2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定
#2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定
角为( )
A．0°
B．135°
C．90°
D．180°
[答案] C
5．直线l1的倾斜角为45°，l2∥l1，则l2的倾斜角为 45° ， 若l2过点A(2,3)，B(－1，y)，则y＝ 0 .
新课引入 过山车是一种具有刺激性的娱乐工具，那种风驰电掣， 有惊无险的快感令不少人着迷．实际上，过山车运动包含了 许多数学、物理学原理，人在设计过山车时巧妙地运用了这 些原理．过山车有两条永远平行、起伏的铁轨，它们依靠一 根根巨大的且垂直于地面的钢筋支撑着，你能感受到过山车 中的平行与垂直吗？那么两条直线的平行与垂直用什么来刻 画呢？
已知平行四边形ABCD中，A(1,1)，B(－2，3)，C(0，－ 4)，则D点坐标为________．
[答案] (3，－6)
[分析] 利用平行四边形的对边平行确定点D的坐标．
[解析] 设D(x，y)，∵AB∥CD，∴kAB＝kCD， ∴－3－ 2－11＝y＋x 4，即2x＋3y＋12＝0(1) 又∵AD∥BC ∴kBC＝kAD，∴－04＋－23＝xy－－11 即7x＋2y－9＝0(2) 由(1)(2)解得xy＝ ＝3－6 ，∴D点坐标为(3，－6).
6．直线 l1 的斜率为 2，直线 l2 上有三点 M(3,5)、N(x,7)、 P(－1，y)，若 l1⊥l2，则 x＝______，y＝______.
[答案] －1 7 [解析] ∵l1⊥l2，∴l2 的斜率为－12 ∴7x－－35＝－y－1－53＝－12，解得 x＝－1，y＝7.
[例2] 判断下列各小题中的直线l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)， N(2,1)； (2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)， N(10,40)．
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：2-1-1 平面
一、选择题1．下列说法中正确的是()A．镜面是一个平面B．一个平面长10 m，宽5 mC．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍D．所有的平面都是无限延展的[答案] D[解析]镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确；故选D.2．如图所示，下列符号表示错误的是()A．l∈αB．P∉lC．l⊂αD．P∈α[答案] A[解析]观察图知：P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．3．下面四个说法(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；②∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；④∵A∉α，a⊂α，∴A∉a.其中表述方式和推理都正确的命题的序号是()A．①④B．②③C．④D．③[答案] C[解析]①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊂α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．4．空间中四点可确定的平面有()A．1个B．3个C．4个D．1个或4个或无数个[答案] D[解析]当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面．5．下列命题中正确的是()A．圆心与圆周上两点可以确定一个平面B．梯形一定是平面图形C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D．两组对边都相等的四边形是平面图形[答案] B[解析]当圆心与圆周上两点共线时，由于共线的三点可以确定无数个平面，所以选项A不正确；选项C中，当A，B，C，D共线时，平面α和平面β可能相交，所以选项C不正确；选项D中，两组对边都相等的四边形可能不共面，所以选项D不正确；由于梯形的一组对边平行，则确定一个平面，所以梯形是平面图形，所以选项B正确．6．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④[答案] D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D.7．若一直线a在平面α内，则正确的图形是()[答案] A8．下图中正确表示两个相交平面的是()[答案] D[解析]A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确．D的画法正确．画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画．二、填空题9．经过一点可以作__________个平面；经过两点可作________个平面；经过不在同一直线上的三点可作________个平面．[答案]无数，无数，一10．“若A、B在平面α内，C在直线AB上，则C在平面α内．”用符号语言叙述这一命题为____________________________．[答案]A∈α，B∈α，C∈AB⇒C∈α11．若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；其理由是________________．[答案]∈，同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上12．已知α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．[答案]P∈l[解析]∵m∩n＝P，m⊂α，n⊂β，∴P∈α，P∈β，又α∩β＝l，∴P∈l.三、解答题13．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ交于一点P，且平面α与平面β交于P A，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.[解析](1)符号语言：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.图形表示如图1.(2)符号语言：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ACD ＝AC.图形表示如图2.14．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．[解析]图(1)平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β，b∩AB ＝M；图(2)平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B；图(3)平面α∩平面β＝CD，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝A，A ∈CD.15．如图，已知α∩β＝l，梯形ABCD两底为AD，BC且满足AB ⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l交于一点．[证明]∵AD，BC是梯形ABCD的两底边，∴AB与CD必交于一点．设AB∩CD＝M，则M∈DC，且M∈AB.又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，且M∈β.即M是平面α与β的公共点．又∵α∩β＝l，由公理3得M∈l，即AB，CD，l交于一点．16．已知直线l与四边形ABCD的三边AB，AD，CD所在直线分别相交于点E，F，G.求证：四边形ABCD是平面四边形．[证明]设AB，AD确定的平面为α，则E∈α，F∈α.于是EF⊂α.又∵G∈EF，∴G∈α.∴DG⊂α，即DC⊂α.∴C∈α.故A，B，C，D四点共面，即四边形ABCD为平面四边形．。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件：第一章 空间几何体
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[例3] 某个容器的底部为圆柱，顶部为圆锥，其正视图 如下图所示，则这个容器的容积为( )
第一章 章末总结
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A.73πm3 C．3πm3
B.83πm3 D．12πm3
第一章 章末总结
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(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正
方体的对角面得截面．如图(2)所示．有2r2＝ 2a，r2＝ 22a， 所以S2＝4πr22＝2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角
面得截面．如图(3)所示．有2r3＝
[证法1] 如图2所示，连接A′B，A′C，这样就把三棱 柱分割成了两个棱锥． 设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是13V， 而四棱锥A′－BCC′B′的体积为13Sa， 故有13V＋13Sa＝V， 所以V＝12Sa.
第一章 章末总结
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[答案] B
第一章 章末总结
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[解析] 从主视图和俯视图可排除A、C两项，由侧视图 可知D项不正确．故选B.
第一章 章末总结
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规律总结：本题考查了立体几何中的空间想象能力， 由三视图能够想象到到空间中的实物图，也可以从选项去分 析，看各选项的三视图是否符合题中所给的三视图，从而确 定答案．
1 A.6V
1 B.4V
成才之路人教A版数学必修2-
6 2 2 ＝ 6π a . a 2
[答案] B
第一章
1.3
1.3.2
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规律总结： 常见的几何体与球的切、接问题的解决
策略： (1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意 球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性， 球心总在几何的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
4 3 32 [解析] (1)3πR ＝ 3 π， 故 R＝2， 球的表面积为 4πR2＝16π. (2)体积之比是 8∶27，则半径之比是 2∶3，表面积之比是 4∶9. 4 8 4 3 (3)两个小铁球的体积为 2×3π×1 ＝3π，即大铁球的体积3 8 3 π×R ＝3π，所以半径为 2.
3
[答案] (1)B (2)B (3) 2
迎刃而解了．
(2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方， 两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．
第一章
1.3
1.3.2
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(1)已知球的表面积为64π，求它的体积． (2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍，木星的体积约 是地球体积的多少倍？
第一章
1.3
1.3.2
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(2012· 广东 ) 某几何体的三视图如图所示 ，它的体积为
( )
A．72π
B．48π
C．30π
D．24π
第一章 1.3 1.3.2
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(最新整理)【成才之路】高中数学2-2-2-3习题课能力强化提升新人教A版必修1
7．(2012~2013 衡水二中月考试题)若 f(x）＝｜lgx|，0＜a＜b 且 f（a）＞f（b）则下列
结论正确的是（ ）
A．ab＞1
B．ab＜1
C．ab＝1
D．（a－1）（b－1)＞0
［答案] B
［解析］ 由 y＝｜lgx|图象可知，a＜1＜b,否定 D。 ∵f(a）＞f（b)，∴｜lga｜＞｜lgb｜即－lga＞lgb ∴lga＋lgb＜0，∴lg(ab）＜0，∴0＜ab＜1.故选 B。
1
【成才之路】2014 高中数学 2-2-2-3 习题课能力强化提升新人教 A 版必修 1
【成才之路】2014 高中数学 2-2—2-3 习题课能力强化提升 新人教 A 版必 修1
一、选择题
1．若 log2x＝3，则 x 的值为（ ）
A．4 ［答案］ C
2．log（
2
【成才之路】2014 高中数学 2-2-2-3 习题课能力强化提升新人教 A 版必修 1
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
［答案］ C
［解析］ a＝log20.3＜log21＝0，b＝20。3＞20＝1, c＝0.32＜0。30＝1，又 0。32＞0，
∴b＞c＞a，故选 C.
A．（0，＋∞）
B．[0，＋∞）
C．(－∞,0）
D．［－∞，0）
[答案] C
［解析］ 3x>0⇒0<1－3x<1⇒log2（3x＋1)<log21＝0，选 C. 6．（2012～2013 山东梁山一中期中试题）已知 a＝log20.3，b＝20。3,c＝0。32 则 a、b、c
三者之间的大小关系为( ）
B．y＝2＋
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：3-1-2 两条直线平行与垂直的判定
一、选择题1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.其中正确的为()A．①②③④B．①③C．②④D．以上全错[答案] B[解析]当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．2．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是()A．相交B．平行C．重合D．以上都不对[答案] B[解析]∵A、B两点纵坐标相等，∴直线AB与x轴平行．3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为()A．(2,0) B．(0,2)C．(0,1) D．(1,0) [答案] B[解析]设l2与y轴交点为B(0，b)，∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.∴k OA k AB＝－1.∴1－01－0×b－10－1＝－1，解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()A．2 B．－2C．4 D．1[答案] D[解析]∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，∴y＝1.故选D.5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)[答案] D[解析]设P(0，y)∵l1∥l2∴y－10＋1＝2∴y＝3故选D.6．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是()①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l 1经过点M (－1,0)，N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)，S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③[答案] B7．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )A ．19 B.194 C ．5 D ．4 [答案] B[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆， 所以AB ⊥BC ∴4－03－2·4－y 3－0＝－1 ∴y ＝194故选B.8．过点E (1,1)和点F (－1,0)的直线与过点M (－k2，0)和点N (0，k4)(k ≠0)的直线的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合 [答案] C[解析] k EF ＝0－1－1－1＝12，k MN＝k40＋k 2＝12， 又当k ＝2时，EF 与MN 重合． 二、填空题9．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝________.[答案] 4[解析] 由题意，得tan45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4.10．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2)，B (0,1)，C (4,3)，点D (m,1)在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________.[答案] 52[解析] 由题意得AD ⊥BC ，则有k AD k BC ＝－1， 所以有1－2m －2·3－14－0＝－1，解得m ＝52.11．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．[答案] 1 －33[解析] ∵k AB ＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°. (1)∵l 1与l 垂直，∴kl 1＝1.(2)∵∠ABC ＝15°，∠CDB ＝135°， ∴∠β＝135°＋15°＝150°，∴kl 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－33.12．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.[答案] 2 －98[解析] 当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1， ∴－b2＝－1.∴b ＝2. 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2，∴Δ＝(－3)2＋4×2b ＝0.∴b ＝－98.三、解答题13．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．[解析] 当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92. 14．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解析] 设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0－25－1＝b －4a －3b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD . ∴▱ABCD 为菱形．15．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．[分析] 分类讨论直角梯形ABCD 的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．[解析] (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB . ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1.(2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－(－1)4－5，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.16．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径的端点作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．[分析] 本题中有三个点A 、B 、C ，由于AB 为直径，C 为圆上的点，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，则必有k AC·k BC＝－1.列出方程求解即可．[解析]以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则k AC＝－3x＋1，k BC＝－2x－4.∴－3x＋1·－2x－4＝－1.去分母解得x＝1或2.∴C(1,0)或C(2,0)．规律总结：当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.这是很明显的(上图)．故不需对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：2-3-2 平面与平面垂直的判定
一、选择题1．下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②[答案] B[解析]对①，显然混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对②，由于a，b分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对③，因为不垂直于棱，所以是错误的；④是正确的，故选B.[点评]根据二面角的相关概念进行分析判定．2．以下三个命题中，正确的命题有()①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小A．0个B．1个C．2个D．3个[答案] B[解析]仅②正确．3．正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面BC1垂直的面的个数是()C．3 D．4[答案] D[解析]与平面BC1垂直的面有：平面AC，平面A1C1，平面AB1，平面CD1.4．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．无法确定[答案] B[解析]如图，BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线，则∠BDC为二面角α－l－β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠A ＋∠BDC＝180°.5．已知α，β是平面，m、n是直线，给出下列表述：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中表述正确的个数是()C ．3D ．4[答案] B [解析] ①是平面与平面垂直的判定定理，所以①正确；②中，m ，n 不一定是相交直线，不符合两个平面平行的判定定理，所以②不正确；③中，还可能n ∥α，所以③不正确；④中，由于n ∥m ，n ⊄α，m ⊂α，则n ∥α，同理n ∥β，所以④正确．6．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( ) A.33 B.22 C. 2 D. 3[答案] C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角．tan ∠A 1OA ＝A 1A AO ＝2，∴选C.7．在二面角α－l －β中，A ∈α，AB ⊥平面β于B ，BC ⊥平面α于C ，若AB ＝6，BC ＝3，则二面角α－l －β的平面角的大小为( )C．30°或150°D．60°或120°[答案] D[解析]如图，∵AB⊥β，∴AB⊥l，∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.8．四边形ABCD是正方形，以BD为棱把它折成直二面角A－BD－C，E为CD的中点，则∠AED的大小为()A．45°B．30°C．60°D．90°[答案] D[解析]设BD中点为F，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥面BCD.∵E、F分别为CD、BD的中点，∴EF∥BC，∵BC⊥CD，∴CD⊥EF，又AF⊥CD，∴CD⊥平面AEF，∴CD⊥AE.故选D.二、填空题9．下列四个命题中，正确的命题为________(填序号)．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ②α∥β，β∥γ，则α∥γ③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ[答案]①②10．在三棱锥P－ABC中，已知P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．[答案] 3[解析]∵P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，∴P A⊥平面PBC，∵P A⊂平面P AB，P A⊂平面P AC，∴平面P AB⊥平面PBC，平面P AC⊥平面PBC.同理可证：平面P AB⊥平面P AC.11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.[答案] 1[解析]∵AB⊥平面BC1，C1F⊂平面BC1，CF⊂平面BC1，∴AB⊥C1F，AB⊥CF，又EF∥AB，∴C1F⊥EF，CF⊥EF，∴∠C1FC是二面角C1－EF－C的平面角，∴∠C1FC＝45°，∴△FCC1是等腰直角三角形，∴CF＝CC1＝AA1＝1.又BC＝2，∴BF＝BC－CF＝2－1＝1.12．如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB＝a.(1)二面角A－PD－C的度数为________；(2)二面角B－P A－D的度数为________；(3)二面角B－P A－C的度数为________；(4)二面角B－PC－D的度数为________．[答案]90°；90°；45°；120°[解析](1)P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PCD，∴平面P AD⊥平面PCD，∴二面角A－PD－C为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A，∴∠BAD为二面角B－AP－D的平面角．又∠BAD＝90°，∴二面角B－AP－D为90°.(3)P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A，∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角，又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B－P A－C为45°.(4)作BE ⊥PC 于E ，连DE ，则由△PBC ≌△PDC 知∠BPE ＝∠DPE ，从而△PBE ≌△PDE ，∴∠DEP ＝∠BEP ＝90°，且BE ＝DE ，∴∠BED 为二面角B －PC －D 的平面角．∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥PB ，∴BE ＝PB ·BC PC ＝63a ，BD ＝2a ，∴取BD 中点O ，则sin ∠BEO ＝BO BE ＝32，∴∠BEO ＝60°，∴∠BED ＝120°∴二面角B －PC －D 的度数为120°.三、解答题13．(2012·江西卷)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ；(2)求多面体CDEFG 的体积．[解析] (1)由已知可得AE ＝3，BF ＝4，则折叠完后EG ＝3，GF ＝4，又因为EF ＝5，所以可得EG ⊥GF ，又因为CF ⊥底面EGF ，可得CF ⊥EG ，即EG ⊥面CFG 所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G －EFCD 的高，所以所求体积为13S 矩DECF ·GO ＝13×5×4×125＝16.14．在如下图所示的四面体ABCD 中，AB ，BC ，CD 两两互相垂直，且BC ＝CD .(1)求证：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)求二面角C －AB －D 的大小．[分析] (1)转化为证明CD ⊥平面ABC ；(2)∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．[解析] (1)证明：∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ∩BC ＝B ， ∴CD ⊥平面ABC .又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，且BC ∩CD ＝C ，∴AB ⊥平面BCD .∴AB ⊥BD .∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角．∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°.∴二面角C －AB －D 的大小为45°.15．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：(1)MN ∥平面P AD ；(2)平面PMC ⊥平面PDC .[解析] (1)取PD 的中点Q ，连接AQ 、QN ，∵PN ＝NC ，∴QN 綊12DC .∵四边形ABCD 为矩形，∴QN 綊AM ，∴MN ∥AQ ，又∵AQ⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴∠P AD＝90°，∴△P AD为等腰直角三角形，∵Q为PD中点，∴AQ⊥PD，∵CD⊥AD，CD⊥P A，∴CD⊥平面P AD，∵AQ⊂平面P AD，∴CD⊥AQ，∴AQ⊥平面PDC由(1)MN∥AQ，∴MN⊥平面PDC，又∵MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PDC.16．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A－BE－P的大小．[解析](1)证明：如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB，又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB ⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB＝3，∠PBA＝60°. 故二面角A－BE－P的大小是60°.。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修3课件：1-1-2-3 循环结构、程序框图的画法
第一章 1.1 1.1.2 第3课时
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④循环结构中常量的几个变量： 计数变量：即计数器，用来记录执行循环体的次数，如i ＝i＋1，n＝n＋1. 累加变量：即累加器，用来计算数据之和，如S＝S＋i. 累乘变量：即累乘器，用来计算数据之积，如P＝P*i. ⑤在程序框图中，一般要根据实际情况先给这些变量赋 初始值．一般情况下，计数变量的初始值为1，累加变量的 初始值为0，累乘变量的初始值为1.
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温故知新 1．下列问题的算法宜用条件结构表示的是( ) A．求点P(－1,3)到直线3x－2y＋1＝0的距离 B．由直角三角形的两条直角边求斜边 C．解关于x的方程ax＋b＝0 D．计算100个数的平均数 [答案] C
[解析] A，B，D只需用顺序结构即可．
(1)在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件
进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样
的循环结构是( )
A．分支型循环
B．直到型循环
C．条件型循环
D．当型循环
[答案] D
第一章 1.1 1.1.2 第3课时
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思路方法技巧
[答案] (1)81 (2)1005
第一章 1.1 1.1.2 第3课时
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规纳总结：此类题容易在循环体执行的次数上出错，搞 不清楚最后一个数据到底是多少，做题时希望大家细心．
成才之路人教A版数学必修2-1.2.3
[名师点拨]
用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放
置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图形的关 键是确定多边形的顶点．因为多边形顶点的位置一旦确定，依 次连接这些顶点就可画出多边形．
第一章
1.2
1.2.3
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2．画空间几何体的直观图的步骤 (1) 在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox ， Oy ，再 作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°. (2) 画 出 与 Ox ， Oy ， Oz 对 应 的 轴 O′x′ ， O′y′ ， O′z′ ， 使
系，是我们本节课研究的重点．
2 ．初中我们就学会了在平面上画正方体和长方体，它们 的六个面只有两个面画成了正方形或长方形，其余各面都画成 了平行四边形，这样画出的几何体才有立体感．
第一章
1.2
1.2.3
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完成以下练习为学新知打下基础：
●课标展示 1．掌握斜二测画法的步骤． 2 ．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的 直观图．
3 ．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示
形式及不同形式间的联系．
第一章
1.2
1.2.3
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●温故知新 旧知再现 1 ．给出一个空间图形，如何把它画在平面内，使得它既 富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关
侧，故俯视图为C.
第一章 1.2 1.2.3
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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：4-1-2 圆的一般方程
一、选择题1．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的圆心连线方程为( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0 [答案] C[解析] 两圆的圆心分别为(2，－3)、(3,0)，直线方程为y ＝0＋33－2(x －3)即3x －y －9＝0，故选C.2．若方程x 2＋y 2＋(λ－1)x ＋2λy ＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，1 C ．(1，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15 D ．R[答案] C[解析] D 2＋E 2－4F ＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0解不等式得λ<15或λ>1，故选C.3．过三点A (－1,5)，B (5,5)，C (6，－2)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＋4x －2y －20＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋2y －20＝0C ．x 2＋y 2－4x －2y －20＝0D ．x 2＋y 2＋4x ＋4y －20＝0[答案] C[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得⎩⎪⎨⎪⎧ －D ＋5E ＋F ＝－265D ＋5E ＋F ＝－506D －2E ＋F ＝－40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4E ＝－2F ＝－20故选C.4．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线是以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D 、E 、F 的值分别为( )A ．4，－6,3B ．－4,6,3C ．－4,6，－3D ．4，－6，－3[答案] D[解析] 圆心为(－D 2，－E 2)，∴－D 2＝－2，－E 2＝3，∴D ＝4，E＝－6，又R ＝12D 2＋E 2－4F 代入算得F ＝－3.5．与圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0同圆心，且过(1，－1)的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x ＋6y －8＝0B ．x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8＝0C ．x 2＋y 2＋4x －6y －8＝0D ．x 2＋y 2＋4x －6y ＋8＝0[答案] B[解析] 圆心为(2，－3)，半径R ＝(2－1)2＋(－3＋1)2＝ 5.6．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F [答案] A[解析] 圆心(－D 2，－E 2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E ，故选A.7．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0[答案] C[解析] 令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以定点C 的坐标为(－1,2)． 则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.8．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5B ．5C ．2 5D ．10[答案] B[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.二、填空题9．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为________．[答案] x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．10．圆x 2＋2x ＋y 2＝0关于y 轴对称的圆的一般方程是________．[答案] x 2＋y 2－2x ＝0[解析] 已知圆的圆心为C (－1,0)，半径r ＝1，点C 关于y 轴的对称点为C ′(1,0)，则已知圆关于y 轴对称的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.11．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．[答案] x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.[答案] －2[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心，∴－1＋a 2＋2＝0，∴a ＝－2.三、解答题13．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．[分析]本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．[解析]解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m ＝2时，D2＋E2－4F＝0，它表示一个点，当m≠2时，D2＋E2－4F>0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝1 2D2＋E2－4F＝5|m－2|.解法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝5|m－2|.规律总结：(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．(2)在书写本题结果时，易出现r＝5(m－2)的错误结果，导致这种错误的原因是没有理解对一个数开偶次方根的结果为非负数．14．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程．[分析]根据圆心、半径满足的条件列出关系式，从而求出参数D与E的值．[解析] 圆心C (－E 2，－E 2)，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2， ①又r ＝D 2＋E 2－122＝2， ∴D 2＋E 2＝20， ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，∴－D 2<0即D >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2E ＝－4， ∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.规律总结：在求解过程中，要注意圆心在第二象限这一限定条件，避免增解．15．自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①点A (4,0)是定圆外一点；②过A 的直线交圆于B ，C 两点．解答本题可先设出动点P 的坐标(x ，y )，然后由圆的几何性质知OP ⊥BC ，再利用k OP ·k AP ＝－1，求出P (x ，y )满足的方程．也可由圆的几何性质直接得出动点P 与定点M (2,0)的距离恒等于定长2，然后由圆的定义直接写出P 点的轨迹方程．[解析] 方法一：(直接法)设P (x ，y )，连接OP ，则OP ⊥BC ，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1， 即x 2＋y 2－4x ＝0. ①当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)． 方法二：(定义法)由方法一知OP ⊥AP ，取OA 中点M ，则M (2,0)，|PM |＝12|OA |＝2，由圆的定义知，P 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4(在已知圆内的部分)．规律总结：针对这个类型的题目，常用的方法有(1)直接法，(2)定义法，(3)代入法，其中直接法是求曲线方程最重要的方法，它可分五个步骤：①建系，②找出动点M 满足的条件，③用坐标表示此条件，④化简，⑤验证；定义法是指动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后据定义直接写出动点的轨迹方程；代入法，它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可．16．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程．[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.∵圆经过点(4,2)和(－2，－6)，代入圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0， ①2D ＋6E －F －40＝0. ② 设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，它们是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D .设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，它们是方程y 2＋Ey＋F＝0的两个根，得y1＋y2＝－E.由已知，得－D＋(－E)＝－2，即D＋E－2＝0.③由①②③联立解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.规律总结：在涉及圆的方程中，若已知圆心和半径之一，设标准方程较方便；若已知圆过定点，则设一般方程较方便．。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：3-3-1 两条直线的交点坐标
一、选择题1．直线3x －y ＝0与x ＋y ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合 D ．垂直[答案] A[解析] A 1B 2－A 2B 1＝3×1－1×(－1)＝3＋1≠0，又A 1A 2＋B 1B 2＝3×1＋(－1)×1＝3－1≠0，则这两条直线相交，但不垂直．2．直线2x ＋3y ＋8＝0和直线x －y －1＝0的交点坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2,1)[答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即交点坐标是(－1，－2)． 3．直线ax ＋3y －5＝0经过点(2,1)，则a 的值等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1[答案] B[解析] 由题意得2a ＋3－5＝0，解得a ＝1.4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y ＝1，和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝12x ＋3y ＋8＝0得交点(－1，－2)，代入x ＋ky ＝0得k ＝－12，故选B.5．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)[答案] C[解析] 方程可化为y －1＝k (x －3)，即直线都通过定点(3,1)． 6．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(－2，－3)B ．(2,1)C ．(2,3)D ．(－2，－1) [答案] C[解析] 将A 、B 、C 、D 四个选项代入x －y ＋1＝0否定A 、B ，又MN 与x ＋2y －3＝0垂直，否定D ，故选C.7．过两直线3x ＋y －1＝0与x ＋2y －7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )A ．x －3y ＋7＝0B ．x －3y ＋13＝0C ．2x －y ＋7＝0D ．3x －y －5＝0 [答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －1＝0，x ＋2y －7＝0，得交点(－1,4)．∵所求直线与3x ＋y －1＝0垂直， ∴所求直线斜率k ＝13，∴y －4＝13(x ＋1)， 即x －3y ＋13＝0.8．已知直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m －n ＋p 为( )A ．24B ．20C ．0D ．－4[答案] B[解析] ∵两直线互相垂直，∴k 1·k 2＝－1，∴－m 4·25＝－1，∴m ＝10.又∵垂足为(1，p )，∴代入直线10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入直线2x －5y ＋n ＝0得n ＝－12，∴m －n ＋p ＝20. 二、填空题9．过原点和直线l 1：x －3y ＋4＝0与l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点的直线的方程为________．[答案] 3x ＋19y ＝0[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得交点坐标(－197，37)， ∴所求方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.10．在△ABC 中，高线AD 与BE 的方程分别是x ＋5y －3＝0和x ＋y －1＝0，AB 边所在直线的方程是x ＋3y －1＝0，则△ABC 的顶点坐标分别是A ________；B ________；C ________.[答案] (－2,1) (1,0) (2,5)[解析] 高线AD 与边AB 的交点即为顶点A ，高线BE 与边AB 的交点即为顶点B ，顶点C 通过垂直关系进行求解．11．两条直线x ＋my ＋12＝0,2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值是________．[答案] ±6[解析] 设交点坐标为(0，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧mb ＋12＝0，3b ＋m ＝0，解得m ＝±6.12．已知直线l 1：a 1x ＋b 1y ＝1和直线l 2：a 2x ＋b 2y ＝1相交于点P (2,3)，则经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．[答案] 2x ＋3y ＝1[解析] 由题意得P (2,3)在直线l 1和l 2上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3b 1＝1，2a 2＋3b 2＝1，则点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的坐标是方程2x ＋3y ＝1的解，所以经过点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋3y ＝1. 三、解答题13．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x －y ＋3＝0，l 2：x ＋2y －1＝0； (2)l 1：3x ＋4y ＋2＝0，l 2：6x ＋8y ＋3＝0； (3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.[解析] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋3＝0，x ＋2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1,1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＋2＝0， ①6x ＋8y ＋3＝0， ②①×2－②得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.(3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0， ①2x －2y ＋2＝0， ②①×2得2x －2y ＋2＝0.因此，①和②可以化为同一个方程，即①和②表示同一条直线，所以直线l 1与l 2重合．14．已知直线x ＋y －3m ＝0和2x －y ＋2m －1＝0的交点M 在第四象限，求实数m 的取值范围．[分析] 解方程组得交点坐标，再根据点M 在第四象限列出不等式组，解得m 的取值范围．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3m ＝0，2x －y ＋2m －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝8m －13.∴交点M 的坐标为(m ＋13，8m －13)． ∵交点M 在第四象限，∴⎩⎨⎧m ＋13>0，8m －13<0，解得－1<m <18.∴m 的取值范围是(－1，18)．15．直线l 过定点P (0,1)，且与直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0分别交于A 、B 两点．若线段AB 的中点为P ，求直线l 的方程．[解析] 解法1：设A (x 0，y 0)，由中点公式，有B (－x 0，2－y 0)，∵A 在l 1上，B 在l 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－3y 0＋10＝0－2x 0＋(2－y 0)－8＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－4y 0＝2， ∴k AP ＝1－20＋4＝－14，故所求直线l 的方程为：y ＝－14x ＋1， 即x ＋4y －4＝0.解法2：设所求直线l 方程为： y ＝kx ＋1，l 与l 1、l 2分别交于M 、N .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1x －3y ＋10＝0⇒N (73k －1，10k －13k －1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12x ＋y －8＝0⇒M (7k ＋2，8k ＋2k ＋2)∵M 、N 的中点为P (0,1)则有： 12(73k －1＋7k ＋2)＝0⇒∴k ＝－14. 故所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.解法3：设所求直线l 与l 1、l 2分别交于M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，P (0,1)为MN 的中点，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝0，y 1＋y 2＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－x 1，y 2＝2－y 1.代入l 2的方程，得：2(－x 1)＋2－y 1－8＝0即2x 1＋y 1＋6＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3y 1＋10＝02x 1＋y 1＋6＝0⇒M (－4,2)．由两点式：所求直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 解法4：同解法1，设A (x 0，y 0)，⎩⎪⎨⎪⎧x 0－3y 0＋10＝02x 0＋y 0＋6＝0，两式相减得x 0＋4y 0－4＝0，(1) 考察直线x ＋4y －4＝0，一方面由(1)知A (x 0，y 0)在该直线上；另一方面，P (0,1)也在该直线上，从而直线x ＋4y －4＝0过点P 、A .根据两点决定一条直线知，所求直线l 的方程为：x ＋4y －4＝0.16．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．[分析] 题目所给的直线方程的系数中含有字母m ，给定m 一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m 为参数的直线系方程，要证明这个直线系中的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m 的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点．另一思路是：由于方程对任意的m 都成立，那么就以m 为未知数，整理为关于m 的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标．[解析] 证法一：对于方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0， 令m ＝0，得x －3y －11＝0；令m ＝1，得x ＋4y ＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝4m －2－3m －9－m ＋11＝0.这表明不论m 取什么实数，所给直线都经过定点(2，－3)． 证法二：将已知方程以m 为未知数，整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.因为m 可以取任意实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数所给的直线都经过定点(2，－3)． 规律总结：(1)分别令参数取两个特殊值得方程组，求出点的坐标，代入原方程满足，则此点为定点．(2)直线过定点，即与参数无关，则参数的同次幂的系数为0，从而求出定点．。
高中数学 3.2.2 直线的两点式方程强化练习 新人教A版
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 直线的两点式方程强化练习 新人教A 版必修2一、选择题1．过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线方程是( ) A ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 B ．y －y 1y 2－y 1＝x －x 2x 1－x 2C ．(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0D ．(x 2－x 1)(x －x 1)－(y 2－y 1)(y －y 1)＝0 [答案] C2．直线x a ＋y b＝1过一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0[答案] C3．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( ) A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.5．已知2x 1－3y 1＝4,2x 2－3y 2＝4，则过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是( )A ．2x －3y ＝4B ．2x －3y ＝0C ．3x －2y ＝4D ．3x －2y ＝0[答案] A[解析] ∵(x 1，y 1)满足方程2x 1－3y 1＝4，则(x 1，y 1)在直线2x －3y ＝4上．同理(x 2，y 2)也在直线2x －3y ＝4上．由两点决定一条直线，故过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线l 的方程是2x －3y ＝4.[点评] 利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零． 6．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条[答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B.解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋y a＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B. 二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)，N (－3,4)两点的直线上，则m ＝________. [答案] 32[解析] 方法1：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.方法2：M 、N 、P 三点共线， ∴4－2m －1－3＋1＝4－－1－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． [答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0.9．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设A (x,0)，B (0，y )． 由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4由截距式得l 的方程为 x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 三、解答题10．已知点A (－1,2)，B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程．[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.11．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3.∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y b＝1； ∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b＝1.又∵|a |＝|b |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1，a ＝±b .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－7.当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m 的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．12．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0)． (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)，∴直线DM 方程为y －25－2＝x －－4－1－－4，即x －y ＋6＝0.。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
求值：tan70° cos10°( 3tan20° · －1)．
第三章
3.1 3.1.3
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[解析]
sin70° 3sin20° 原式＝ · cos10° ( －1) cos70° cos20°
第三章
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第三章
三角恒等变换
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Байду номын сангаас
课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第三章
3.1 3.1.3
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课前自主预习
第三章
3.1 3.1.3
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新课引入 新兴家具厂有一批半径为R的圆木，现在要把它们截成长 方体形，如何截取才能使废料最少？我们设截面圆心为O，截 面上长方形ABCD的面积为S，∠AOB＝α，则AB＝Rsinα，OB ＝cosα，S＝2R2sinαcosα，要使废料最少，就当应使S最大，本 节我们研究求S最大值的方法．
第三章
3.1 3.1.3
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1 已知cosα＝3，则cos2α等于( 1 A.3 7 C．－ 9 2 B.3 7 D. 9
)
[答案] C
[解析] 2 7 cos2α＝2cos α－1＝9－1＝－9.
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第三章
3.1 3.1.3
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：3-3-2 两点间的距离公式
一、选择题1．已知点A (a,0)，B (b,0)，则A ，B 两点间的距离为( )A ．a －bB ．b －a C.a 2＋b 2D ．|a －b |[答案] D[解析] 代入两点间距离公式．2．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是( )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－3)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5) [答案] A[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7.3．已知A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，当|AB |取最小值时，实数a 的值是( )A ．－72B ．－12 C.12D.72 [答案] C[解析] |AB |＝(a －4)2＋(a ＋3)2＝2a 2－2a ＋25＝2(a －12)2＋492，∴当a ＝12时，|AB |取最小值．4．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析]设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为()A.26B.65C.29D.13[答案] A[解析]AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26；故选A.6．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是() A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析]|AB|＝(3－0)2＋(2－5)2＝32，|BC|＝(0－4)2＋(5－6)2＝17，|AC|＝(3－4)2＋(2－6)2＝17，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．7．两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于()A.895 B.175C.135D.115[答案] C [解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．8．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|P A |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13， 即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)．二、填空题9．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝________.[答案] 1或3[解析] 由题意得(m －5)2＋(－1－m )2＝25，解得m ＝1或m ＝3.10．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝________.[答案] 12[解析] (a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2，解得a ＝12.11．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为________．[答案] (9,0)或(－1,0)[解析] 设P (a,0)，则(a －4)2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．12．已知△ABC 的顶点坐标为A (7,8)、B (10,4)、C (2，－4)，则BC 边上的中线AM 的长为________．[答案] 65三、解答题13．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)求BC 边上的中线AM 的长；(2)证明△ABC 为等腰直角三角形．[解析] (1)设点M 的坐标为(x ，y )，∵点M 为BC 边的中点，∴⎩⎨⎧x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即M (2,2)，由两点间的距离公式得：|AM |＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26.∴BC 边上的中线AM 长为26.(2)由两点间的距离公式得|AB |＝(－3－3)2＋(1＋3)2＝213，|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，|AC |＝(－3－1)2＋(1－7)2＝213，∵|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 为等腰直角三角形．14．求证：等腰梯形的对角线相等．[证明] 已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝(－b ＋a )2＋(c －0)2＝(a －b )2＋c 2，|BD |＝(b －a )2＋(0－c )2＝(a －b )2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．15．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k (x －1)又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7， 而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得 (k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝5⇒k ＝－34，此时l2的方程为3x＋4y＋1＝0.而当l2的斜率不存在时，l2的方程为x＝1.此时点B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l2的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.16．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．[分析]建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析]以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD＝5 m，AB＝3 m，所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，所以k AC·k DM＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1.所以x＝3.2，即BM＝3.2，即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3 534.。
成才之路人教A版数学必修2-1.1.2
新知导学
1．圆柱
定义 以_______ 矩形 的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转 旋转体 叫做圆柱 形成的面所围成的__________ 旋转轴叫做圆柱的_______ ；垂直于轴的边旋转而成 轴 有关 概念 平行 于轴的边旋转 的_______ 圆面 叫做圆柱的底面；________ 而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置， __________ 不垂直 于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
6.简单组合体 简单几何体 组合而成的几何体叫做简单组合 (1) 概念：由 ___________ 体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结 构特征的物体组成的． 拼接 (2)基本形式：一种是由简单几何体__________ 而成，另一 截去 挖去 种是由简单几何体__________ 或__________ 一部分而成．
1.1.2
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●典例探究
圆柱、圆锥、圆台、球的概念的理解
给出下列命题： ①圆柱的母线与它的轴可以不平行； ②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心 三点的连线都可以构成直角三角形；
第一章
1.1
1.1.2
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⊙O ，SA为 如上图所示，轴为_______ SO ，底面为______ 有关 顶点 ，OA(或OB)叫 母线．另外，S叫做圆锥的_______ 概念 半径 做底面⊙O的_______
表示 圆锥用表示它的______ 轴 的字母表示，上图中的圆 法 锥可记作圆锥_______ SO 规定 ______ 棱锥 与______ 圆锥 统称为锥体
第一章
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：2-2-4 平面与平面平行的性质
一、选择题1．平面α∥平面β，直线l∥α，则()A．l∥βB．l⊂βC．l∥β或l⊂βD．l，β相交[答案] C[解析]假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，又l∥α，则假设不成立，则l∥β或l⊂β.2．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条[答案] D[解析]如图，在A1A和四边形BB1D1D之间的四条棱的中点F、E、G、H组成的平面中，有EF、FG、GH、HE、EG、HF共6条直线与平面BB1D1D平行，另一侧还有6条，共12条．故选D.3．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为()A．0 B．1C．2 D．无数[答案] B[解析]∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B.4．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是()A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[答案] D[解析]选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D.5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，所有的动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面[答案] D6．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α.其中正确命题的序号是()A．①B．①④C．④D．③④[答案] A7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别是AC1、CB1的中点，P是C1B1的中点，则与平面PEF平行的三棱柱的棱的条数是()A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] C8．平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在α、β之间．若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA OA ′＝，则△A ′B ′C ′的面积为( ) A.39 B.33 C.239D.233[答案] C[解析] 如图∵α∥β，∴BC ∥B ′C ′，AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′，且由AB A ′B ′＝OA OA ′＝32知相似比为32，又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝12AB·CD＝12AB·(AC·sin60°)＝32，∴S△A′B′C′＝239.二、填空题9．如右图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．[答案]平行四边形[解析]∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．10．(2012－2013·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．[答案] 平行四边形[解析] ∵平面ABFE ∥平面CDHG ， 又平面EFGH ∩平面ABFE ＝EF ， 平面EFGH ∩平面CDHG ＝HG ， ∴EF ∥HG . 同理EH ∥FG ，∴四边形EFGH 的形状是平行四边形．11．已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________； (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. [答案] (1)16 (2)272[解析] (1)如图a 所示，因为AB ∩CD ＝S ，所以AB ，CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD .因为α∥β，所以AC ∥BD .于是SA SB ＝SC SD ，即SA AB ＝SCCD . 所以SC ＝SA ·CD AB ＝8×349＋8＝16.(2)如图b 所示，同理知AC ∥BD ，则SA SB ＝SCSD ， 即89＝SC SC ＋34，解得SC ＝272.12．如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .已知AC ＝15cm ，DE ＝5cm ，AB :BC ＝1:3，则AB 、BC 、EF 的长分别为______、______、______.[答案] 154cm 454cm 15cm [解析] 容易证明AB BC ＝DEEF (1) AB AC ＝DE DF (2)由(1)得13＝5EF ，∴EF ＝15，∴DF ＝DE ＋EF ＝20，代入(2)得，AB 15＝520，∴AB ＝154， ∴BC ＝AC －AB ＝15－154＝454，∴AB 、BC 、EF 的长分别为154cm ，454cm,15cm. 三、解答题13．如图所示，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′.若P A ′A ′A ＝23，求S △A ′B ′C ′S △ABC 的值．[分析] 由面面平行可得线线平行，再由等角定理可得对应角相等，从而三角形相似，利用相似三角形的比例关系找到面积比．[解析] ∵平面α∥平面ABC ， 平面P AB ∩平面α＝A ′B ′， 平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，∴A ′B ′∥AB .同理可证B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC .∴∠B ′A ′C ′＝∠BAC ，∠A ′B ′C ′＝∠ABC ，∠A ′C ′B ′＝∠ACB ，∴△A ′B ′C ′∽△ABC .又∵P A ′:A ′A ＝2:3，∴P A ′:P A ＝2:5.∴A ′B ′:AB ＝2:5. ∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝，即S △A ′B ′C ′S △ABC＝425.14．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，AA 1＝2，E 、E 1分别是棱AD ，AA 1的中点．设F 是棱AB 的中点，证明：直线EE 1∥平面FCC 1.[证明] 因为F 为AB 的中点， CD ＝2，AB ＝4，AB ∥CD ， 所以CD 綊AF ，因此四边形AFCD 为平行四边形， 所以AD ∥FC .又CC 1∥DD 1，FC ∩CC 1＝C ， FC ⊂平面FCC 1，CC 1⊂平面FCC 1， AD ∩DD 1＝D ，AD ⊂平面ADD 1A 1， DD 1⊂平面ADD 1A 1， 所以平面ADD 1A 1∥平面FCC 1. 又EE 1⊂平面ADD 1A 1， EE 1⊄平面FCC 1， 所以EE 1∥平面FCC 1.15．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC ＝2FB＝2.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?[解析]如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.∵EC＝2FB＝2，∴PE綊BF，∴四边形BFEP为平行四边形，∴PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.16．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，E、F分别为PC、PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面P AB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，说明理由．[解析]取AD、BC的中点G、H，连接FG、HE.∵F、G为DP、DA的中点，∴FG∥P A.∵FG⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴FG∥平面P AB.∵AB∥CD，EF∥CD，∴EF∥AB.而EF⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴EF∥平面P AB.∵EF∩FG＝F，∴平面EFG∥平面P AB.又GH∥CD，∴GH∥EF.∴平面EFG即平面EFGH.∴平面EFGH∥平面P AB.又点Q∈平面ABCD，∴点Q∈(平面EFGH∩平面ABCD)．∴点Q∈GH.∴点Q在底面ABCD的中位线GH上．。
《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升：4-2-1 直线与圆的位置关系
一、选择题1．(2012·安徽卷)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) [答案] C[解析]圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d则d≤r＝2⇔|a＋1|2≤2⇔|a＋1|≤2⇔－3≤a≤1.2．圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0截直线5x－12y＋c＝0所得的弦长为8，则c的值是()A．10 B．10或－68C．5或－34 D．－68[答案] B[解析]由题意得圆心C(1，－2)，半径r＝5，圆心C到直线5x－12y＋c＝0的距离d＝|29＋c|13，又r2＝d2＋42，所以25＝(29＋c)2132＋16，解得c＝10或－68.3．已知直线ax－by＋c＝0(ax≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形()A．是锐角三角形B．是直角三角形C．是钝角三角形D．不存在[答案] B[解析] 圆心O (0,0)到直线的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝1，则a 2＋b 2＝c 2，即该三角形是直角三角形．4．过点P (2,3)引圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的切线，其方程是( ) A ．x ＝2B ．12x －5y ＋9＝0C ．5x －12y ＋26＝0D ．x ＝2和12x －5y －9＝0 [答案] D[解析] 点P 在圆外，故过P 必有两条切线， ∴选D.5．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( )A ．9B ．8C ．5D ．2[答案] D[解析] 由圆心到直线的距离d ＝|15＋12－2|32＋42＝5>3知直线与圆相离，故最短距离为d －r ＝5－3＝2，故选D.6．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是( )A ．3x －y －5＝0B ．3x ＋y －7＝0C ．3x －y －1＝0D ．3x ＋y －5＝0[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)∴直线方程为3x －y －5＝0，故选A.7．已知直线x ＋7y ＝10把圆x 2＋y 2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于( )A.π2B.2π3 C ．π D ．2π[答案] D[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，设直线x ＋7y ＝10与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，则圆心O 到直线x ＋7y ＝10的距离d ＝|－10|1＋49＝2，过点O 作OP ⊥MN 于P ，则|MN |＝2r 2－d 2＝2 2.在△MNO 中，|MN |2＋|ON |2＝2r 2＝8＝|MN |2，则∠MON ＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪(360－90)×π×2180－90×π×2180＝2π. 8．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是( )A ．3<r <5B ．4<r <6C ．r >4D ．r >5[答案] B[解析] 圆心C (3，－5)，半径为r ，圆心C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|42＋(－3)2＝5，由于圆C 上有且仅有两个点到直线4x－3y －2＝0的距离等于1，则d －1<r <d ＋1，所以4<r <6.二、填空题9．已知直线5x ＋12y ＋m ＝0与圆x 2－2x ＋y 2＝0相切，则m ＝________.[答案] 8或－18[解析] 由题意，得圆心C (1,0)，半径r ＝1，则|5＋m |52＋122＝1，解得m ＝8或－18.10．(2012～2013·北京朝阳一模)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4x ＝0所截得的弦长为________．[答案] 2[解析] 直线方程是y ＝3x ，即3x －y ＝0，圆心C (2,0)，半径r ＝2，则圆心到直线3x －y ＝0的距离d ＝|23－0|(3)2＋12＝3，所以所截得的弦长为2r 2－d 2＝24－3＝2.11．(2012－2013·江苏南京模拟)设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，32)，则直线l 的方程为________；|AB |＝________.[答案] x －y ＋2＝02[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 22－2y 2＝0，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.故l 的方程为y －32＝1·(x ＋12)，即x －y ＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r ＝1，故|AB |＝ 2.12．(2012·江西卷)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．[答案] (2，2)[解析] 本题主要考查数形结合的思想，设P (x ，y )，则由已知可得PO (O 为原点)与切线的夹角为30°，由|PO |＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4x ＋y ＝22可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2. 三、解答题13．已知直线l ：y ＝2x －2，圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0，请判断直线l 与圆C 的位置关系，若相交，则求直线l 被圆C 所截的线段长．[解析] 圆心C 为(－1，－2)，半径r ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝255<2， 所以直线l 与圆C 相交．设交点为A ，B ，所以|AB |2＝r 2－d 2＝45 5. 所以|AB |＝855.所以直线l 被圆C 所截的线段长为85 5.14．已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程．[解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． ∵圆心在直线2x ＋y ＝0上， ∴b ＝－2a ，即圆心为C (a ，－2a )．又∵圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2[(2－a )2＋(－1＋2a )2]，解得a ＝1或a ＝9，∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝13 2.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338. 15．已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点．(1)求圆的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． [解析] (1)设圆A 的半径为r ， ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20. (2)当直线l 与x 轴垂直时， 则直线l 的方程为x ＝－2，此时有|MN |＝219，即x ＝－2符合题意． 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0，∵Q 是MN 的中点，∴AQ ⊥MN ， ∴|AQ |2＋(12|MN |)2＝r 2. 又∵|MN |＝219，r ＝25， ∴|AQ |＝20－19＝1，解方程|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴此时直线l 的方程为y －0＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0. 综上所得，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.16．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP k OQ ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①又(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③ ∵P 、Q 是在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2) ＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ>0成立， ∴m ＝3.。
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一、选择题
1．下列命题
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.
其中正确的为()
A．①②③④B．①③
C．②④D．以上全错
[答案] B
[解析]当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错．
2．过点A(1,2)和点B(－3,2)的直线与x轴的位置关系是()
A．相交B．平行
C．重合D．以上都不对
[答案] B
[解析]∵A、B两点纵坐标相等，
∴直线AB与x轴平行．
3．已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1)，若l1过原点O(0,0)，则l2与y轴交点的坐标为()
A．(2,0) B．(0,2)
C．(0,1) D．(1,0) [答案] B
[解析]设l2与y轴交点为B(0，b)，
∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1.
∴k OA k AB＝－1.
∴1－0
1－0
×
b－1
0－1
＝－1，
解得b＝2，即l2与y轴交点的坐标为(0,2)．
4．已知直线l1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l2经过两点(2,1)、(6，y)，且l1⊥l2，则y＝()
A．2 B．－2
C．4 D．1
[答案] D
[解析]∵l1⊥l2且k1不存在，∴k2＝0，
∴y＝1.故选D.
5．直线l1的斜率为2，l1∥l2，直线l2过点(－1,1)且与y轴交于点P，则P点坐标为()
A．(3,0) B．(－3,0)
C．(0，－3) D．(0,3)
[答案] D
[解析]设P(0，y)∵l1∥l2∴y－1
0＋1
＝2
∴y＝3故选D.
6．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是()
①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)
②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；
③l 1经过点M (－1,0)，N (－5，－2)，l 2经过点R (－4，3)，S (0,5)． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③
[答案] B
7．已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( )
A ．19 B.194 C ．5 D ．4
[答案] B
[解析] 由于A 、B 、C 、O 四点共圆， 所以AB ⊥BC ∴4－03－2·4－y 3－0＝－1 ∴y ＝194
故选B.
8．过点E (1,1)和点F (－1,0)的直线与过点M (－k
2，0)和点N (0，k
4)(k ≠0)的直线的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．平行或重合
D ．相交或重合
[答案] C
[解析] k EF ＝0－1－1－1＝12，k MN
＝k 4
0＋k 2＝1
2， 又当k ＝2时，EF 与MN 重合． 二、填空题
9．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直
线平行，则a ＝________.
[答案] 4
[解析] 由题意，得tan45°＝a ＋1
3＋2
，解得a ＝4.
10．已知△ABC 的三个顶点分别是A (2,2)，B (0,1)，C (4,3)，点D (m,1)在边BC 的高所在的直线上，则实数m ＝________.
[答案] 5
2
[解析] 由题意得AD ⊥BC ，则有k AD k BC ＝－1， 所以有1－2m －2·3－14－0
＝－1，解得m ＝5
2.
11．直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是______．
[答案] 1 －3
3
[解析] ∵k AB ＝－1，∴直线l 的倾斜角α＝135°. (1)∵l 1与l 垂直，∴kl 1＝1.
(2)∵∠ABC ＝15°，∠CDB ＝135°， ∴∠β＝135°＋15°＝150°，
∴kl 2＝tan150°＝tan(180°－30°)＝－tan30°＝－3
3.
12．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.
[答案] 2 －98
[解析] 当l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1， ∴－b
2＝－1.∴b ＝2. 当l 1∥l 2时，k 1＝k 2，
∴Δ＝(－3)2
＋4×2b ＝0.∴b ＝－9
8.
三、解答题
13．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．
[解析] 当l 1∥l 2时，
由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m
－1－1，解得m ＝3；
当l 1⊥l 2时，
由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1，
即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1
＝－1，解得m ＝－92. 综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－9
2. 14．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)． (1)求点D 的坐标；
(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？
[解析] 设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
0－25－1＝b －4
a －3
b －2a －1＝4－03－5
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝6
，
∴D (－1,6)．
(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0
－1－5＝－1，
∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD . ∴▱ABCD 为菱形．
15．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4,2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形．
[分析] 分类讨论直角梯形ABCD 的腰和底，利用直线平行和垂直的斜率关系解决．
[解析] (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，
∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB . ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1.
(2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，
∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－
1.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
n －2m －2＝2－(－1)
4－5
，n ＋1m －5·2－(－1)4－5＝－1，
解得m ＝165，n ＝－85.
综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.
16．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径的端点作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标．
[分析] 本题中有三个点A 、B 、C ，由于AB 为直径，C 为圆上
的点，所以∠ACB＝90°，因此，若斜率存在，则必有k AC·k BC＝－1.列出方程求解即可．
[解析]以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.据
题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则k AC＝－3
x＋1
，k BC
＝－2
x－4
.
∴－3
x＋1
·
－2
x－4
＝－1.去分母解得x＝1或2.
∴C(1,0)或C(2,0)．
规律总结：当AC或BC的斜率不存在时，不满足AC⊥BC.
这是很明显的(上图)．故不需对AC或BC斜率不存在的情形作讨论．。