八年级数学上册第十三章轴对称回归教材等腰三角形中求角度技巧(二)方程思想同步精练新人教版

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人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称

人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称知识点对朋友们的学习非常重要，大家一定要认真掌握，查字典数学网为大家整理了人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称，让我们一起学习，一起进步吧!
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector)。

轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连接线段的垂直平分线。

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等。

(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

(三线合一)(附：顶角+2底角=180°)
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(等角对等边)
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

只要这样踏踏实实完成每天的计划和小目标，就可以自如地
应对新学习，达到长远目标。

由查字典数学网为您提供的人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称，祝您学习愉快!。

等腰三角形中的角度计算与方程思想

说说这节课你有什么收获？
解决此类问题的一般步骤： 1、根据题目已知找出图中相等的角； 2、设未知数，并用含有未知数的代数式表示图中的角；
3、根据三角形内角和性质或推论列出方程；
4、求解方程；
5、作答。
A
如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA E 求∠A的度数。
D
B C
如图，AA’、BB’分别是△ABC的外角∠EAB和 ∠CBD的平分线，且AA’=AB=B’B，A’、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？
30°
练习：△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数．
提示：设 CAN x ， MAC y 提示：设 MAC ， CAN ， MAC yBAM 提示：设提示：设 MAC CANx x x ， CAN BAM y y 则 MAN AMN y x 则则 MAN AMN AMN x 则 MAN MAN AMN y y x x y C BAC y BAC x CBAC x x y C y C BAC x y ANM CC CAN x 2 x y ANM C CAN 2 x 2 y ANM CAN y ANM在 AMN 中 CAN 2 x y C AMN 中在在 AMN 中在 AMNANM MAN AMN 180 ANM MAN AMN 180 中 ANM MAN AMN 180 ) x x MAN y x ) y ) ( y x y ) 180 ( ANM (( 2 2yy) )( x AMN ( x180 180 y ( 2 x y ) ( y x ) ( y x ) 180 xx-y ( 2 3 y即： x 180 x) ( y x ) 180 x 即： y y 180 ( 180 y3 ) y 即： x 60 y 180 60 即： y60 3 y 即： MAC 60 即： MAC 60 y MAC 60 即： 60

秋季八级数学上册第十三章轴对称等腰三角形含角的直角三角形的性质导学课件新新人教ppt文档

∴∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°－15°＝15°. ∴∠PAB＝∠APB， ∴PB＝AB＝7 n mile. ∴PC＝12PB＝12×7＝3.5 n mile. ∵PC＜3.8 n mile， ∴该船一直向东航行有触礁的危险．
9. 如图，已知在△ ABC 中，BD 是 AC 边上的中线， DB⊥BC 于点 B，∠ABC＝120°，求证：AB＝2BC.
②BC 为底时，如图③，∵AD⊥BC 于点 D，AD＝12 BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD， ∴∠BAD＋∠CAD＝90°，即顶角∠BAC＝90°.
5. 如图，OP 平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA， PD⊥OA 于点 Dபைடு நூலகம்PC＝4，则 PD＝ 2 ．
【解析】作 PE⊥OB 于点 E，根据角平分线的性质可得 PE＝PD，根据平行线的性质可得∠BCP＝∠AOB＝ 30°，在 Rt△ PCE 中，PE＝21PC＝2＝PD.
6. 已知 Rt△ ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝8 cm，D 为 AB 中点，DE⊥AC 于点 E，∠A＝30°，求 BC，CD 和 DE 的长．
8. 一艘轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方位是北偏东 75°，又航行 7 n mile 到 B 处，测得小岛 P 的方位是北偏东 60°，若小岛周围 3.8 n mile 内有暗礁，则该船一直向东航行有无触礁危险？
解：依题意画示意图，则 AB＝7 n mile，过点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C，则∠PBC＝30°，
解：在 Rt△ ABC 中， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BC＝12AB. ∵AB＝8，∴BC＝4 cm. ∵BC＝BD＝4 cm，∠B＝60°，
∴△BDC 为等边三角形． ∴CD＝BC＝4 cm. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. 在 Rt△ ADE 中，DE＝21AD, AD＝21AB， ∴DE＝14AB＝2 cm.

2019_2020学年八年级数学上册第十三章轴对称回归教材等腰三角形中求角度技巧(二)方程思想同步精练(新版

回归教材等腰三角形中求角度技巧(二)方程思想教材母题►(教材P76例1)如图，在△ABC中，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC 各角的度数．【解题过程】解：∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.【变式训练1】如图，△ABC中，AB＝AC，D在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，求∠B 的度数．【解题过程】解：∠B＝36°.【变式训练2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝2∠A，BD⊥AC于点D，求∠DBC的度数．【解题过程】解：18°.【变式训练3】(2017·武昌改)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝40°，AD＝AE，求∠CDE的度数．(导学号：58024169)【解题过程】解：易证∠ADC＝90°，设∠CDE＝x，则∠ADE＝∠AED＝x＋50°，∴x＋(x＋50°)＝90°，∴x＝20°，∴∠CDE＝20°.【变式训练4】如图，△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB上，且BD＝BC，BE＝DE ＝AD ，求∠C 的度数．(导学号：58024170)【解题过程】解：设∠EBD ＝∠EDB ＝x ，则∠A ＝∠AED ＝2x ，∴∠BDC ＝3x ＝∠C ＝∠ABC ， ∴2x ＋3x ＋3x ＝180°，x ＝22.5°，∴∠C ＝67.5°.点评：等腰三角形中的角度问题常用方程的思想来处理．【变式训练5】 (2017·硚口改)如图，AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC ，∠BAC ＝40°，求∠CAD 的度数．(导学号：58024171)【解题过程】解：设∠BDC ＝x ，∠ABD ＝∠ADB ＝y ，则∠CBD ＝2x ，∴∠ABC ＝2x ＋y ，∠ACD ＝x ＋y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝70°，2x ＋70°＋x ＋y ＋x ＝180°，∴x ＝20°，y ＝30°，∴∠CAD ＝80°.【变式训练6】 (2017·武汉二中周练改编)如图，C 为△ABE 的边BE 上一点，且AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，且BD ＝BC ，CE ＝CD .(导学号：58024172)(1)求∠BAC 的度数；(2)求∠C AE 的度数．【解题过程】解：(1)36° .设∠BAC ＝x ＝∠ABD ，则∠BDC ＝2x ＝∠BCD ＝∠ABC ，∴∠DBC ＝x ， ∴5x ＝180°，x ＝36°；(2)18°.易求∠CDE ＝∠DEC ＝12∠BCD ＝36°， ∴DE ＝BD ＝AD ，∴∠CAE ＝12∠CDE ＝18°.。

八年级数学上册第十三章轴对称1等腰三角形.2等腰三角形的判定13

第十三章 13.3.2等腰三角形的判定
知识点：等腰三角形的判定
等腰三角形的判定方法有两个:
(1)定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形.
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”),即这个三角形为等腰三角形.
关键提醒:“等角对等边”是识别三角形是否为等腰三角形的依据,即因为有两个角相等,进而判断出这两角所对的边也相等,从而确定这个三角形就是等腰三角形.需要注意的是“等角对等边”也是证明线段相等的一个重要方法,但使用的范围是在同一个三角形中.
考点：等腰三角形的判定
【例】如图,已知A C⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD.求证:
(1)BC=AD;
(2)△OAB是等腰三角形.
解:(1) ∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中,AB=BA,AC=BD,
∴△ACB≌Rt△B DA(HL) .
∴BC=AD.
(2)由△ACB≌Rt△BDA得∠CAB=∠DBA,
∴△OAB是等腰三角形.
点拨:(1)证△ACB≌Rt△BDA ,根据全等三角形的对应边相等可得;(2)证∠OAB=∠OB A,根据等角对等边可得.。

八年级数学上册轴对称. 等腰三角形等腰三角形的性质教学

∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
B
D
C
∴ BAD1BAC=60°.
2
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第二十九页，共三十三页。
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角(dǐ jiǎo)的平分线，且 ∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
证明(zhèngmíng)：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
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图①
第二十三页，共三十三页。
图②
证明(zhèngmíng)：(1)如图①，过A作 AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
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A
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B AB=AC
等腰三角形
C
折一折：△ABC 是轴对称图形(túxíng)吗？它的对称轴是什么？
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A
等腰三角形是轴对称图形(túxíng). 折痕(shé hén)所在的直线是它的对称轴.
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B D C
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕(shé hén)对折，找出其中重合的线段和角.
第十三章轴对称
13.3 等腰三角形第1课时(kèshí) 等腰三角形的性质
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第一页，共三十三页。
学习目标
1.理解并掌握(zhǎngwò)等腰三角形的性质.(重点) 2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用
等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)

人教版八年级上册数学第13章轴对称用特殊角构造含30°角的直角三角形的三种常用技巧 (2)

人教版八年级上
第十三章轴对称
第3节等腰三角形第5课时用特殊角构造含30°角的直
角三角形的三种常用技巧
提示：点击进入习题
1 见习题 2 见习题 3 见习题 4 见习题 5 见习题
答案显示
1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AC 于 E，AE＝8.求 CE 的长．
4．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝90°，DC∥AB，AC 平分 ∠BAD，∠DAB＝30°.求证 AD＝2BC.
证明：如图，过点 C 作 CE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E. ∵DC∥AB，∠DAB＝30°， ∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝∠DAB＝30°. 在 Rt△CDE 中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE. 又∵AC 平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA. ∴AD＝CD. ∴AD＝2CE. ∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC 平分∠BAD， ∴BC＝CE. ∴AD＝2BC.
5．如图，在△ABC 中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证 AC＝12AB.
证明：如图，过点 B 作 BE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E，则∠AEB＝90°. ∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB. ∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°. ∴∠AEB＝∠DAC. 又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA， ∴△BED≌△CAD(AAS)．∴BE＝CA. ∴AC＝12AB.
3．如图，在四边形 ABCD 中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°， ∠B＝90°，∠ADC＝120°.求 CD 的长．解：如图，延长 AD，BC 交于点 E. ∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE. 又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°. ∴△DCE 是等边三角形．设 CD＝CE＝DE＝a，则有 2(1＋a)＝4＋a，解得 a＝2. ∴CD 的长为 2.

苏科版-数学-八年级上册-巧用轴对称构等腰三角形解题 (2)

巧用轴对称构等腰三角形解题在几何解题中，若遇有高线、角平分线、线段的垂直平分线，可根据图形的轴对称性，巧妙构造等腰三角形，借助等腰三角形的有关性质，往往能够迅速找到解题途径，直观易懂，简捷明快.这样不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且有助于同学们创新思维的培养.现略举几例析解如下，供同学们参考:一、图形含有垂线（或高线），以垂线（或高线）为对称轴构等腰三角形例1.如图，已知AD⊥BC于点D，且∠B=2∠C，试说明AB+BD=DC.分析:因为AD⊥BC，以AD为对称轴进行变换，点B的对称点E必落在BC上，连AE，则△ABE为等腰三角形，根据等腰三角形的性质使问题迎刃而解.解:因为AD⊥BC，以AD为对称轴进行变换，点E为点B的对称点.连AE，则△ABE为等腰三角形，所以∠AEB=∠B=2∠C，且DB=DE.因为∠AEB=∠C+∠CAE，而∠AEB=2∠C，所以∠C=∠CAE，从而AE=CE.因此AB=AE=EC所以AB+BD=EC+DE=DC.二、图形含有角平分线，以角平分线为对称轴构等腰三角形例2.如图，等腰Rt△ABC中，∠A=900，∠B的平分线交AC于D，过C作BD的垂线交BD的延长线于E，试说明:BD=2CE.分析:因为BE是∠ABC的平分线，且BE⊥CE，以BE为对称轴进行变换，点C的对称点必是BA和CE的延长线的交点F，则△BCF为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可使问题巧妙获解.解:因为BE是∠ABC的平分线，且BE⊥CE，以BE为对称轴进行变换，点C的对称点则为BA 和CE的延长线的交点F，则△BCF为等腰三角形.所以CE=EF，即CF=2CE，在△ABD 和△ACF 中，因为∠BAD=∠CAF=Rt ∠， AB=AC ， ∠ABD=900-∠F=∠ACF所以△ABD ≌△ACF(ASA)，所以BD=CF=2CE(全等三角形的对应边相等)三、图形含有线段的垂直平分线，以垂直平分线为对称轴构等腰三角形例3.如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=1200，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点D ，试说明BD=21CD .分析:因为DE 是线段AB 的垂直平分线，以DE 为对称轴进行变换，点B 的对称点必为点A ，连AD ，则△ABD 为等腰三角形，根据等腰三角形的性质可使问题迅捷获解.解:DE 为线段AB 的垂直平分线，连AD ，则△ABD 为等腰三角形.因为AB=AC ，∠A=1200，所以∠B=∠C=300，因为△ABD 为等腰三角形，BD=AD ．则∠BAD=∠B=300，从而∠DAC=900，又∠C=300，所以AD=21CD ，而BD=AD ，所以BD=21CD.评注:根据图形的轴对称，巧妙构造等腰三角形，可迅速找到解题途径，构思新颖，方法独特，不仅能使问题化难为易，迎刃而解，而且有助于培养同学们探索求新的学习习惯，提高数学思维能力和几何解题能力．。

八年级数学上册轴对称. 等腰三角形等腰三角形等腰三角形的判定教学_0000

的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
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第四页，共二十三页。
(sīkǎo)
思考
我们(wǒ men)知道，如果一个三角形有两条边相等，那在一么般它的们三所角对形的中角，相等如。果反有过两来个，角如相果等一，个那三么角它形们有(tā两个 men)所角对相的等边，有那什么么它关们系所？对的边有什么关系？
13.3.1 等腰三角形
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(第二课时(kèshí))判定
第一页，共二十三页。
我们在上一节学习了等腰三角形的性质 (xìngzhì)。现在你能回答我一些问题吗？
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第二页，共二十三页。
一、复习(fùxí)：
1、等腰三角形的性质(xìngzhì)定理是什么？
等腰三角形的两个底角(dǐ 相等。 jiǎo)
第十一页，共二十三页。
谈谈你的收获！ (tán tán)
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第十二页，共二十三页。
(xiǎojié)
小结
1、等腰三角形的判定定理的内容是什么？ 2、等腰三角形的判定方法有下列几种：。
①定义(dìngyì)，②判定定理
3、等腰三角形的判定定理与性质定理的区别是条件和结论刚好(gānghǎo)相反。。 4、运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中。
AD∥BC。
求证(qiúzhèng)：AB=AC
E
分析：从求证看：要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，
A
1 2
D
因为∠1=∠2，所以可以设法
找出∠B，∠C与∠B，∠C的关系。
B
C
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2017-2018学年八年级数学上册第十三章轴对称微专题利用等腰三角形的性质证线段或角度

微专题利用等腰三角形的性质证线段或角度关系【方法技巧】当题目中出现等腰三角形、中点、角平分线、垂直等条件时，可联想等腰三角形的性质解题，特别是运用“三线合一”来证明线段或角相等，可减少证全等的次数，可简化书写步骤．一、证线段相等1．如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ，求证：BE ＝CE .(导学号：58024160)【解题过程】证明：只证AE 平分∠BAC 即可，这可由△ABD ≌△ACD (SSS)得到．2．如图，BD 是△ABC 的角平分线，∠A ＝40°，∠ACB ＝70°，DF ⊥BC 于点F ，E 为BC 延长线上一点， CE ＝CD ，求证：BF ＝EF .(导学号：58024161)【解题过程】证明：因DF ⊥BE ，故只证BD ＝DE 即可，这可由∠DBE ＝∠E ＝35°得到．二、证角相等3．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于点D ，求证：∠BCD ＝12∠BAC .(导学号：58024162)【解题过程】证明：方法一(计算法)：设∠BAC ＝x ，则∠B ＝180°－x 2，∴∠BCD ＝90°－180°－x 2＝12x ；方法二(三线合一)：作AM ⊥BC 于M ，证∠BCD ＝∠BAM ＝∠CAM 即可．三、证垂直4．如图，CA＝CB，OA＝OB，求证：OC⊥AB.【解题过程】证明：因CA＝CB，要证OC⊥AB，故只证OC平分∠ACB即可，所以先证△AOC≌△BOC(SSS)，即可得到OC平分∠ACB.5．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB，BC分别作等边△ABD和等边△BCE，求证：BD⊥CE.(导学号：58024163)【解题过程】证明：连接DC，DE，先证△CBD≌△EBD(SAS)，∴CD＝ED，BD平分∠CDE，∴BD⊥CE.。

八年级数学上册 第十三章 轴对称 回归教材 等腰三角形中求角度技巧(二)方程思想同步精练 新人教版

人教版初二上册数学第13章复习要点：轴对称

等腰三角形中的角度计算与方程思想

秋季八级数学上册第十三章轴对称等腰三角形含角的直角三角形的性质导学课件新新人教ppt文档

2019_2020学年八年级数学上册第十三章轴对称回归教材等腰三角形中求角度技巧(二)方程思想同步精练(新版

八年级数学上册第十三章轴对称1等腰三角形.2等腰三角形的判定13

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人教版八年级上册数学第13章 轴对称 用特殊角构造含30°角的直角三角形的三种常用技巧 (2)