， ∵a ≠b ，∴(a －b )2>0成立．故a ＋b2>ab 成立．(2)综合法由a >0，b >0，且a ≠b 知a >0，b >0，且a ≠b ∴(a －b )2>0⇒a ＋b >2ab ⇒a ＋b 2>ab .一、选择题1．设a 与b 为正数，并且满足a ＋b ＝1，a 2＋b 2≥k ，则k 的最大值为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1[答案] C[解析] ∵a 2＋b 2≥12(a ＋b )2＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)，∴k max ＝12.2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A [答案] A[解析] ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝(12)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2aba ＋b)． 3．已知a >0，b >0，1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14[答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋3a b ＋2b a. 又∵a >0，b >0，∴由均值不等式可得：a ＋2b ＝7＋3a b ＋2ba ≥7＋23a b ·2ba＝7＋2 6.当且仅当3a b ＝2b a 且1a ＋3b ＝1，即3a 2＝2b 2且1a ＋3b＝1时等号成立，故选A.4．已知f (x )＝a x＋1,0<a <1，若x 1、x 2∈R ，且x 1≠x 2，则( )A.f (x 1)＋f (x 2)2≤f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 B.f (x 1)＋f (x 2)2＝f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 C.f (x 1)＋f (x 2)2≥f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 D.f (x 1)＋f (x 2)2>f⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22 [答案] D[解析] ∵f (x 1)＋f (x 2)2＝ax 1＋1＋ax 2＋12>ax 1＋1ax 2＋1＝a x 1＋x 22＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22， ∴f (x 1)＋f (x 2)2>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，∴选D. 二、填空题5．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________．[答案] 1[解析] ∵f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1(x ∈R )是奇函数则f (－x )＋f (x )＝a (2－x ＋1)－22－x ＋1＋a (2x ＋1)－22x ＋1＝0∴a ＝1. 6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． [答案] p >q [解析] ∵p ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2≥4(当且仅当a ＝3时取“＝”)，q ＝2－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＋2<4.∴p >q .三、解答题7．设a 、b 、c 三个数成等比数列，而x 、y 分别为a 、b 和b 、c 的等差中项，求证a x ＋cy ＝2.[证明] 已知a 、b 、c 成等比数列，即a b ＝b c .由比例性质有a a ＋b ＝bb ＋c .又由题设x ＝a ＋b 2，y ＝b ＋c 2，有a x ＋c y ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝2b b ＋c ＋2c b ＋c ＝2(b ＋c )b ＋c＝2，故等式成立．8．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，∴AB 綊CD . 又∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴CF 綊AE .∴四边形AECF 为平行四边形． ∴AF ∥EC .又AF ⊄平面PEC ，EC ⊆平面PEC ， ∴AF ∥平面PEC .9．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B .[证明] ∵a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(b 2＋bc )2bc ＝c 2－bc 2bc ＝c －b2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝b 2＋bc ＋c 2－b 22ac ＝b ＋c 2a ，∴cos 2B ＝2cos 2B －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝(b ＋c )22a 2－1＝(b ＋c )22b (b ＋c )－1＝b ＋c 2b －1＝c －b2b ，∴cos A ＝cos 2B .又∵A 、B 均为三角形的内角，∴A ＝2B .。