重标极差分析法估计指数的有效性检验

SSn ~ CnH ，其中， C 为某常数，则可以采用如下的双对数回归方式估计 H 指数：
log( SSn ) = log( C) + H log( n ) 。
（1）
CRS（Hurst，1951[1]；Mandelbrot，1969[2] ）使用如下的局部统计量为：
(R / S)n,m = R n,m / Sn,m ，
（7）
其中， i 2 = −1，该步其实是对自协方差序列 γ0 , γ1,⋯, γT−1 , γT , γT −1 ,⋯, γ1 实施离散 傅立叶变换（DFT）；
第 2 步，检查非负条件：对所有 k ， Ak,T ≥ 0 ，该步也很重要，若不满足非 负条件，则模拟序列是无效的；
第
3
步，模拟产生均值为
⎟⎞ ⎠
⎤
⎥ ⎥⎦
，其它与
上述 MRS 中的定义相同。
2.2 模拟设计
2.2.1 FGN 和 FBM 序列的模拟算法
由 Mandelbrot & Van Ness（1968）[5]提出的分形高斯噪声（Fractional Gaussian Noise，简称 FGN）是第一个完整的长记忆模型，通常定义为具有 H 指数的分形
0、方差为
1
的独立高斯随机变量序列{Z
t
}2T −1 t =0
；
第 4 步，计算复值序列{Vk}2kT=0−1 ：
⎧ ⎪
2TA 0,T Z0 , k = 0,
② 黄诒蓉，男，1976.11，中山大学管理学院副教授、博士，通讯地址：广州市新港西路 135 号中山大学管理学院，邮编：510275，Email：huangyr@，电话： 13719361509。
-1-
1引言
Hurs t（1951）[1] 在长期的水文研究工作中发现，河流流量存在较强的长记忆 性。后来，许多研究发现，该特性不仅存在于自然界，而且广泛存在于经济与管 理领域的数据中。金融时间序列长记忆性的检测与建模目前已经成为金融计量领 域研究的重要内容。长记忆性通常从具有双曲率缓慢衰减形式的自相关函数和在 零频率处趋于无限值的谱密度函数等两个角度进行刻画，而且均通过 Hurst 指数 （下文简称 H 指数）来表征长记忆性程度。因此，H 指数的估计与检验是长记 忆性研究的关键工作，其估计与检验的有效性直接影响对长记忆性的甄别。
关键词 Hurst 指数；经典 R/S 分析；修正 R/S 分析；V/S 分析；有效性。
Testing the Efficiency of Hurst Index Estimation Based on R/S Type Method
Yirong Huang School of Business, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China
( yt,m
−
yn,m )2
+
2 n
q
⎡n
ω j (q)⎢ ( yt,m
j=1
⎣t= j+1
−
yn,m )( yt− j,m
−
⎤ y n,m )⎥
⎦ ，（3）
q
∑ =
σ
2 y
+
2
ω j (q)γ j
j=1
∑ 其中， σˆ 2y
=
1 n
n t =1
(y t,m
−
yn ,m )2 ，当 q < n 时， ω j(q) ≡1 −
Abstract: This paper studies the efficiency of estimating Hurst index with R/S type including classical rescaled range analysis, modified rescaled range analysis and rescaled variance analysis by simulating FGN series with DHM. There are evident differences between the effects of the length of series, the type of dealing with short-rang dependence, strength of added white noise in series on three estimators, moreover, they have separate applicable interval of estimating Hurst index.
R/S 类方法估计 Hurst 指数的有效性检验①
黄诒蓉② 中山大学管理学院，广州 510275，中国
【摘要】 本文在设定不同 H 真实值的情况下，通过 DHM 算法模拟出一系列 FGN 序 列，对 CRS、MRS 和 VS 等三种 R/S 类方法估计 H 指数的有效性进行了研究。研究结果表 明，CRS 受到序列长度、短期相关性处理和白噪声成分强弱的显著影响，MRS 受到序列长 度和白噪声成分强弱的显著影响，而 VS 受到白噪声成分强弱的影响，并且均不具有正态分 布特性，分别当 H 真实值介于 0.7 至 0.8、0.6 至 0.7 和 0 至 0.6 之间时能对 H 指数做出较好 的估计，而当 H 真实值介于 0.8 至 1 之间时，R/S 类方法均低估 H 指数。
尽管现有文献提出多种估计 H 指数的方法，但是 R/S 类方法由于其简洁性 而一直受到研究者的青睐，迄今为止仍是估计 H 指数最常用的方法。该类方法 最早是由 Hurst（1951）[1]和 Mandelbrot & Wallis （1969）[2]提出的经典 R/S 分析 方法（Classical Rescaled Range，下文简称 CRS），后来 Lo（1991）[3]通过考虑序 列的短期相关性对 CRS 进行了修正而提出修正 R/S 分析方法（Modified Rescaled Range，下文简称 MRS），Giraitis et al.（2003）[4]利用部分和序列的方差替代部 分和序列的极差对 CRS 进行了修正而提出 V/S 分析方法（Rescaled Variance，下 文简称 VS）。虽然 MRS 和 VS 均是从不同方面对 CRS 进行了某种程度的修正， 但是能否真正提高 H 指数的估计有效性呢？尽管许多研究文献对 R/S 类分析方 法的有效性提出许多质疑，但是目前大多数的研究都是这些估计方法在某些领域 的直接应用，而对它们估计 H 指数的有效性的关注和研究却很少。
度 n 所划分出的所有子序列的局部统计量 LSn,m ，然后利用所有局部统计量计算
出标度长度 n 对应的标度统计量 SSn ，此处标度统计量是所有局部统计量的平均
∑ 值，即为 SSn
=
1 M
M
LS n, m
m =1
；
第 3 步，改变标度长度 n，重复前面的步骤，这样得到一系列的标度长度 n
及其相应的标度统计量序列 SSn ； 第 4 步，若标度统计量序列与标度长度序列存在如下的标度关系：
n
的子序列：
(y 1, y 2,⋯, y n )
，
[ ] (y n+1, y n+2 ,⋯, y 2 n ) ，…， (y , (M−1)n+1 y (M−1)n +2 ,⋯, y Mn ) ，其中， M = [T / n] ， ⋅ 表示
取整，下同；
第 2 步，计算出与标度长度 n 所对应的标度统计量。首先计算出根据标度长
⎞ 2 /3 ⎤ ⎟⎟ ⎥ ⎠ ⎥⎦
，
（4）
其中，n 为子样本长度， ρˆ 为一阶自相关系数的估计值， [⋅]表示取整。当 q = 0
时，MRS 与 CRS 方法一致。 VS（Giraitis et al.，2003）[4]使用的局部统计量为：
(V / S)n ,m
=
Vn, m Sn, m
，
（5）
其中，
条件分布的 Durbin-Levinson 方法（Brockwell & Davis ，1991[6]）、基于循环嵌入 矩阵和傅立叶变换的模拟方法（Davies & Harte，1987[7]；Wood & Chan，1994[8] ）、 基于小波的合成模拟方法（Abtry & Sellan，1996[9]）等。我们通过反复模拟比较 发现，这些模拟方法的效果基本一致。因此，本文选择 Davies & Harte（1987）[7] 提出的算法（Davies & Harte Method，简称 DHM）模拟 FGN 序列。在式（1）
（2）
k
k
∑ ∑ 其中， R n,m = [max ( yt ,m − yn ,m ) − min ( yt ,m − yn ,m )]为第 m 个子样本的极
1≤k ≤ n
1≤ k ≤ n
t=1
t=1
∑ ∑ 差， Sn,m =
1 n
n
( yt,m
t=1
− y n,m )2 为第 m
个子样本的标准差， y n,m
Vn,m 为第
m
个子序列部分和序列
{ } S n k k =1
的方差，具体展开形式为：
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Vn,m
=1 n
n
(Sk
k =1
− Sn )2=Βιβλιοθήκη 1⎡ ⎢n
⎜⎛
n ⎢⎣ k =1 ⎝
k
( yt,m
t=1
2
⎞
1⎛ n
− yn,m )⎟ ⎠
−⎜ n ⎝ k =1
k
( yt,m
t=1
−
yn
,m
)
2
给定自协方差序列 {γk}Tk=0 的条件下，DHM 算法模拟长度为 T 的 FGN 样本序列