2019年高中数学湘教版选修1-2讲义+精练：第7章章末小结含解析

1．虚数单位i
(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋
3＝－i(n ∈N ＋)，则有i n ＋i n ＋
1＋i n ＋
2＋i n
＋3
＝0(n ∈N ＋)． 2．复数的分类
复数a ＋b i ，(a ，b ∈R)⎩⎨⎧
实数(b ＝0)
虚数(b ≠0)⎩
⎪⎨
⎪⎧
纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)
3．共轭复数
设复数z 的共轭复数为z ，则 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；
(2)z 为实数⇔z ＝z ；z 为纯虚数⇔z ＝－z . 4．复数相等的条件
复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0(a ，b ∈R)．
5．复数的运算
(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．
(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．
复数的概念
[例1] 复数z ＝log 3(x 22 (1)z ∈R ？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？
[解] (1)∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ② 由②得x ＝4，经验证满足①式． ∴当x ＝4时，z ∈R.
(2)∵一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
－3x －3>0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x >3＋212或x <3－212，
x >3且x ≠4，
即
3＋21
2
<x <4或x >4. ∴当3＋212<x <4或x >4时，z 为虚数．
(3)∵一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0， ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
log 3(x 2
－3x －3)＝0，log 2(x －3)≠0，x －3>0.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1或x ＝4，x >3且x ≠4.无解．
∴复数z 不可能是纯虚数．
解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域．
1．若复数z ＝
a ＋2i
1＋i
＋(2－i)为纯虚数，求实数a . 解：∵z ＝a ＋2i 1＋i ＋(2－i)＝(a ＋2i )(1－i )
2＋(2－i)
＝(a ＋2)＋(2－a )i
2＋(2－i)
＝a ＋62－a
2i 为纯虚数， ∴
a ＋6
2
＝0，即a ＝－6.
2．已知z ＝
x －i 1－i
(x >0)，且复数ω＝z (z ＋i)的实部减去它的虚部所得的差等于－3
2，求ω·ω.
解：ω＝z (z ＋i)＝x －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －i 1－i ＋i ＝x －i 1－i ·x ＋11－i
＝x ＋12＋x 2＋x
2i.
根据题意x ＋12－x 2＋x 2＝－3
2，得x 2－1＝3.
∵x >0，∴x ＝2. ∴ω＝3
2
＋3i.
∴ω·ω＝⎝⎛⎭⎫32＋3i ⎝⎛⎭⎫32－3i ＝454
.
复数的四则运算
[例2] 计算： (1)(2＋2i )4
(1－3i )5
； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解] (1)原式＝16(1＋i )4
(1－3i )4(1－3i )
＝16(2i )2
(－2－23i )2(1－3i ) ＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16
(1＋3i )×4
＝
－4
1＋3i
＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.
复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比分式的分子分母有理化，注意i 2＝－1.
3．计算1－i (1＋i )2＋1＋i
(1－i )2. 解：
1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )
2＝1－i 2i －1＋i 2i ＝－2i
2i ＝－1. 4．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，求z ·z ＋z . 解：∵z ＝1－2i ，∴z ＝1＋2i.
∴z ·z ＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋(1－2i)＝5＋1－2i ＝6－2i.
[例3] 设存在复数z (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)． 试求a 的取值范围．
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＝x －y i. 由(1)，知x ＜0，y ＞0. 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)， 故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ， 即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－2y ＝8，2x ＝a . 消去x ，整理，得4(y －1)2＝36－a 2， ∵y >0， ∴4(y －1)2≥0. ∴36－a 2≥0. ∴－6≤a ≤6. 又2x ＝a ，而x ＜0， ∴a ＜0. ∴－6≤a ＜0.
所以a 的取值范围为[－6,0)．
复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，桥梁是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，依据是复数相等的充要条件．
5．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i. (1)求|z |；
(2)若z 2＋az ＋b ＝z ，求实数a ，b 的值． 解：z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i. (1)|z |＝12＋12＝ 2.
(2)z 2＋az ＋b ＝(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝2i ＋a ＋a i ＋b ＝a ＋b ＋(a ＋2)i ，
∵z ＝1－i ，
∴a ＋b ＋(a ＋2)i ＝1－i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝1，a ＋2＝－1，∴a ＝－3，b ＝4.
复数的几何意义
[例4] 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的
点在第一象限，求实数a 的取值范围．
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， z 2－i ＝x ＋y i 2－i ＝15(x ＋y i)(2＋i) ＝15(2x －y )＋1
5(2y ＋x )i. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
y ＋2＝0，15
(2y ＋x )＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝－2.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2 ＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，
由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2
>0，
8(a －2)>0.
∴2<a <6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)和复平面上的点P (a ，b )一一对应，和向量OP ―→
一一对应，正确求出复数的实部和虚部是解决此类题目的关键．
6．设O 为坐标原点，已知向量OZ 1―→，OZ 2―→
分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝
21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1―→·OZ 2―→
的值．
解：z 1＝3
a ＋5－(10－a 2)i ，
则z 1＋z 2＝
3a ＋5＋21－a
＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0， ∴a 2＋2a －15＝0.
解得a ＝－5或a ＝3. 又∵a ＋5≠0， ∴a ＝3.
则z 1＝3
8＋i ，z 2＝－1＋i.
OZ 1―→＝⎝⎛⎭⎫38，1，OZ 2―→
＝(－1,1)， ∴OZ 1―→·OZ 2―→＝5
8.。