高考数学(文)一轮复习讲练测：专题2.6指数与指数函数(讲)答案解析
第26讲指数与指数函数(原卷版)-2024年高考数学一轮复习宝典(新高考专用)
第二章 函数第2.6讲 指数与指数函数1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．题型一 指数幂的运算题型二 指数函数的图象及应用 题型三 指数函数的性质及应用 题型四 指数函数的综合应用1．根式(1)一般地，给定大于1的正整数n 和实数a ，如果存在实数x ，使得x n ＝a ，那么x 称为a 的n 次方根． (2)当na 有意义的时候，na 称为根式，其中n 称为根指数，a 称为被开方数． (3)(n a )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N ＋，且m n 为既约分数)．正数的负分数指数幂：m n a－＝1m na＝1nam(a >0，m ，n ∈N ＋，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈Q )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.(2)指数函数的图象与性质R题型一指数幂的运算题型二 指数函数的图象及应用A ．B ．C ．D ．()x()()2m )()3,+∞)193,8⎛⎫ ⎪⎝⎭题型三指数函数的性质及应用](0,e⎤⎦)()0,ea>，且上的最大值和最小值的和为上的最小值是（）D题型四指数函数的综合应用A．B．C．D．。
【优化方案】高考数学一轮复习 2.6 指数与指数函数课时闯关 理(含解析)人教版
【优化方案】2014届高考数学一轮复习 2.6 指数与指数函数课时闯关 理（含解析）人教版一、选择题1．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析：选D.所给图象是由f (x )＝a x 的图象左移得到的，故b <0，又因递减性知，0<a <1，所以选D.2．已知f (x )是R 上的偶函数，且x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x 12，又2<2a<4，则f (－2)，f (a )，f (1)的大小关系是( )A ．f (1)<f (a )<f (－2)B ．f (－2)<f (1)<f (a )C ．f (a )<f (1)<f (－2)D ．f (1)<f (－2)<f (a ) 解析：选A.∵2<2a <4，∴1<a <2，又∵f (x )为偶函数，f (－2)＝f (2)．且f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (1)<f (a )<f (2)．3．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}解析：选B.∵f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴令f (x )>0，得x >2.又f (x )为偶函数且f (x －2)>0，∴f (|x －2|)>0，∴|x －2|>2，解得x >4或x <0，∴{x |x <0或x >4}．4．(2012·高考天津卷)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选A.a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8， 所以1<b <2，c ＝2log 5 2＝log 5 4<1，所以c <b <a ，选择A.5．已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A ．[2,4]B ．(－∞，0]C ．(0,1]∪[2,4]D ．(－∞，0]∪[1,2]解析：选D.y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]， ∴(2x －32)2∈[14，254]．∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52]，∴2x ∈(0,1]∪[2,4]．∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]．故选D.二、填空题6．函数f (x )＝ 1－12x 的值域为__________．解析：∵1≥(12)x >0，∴0≤1－(12)x <1. 答案：[0,1)7．已知f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)，且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．解析：f (1)＝a ＋a －1＝3，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝a 0＋a 0＋a 1＋a －1＋a 2＋a －2＝2＋3＋(a＋a －1)2－2＝12.答案：128．设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为________．解析：∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1， 又2x >0，∴－12<f (x )<12. ∴y ＝[f (x )]的值域为{－1,0}．答案：{－1,0}三、解答题9．若函数y ＝f －1(x )是奇函数f (x )＝3x －a 3x ＋1的反函数，试求f －1(13)的值． 解：f (x )＝3x －a 3x ＋1是奇函数，则f (0)＝1－a 2＝0，a ＝1， f (x )＝3x －13x ＋1.令3x －13x ＋1＝13， ∴3x ＝2，∴x ＝log 32.∴f －1(13)的值为log 32. 10．要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围．解：由题意，得1＋2x ＋4x a >0，在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x 4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立． 只需a >(－1＋2x 4x )max ， 又∵－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ＝－[(12)x ＋12]2＋14， 当x ∈(－∞，1]时值域为(－∞，－34]，∴a >－34. 11．(探究选做)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0，当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2， 即22x －2·2x －1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x ＞0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t∈[1,2]时，2t(22t－122t)＋m(2t－12t)≥0，即m(22t－1)≥－(24t－1)．∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞)．。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.6 函数性质综合运用(讲)(含答案解析)
【最新考纲解读】【考点深度剖析】1. 函数在12-14年均是以填空题、解答题的形式进行考查，涉及到函数与方程、分类讨论和数形结合的思想，题目多为中高档题，着重考查学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等结合考查，有时单独设置题目.2. 对于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意加强对函数与方程、数形结合数学和分类讨论思想的运用.函数知识属于重点知识，考查的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适当难题为辅，加强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练.【课前检测训练】[判一判](1)log a x2＝2log a x.()解析错误.当x>0时，等式成立.(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.()解析 错误.由对数函数的定义可知y ＝log 2(x ＋1)不是对数函数. (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数.( ) 解析 正确.经求解可知，定义域相同. (4)若log a m<log a n ，则m<n.( )解析 错误.若a>1，则m<n ；若0<a<1，则m>n.(5)若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.( )解析 错误.若log a M 2＝log a N 2，则M 2＝N 2，即|M|＝|N|；当M ＝N ≠0时，log a M 2＝log a N 2. [练一练]1．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则a,b,c 的大小顺序是________2．若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x 的反函数，则f(2)的值是________ 解析 y ＝2x 的反函数为y ＝log 2x ，即f(x)＝log 2x ，∴f(2)＝log 22＝1. 答案 1 3．计算：log 222＝________，2log23＋log43＝________. 解析 log 222＝12－log 22＝－12；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log23＝3 3.答案 －12，3 34．函数y ＝log a (x －1)＋2(a>0，a ≠1)的图像恒过一定点是________.解析 依题意，当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a>0，a ≠1)的值为2，所以其图像恒过定点(2,2). 答案 (2,2)。
高考数学一轮复习 2.6指数与指数函数课时跟踪训练 文-人教版高三全册数学试题
【与名师对话】2016版高考数学一轮复习 2.6指数与指数函数课时跟踪训练 文一、选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]解析：∵－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x2≥12.故选A. 答案：A2．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x<1恒成立，则实数a 的取值X 围是( ) A ．a >2 B ．1<a <2 C ．a >1D ．a ∈R解析：∵x >0时，(a －1)x<1恒成立， ∴0<a －1<1， ∴1<a <2.故选B. 答案：B3．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝2x左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x，而y ＝2x与y ＝2－x关于y 轴对称，∴f (x )与g (x )关于y 轴对称． 答案：C4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值X 围是(－3,1)，故选C. 答案：C5．(2015·某某一模)设函数f (x )定义在R 上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x－1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 解析：由已知条件知f (x )＝f (2－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43. 又当x ≥1时，f (x )＝3x－1在(1，＋∞)上递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.故选B. 答案：B6．已知函数f (x )＝9x－m ·3x＋m ＋1在x ∈(0，＋∞)上的图象恒在x 轴上方，则m 的取值X 围是( )A ．2－22<m <2＋2 2B ．m <2C ．m <2＋2 2D ．m ≥2＋2 2解析：解法一：令t ＝3x ，则问题转化为函数g (t )＝t 2－mt ＋m ＋1在t ∈(1，＋∞)上的图象恒在x 轴的上方，即Δ＝(－m )2－4(m ＋1)<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m2≤1，1－m ＋1＋m ≥0，解得m <2＋2 2.解法二：令t ＝3x，问题转化为m <t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)，即m 比函数y ＝t 2＋1t －1，t ∈(1，＋∞)的最小值还小，又y ＝t 2＋1t －1＝t －1＋2t －1＋2≥2t －12t －1＋2＝2＋22， 所以m <2＋2 2. 答案：C 二、填空题7．已知函数f (x )＝a x＋a －x(a >0，且a ≠1)且f (1)＝3，则f (0)＋f (1)＋f (2)的值是________．解析：∵f (1)＝3，∴a ＋1a＝3.又∵f (2)＝a 2＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－2＝9－2＝7, f (0)＝2，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＝2＋3＋7＝12. 答案：12 8．函数y ＝a2x ＋b＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b ＝__________.解析：把点(1,2)代入，得2＝a 2＋b＋1，∴a2＋b＝1恒成立．又a >0且a ≠1，∴2＋b ＝0，∴b ＝－2. 答案：－29．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值X 围是__________．解析：作出y ＝|2x－1|的图象，如图所示，要使直线y ＝a 与其图象的交点只有一个，则a ≥1或a ＝0.答案：a ≥1或a ＝0 三、解答题10．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x的最值．解：由3－4x ＋x 2>0，得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，f (x )＝－3×(2x )2＋2x ＋2＝－3⎝⎛⎭⎪⎫2x－162＋2512.∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x<2， ∴当2x＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512，f (x )没有最小值．11．(2015·某某期末)已知函数f (x )＝4x＋m2x 是奇函数．(1)求m 的值； (2)设g (x )＝2x ＋1－a ，若函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点，某某数a 的取值X围．解：(1)由函数f (x )是奇函数可知f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1. (2)函数f (x )与g (x )的图象至少有一个公共点， 即方程4x－12x ＝2x ＋1－a 至少有一个实根，即方程4x －a ·2x＋1＝0至少有一个实根．令t ＝2x>0，则方程t 2－at ＋1＝0至少有一个正根． 解法一：由于a ＝t ＋1t≥2，∴a 的取值X 围为[2，＋∞)．解法二：令h (t )＝t 2－at ＋1，由于h (0)＝1>0，∴只须⎩⎪⎨⎪⎧Δ ≥0，a2>0，解得a ≥2.∴a 的取值X 围为[2，＋∞)．12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)求f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，某某数m 的取值X 围．解：(1)把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝ba 3.结合a >0且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝3·2x.(2)要使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥m 在(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上为减函数，∴当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x有最小值56.∴只需m ≤56即可．。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.6函数性质综合运用(讲)(含答案解析)
【最新考纲解读】要求备注内容A CB对知识的考察要求挨次分为认识、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A 、B、C 表示） .函数概念与认识：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解基本初等函√决有关的简单问题.函数的图像与性质数Ⅰ理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.【考点深度分析】1.函数在 12-14 年均是以填空题、解答题的形式进行考察，波及到函数与方程、分类议论和数形联合的思想，题目多为中高档题，侧重考察学生运算求解能力、推理论证能力及分析问题和解决问题的能力.函数常与导数、方程、不等式等联合考察，有时独自设置题目.2.关于函数复习，一要明确函数的定义域和值域，二要锻炼分析问题和解决问题的能力，三要从数和形两个角度理解函数的性质，注意增强对函数与方程、数形联合数学和分类议论思想的运用 .函数知识属于要点知识，考察的难点中等偏上，复习时应以中档题为主，适合难题为辅，增强对函数的性质、分段函数、对数函数的图像与性质和函数的模型及其应用的题目的训练 .【课前检测训练】[判一判 ](1)log a x2＝ 2log a x.()分析错误 .当 x>0 时，等式建立.(2) 函数 y＝ log2(x＋ 1)是对数函数 .()分析错误 .由对数函数的定义可知y＝ log2(x ＋1) 不是对数函数 .(3) 函数 y＝ ln 1＋x与 y＝ ln(1 ＋ x)－ ln(1－ x)是同一个函数 .() 1－ x分析正确 .经求解可知，定义域同样 .(4) 若 log a m<log a n，则 m<n.()分析错误 .若 a>1，则 m<n；若 0<a<1，则 m>n.(5) 若 log a M 2＝ log a N2，则 M ＝ N；若 M ＝N ，则 log a M 2＝ log a N2.()分析222222错误 .若 log a M ＝ log a N ，则M ＝N ，即 |M|＝|N|；当 M＝N≠0时， log a M＝ log a N .[练一练 ]1－2，则 a,b,c 的大小次序是 ________ 1．设 a＝ log 2π， b＝ log π， c＝π22．若函数 y＝ f(x) 是函数 y＝ 2x的反函数，则f(2) 的值是 ________分析y＝ 2x的反函数为 y＝log 2x，即 f(x) ＝ log 2x，∴ f(2) ＝ log22＝ 1.答案12log23 ＋log433．计算： log 22＝ ________， 2＝ ________.分析log2211log23 ＋log43＝ 2log23 2log43·＝3×2log23 3. 2＝－ log22＝－； 2＝ 322答案－1， 33 24．函数 y＝ log a(x－ 1)＋ 2(a>0，a≠ 1)的图像恒过必定点是________.分析依题意，当 x＝ 2 时，函数 y＝ log a(x－ 1)＋ 2(a>0， a≠ 1)的值为2，所以其图像恒过定点 (2,2).答案(2,2)。
2019年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题2.6指数与指数函数(测)
第06节指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017浙江绍兴一中模拟】函数||1(01)x f x aaa ＋＝，的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是()A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【答案】A 【解析】由题意知3214()1a f a f a ，－＝，＝，由1ty a a ＝的单调性知32aa ，所以()41f f －．2.【2017陕西西安调研】若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞）C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]【答案】B3.【2017湖南邵阳二联】“1m”是“函数333x mf x在区间1,无零点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若函数333x mf x在区间1,无零点，则131333122m m m故选A.4. 【2017山东日照校际联合模拟】已知0.21.2512,,2log 22a bc，则,,a b c 的大小关系为A. b a c B. c a b C. bca D.cba【答案】D5.【2017北京延庆一模】某宣传部门网站为弘扬社会主义思想文化，开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动，并以“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每月都比上月增长，那么个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的A. 倍以上，但不超过倍 B. 倍以上，但不超过倍C.倍以上，但不超过倍 D.倍以上，但不超过倍【答案】D【解析】设第一个月的点击量为1.则4个月后点击量 .该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。
专题2.6 指数与指数函数(讲)-2020年高考数学(理)一轮复习讲练测(原卷版)
专题2.6 指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。
知识点一 根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.知识点二 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q. 知识点三 指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.考点一 指数幂的运算【典例1】（2019·河北邯郸一中模拟）化简⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5 【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式1】（2019·湖南岳阳一中模拟） 化简 [(0.06415)－2.5]23－3338－π0； 考点二 指数函数的图像及其应用【典例2】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟） 函数y ＝a x －a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．【变式2】 （2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2考点三 比较指数式的大小【典例3】（2019·上海延安中学模拟） 设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式3】（2019·江苏扬州中学模拟）已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝⎛⎭⎫79-14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )＜f (a )＜f (c )B ．f (c )＜f (b )＜f (a )C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )考点四 解简单的指数方程或不等式【典例4】（2019·河北唐山一中模拟）已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式4】（2019·安徽马鞍山二中模拟） 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x ＜0，x ，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．考点五 指数函数性质的综合应用【典例5】（2019·江西鹰潭一中模拟）已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
【优化方案】高考数学理(江苏专用)一轮总复习练习：2.6指数与指数函数(含答案解析)
1．已知f(x)＝2x ＋2－x ，若f(a)＝3，则f(2a)＝________．解析：由f(a)＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7，故f(2a)＝7.答案：72．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：由0.2<0.6，0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.答案：a>b>c3．已知f(x)＝3x －b (2≤x≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f(x)的值域为________．解析：由f(x)过定点(2，1)可知b ＝2，因f(x)＝3x－2在[2，4]上是增函数，可知值域为[1，9]．答案：[1，9]4.⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－⎝⎛⎭⎫－2323＝________． 解析：原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234×214－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 答案：25．(2016·湖北省荆门三校联考改编)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ≤1，3x ，x>1，若f(x)＝2，则x ＝________．解析：因为当x>1时，3x >3，所以只能是|x －1|＝2，结合x≤1的条件，可求得x ＝－1. 答案：－16．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a ≠1)且f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是________．解析：由f(1)＝9得a 2＝9，所以a ＝3.因此f(x)＝3|2x －4|，又因为g(x)＝|2x －4|的递减区间为(－∞，2]，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，2]． 答案：(－∞，2]7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在x ∈[－3，2]上的值域是________． 解析：因为x ∈[－3，2]，若令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8. 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.所以所求函数值域为⎣⎡⎦⎤34，57. 答案：⎣⎡⎦⎤34，57 8．已知函数f(x)＝e |x －a|(a 为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：因为y ＝e u 是R 上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u ＝|x －a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.答案：(－∞，1]9．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是________．解析：在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a 的图象知，当a ∈(0，2)时符合要求． 答案：(0，2)10．若函数f(x)＝a x －x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a<1，显然y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象只有一个公共点；若a>1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图象如图所示有两个公共点．答案：(1，＋∞)11．已知函数f(x)＝b·a x (其中a ，b 为常量且a>0，a ≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)．(1)试确定f(x)；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x－m≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f(x)＝b·a x 的图象过点A(1，6)，B(3，24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，①b ·a 3＝24，② ②÷①得a 2＝4，又a>0且a≠1，所以a ＝2，b ＝3，所以f(x)＝3·2x .(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x＋⎝⎛⎭⎫1b x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x＋⎝⎛⎭⎫13x ， 则g(x)在(－∞，1]上单调递减， 所以m≤g(x)min ＝g(1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56. 12．求函数y ＝a 2x －2a x －1(a>0，a ≠1)的单调区间和值域． 解：y ＝(a x －1)2－2(a>0，a ≠1)，设u ＝a x .因为y ＝(u －1)2－2在u ∈[1，＋∞)时是关于u 的增函数，在u ∈(－∞，1)时是关于u 的减函数，所以当a x ≥1时，原函数的单调性与u ＝a x 的单调性相同；当a x <1时，原函数的单调性与u ＝a x 的单调性相反．若a>1，a x ≥1⇔x ≥0；a x <1⇔x<0，所以在[0，＋∞)上，函数y ＝a 2x －2a x －1是增函数； 在(－∞，0)上，函数y ＝a 2x －2a x －1是减函数． 若0<a<1，a x ≥1⇔x ≤0；a x <1⇔x>0，所以在(0，＋∞)上，函数y ＝a 2x －2a x －1是增函数； 在(－∞，0]上，函数y ＝a 2x －2a x －1是减函数． 因为a x >0，所以函数值域是[－2，＋∞)．1．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>0，e x ，x ≤0，若F(x)＝f(x)＋x ，x ∈R ，则F(x)的值域为________．解析：当x>0时，F(x)＝1x＋x≥2；当x≤0时，F(x)＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F(x)是单调递增函数，F (x)≤F(0)＝1，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是________． 解析：方程|a x －1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不同实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a<1时，如图(1)，所以0<2a<1，即0<a<12.②当a>1时，如图(2)，而y ＝2a>1不符合要求．综上，0<a<12.答案：⎝⎛⎭⎫0，12 3．已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x)＝a x ·g(x)(a>0，a ≠1)；②g(x)≠0；若f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，则a 等于________．解析：由f(x)＝a x ·g(x)得f （x ）g （x ）＝a x ，所以f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a＝2或12.答案：2或124．已知函数f(x)＝|2x －1|，a<b<c ，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是________．①a<0，b<0，c<0；②a<0，b ≥0，c>0； ③2－a <2c ；④2a ＋2c <2.解析：画出函数f(x)＝|2x －1|的图象(如图)， 由图象可知，a<0，b 的符号不确定，c>0. 故①②错；因为f(a)＝|2a －1|，f(c)＝|2c －1|， 所以|2a －1|>|2c －1|，即1－2a >2c －1， 故2a ＋2c <2，④成立；又2a ＋2c >22a ＋c ，所以2a ＋c <1，所以a ＋c<0，所以－a>c ，所以2－a >2c ，③不成立．答案：④5．设函数f(x)＝ka x －a －x (a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x 2＋2x)＋f(x －4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a 2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解：因为f(x)是定义域为R 的奇函数， 所以f(0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1. (1)因为f(1)>0，所以a －1a>0，又a>0且a≠1，所以a>1，f(x)＝a x －a －x ，因为f′(x)＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a>0，所以f(x)在R 上为增函数． 原不等式可化为f(x 2＋2x)>f(4－x)， 所以x 2＋2x>4－x ，即x 2＋3x －4>0， 所以x>1或x<－4，所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)，所以g(x)＝22x ＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t(x)＝2x －2－x (x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝32，所以原函数变为w(t)＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2， 所以当t ＝2时，w(t)min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)． 即g(x)在x ＝log 2(1＋2)时取得最小值－2. 6．设f(x)＝－2x ＋a2x ＋1＋b(a>0，b>0)．(1)当a ＝b ＝1时，证明：f(x)不是奇函数； (2)设f(x)是奇函数，求a 与b 的值； (3)求(2)中函数f(x)的值域．解：(1)证明：当a ＝b ＝1时，f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋1，f(1)＝－2＋122＋1＝－15，f(－1)＝－12＋11＋1＝14，所以f(－1)≠－f(1)，故f(x)不是奇函数． (2)当f(x)是奇函数时，有f(－x)＝－f(x)， 即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对任意实数x 成立． 化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0， 这是关于x 的恒等式，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. (3)由(2)得f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.因为2x >0，所以2x ＋1>1，0<12x ＋1<1，从而－12<f(x)<12，所以函数f(x)的值域为⎝⎛⎭⎫－12，12.。
高考数学一轮复习专题2.6指数与指数函数(测)(2021年整理)
（江苏专版）2019年高考数学一轮复习专题2.6 指数与指数函数（测）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专版）2019年高考数学一轮复习专题2.6 指数与指数函数（测））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专版）2019年高考数学一轮复习专题2.6 指数与指数函数（测）的全部内容。
专题2.6 指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________（满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分,共计60分)．1．化简4a错误!·b－错误!÷错误!的结果为________．【答案】－错误!【解析】原式＝4÷错误!a错误!－错误!b－错误!－错误!＝－6ab－1＝－错误!。
2．函数y＝a x＋2－1(a>0且a≠1）的图象恒过的点是________．【答案】（－2,0)3．已知实数a，b满足等式2 016a＝2 017b，下列五个关系式：①0<b〈a；②a<b〈0；③0<a 〈b；④b<a〈0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．【答案】2【解析】设2 016a＝2 017b＝t,如图所示,由函数图象,可得若t>1，则有a>b〉0；若t＝1，则有a＝b＝0;若0〈t〈1,则有a〈b<0。
故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．4．若函数f(x）＝错误!是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】错误!【解析】依题意，a应满足错误!解得错误!<a≤错误!.5．函数y＝8－23－x(x≥0）的值域是________．【答案】[0,8）【解析】因为x≥0,所以3－x≤3，所以0＜23－x≤23＝8，所以0≤8－23－x<8,所以函数y＝8－23－x的值域为［0,8）．6．指数函数y＝f（x）的图象经过点(m，3)，则f(0)＋f（－m）＝________.【答案】错误!【解析】设f(x)＝a x(a>0且a≠1）,所以f(0)＝a0＝1。
专题2.6 指数与指数函数(测)-2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)(原卷版)
2019年高考数学讲练测【江苏版】【测】第二章 函数第六节 指数与指数函数班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为________． 2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是________． 3．已知实数a ，b 满足等式2 016a ＝2 017b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有________个．4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x >1，－3a x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________． 5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是________． 6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m,3)，则f (0)＋f (－m )＝________.7．已知函数f (x )＝a －x (a >0，且a ≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a 的取值范围是________． 8．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x ＜0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 9. (log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52) = .10. (log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)= ．二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。
专题2.6 指数与指数函数(讲)-2020年高考数学(理)一轮复习讲练测(原卷版)
专题2.6指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。
知识点一根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |，a ≥0，a ，a <0.知识点二分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.知识点三指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)12.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大.考点一指数幂的运算【典例1】（2019·＋2－212－(0.01)0.5【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式1】（2019·湖南岳阳一中模拟）化简[(0.06415)－2.5]23－3338－π0；考点二指数函数的图像及其应用【典例2】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟）函数y ＝a x －a －1(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是()【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．【变式2】（2019·山西平遥中学模拟）已知f (x )＝|2x －1|，当a ＜b ＜c 时，有f (a )＞f (c )＞f (b )，则必有()A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．2－a ＜2cD ．1＜2a ＋2c ＜2考点三比较指数式的大小【典例3】（2019·上海延安中学模拟）设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式3】（2019·江苏扬州中学模拟）已知f (x )＝2x －2－x，a14，bc ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为()A ．f (b )＜f (a )＜f (c )B ．f (c )＜f (b )＜f (a )C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )考点四解简单的指数方程或不等式【典例4】（2019·河北唐山一中模拟）已知实数a ≠1，函数f (x)x ，x ≥0，a －x ，x ＜0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为________．【方法技巧】利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解；【变式4】（2019·安徽马鞍山二中模拟）设函数f (x )－7，x ＜0，x ≥0，若f (a )＜1，则实数a 的取值范围是________．考点五指数函数性质的综合应用【典例5】（2019·江西鹰潭一中模拟）已知函数f (x )243－＋ax x .(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【方法技巧】解答指数函数性质的综合应用，首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解。
高考数学一轮复习 2.6指数函数课时达标训练 文 湘教版-湘教版高三全册数学试题
2.6 课时作业一、选择题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】 ∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －x 2≥12.【答案】 D2．(2014·某某模拟)设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝40.8＝21.6，b ＝80.46＝21.38，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2＝21.2，又∵1.6>1.38>1.2，∴21.6>21.38>21.2. 即a >b >c .故选A. 【答案】 A3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100【解析】 ∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10. 【答案】A4．当x ∈[－2，2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，则实数a 的X 围是( )A ．(1，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2) D ．(0，1)∪(1，2) 【解析】 x ∈[－2，2]时，a x<2(a >0，且a ≠1)，若a >1，y ＝a x 是一个增函数，则有a 2<2， 可得a <2，故有1<a <2；若0<a <1，y ＝a x 是一个减函数，则有a －2<2，可得a >22，故有22<a <1.综上知a ∈⎝⎛⎭⎪⎫22，1∪(1，2)． 【答案】 C5．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象如图所示．由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 得a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0. 故①②⑤可能成立，③④不可能成立． 【答案】 B6．若关于x 的方程|a x－1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值X 围是( ) A ．(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1)C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 【解析】 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x－1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.【答案】 D 二、填空题7．已知函数y ＝a 2x ＋2a x－1(a >0且a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值为14，则a 的值为________．【解析】 y ＝(a x ＋1)2－2，若0<a <1，则y max ＝(a －1＋1)2－2＝14，∴a －1＋1＝4，a ＝13；若a >1，则y max ＝(a 1＋1)2－2＝14，∴a ＋1＝4，∴a ＝3.综上a ＝13或a ＝3.【答案】 13或38．已知1＋2x ＋4x·a ＞0对一切x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数a 的取值X 围是____________．【解析】 由题意，得a ＞－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 对x ∈(－∞，1]恒成立，因为f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是(－∞，1]上的增函数，所以当x ＝1时，f (x )max ＝f (1)＝－34，所以a ＞－34.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞9．已知函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则g (0)，g (2)，g (3)的大小关系是________．【解析】 因为f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，所以由f (－x )－g (－x )＝e －x，得－f (x )－g (x )＝e －x ，与f (x )－g (x )＝e x联立，求得f (x )＝12(e x －e －x)，g (x )＝－12(e x ＋e －x )，g ′(x )＝－12(e x －e －x )＝0，x ＝0，当x <0时，g ′(x )>0，当x >0时，g ′(x )<0. 所以g (3)＜g (2)＜g (0)． 【答案】 g (3)＜g (2)＜g (0)10．(2013·某某模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋1，x ≠1，若关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，则a 的取值X 围是____________．【解析】 由2[f (x )]2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0，得f (x )＝32或f (x )＝a .由已知画出函数f (x )的大致图象，结合图象不难得知，要使关于x 的方程2[f (x )]2－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，即要使函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝32，y ＝a 共有五个不同的交点，是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 三、解答题 11．(2014·丰台区期末)定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )． (1)求f (x )在[0，1]上的最大值；(2)若f (x )是[0，1]上的增函数，某某数a 的取值X 围． 【解析】 (1)设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]，f (－x )＝14－x －a2－x ＝4x －a ·2x ，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝a ·2x －4x，x ∈[0，1]．令t ＝2x ，t ∈[1，2]，∴g (t )＝a ·t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24，当a2≤1，即a ≤2时，g (t )max ＝g (1)＝a －1； 当1<a2<2，即2<a <4时，g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，g (t )max ＝g (2)＝2a －4. 综上，当a ≤2时，f (x )的最大值为a －1；当2<a <4时，f (x )的最大值为a 24；当a ≥4时，f (x )的最大值为2a －4. (2)∵函数f (x )在[0，1]上是增函数，∴f ′(x )＝a ln 2×2x －ln 4×4x ＝2x ln 2·(a －2×2x)≥0，∴a －2×2x ≥0恒成立，∴a ≥2×2x. ∵2x∈[1，2]，∴a ≥4.故a 的取值X 围是[4，＋∞)．12．设函数f (x )＝ka x －a －x(a ＞0且a ≠1)是奇函数． (1)求k 的值；(2)若f (1)＞0，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0；(3)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m 的值．【解析】 (1)因为f (x )是奇函数，且f (0)有意义， 所以f (0)＝0，所以k －1＝0，k ＝1.(2)因为f (1)＞0，所以a －1a＞0，所以a ＞1，所以f (x )＝a x －a －x是R 上的单调增函数．于是由f (x 2＋2x )＞－f (x －4)＝f (4－x )，得x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，解得x ＜－4或x ＞1. 所以原不等式解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)．(3)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，解得a ＝2(a ＞0)，所以g (x )＝22x ＋2－2x －2m (2x －2－x)＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.设t ＝f (x )＝2x －2－x，则由x ≥1，得t ≥f (1)＝32，g (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2.若m ≥32，则当t ＝m 时，y min ＝2－m 2＝－2，解得m ＝2.若m ＜32，则当t ＝32时，y min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512(舍去)．综上得m ＝2.13．已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．【解析】 (1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x.令f ′()x ＝0，得x ＝k －1. f (x )与f 递减 递增所以，f (单调递增区间是(k －1，＋∞)．(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1]上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－k ，k ≤1，－e k －1，1<k <2，（1－k ）e ，k ≥2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 高考数学讲练测【新课标版文】【讲】 函数与基本初等函数Ⅰ第06节 指数与指数函数【课前小测摸底细】1.【必修一P56例6改编】若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点1(2,)2，则(1)f -=_______.2. 【2016高考新课标3文数】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<3. 【2016安徽淮北一中模拟】已知()221xxf x ax =++，若()ln32f =，则1ln 3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 4.【基础经典试题】指数函数()(1)x f x a =-在R 上是增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．1a >B ．2a >C ．01a <<D ．12a <<5.【改编自2011年高考山东卷】若点(,81)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为（ ）A ．B ．3-C ．D ．【考点深度剖析】与指数函数有关的试题，大都以其性质及图像为依托，结合推理、运算来解决，往往指数函数与其他函数进行复合，另外底数多含参数、考查分类讨论． 【经典例题精析】考点1 根式、指数幂的化简与求值 【1-1】化简34]的结果为（ ） A ．5 B ．C ．﹣D ．﹣5【1-2】1332-⎛⎫ ⎪⎝⎭×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋148＝________. 【课本回眸】1.na 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，规定：1a a =；2. (1,)n a n n N +=>∈,||,a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数；3. 1(0,,,)n mn mn a a m n N ma-+=>∈且为既约分数，=a a αβαβ（）. 【方法规律技巧】 指数幂的化简与求值(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂． 【新题变式探究】 【变式一】【2014-2015江西省新余市期末测试】【变式二】1.5－13×76⎛⎫- ⎪⎝⎭0＋80.256 考点2 根式、指数幂的条件求值 【2-1】已知11223a a-+=，求下列各式的值.（1）11a a -+；（2）22a a -+；（3）22111a a a a --++++ 【2-2】已知,a b 是方程2640x x -+=的两根，且0,a b >>的值.【课本回眸】1. 0a >时，0;ba >2. 0a ≠时， 01a =；3. 若,r sa a =则r s =；4. 1111222222()(0,0)a a b b a b a b ±+=±>>； 5. 11112222()()(0,0)a b a b a b a b +-=->>. 【方法规律技巧】根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式； （3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程. 【新题变式探究】【变式一】已知12,9,x y xy +==且x y <，求11221122x y x y-+的值.考点3 指数函数的概念、图象、性质及其应用【3-1】(2016·苏州模拟)若函数()(1)0xf x a a a >≠＝，在[]1,2－上的最大值为4，最小值为m ，且函数()14(x g m ＝－在[0)∞，＋上是增函数，则a ＝__________。
【3-2】(2016·广东模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，a ＜b ＜c 且f (a )＞f (c )＞f (b )，则下列结论中，必成立的是( )A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0B ．a ＜0，b ≥0，c ＞0C ．2－a ＜2c D ．2a ＋2c ＜2【3-3】(2016·蚌埠月考)函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为()AB C【3-4】(2016·辽宁测试)函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]【课本回眸】1．单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性， x 轴是函数图像的渐近线．当0<a <1时，x →＋∞，y →0；当a >1时，x →－∞，y →0；当a >1时，a 的值越大，图像越靠近y 轴，递增的速度越快；当0<a <1时，a 的值越小，图像越靠近y 轴，递减的速度越快．2．画指数函数x y a ＝的图像，应抓住三个关键点：()(1)0,1a ，、、11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3．熟记指数函数11y=10,y=2,y=,y=102xxx x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在同一坐标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系．【方法规律技巧】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.2.形如. ()(0,1)f x y a a a >≠＝一类函数，有如下结论：（1）()(0,1)f x y a a a >≠＝的定义域、奇偶性与()f x 的定义域、奇偶性相同；（2）先确定()f x 的值域，再利用指数函数的单调性，确定()(0,1)f x y a a a >≠＝的值域； （3）()(0,1)f x y aa a >≠＝的单调性具有规律“同增异减”，即(),u u f x y a ==的单调性相同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是增函数，(),uu f x ya==的单调性不同时，()(0,1)f x y a a a >≠＝是减函数.【新题变式探究】【变式一】【2016天津和平区模拟】已知()()22,3xxf x f m -=+=,且0m >,若()()()2,2,2a f m b f m c f m ===+,则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【变式二】已知函数1()22xx f x =-. (1)若()2f x ＝，求x 的值；(2)若()()220tf t mf t ≥＋对于]2[1t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．三、易错试题常警惕易错典例1：计算下列各式的值．（1234)a b>.,||,a na n⎧⎨⎩为奇数为偶数，不注意n一个重要原因，要在理解的基础上，记准、记熟、会用、活用．温馨提醒：(1) n中实数a的取值由n的奇偶性确定，只要n有意义，其值恒等于a，即n a=；(2) n的奇偶性限制，a R∈n的奇偶性影响.易错典例2：已知11223a a-+=，求33221122a aa a----的值.易错分析：本题解答一是难以想到应用“立方差”公式，二是应用“立方差”公式时易出现错误．温馨提醒：条件求值问题，化简已知条件、所求代数式是进一步代入计算的基础，熟记公式，准确化简是关键.易错典例3：函数1y=2⎛⎪⎝⎭的单调递增区间是________．易错分析：本题解答往往忽视函数的定义域，而出现错误．温馨提醒：处理函数问题时，应注意遵循“定义域优先”的原则.四、学科素养提升之数形结合思想利用数形结合的思想比较幂值大小及指数型函数问题常能起到事半功倍的效果【典例】比较323⎛⎫⎪⎝⎭与3234⎛⎫⎪⎝⎭的大小．。