高中数学必修一指数与指数函数练习题及答案基础题
新课标高一数学指数与指数函数练习题及答案

指数与指数函数同步练习一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,结果是( )A 、11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭B 、113212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、13212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭2、44等于( )A 、16aB 、8aC 、4aD 、2a3、若1,0a b ><,且b b a a -+=则b b a a --的值等于( ) A 、6B 、2±C 、2-D 、24、函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数,则a 的取值范围是( ) A 、1>a B 、2<a C、a <、1a <<5、下列函数式中,满足1(1)()2f x f x +=的是( ) A 、 1(1)2x + B 、14x + C 、2x D 、2x -6、下列2()(1)x x f x a a -=+是( )A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既奇且偶函数7、已知,0a b ab >≠,下列不等式(1)22a b >;(2)22a b>;(3)ba 11<;(4)1133a b >;(5)1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中恒成立的有( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个8、函数2121x x y -=+是( )A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数9、函数121x y =-的值域是( )A 、(),1-∞B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知01,1a b <<<-,则函数x y a b =+的图像必定不经过( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫=+⋅≠ ⎪-⎝⎭是偶函数,且()f x 不恒等于零,则()f x ( )A 、是奇函数B 、可能是奇函数,也可能是偶函数C 、是偶函数D 、不是奇函数,也不是偶函数12、一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为( )A 、(1%)na b -B 、(1%)a nb -C 、[1(%)]n a b -D 、(1%)n a b - 二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上) 13、若103,104x y ==,则10x y -= 。
高一数学上册第二章--指数函数知识点及练习题(含答案)

课时 4 指数函数一 . 指数与指数幂的运算( 1)根式的观点①假如xna, a R, x R, n 1,且 nN ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. 当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号 na 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号na 表示,负的 n 次方根用符号na表示; 0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当n 为奇数时, a 为随意实数;当 n 为偶数时, a.③根式的性质: (na )n a ;当 n 为奇数时, n a n a ;当 n 为偶数时, n a n | a |a (a 0) .a (a 0)( 2)分数指数幂的观点mna m (a①正数的正分数指数幂的意义是:a n 0, m,n N , 且 n 1) .0 的正分数指数幂等于0.②m(1m1 ) m( a正数的负分数指数幂的意义是:a n)n n (0, m, n N , 且 n1) .0 的负分数指aa数幂没存心义. 注意口诀: 底数取倒数,指数取相反数.( 3)分数指数幂的运算性质①a r a s a r s (a 0, r , s R)② (ar) sa rs (a 0, r , s R)③(ab)ra rb r (a0,b 0, rR)二 . 指数函数及其性质( 4)指数函数函数名称指数函数定义函数 ya x (a 0 且 a1) 叫做指数函数a 1a 1yy a xya xy图象y1y1(0,1)(0,1)OxOx定义域 R值域(0,+ ∞)过定点 图象过定点(0,1 ),即当 x=0 时, y=1.奇偶性非奇非偶单一性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的 y > 1(x > 0), y=1(x=0), 0< y < 1(x < 0)y > 1(x < 0), y=1(x=0), 0< y < 1(x > 0)变化状况a 变化对在第一象限内, a 越大图象越高,越凑近 y 轴; 在第一象限内, a 越小图象越高,越凑近 y 轴; 图象影响在第二象限内,a 越大图象越低,越凑近x 轴.在第二象限内,a 越小图象越低,越凑近x 轴.三 .例题剖析1.设 a 、 b 知足 0<a<b<1,以下不等式中正确的选项是 ( C)A.a a <a bB.b a <b bC.a a <b aD.b b <a b 分析: A 、B 不切合底数在 (0,1) 之间的单一性 ; C 、 D 指数同样 , 底小值小 . 应选 C. 2.若 0<a<1,则函数 y=a x 与 y=(a-1)x 2 的图象可能是 (D )分析: 当 0<a<1 时 ,y=a x 为减函数 ,a-1<0, 因此 y=(a-1)x2张口向下 , 应选 D.3.设指数函数 f(x)=a x (a>0 且 a ≠ 1),则以下等式中不正确的选项是 ( D )A.f(x+y)=f(x)f(y)f (x)B.f(x-y)=f ( y)C.f(nx)= [ f(x) ] nD.f [ (xy) n ] =[ f(x) ] n [ f(y) ] n (n ∈ N * )分析: 易知 A 、 B 、 C 都正确 .对于 D,f [(xy)n] =a (xy)n , 而[ f(x) ] n ·[f(y) ] n =(a x ) n ·(a y ) n =a nx+ny , 一般状况下 D 不建立 .11 34.设 a= ( 3) 3,b= ( 4)4,c= ( 3) 4,则 a 、b 、 c 的大小关系是 ( B )43 2A.c<a<b3分析: a= ( )B.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a1 111(8133( 4)3 ( 4) 4=b, b=(4) 4)4(3) 4 =c.∴ a>b>c.3 332725.设 f(x)=4 x -2x+1,则 f -1 (0)=______1____________. 分析: 令 f -1 (0)=a, 则 f(a)=0 即有 4a -2 · 2a =0.2a · (2 a -2)=0, 而 2a >0,∴ 2a =2 得 a=1.6.函数 y=a x-3 +4(a>0 且 a ≠ 1)的反函数的图象恒过定点 ______(5,3)____________.分析: 因 y=a x 的图象恒过定点 (0,1), 向右平移 3 个单位 , 向上平移 4 个单位获得 y=a x-3 +4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5).故其反函数过定点 (5,3).10 x 10 x.证明 f(x) 在 R 上是增函数 .7.已知函数 f(x)=x10 x10x1010x102x1,设 x 1<x 2∈ R,则f(x 1)-f(x2)=10x 1 1010x 1 10x 110x 210 x 2102 x 11 102 x 21 2(102 x 1102 x2).x 110x2 10x2 102 x1 1102 x21(102 x11)(102 x 2 1)∵ y=10 x是增函数 ,∴ 10 2x 1 10 2x 2 <0.而 10 2x 1 +1>0, 102 x 2 +1>0,故当 x <x 时 ,f(x)-f(x )<0,1212即 f(x 1)<f(x 2). 因此 f(x) 是增函数 .8.若定义运算 a b=b, ab,则函数 f(x)=3 x3-x 的值域为 ( A )a, a b,A.(0,1]B. [ 1,+∞ )C.(0,+ ∞ )D.(- ∞ ,+∞ )分析: 当 3x ≥3-x , 即 x ≥ 0 时 ,f(x)=3-x∈(0,1 ] ;x-x, 即 x<0 时 ,f(x)=3x∈ (0,1).3 x , x 0, 当 3<3∴ f(x)=x值域为 (0,1).3x ,0,9.函数 y=a x 与 y=-a -x (a>0,a ≠1) 的图象 ( C )A. 对于 x 轴对称B.对于 y 轴对称C.对于原点对称D.对于直线 y=-x 对称分析: 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x ∈[ -1,1]时 ,函数 f(x)=3 x-2 的值域为 _______[ -5,1 ] ___________.3分析: f(x) 在[ -1,1 ]上单一递加 .11.设有两个命题 :(1)对于 x 的不等式 x 2+2ax+4>0对全部 x ∈ R 恒建立 ;(2) 函数 f(x)=-(5-2a) x是减函数 .若命题 (1)和 (2)中有且仅有一个是真命题 ,则实数 a 的取值范围是 _______(- ∞ ,-2)__________.分析: (1) 为真命题=(2a) 2-16<0-2<a<2. (2)为真命题 5-2a>1 a<2.若 (1) 假 (2) 真 , 则 a ∈ (- ∞ ,-2]. 若 (1) 真 (2) 假, 则 a ∈ (-2,2)∩[ 2,+ ∞]=.故 a 的取值范围为 (- ∞ ,-2).12.求函数 y=4 -x -2-x +1,x ∈[ -3,2]的最大值和最小值 .解: 设 2-x=t, 由 x ∈[ -3,2 ]得 t ∈[ 1,8 ] , 于是 y=t 2-t+1=(t-1)2+3. 当 t= 1时 ,y3 .424有最小值 这时 x=1.当 t=8 时 ,y 有最大值57.这时 x=-3.2413.已知对于 x 的方程 2a2x-2-7a x-1 +3=0 有一个根是 2,求 a 的值和方程其他的根 . 解: ∵ 2 是方程 2a2x-2-9a x-1+4=0 的根 , 将 x=2 代入方程解得 a= 1或 a=4.2(1) 当 a= 1时 , 原方程化为 2· ( 1)2x-2-9(1) x-1 +4=0.①222x-1 2令 y=( 1) , 方程①变成 2y -9y+4=0,2解得 y 1=4,y 2= 1.∴ ( 1) x-1 =42x=-1,2( 1 ) x-1 = 1x=2.22(2) 当 a=4 时 , 原方程化为 2· 42x-2 -9 · 4x-1 +4=0. ②令 t=4 x-1 , 则方程②变成 2t 2-9t+4=0. 解得 t 1=4,t 2= 1.x-12=4x=2,∴44x-1 = 1x=- 1 .22故方程此外两根是当 a= 1时 ,x=-1;1 .2当 a=4 时 ,x=-214.函数 y= (1) 3 4xx 2的单一递加区间是 ( D )3A. [ 1,2]B.[ 2,3]C.(-∞ ,2]D.[ 2,+∞ )分析: 由于 y=3x2-4x+3 , 又 y=3t 单一递加 ,t=x 2-4x+3 在 x ∈[ 2,+ ∞ ) 上递加 , 故所求的递加区间为[ 2,+ ∞ ).15.已知 f(x)=3 x-b (2≤ x ≤ 4,b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1), 则 F(x)=f 2(x)-2f(x) 的值域为 ( B )A. [ -1,+∞ )B. [ -1,63)C.[ 0,+∞ )D.(0,63 ]分析: 由 f(2)=1, 得 32-b =1,b=2,f(x)=3 x-2.∴ F (x)= [ f(x)-1 ]2-1=(3 x-2 -1) 2-1. 令 t=3 x-2 ,2 ≤x ≤4.2∴g(t)=(t-1) - 1,t ∈[ 1,9 ].2.1 指数函数练习1.以下各式中建立的一项A . ( n)71n 7 m 7B .12 ( 3)433m3C . 4 x 3y 3( x y) 4D .393321111 1 52.化简 (a 3 b 2 )( 3a 2 b 3 ) ( a 6 b 6 ) 的结果3D . 9a 2 A . 6aB . aC . 9a3.设指数函数 f ( x)a x ( a 0, a1) ,则以下等式中不正确的选项是f (x) A . f(x+y)=f(x) ·f(y)B . f ( x y )f ( y)C . f (nx)[ f ( x)]n (nQ )D . f ( xy) n [ f ( x)] n ·[f ( y)] n1 4.函数 y (x5) 0 ( x 2)2A . { x | x 5, x 2}B . { x | x 2}C . { x | x 5}D . { x | 2 x 5或 x 5}()()()(n N )( )5.若指数函数 y a x 在 [- 1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数 a 等于 ()A .15 B .1 5 C .15D .5 122 226.当 a0 时,函数 y axb 和 yb ax 的图象只可能是()7.函数 f ( x)2 |x| 的值域是()A . (0,1]B . (0,1)C . (0, )D . R8.函数 f ( x)2 x 1, x 0,知足 f ( x)1的 x 的取值范围1x 2 , x()A . ( 1,1)B . ( 1, )C . { x | x 0或 x2}D . { x | x 1或 x1}9.函数 y(1) x 2x2得单一递加区间是2()A .[ 1,1]B . ( , 1]C .[2,)D .[ 1,2]2exe x210.已知 f ( x)()2 ,则以下正确的选项是A .奇函数,在 R 上为增函数B .偶函数,在 R 上为增函数C .奇函数,在 R 上为减函数D .偶函数,在 R 上为减函数11.已知函数 f (x)的定义域是(1, 2),则函数 f (2 x ) 的定义域是.12.当 a >0 且 a ≠1 时,函数 f (x)=a x -2- 3 必过定点.三、解答题:13.求函数 y1的定义域 .x5 x 1114.若 a >0, b > 0,且 a+b=c ,求证: (1) 当r >1时, a r +b r < c r ; (2) 当r < 1时, a r +b r > c r .a x 1 15.已知函数 f ( x)(a >1) .a x1( 1)判断函数 f (x) 的奇偶性;( 2)证明 f (x)在 (-∞, +∞ )上是增函数 .xa16.函数 f(x) = a (a>0 ,且 a ≠1) 在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大2,求 a 的值.参照答案一、 DCDDD AADDA二、 11. (0,1);12. (2,- 2) ;三、 13. 解:要使函数存心义一定:x 1 0x 1x0 x 0x 1∴ 定义域为 : x xR 且 x0, x 1a rrrb r此中a1,0b114. 解:ba,c rcccc.r >1 ,a rb ra b 1,r r r当因此+b< c ;时c c c crrrrr当 r < 1 时, aba b1, 因此 a +b >c .ccc c15. 解 :(1)是奇函数 .(2) 设x <x ,则 f (x 1 )ax11 ax21 。
高中数学必修一《指数与指数函数》测试及答案2套

高中数学必修一《指数与指数函数》测试及答案2套单元测试卷一(时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a <14,则化简44a -12的结果是( )A.1-4aB.4a -1 C .-1-4aD .-4a -12.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加110.4%,那么经过x 年可增长到原来的y 倍,则函数y =f (x )的图象大致是( )3.设f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |,x ∈R ,那么f (x )是( )A .奇函数且在(0,+∞)上是增函数B .偶函数且在(0,+∞)上是增函数C .奇函数且在(0,+∞)上是减函数D .偶函数且在(0,+∞)上是减函数 4.若3a>1,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,0)B .(0,1)C .(0,+∞) D.(2,+∞) 5.函数y =2x-12x +1是( )A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数6.函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2-2的单调递减区间为( )A .(-∞,0]B .0,+∞)C .(-∞,2]D .2,+∞)7.函数y=⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 2+2x 的值域是( ) A .R B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ C .(2,+∞)D .(0,+∞)8.设f (x )是定义在实数集R 上的函数,满足条件:y =f (x +1)是偶函数,且当x ≥1时,f (x )=5x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 9.函数y =|x |e-xx的图象的大致形状是( )10.下列函数中,与y =-3|x |的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( ) A .y =-1xB .y =|x |-1|x |C .y =-(2x +2-x)D .y =x 3-111.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a xx <0,a -3x +4a x ≥0满足对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14 B .(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,1 D .(0,3) 12.设函数f (x )=2-x 2+x +2 ,对于给定的正数K ,定义函数f K (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f x ,f x ≤K ,K ,f x >K ,若对于函数f (x )=2-x 2+x +2定义域内的任意x ,恒有f K (x )=f (x ),则( )A .K 的最大值为2 2B .K 的最小值为2 2C .K 的最大值为1D .K 的最小值为1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.2-12+-42+12-1-1-5=________.14.函数f (x )=2a x +1-3(a >0,且a ≠1)的图象经过的定点坐标是________.15.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x <0,⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ≥0,则不等式|f (x )|≥13的解集为________.16.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=2x-3,则当x <0时,f (x )=________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)函数f (x )=k ·a -x(k ,a 为常数,a >0且a ≠1)的图象过点A (0,1),B (3,8). (1)求函数f (x )的解析式; (2)若函数g (x )=f x -1f x +1,试判断函数g (x )的奇偶性并给出证明.18.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=2x-4x.(1)求y =f (x )在-1,1]上的值域; (2)解不等式f (x )>16-9×2x;(3)若关于x 的方程f (x )+m -1=0在-1,1]上有解,求m 的取值范围.19.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t );(2)进一步测定:每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a 2+22x +1是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断f (x )的单调性,并用定义加以证明; (3)求f (x )的值域.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,x ∈-1,1],函数φ(x )=f (x )]2-2af (x )+3的最小值为h (a ).(1)求h (a );(2)是否存在实数m >n >3,当h (a )的定义域为n ,m ]时,值域为n 2,m 2]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)定义在D 上的函数f (x ),如果满足:对任意x ∈D ,存在常数M >0,都有|f (x )|≤M 成立,则称f (x )是D 上的有界函数,其中M 称为函数f (x )的上界.已知函数f (x )=1+a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +⎝ ⎛⎭⎪⎫19x.(1)当a =-12时,求函数f (x )在(-∞,0)上的值域,并判断函数f (x )在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f (x )在0,+∞)上是以4为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.答案1.A 解析:∵a <14,∴4a -1<0,∴44a -12=1-4a .2.D 解析:经过x 年后y =(1+110.4%)x=2.104x.3.D 解析:函数f (x )的定义域R 关于原点对称,且f (-x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|-x |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |=f (x ),所以f (x )是偶函数.又f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,x ≥0,2x ,x <0,所以f (x )在(0,+∞)上是减函数.4.C 解析:因为3a>1,所以3a>30,3>1,∴y =3a是增函数.∴a >0.5.A 解析:函数y =2x-12x +1的定义域(-∞,+∞)关于原点对称,且f (-x )=2-x-12-x +1=12x -112x +1=1-2x 1+2x =-f (x ),所以该函数是奇函数. 6.B 解析:函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为R 上的减函数,欲求函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-2的单调递减区间,只需求函数u =x 2-2的单调递增区间,而函数u =x 2-2的单调递增区间为0,+∞).7.B 解析:令t =-x 2+2x ,则t =-x 2+2x 的值域为(-∞,1],所以y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 2+2x=⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞. 解题技巧:本题主要考查了指数型函数的值域,解决本题的关键是先求出指数t =-x 2+2x 的值域,再根据复合函数的单调性求出指数型函数的值域.8.D 解析:∵y =f (x +1)是偶函数,∴y =f (x +1)的对称轴为x =0,∴y =f (x )的对称轴为x =1.又x ≥1时,f (x )=5x,∴f (x )=5x在1,+∞)上是增函数,∴f (x )在(-∞,1]上是减函数.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,且23>12>13,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.9.C 解析:由函数的表达式知,x ≠0,y =e -x|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧e -x,x >0,-e -x,x <0,所以它的图象是这样得到的:保留y =e -x,x >0的部分,将x <0的图象关于x 轴对称.故选D.10.C 解析:设函数f (x )=y =-3|x |,x ∈R ,∴f (-x )=-3|-x |.∵f (x )=f (-x ),∴f (x )为偶函数.令t =|x |,∴t =|x |,x ∈(-∞,0)是减函数,由复合函数的单调性知,y=-3|x |在x ∈(-∞,0)为增函数.选项A 为奇函数,∴A 错;选项B 为偶函数但是在x ∈(-∞,0)为减函数,∴B 错;选项C 令g (x )=-(2x+2-x),g (-x )=-(2-x+2x),∴g (x )=g (-x ),∴g (x )为偶函数.由复合函数的单调性知,g (x )在x ∈(-∞,0)为增函数.故选C.11.A 解析:∵对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,∴f (x )是R 上的减函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a 0≥4a ,解得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14.故选A. 12.B 解析:∵函数f (x )=2-x 2+x +2的值域为1,22],又∵对于给定的正数K ,定义函数f K (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f x ,f x ≤K ,K ,f x >K ,若对于函数f (x )=2-x 2+x +2定义域内的任意x ,恒有f K (x )=f (x ),∴K ≥2 2.故选B.13.-22解析:2- 12+-42+12-1-1-5=12-42+2+11-1=-32+2=-22.14.(-1,-1) 解析:由指数函数恒过定点(0,1)可知,函数f (x )=2ax +1-3(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点(-1,-1).15.-3,1] 解析:当x <0时,|f (x )|≥13,即1x ≤-13,∴x ≥-3;当x ≥0时,|f (x )|≥13,即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13,∴x ≤1.综上不等式的解集是x ∈-3,1].解题技巧:本题主要考查了关于分段函数的不等式,解决本题的关键是分段求出不等式的解集,最后取并集.16.-2-x+3 解析:当x <0时,-x >0.∵当x >0时,f (x )=2x -3,∴f (-x )=2-x-3.又f (x )是定义在R 上的奇函数,∴当x <0时,f (-x )=2-x-3=-f (x ),∴f (x )=-2-x+3.17.解:(1)由函数图案过点A (0,1)和B (3,8)知,⎩⎪⎨⎪⎧k =1,k ·a -3=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,a =12,∴f (x )=2x.(2)函数g (x )=2x-12x +1为奇函数.证明如下:函数g (x )定义域为R ,关于原点对称;且对于任意x ∈R ,都有g (-x )=2-x-12-x +1=1-2x 1+2x =-2x-12x+1=-g (x )成立. ∴函数g (x )为奇函数.18.解:(1)设t =2x,因为x ∈-1,1],∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,y =t -t 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122+14,∴t =12时,f (x )max =14,t =2时,f (x )min =-2.∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,14.(2)设t =2x ,由f (x )>16-9×2x 得t -t 2>16-9t , 即t 2-10t +16<0,∴2<t <8,即2<2x<8,∴1<x <3, ∴不等式的解集为(1,3).(3)方程有解等价于m 在1-f (x )的值域内,∴m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,3.19.解:(1)当t ∈0,1]时,设函数的解析式为y =kt ,将M (1,4)代入,得k =4,∴ y =4t .又当t ∈(1,+∞)时,设函数的解析式为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t -a,将点(3,1)代入得a =3,∴ y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t -3.综上,y =f (t )=⎩⎪⎨⎪⎧4t ,0≤t ≤1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12t -3,t >1.(2)由f (t )≥0.25,解得116≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=7916(小时).解题技巧:解题时,先观察图形,将图形语言转化成符号语言.由图形可知这是一个一次函数、指数函数相结合的题目.根据条件设出解析式,结合图象中的已知点求出函数解析式,再利用分段函数的知识即可求解服药一次治疗疾病的有效时间.20.解:(1)由题知,f (x )的定义域是R ,∵f (x )是奇函数,∴f (0)=0,即f (0)=a 2+220+1=0,解得a =-2.经验证可知,f (x )是奇函数, ∴a =-2.(3)f (x )=-1+22x +1,∵2x >0,∴2x+1>1,∴0<22x +1<2,-1<-1+22x +1<1,∴-1<y <1.故f (x )的值域为(-1,1).21.解:(1)因为x ∈-1,1],所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3.设t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3,则φ(x )=t 2-2at +3=(t -a )2+3-a 2.当a <13时,y min =h (a )=φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=289-2a 3;当13≤a ≤3时,y min =h (a )=φ(a )=3-a 2; 当a >3时,y min =h (a )=φ(3)=12-6a .∴h (a )=⎩⎪⎨⎪⎧289-2a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a <13,3-a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤3,12-6a a >3.(2)假设满足题意的m ,n 存在,∵m >n >3,∴h (a )=12-6a 在(3,+∞)上是减函数. ∵h (a )的定义域为n ,m ],值域为n 2,m 2],∴⎩⎪⎨⎪⎧12-6m =n 2,12-6n =m 2,两式相减,得6(m -n )=(m -n )(m +n ).由m >n >3,∴m +n =6,但这与m >n >3矛盾,∴满足题意的m ,n 不存在.解题技巧:本题主要考查了指数型函数的值域、存在性问题;解决存在性问题的关键是先假设存在,把假设作为已知条件进行推理,若推理合理则存在,若推理不合理则不存在.22.解:(1)当a =-12时,f (x )=1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +⎝ ⎛⎭⎪⎫19x .令t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,∵x <0,∴t >1,f (t )=1-12t +t 2.∵f (t )=1-12t +t 2在(1,+∞)上单调递增,∴f (t )>32,即f (x )在(-∞,1)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞. 故不存在常数M >0,使|f (x )|≤M 成立,∴函数f (x )在(-∞,0)上不是有界函数.(2)由题意知,|f (x )|≤4,即-4≤f (x )≤4对x ∈0,+∞)恒成立.令t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,∵x ≥0,∴t ∈(0,1],∴-⎝ ⎛⎭⎪⎫t +5t ≤a ≤3t-t 对t ∈(0,1]恒成立,∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝⎛⎭⎪⎫t +5t max ≤a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3t -t min . 设h (t )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫t +5t ,p (t )=3t-t ,t ∈(0,1].由于h (t )在t ∈(0,1]上递增,p (t )在t ∈(0,1]上递减,h (t )在t ∈(0,1]上的最大值为h (1)=-6,p (t )在1,+∞)上的最小值为p (1)=2,则实数a 的取值范围为-6,2].单元测试卷二(时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算(-2)2] - 12 的结果是( ) A. 2 B .- 2 C.22D .-222.⎝⎛⎭⎪⎫1120-(1-0.5-2)÷⎝⎛⎭⎪⎫27823的值为( )A.-13B.13C.43D.733.若a>1,则函数y=a x与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的( )4.下列结论中正确的个数是( )①当a<0时,(a223=a3;②na n=|a|(n≥2,n∈N);③函数y=(x-2)12-(3x-7)0的定义域是2,+∞);④6-22=32.A.1 B.2 C.3 D.45.指数函数y=f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫-2,14,那么f(4)·f(2)等于( ) A.8 B.16 C.32 D.646.函数y=21x的值域是( )A.(0,+∞) B.(0,1)C.(0,1)∪(1,+∞) D.(1,+∞)7.函数y=|2x-2|的图象是( )8.a ,b 满足0<a <b <1,下列不等式中正确的是( ) A .a a<a bB .b a<b bC .a a<b aD .b b<a b9.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y =e x关于y 轴对称,则f (x )=( )A .ex +1B .ex -1C .e-x +1D .e-x -110.若函数y =a x+m -1(a >0,a ≠1)的图象在第一、三、四象限内,则( ) A .a >1B .a >1,且m <0C .0<a <1,且m >0D .0<a <111.函数f (x )=2x +2-4x,若x 2-x -6≤0,则f (x )的最大值和最小值分别是( ) A .4,-32 B .32,-4 C.23,0 D.43,1 12.若函数f (x )=3x+3-x与g (x )=3x-3-x的定义域均为R ,则( ) A .f (x )与g (x )均为偶函数 B .f (x )为偶函数,g (x )为奇函数 C .f (x )与g (x )均为奇函数 D .f (x )为奇函数,g (x )为偶函数第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 13.已知a =0.80.7,b =0.80.9,c =1.20.8,则a ,b ,c 的大小关系为________.14.若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫14x +⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1+a =0有正数解,则实数a 的取值范围是________.15.已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x -1|,则f (x )的单调递增区间是________.16.定义区间x 1,x 2](x 1<x 2)的长度为x 2-x 1,已知函数y =2|x |的定义域为a ,b ],值域为1,2],则区间a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分) 解不等式a 2x +7<a3x -2(a >0,a ≠1).18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=3x,且f (a )=2,g (x )=3ax-4x. (1)求g (x )的解析式;(2)当x ∈-2,1]时,求g (x )的值域.19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax,a 为常数,且函数的图象过点(-1,2).(1)求a 的值;(2)若g (x )=4-x-2,且g (x )=f (x ),求满足条件的x 的值.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a ·2x +b ·3x,其中常数a ,b 为实数. (1)当a >0,b >0时,判断并证明函数f (x )的单调性; (2)当ab <0时,求f (x +1)>f (x )时x 的取值范围.21.(本小题满分12分)设a ∈R ,f (x )=a -22x +1(x ∈R ).(1)证明:对任意实数a ,f (x )为增函数; (2)试确定a 的值,使f (x )≤0恒成立.22.(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )=-2x+b2x +1+2是奇函数.(1)求b 的值;(2)判断函数f (x )的单调性;(3)若对任意的t ∈R ,不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立,求k 的取值范围.答案1.C 解析:(-2)2] - 12 =2- 12 =12=22.2.D 解析:原式=1-(1-22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322=1-(-3)×49=73.故选D.3.C 解析:a >1,∴y =a x在R 上单调递增且过(0,1)点,排除B ,D , 又∵1-a <0,∴y =(1-a )x 2的开口向下.4.A 解析:在①中,a <0时,(a 2) 32 >0,而a 3<0,∴①不成立. 在②中,令a =-2,n =3,则3-23=-2≠|-2|,∴②不成立.在③中,定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2,73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73,+∞,∴③不成立. ④式是正确的,∵6-22=622=32,∴④正确.5.D 解析:设f (x )=a x(a >0且a ≠1), 由已知得14=a -2,a 2=4,所以a =2,于是f (x )=2x,所以f (4)·f (2)=24·22=64.解题技巧:已知函数类型,求函数解析式,常用待定系数法,即先把函数设出来,再利用方程或方程组解出系数.6.C 解析:∵1x≠0,∴21x ≠1,∴函数y =21x的值域为(0,1)∪(1,+∞).7.B 解析:找两个特殊点,当x =0时,y =1,排除A ,C.当x =1时,y =0,排除D.故选B.8.C 解析:∵0<a <b <1,∴a a >a b ,故A 不成立,同理B 不成立,若a a <b a,则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a <1,∵0<a b<1,0<a <1, ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba <1成立,故选C. 9.D 解析:与曲线y =e x 关于y 轴对称的曲线为y =e -x ,函数y =e -x的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象,即f (x )=e-(x +1)=e-x -1.解题技巧:函数图象的平移变换,要注意平移的方向和平移量.平移规律为:10.B 解析:由函数y =a x+m -1(a >0,a ≠1)的图象在第一、三象限知,a >1.知函数在第四象限,∴a 0+m -1<0,则有m <0.11.A 解析:f (x )=2x +2-4x =-(2x )2+4·2x =-(2x -2)2+4,又∵x 2-x -6≤0,∴-2≤x ≤3,∴14≤2x≤8.当2x =2时,f (x )max =4,当2x=8时,f (x )min =-32. 12.B 解析:因为f (-x )=3-x+3-(-x )=3-x +3x=f (x ),g (-x )=3-x -3-(-x )=3-x -3x =-g (x ),所以f (x )为偶函数,g (x )为奇函数.13.c >a >b 解析:由指数函数y =a x当0<a <1时为减函数知, 0.80.7>0.80.9,又1.20.8>1,0.80.7<1, ∴1.20.8>0.80.7>0.80.9,即c >a >b .14.(-3,0) 解析:令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x=t ,∵方程有正根,∴t ∈(0,1).方程转化为t 2+2t +a =0, ∴a =1-(t +1)2.∵t ∈(0,1),∴a ∈(-3,0).15.(-∞,1] 解析:解法一:由指数函数的性质可知,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域上为减函数,故要求f (x )的单调递增区间,只需求y =|x -1|的单调递减区间.又y =|x -1|的单调递减区间为(-∞,1],所以f (x )的单调递增区间为(-∞,1].解法二:f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -1,x ≥1,2x -1,x <1.可画出f (x )的图象,并求其单调递增区间.解题技巧:既可以利用复合函数的“同增异减”法则求解,也可以去绝对值符号,转化为分段函数求解.16.1 解析:作出函数y =2|x |的图象(如图所示).当x =0时,y =20=1, 当x =-1时,y =2|-1|=2,当x =1时,y =21=2,所以当值域为1,2]时,区间a ,b ]的长度的最大值为2,最小值为1,它们的差为1. 17.解:当a >1时,a 2x +7<a3x -2等价于2x +7<3x -2,∴x >9; 当0<a <1时,a 2x +7<a3x -2等价于2x +7>3x -2.∴x <9.综上,当a >1时,不等式的解集为{x |x >9}; 当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <9}. 解题技巧:注意按照底数进行分类讨论. 18.解:(1)由f (a )=2,得3a=2,a =log 32, ∴g (x )=(3a )x-4x=(3log 32)x -4x=2x-4x=-(2x )2+2x. ∴g (x )=-(2x )2+2x. (2)设2x=t ,∵x ∈-2,1], ∴14≤t ≤2. g (t )=-t 2+t =-⎝⎛⎭⎪⎫t -122+14,由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2上的图象可得, 当t =12,即x =-1时,g (x )有最大值14;当t =2,即x =1时,g (x )有最小值-2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,14.19.解:(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-a=2,解得a =1.(2)由(1)知,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,又g (x )=f (x ),则4-x-2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x -⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -2=0,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12x-2=0. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x =t ,则t 2-t -2=0,即(t -2)(t +1)=0. 又t >0,故t =2,即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x=2,解得x =-1.20.解:(1)函数f (x )在R 上是增函数.证明如下:a >0,b >0,任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,(2)∵f (x +1)>f (x ), ∴f (x +1)-f (x )=(a ·2x +1+b ·3x +1)-(a ·2x+b ·3x)=a ·2x+2b ·3x>0,当a <0,b >0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >-a 2b ,则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2b , 当a >0,b <0时,⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <-a 2b ,则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2b . 综上,当a <0,b >0时,x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2b ,+∞;当a >0,b <0时,x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2b . 21.(1)证明:任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,故对于任意实数a ,f (x )为增函数.(2)解:f (x )=a -22x +1≤0恒成立,只要a ≤22x +1恒成立,问题转化为只要a 不大于22x+1的最小值.∵x ∈R,2x>0恒成立,∴2x+1>1. ∴0<12x +1<1,0<22x +1<2,∴a ≤0.故当a ∈(-∞,0]时,f (x )≤0恒成立.22.解:(1)因为f (x )是奇函数,所以f (0)=0,即b -12+2=0,解得b =1.(3)因为f (x )是奇函数,f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0,则f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k -2t 2), 因f (x )为减函数,由上式推得,t 2-2t >k -2t 2. 即对一切t ∈R 有3t 2-2t -k >0, 从而判别式Δ=4+12k <0,解得k <-13.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-13.。
高一数学指数与指数函数试题答案及解析

高一数学指数与指数函数试题答案及解析1.函数的图像过一个定点,则定点的坐标是【答案】(2,2)【解析】当x=2时,f(2)=a2-2+1=a0+1=2,∴函数y=a x-2+1的图象一定经过定点(2,2).故答案为:(2,2).【考点】含有参数的函数过定点的问题.2.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于()A.4B.6C.8D.10【答案】C【解析】由数形结合可知,两函数图像在直线两侧各有4个交点,其两两关于对称。
不妨令。
则所有交点横坐标之和为。
故C正确。
【考点】1函数图像;2余弦函数的周期;3数形结合思想。
3.已知幂函数的图象过点,则.【答案】4【解析】因为为幂函数,所以设因为过点,所以本题易错点在将幂函数的定义写成指数函数的形式,即【考点】幂函数定义,指数的运算4.(1)计算.(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)利用对数恒等式、换底公式、对数的运算性质进行计算;(2)首先对已知等式进行平方求得的值,再对其平方可求得的值,最后代入所求式即可求得结果.试题解析:(1)原式=.(2)∵,∴,∴,∴,∴,∴原式.【考点】1、对数的运算性质;2、对数的换底公式;3、指数的运算性质.5.已知函数,则=.【答案】【解析】根据题题意:,,故.【考点】1.分段函数;2.指数、对数运算.6.三个数,,的大小顺序是 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】因为,,,所以,故选C.【考点】1.指数函数的单调性;2.对数函数的单调性.7.计算的值为_________.【答案】2【解析】原式【考点】根式、指数、对数的运算8.三个数大小的顺序是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得,.,,,,故选A【考点】考察指数函数,和对数函数,分别与1和0的之对比.9.若实数,满足,则关于的函数的图象形状大致是()【答案】B【解析】由等式,可得,根据指数函数的图像可知(或者根据函数的奇偶性、单调性、特殊值来判断),正确答案为B.【考点】1.对数式与指数式的互化;2.指数函数图像、奇偶性、单调性.10.若a<0,>1,则( )A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【答案】D【解析】是上的增函数,由,所以是上的减函数, 由,所以故选D【考点】指数函数,对数函数的单调性.11.三个数的大小关系为()A.B.C.D.【答案】D【解析】判断几个数的大小多用构造函数单调性来解题.因为是上的减函数,所以因为是上的减函数,所以因为是上的增函数,所以故选D【考点】用指数函数与对数函数单调性比较大小,转化思想应用.12.若,则函数的图象一定过点_______________.【答案】【解析】由函数过定点,令,即时,恒等于-3,故函数图像过定点;故答案为:.【考点】指数函数的图像和性质.13.设,,,则的大小关系是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由对数函数的性质知:,所以答案选.【考点】1.指数大小比较;2.对数函数的性质.14.计算:(1);(2)【答案】(1)6;(2).【解析】(1)直接采用换底公式计算即可;(2)利用指数幂的运算性质逐个运算即可.试题解析:(1)原式=(2)原式=【考点】1.换底公式的应用;2.指数幂的化简求值.15.函数的图象一定过点()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意,由于函数,令x-1=0,x=1,可知函数值为2,故可知函数一定过点,选B.【考点】指数函数点评:本试题主要是考查了指数函数恒过(0,1)点的运用,属于基础题。
高一数学指数运算及指数函数试题(有答案)

高一数学指数运算及指数函数试题一.选择题1.若xlog 23=1,则3x+9x的值为(B)A.3B.6C.2D.解:由题意x=,所以3x==2,所以9x=4,所以3x+9x=6故选B2.若非零实数a、b、c满足,则的值等于(B)A.1B.2C.3D.4解答:解:∵,∴设=m,a=log5m,b=log2m,c=2lgm,∴==2lgm(log m5+log m2)=2lgm•log m10=2.故选B.3.已知,则a等于()A.B.C. 2 D. 4解:因为所以解得a=4故选D4.若a>1,b>1,p=,则a p等于()A.1B.b C.l og b a D.a log b a解:由对数的换底公式可以得出p==log a(log b a),因此,a p等于log b a.故选C.5.已知lg2=a,10b=3,则log125可表示为(C)A.B.C.D.解:∵lg2=a,10b=3,∴lg3=b,∴log125===.故选C.6.若lgx﹣lgy=2a,则=(C)A.3a B.C.a D.解:∵lgx﹣lgy=2a,∴lg﹣lg=lg﹣lg=(lg﹣lg)=lg=(lgx﹣lgy)=•2a=a;故答案为C.7.已知函数,若实数a,b满足f(a)+f(b﹣2)=0,则a+b= A.﹣2 B.﹣1 C.0D.2解:f(x)+f(﹣x)=ln(x+)+ln(﹣x+=0∵f(a)+f(b﹣2)=0∴a+(b﹣2)=0∴a+b=2故选D.8.=()A.1B.C.﹣2 D.解:原式=+2×lg2+lg5=+lg2+lg5=+1=,故选B.9.设,则=()A.1B.2C.3D.4解:∵,∴==()+()+()==3故选C10.,则实数a的取值区间应为(C)A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解:=log34+log37=log328∵3=log327<log328<log381=4∴实数a的取值区间应为(3,4)故选C.11.若lgx﹣lgy=a,则=(A)A.3a B.C.a D.解:=3(lgx﹣lg2)﹣3(lgy﹣lg2)=3(lgx﹣lgy)=3a故选A.12.设,则()A.0<P<1 B.1<P<2 C.2<P<3 D.3<P<4 解:=log112+log113+log114+log115=log11(2×3×4×5)=log11120.∴log1111=1<log11120<log11121=2.故选B.13.已知a,b,c均为正数,且都不等于1,若实数x,y,z满足,则abc的值等于(A)A.1B.2C.3D.4解:∵a,b,c均为正数,且都不等于1,实数x,y,z满足,∴设a x=b y=c z=k(k>0),则x=log a k,y=log b k,z=log c k,∴=log k a+log k b+log k c=log k abc=0,∴abc=1.故选A.14.化简a2•••的结果是(C)A.a B.C.a2D.a3解:∵a2•••=a2•••==a2,故选C15.若x,y∈R,且2x=18y=6xy,则x+y为()A.0B.1C.1或2 D.0或2解:因为2x=18y=6xy,(1)当x=y=0时,等式成立,则x+y=0;(2)当x、y≠0时,由2x=18y=6xy得,xlg2=ylg18=xylg6,由xlg2=xylg6,得y=lg2/lg6,由ylg18=xylg6,得x=lg18/lg6,则x+y=lg18/lg6+lg2/lg6=(lg18+lg2)/lg6=lg36/lg6=2lg6/lg6=2.综上所述,x+y=0,或x+y=2.故选D.16.若32x+9=10•3x,那么x2+1的值为(D)A.1B.2C.5D.1或5解:令3x=t,(t>0),原方程转化为:t2﹣10t+9=0,所以t=1或t=9,即3x=1或3x=9所以x=0或x=2,所以x2+1=1或5故选Dx x2A.﹣2<a<2 B.C.D.解;令t=2x,则t>0若二次函数f(t)=t2﹣at+a2﹣3在(0,+∞)上有2个不同的零点,即0=t2﹣at+a2﹣3在(0,+∞)上有2个不同的根∴解可得,即故选D18.若关于x的方程=3﹣2a有解,则a的范围是(A)A.≤a<B.a≥C.<a<D.a>解:∵1﹣≤1,函数y=2x在R上是增函数,∴0<≤21=2,故0<3﹣2a≤2,解得≤a<,故选A.二.填空题19.,则m=10.解:由已知,a=log2m,b=log5m.∴+=log m2+log m5=log m10=1∴m=10故答案为:10.20.已知x+y=12,xy=9,且x<y,则=.解:由题设0<x<y∵xy=9,∴∴x+y﹣2==12﹣6=6x+y+2==12+6=18∴=,=∴=故答案为:21.化简:=(或或).解:====.故答案为:(或或).22.=1.解:===1.故答案为:1.23.函数在区间[﹣1,2]上的值域是[,8].解:令g(x)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,对称轴为x=1,∴g(x)在[﹣1,1]上单调减,在[1,8]上单调递增,又f(x)=2g(x)为符合函数,∴f(x)=2g(x)在[﹣1,1]上单调减,在[1,,2]上单调递增,∴f(x)min=f(1)==;又f(﹣1)==23=8,f(2)==1,∴数在区间[﹣1,2]上的值域是[,8].故答案为:[,8].24.函数的值域为(0,8].解:令t=x2+2|x|﹣3==结合二次函数的性质可得,t≥﹣3∴,且y>0故答案为:(0,8].25.函数(﹣3≤x≤1)的值域是[3﹣9,39],单调递增区间是(﹣2,+∞)..解:可以看做是由y=和t=﹣2x2﹣8x+1,两个函数符合而成,第一个函数是一个单调递减函数,要求原函数的值域,只要求出t=﹣2x2﹣8x+1,在[1,3]上的值域就可以,t∈[﹣9,9]此时y∈[3﹣9,39]函数的递增区间是(﹣∞,﹣2],故答案为:[3﹣9,39];(﹣2,+∞)三.解答题26.计算:(1);(2).解:(1)==(2)===2+2﹣lg3+lg2+lg3﹣lg2+2=627.(1)若,求的值;(2)化简(a>0,b>0).解:(1)∵,∴x+x﹣1=9﹣2=7,x2+x﹣2=49﹣2=47,∴==3×6=18,∴==.(2)∵a >0,b >0,∴====.28.已知函数f (x )=4x ﹣2x+1+3. (1)当f (x )=11时,求x 的值;(2)当x ∈[﹣2,1]时,求f (x )的最大值和最小值.解:(1)当f (x )=11,即4x ﹣2x+1+3=11时,(2x )2﹣2•2x ﹣8=0 ∴(2x ﹣4)(2x +2)=0 ∵2x >02x +2>2,∴2x ﹣4=0,2x =4,故x=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分) (2)f (x )=(2x )2﹣2•2x +3 (﹣2≤x ≤1) 令∴f (x )=(2x ﹣1)2+2当2x =1,即x=0时,函数的最小值f min (x )=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)当2x =2,即x=1时,函数的最大值f max (x )=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)29.已知函数||22)(x x x f -=. (1)若2)(=x f ,求x 的值;(2)若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立,求实数m 的取值范围。
高一数学上册 指数函数知识点及练习题含答案

课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算(1)根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n表示;当n 是偶数时,正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.③根式的性质:n a =;当na =;当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.(2)分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义.注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质(4)指数函数a 变化对图象影响在第一象限内,a 越大图象越高,越靠近y 轴; 在第二象限内,a 越大图象越低,越靠近x 轴. 在第一象限内,a 越小图象越高,越靠近y 轴; 在第二象限内,a 越小图象越低,越靠近x 轴.三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析:A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析:当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=[f(x)]n D.f [(xy)n ]=[f(x)]n [f(y)]n (n ∈N *) 解析:易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f [(xy)n]=a(xy)n,而[f(x)]n·[f(y)]n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析:a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析:令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析:因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明:∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.[1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析:当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1];当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析:可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈[-1,1]时,函数f(x)=3x -2的值域为_______[-35,1]___________. 解析:f(x)在[-1,1]上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析:(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩[2,+∞]=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈[-3,2]的最大值和最小值. 解:设2-x =t,由x ∈[-3,2]得t ∈[41,8],于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解:∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.[1,2]B.[2,3]C.(-∞,2]D.[2,+∞)解析:因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈[2,+∞)上递增,故所求的递增区间为[2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.[-1,+∞)B.[-1,63) C.[0,+∞)D.(0,63]解析:由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=[f(x)-1]2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈[1,9]. ∴所求值域为[-1,63].2.1指数函数练习1.下列各式中成立的一项()A .7177)(m n mn= B .31243)3(-=-C .43433)(y x y x +=+D .3339=2.化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果()A .a 6B .a -C .a 9-D .29a3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确的是() A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .)()(y f x f y x f =-)( C .)()]([)(Q n x f nx f n∈=D .)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4.函数21)2()5(--+-=x x y()A .}2,5|{≠≠x x xB .}2|{>x xC .}5|{>x xD .}552|{><<x x x 或5.若指数函数x a y =在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a 等于 ()A .251+B .251+- C .251± D .215± 6.当a ≠0时,函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 ()7.函数||2)(x x f -=的值域是()A .]1,0(B .)1,0(C .),0(+∞D .R8.函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ,满足1)(>x f 的x 的取值范围 ()A .)1,1(-B .),1(+∞-C .}20|{-<>x x x 或D .}11|{-<>x x x 或9.函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 ()A .]21,1[-B .]1,(--∞C .),2[+∞D .]2,21[10.已知2)(xx e e x f --=,则下列正确的是 ()A .奇函数,在R 上为增函数B .偶函数,在R 上为增函数C .奇函数,在R 上为减函数D .偶函数,在R 上为减函数 11.已知函数f (x )的定义域是(1,2),则函数)2(x f 的定义域是. 12.当a >0且a ≠1时,函数f (x )=a x -2-3必过定点. 三、解答题:13.求函数y x x =--1511的定义域.14.若a >0,b >0,且a +b =c ,求证:(1)当r >1时,a r +b r <c r ;(2)当r <1时,a r +b r >c r .15.已知函数11)(+-=x x a a x f (a >1).(1)判断函数f (x )的奇偶性;(2)证明f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.16.函数f(x)=a x(a>0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,求a 的值.参考答案一、DCDDDAADDA二、11.(0,1);12.(2,-2); 三、13.解:要使函数有意义必须:∴定义域为:{}x x R x x ∈≠≠且01,14.解:rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+,其中10,10<<<<cbc a . 当r >1时,1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr,所以a r +b r <c r; 当r <1时,1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ,所以a r +b r >c r . 15.解:(1)是奇函数.(2)设x 1<x 2,则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。
高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)

+⎩ + 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算〔1〕根式的概念 ①如果 xn= a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1,且 n ∈ N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时,a 的 n 次 方根用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 - na表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ≥ 0 .nnn n⎧a (a ≥ 0)③根式的性质:( a ) = a ;当 n 为奇数时, a = a ;当 n 为偶数时,=| a |= ⎨-a .(a < 0)〔2〕分数指数幂的概念m①正数的正分数指数幂的意义是: a n= n a m(a > 0, m , n ∈ N , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0.②- m1 m1正数的负分数指数幂的意义是: an= ( ) n = n ( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的负分数指a a数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. 〔3〕分数指数幂的运算性质①a r ⋅ a s = a r +s (a > 0,r , s ∈ R )②(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )③(ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )2.1.2 指数函数及其性质〔4〕指数函数 函数名称 指数函数定义函数 y = a(a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数图象a > 10 < a < 1y = 1 yOy = ax(0, 1)xy = a xy = 1Oy( 0 , 1 )x定义域 R值域 〔0,+∞〕过定点 图象过定点〔0,1〕,即当 x=0 时,y=1.奇偶性 非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数函数值的变化情况y >1(x >0), y=1(x=0), 0<y <1(x <0)y >1(x <0), y=1(x=0), 0<y <1(x >0)a 变化对图象影响在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴.在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴.n a n39 1 + 5 1 ± 5 12.1 指数函数练习1.以下各式中成立的一项〔〕A . ( n )7 = n 7m 7mB . 12(-3)4 =C . 4x 3+ y 33(x + y )4D .=2 11 1 1 1 52.化简(a 3 b 2)(-3a 2 b 3) ÷ ( 3a 6b 6 )的结果〔〕A . 6aB . - aC . - 9aD . 9a23.设指数函数 f (x ) = a x(a > 0, a ≠ 1) ,那么以下等式中不正确的选项是〔 〕A .f (x +y )=f(x )·f (y )B . f 〔x - y 〕=f (x )f ( y )C . f (nx ) = [ f (x )]n(n ∈ Q )- 1D . f (xy )n= [ f (x )]n·[ f ( y )]n(n ∈ N + )4.函数 y = (x - 5)0+ (x - 2)2A .{x | x ≠ 5, x ≠ 2} C .{x | x > 5}〔〕B .{x | x > 2}D .{x | 2 < x < 5或x > 5}5.假设指数函数 y = a x在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,那么底数a 等于 〔〕A .B . 2 2C .D .2 26.当 a ≠ 0 时,函数 y = ax + b 和 y = b ax的图象只可能是〔〕7.函数 f (x ) = 2-|x |的值域是〔 〕A . (0,1]B . (0,1)⎧⎪2- x- 1, x ≤ 0 C . (0,+∞)D .R8.函数 f (x ) = ⎨ 1 ,满足 f (x ) > 1的 x 的取值范围⎪⎩x 2 , x > 0〔 〕A . (-1,1)B . (-1,+∞)C .{x | x > 0或x < -2}D .{x | x > 1或x < -1}9.函数 y = ( 1 ) 2- x 2 + x +2 得单调递增区间是〔 〕11A . [-1, ]2B . (-∞,-1]C . [2,+∞)D . [ 2,2]3 - 33 3- 1 + 5 5 ± 1⎩ x e x - e - x10. f (x ) =,那么以下正确的选项是 〔 〕2A .奇函数,在 R 上为增函数B .偶函数,在 R 上为增函数C .奇函数,在 R 上为减函数D .偶函数,在 R 上为减函数11.函数 f (x )的定义域是〔1,2〕,那么函数 f (2 x) 的定义域是 .12.当 a >0 且 a ≠1 时,函数 f (x )=a x -2-3 必过定点 .三、解答题:13.求函数 y = 1的定义域.5 x -1 - 114.假设a >0,b >0,且a +b =c ,求证:(1)当r >1时,a r +b r <c r ;(2)当r <1时,a r +b r >c r .15.函数 f (x ) =a x - 1 a x + 1(a >1).〔1〕判断函数f (x )的奇偶性;〔2〕证明f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.16.函数 f(x)=a x (a>0,且 a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a,求 a 的值. 2参考答案一、DCDDDAAD D A二、11.(0,1);12.(2,-2);三、13. 解:要使函数有意义必须:⎧x - 1 ≠ 0⎧x ≠ 1⎪x ⇒⎨ ≠ 0 ⎩ x - 1⎨x ≠ 0∴定义域为: {x x ∈ R 且x ≠ 0, x ≠ 1}⎪1 a +1 a +12 14. 解: a r + br⎛ a ⎫r⎛ b ⎫r,其中 0 < a < 1,0 < b < 1.= ⎪ c rc + ⎪c ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 当r >1时,⎛ a ⎫ r ⎛ b ⎫r a b ,所以a r+b r <c r ;⎪ + ⎪ < + = 1⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c当 r <1 时,⎛ a ⎫r⎛ b ⎫ra b,所以 a r +b r >c r . ⎪ + ⎪ > + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c15.解:(1)是奇函数.(2) x <x ,a x 1 -1 a x2 -1 。
高中数学必修一练习题(4)函数(含详细答案)

• 高中数学必修一复习练习(四)函数班 号 姓名 指数函数及其性质1.下列函数中指数函数的个数为( )①y =(12)x -1; ②y =2·3x ; ③y =a x (a >0且a ≠1,x ≥0); ④y =1x ; ⑤y =(12)2x -1.A .1个B .2个C .4个D .5个2.函数y =3x 与y =3-x 的图象关于下列哪条直线对称( )A .x 轴B .y 轴C .直线y =xD .直线y =-x3.若集合M ={y |y =2x ,x ∈R },N ={y |y =x 2,x ∈R },则集合M ,N 的关系为( ) A .M NB . M ⊆NC .N MD .M =N4.已知1>n >m >0,则指数函数①y =m x ,②y =n x 的图象为( )5.若函数y =(2a -1)x 为指数函数,则实数a 的取值范围是________. 6.函数y =a x +1(a >0且a ≠1)的图象必经过点________(填点的坐标). 7.已知函数f (x )=a x -1(x ≥0)的图象经过点(2,12),其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值; (2)求函数y =f (x )(x ≥0)的值域.8.已知指数函数f (x )=a x 在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,求a 的值.1.若2x +1<1,则x 的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(0,1)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)2.函数y =⎝⎛⎭⎫121-x的单调递增区间为( )A .(-∞,+∞)B .(0,+∞)C .(1,+∞)D .(0,1)3.下列不等关系中,正确的是( ) A .(12)23<1<(12)13B .(12)13<(12)23<1C .1<(12)13<(12)23D .(12)23<(12)13<14.函数f (x )=2|x |,则f (x )( )A .在R 上是减函数B .在(-∞,0]上是减函数C .在[0,+∞)上是减函数D .在(-∞,+∞)上是增函数 5.方程3x -1=19的解是________.6.已知函数y =(13)x 在[-2,-1]上的最小值是m ,最大值是n ,则m +n 的值为________.7.已知2x ≤(14)x -3,求函数y =(12)x 的值域.8.已知函数f (x )=a 2-3x(a >0,且a ≠1).(1)求该函数的图象恒过的定点坐标; (2)指出该函数的单调性.1.使式子log (x -1)(x 2-1)有意义的x 的值是( ) A .x <-1或x >1 B .x >1且x ≠2 C .x >1D .x ≠22.方程2log 3x =14的解是( )A.33B.3C.19D .93.化简:2lg (lg a 100)2+lg (lg a )的结果是( )A.12B .1C .2D .44.已知2x =3,log 483=y ,则x +2y 的值为( )A .3B .8C .4D .log 485.若log a x =2,log b x =3,log c x =6,则log abc x 的值为________.6.已知x ,y ∈(0,1),若lg x +lg y =lg(x +y ),则lg(1-x )+lg(1-y )=________. 7.计算下列各式的值:(1)lg12.5-lg 58+lg 12; (2)12lg25+lg2+lg 10+lg(0.01)-1; (3)log 2(log 264).8.方程lg 2x +(lg2+lg3)lg x +lg2lg3=0的两根之积为x 1x 2,求x 1x 2的值.1.下列函数中,定义域相同的一组是( ) A .y =a x 与y =log a x (a >0,a ≠1) B .y =x 与y =x C .y =lg x 与y =lg xD .y =x 2与y =lg x 22.函数y =2+log 2x (x ≥1)的值域为( )A .(2,+∞)B .(-∞,2)C .[2,+∞)D .[3,+∞) 3.函数y =log 12(3x -2)的定义域是( )A .[1,∞)B .(23,+∞)C .[23,1]D .(23,1]4.函数y =lg(x +1)的图象大致是( )5.函数y =log x (2-x )的定义域是________.6.若a >0且a ≠1,则函数y =log a (x -1)+1的图象恒过定点________. 7.求下列函数的定义域:(1)y =log 2(4x -3); (2)y =log 5-x (2x -2).8.已知f (x )=log 3x .(1)作出这个函数的图象;(2)当0<a <2时,有f (a )>f (2),利用图象求a 的取值范围.参考答案指数函数及其性质1.选A 由指数函数的定义可判定,只有③正确. 2.B3.选A x ∈R ,y =2x >0,y =x 2≥0,即M ={y |y >0},N ={y |y ≥0},所以M N. 4.选C 由0<m <n <1可知①②应为两条递减曲线,故只可能是选项C 或D , 进而再判断①②与n 和m 的对应关系,判断方法很多,不妨选择特殊点,令x =1, 则①②对应的函数值分别为m 和n ,由m <n 知选C.5.解析:函数y =(2a -1)x 为指数函数,则2a -1>0且2a -1≠1,∴a >12且a ≠1. 答案:a >12且a ≠16.∵指数函数y =a x 恒过定点(0,1).∴y =a x +1的图象必过点(0,2).答案:(0,2) 7.解:(1)函数图象过点(2,12),所以a 2-1=12,则a =12.(2)f (x )=(12)x -1(x ≥0),由x ≥0得,x -1≥-1,于是0<(12)x -1≤(12)-1=2.所以函数的值域为(0,2]. 8.解:由指数函数的概念知a >0,a ≠1.当a >1时,函数f (x )=a x 在区间[1,2]上是增函数,所以当x =2时,f (x )取最大值a 2,当x =1时,f (x )取最小值a , 由题意得a 2=a +a 2,即a 2=32a ,因为a >1,所以a =32;当0<a <1时,函数f (x )=a x 在区间[1,2]上是减函数,同理可以求得a =12.综上可知,a 的值为32或12✠✠指数函数及其性质的应用1.选D 不等式2x +1<1=20,∵y =2x 是增函数,∴x +1<0,即x <-1.2.选A 定义域为R.设u =1-x ,y =⎝⎛⎭⎫12u,∵u =1-x 在R 上为减函数,又∵y =⎝⎛⎭⎫12u在(-∞,+∞)上为减函数,∴y =⎝⎛⎭⎫121-x在(-∞,+∞)上是增函数.3.选D ∵函数y =(12)x 在R 上是减函数,而0<13<23,∴(12)23<(12)13<(12)0,即(12)23<(12)13<1.4.选B ∵y =2x 在R 上递增,而|x |在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)是递增,∴f (x )=2|x |在(-∞,0]上递减,在[0,+∞)上递增.5.解析:∵3x -1=19,∴3x -1=3-2,∴x -1=-2,∴x =-1. 答案:-16.解析:函数y =(13)x 在定义域内单调递减,∴m =(13)-1=3,n =(13)-2=9, ∴m +n =12. 答案:127.解:∵2x ≤(14)x -3,即2x ≤26-2x ,∴x ≤6-2x ,∴x ≤2,∴y = (12)x ≥ (12)2=14,∴函数值域是[14,+∞).8.解:(1)当2-3x =0,即x =23时,a 2-3x =a 0=1. 所以,该函数的图象恒过定点(23,1)(2)∵u =2-3x 是减函数,∴当0<a <1时,f (x )在R 上是增函数;当a >1时,f (x )在R 上是减函数.❑❑对数与对数运算1.选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x -1>0,x 2-1>0,x -1≠1,解得x >1且x ≠2.2.选C 由已知得log 3x =-2 ,∴ x =3-2=19.3.选C 由对数运算可知:lg(lg a 100)=lg(100lg a )=2+lg(lg a ),∴原式=2. 4.选A 由2x =3得:x =log 23.∴x +2y =log 23+2log 483=log 23+2log 283log 24=log 23+(3log 22-log 23)=3.5.解析:log a x =1log x a =2,∴log x a =12. 同理log x b =13,log x c =16.log abc x =1log x abc =1log x a +log x b +log x c =1. 答案:16.解析:lg(x +y )=lg x +lg y =lg(xy )⇒x +y =xy ,lg(1-x )+lg(1-y )=lg[(1-x )(1-y )]=lg(1-x -y +xy )=lg1=0. 答案:0 7.解:(1)原式=lg(252×85×12)=lg10=1.(2)原式=lg[2512×2×1012×(10-2)-1]=lg(5×2×1012×102)=lg1072=72.(3)原式=log 2(log 226)=log 26=1+log 23.8.解:因为lg2x +(lg2+lg3)lg x +lg2lg3=(lg x +lg2)(lg x +lg3),所以lg x =-lg2=lg2-1或lg x =-lg3=lg3-1,即x 1=12,x 2=13,所以x 1x 2=16.对数函数及其性质1.C2.选C 当x ≥1时,log 2x ≥0,所以y =2+log 2x ≥2.3.选D 由函数的解析式得log 12(3x -2)≥0=log 121.∴0<3x -2≤1,解得:23<x ≤1.4.选C 当x =0时y =0,而且函数为增函数,可见只有C 符合.5.解析:由对数函数的意义可得⎩⎪⎨⎪⎧2-x >0x >0x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <2x >0且x ≠1⇒0<x <2且x≠1. 答案:(0,1)∪(1,2)6.解析:当x =2时y =1. 答案:(2,1)7.解:(1)要使函数有意义,须满足:log 2(4x -3)≥0=log 21,⇒1≤ 4x -3⇒x ≥1,∴函数的定义域为[1,+∞).(2)要使函数有意义,须满足⎩⎪⎨⎪⎧2x -2>05-x >05-x ≠1⇒1<x <5且x ≠4. ∴函数的定义域为(1,4)∪(4,5).8.解:(1)作出函数y =log 3x 的图象如图所示.(2)令f (x )=f (2),即log 3x =log 32,解得x =2. 由如图所示的图象知:当0<a <2时,恒有f (a )<f (2). 故当0<a <2时,不存在满足f (a )>f (2)的a 的值.。
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指数与指数函数
一、选择题:
1已知集合11
-11=x|24,}2
x M N x Z +=<<∈{,},{ 则M N ⋂等于
A -11{,}
B -1{}
C 0{}
D -10{,}
1、化简11111
32168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,结果是( )A 、1
132
1122--⎛⎫- ⎪
⎝⎭
B 、1
13212--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 、1
3212-- D 、1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
2、44366399
a a 等于( )A 、16
a
B 、8
a
C 、4
a
D 、2
a 4、函数
()2
()1x
f x a =-在R 上是减函数,
则a 的取值范围是( )A 、1>a B 、2<a C 、2a <
D 、12a <5、下列函数式中,满足1
(1)()2
f x f x +=
的是( )A 、
1(1)2x + B 、1
4
x + C 、2x D 、2x -6、下列2()(1)x x f x a a -=+是( )A 、奇函数 B 、偶函数 C 、非奇非偶函数
D 、既奇且偶函数8、函数21
21
x x y -=+是( )A 、奇函数 B 、偶函数 C 、
既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数9、函数1
21
x y =
-的值域是( )A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞10、已知01,1a b <<<-,
则函数x
y a b =+的图像必定不经过( )A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限11、2()1()(0)21x F x f x x ⎛⎫
=+
⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数,且()f x 不恒等于零,则()f x ( )A 、是奇函数 B 、可能是奇函数,也可能是偶函数C 、是偶函数 D 、不是奇函数,也不是偶函数12、一批设备价值a 万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低%b ,则n 年后这批设备的价值为( )A 、(1%)na b - B 、(1%)a nb - C 、[1(%)]n
a b - D 、(1%)n
a b -二、填空题:(本题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填写在答题纸上)
13、若103,104x
y
==,则10
x y
-= 。
14、函数2281
1(31)3x x y x --+⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
≤≤的值域是 。
15、函数2
233x y -=的单调递减区间是 。
16、若21
(5
)2x f x -=-,则(125)f = 。
三、解答题:(本题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、设01a <<,解关于x 的不等式22
232
223
x x x
x a a -++->。
18、已知[]3,2x ∈-,求11
()142
x
x f x =-+的最小值与最大值。
19、设a R ∈,22
()()21
x x
a a f x x R ⋅+-=∈+,试确定a 的值,使()f x 为奇函数。
20、已知函数225
13x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
,求其单调区间及值域。
21、若函数4323x
x
y =-+的值域为[]1,7,试确定x 的取值范围。
22、已知函数1
()(1)1
x x
a f x a a -=>+, (1)判断函数的奇偶性; (2)求该函数的值域;
(3)证明()f x 是R 上的增函数。
、已知函数3
11()(
)212
x
f x x =+⋅- (1)求f(x)的定义域。
(2)讨论f (x)的奇偶性 (3)求证:f (x)>0
指数与指数函数同步练习参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
C
C
D
D
B
C
A
D
A
A
D
二、填空题 13、
4
3
14、991,33⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
,令22
2812(2)9U x x x =--+=-++,∵ 31,99x U -∴-≤≤≤≤,
又∵13U y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,∴9
9133y ⎛⎫
⎪⎝⎭
≤≤。
15、()0,+∞,令2
3,23U
y U x ==-, ∵3U
y =为增函数,∴2
233x y -=的单调递减区间
为()0,+∞。
16、 0,3
221
(125)(5)(5)220f f f ⨯-===-=
三、解答题
17、∵01a <<,∴ x
y a =在(),-∞+∞上为减函数,∵ 22232
223
x x x x a
a
-++->, ∴
222322231x x x x x -+<+-⇒>
18、2
21113()142122124224x x x x x x x f x -----⎛
⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝
⎭,
∵[]3,2x ∈-, ∴1
284
x -≤≤. 则当12
2
x
-=
,即1x =时,()f x 有最小值43;当28x
-=,即3x =-时,()f x 有最大值57。
19、要使()f x 为奇函数,∵ x R ∈,∴需()()0f x f x +-=,
∴1222(),()212121x x x x f x a f x a a +-=--=-=-+++,由1
2202121x x
x a a +-+-=++,得2(21)
2021
x x a +-=+,1a ∴=。
20、令13U
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
,2
25U x x =++,则y 是关于U 的减函数,而U 是(),1-∞-上的减函数,
()1,-+∞上的增函数,∴225
13x x y ++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在(),1-∞-上是增函数,而在()1,-+∞上是减函
数,又∵2
2
25(1)44U x x x =++=++≥, ∴225
13x x y ++⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的值域为410,3⎛⎤
⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦。
21、243232
323x x x
x y =-⋅+=-⋅+,依题意有
22(2)3237(2)3231x x
x x
⎧-⋅+⎪⎨-⋅+⎪⎩≤≥即1242221x x x ⎧-⎪⎨⎪
⎩或≤≤≥≤,∴ 224021,x x
<或≤≤≤ 由函数2x
y =的单调性可得(,0][1,2]x ∈-∞。
22、(1)∵定义域为x R ∈,且11()(),()11x x
x
x a a f x f x f x a a -----===-∴++是奇函数; (2)1222()1,11,02,111
x x
x x x a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵即()f x 的值域为()1,1-;
(3)设12,x x R ∈,且12x x <,
12121212
121122()()011(1)(1)
x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零,且12
x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数。