15.实数全章复习与巩固(提高)知识讲解

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人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第六章6-4《实数》章末复习(基础巩固)

第六章实数6.4 《实数》章末复习（基础巩固）【要点梳理】要点一：平方根和立方根要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥). 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题例1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（）A.2个B.3 个C.4 个D.5个【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（）A 2=±B =2=- D ．|2|2--= 【答案】C ；例210.1=＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题例3、把下列各数填入相应的集合：－1、3、π、－3.14、9、26-、22-、7.0 ．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）正实数集合｛｝；（4）负实数集合｛｝．【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】（1）有理数集合｛－1、－3.14、9、7.0 ｝；（2）无理数集合｛ 3、π、26-、22-｝；（3）正实数集合｛ 3、π、9、26-、7.0 ｝；（4）负实数集合｛－1、－3.14、22-｝．【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.举一反三：【变式】在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；例4、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-23111112743412⎛⎫--=-+=- ⎪⎝⎭ （3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫⨯-=-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.举一反三：【变式】计算(1) 333000216.0008.012726---- (2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-【答案】解：(1) 333000216.0008.012726---- ()310.20.0627=---- 29150=-(2) ()223323)3()21()4()4(2--⨯-+-⨯-()184434=-⨯+-⨯- 321336=---=-. 例5、已知：（a+6）2+=0，则2b 2﹣4b ﹣a 的值为．【答案】12．【解析】解：∵（a+6）2+=0，∴a+6=0，b 2﹣2b ﹣3=0，解得，a=﹣6，b 2﹣2b=3，可得2b 2﹣4b=6，则2b 2﹣4b ﹣a=6﹣（﹣6）=12，故答案为：12．【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．举一反三：【变式1】实数a 、b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简2a ＋∣a －b ∣＝ .【答案】解：∵a ＜0＜b , ∴a －b ＜0∴2a ＋∣a －b ∣＝－a －(a －b )＝b －2a .【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：；-1a【答案】21a a a a<<<-；类型三、实数综合应用例6、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式， 15012.247≈ （米）．由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，所以扩建后鱼池的面积为218.247≈333.0（平方米）．答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863m ，池深1.5m ，求这个水池的底边长．【答案】解：设水池的底边长为x ，由题意得2 1.5486x ⨯=2324x =18x =答：这个水池的底边长为18m .【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（） A ．数轴上任一点表示唯一的有理数 B ．数轴上任一点表示唯一的无理数 C ．两个无理数之和一定是无理数 D ．数轴上任意两点之间都有无数个点2.的算术平方根是（）A ．2B ．±2C ．D ．±3．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（） A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b4. 3387=-a ，则a 的值是（） A.87 B. 87- C. 87± D. 512343- 5. 若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是 ( ). A.21≥x B. 1≤x C.121≤≤x D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（）A.3a 中的a 可以是正数、负数或零.B.a 中的a 不可能是负数.C. 数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个. 7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（） A.0>+b a B. 0ab > C.0a b -> D.||||0a b ->8. 估算219+的值在（）A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9. 若2005的整数部分是a ，则其小数部分用a 表示为． 10．当x 时，32-x 有意义. 11. =--32)125.0( .12. 若12-x 是225的算术平方根，则x 的立方根是 . 13. 3343的平方根是 . 14.﹣64的立方根与的平方根之和是．15. 2112- ，5- 22 ， 33 216. 数轴上离原点距离是5的点表示的数是 . 三.解答题17. 一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，则a 是多少？18. 已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2的平方根．19. 已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简()2b a b a ++-20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题.大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋3＝y x +，其中x 是整数，且10<<y ,求y x -的相反数.【答案与解析】一.选择题 1. 【答案】D ；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数. 2. 【答案】C 3. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 4. 【答案】B ；【解析】33378a a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭.5. 【答案】A ；6. 【答案】C ；【解析】数a 不确定正负，负数没有平方根. 7. 【答案】C ； 8. 【答案】B ；【解析】4195<<，61927<+<. 二.填空题9. 【答案】2005a -； 10.【答案】为任意实数；【解析】任何实数都有立方根. 11.【答案】25.0-；【解析】3233(0.125)0.250.25--=-=-. 12.【答案】3；【解析】x －12＝15, x ＝27,3273=. 13.【答案】7±；【解析】 3343＝7，7的平方根是7±.14.【答案】﹣2或﹣6．【解析】∵﹣64的立方根是﹣4，=4，∵4的平方根是±2，∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6，∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6．15.【答案】＞；＜；＞；16.【答案】5【解析】数轴上离原点距离是5的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：∵一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，∴32-a 与a -5互为相反数，即32-a ＋a -5＝0，解得2a =-.18.【解析】解：∵x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x ﹣2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴x 2+y 2=62+82=100，∴x 2+y 2的平方根是±10．19.【解析】解：∵b ＜a ＜0 ∴()2b a b a ++-()||2a b a b a b a b b=-++=--+=- 20.【解析】解：∵11＜10＋3＜12∴x ＝11，y ＝10＋3－11＝31∴()3111312x y y x --=-=-=.。

15实数全章复习与巩固提高知识讲解

实数全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点------------ 对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点二、实数有理数和无理数统称为实数1.实数的分类按定义分：「有理数：有限小数或无限循环小数实数J ［无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：正「正有理数正无理数实数｛0负数；负有理数负无理数要点诠释：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.② 有特殊意义的数，如 ③ 有特定结构的数，如(3) 凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，式.(4) 实数和数轴上点是2. 实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3. 实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： (1)任何一个实数a 的绝对值是非负数，即I a | >0；(2) 任何一个实数 a 的平方是非负数，即开方、再乘除，最后算加减 .同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5. 实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点——对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2 .正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如75,近等;n ；0.1010010001 …并且无理数不能写成分数形(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即4a >o ( a 询.非负数具有以下性质： (1) 非负数有最小值零；(2) 有限个非负数之和仍是非负数；(3) 几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于4. 实数的运算：数a 的相反数是-a ；一个正实数的绝对值是它本身；数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立0.一个负实数的绝对值是它的相反.实数混合运算的运算顺序：先乘方、对应的而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法【典型例题】类型一、有关方根的问题【高清课堂：389318实数复习，例1】1、( 2015春？仙桃校级期末)一个正数的 x 的平方根是2a - 3与5 - a,求a 和x 的值. 【思路点拨】根据平方根的定义得出 2a - 3+5 - a=0,进而求出a 的值，即可得出x 的值. 【答案与解析】解：•一个正数的 x 的平方根是2a - 3与5 - a ,•- 2a - 3+5 - a=0, 解得：a=- 2,• 2a - 3= - 7,2••• x= (- 7) =49 .【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键. 举一反三： y ：= J x - 2 + J 2 — X + 3，求 y 的平方根。

中考总复习：实数--知识讲解(基础)

中考总复习：实数—知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如n m （m ，n 是整数n ≠0）”的数叫有理数．无理数：无限不循环小数叫无理数．实数：有理数和无理数统称为实数．要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0．要点诠释：若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ．5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ，若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔；或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ．4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n 所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．（3)零指数与负指数011(0)(0).p p a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n ，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简2()a b ＋=______．0a b（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ；（2）-a-b ；（3）1.02×107亩.【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：20 0 |||| 0 ()||().a b a b a b a b a b a b a b ><<∴+<+=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解．举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、()02、3.14159、-9、()27--、8中无理数有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π、8. 【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,4,(32),-,45tan ,712,51-13.0%,3 都是有理数； π8,,cos30,2-0.1010010001,都是无理数. 3．计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与解析】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【变式1】计算：计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n=n 2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005. 类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a 1（a ≠0）【答案与解析】（11740174=>+，4150415=>+，174+与415+1744150>+>， 174415-<-（2）当a<-1或O<a<1时，a<a1；当-1<a<0或a>1时，a>a1；【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小：（1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 1785840= ，1188540=， 171185<，所以171185->-. （2）()2257210740+=+=+，()232743748+=+=+，因为4048<，所以2532+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 是实数，234690x y y ++-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14. 【解析】234690x y y ++-+=，即234(3)0x y ++-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，∴340x +=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3 又∵axy-3x=y ， ∴ a=43()33134433x y xy ⨯-++==-⨯. 【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题21222312,213,214,2SSS+==+==+==1A2AA（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112nSnn n=+=+（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，所以OA10=10（3）S12+ S22+ S32+…+ S102=2222)210()23()22()21(++++=)10321(41++++=455.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.。

实数(全章复习与巩固)(巩固篇)(专项练习)-七年级数学下册基础知识专项讲练(沪科版)

专题6.12 实数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．在下列各数中，无理数是（） A ．237B 38-C 916D ．4π 2．下列说法正确的是（） A ．117是无理数 B 5 C ．π2是无理数D ．22是有理数 3．下列等式正确的是（） A ．()255-- B 93=± C 382±D 3355--4．一个长、宽，高分别为50cm 、8cm 、20cm 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（）A ．20cmB ．200cmC ．40cmD 80cm5．若32x =-( ) A ．32x =-B ．32x =-C ．(-x)3=-2D ．x=(-2)36．已知x ，y 为实数，且22994y x x --，则x y -=（） A ．﹣1B ．﹣7C ．﹣1或﹣7D ．1或﹣77．若24,a =31b =-，则a b +的值是（） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或38．已知x ，y 两个实数在数轴上位置如图所示，则化简()2y x x y --（）A ．2xB ．2yC ．22x y -D ．22y x -9．如图，在数轴上点A 表示的实数是（）A 5B 51C 31D 310．如图，数轴上表示12A 、B ，点B 关于点A 的对称点是C ，设C 点表示的数为x ，则2x ）A ．12B ．1+2C 21D ．2二、填空题1149的算术平方根是______64______． 128x -3x ____________．13()2460x y -+=，那么2x y -的平方根为_______． 14．已知：23+m ，小数部分为n ，则2m n -＝_____．15．已知实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简||a a b c b -++-=_________．16101-89．（填“>”或“<”）17．设 a 、b 是有理数，且满足等式2322152a b b ++=-则a+b=___________． 18．对于能使式子有意义的有理数,a b ，定义新运算：a △b 22a ba b+=-．如果1230x y xz -++=则x △（y △z ）= _____ ．三、解答题19．在数轴上表示下列各数，并将这些数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 2，52，038-π-．20．求下列各式中x 的值： (1) 240x -=；(2) 3(1)8x +=．21．化简求值：(1) 已知a 1713b =54ab +(2) 已知：实数a ，b 323(1)2(1)||a b a b -----．22．计算：(1) 2338125(2)---(2) 2722(7)π-(3) 331631270.1251464--(4) 233416(3)22--．23．如图，每个小正方形的边长均为1．(1) 图中阴影部分的面积是______；阴影部分正方形的边长a 是______． (2) 估计边长a 的值在两个相邻整数______与______之间．(3) 我们知道π是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此π的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用3来表示它的整数部分，用()3π-表示它的小数部分．设边长a 的整数部分为x ，小数部分为y ，求()x y -的相反数．24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.参考答案1．D【分析】先对个选项进行化简，再由无理数的概念进行判断即可．解：237是有理数，故选项A 不符合题意； 382--是有理数，故选项B 不符合题意；93164=是有理数，故选项C 不符合题意； 4π符合无理数的概念，故选项D 符合题意；．故选：D ．【点拨】此题考查的是算术平方根、立方根及无理数的概念，能够根据算术平方根的概念及立方根进行正确化简是解决此题关键．2．C【分析】根据有理数和无理数的定义，逐一判定即可，有理数包括整数和分数，无理数是无限不循环小数．解：A. 117是有理数，故A 选项说法错误； B. 5B 选项说法错误；C. π2是无理数，故C 选项说法正确； D.2D 选项说法错误．故选：C ．【点拨】本题主要考查了有理数和无理数，解决问题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．3．D【分析】利用平方根与立方根的定义，逐个计算得结论．解： A 、()22555---，故选项错误，不符合题意；B 9=3，故选项错误，不符合题意；C 38=2，故选项错误，不符合题意；D 335=5--，故选项正确，符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的性质与化简，掌握平方根和立方根的定义解决本题的关键．4．A【分析】先求出体积，再求立方根即可．解：∵铁块体积是3508208000(cm )⨯⨯=∴3800020(cm)，故选：A ．【点拨】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键． 5．B【分析】利用立方根的定义分析得出答案．解：∵3-2， ∴x 3=-2，故选B ．【点拨】本题考查立方根的定义，正确把握定义是解题关键． 6．C直接利用二次根式的性质得出x ，y 的值，然后讨论进而得出答案．解：∵22994y x x --， ∴229090x x -≥-≥， ∴290x∴y ＝4， ∴3x =±，当3,4x y ==时，341x y -=-=-；当3,4=-=x y 时，347x y -=--=-； ∴1x y -=-或7x y -=-，故选：C ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件．解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值．7．C【分析】根据题意，利用平方根，立方根的定义求出a ，b 的值，再代入求解即可．解：24,a =31,b =-2,a ∴=±1b，∴当2,a =-1b时，213a b +=--=-； ∴当2,a =1b 时，211a b +=-=．故选：C ．【点拨】本题考查的知识点是平方根以及立方根的定义，根据定义求出a ，b 的值是解此题的关键．8．D【分析】根据点在数轴的位置判断式子的正负，然后化简．解：根据图示可知：0x y <<∴0y x∴()2y x x y -+-y x y x 22y x =-故选：D ．【点拨】此题的考查了数轴，绝对值的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据点在数轴的位置判断式子的正负．9．B【分析】先根据勾股定理求出PQ 的长，即可求出点A 所表示的数．解：如图，22125PQ =+由图可知5PA PQ ==，所以点A 51，故点A 51．故选：B【点拨】本题考查勾股定理以及数轴表示数的意义和方法，掌握解答的方法是关键．。

苏教版八年级上册数学[《实数》全章复习与巩固—重点题型巩固练习](提高)(1)

苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《实数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（）A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b2.下列式子表示算术平方根的是（）．3= 5= ③34=-④ 5= ⑤ 0.1=± ⑥()0a a =≥A ．①②④B ．①④⑥C ．①⑤⑥D ．①②⑥3.（2016秋·玉田县期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到千分位）C ．0.05（精确到百分位）D ．0.0502（精确到0.0001） 4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即.416=±②4是16的算术平方根，即.416=③－7是49的算术平方根，即.7)7(2=-④7是2(7)-的算术平方根，即.7)7(2=-其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④ 5. 若10<<x ，则x ，x1，2x 的大小关系是（） A.21x x x << B.21x x x << C.x x x 12<< D.x x x<<21 6.下列运算中正确的是（）= B.12622-82==）（C. 24±= D.∣32-∣＝23- 7. 已知:a a 则，且,68.2868.82.62333=-=＝（）A.2360B.－2360C.23600D.－236008. －27 ）A ．0B ．6C ．6或－12D ．0或6二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若,b a >那么b a 22>； (2)两数的和大于等于这两数的差；(3)若,b a >那么22b a >； (4)若,b a > c b >则c a >；(5))()(c b a c b a ++=++ (6)一个数越大,这个数的倒数越小； (7)有理数加有理数一定是有理数； (8)无理数加无理数一定是无理数； (9)无理数乘无理数一定是无理数.10. 0x ≠，yx＝_________． 11. 已知389□□□□3012≈390亿，那么四个空格的填写方法有_____ 种. 12. 已知 :===00236.0,536.136.2,858.46.23则 .13. 由四舍五入得到的近似数5.349×105精确到____位，如果精确到万位可写成______.14.（2016秋·薛城区校级月考）实数a ，b的化简结果是．15. 方程 361(12)164x +-=的解x ＝ _________. 16. 若,19961995a a a =-+-则21995-a 的值等于_________.三.解答题17. 请你算一算：在某项工程中，需要一块面积为3平方米的正方形钢板．应该如何划线、下料呢？要解决这个问题，必须首先求出正方形的边长，那么，请你算一算：（1）如果精确到十分位，正方形的边长是多少？（2）如果精确到百分位呢？18. 如图所示，已知A 、B 两点的坐标分别为(A ，(2,1)B -．（1）求△OAB 的面积和△ACB 的面积（结果保留一位小数）；（2）比较点A 所表示的数与－2.4的大小．19. 把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6∙；（2）0.23∙∙；（3）0.107∙∙. 20．（房山区校级期中）阅读材料：学习了无理数后，小红用这样的方法估算的近似值：由于＜≠，不妨设=2+k （0＜k ＜1），所以（）2=（2+k ）2，可得6=4+4k+k 2．由0＜k ＜1可知0＜k 2＜1，所以6≈4+4k，解得 k ≈，则≈2+≈2.50．依照小红的方法解决下列问题：（1）估算≈ ；（精确到0.01）（2）已知非负整数a 、b 、m ，若a a+1，且m=a 2+b ≈ ．（用含a 、b 的代数式表示）【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 2. 【答案】D ；”根号前没有“－”或“±”号.3. 【答案】B ；【解析】解：0.05019≈0.1（精确到0.1）；0. 05019≈0.050（精确到千分位）；0.05019≈0.05（精确到百分位）；0.05019≈0.0502（精确到0.0001）．故选B ．4. 【答案】C ；【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个. 5. 【答案】C ；【解析】可以取特殊值验证.6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，a ＝－23600. 8. 【答案】A ；9=，9的算术平方根是3，故选A. 二.填空题9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2；【解析】两个非负数互为相反数则只能均为0，于是可求yx＝2. 11.【答案】5000；【解析】因为第一个空格可以填5、6、7、8、9；第二、三、四个空格可以分别填0、1、2、3、4、5、6、7、8、9；所以四个空格的填写方法有5×10×10×10=5000（种）． 12.【答案】0.04858【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858.13.【答案】百，5.3×105；【解析】5.349×105中，9在百位上，则精确到了百位；如果精确到万位可写成5.3×105． 14.【答案】﹣b ；【解析】解：由数轴上点的位置关系，得a+b ＜0，a ＞0，=a b a ++=()a b a a b a b -++=--+=- ，故答案为：﹣b ．15.【答案】18；【解析】()31255112,12,6448x x x +=+==. 16.【答案】1996；a ≥1996，原式＝a －1995a 1995，两边平方得21995-a ＝1996.三.解答题17.【解析】（1）精确到十分位就是保留小数点后面一位数，即正方形的边长为1.7米．（2）精确到百分位就是保留小数点后面两位数，即正方形的边长为1.73米． 18.【解析】解：（1）∵ (A ，(2,1)B -，∴ ||OA =BC ＝1，AC ＝OA －OC 2．∴ 11||||1 1.1222OAB S OA BC ∆===≈．11||||2)110.122ACB S AC BC ∆==⨯⨯=≈．（2）点A 表示的实数为 2.24≈-．∵ 2.24＜2.4，∴ －2.24＞－2.4，即 2.4>-19.【解析】解：(1) 设0.6x ∙= ①则10x ＝6.6∙② ②－①得 9x ＝6∴6293x ==，即20.63∙=(2) 设0.23x ∙∙= ①则10023.23x ∙∙= ② ②－①，得 99x ＝23∴2399x =，即230.2399∙∙=.(3) 设0.107x ∙∙= ①则1000107.107x ∙∙= ② ②－①，得 999x ＝107，∴107999x=，即1070.107999∙∙=.20.【解析】解：（1）∵＜＜，设=3+k（0＜k＜1），则（）2=（3+k）2．∴13=9+6k+k2，∵0＜k2＜1，∴13≈9+6k．解得k≈，∴≈3+≈3.67；（2=a+k（0＜k＜1），∴m=a2+2ak+k2≈a2+2ak，∵m=a2+b，∴a2+2ak=a2+b，解得k=，．故答案为：（1）3.67；（2）a+．。

实数(全章复习与巩固)(基础篇)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题6.11 实数（全章复习与巩固）（基础篇）（专项练习）一、单选题1．4的算术平方根是（） A ．2±B ．2C ．2D 22．下列实数是无理数的是（） A 327-B ．13C ．3.14159D 63．下列说法不正确的是（） A ．0的平方根是0 B ．一个负数的立方根是一个负数 C ．﹣8的立方根是﹣2D ．8的算术平方根是24．若3m x y -和35n x y 的和是单项式，则()3m n +的平方根是（） A ．8B ．8-C ．4±D ．8±5．估计463 ） A ．3与4之间B ．4与5之间C ．5与6之间D ．6与7之间6．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64时，输出的y 是（）A ．22B ．32C ．23D ．87．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（）A ．22-2B ．2+2C ．2D ．28．若320a =10b =3c =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c<a<bD ．c b a <<9．若a 、b 为实数，则下列说法正确的是（）A aB ．有理数与无理数的积一定是无理数C ．若a 、b 均为无理数，则a b +一定为无理数D ．若a 为无理数，且()()220a b ++=，则2b =-10．下面是李华同学做的练习题，他最后的得分是（）姓名李华得分______填空题（评分标准，每道题5分）（1）16的平方根是4±（2）立方根等于它本身的数有0和1（3）38-的相反数是2（4）3=3--ππA ．5分B ．10分C ．15分D ．20分二、填空题11．16的平方根是___________． 12．计算327________．1321的相反数是__________，3.14π-=____________ 14．若实数a 、b 满足：2a b +，32a b．则()()a b a b +-的值是_____________．15．四个实数2-，023中，最小的实数是______． 16．实数a 在数轴上的位置如图，则|3a =_________．171032（填“＞”，“＜”或“=”）18．找规律填空：02，262103…，______（第n 个数）．三、解答题19．求下列各式中的x ： (1) 2481x =(2) ()3227x +=-20．计算(1) 20223113274-+-(2) 223(3)(3)1664---21．已知：9的平方根是3和5x +，y 13 (1) 求x y +的值；(2) 求22x y +的算术平方根．22．如图，长方形ABCD 的长为2cm ，宽为1cm ．（1）将长方形ABCD 进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．23．【观察】请你观察下列式子．第111．第2132+=．第31353++．第413574+++=．第5135795++++．【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1) 写出第7个等式．(2) 135(21)n +++++＝．(3) 利用（241220284452++++++24．阅读材料，完成下列任务：因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π2等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料一：479<273<<， ∵1712<． 71的整数部分为1． 7172．材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2221>21x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2211S x x =+⨯⋅+正方形，另一方面由题意知2S =正方形，所以22112x x +⨯⋅+=．略去2x ，得方程212x +=，解得0.5x =2 1.5．解决问题：(1) 85(2) 5（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）参考答案1．C【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的算术平方根．解：∵22＝4， ∵4的算术平方根是2；故选：C ．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，平方与开平方互为逆运算是求一个正数的算术平方根的关键．2．D【分析】无理数即为无限不循环小数，初中阶段接触的无理数的表现形式主要有：∵开方开不尽的数；∵含有π的数；∵0.010010001...（每两个1之间依次多个0）这样的数；据此解答即可．解：A 3273--，属于整数，不是无理数，不符合题意； B 、13为分数，不是无理数，不符合题意；C 、3.14159为有限小数，不是无理数，不符合题意；D 6 故选：D ．【点拨】本题考查了无理数的定义以及求一个数的立方根，熟练掌握初中阶段无理数的主要表现形式是解本题的关键．3．D【分析】直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案．解：A 、0的平方根是0，原说法正确，故此选项不符合题意；B 、一个负数的立方根是一个负数，原说法正确，故此选项不符合题意；C 、﹣8的立方根是﹣2，原说法正确，故此选项不符合题意；D 、8的算术平方根是2 故选：D ．【点拨】此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键．4．D【分析】根据题意可得3m x y -和35n x y 是同类项，从而得到3,1m n ==，再代入，即可求解．解：∵3m x y -和35n x y 的和是单项式， ∵3m x y -和35n x y 是同类项，∵3,1m n ==，∵()()333164m n +=+=， ∵()3m n +的平方根是8±．故选：D ．【点拨】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到3m x y -和35n x y 是同类项是解题的关键．5．C【分析】先把46332“夹逼法”即可求解．解：463232== ∵253236＜＜， ∵5326＜＜，故选：C【点拨】本题考查了无理数的估值问题，“夹逼法”的应用是解题的关键． 6．A解：由题中所给的程序可知：把64取算术平方根，结果为8， ∵8是有理数， ∵8 ∵y 82 故选A ． 7．A2，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∵2，2，∵阴影部分的面积(22224222=⨯--=．故选A ．【点拨】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.8．C10320的值的范围，再进行比较即可得出答案．解：82027<<， 32203∴<<，3104<<，320310<故选：A ．【点拨】本题考查了实数大小比较，估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．9．D【分析】A a B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，举例说明； C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，举例说明；D 、利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0求出b 的值，即可做出判断．解：A a 42=，错误；B 、有理数与无理数的积不一定是无理数，例如：020，错误；C 、a 、b 均为无理数，a b +不一定还是无理数，，例如：220-=，错误；D 、若a 为无理数，且()()220a b ++=，得到20a +≠，20b +=，解得：2b =-，正确，故选：D ．【点拨】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10．B【分析】直接利用平方根、立方根、绝对值、相反数的性质分别判断得出答案．解：（1164=的平方根是2±，故此选项错误；（2）立方根等于它本身的数有0和1、 1-，故此选项错误；（3382--的相反数是2，故此选项正确；（4）()3=3=3----πππ，故此选项正确．李华最后得分为10分，故选：B ．【点拨】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，平方根和立方根概念，正确化简各数是解题关键．11．4±【分析】根据平方根的定义即可求解．解：即：16的平方根是16=4± 故填：4±【点拨】此题主要考查平方根，解题的关键是熟知平方根的定义． 12．-3【分析】根据立方根的性质计算即可．解：327--3，故答案为：-3．【点拨】本题考查了立方根的性质，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0，熟记立方根的性质是解题的关键．13． 12- 3.14π-【分析】根据相反数的定义及去绝对值符合号法则，即可求得． 21的相反数是)2112-=>3.14π，3.14<0π∴-，()3.14 3.14 3.14πππ∴-=--=-，故答案为：12 3.14π-．【点拨】本题考查了相反数的定义及去绝对值符合号法则，掌握和灵活运用相反数的定义及去绝对值符合号法则是解决本题的关键．14．32【分析】根据算术平方根和立方根的性质得到a +b =4，a －b =8，进而直接代入求解即可．解：∵实数a 、b 2a b +=32a b ，∵a +b =4，a －b =8， ∵()()a b a b +-=4×8=32，故答案为：32．【点拨】本题考查了算式平方根、立方根、代数式求值，理解算式平方根和立方根的性质是解答的关键．15．-2【分析】根据实数大小比较的方法解答即可．解：∵2-2<3， ∵最小的实数是-2 故答案为：-2．【点拨】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．163a【分析】根据数轴上点的位置判断出3a 利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．解：∵a ＜0，∵30a ＜，则原式3a ， 3a 17．>103>，进而即可求解．解：∵109>， 103>， 1032>，故答案为：>．10 18()21n -【分析】除第一个数外，其他数变成二次根式后，根号下面的数都是2的倍数，第二个数为2的1倍，第三个数为2的2倍，依此类推，第n 个数为2的()1n -倍，从而得出答案．解：由题意得：由题意得：第一项：00200==⨯=； 2212⨯ 第三项：24224=⨯= 6236=⨯……第n ()()2121n n ⨯-=-()21n -【点拨】本题考查了算术平方根，解题的关键是发现题目中数据的变化规律，要熟练掌握．19．(1)92x =± (2)5x =-【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程．（1）解：2481x =，∵2814x =， ∵81942x =±=±；（2）解：()3227x +=-，∵3227x +=-23x，解得：5x =-．【点拨】本题考查开方法解方程．熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键． 20．33 (2)8-【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式13132=-+++33；（2）解：原式3344=---8=-．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．21．(1)5- 73【分析】（1）先根据平方根的意义可得350x ++=，从而求出x 的值，13值的范围，从而求出y 的值，然后代入式子中进行计算即可解答；（2）把x ，y 的值代入式子中求出22xy +的值，然后再利用算术平方根的意义，进行计算即可解答．（1）解：9的平方根是3和5x +， 350x ∴++=，解得：8x =-，91316<<，3134∴<<，y 133y ∴=，835x y ∴+=-+=-，x y ∴+的值为5-；（2）当8x =-，3y =时，2222(8)364973x y +=-+=+=，22x y ∴+73【点拨】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．22．（1）分割方法不唯一，如图，见分析；（22cm .【分析】（1）根据AB=2AD ，可找到CD 的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据面积相等得到方程，即可求解．解：（1）如图，∵AB=2AD ，找到CD,AB 的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方形；（2）设拼成的正方形边长为cm x ，根据题意得2122x =⨯=，∵2x2cm ．【点拨】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割． 23．135791113++++++7 (2)n +1(3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；（2135(21)n +++++n +1个式子，根据规律即可得；（3）41220283644524(1357891113)+++++++++++++利用规律即可得．（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∵第7135711137+++++，135711137+++++=；（2(21)1135(21)12n n n +++++++=+，故答案为：1n +；（3）解：根据（2）中的规律知， 11341220283644524(1357891113)4142++++++++++++++=．【点拨】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律．24．859 (2)2.25【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．（1）解：8185100<98510<<，859． 85859．（2）解：我们知道面积是5552>，52x =+，可画出如图示意图．由图中面积计算，2224S x x =+⨯+正方形，另一方面由题意知5S =正方形，所以2445x x ++=．略去2x ，得方程410x -=，解得0.25x =5 2.25．【点拨】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．。

《数的开方》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

《实数》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《实数》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点二、次方根如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根.当n 为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根.求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数.实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零. 要点三、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点四、近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．要点五、分数指数幂()0m naa =≥()0m naa -=>，其中m n 、为正整数，1n >.上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 要点诠释：设00a b p q >>，，、为有理数，那么（1）pqp qp q p q a a a a a a +-=÷=，.（2）()qp pq aa =.（3）()pp pp p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，. 【典型例题】类型一、有关方根的问题1、（2015春•仙桃校级期末）一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ，求a 和x 的值．【思路点拨】根据平方根的定义得出2a ﹣3+5﹣a=0，进而求出a 的值，即可得出x 的值．【答案与解析】解：∵一个正数的x 的平方根是2a ﹣3与5﹣a ， ∴2a ﹣3+5﹣a=0，解得：a=﹣2， ∴2a ﹣3=﹣7，∴x=（﹣7）2=49．【总结升华】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．举一反三：【变式1】已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根.【答案】解：由题意得：2020x x -≥⎧⎨-≥⎩ 解得x ＝2 ∴y ＝3，239xy ==，xy 的平方根为±3.【变式2】若373-x 互为相反数,试求x y +的值．【答案】解：∵373-x 互为相反数, ∴3x －7＋3y ＋4＝0∴3（x y +）＝3，x y +＝1.2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根．【答案与解析】解：∵a <<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根．类型二、与实数有关的问题3、已知a b 是它的小数部分，求()()323a b -++的值．【思路点拨】一个数是由整数部分＋小数部分构成的.3，那么3，再代入式子求值. 【答案与解析】解：∵a b 是它的小数部分，34<<∴3,3a b ==∴()()())23233333271017a b -++=-++=-+=-.【总结升华】方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分. 举一反三：【变式】（2015•杭州）若k ＜＜k+1（k 是整数），则k=（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D ．解：∵k ＜＜k+1（k 是整数），9＜＜10，∴k=9．4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若a －b ＞0，则a ＞b ；若a －b ＝0，则a ＝b ；若a －b ＜0，则a ＜b .例如：在比较21m +与2m 的大小时，小东同学的作法是： ∵()()2222111m m m m +-=+-= ∴221m m +>请你参考小东同学的作法，比较2(2+的大小.【思路点拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小. 【答案与解析】解：∵(22(43)70=+=-<∴2(2+【总结升华】实数比较大小常用的有作差法和作商法，根据具体情况加以选择. 举一反三：【变式】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； -1a【答案】21a a a a<<<-；5、用四舍五入法，按括号中的要求把下列各数取近似数. （1）27.15万（精确到千位）；（2）12 341 000（精确到万位）；（3）0.030 56（保留3个有效数字）【答案与解析】解：（1）27.15万=2715005272000 2.7210≈=⨯或表示为27.2万；（2）12 341 00012340000≈=71.23410⨯；(3) 0.030 56≈0.030 6【总结升华】一般的近似数，四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，若是汉字单位“万、千、百”类近似数，精确度是由其最后一位数所在的数位确定的，但必须先把该数写成单位为“个”位的数再确定其精确度；用形如10na ⨯的数，其精确度看a 中最后一位数在原数中的数位.6、计算：（1） ()13864⨯；（2） 4112223⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（3）3422334⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（4）6113245⎛⎫÷ ⎪⎝⎭【答案与解析】解：（1） ()()1113333338642488⨯⨯=⨯==；（2） 411222223234936⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（3）34222333434964576⎛⎫⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭；（4）611116623332216454545125⨯⨯⎛⎫÷=÷=÷= ⎪⎝⎭.【总结升华】利用有理数指数幂的运算性质解题. 类型三、实数综合应用7、已知a 、b|0b =，解关于x 的方程()122-=++a b x a ．【答案与解析】|0b =∴2a ＋8＝0, b0,解得a ＝－4, b()2212354a xb a x x ++=--+=-=∴【总结升华】先由非负数和为0，则几个非负数分别为0解出a 、b 的值，再解方程. 举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ，求代数式23a b c --的值．【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.8、阅读材料：. 小明的方法：<<3k =+（01k <<）.∴22(3)k =+.∴21396k k =++.∴1396k ≈+.解得 46k ≈43 3.676≈+≈. 问题：（1（2a 、b 、m，若1a a <<+，且2m a b =+≈_________________(用含a 、b 的代数式表示)；（3）请用（2的近似值. 【答案与解析】解：（1<6k =+（01k <<）.∴22(6)k =+.∴2413612k k =++.∴413612k ≈+.解得 512k ≈.∴56 6.4212≈+≈.（2）∵1a a <+a k =+（01k <<）.∴22()a k =+.∴222m a ak k =++. ∴22m a ak ≈+.对比2m a b =+，2,2b b ak k a≈≈2b a a≈+（3）23761,=+∴6,1a b ==，1612≈+≈6.083. 【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）问中要对比式子，找准a 和b ，表示出2b k a≈.。

浙教版初一上册数学实数全章复习与巩固(基础)重点题型巩固练习

浙教版七年级上册初中数学知识点梳理及重点题型巩固练习【巩固练习】一.选择题1. 下列说法正确的是（）A ．数轴上任一点表示唯一的有理数B ．数轴上任一点表示唯一的无理数C ．两个无理数之和一定是无理数D ．数轴上任意两点之间都有无数个点2.（2015•日照）的算术平方根是（）A ．2B ．±2C ．D ．±3．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（）A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2bD ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 4. 3387=-a ，则a 的值是（） A. 87 B. 87- C. 87± D. 512343- 5. 若式子3112x x -+-有意义,则x 的取值范围是 ( ). A.21≥x B. 1≤x C.121≤≤x D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（） A.3a 中的a 可以是正数、负数或零. B.a 中的a 不可能是负数.C. 数a 的平方根有两个.D.数a 的立方根有一个.7. 数轴上A ，B 两点表示实数a ，b ，则下列选择正确的是（）A.0>+b aB. 0ab >C.0a b ->D.||||0a b ->8. 估算219+的值在（）A. 5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间二.填空题9. a ，则其小数部分用a 表示为．10．当x 时，32-x 有意义. 11. =--32)125.0( .12. 若12-x 是225的算术平方根，则x 的立方根是 . 13. 3343的平方根是 .14.（2015春•罗山县期末）﹣64的立方根与的平方根之和是．15. 1- ，-22 ， 33 16. 数轴上离原点距离是5的点表示的数是 .三.解答题17. 一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，则a 是多少？18.（2015春•桃园县校级期末）已知x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y2的平方根． 19. 已知：表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简()2b a b a ++-20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题. 大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2－1表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答：已知：10＋3＝y x +，其中x 是整数，且10<<y ,求y x -的相反数.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D ；【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数.2. 【答案】C3. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b .4. 【答案】B ；【解析】==. 5. 【答案】A ；6. 【答案】C ；【解析】数a 不确定正负，负数没有平方根.7. 【答案】C ；8. 【答案】B ；【解析】45<<，627<<.二.填空题9. a ；10.【答案】为任意实数；【解析】任何实数都有立方根.11.【答案】25.0-；【解析】0.25==-.12.【答案】3；【解析】x －12＝15, x ＝3=.13.【答案】7± ；【解析】 3343＝7，7的平方根是7±. 14.【答案】﹣2或﹣6．【解析】∵﹣64的立方根是﹣4，=4，∵4的平方根是±2，∵﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6，∴﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6．15.【答案】＞；＜；＞；16.【答案】【解析】数轴上离原点距离是5的点有两个，分别在原点的左右两边.三.解答题17.【解析】解：∵一个正数x 的平方根是32-a 与a -5，∴32-a 与a -5互为相反数，即32-a ＋a -5＝0，解得2a =-.18.【解析】解：∵x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，∴x ﹣2=22，2x+y+7=27，解得x=6，y=8，∴x 2+y 2=62+82=100，∴x 2+y 2的平方根是±10．19.【解析】解：∵b ＜a ＜0 ∴()2b a b a ++-()||2a b a b a b a b b=-++=--+=-20.【解析】解：∵11＜10＋3＜12∴x ＝11，y ＝10＋3－111∴()11112x y y x --=-=-=.。

《实数复习》课件

实数函数的极少和最值
极值是函数取值范围的极限值，实数函数的最大值和最小值表现在图象上是波峰和波谷。
实数的运用
1 实数的应用举例
实数在生活中有着广泛的应用，例如利用实数解决财务问题等。
2 实数的科学计数法
科学计数法是一种常用的表示较大和较小数据的方法。
3 实数的比较大小
实数的大小比较是实数相关概念之一，对于学习实数应用非常有帮助。
结束语
以上是实数复习PPT课件的大纲，本次课程主要复习实数的基础知识和实数的应用。希望大家可以通过这份 PPT课件更深入的了解实数，并在备考过程中取得好成绩。谢谢大家！
《实数复习》PPT课件
欢迎大家来到本次《实数复习》PPT课件。实数是数学的基础，对于数学学习非常关键，本次课程将会复习实数的基础知识和实数的应用。请跟随我一起来学习吧！
实数的定义
实数的概念与特点
实数是包括有理数和无理数的数集。它们可以有正负之分，是有序的。
实数的分类
实数可以按大小分类，分为正数、负数和零。也可以按有理数和无理数分类。
实数的运算规律
1
实数的交换律
实数之间的加法和乘法都满足交换律。
2
实数的结合律
实数之间的加法和乘法都满足结合律。
3
实数的分配律
实数之间的乘法和加法之间满足分配律。
实数解方程
一次方程、二次方程、三次方程
实数解方程是研究实数的应用之一，其中包括一次方程、二次方程、三次方程等多种类型。
方程的根的概念和特点
根是指方程的解，其中包括有理数根和无理数根。
方程解判定标准
方程解判定标准是指判断方程的根的种类和个数的规则和方法。
实数的图象与应用
坐标系的概念

《整式的加减》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《整式的加减》考点提要与典型习题训练一、本章知识网络二、主要考点考点一、整式的概念（一）：单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

如：5、π、6a 、-12m 3n 、0.5m ²要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．例1、用代数式表示：（1）边长为a 的正方形周长为，面积为 . （2）设n 为整数，则奇数可表示为，偶数可表示为 .（3）拿158元钱去买钢笔，买了单价为5元的钢笔x 支，则剩下的钱为元.（4）某人骑自行车m 小时行驶了48千米，则平均每小时的车速是千米/时. 例2、用单项式填空，并指出它们的系数和次数.（1）每包书有10册，n 包书有册.（2）一个长方体的长宽高分别是y x x ,,，则它的体积是 .（3）一台电脑原价a 元，现在按8折出售，这台电脑现在的售价为 . （4）半径为r 的圆的面积是 .例3、填空：（1）单项式y x 22的的系数是，次数是 ;（2）单项式232a π-的系数是，次数是 ; （3）单项式3π的系数是，次数是 ; （4）单项式8的系数是，次数是 .例4：典例分析:我们知道；）（2024828642;1223)62(642;622)42(42=⨯+=+++=⨯+=++=⨯+=+ n 2642++++ 的结果会是多少呢（二）：多项式多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。

如：m-3；x 2+5x-1；ab 3-m ；πr 2+6要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n 次，有m 个单项式，我们就把这个多项式称为n 次m 项式．例1：多项式623522233-++-b b a b a a 的最高次项是，四次项系数是，常数项是例2：:列式表示：（1）比x 小2的数是；（2）x 的四分之三减y 的差是；（3）设礼堂里座位的行数为a ，并且行数是每行座位数的32，礼堂里共有座位个；（4）一钢管的外径为R,内径为r ，长为a ，则该钢管的体积为 .例3：若8)1(2++--x kx x k k 是关于x 的一次多项式，求k 的值.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．如要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．例1：多项式3252536--+-z y x y x y x 按x 的降幂排列为：；按y 的升幂排列为。

第10讲实数全章复习与巩固.docx

第10讲实数全章复习与巩【要点梳理】要点一：平方根和立方根型项 H平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示±4a y[a性质一个止数有两个平方根，H.互为相反数；零的平方根为零；负数没冇平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有•一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论(V^)2= ci(ci > 0)r~7 > 0)7 er = a = <[- a(a < 0)(亦)3 = a= a要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1 •实数的分类按定义分：要点诠释：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.(2) 无理数分成三类：①开方开不尽的数，如亦，逅等；② 有特殊意义的数，如③ 冇特定结构的数，如0. 1010010001-(3) 凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. (4) 实数和数轴上点是一一对应的. 2. 实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数冇如下三种形式:(1) 任何一个实数d 的绝对值是非负数，即|d|$0； (2) 任何一个实数a 的平方是非负数，即/三0； (3) 任何非负数的算术平方根是非负数，即V^>0(6Z>0).按与0的大小关系分:实数有理数: 无理数: 有限小数或无限循环小数无限不循环小数J 正冇理数［正无理数实数0负数负有理数负无理数非负数具有以下性质：(1)非负数有最小值零；(2)有限个非负数Z和仍是非负数；(3)儿个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.3.实数的运算：数。

的相反数是一0; —个正实数的绝对值是它木身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减•同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.4.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1・实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大;法则2.正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列命题：①负数没冇立方根；②一个实数的算术平方根一定是止数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是I或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是I或0,其中错误的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【变式】下列运算正确的是( )A. V4=±2B. x/2 + V3=V5C.畅=-2D. -1-2| = 22、 ____________________________________________ 若J1O2.O1 =10.1,则土V1.0201 =若“0.3670 = 0.7160, ”3.670 = 1.542,则辰7 = __________________________类型二、与实数有关的问题V 3、把F列各数填入相应的集合：—1、V3 > 兀、—3. 14> V9 > V6 — V2 > —、0.7 .(1)有理数集合｛｝；(2)无理数集合｛｝；(3)正实数集合｛｝；(4)负实数集合｛｝・【变式】在实数厉，兀，口,—,7A. 1个B. 2个0.3,其中无理数有( )C. 3个D. 4个【变式】计算(1) J — -1 -V-0.008 -Vo.000216(2) (―2『x J(—4)? +#(—4尸 x(丄尸―J(—3)?V 27 25^ 若GV 0,Q 方＜0, a-b-4A /3 - b-a + ^3【变式1】实数d 、b 在数轴上所对应的点的位査如图所示: 化简 y[a^ + I a — h I = .---- ■ ------- J------ ■ --- ►a o b【变式2】实数。

《实数》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《实数》全章复习与巩固——知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.理解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，理解实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.5.了解近似数的概念，能按精确度的要求取近似数，能根据近似数的不同形式确定其精确度，体会近似数在生活中的实际应用.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：389318 实数复习，知识要点】类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 ①按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数②按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.三类具有非负性的实数在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值——零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.（1）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；（2）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、近似数及精确度 1.近似数接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 2.精确度近似数中，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差不超过0.05米. 【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列运算正确的是（）A ．42=±B ．235+=C ．382-=-D ．|2|2--=【答案】C ；2102.0110.1= 1.0201＝若7160.03670.03=，542.1670.33=，则_____________3673= 【答案】±1.01；7.16；【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位.类型二、与实数有关的问题3、计算（1）233)32(1000216-++（2）23)451(12726-+- （3）32)131)(951()31(--+【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行运算.【答案与解析】解：（1）233)32(1000216-++＝226101633++= （2）23)451(12726-+-＝23111112743412⎛⎫-+-=-+=- ⎪⎝⎭（3）32)131)(951()31(--+＝3314218121393327333⎛⎫+⨯-=+-=-=- ⎪⎝⎭.【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）计算：+．【答案】解：原式=7﹣3+﹣1+ =134+．4、若0,0<<ab a ，化简334+----a b b a【思路点拨】由0,0<<ab a 判断b ＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.【答案与解析】解：∵0,0<<ab a ，∴b ＞0，∴30,30a b b a ---+> ∴433a b b a ----(43)(3)a b b a =-----43333a b b a =-+++-=【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.要掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识. 举一反三：【变式1】（2016秋·安徽期末）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简2a b a b+--的结果为 .【答案】解：∵-1＜a ＜0，1＜b ,∴a ＋2b ＞0，a －b ＜0，∴2a b a b +--＝a ＋2b －(－a ＋b )＝b ＋2a . 【高清课堂：389318 实数复习，例5】【变式2】实数a 在数轴上的位置如图所示，则2,1,,a aa a -的大小关系是：； 0-1a【答案】21a a a a<<<-；类型三、近似数与精确值5、某工人执行爆破任务时，点燃导火索后往100m 外的安全地带奔跑的速度为7m/s ，已知导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求：导火索的长度至少多长才能保证安全？（精确到0.1m ）【思路点拨】先算出往100米外的安全地带奔跑所用时间，再根据导火索燃烧的速度为0.11m/s ，求出导火索的至少长度，最后根据有效数字的表示方法，即可得出答案．【答案与解析】根据题意，得导火索的长度至少为：1007×0.11≈1.6（m ）；答：导火索的长度至少1.6m 才能保证安全．【总结升华】此题考查了列代数式和近似值，关键是读懂题意，列出代数式，再根据近似值的要求进行用四舍五入法取近似值即可．6、（新罗区校级月考）用激光技术测得地球和月球之间的距离为377985654.32米，请按要求分别取得这个数的近似值．（1）精确到千位；（2）精确到千万位；（3）精确到亿位．【思路点拨】（1）首先利用科学记数法表示，然后对千位以后的数位进行四舍五入；（2）首先利用科学记数法表示，然后对千万位以后的数位进行四舍五入；（3）首先利用科学记数法表示，然后亿位以后的数位进行四舍五入；【答案与解析】解：（1）精确到千位；377985654.32米≈377986000米，即3.77986×108米（2）精确到千万位；377985654.32米≈380000000米，即3.8×108米（3）精确到亿位；377985654.32米≈400000000米，即4×108米．【总结升华】本题考查了近似数，对于用科学记数法表示的数，精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．类型四、实数综合应用7、现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6 米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果精确到0.1）？【答案与解析】解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式，≈（米）．15012.247由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米，18.247≈333.0（平方米）．所以扩建后鱼池的面积为2答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）．【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求．举一反三：m，池深1.5m，求这个水池的底边长．【变式】一个底为正方形的水池的容积是4863【答案】解：设水池的底边长为x，由题意得2 1.5486x⨯=,2324x=,18x=.答：这个水池的底边长为18m.。

八上数学总复习各章知识点总结及整理

八上数学总复习各章知识点总结及整理.doc八年级上册数学总复习各章知识点总结及整理引言随着学期的结束，对八年级上册数学知识点进行全面的复习和整理是十分必要的。

这不仅有助于学生巩固已学知识，还能帮助他们为即将到来的考试做好准备。

以下是对八年级上册数学各章节知识点的详细总结及整理。

第一章：实数1.1 实数的概念理解实数的分类：有理数和无理数。

掌握实数的性质和运算规则。

1.2 算术平方根学习如何计算一个数的算术平方根。

理解平方根的性质。

1.3 平方根掌握平方根的概念和计算方法。

了解平方根与算术平方根的区别。

第二章：代数基础2.1 代数式理解代数式的定义和基本运算。

学习合并同类项的方法。

2.2 一元一次方程掌握一元一次方程的解法。

学习方程的应用问题。

2.3 因式分解学习因式分解的基本方法：提公因式法和公式法。

理解因式分解在解方程中的应用。

第三章：几何初步3.1 线段、角学习线段的性质和角的概念。

掌握角度的分类和计算。

3.2 相交线与平行线理解相交线的性质。

学习平行线的判定和性质。

3.3 三角形掌握三角形的基本性质。

学习三角形的分类和内角和定理。

第四章：函数4.1 函数的概念理解函数的定义和表示方法。

学习函数的三种表示形式：解析式、列表和图形。

4.2 一次函数掌握一次函数的性质和图象。

学习一次函数的解析式和应用问题。

4.3 反比例函数理解反比例函数的概念和性质。

掌握反比例函数的图象和解析式。

第五章：统计与概率5.1 数据的收集与处理学习数据收集的方法和数据的整理。

掌握数据的描述性统计指标。

5.2 概率初步理解概率的基本概念。

学习概率的计算方法。

复习策略系统复习：按照章节顺序，系统地复习每个知识点。

重点强化：针对重点和难点进行强化训练。

习题练习：通过大量的习题练习，巩固知识点。

错题回顾：对错题进行总结和回顾，避免重复错误。

模拟测试：定期进行模拟测试，检验复习效果。

结语通过对八年级上册数学各章知识点的总结及整理，学生可以更加清晰地掌握每个章节的核心内容，为期末考试和未来的学习打下坚实的基础。

人教版七年级数学下册15.实数全章复习与巩固(提高)巩固练习及答案.doc

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】【巩固练习】一.选择题1．已知a 、b 是实数，下列命题结论正确的是（） A ．若a ＞b ，则2a ＞2bB ．若a ＞｜b ｜，则2a ＞2bC ．若｜a ｜＞b ，则2a ＞2b D ．若3a ＞3b ，则2a ＞2b 2.下列式子表示算术平方根的是（）． ①()233-= ②()()2515--= ③93104-=- ④ 255-= ⑤ 0.010.1±=± ⑥ ()20a a a =≥A ．①②④B ．①④⑥C ．①⑤⑥D ．①②⑥ 3. 下列说法正确的有（）①无限小数不一定是无理数； ②无理数一定是无限小数； ③带根号的数不一定是无理数； ④不带根号的数一定是有理数. A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②④4. 下列语句、式子中 ① 4是16的算术平方根，即.416=±②4是16的算术平方根，即.416=③－7是49的算术平方根，即.7)7(2=-④7是2(7)-的算术平方根，即.7)7(2=-其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④ 5. （2015•南京）估计介于（）A ．0.4与0.5之间B ．0.5与0.6之间C ．0.6与0.7之间D ．0.7与0.8之间6.下列运算中正确的是（）4913=12622-82==）（C. 24±=D. ∣32-∣＝23- 7. 已知:a a 则，且,68.2868.82.62333=-=＝（） A.2360 B.－2360 C.23600 D.－23600 8. －2781 ） A ．0 B ．6C ．6或－12D ．0或6 二.填空题9. 下列命题中正确的有 (填序号)(1)若,b a >那么b a 22>; (2)两数的和大于等于这两数的差;(3)若,b a >那么22b a >; (4)若,b a > c b >则c a >;(5))()(c b a c b a ++=++ (6)一个数越大,这个数的倒数越小; (7)有理数加有理数一定是有理数; (8)无理数加无理数一定是无理数; (9)无理数乘无理数一定是无理数; 10.（2015•庆阳）若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，则m ﹣3n 的立方根是．11. 若22)3(-=a ，则a ＝，若23)3(-=a ，则a ＝ .12. 已知 :===00236.0,536.136.2,858.46.23则 . 13. 若x x -+有意义，则=+1x ________.14. 阅读下列材料：设0.30.333x ==…①，则10 3.333x =…②，则由②－①得：93x =，即13x =.所以0.30.333= (1)=3.根据上述提供的方法把下列两个数化成分数. 0.7＝ 1.3＝；15. 方程 361(12)164x +-=的解x ＝ _________ . 16. 若,19961995a a a =-+-则21995-a 的值等于_________.三.解答题17. （2015春•和平区期末）已知一个正数的两个平方根分别为a 和2a ﹣9 （1）求a 的值，并求这个正数；（2）求17﹣9a 2的立方根．18. 如图所示，已知A 、B 两点的坐标分别为(5,0)A -，(2,1)B -．（1）求△OAB 的面积和△ACB 的面积（结果保留一位小数）；（2）比较点A 所表示的数与－2.4的大小．19. 把下列无限循环小数化成分数：（1）0.6•（2）0.23••（3）0.107••20．细心观察右图，认真分析各式，然后解答问题：()()212211122===+，S ； ()()223312222===+，S； ()()234413322===+，S； ……，……；（1）请用含n(n 为正整数)的等式表示上述变化规律；（2）观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：；（3）利用上面的结论及规律，请作出等于7的长度；（4）你能计算出210232221S S S S ++++ 的值吗？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】B 答案表明,||||a b a b >>且，故2a ＞2b . 2. 【答案】D ；【解析】算术平方根的专用记号是“a ”根号前没有“－”或“±”号. 3. 【答案】A ； 4. 【答案】C ；【解析】算术平方根是平方根中符号为正的那个. 5.【答案】C ．【解析】∵ 2.235，∴﹣1≈1.235，∴≈0.617，∴介于0.6与0.7之间.6. 【答案】D ；7. 【答案】D ；O.....S 5S 4S 3S 2S 1111111A 6A 5A 4A 3A 2A 1【解析】2.868向右移动1位，23.6应向右移动3位得23600，考虑到符号，a ＝－23600. 8. 【答案】A ；【解析】819=，9的算术平方根是3，故选A. 二.填空题 9. 【答案】（1），（4），（5），（7）； 10.【答案】2. 【解析】若﹣2xm ﹣n y 2与3x 4y2m+n是同类项，∴，解方程得：．∴m ﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．8的立方根是2．故答案为：2． 11.【答案】3±39【解析】正数的平方根有2个，实数有一个与它符号相同的立方根. 12.【答案】0.04858【解析】23.6向左移动4位，4.858向左移动2位得0.04858. 13.【答案】1；【解析】x ≥0，－x ≥0，得x ＝0，所以=+1x 1. 14.【答案】74;93；【解析】设x ＝0.777……，10x ＝7.777……，9x ＝7, x ＝79.设y ＝1.333……，10y ＝13.333……，9y ＝12, y ＝43. 15.【答案】18；【解析】()31255112,12,6448x x x +=+==. 16.【答案】1996；1996a -a ≥1996，原式＝a －19951996a -a 1996a -1995，两边平方得21995-a ＝1996. 三.解答题17.【解析】解：（1）由平方根的性质得，a+2a ﹣9=0，解得a=3，∴这个正数为32=9；（2）当a=3时，17﹣9a 2=﹣64， ∵﹣64的立方根﹣4， ∴17﹣9a 2的立方根为﹣4． 18.【解析】解：（1）∵ (5,0)A ，(2,1)B -，∴ ||5OA =BC ＝1，AC ＝OA －OC 52．∴ 115||||51 1.122OAB S OA BC ∆===≈． 115||||(52)110.1222ACB S AC BC ∆==⨯⨯=-≈．（2）点A 表示的实数为5-5 2.24-≈-． ∵ 2.24＜2.4，∴ －2.24＞－2.4，即 5 2.4>- 19.【解析】解：(1) 设0.6x •= ① 则10x ＝6.6•② ②－①得 9x ＝6∴6293x ==，即20.63•=(2) 设0.23x ••= ① 则10023.23x ••= ② ②－①，得 99x ＝23∴2399x =，即230.2399••=. (3) 设0.107x ••= ① 则1000107.107x ••= ② ②－①，得 999x ＝107，∴107999x =，即1070.107999••=. 20.【解析】解：（1）()2,112nS n n n =+=+．（2）直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．（3）略．22222222123101231055(4)22224S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

华东师大初中七年级上册数学《代数式》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《代数式》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示；2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与现实生活的密切联系；3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律； 4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并熟练运用整式的加减运算法则，进行整式的加减运算、求值；6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a 等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．要点二、整式的相关概念1．单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3. 多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．要点三、整式的加减1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．【典型例题】类型一、代数式1．某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本 x（x≥10）本.(1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.(2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小．【答案与解析】解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:(1) 代数式分别为:25×10+5(x-10),(25×10+5x) ×90%（2）把x=30分别代入两个代数式:25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元）(25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元）所以选择第一种优惠方式．【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型．类型二、整式的相关概念2．（2016春•新泰市期中）下列说法正确的是（）A ．1﹣xy 是单项式B ．ab 没有系数C ．﹣5是一次一项式D ．﹣a 2b+ab ﹣abc 2是四次三项式【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案．【答案】D ．【解析】解：A 、1﹣xy 是多项式，故A 错误；B 、ab 的系数是1，故B 错误；C 、﹣5是单项式，故C 错误；D 、﹣a 2b+ab ﹣abc 2是四次三项式，故D 正确；故选：D ．【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项．举一反三：【变式1】若单项式22a b x y+-与单项式253b y x -的和是单项式，那么3a b -= ．【答案】15【变式2】若多项式31(4)5(2)n m x x x n m -++---+是关于x 的二次三项式，则________m =， ________n =，这个二次三项式为 .【答案】4,3,-259x x --类型三、整式的加减运算3．若315212135m n m n x y x y --+-与是同类项，求出m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】解：因为312121535m n m n x y x y --+-与是同类项，所以315,21 1.m n -=⎧⎨-=⎩ 解得2,1.m n =⎧⎨=⎩ 当2m =且1n =时，55553152121424214()()35353515m n m n x y x y x y x y x y x y --++-=-=-=. 【总结升华】本题考查了同类项：含有相同的字母，并且相同字母的指数相等；合并同类项就是把系数相加减，字母部分不变．举一反三：【变式】合并同类项．(1)2222344522x xy y x xy y -+-+-；(2)3232399111552424xy x y xy x y xy x y --+---．【答案】 (1)原式＝22(35)(42)(42)x xy y -+-++-22222x xy y =--+(2)原式3232391191554422xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫=--+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32345x y x y =---．【高清课堂：整式的加减单元复习388396经典例题3】4. 从一个多项式中减去234ab bc -+，由于误认为加上这个式子，得到221bc ab --，试求正确答案.【答案与解析】解：设该多项式为A ，依题意，(234)221A ab bc bc ab +-+=--(221)(234)A bc ab ab bc =----+(234)(221)2(234)A ab bc bc ab ab bc --+=----+221468869bc ab ab bc bc ab =---+-=--答：正确答案是869bc ab --．【总结升华】当整式是一个多项式，不是一个单项式时，应用括号把一个整式作为一个整体来加减．举一反三：【变式1】已知A ＝x 2＋2y 2－z 2，B ＝－4x 2＋3y 2＋2z 2，且A ＋B ＋C ＝0，则多项式C 为( )．A ．5x 2－y 2－z 2B ．3x 2－5y 2－z 2C ．3x 2－y 2－3z 2D ．3x 2－5y 2＋z 2【答案】B【变式2】先化简代数式22211(351)5333a a a a a ⎧⎫⎡⎤---+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，然后选取一个使原式有意义的a 的值代入求值．【答案】22211(351)5333a a a a a ⎧⎫⎡⎤---+--⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭22211[(3515)]333a a a a a =---+-- 222116[(34)]333a a a a =----222116(34)333a a a a =--++ 22816(4)333a a a =--++228164333a a a =+--2814433a a =--．当0a =时，原式＝0-0-4＝-4．【变式3】(1) (x ＋y )2－10x －10y ＋25＝(x ＋y )2－10(______)＋25;(2) (a －b ＋c －d )(a ＋b －c －d )＝[(a －d )＋(______)][(a －d )－(______)]．【答案】（1）x ＋y （2）－b ＋c ，－b ＋c类型四、化简求值5. （1）直接化简代入当时，求代数式15a 2－{－4a 2＋[5a －8a 2－(2a 2－a )＋9a 2]－3a ｝的值．（2）条件求值已知(2a ＋b ＋3)2＋｜b －1｜＝0，求3a －3[2b －8＋(3a －2b －1)－a ]＋1的值．（3）整体代入(鄂州)已知210m m +-=，求3222009m m ++的值．【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行求解.【答案与解析】解：（1）原式=15a 2－[－4a 2＋(5a －8a 2－2a 2+a ＋9a 2)－3a ]=15a 2－[－4a 2＋(6a －a 2)－3a ]=15a 2－(－4a 2＋6a －a 2－3a )=15a 2－(－5a 2＋3a )=15a 2+5a 2—3a =20a 2—3a当时，原式=== （2）由(2a ＋b ＋3)2＋｜b －1｜＝0可知：2a ＋b ＋3=0，b －1=0，解得a = -2，b =1. 3a －3[2b －8＋(3a －2b －1)－a ]＋1=3a －3(2b －8＋3a －2b －1－a )＋1=3a －3(2a －9)＋1=3a －6a +27＋1=28—3a由a = -2则原式=28—3a =28+6=34（3）∵ 210m m +-=，∴ 21m m +=．∵ 22222009m m m +++3222009m m m =+++322()2009m m m =+++ 22()2009m m m m =+++22009m m =++12009=+2010=．所以3222009m m ++的值为2010．【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．举一反三：【变式】（2014秋•越秀区期末）先化简，再求值：（1）（5x+y ）﹣（3x+4y ），其中x=，y=；（2）（a+b ）2+9（a+b ）+15（a+b ）2﹣（a+b ），其中a+b=．【答案】解：（1）原式=5x+y ﹣3x ﹣4y=2x ﹣3y ，当x=，y=时，原式=1﹣2=﹣1；（2）原式=16（a+b ）2+8（a+b ），当a+b=时，原式=1+2=3．类型五、综合应用6. 对于任意有理数x ，比较多项式2452x x -+与2352x x --的值的大小．【答案与解析】解：22222(452)(352)4523524x x x x x x x x x -+---=-+-++=+∵240x +>∴无论x 为何值，2452x x -+＞2352x x --．【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．举一反三：【变式】如果关于x ，y 的多项式2(2)mx xy x +-与 2(323)x nxy y -+的差不含二次项，求m n 的值．【答案】解：原式＝22(2)(323)mx xy x x nxy y +---+＝2(3)(22)3m x n xy x y -++--由题意知，则30,220m n -=+=，∴3,1m n ==-．∴3(1)1m n =-=-．。

实数复习ppt课件

金融中的利率与利息计算
利率计算
在金融领域中，利率的计算是必不可少的。利率通常用百分数表示，但实际上是实数。通过利率的计算，我们可以确定借款或储蓄的回报率。
利息计算
利息的计算是基于本金和利率的乘积。通过利息的计算，我们可以确定资金在使用一定时间后所获得的回报或损失。
物理学中的速度与加速度
数学运算的基础
实数是数学运算的基础，几乎所有数学分支都离不开实数。实数的四则运算、函数、极限、导数等概念是数学分析、代数、几何等领域的基础。
物理世界中的数学模型
实数在描述物理世界的现象和规律时具有重要作用。例如，长度、时间、质量等物理量都可以用实数表示，而物理定律往往可以通过实数的数学表达式来描述和推导。
实数的性质
实数是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是实数。
实数具有完备性，即实数集在加法、减法、乘法和乘方下是封闭的。
实数的分类
有理数
可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数，如圆周率π和自然对数的底数e。
02
实数的运算
加法与减法
详细描述
实数的指数运算通过幂的性质进行，例如$a^m times a^n = a^{m+n}$和$(a^m)^n = a^{mn}$等。根号运算则是求一个数的平方等于给定值的数，需要注意根号的定义域。在进行指数和根号运算时，需要注意处理负指数和根号下的表达式，以及在解决实际问题时考虑单位的换算。
极限理论。
现代数学中的实数研究与应用
实数在现代数学中的地位
实数已成为现代数学的基础，许多数学分支都建立在实数理论之上。
实数在物理学中的应用