3 土中应力计算
土力学：第三章土中应力计算
附加应力的分布规律
平面分布规律
附加应力在平面上的分布呈扩散状，随着深度的 增加而减小。
深度分布规律
在一定深度范围内，附加应力随深度的增加而增 大，达到一定深度后基本保持稳定。
方向分布规律
附加应力在不同方向上的分布不同，与外部荷载 的方向和土体的性质有关。
附加应力的影响因素
01
外部荷载
外部荷载的大小、分布和作用方 式直接影响附加应力的分布和大 小。
在水平方向上，自重应力 表现为均匀分布。
侧向应力
在土体边缘，自重应力表 现为侧向应力，对土体的 稳定性产生影响。
自重应力的影响因素
土的密度
土的密度越大，自重应力越大。
重力加速度
重力加速度越大，自重应力越大。
土体的几何形状和尺寸
土体的几何形状和尺寸对自重应力的分布和大小有显著影响。
04 土中附加应力计算
02
03
土体的性质
边界条件
土体的容重、压缩性、内摩擦角、 粘聚力等性质对附加应力的影响 较大。
土体的边界条件，如固定边界、 自由边界等，对附加应力的分布 和大小也有影响。
05 土中有效应力计算
CHAPTER
有效应力的概念与计算方法
有效应力的概念
有效应力是指土壤颗粒之间的法向应 力，是土壤保持其结构稳定和防止剪 切破坏的主要因素。
土中应力计算的重要性
01
02
03
工程安全
准确的土中应力计算是确 保工程安全的前提，能够 预测可能出现的危险和制 定应对措施。
设计优化
通过土中应力计算，可以 优化设计方案，提高工程 结构的稳定性和经济性。
科学研究
土中应力计算有助于深入 研究土力学性质和规律， 推动土力学学科的发展。
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
土力学-第三章-土中应力计算详解
基本假定
地基土是各向同性、均质、半无限空间弹性体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基：均质各向同性线性变形半空间体
应用弹性力学关于弹性半空间的理论解答
1.均质土竖向自重应力
若将地基视为均质半无限空间弹性体，土体在自重作用下只能产 生竖向变形，而无侧向位移及剪切变形存在，因此在深度z处平面上， 土体因自身重力产生的竖向应力等于单位面积上土柱体的重力。
3.水平向自重应力
天然地面
地基土在重力作用下，除承受 作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向自重应 力。由于土柱体在重力作用下无侧 向变形和剪切变形，因此可以证明 侧向自重应力与竖向自重应力成正 比，剪应力均为零。
cz z
cx cy K0 cz
cz
z
cx
cy
侧压力系数或静止 土压力系数
4 地下水位升降对自重应力的影响
自重应力分布曲线的变化规律
土的自重应力分布曲线是一条折线，拐点在土 层交界处和地下水位处。
同一层土的自重应力按直线变化。
自重应力随深度的增加而增大。
【例题3-1 】计算自重应力，并绘分布图。
4. 例题分析 【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算并绘制 自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
均质地基
1 (
1
2)
2 2
成层地基
3.2 基底压力与基底附加应力
上部结构
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
土力学3.土中应力计算
cz
z
cy
cz cx
cz z
1 1
z
σcz= z
二、成层土的自重应力计算
n
cz 1h1 2h2 nhn ihi i 1
天然地面
说明：
h1 1
1 h1
1.地下水位以上土层 采用天然重度，地下
h2 2 水位面
1 h1 + 2h2
水位以下土层采用浮 重度
2.非均质土中自重应
度，基础上作用荷载的性质（中心、偏心、倾斜等）及大小、 地基土性质
一、中心荷载作用下的基底压力
若是条形基础， F,G取单位长度 基底面积计算
取室内外平 均埋深计算
G= GAd
p F G A
二、偏心荷载作用下的基底压力
F+G
作用于基础底面 形心上的力矩
M=(F+G)∙e
e e b
l
pmax
pmax F G M
pm in
AW
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmin pmax F G 1 6e
pm in
bl l
讨论：
pmax F G 1 6e
pm in
bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
§3.1 土中自重应力计算
▪ 自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
3 土中应力计算
28
3.4 地基附加应力
• 地基附加应力----指建筑物荷重在土体中引起的附加 于原有应力之上的应力。它是使地基发生变形，引起 建筑物沉降的主要原因。 • 地基附加应力计算的假定 (1)土是均质，各向同性 (2)直采用弹性力学理论解答。 (3)基底压力不考虑基础刚度影响。
• 叠加原理 当地基表面同时作用有几个力时，可分别计算每 一个力在地基中引起的附加应力，然后每一个力 在地基中引起的附加应力累加求出附加应力的总 和。
38
39
（2）
40
（3）
二、矩形荷载荷载下的地基附加应力
设矩形荷载面的长度和宽度分别为l和b 作用于地基上的竖向均布荷载 p0(kPa)， 求矩形荷载面角点下的地基附加应力，然后运用角点法求得 矩形荷载下任意点的地基附加应力
（一）、均布的矩形荷载
42
式中Kc为均布矩形荷载角点下的竖向附加应力系 数，简称角点应力系数，可按m及n值由表查得。
五、土中的应力状态。
土内一点的应力状态是指土内一点各个方向上应力
的大小。
土中的应力状态可用一个正六面单元体上的应力来表 示，作用在单元体上的3个法向应力分量为x、 y 、 z ， 6个切应力分量为:
τxy=τyx
τyz=τzy
τxz=τzx
8
3.2
土中的自重应力计算
一、均匀地基
1、竖直向自重应力(kN/m2)
10
• (1)土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所 以在地基应力计算时考虑的是土中单位面积上的 平均应力。 • (2)假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应 力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只 能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。 地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 (3)土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。 为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力 ，简 称为自重应力，并改用符号 表示。
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
《土力学》第三章土体应力计算
x
z
0
y x z
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x, z)
ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij=
x 0xy xz 0yx yy 0yz
zx 0zy z
§3 土体中的应力计算 §3.1 应力状态及应力应变关系
§3 土体中的应力计算
§3.1 应力状态及应力应变关系 §3.2 自重应力 §3.3 附加应力 §3.4 基底压力计算 §3.5 有效应力原理
§3 土体中的应力计算
z
§3.1 应力状态及应力应变关系
一. 土力学中应力符号的规定
zx
∞
地基：半无限空间
o
y z
∞
xy
x
y yz
∞
x
ij=
x xy xz yx y yz
▪应变条件
▪应力条件
z
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
zx
▪独立变量：x y , z ; x y , z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
ij=
x 0xy 0xz 0yx yy 0yz
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面
A
B
sA sB
▪应变条件
y x 0; xy yz zx 0
第三章-土体中的应力计算
3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
cy
假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：
cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。
若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B
土中应力计算
3 土中应力计算学习目的和要求通过本章的学习，深刻理解自重应力和附加应力的概念，掌握附加应力在水平和竖向的分布规律，熟练掌握自重应力、基底压力的计算，掌握基底集中荷载、均布矩形载荷、三角形荷载作用下竖向附加应力的计算。
考核知识点✧土的自重应力概念与计算✧基底压力的概念与计算✧地基附加应力概念与计算考核要求✧土的自重应力概念与计算识记：土的自重应力概念。
简单应用：地下水位升降及填土对土中自重应力影响。
综合应用：轴心和单向偏心荷载作用下基底压力的计算。
✧基底压力的概念和计算识记：基底压力的概念。
简单应用：基底压力的计算。
综合应用：轴心和单向偏心荷载作用下基底压力的计算。
✧地基附加应力概念与计算识记：地基附加应力的概念。
领会：地基附加应力的分布规律（应力扩散和应力叠加）；地基主要受力层的概念。
综合应用：基底集中荷载、均布矩形载荷、三角形荷载作用下竖向附加应力的计算。
（查表确定竖向附加应力系数）。
3.1 土中自重应力地基中的应力分：自重应力——地基中的自重应力是指由土体本身的有效重力产生的应力。
附加应力——由建筑物荷载在地基土体中产生的应力，在附加应力的作用下，地基土将产生压缩变形，引起基础沉降。
计算土中应力时所用的假定条件：假定地基土为连续、匀质、各向同性的半无限弹性体、按弹性理论计算。
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。
由于沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。
3.1.1均质土的自重应力a 、假定：在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个无限大的水平面，因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。
可取作用于该水平面上任一单位面积的土柱体自重计算。
b 、均质土层Z 深度处单位面积上的自重应力为：应力图形为直线形。
z cz γσ=σcz 随深度成正比例增加；沿水平面则为均匀分布。
必须指出，只有通过土粒接 触点传递的粒间应力，才能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变形，而且粒间应力又是影响土体强度的—个重要因素，所以粒间应力又称为有效应力。
土力学 第三章 土体中的应力计算
第五章土体中的应力计算第一节概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
第3章 土中应力计算
表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。
土中应力计算
基底压力旳简化计算
1. 中心荷载下旳基底压力
F G p
A A l b
2．偏心荷载下旳基底压力
三角形形心点 三角形形心点
pk max Fk Gk M k
pk min
lb
W
M k (Fk Gk )e
W bl 2 6
pk max Fk Gk (1 6e )
pk min
lb
l
e Mk Fk Gk
d z
3
2
b(x 2
p0 xz 3 y 2 z 2)5/2
dxdy
z1 t1 p0
z2 t2 p0 (c t1) p0
t1
mn 2
[
1
m2 n2 (1 n2 )
n2 ]
m2 n2 1
3. 均布旳圆形荷载
z
d z
A
3 p0 z 3
2
2
0
r0 rddr
0 (r 2 z 2 )5 / 2
z
p0 [arctan 1 2n
2m
arctan
1
2n 2m
4m(4n2 4m2 1) (4n2 4m2 1)2 16m
2
]
sz
p0
均布条形荷载下地基中附加应力旳分布规律：
(1) 地基附加应力旳扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，伴随距离中轴线愈远愈小； (3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向旳任意点，随深度愈
e>L/6, 应力重新分布
pk max
2(Fk Gk ) 3bk
k l e 2
3.2.4 基底附加压力
p0 p ch p 0h
土体中的应力计算
土体中的应力计算1.格令法格令法是土力学中常用的一种计算土体中应力的方法，它基于土体中的格令应力体系。
格令应力体系是指土体中各个方向上的应力分量。
常见的格令应力体系包括水平应力(σ_h)，垂直应力(σ_v)和剪应力(τ)。
格令法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定水平应力(σ_h)：水平应力是以土体排列方向为基准的应力分量，通过土体中的外加荷载和支持条件来计算。
常见的计算方法有：a.一维法：当土体受到轴对称荷载时，可以使用一维法计算水平应力。
其中σ_h=P/A，其中P为荷载大小，A为土体的横截面积。
b.二维法：当土体受到平面荷载时，可以使用二维法计算水平应力。
其中σ_h=P/A，P为荷载大小，A为土体的接触面积。
c.三维法：当土体受到体力荷载时，可以使用三维法计算水平应力。
其中σ_h=F/A，F为荷载大小，A为土体的接触面积。
(2)确定垂直应力(σ_v)：垂直应力是指土体中垂直于排列方向的应力分量。
垂直应力的计算方法如下：a.压力传递原理：假设土体为均质、无阻性及无滑动的情况下，垂直应力可通过压力传递原理计算。
垂直应力由上层土体通过土粒间的压缩传递给下层土体，下层土体又继续传递给更下层土体，以此类推。
b.常用公式：经验公式计算垂直应力可使用τ=kσ_v，其中k为土体的地层系数，可以根据实际情况选择合适的数值。
(3)确定剪应力(τ)：剪应力是土体中沿一定面域内的剪力分量。
剪应力的计算方法如下：a.剪切试验：通过进行剪切试验，可以直接测得土体中的剪应力。
b.运动原理：当土体处于平衡状态时，土粒间的剪应力满足平衡条件。
可以根据平衡条件求解土体中剪应力的大小和方向。
2.应变法应变法是另一种常用的计算土体中应力的方法，它基于土体中的应变体系。
应变是指在外力作用下，土体中产生的形变量。
常见的应变体系包括线性应变和体积应变。
应变法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定线性应变(ε)：线性应变是土体中只考虑线性部分的应变。
3土中的应力计算
σcx＝K0 σcz = K0 γ z
第三章 土中应力计算 3.2 土的自重应力
二、成层土中自重应力
土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力，计算时， 土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力，计算时，对地下 有效自重应力 水位以下土层必须以有效重度 代替天然重度 为简便起见， 天然重度。 水位以下土层必须以有效重度γ ' 代替天然重度。为简便起见，常把竖 简称为自重应力， 表示。 向有效自重应力σcz简称为自重应力，并以符号σc表示。 若地基是由多层土所组成， 若地基是由多层土所组成，设各层的厚度为h1、h2、…hi、…hn，则地 基中第n层底面处的竖向土自重应力： 基中第n层底面处的竖向土自重应力：
σ（kPa） （ ）
σcz＝γ z
z
地基中的初始应力，即地基中任一点的自重应力 自重应力， 地基中的初始应力，即地基中任一点的自重应力，只需用竖向应力和 水平向应力表示。 水平向应力表示。天然地面下任意深度z处水平面上的竖向自重应力为
σcz＝γ z
竖直面上的水平向自重应力为 为静止侧压力系数。 K0 为静止侧压力系数。
土中应力计算 第三章 土中应力计算
3.1 概述
要保证建筑物的安全和正常使用必须控制其沉降量和 要保证建筑物的安全和正常使用必须控制其沉降量和不均匀沉降差值 沉降量 差异沉降量）不超过一定范围，对软粘土地基上的建筑物尤为重要。 （差异沉降量）不超过一定范围，对软粘土地基上的建筑物尤为重要。沉降 分析是土力学的基本课题之一。 分析是土力学的基本课题之一。 沉降量的大小主要取决于土体产生变形的原因 土体本身的性状两个方 土体产生变形的原因和 沉降量的大小主要取决于土体产生变形的原因和土体本身的性状两个方 面。 土体产生变形的原因主要是土体中应力状态的改变 应力状态的改变（ 土体产生变形的原因主要是土体中应力状态的改变（如地面荷载引起地 基中应力场的改变，在地基中产生附加应力）。 基中应力场的改变，在地基中产生附加应力）。 土体本身的性状主要指土的压缩性 土的压缩性（ 应力－应变关系）， ），是指土体在 土体本身的性状主要指土的压缩性（或应力－应变关系），是指土体在 附加应力作用下产生的效应。 附加应力作用下产生的效应。
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A
1m
2m
1m
1m
200kPa o
2m
B基础引起 的附加应力
习题：
某柱下方形基础边长为4m，基底压力 为300kPa，基础埋深为1.5m，地基土重度 为18kN/m3，试求基底中心点下4m深处的竖 向附加应力。
（2）矩形面积上作用三角形分布荷载时 dp布辛涅斯克解 积 分
z1 t1 p0
z1 t1 p0
z 2 t 2 p0
矩 形 基 础角 点 下 的 竖 向 附加 应 力 系数，均为m,n 的函数
（3）条形基础地基中的附加应力计算
基础底面长宽 比l / b→∞ 理想 情况 条形基础 实际 情况 基础底面长宽 比l / b≥10
pdy布辛涅斯克解
线积分
z
置及基底附加压力分布 见右图，若考虑相邻荷 载的影响，试求A基础 底面中心点O下2m处的 竖向附加应力。
分析:O点的附加应力应该是两个基础共同产生的附加应
力之和，根据叠加原理可以分别进行计算。
2m
A基础引起的附加 应力
3m
B 300kPa
zA 4 c p0
zB ( c1 c 2 c 3 c 4 ) p0
p0 p cd
习题：
某场地地表0.5m为新填土，重度为16kN/m3，
填土下为黏土，重度为18.5kN/m3，含水率为 20%，相对密度2.71，地下水位在地表下1m。现 设计一柱下独立基础，已知基底面积为5m2 ，埋 深为1.2m，上部结构传给基础的轴心荷载为
1000kN。试计算基底附加压力。
3.2
基底压力
基底压力：建筑物上部结构荷载和基础自 重通
过基础传递给地基，作用于基础底面传至地基 的单位面积压力。
F
基底压力的影响因素
•大小 •方向 •分布
荷载条 件 基底压力 地基条件 •土类 •密度 •土层结构等 •刚度 •形状 •大小 •埋深
基础条件
3.2.1
基底压力分布
基础抗弯刚度EI=0 → M=0； 基础变形能完全适应地基表面的变形; 基础接触压力分布与其上部荷载分布情况相同。
基底压力的简化计算
根据圣维南原理，在基础底面下一定深度所引 起的地基附加应力与基底荷载分布形态无关， 而只与其合力的大小和作用点位置有关。
基础尺寸较小 荷载不是很大
简化计算方法：假定基底压力按直线分布的材料力学方法
3.2.2
基底压力的简化计算
1、中心荷载
F G p A
中心荷载下基底压力分布
2、偏心荷载作用
2 pz 3
x 2 z 2
2
均布条形荷载情 况 b/2 b/2 x z
x sx p0 xz sxz p0
sz , sx 条 形 基 底 竖 向
附加应力系数, 均为m ,n 的 函 数 ， 其 中 m= x/b， n=z/b，可查表得到
z p0
其中 称为附加应力系数。
（1）矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力计算
z c p
矩 形基础 角点 下的 竖向附加应力系数
3z 3 z 2
d 0 d 0 [( x )2 ( y )2 z2 ]5/ 2
l b
c f (m, n)
刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0；不出现挠曲变形。 分布: 中间小, 两端无穷大； 反证法: 假设基底压力与荷载分布相同，则地基变形与柔性 基础情况必然一致；
— 荷载较小 — 荷载较大 砂性土地基 粘性土地基
— — — —
接近弹性解 马鞍型 抛物线型 倒钟型
3.2.2
基底压 力的分布 形式十分 复杂，主 要马鞍形
例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，
试计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图。
57.0kPa
80.1kPa 103.1kPa 150.1kPa 194.1kPa
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
折线图遇地下水时折线往回收；遇不透水层时有一突跃值。
3
土中应力计算
主讲人：陈林靖 福州大学土木工程学院 岩土工程研究所
3
土中应力计算
研究建筑物的变形、强度及稳定性等
力学问题时，都必须先掌握土中应力状态。 所以计算土中应力分布是土力学的重要内 容。
本章知识点:
土的自重应力计算、土的附加应力计
算、基底压力及基底附加压力计算、有效 应力原理。 难点:土的附加应力计算、基底压力及 基底附加压力计算。
III
o
I
IV o
II
z (Ⅰ-Ⅱ- Ⅲ +Ⅳ ) p
（1）矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力计算
注意：
角点M位于所划分的每一个矩形的公共角点；
划分矩形的总面积应等于所有的受荷面积；
查表时，所有分块矩形都是长边为l，短边为b。
【例题】有两相邻基础
A和B，其尺寸、相对位
F+G
e e b l pmax pmin
作用于基础底面 形心上的力矩 M=(F+G)∙e
pmax pmin
F G M A W
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
讨论：
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
3.1
土的自重应力
假设条件：地基土为均匀的，各向同性的半无 限空间体。
∞
o
∞
x y z
∞
1、竖直自重应力 cz
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位
面积上土柱的有效重量。
天然地面
cz
cz z
cz
σcz= z
z
cx
cy
1 1
z
2、水平向自重应力
天然地面
cz z
[(x )2 ( y )
A
p( x, y )dd
2
z 2 ]5 / 2
分布不均匀力作用的叠加
工程上为了应用方便，常采用“无量纲化”处 理。即以l/b，z/b（z/r0）编制一些表格，应用时， 可直接根据l/b，z/b（z/r0）查表即可得出 ，再 以下式求得附加应力 z ，即
附加应力分布规律
附加应力分布规律
附加应力分布规律
P 0.1P 0.05P 0.02P 0.01P 应 力 球
附加应力分布规律：
在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加，σz逐渐减小 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐 减小 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无 限传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应 力扩散）
基底压力重分布
pmin=0
3、基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l pmax 3 e b 2 2
F G
pmax
2 F G l 3 e b 2
3.2.3
基底附加压力
一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重作 用下的变形早已结束。因此，只有基底附加压力才 能引起地基的附加应力和变形。 基底附加压力是基础底面处地基土在初始应力 基础上增加的压力。该处的初始应力为基础底面处 土的自重应力σcd，现有压力为基底压力P，所以基 底附加压力P0等于基底压力P与自重应力σcd的差， 即：
分布规律
自重应力分布线的斜率是重度； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
均质地基
1 (
1
2)
2
2
成层地基
尚须注意：
一般土层形成地质年代较长，在自重作用
下变形早已稳定，故自重应力不再引起建筑物 基础沉降，但对于近期沉积或堆积的土层以及 地下水位升降等情况，沿应考虑自重应力作用 下的变形，这是因为地下水位的变动，引起土
sat w
水的浮力
1 h1 + 2h2 + 3h3
成层土的自重应力计算
两种特殊情况：
1） 当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在 不透水层面 饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时 应采用饱和重度。 2） 在地下水位以下，若埋藏有不透水层，由于 不透水层中不存在水的浮力，故层面及层面以下 的自重应力按上覆土层的水土总重计算。
z
cx cy K 0 cz
cz
cx
cy
静止侧压力系数
成层土的自重应力计算
天然地面
h1
cz 1h1 2 h2 n hn i hi
i 1
n
1
2
说明：
1 h1
h2
水位面
1 h 1 + 2 h 2
h3
3
地下水位以 上土层采用天然 重度，地下水位 水的重量 以下土层采用浮 土的重量 重度。
土中应力计算的目的
建筑物修建之后，土中应 力增量将引起土的变形，从而 使建筑物发生下沉、倾斜及水 平位移等。 确保建筑后下沉等 在允许的范围内 修建前后应力 状态的变化
土体的变形问题
解决几个问题:
土的自重应力与附加应力的概念、计算方法及
其分布规律；
基础底面压力的简化计算；
矩形和条形均布荷载作用下角点附加应力的计 算及其分布规律。
数值的代数和。
F1 F2 z 两个集中力作 用下σz的叠加