相似三角形提高练习
相似三角形提高练习经典
第四章相似图形11.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC•各边上的高之比为______．3.在一X 地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这X 地图的比例尺为________.4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________.5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶bB.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶cD.a ∶c=d ∶b6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a3-=____;ab b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;ab b a 3-2+=____8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______9.若3x －4y = 0，则yy x +的值是____________10.若875c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果kcb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。
14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为cm16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长.（2）求证：AM 2=AD ·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ）（A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。
初三相似练习题
初三相似练习题在初三数学学习中，相似问题是一个重要的知识点。
相似的概念和性质在数学中有着广泛的应用，涉及到几何形状、比例关系以及解题方法等多个方面。
相似练习题在培养学生分析问题、推理思维和解决实际问题能力方面发挥着重要的作用。
本文将提供一些初三相似练习题，帮助学生深入理解相似的概念和性质，并提高解题能力。
1. 题目：已知ΔABC 和ΔDEF 是相似三角形，且 AB=5cm，BC=8cm，DE=10cm，EF=16cm。
求AC的长度。
解析：由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应边成比例。
设AC=x，则有：AB/DE = BC/EF = AC/DF代入已知条件，得：5/10 = 8/16 = x/16解方程得 x=8，即 AC=8cm。
2. 题目：已知两个相似三角形的周长比为 2:3，且较小的三角形的周长为 30cm。
求较大的三角形的周长。
解析：设较大的三角形的周长为 L，根据题目条件可得：L/30 = 3/2解方程得 L=45cm，即较大的三角形的周长为 45cm。
3. 题目：已知两个相似三角形的面积比为 4:9，且较小的三角形的底边长度为 6cm，高为 8cm。
求较大的三角形的底边长度。
解析：设较大的三角形的底边长度为 x，根据面积比的性质可得：x^2/6^2 = 9/4解方程得 x=9，即较大的三角形的底边长度为 9cm。
4. 题目：已知ΔABC 和ΔDEF 是相似三角形，且 AC=12cm，BC=16cm，EF=6cm。
若角 A 的度数为 30°，求角 D 的度数。
解析：由相似三角形的性质可知，相似三角形的对应角度相等。
设角 D 的度数为 x，根据题目条件可得：∠A = 30°，∠D = x°根据三角形内角和定理可得：∠A + ∠B + ∠C = 180°，∠D + ∠E + ∠F = 180°代入已知条件，得：30° + ∠B + 90° = 180°，x° + 90° + 90° = 180°解方程得∠B = 60°，∠D = 0°。
相似三角形经典练习
相似三角形提高练习1. 如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为 ( )A ．8 cmB ．12 cmC ．11 cmD ．10 cm2.如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点， BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ）A 、21B 、31C 、32D 、413.两个相似多边形的面积之比为1∶3，则它们周长之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶9 C ．1D ．2∶34．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．945．在□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，若AB =7，CF =3，则CEAD= ．6.若23a b =，则23a b b b -=+ ；）7.如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为．8.如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为( )A．9 B．12 C．16 D．189.如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为( )A．5 B．6 C．7 D．1210．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为_．11．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3．若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为2，8，则图中三个阴影三角形面积之和为____________．12.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是13.如图，△AB C 与△O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为（ ）A B C ．5:3 D ．不确定14.如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，AC=6，AD=3.6，则BC= ．ABCD F EOO1 234B B15．如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( )A ．3：2B ．9：4C ．3：2D ．2：316．如图所示，已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，若AD ＝10，BD ＝5，求CD 的长．17．已知：如图，△A B C 中，A B =2，B C =4，D 为 BC 边上一点，BD =1.（1）求证：△ABD ∽△CBA ；（2）若DE ∥AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与 △ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长.18．如图，在∆ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AD 的中点，AD 与CE 相交于点G .试说明31==AD GD CE GE .19. 小亮同学想利用影长测量学校旗杆AB 的高度，如图，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上BD 处，另一部分在某一建筑的墙上CD 处，分别测得其长度为9.6米和2米，求旗杆AB 的高度．20．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC = 5，BC = 8， D ，E 分别为BC ，AB 边上一点，∠ADE =∠C ． （1）求证：△BDE ∽△CAD ； （2）若CD =2，求BE 的长．21. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，求两路灯之间的距离22.如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：ΔABE ∽ΔDFA ；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF 的长．23.矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 是垂足． ①求△ABM 的面积；②求DE 的长；③求△ADE 的面积．24. 如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上的一点，过点E 作EF ⊥EC 交边AB 于点F ，交CB的延长线于点G ， 且EF =EC ． （1）求证：CD =AE ；（2）若DE =4cm ，矩形ABCD 的周长为 32cm ，求CG 的长．EM DC B A25、如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边上一点，连AD ，EF ∥BC ，EF 与AB 、AC 、AD 分别交于点E 、F 、G ，求证：DCBDGF EG .26、（1）如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，求CD 的长（2）如图∠CAB ＝∠BCD ，AD ＝2，BD ＝4，求BC 的长27．如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒钟后，△PBQ 与△ABC 相似？ABDF GE28.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
回顾相似三角形的判定方法总结: 相似三角形6大证明技巧相似三角形证明方法之反A型与反X型1. 2. 3. 4. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三边成比例的两个三角形相似.(SSS两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)两角分别相等的两个三角形相似.(AA)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)5.模型一：反A型：如图，已知△ ABC, / ADE = / C,若连CD、BE,进而能证明△ ACD ABE(SAS) 试一试写出具体证明过程模型二：反X型：如图，已知角/ BAO= / CDO，若连AD, BC,进而能证明△ AODBOC.试一试写出具体证明过程D B应用练习:1.已知△ ABC 中，/ AEF= / ACB，求证：(1) AE AB AF AC (2)/ BEO= / CFO ,/ EBO= / FCO ( 3)/ OEF= / OBC，/ OFE= / OCB2.已知在MBC中，/ABC=90°,AB=3,BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图1)或线段AB的延长线(如图2)于点P.⑴当点P在线段AB上时,求证：MPQ S /△ABC ;⑵当/△^QB为等腰三角形时，求AP的长。
模型三：射影定理相似三角形证明方法之射影定理与类射影如图已知^ ABC，/ ACB=90° , CH 丄AB 于H，求证：A C2AH AB , BC2 BH BA ,, 2HC HA HB ,试一试写出具体证明过程模型四：类射影BD AB如图，已知AB 2AC AD ，求证：亍 乔，试一试写出具体证明过程BC AC应用练习:J 451.如图，在 △ ABC 中，AD 丄BC 于D ，DE 丄AB 于E ，DF 丄AC 于F 。
求证：—AP AS2.如图，在 △ ABC 中，AD BC 于 D , DE AB 于 E , DF/ AEF= / C模型五：一线三等角如图，已知/ B=/ C= / EDF ，则△ BDECFD (AA )，试 一试写出具体证明过程应用练习：1.如图，△ ABC 和/ DEF 两个全等的等腰直角三角形， / BACK EDF=90, △ DEF 的顶点E 与^ABC 的斜边BC 的中点重合.将△ DEF 绕点E 旋转，旋转过程中， 线段DE 与线段AB 相交于点P ,线段EF 与射线CA 相交于点Q .(1) 如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△ BPE^ZCQE (2) (2)如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证： 并求当BP=a CQ=9a/2时，P 、Q 两点间的距离(用含2.^ABC 中，AB=AC , D 为BC 的中点，以 D 为顶点作/(1) 如图(1)当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ,不添加辅 助线，写出图中所有与/△ADE 相似的三角形.(2) 如图(2)，将/ MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交 线段AC ，AB 于E ，F 点(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图 中所有的相似三角形，并证明你的结论.(3) 在图(2 )中，若 AB=AC=10，BC=12，当 Z\DEF 的面积等于 /ABC 的面积的4时，求线段EF 的长.3.如图，点仔在线段《上，点D 、F 在M 同侧，"=« =妙，他丄砒，AD = SC(1)求证：胆"D+CA(2 )若37, CE"，点P 为线段丄&上的动点，连接DP ,作M3尸，交 直线占E相似三角形证明方法之一线三等角△ BP0A CEQa 的代数式表示)AC 于F ，连EF ，求证:于点Q。
初三相似三角形提高拓展专题练习附答案
14．〔1〕把两个含 450 角的直角三角板如图 1 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线
交 BE 于点 F，求证：AF⊥BE
〔2〕把两个含 300 角的直角三角板如图 2 放置，点 D 在 BC 上，连接 BE、AD，AD 的延长线交 BE
于点 F，问 AF 与 BE 是否垂直？并说明理由.
2
________________．
12. 将三角形纸片〔△ABC〕按如下图的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．AB
A
பைடு நூலகம்
B
＝AC＝3，
设以点 B′，F，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF 的长度是．
D
F
E BC＝4，假
C
13．如图，
正方形 ABCD 的边长为 1cm，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴影局部的 面积是 cm2． 三、解答题
A．1 B．2 C．3 D．4
4.如图，
A
菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，M、N 分别是边
M
N
B AB、AD 的中点，连接 OM、ON、MN，则以下表达正确的选
O
D
项是
C
〔〕
A．△AOM 和△AON 都是等边三角形
B．四边形 MBON 和四边形 MODN 都是菱形
C．四边形 AMON 与四边形 ABCD 是位似图形
A．8
B．9.5
C．10
D．11.5
A
D
G
二、填空题 B
E
C
8．如图，路灯距离地面 8 米F ，身高 1.6 米的小明站在距离灯的底部〔点 O 〕20 米的 A 处，则小明
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案在初中数学中，相似三角形是一个很重要的概念。
相似三角形具有相同的形状，但是尺寸不同。
理解相似三角形的性质对于解决几何问题和计算三角形的边长和角度非常有帮助。
下面是一些相似三角形的练习题，帮助你巩固对该概念的理解，并附有答案供参考。
练习题一：已知△ABC和△DEF相似，且AB = 6cm，AC = 8cm，BC = 12cm。
若DE = 9cm，求DF和EF的长度。
练习题二：△ABC和△PQR中，∠B = ∠Q，AB = 5cm，BC = 8cm，PQ = 6cm，若AC = 10cm，求PR的长度。
练习题三：已知△ABC和△DEF相似，DE = 4.5cm，EF = 6cm，BC = 12cm，若AC = 8cm，求△ABC和△DEF的周长比。
练习题四：在△ABC中，∠B = 90°，AB = 9cm，BC = 12cm。
点D是BC的中点，于BC上作DE ⊥ BC，DE = 3cm。
求△ADE和△ABC的周长比。
练习题五：已知△ABC和△DEF相似，AB = 10cm，BC = 12cm，AC = 15cm，EF = 6cm，若△DEF的面积为18平方厘米，求△ABC的面积。
答案及解析如下：练习题一：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设DF = x，EF = y。
根据题意可写出比例：AB/DE = AC/EF = BC/DF代入已知值，得到：6/9 = 8/y = 12/x解得：x = 16cm，y = 12cm因此，DF = 16cm，EF = 12cm。
练习题二：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
设PR = x。
根据题意可写出比例：AB/PQ = AC/PR = BC/QR代入已知值，得到：5/6 = 10/x = 8/(6 + x)解得：x = 15cm因此，PR = 15cm。
练习题三：由相似三角形的性质可知，相似三角形的边长之比相等。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
经典演习题类似三角形【1 】一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=_________°,BC=_________;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．10．如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s 的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B 开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM 与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？19．如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上肯定点P的地位,使得以P,A,D 为极点的三角形与以P,B,C为极点的三角形类似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的极点E位于边BC的中点上．（1）如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图2,将△DEF绕点E扭转,使得DE与BA的延伸线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．21．如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开端向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开端向点A以1cm/s的速度移动．假如P.Q同时动身,用t（秒）暗示移动的时光,那么当t为何值时,以点Q.A.P为极点的三角形与△ABC类似．22．如图,路灯（P点）距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点,沿OA地点的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了照样变短了？变长或变短了若干米？23．阳光亮媚的一天,数学兴致小组的同窗们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达,顶部不轻易到达）,他们带了以下测量对象：皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜．请你在他们供给的测量对象中选出所需对象,设计一种测量计划．（1）所需的测量对象是：_________;（2）请鄙人图中画出测量示意图;（3）设树高AB的长度为x,请用所测数据（用小写字母暗示）求出x．24．问题布景在某次活动课中,甲.乙.丙三个进修小组于统一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们经由过程测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得一根竖立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2,测得黉舍旗杆的影长为900cm．丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细疏忽不计）的高度为200cm,影长为156cm．义务请求：（1）请依据甲.乙两组得到的信息盘算出黉舍旗杆的高度;（2）如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请依据甲.丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径．（友谊提醒：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;须要时可采取等式1562+2082=2602）25．阳光经由过程窗口照耀到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC．26．如图,李华晚上在路灯下漫步．已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m．（1）若李华距灯柱OP的程度距离OA=a,求他影子AC的长;（2）若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请解释来由;（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的偏向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①,分离以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分离用S1,S2,S3暗示,则不难证实S1=S2+S3．（1）如图②,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;（不必证实）（2）如图③,分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分离用S1.S2.S3暗示,请你肯定S1,S2,S3之间的关系并加以证实;（3）若分离以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分离用S1,S2,S3暗示,为使S1,S2,S3之间仍具有与（2）雷同的关系,所作三角形应知足什么前提证实你的结论;（4）类比（1）,（2）,（3）的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论．28．已知：如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5．求AE．29．已知：如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4．（1）求BD.CD的长;（2）过B作BE⊥DC于E,求BE的长．30．（1）已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;（2）已知：两类似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC．考点：类似三角形的剖断;平行线的性质.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：依据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,依据类似三角形的剖断定理可知△ADE∽△EFC．解答：证实：∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：本题考核的是平行线的性质及类似三角形的剖断定理．2．如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延伸线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF;（2）当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长．考点：类似三角形的剖断;三角形中位线定理;梯形.菁优网版权所有专题：几何分解题.剖析：（1）应用平行线的性质可证实△CDF∽△BGF．（2）依据点F是BC的中点这一已知前提,可得△CDF≌△BGF,则CD=BG,只请求出BG的长即可解题．解答：（1）证实：∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,（6分）∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm．（8分）点评：本题重要考核了类似三角形的剖断定理及性质,全等三角形的剖断及线段的等量代换,比较庞杂．3．如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．考点：类似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：由FD∥AB,FE∥AC,可知∠B=∠FDE,∠C=∠FED,依据三角形类似的剖断定理可知：△ABC∽△FDE．解答：证实：∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE．点评：本题很简略,考核的是类似三角形的剖断定理：（1）假如两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形类似;（2）假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形类似;（3）假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形类似．4．如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试解释：△ABF∽△EAD．考点：类似三角形的剖断;矩形的性质.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：依据两角对应相等的两个三角形类似可解．解答：证实：∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）点评：考核类似三角形的剖断定理,症结是找准对应的角．5．已知：如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,衔接BE,CD,M,N分离为BE,CD的中点．（1）求证：①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;（2）在图①的基本上,将△ADE绕点A按顺时针偏向扭转180°,其他前提不变,得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立;（3）在（2）的前提下,请你在图②中延伸ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．考点：类似三角形的剖断;全等三角形的剖断;等腰三角形的剖断;扭转的性质.菁优网版权所有专题：几何分解题.剖析：（1）因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD,又因为AB=AC,AD=AE,应用SAS可证出△BAE≌△CAD,可知BE.CD是对应边,依据全等三角形对应边上的中线相等,可证△AMN是等腰三角形．（2）应用（1）中的证实办法仍然可以得出（1）中的结论,思绪不变．（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS）,可得出∠CAN=∠BAM,所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等）,又∵∠BAC=∠DAE,所以∠MAN=∠DAE=∠BAC,所以△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形,所以∠PBD=∠AMN,所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等,两三角形类似）．6．如图,E是▱ABCD的边BA延伸线上一点,衔接EC,交AD于点F．在不添加帮助线的情形下,请你写出图中所有的类似三角形,并任选一对类似三角形赐与证实．考点：类似三角形的剖断;平行四边形的性质.菁优网版权所有专题：凋谢型.剖析：依据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形类似这一剖断定理可证实图中类似三角形有：△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．解答：解：类似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）点评：考核了平行线的性质及类似三角形的剖断定理．7．如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的极点都在边长为1的小正方形的极点上．（1）填空：∠ABC=135°°,BC=;（2）断定△ABC与△DEC是否类似,并证实你的结论．考点：类似三角形的剖断;正方形的性质.菁优网版权所有专题：证实题;网格型.剖析：（1）不雅察可得：BF=FC=2,故∠FBC=45°;则∠ABC=135°,BC==2;（2）不雅察可得：BC.EC的长为2.,可得,再依据其夹角相等;故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°,BC=;（2）类似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC．点评：解答本题要充分应用正方形的特别性质．留意在正方形中的特别三角形的应用,搞清晰矩形.菱形.正方形中的三角形的三边关系,可有助于进步解题速度和精确率．8．如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm．某一时刻,动点M从A点动身沿AB偏向以1cm/s的速度向B点匀速活动;同时,动点N从D点动身沿DA偏向以2cm/s的速度向A点匀速活动,问：（1）经由若干时光,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否消失时刻t,使以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似？若消失,求t的值;若不消失,请解释来由．考点：类似三角形的剖断;一元二次方程的应用;分式方程的应用;正方形的性质.菁优网版权所有专题：动点型.剖析：（1）关于动点问题,可设时光为x,依据速度暗示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可,如本题中应用,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的作为相等关系;（2）先假设类似,应用类似中的比例线段列出方程,有解的且相符题意的t值即可解释消失,反之则不消失．解答：解：（1）设经由x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有：（6﹣2x）x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,（2分）解方程,得x1=1,x2=2,（3分）经磨练,可知x1=1,x2=2相符题意,所以经由1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．（4分）（2）假设经由t秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,是以有或（5分）即①,或②（6分）解①,得t=;解②,得t=（7分）经磨练,t=或t=都相符题意,所以动点M,N同时动身后,经由秒或秒时,以A,M,N为极点的三角形与△ACD类似．（8分）点评：重要考核了类似三角形的剖断,正方形的性质和一元二次方程的应用以及解分式方程．要控制正方形和类似三角形的性质,才会灵巧的应用．留意：一般关于动点问题,可设时光为x,依据速度暗示出所涉及到的线段的长度,找到相等关系,列方程求解即可．9．如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD.AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情形,并求出拔取到的两个三角形是类似三角形的概率是若干;（留意：全等算作类似的特例）（2）请你任选一组类似三角形,并给出证实．考点：类似三角形的剖断;概率公式.菁优网版权所有专题：凋谢型.剖析：（1）采取列举法,列举出所有可能消失的情形,再找出类似三角形即可求得;①与③,②与④类似;（2）应用类似三角形的剖断定理即可证得．解答：解：（1）任选两个三角形的所有可能情形如下六种情形：①②,①③,①④,②③,②④,③④（2分）个中有两组（①③,②④）是类似的．∴拔取到的二个三角形是类似三角形的概率是P=（4分）证实：（2）选择①.③证实．在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD（8分）选择②.④证实．∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB（8分）．点评：此题考核概率的求法：假如一个事宜有n种可能,并且这些事宜的可能性雷同,个中事宜A消失m种成果,那么事宜A的概率P（A）=,即类似三角形的证实．还考核了类似三角形的剖断．10．附加题：如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,衔接AE．（1）写出图中所有相等的线段,并加以证实;（2）图中有无类似三角形？如有,请写出一对;若没有,请解释来由;（3）求△BEC与△BEA的面积之比．考点：类似三角形的剖断;三角形的面积;含30度角的直角三角形.菁优网版权所有专题：分解题.剖析：（1）依据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半,可知CD=2ED,则可写出相等的线段;（2）两角对应相等的两个三角形类似则可断定△ADE∽△AEC;（3）请求△BEC与△BEA的面积之比,从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边,若求得高之比可知面积之比,由此需作△BEA的边BE边上的高即可求解．解答：解：（1）AD=DE,AE=CE．∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）图中有三角形类似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;（3）作AF⊥BD的延伸线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：本题重要考核了直角三角形的性质,类似三角形的剖断及三角形面积的求法等,规模较广．11．如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的随意率性一点,过点M分离作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q．（1）求四边形AQMP的周长;（2）写出图中的两对类似三角形（不需证实）;（3）M位于BC的什么地位时,四边形AQMP为菱形并证实你的结论．考点：类似三角形的剖断;菱形的剖断.菁优网版权所有专题：分解题.剖析：（1）依据平行四边形的性质可得到对应角相等对应边相等,从而不难求得其周长;（2）因为∠B=∠C=∠PMC=∠QMB,所以△PMC∽△QMB∽△ABC;（3）依据中位线的性质及菱形的剖断不难求得四边形AQMP为菱形．解答：解：（1）∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB．∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM,PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;（3）当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形．点评：此题重要考核了平行四边形的剖断和性质,中位线的性质,菱形的剖断等常识点的分解应用．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试解释：△ADM∽△MCP．考点：类似三角形的剖断;正方形的性质.菁优网版权所有专题：证实题.剖析：欲证△ADM∽△MCP,经由过程不雅察发明两个三角形已经具备一组角对应相等,即∠D=∠C,此时,再求夹此对应角的双方对应成比例即可．解答：证实：∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD．∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM．点评：本题考核类似三角形的剖断．辨认两三角形类似,除了要控制界说外,还要留意精确找出两三角形的对应边.对应角,可应用数形联合思惟依据图形供给的数据盘算对应角的度数.对应边的比．本题中把若干线段的长度用统一线段来暗示是求线段是否成比例时经常应用的办法．13．如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10．（1）求梯形ABCD的面积S;（2）动点P从点B动身,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C偏向,向点C活动;动点Q从点C动身,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A偏向,向点A活动,过点Q作QE⊥BC于点E．若P.Q两点同时动身,当个中一点到达目标地时全部活动随之停止,设活动时光为t秒．问：①当点P在B⇒A上活动时,是否消失如许的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长等分？若消失,请求出t的值;若不消失,请解释来由;②在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.A.D为极点的三角形与△CQE类似？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由;③在活动进程中,是否消失如许的t,使得以P.D.Q为极点的三角形正好是以DQ为一腰的等腰三角形？若消失,请求出所有相符前提的t的值;若不消失,请解释来由．考点：类似三角形的剖断;三角形三边关系;等腰三角形的剖断;勾股定理;直角梯形.菁优网版权所有专题：动点型;凋谢型.剖析：（1）求面积要先求梯形的高,可依据两底的差和CD的长,在直角三角形顶用勾股定理进行求解,得出高后即可求出梯形的面积．（2）①PQ等分梯形的周长,那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP,已知了AD,BC的长,可以用t来暗示出AP,BP,CQ,QD的长,那么可依据上面的等量关系求出t的值．②本题要分三种情形进行评论辩论：一,当P在AB上时,即0＜t≤8,假如两三角形类似,那么∠C=∠ADP,或∠C=∠APD,那么在△ADP中依据∠C的正切值,求出t的值．二,当P在AD上时,即8＜t≤10,因为P,A,D在一条直线上,是以构不成三角形．三,当P在CD上时,即10＜t≤12,因为∠ADC是个钝角,是以△ADP是个钝角三角形是以不成能和直角△CQE类似．分解三种情形即可得出相符前提的t的值．（3）和（2）雷同也要分三种情形进行评论辩论：一,当P在AB上时,即0＜t≤8,等腰△PDQ以DQ为腰,是以DQ=DP或DQ=PQ,可以经由过程构建直角三角形来暗示出DP,PQ的长,然后依据得出的等量关系来求t的值．二,当P在AD上时,即8＜t≤10,因为BA+AD=CD=10,是以DP=DQ=10﹣t,是以DP,DQ恒相等．三,当P在CD上时,即10＜t≤12,情形同二．分解三种情形可得出等腰三角形以DQ为腰时,t的取值．点评：本题重要考核了梯形的性质以及类似三角形的剖断和性质等常识点,要留意（2）中要依据P,Q的不合地位,进行分类评论辩论,不要漏解．14．已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P.Q分离是AB.BC上活动的两点．若P自点A动身,以1cm/s 的速度沿AB偏向活动,同时,Q自点B动身以2cm/s的速度沿BC偏向活动,问经由几秒,以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似？考点：类似三角形的剖断;矩形的性质.菁优网版权所有专题：几何动点问题;分类评论辩论.剖析：要使以P.B.Q为极点的三角形与△BDC类似,则要分两两种情形进行剖析．分离是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC,从而解得所需的时光．解答：解：设经x秒后,△PBQ∽△BCD,因为∠PBQ=∠BCD=90°,（1）当∠1=∠2时,有：,即;（2）当∠1=∠3时,有：,即,∴经由秒或2秒,△PBQ∽△BCD．点评：此题考核了类似三角形的剖断及矩形的性质等常识点的分解应用．15．如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开端沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B 开端沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,假如P.Q分离从A.B同时动身,问经由几秒钟,△PBQ与△ABC类似．考点：类似三角形的剖断;一元一次方程的应用.菁优网版权所有专题：动点型.剖析：设经由t秒后,△PBQ与△ABC类似,依据旅程公式可得AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,然后应用类似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．解答：解：设经由秒后t秒后,△PBQ与△ABC类似,则有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP：AB=BQ：BC,即（10﹣2t）：10=4t：20,解得t=2.5（s）（6分）当△QBP∽△ABC时,有BQ：AB=BP：BC,即4t：10=（10﹣2t）：20,解得t=1．所以,经由2.5s或1s时,△PBQ与△ABC类似（10分）．解法二：设ts后,△PBQ与△ABC类似,则有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t分两种情形：（1）当BP与AB对应时,有=,即=（2）当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经由1s或2.5s时,以P.B.Q三点为极点的三角形与△ABC类似．点评：本题分解了旅程问题和三角形的问题,所以学生日常平凡学过的常识要会融会起来．16．如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2．问当AB的长为若干时,这两个直角三角形类似．考点：类似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：分类评论辩论.剖析：假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形类似．在Rt△ABC和Rt△ACD,直角边的对应需分情形评论辩论．解答：解：∵AC=,AD=2,∴CD==．要使这两个直角三角形类似,有两种情形：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时,有=,∴AB==3;（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时,有=,∴AB==3．故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形类似．点评：本题考核类似三角形的剖断．辨认两三角形类似,除了要控制界说外,还要留意精确找出两三角形的对应边.对应角,可应用数形联合思惟依据图形供给的数据盘算对应角的度数.对应边的比．17．已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,可否在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM 与△MAN类似？若能,请给出证实,若不克不及,请解释来由．考点：类似三角形的剖断;正方形的性质.菁优网版权所有专题：探讨型;分类评论辩论.剖析：两个三角形都是直角三角形,还只需知足一对角对应相等或夹直角的双方对应成比例即可解释两个三角形类似．若DM与AM对应,则△CDM与△MAN全等,N与B重合,不合题意;若DM与AN对应,则CD：AM=DM：AN,得AN=a,从而肯定N的地位．解答：证实：分两种情形评论辩论：①若△CDM∽△MAN,则=．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a．②若△CDM∽△NAM,则．∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意．所以,能在边AB上找一点N（不含A.B）,使得△CDM与△MAN类似．当AN=a时,N点的地位知足前提．点评：此题考核类似三角形的剖断．因不明白对应关系,所以需分类评论辩论．18．如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B动身,沿BC偏向以2cm/s的速度移动,点P从C动身,沿CA偏向以1cm/s的速度移动．若Q.P分离同时从B.C动身,试探讨经由若干秒后,以点C.P.Q为极点的三角形与△CBA类似？考点：类似三角形的剖断.菁优网版权所有专题：分解题;动点型.。
《相似三角形判定定理的证明》巩固练习(提高)
【巩固练习】一、选择题1. （2015•深圳校级模拟）若△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：3，则S △ABC ：S △DEF =（ ）A ．1：3B ．1：9C ．1：D ．1：1.52．已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB 、CD 交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）A ．都相似B ．都不相似C ．只有（1）相似D ．只有（2）相似3．如图，G 是平行四边形ABCD 的边CD 延长线上一点，BG 交AC 于E ，交AD 于F ，则图中与△FGD 相似的三角形有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB∽△COD 的是（ ）A ．∠BAC=∠BDCB ．∠ABD=∠ACDCD AO DO CO BO =AO OD OB CO=5．如果一个三角形能够分成两个与原三角形都相似的三角形，我们把这样的三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（ ）A ．不存在B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：（1）；（2）；（3）∠A=∠A′；（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有多少组（ ） A．1B．2C．3D．4二、填空题7．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件 （只需写一个）．8．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．则图中相似三角形（相似比为1除外）有 ．9．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，写出所有符合条件的三角形 ．10．如图，∠1=∠2=∠3，有几对三角形相似，请写出其中的两对 ．11．如图，在3×4的方格上，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置．若点D在格点位置上（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D共有 个．12.（2015•六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC= ．三、解答题13. 如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．14.（2015春•成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．15．如图，在△ABC和△ADE中，==，点B、D、E在一条直线上，求证：△ABD∽△ACE．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，∴S△ABC：S△DEF=1：9．故选B．2.【答案】A;【解析】如图（1）∵∠A=35°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，∵∠E=75°，∠F=70°，∴∠B=∠E，∠C=∠F，∴△ABC∽△DEF；3.【答案】C；【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△GFD∽△GBC，△GFD∽△BFA，∴图中与△FGD相似的三角形有2对，故选C．4.【答案】C；【解析】A、若∠BAC=∠BDC，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；B、若∠ABD=∠ACD，结合∠AOB=∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项错误；C、若=，因为只知道∠AOB=∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△COD，故本选项正确．D、若=，结合∠AOB=∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△COD，故本选项错误；故选C．5.【答案】C；【解析】∵△ABD∽△CBD，∴∠ADB=∠BDC又∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠ADB=∠BDC=×180°=90°，∵△ADB∽△ABC，ABC△∽△BDC，∴∠ABC=∠ADB=∠BDC=90°，∴△ABC为直角三角形．故选：C．6.【答案】C；【解析】能判断△ABC∽△A′B′C′的有：（1）（2），（2）（4），（3）（4），∴能判断△ABC∽△A′B′C′的共有3组．故选C．二、填空题7．【答案】如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等；【解析】∵∠A是公共角，∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B时，△ADE∽△ACB（有两角对应相等的三角形相似），当AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC时，△ADE∽△ACB（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），∴要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件：答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．故答案为：此题答案不唯一，如∠ADE=∠C或∠AED=∠B或AD：AC=AE：AB或AD•AB=AE•AC等．8．【答案】△PCQ∽△RDQ∽△PAB；【解析】∵CP∥ER，∴△BCP∽△BER；∵CP∥DR，∴△PCQ∽△RDQ；∵CQ∥AB，∴△PCQ∽△PAB；∴△PCQ∽△RDQ∽△PAB．9．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5；【解析】设网格的边长为1．则AC=，AB=，BC=．连接DP2P5，DP5=，DP2=，P2P5=．∵==，∴△ACB∽△DP5P2．同理可找到△DP2P4，DP4P5和△ACB相似．故答案为：△DP2P5，DP2P4，DP4P5．10．【答案】△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB;【解析】∵∠2=∠3，∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∵∠2=∠3，∴∠DEA=∠EAB，∵∠1=∠3，∴△EDA∽△AEB，故答案为：△CDE∽△CAB；△EDA∽△AEB．11．【答案】4;【解析】∵方格中小正方形的边长为1，∴AB=1、BC=、AC=，∵△DBC与△ABC相似，∴BC=、CD=2、BD=，如图可知这样的点D如图：故答案为：4．12.【答案】4.8或.【解析】∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∴AB==10，当△ABC∽△PCA时，则AB：PC=BC：AC，即10：PC=6：8，解得：PC=，当△ABC∽△ACP时，则AB：AC=BC：PC，即10：8=6：PC，解得：PC=4.8．综上可知若△ABC与△PAC相似，则PC=4.8或．三、解答题13.【解析】解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×﹣=×（10+2）×8﹣×10×4﹣=24.（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，此时AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2tS=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG=×（EB+CG）•BC﹣EB•BF﹣FC•CG=×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）=8t2﹣32t+48．②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t﹣8，CG=2tFG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2tS=FG•BC=（8﹣2t）•8=﹣8t+32．即S=﹣8t+32（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°1若=，即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△FCG2若=即=，解得t=．又t=满足0≤t≤2，所以当t=时，△EBF∽△GCF综上所述，当t=或t=时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．14.【解析】解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．15.【解析】证明：∵在△ABC和△ADE中，==，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△ABD∽△ACE．。
(05)相似三角形性质专项练习30题(有答案)
相似三角形性质专项练习30题（有答案）1．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长．2．如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°，∠D=107°，△ABC∽△DAC（1）求AB的长；（2）求CD的长；（3）求∠BAD的大小．3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证：=．4．如图所示，已知∠ACB=∠CBD=90°，AC=b，CB=a，BD=k，若△ACB∽△CBD，写出a、b、k之间满足的关系式．5．如图，AD、BE是△ABC的两条高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高，△ABD∽△A′B′D′，∠C=∠C′，求证：=．6．已知，如图，△AOB∽△DOC，BD⊥AC，∠AOB是直角．求证：AD2+BC2=AB2+CD2．7．已知如图△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°，△ABD∽△DCE．当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．8．如图，△ABC与△ADB相似，AD=4，CD=6，求这两个三角形的相似比．9．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，求BF的长度．10．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？11．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．13．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE△∽△DEF，AB=6，AE=8，DE=2，求EF的长．14．如图，△ABC∽△DAB，AB=8，BC=12，求AD的长．15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？16．如图，△ABC∽△FED，若∠A=50°，∠C=30°，求∠E的度数．17．如图，已知△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，点D、E分别是边AB、AC上的点，如果AD=3，AE=6，CE=3．根据以上条件你能求出边AB的长吗？请说明理由．18．如图，在△ABC中，AB=8cm，AC=16cm，点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动，点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动．如果P、Q分别从B、A同时出发，经过几秒钟△APQ与△ABC 相似？试说明理由．19．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；点P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC相交于点E，设AP=x．（1）求AC的长；（2）如果△ABP和△BCE相似，请求出x的值；（3）当△ABE是等腰三角形时，求x的值．20．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm（1）已知他们的周长相差60cm，求这两个三角形的周长．（2）已知它们的面积相差588cm2，求这两个三角形的面积．21．如图，已知△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，（1）求∠B和∠D的度数；（2）求AE和DE的长．22．一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．23．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为多少？24．如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD=3，E为AC中点，当△BPD 与△PCE相似时，求BP的值．25．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，求证：．26．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm，且BC=5cm，DF=4cm，求EF和AC的长．27．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点M从点A出发，以1cm∕秒的速度向点B运动，动点N从点C 出发，以2cm∕秒的速度向点A运动，若两点同时运动，是否存在某一时刻t，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．28．Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，P、Q分别为AC，AB上的两动点，P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动，Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，当一点到达终点时，P、Q两点就同时停止运动．设运动时间为ts．（1）用t的代数式分别表示AQ和AP的长；（2）设△APQ的面积为S，①求△APQ的面积S与t的关系式；②当t=2s时，△APQ的面积S是多少？（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？29．如图所示，∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？30．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1．（1）若c=a1，求证：a=kc；（2）若c=a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；（3）若b=a1，c=b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2？请说明理由．相似三角形专项练习30题参考答案: 1．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=9，∴BE===，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．2．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：AB=3；（2）∵△ABC∽△DAC，∴，∴，解得：CD=；（3）∵△ABC∽△DAC，∴∠BAC=∠D=107°，∠CAD=∠B=36°，∵∠B=36°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3．证明：∵△ABC与∽A′B′C′，∴∠ABD=∠A′B′D′，∵AD和A′D′是高，∴∠ADB=∠A′D′B′，∴△ABD∽△A′B′D，∴=，同理可得=，∴=．4．解：∵△ACB∽△CBD，∴=，∵AC=b，CB=a，BD=k，∴=，即a2=bk．5．证明：∵△ABD∽△A′B′D′，∴∠ABC=∠A′B′C′，∠BAC=∠B′A′C′，∵AD是△ABC的高，A′D′是△A′B′C′的，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，∴△ABD∽△A′B′D′，∴=，同理可求△ABE∽△A′B′E′，∴=，∴=．6．解：∵BD⊥AC，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，∴在Rt△AED中，AD2=AE2+DE2，在Rt△AEB中，AB2=AE2+BE2，在Rt△BEC中，BC2=BE2+CE2，在Rt△CED中，CD2=CE2+DE2，∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2．7．解：分三种情况：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意；②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=1，BC=，AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣（﹣1）=2﹣；③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如图所示，易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=．综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2﹣或．8．解：∵△ABC与△ADB相似，∴△ABC∽△ADB，∴=，∴AB2=AC•AD=10×4=40，∴△ABC与△ADB的相似比为==．9．解：设BF=x，则CF=4﹣x，由翻折的性质得B′F=BF=x，当△B′FC∽△ABC，∴=， 即=，解得x=，即BF=．当△FB ′C ∽△ABC ， ∴AB FB /'=AC FC即，解得：x=2．∴BF 的长度为：2或．10．解：设运动了ts ，根据题意得：AP=2tcm ，CQ=3tcm ，则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t （cm ），当△APQ ∽△ABC 时，，即，解得：t=；当△APQ ∽△ACB 时，，即，解得：t=4； 故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是：s 或4s11．解：∵△AOB ∽△EOD ， ∴DE ：AB=OA ：OE ，∵DE=AB ，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10．12．解：（1）∵△PCD 是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP ∽△PDB ，∴∠APC=∠B ，∵∠A=∠A ，∴∠ACP∽∠APB，∴∠APB=∠ACP=120°；（2）∵△ACP∽△PDB，∴AC：PD=PC：BD，∴PD•PC=AC•BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴CD2=AC•BD．13．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，∵AB=6，AE=8，∴BE===10，∵△ABE∽△DEF，∴=，即=，解得EF=．14．解：∵△ABC∽△DAB，∴，∵AB=8，BC=12，∴，∴AD=．15．解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．16．解：∵△ABC中，∠A=50°，∠C=30°，∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°，∵△ABC∽△FED，∴∠E=∠B=100°．17．解：∵△ABC∽△AED，且∠B=∠AED，∴．又AD=3，AE=6，CE=3，∴AB==18．18．解：设经过t秒两三角形相似，则AP=AB﹣BP=8﹣2t，AQ=4t，①AP与AB是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=2，②AP与AC是对应边时，∵△APQ与△ABC相似，∴=，即=，解得t=，综上所述，经过或2秒钟，△APQ与△ABC相似19．解：（1）过点A作AF⊥BC于F（1分）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=，BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中，∠AFC=90°∴（1分）（2）过点P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，∴（1分）如果△ABP和△BCE相似，∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）∴∠ABP=∠ECB∴即解得（不合题意，舍去）∴x=8（1分）（3）①当AE=AB=4时∵AP∥BC，∴即，解得，②当BE=AB=4时∵AP∥BC，∴，即，解得（不合题意，舍去）③在Rt△AFC中，∠AFC=90°∵，在线段FC上截取FH=AF，∴∠FAE＞∠FAH=45°∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE∴AE≠BE．综上所述，当△ABE是等腰三角形时，或20．解：（1）∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的周长比为：5：2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm，较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm，2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm，较小的三角形的周长为40cm（2）∵这两个三角形的相似比为：5：2∴这两个三角形的面积比为：25：4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2，较小的三角形的面积为4xcm2∴（25﹣4）x=588，∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2，4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2，较小的三角形的面积为112cm2 21．解：（1）∵△ACE∽△BDE，∠A=117°，∠C=37°，∴∠B=∠A=117°，∠C=∠D=37°；（2）∵△ACE∽△BDE，AC=6，BD=3，AB=12，CD=18，∴设AE=x，DE=y，则BE=12﹣x，CE=18﹣y，∴==，即==，解得x=8，y=6，∴AE=8，DE=622．解：①当把30厘米的钢筋作为最长边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有；②当30厘米的钢筋作为中长边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有．③当30cm作为最短边：则另两边都会超过50cm，此时不合题意，∴一共有两种截法．23．解：题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应，所以应分别讨论：（1）若边长为2的边与边长为4的边相对应，则另两边为和3；（2）若边长为2的边与边长为5的边相对应，则另两边为和；（3）若边长为2的边与边长为6的边相对应，则另两边为和．故三角形框架的两边长可以是：和3或和或和．24．解：设BP=x，∵等边△ABC的边长为8，∴CP=8﹣x，∵E为AC中点，∴CE=AC=×8=4，①BD和PC是对应边时，△BDP∽△CPE，∴=，即=，整理得，x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，即BP的长为2或6，②BD和CE是对应边时，△BDP∽△CEP，∴=，即=，解得x=，即BP=，综上所述，BP的值是2或6或．25．证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴===K．又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线，∴==．∴，∵∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′．∴．26．解：∵相似三角形周长的比等于相似比，∴，∴，同理，∴．答：EF的长是cm，AC的长是cm．27．解：存在t=3秒或4.8秒，使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似（无此过程不扣分）设经过t秒时，△AMN与△ABC相似，此时，AM=t，CN=2t，AN=12﹣2t（0≤t≤6），（1）当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，（1分）则，即，（3分）解得t=3；（5分）（2）当∠AMN=∠C时，△ANM∽△ABC，（6分）则，即，（8分）解得t=4.8；（10分）故所求t的值为3秒或4.8秒．（11分）28．解：（1）用t的代数式分别表示AQ=2t，AP=6﹣t；（2分）（2）设△APQ的面积为S，①△APQ的面积S与t的关系式为：S=AQ•AP=×2t×（6﹣t）=6t﹣t2，即S=6t﹣t2，②当t=2s时，△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×（6﹣2）]=8（cm2）；（6分）（3）当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当=时=，∴t=2.4（s）；②当=时=，∴t=（s）；综上所述，当t为2.4秒或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．29．解：∵∠C=90°，BC=8cm，AC：AB=3：5，∴设AC=3xcm，AB=5xcm，则BC==4x（cm），即4x=8，解得：x=2，∴AC=6cm，AB=10cm，∴BC=8cm，设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，则BP=2tcm，CP=BC﹣BP=8﹣2t（cm），CQ=tcm，∵∠C是公共角，∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，解得：t=2.4，②当，即时，△CPQ∽△CAB，解得：t=，∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．30．（1）证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k（k＞1），∴=k，a=ka1；又∵c=a1，∴a=kc；（2）解：取a=8，b=6，c=4，同时取a1=4，b1=3，c1=2；此时=2，∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1；（3）解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1，理由如下：若k=2，则a=2a1，b=2b1，c=2c1；又∵b=a1，c=b1，∴a=2a1=2b=4b1=4c；∴b=2c；∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k=2．。
相似三角形专题练习及答案
相似三角形专题练习及答案一、单选题1．以下条件不可以判定与相似的是（）A．B．，且’C．’，’D．，且’2．如图，中，、分别为边、上的点，且，下列判断错误的是（）A． B． C． D．3．已知：如图，在中，，则下列等式成立的是（）A． B． C． D．4．如图，下列能判断的条件是（）A． B． C． D．5．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（）A． 9：1 B． 6：1 C． 3：1 D．：16．若两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应边的比为（）A． 4:1 B． 1:4 C． 2:1 D． 16:17．如图，在△ABC中，AB=9，BC=18，AC=12，点D在边AC上，且CD=4，过点D作一条直线交边AB于点E，使△ADE与△ABC相似，则DE的长是（）A． 12 B． 16 C． 12或16 D．以上都不对8．中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过（）秒钟与相似？（）A． 2.5 B． 3.5 C． 1和2.5 D． 1和3.59．如图，是直角三角形的斜边上异于、的一点，过点作直线截三角形，使截得的三角形于三角形相似，则过点满足这样条件的直线最多有（）条．A． 1 B． 2 C． 3 D． 410．如图，是的边上异于、一点，过点作直线截得的三角形与相似，那么这样的直线可以作的条数是（）A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条二、填空题11．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则=________．12．如图，中，为上一点，连接，请添加一个条件，使，你添加的条件是________．13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB=1，则BM的长为_____．14．如图，在直角坐标系中，为直角三角形，，，点A坐标为，AB 与x轴交于点C，则AC：BC的值为______．15．如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为________．16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P为平面上任意一点，PB=2，则PD﹣PC的最大值为_____．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．18．如图，已知中，，，．如果点由出发沿方向点匀速运动，同时点由出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动的时间为（单位：）．解答下列问题：当为何值时平行于；当为何值时，与相似？是否存在某时刻，使线段恰好把的周长平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．19．如图三角形中，有一内接矩形，为边上的高，，，矩形面积为，与交于，设为，为．求与的函数关系式．当取何值时，有最大值，最大值是多少？20．已知：如图，在中，点，分别在边，上，求证：；如果，求证：．21．如图，在中，是角平分线，点在上，且．求证：：已知，，求长．22．在的方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图的方格纸中，画一个格点三角形，使与一个格点三角形相似（相似比不为）．请你在图的方格纸中，画一个格点三角形，使与一个格点三角形相似，面积最大，并求最大值是多少．与的相似比不是的格点三角形共有几个（相似比相同时只算个）？23．如图，AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若∠F=30°，请证明E是的中点；（2）若AC=，求BE•EF的值．24．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E在BC上，以CE为直径的⊙O交AB于点F，AO∥EF （1）求证：AB是⊙O的切线；（2）如图2，连结CF交AO于点G，交AE于点P，若BE=2，BF=4，求的值．参考答案1．D2．B3．C4．C5．C6．C7．A8．C9．C10．D【详解】（1）如图1，作PE∥BC，则△AEP∽△ACB；（2）如图2，作PE∥AC，则△BPE∽△BAC；（3）如图3，作PE，使AE：AB=AP：AC，则△AEP∽△ABC；（4）如图4，作PE，使BP：CB=BE：AB，则△BEP∽△BAC．故选D．11．12．或或13．．【详解】设BM=x，∵ABCDE是正五边形，∴∠BAE=108°，∠AEB=∠ABE=36°，∴∠EAM=∠AME=72°，∴ME=AE，∵∠BAE=∠AMB，∠BAM=∠AEB∠ABM=∠ABE，∴△ABM∽△ABE，∴即，解得（舍去），，故答案为：14．【详解】如图所示：作轴，垂足为D，作轴，垂足为E．，．，，．，，，又，∽，，即，解得：．：：：：．故答案为：．15．【详解】如图，作DE⊥AC于点E，∵道路的宽为4m，∴DE=4米，∴AE=3m，∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAE=∠ADE，∴△DAE∽△ACB，∴ DE：AB = AE：BC，即4：AB = 3：12，解得：AB=16（cm），∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2），故答案为：80.【点睛】16．5详解：如图1中，在BC上取一点G，使BG=1., ,.∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴,∴,∴PD﹣PC=PD-PG.∵PD-PG≤DG，∴当点P在DG的延长线上时PD﹣PC的值最大，如图2.∵,∴PD﹣PC的值最大值是5.故答案为：5.17．(1);(2) 1.8或2.5;(3) 当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由见解析.解：（1）如答图1．∵△CEF∽△ABC，∴=，又∵AC=BC=2，∴CE=CF，由翻折性质得CE=DE,CF=DF，∴四边形CEDF是菱形，∴∠ACD=∠BCD，又∵AC=BC，∴AD=BD=AB=×=.（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，有两种情况：①当△CEF∽△CAB时，如答图2．此时∠CEF=∠A，∴EF∥BC．由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosA=．∴在Rt△ACD中，AD=AC•cosA=3×=1.8；②当△CEF∽CBA时，如答图3．此时∠CEF=∠B．由折叠性质可知，∠CQE=90°，∴∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．同理可得CD=BD，∴AD=AB=×5=2.5．综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．（3）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：如答图4，连接CD，与EF交于点Q．∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B. 由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，又∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，又∵∠ECF=∠BCA，∴△CEF∽△CBA.18．解:∵，，，∴，∵、的运动速度为，∴，则，当时，则，即，解得，即当时；∵为直角三角形，∴当和相似时，必有一个角为直角，当时，则，由可知，当时，则，即，解得，∴当为或时和相似；不存在．理由如下：当线段恰好把的周长平分时，则有，即，整理得，显然不成立，∴不存在使把周长平分的；存在．如图，过作于点，则，∴，即，解得，∴，且，当线段恰好把的面积平分时，则有，即，整理可得，解得（舍去）或，∴当时，线段恰好把的面积平分．19．∵矩形，，∴，∴，，∴，∵，，为，为．∴，∵，∴，∴；∵•，∴，∴，∴当时，的值最大．20证明：∵，∴，又∵，∴，∴，∴；∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴．21．证明：∵是角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．22．如图所示：如图所示：最大格点三角形三边分别为：，，；根据相似比为：，∴三角形面积比为：，∴最大值为：．根据三角形最大边长以及最小边长即可得出答案：个．23．（1）证明：连接OE，如图1所示．∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°．∵∠F=30°，∴∠OBE=60°．∵OB=OE，∴△OBE为等边三角形，∴∠OEB=∠BOE=60°．∵OD∥BF，∴∠DOE=∠BEO=∠BOE=60°，∴=．（2）过点Q作OM⊥BE于M，如图2所示．∵OB=OE，∴BE=2BM．∵OD∥BF，∴∠COD=∠B．在△OBM和△DOC中，∴△OBM≌△DOC（AAS），∴BM=OC=2﹣=，∴BE=2OC=3．∵OD∥BF，∴△COD∽△CBF，∴=，即=，∴BF=，∴EF=BF﹣BE=﹣3=，∴BE•EF=3×=5．24．（1）连接OF，如图1，∵OA∥EF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵OE=OF，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，在△AOC和△AOF中，，∴△AOC≌△AOF，∴∠ACO=∠AFO=90°，∴OF⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）如图2，在Rt△OFB中，设OE=OF=r，∵OF2+BF2=OB2，∴r2+42=（r+2）2，解得r=3，∴OB=5，设AC=AF=t，则AB=4+t，在Rt△ACB中，t2+82=（t+4）2，解得t=6，即AC=6，∴AO=，∵∠CAO=∠GAO，∠ACO=∠AGC=90°，∴△ACO∽△AGO，∴AC：AO=AG：AC，∴AC2=AO•AG，∴AG=，∴AO=AG，∵OA∥EF，∴△BEF∽△BOA，∴，∴，∴，∵EF∥GA，∴△PEF∽△PAG，∴=2．。
相似三角形培优训练(含答案)
类似三角形分类进步练习一.类似三角形中的动点问题1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点 B 作射线 BB1∥AC．动点 D 从点 A 动身沿射线 AC 偏向以每秒 5 个单位的速度活动,同时动点 E 从点 C 沿射线 AC 偏向以每秒 3 个单位的速度活动．过点 D 作 DH⊥AB 于 H,过点 E 作 EF⊥AC 交射线 BB1 于 F,G 是 EF 中点,衔接 DG．设点 D 活动的时光为 t 秒．（1）当 t 为何值时,AD=AB,并求出此时 DE 的长度;（2）当△DEG与△ACB 类似时,求 t 的值．2.如图,在△ABC 中, ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点 P 以 2m/s 的速度从 A点动身,沿 AC 向点 C 移动．同时,动点 Q 以 1m/s 的速度从 C 点动身,沿 CB向点 B 移动．当个中有一点到达终点时,它们都停滞移动．设移动的时光为 t 秒．（1）①当 t=2.5s 时,求△CPQ 的面积;②求△CPQ 的面积 S（平方米）关于时光 t（秒）的函数解析式;（2）在 P,Q 移动的进程中,当△CPQ 为等腰三角形时,求出 t 的值．3.如图 1,在 Rt△ABC 中, ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点 D 在边 AB 上活动,DE 等分 CDB 交边 BC 于点 E,EM⊥BD,垂足为 M,EN⊥CD,垂足为 N．（1）当 AD＝CD 时,求证：DE∥AC;（2）探讨：AD 为何值时,△BME 与△CNE 类似？4.如图所示,在△ABC 中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点 P 从 A 点动身,沿着AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点活动;同时点 Q 从 C 点动身,沿 CA 以每秒 3cm的速度向 A 点活动,当 P 点到达 B 点时,Q 点随之停滞活动．设活动的时光为 x．（1）当 x 为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ 与△CQB 可否类似？若能,求出 AP 的长;若不克不及解释来由．5.如图,在矩形 ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点 P 沿 AB 边从 A 开端向点 B 以 2cm/s 的速度移动;点 Q 沿 DA 边从点 D 开端向点 A 以1cm/s 的速度移动．假如 P.Q 同时动身,用 t（s）暗示移动的时光（0＜t＜6）.（1）当 t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形？（2）当 t 为何值时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似？二.结构类似帮助线——双垂直模子6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 的坐标为(2,1),正比例函数 y=kx的图象与线段 OA 的夹角是 45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC 中,AB= ,AC=4,BC=2,以 AB 为边在 C 点的异侧作△ABD,使△ABD 为等腰直角三角形,求线段 CD 的长．8.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°,点 M 是 AC 上的一点,点 N 是 BC 上的一点,沿着直线 MN 折叠,使得点 C 正好落在边 AB 上的 P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9. 如图,在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线 AC 翻折 B 点 落在 D 点的地位,且 AD 交 y 轴于点 E．那么 D 点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知,如图,直线 y=﹣2x＋2 与坐标轴交于 A.B 两点．以 AB 为短边在 第一象限做一个矩形 ABCD,使得矩形的双方之比为 1﹕2.求 C.D 两点的坐 标. 三.结构类似帮助线——A.X 字型 11.如图：△ABC 中,D 是 AB 上一点,AD=AC,BC 边上的中线 AE 交 CD 于 F.求证：12.四边形 ABCD 中,AC 为 AB.AD 的比例中项,且 AC 等分∠DAB.求证：13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E 为 AD 边上的随意率性 一点,EF∥AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同窗在研讨这一问题时,发明如下事实：(1)当 时,EF= ;(2)当 时,EF= ;(3)当时,EF= ．当 时,参照上述研讨结论,请你猜测用a.b 和 k 暗示 EF 的一般结论,并给出证实． 14.已知：如图,在△ABC 中,M 是 AC 的中点,E.F 是 BC 上的两点,且 BE＝EF ＝FC.求 BN：NQ：QM． 15.证实：（1）重心定理：三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 ．（注：重心是三角形三条中线的交点） （2）角等分线定理： 三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比 例． 四.类似类定值问题 16.如图,在等边△ABC 中,M.N 分离是边 AB,AC 的中点,D 为 MN 上随意率性一点,BD.CD 的延伸线分离交 AC.AB 于点 E.F．求证：．17.已知：如图,梯形 ABCD 中,AB//DC,对角线 AC.BD 交于 O,过 O 作 EF//AB分离交 AD.BC 于 E.F.求证：．18.如图,在△ABC 中,已知 CD 为边 AB 上的高,正方形 EFGH 的四个极点分离在△ABC 上.求证：．19.已知,在△ABC 中作内接菱形 CDEF,设菱形的边长为 a．求证：．五.类似之共线线段的比例问题20.（1）如图 1,点 在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 上,一向线过点 P 分离交BA,BC 的延伸线于点 Q,S,交于点 ．求证：（2）如图2, 图 3, 当 点 在 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 或 的 延 伸 线 上时,是否仍然成立？若成立,试给出证实;若不成立,试解释来由（请求仅以图 2 为例进行证实或解释）;21.已知：如图,△ABC 中,AB＝AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作CF∥AB,延伸 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F．求证：BP2＝PE·PF ．22.如图,已知△ABC 中,AD,BF 分离为 BC,AC 边上的高,过 D 作 AB 的垂线交AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延伸线于 H.求证：DE2=EG•EH23.已知如图,P 为平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上一点,过 P 的直线与AD.BC.CD 的延伸线.AB 的延伸线分离订交于点 E.F.G.H.求证：24.已知,如图,锐角△ABC 中,AD⊥BC 于 D,H 为垂心（三角形三条高线 的交点）;在 AD 上有一点 P,且∠BPC 为直角．求证：PD2＝AD·DH. 六.类似之等积式类型分解 25.已知如图,CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高,E 为 BC 的中点,ED 的延伸线交 CA 于 F.求证： 26 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,点 M 在 CD 上,DH⊥BM 且 与 AC 的 延 伸 线 交 于 点 E. 求 证 ： （ 1 ） △AED∽△CBM; （ 2 ）27.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,E 是 AC 的中点,ED 的延伸线与 CB 的延伸线交于点 F.（1）求证：.（2）若G 是 BC 的中点,衔接 GD,GD 与 EF 垂直吗？并解释来由.28.如图,四边形 ABCD.DEFG 都是正方形,衔接 AE.CG,AE 与 CG 订交于点M,CG 与 AD 订交于点 N．求证：．29.如图,BD.CE 分离是△ABC 的双方上的高,过 D 作 DG⊥BC 于 G,分离交 CE 及 BA 的延伸线于F.H.求证：（1）DG2＝BG·CG;（2）BG·CG＝GF·GH七. 类似根本模子运用30.△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF 的极点 E 位于边 BC 的中点上．（1）如图 1,设 DE 与 AB 交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,求证：△BEM∽△CNE;（2）如图 2,将△DEF 绕点 E 扭转,使得 DE 与BA 的延伸线交于点 M,EF 与 AC 交于点 N,于是,除（1）中的一对类似三角形外,可否再找出一对类似三角形并证实你的结论．31.如图,四边形ABCD 和 四 边 形ACED 都是平行四边形,点 R 为 DE 的中点,BR 分离交 AC.CD 于点 P.Q．（1）请写出图中各对类 似三角形（类似比为 1 除外）;（2）求 BP：PQ：QR． 32.如图,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F.求证： 答 案 ： 1. 答 案 ： 解 ： （ 1 ） ∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4∴AB=5 又∵AD=AB,AD=5t∴t=1,此时 CE=3,∴DE=3+3-5=1（2）如图当点 D 在点 E 左侧,即：0≦t≦ 时,DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG 与△ACB类似,有两种情况：①△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;②△DEG∽△BCA, 此 时,即：,求得：t= ;如图,当点 D 在点 E 右侧,即：t> 时,DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG 与△ACB 类似,有两种情况：③△DEG∽△ACB,此时,即：,求得：t= ;④△DEG∽△BCA,此时,即：,求得：t= ．综上,t 的值为 或 或 或 ．3.答案：解：（1）证实：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE 等分 CDB 交边 BC 于 点 E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB 为 △CDB 的 一 个 外 角 ∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE ∴DE∥AC （ 2 ） ①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△CNE, 如 图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD= AB∵ 在Rt△ABC 中 ,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,∴△BME∽△ENC, 如 图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵ 在 Rt△ABC中,ACB ＝ 90°,AC ＝ 6,BC ＝8∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5 或 时,△BME 与△CNE 类似．4. 答 案 ： 解 （ 1 ） 由 题 意 ： AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,当 PQ∥BC时,,即：解得：（ 2 ） 能 ,AP= cm 或AP=20cm①△APQ∽△CBQ, 则,即解得： 或（舍）此时：AP= cm②△APQ∽△CQB, 则,即解得：（相符题意）此时：AP= cm 故 AP= cm 或 20cm 时,△APQ 与△CQB 能类似． 5.答案：解：设活动时光为 t,则 DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．（1）若 △QAP 为等腰直角三角形,则 AQ=AP,即：6-t=2t,t=2（相符题意）∴t=2 时,△QAP 为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）;②当△PAQ∽△ABC时,,即：,解得： （相符题意）．∴ 当 或 时,以点 Q.A.P 为极点的三角形与△ABC 类似．6. 答 案 ： 解 ： 分 两 种 情 况 第 一 种 情 况 , 图 象 经 由 第 一 . 三 象 限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 y 轴的直线交 x 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模子知：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝ 45°∴OC ＝ 2,AC ＝ 1,AO ＝ AB∴AD ＝ OC ＝ 2,BD ＝ AC ＝ 1∴D 点 坐 标 为 （2,3）∴B 点坐标为（1,3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况,图象经由第二.四象限过点 A 作 AB⊥OA,交待求直线于点 B,过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD⊥AC 则由上可知：＝ 90° 由 双 垂 直 模 子 知 ：△OCA∽△ADB∴∵A（2,1）,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2∴D 点坐标为（3,1）∴B 点坐标为（3,﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝ x 7. 答 案 ： 解 ： 情 况 一 ：情况二：情况三：8.答案：证实：办法一：衔接 PC,过点 P 作 PD⊥AC 于D, 则PD//BC依据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC ： CN=PD ： DC∵PD=DA∴MC ： CN=DA ：DC∵PD//BC∴DA ： DC=PA ： PB∴MC ： CN=PA ： PB 办 法 二 ： 如图,过 M 作 MD⊥AB 于 D,过 N 作 NE⊥AB 于 E 由双垂直 模 子 , 可 以 推 知 △PMD∽NPE, 则,依据等比性质可知,而 MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN, ∴MC：CN=PA：PB 9.答案：A解题思绪：如图过点 D 作 AB 的平行线交 BC 的延伸线于点 M,交 x 轴于点 N,则∠M=∠DNA=90°,因为折叠,可以得到△ABC≌△ADC,又由 B（1,3）∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴ ∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,∴设 CM=x, 则 DN=3x,AN=1 ＋ x,DM ＝∴3x＋ ＝3∴x＝ ∴,则. 答案为 A10.答案：解：过点 C 作 x 轴的平行线交 y 轴于 G,过点 D 作 y 轴的平行线交 x 轴于 F,交 GC 的延伸线于 E.∵直线 y=﹣2x＋2与坐标轴交于 A.B 两点∴A（1,0）,B（0,2）∴OA=1,OB=2,AB= ∵AB：BC=1:2∴BC=AD= ∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO,得 （5,2）∴DF=2,AF=4 ∴OF=5 ∴D11.答案：证实：（办法一）如图衔接延伸 AE 到 M 使得 EM=AE, CM∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC∴（办法二）过 D 作 DG∥BC 交 AE 于 G 则△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,∵AD=AC,BE=CE∴12.答案：证实：过点 D 作 DF∥AB 交 AC 的延伸线于点F,则∠2=∠3∵AC等分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC 为 AB.AD 的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证实：过点 E 作 PQ∥BC 分离交 BA 延伸线和 DC 于点 P 和点 Q∵AB∥CD,PQ∥BC∴四边形 PQCB 和四边形 EQCF 是平行四边形∴PB＝EF＝CQ,又∵AB＝b,CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14. 答 案 ： 解 ：衔 接 MF∵M 是 AC 的 中 点 ,EF ＝FC∴MF∥AE 且 MF＝ AE ∴△BEN∽△BFM ∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF ∴BN：BM＝NE：MF＝1:2 ∴BN：NM＝1:1 设 NE＝x,则 MF＝ 2x,AE＝4x ∴AN＝3x ∵MF∥AE ∴△NAQ∽△MFQ ∴NQ：QM＝AN：MF ＝3:2 ∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2 ∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证实：（1）如图 1,AD.BE 为△ABC 的中线,且AD.BE 交于点 O 过点 C 作 CF∥BE,交 AD 的延伸线于点 F∵CF∥BE 且 E 为 AC中 点 ∴∠AEO ＝ ∠ACF,∠OBD ＝ ∠FCD,AC ＝ 2AE∵∠EAO ＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D 为 BC 的 中 点 ,∠ODB ＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理,可证别的两条中线∴三角形极点到重心的距离等于该极点对边上中线长的 （2）如图 2,AD 为△ABC 的角等分线过点 C 作 AB 的平行线 CE 交 AD的 延 伸 线 于 E 则 ∠BAD=∠E∵AD 为 △ABC 的 角 等 分 线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证实：如图,作 DP∥AB,DQ∥AC 则四边形MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且△DPQ 是等边三角形∴BP+CQ＝MN,DP ＝ DQ ＝ PQ∵M.N 分 离 是 边 AB,AC 的 中 点 ∴MN ＝ BC ＝PQ∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,∴∵DP ＝ DQ ＝ PQ ＝ BC ＝ AB∴ AB（）＝ ∴17.答案：证实：∵EF//AB,AB//DC∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,∴∴18.答案：证实∵EF∥CD,EH∥AB∴,∵,： ∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,∵EF ＝EH∴∴19.答案：∵EF∥AC,DE∥BC∴,证实：∵,∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,∴∵EF＝DE＝a∴ 20. 答 案 ： （ 1 ） 证 实 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴同来由AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴（2）证实 ： 成 立 , 来 由 如 下 ： 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ,AD∥BC,∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴AB∥CD 可证△PTD∽△PQB∴∴∴同来由21. 答 案 ： 证 实 :∵AB ＝ AC,AD 是 中线,∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF 即证所求22. 答 案 ： 证 实 ： ∵DE⊥AB∴＝ 90°∵＝90°∴ ∵BF⊥AC∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=＝ 90°∵＝ 90° 且∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝∴DE2=EG•EH23.答案：证实： 形∵四边形 ABCD 为平行四边∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：证实：如图,衔接 BH 交 AC 于点 E,∵H为垂心∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即∵∠BPC 为直角,AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH25. 答 案 ： 证 实 ：∵CD 是 Rt△ABC 斜 边 AB 上 的 高,E 为 BC 的 中 点∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴即26.答案：证实：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD ＝ 90° ＋ ∠MBD∠ADE ＝ ∠ADC ＋ ∠MDH ＝ 90° ＋ ∠MDH∴∠ADE ＝∠CMB∴△AED∽△CBM（2）由上问可知：,即故只需证实即 可 ∵∠A ＝ ∠A,∠ACD ＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即∴27. 答 案 ： （ 1 ） 将 结 论 写 成 比 例 的 情 势 ,,可以斟酌证实△FDB∽△FCD （ 已 经 有 一 个 公 共 角 ∠F ） Rt△ACD 中 ,E 是 AC 的 中 点∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴（2）断定：GD 与 EF 垂直 Rt△CDB 中 ,G 是 BC 的 中 点 , ∴GD ＝ GB ∴∠GDB=∠GBD 而∠GBD+∠FCD=90° 又∵∠FCD=∠FDB（1 的结论） ∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：证实：由四边形 ABCD.DEFG 都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,则 ∠CDG=∠ADE=∠ADG+90° 在和中∴≌则 ∠DAM=∠DCN 又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND 则∴29. 答 案 ： 证 实 ： 找 模 子 . （ 1 ） △BCD.△BDG,△CDG 组 成 母 子 型 类似.∴△BDG∽△DCG∴∴DG2 ＝ BG·CG （ 2 ） 剖 析 ： 将 等 积式转化为比例式.BG·CG＝GF·GH∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG ＝GF·GH．30.答案：（1）证实：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB ∴∠NEC ＝ ∠EMB 又 ∵∠B=∠C ∴△BEM∽△CNE （ 2 ）△COE∽△EON证 实 ： ∵∠OEN=∠C ＝ 45°,∠COE ＝ ∠EON∴△COE∽△EON31.答案：解：（1）△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP （ 2 ）∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四边形 ABCD 和四边形 ACED 都是平行四边形∴AD=BC,AD=CE∴BC=CE,即点 C 为 BE 的中点∴又 ∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵ 点 R 为 DE 的 中 点∴DR=RE∴综上：BP：PQ：QR＝3：1：232. 答 案 ： 证 实 ： ∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴ AE AB 同理可证：AD²＝AF AC∴AE AB＝AF AC∴AD² ＝。
三角形相似练习(中等50道+提高30道) 含答案
三角形相似(中等50道+提高30道)含答案一．中等题（共50小题）1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．2．如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？3．如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA•AE＝AC•AD．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．5．已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点O，AC∥EF，BC∥DF，求证：AB∥DE．6．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长．7．如图，已知AB∥MN，BC∥NG．（1）求证：；（2）在此图中你还有什么发现？请直接写出2个结论．8．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，（1）求证：△ACD∽△BED；（2）求DC的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE＝DG；（2）若∠B＝60°，且四边形AECG是正方形时，求的值．12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC 于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，求△BEF与△DCB的面积比．17．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC 于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．20．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于E．（1）求证：△ADC∽△BEC；（2）若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．22．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠A＝30°．（1）求证：AC＝PC；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝18，求⊙O的面积．23．如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．（1）求证：△ACD∽△EAD；（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．24．如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点F，AB＝AD．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若AE＝EC，AF＝2，求△BCD的面积．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．26．如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC＝120°（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若BD＝2，CE＝8，求BC的长．27．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE＝2，CD＝4，求△ABC的面积．28．如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．29．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，PQ⊥AQ．求证：BP＝3CP．30．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．31．已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E 点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．32．如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．（1）求证：△DFC∽△EF A．（2）若AC⊥DE，AB＝2，AF＝2，求DF长．33．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．34．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．35．已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB；（2）若E为CD中点，∠ACD＝∠ABE，AB＝3，AC＝2，求BD的长．36．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E（1）求证：△AEF∽△BCE．（2）若，求的值．37．如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC＝∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若＝，求的值．38．如图，E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF 的长．39．如图，AB∥CD∥EF，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知CD＝5米，EG＝6米，GF＝9米，求AB的长．40．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．41．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．42．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．43．如图，△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，OE＝4，求BE的长．44．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：DE•AB＝BC•AE；（2）求证：∠AEB＝∠ADC．45．已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED＝60°，DE＝OE＝4．求：（1）CE的长；（2）⊙O的半径．46．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．47．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△EPB∽△CAB；（2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长．48．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE＝DE．（1）求证：∠CBD＝∠OCB；（2）若⊙O的半径为2，BC＝8，求DF的长．49．如图（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO ＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，F为射线BA上一点，且满足CB2＝CE•CA，过B作BD⊥DF于D，交AC边于E．证明：∠BFD＝2∠CBD．二．提高30道1．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．2．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：EF＝DE；（2）若AD＝4，DE＝5，求BD的长．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF＝ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC＝，求DF的长．4．如图，△ABC是⊙O的内接圆，且AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若BD＝4，sin∠DBF＝，求DE的长．5．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF＝3，DE＝2①求值；②求图中阴影部分的面积．6．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF＝3，DE＝2，求的值．7．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m（m＞1），点E是AD边上一定点，且AE＝1．（1）当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．（2）如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．（不写作法，保留作图痕迹）（3）对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P 从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）．9．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．10．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，使AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；（2）若AE＝2，试求AP•AF的值．11．如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：△EFD为等腰三角形；（2）若OF：OB＝1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．12．已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，点P在BC上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？13．如图所示，要在底边BC＝160cm，高AD＝120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．（1）设矩形EFGH的长HG＝y，宽HE＝x，确定y与x的函数关系式；（提示：S△ABC＝S△AHG+S梯形BCGH）（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？14．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB＝8，CE＝2时，求AC的长．17．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．请回答：∠ADB＝°，AB＝．（2）请参考以上解决思路，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F．（1）求∠DAF的度数；（2）求证：AE2＝EF•ED；（3）求证：AD是⊙O的切线．19．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．21．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．22．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝．（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．23．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：（1）△ACE∽△BDE；（2）BE•DC＝AB•DE．24．如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC相似？25．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME 平分∠DMN．求证：（1）DE是⊙O的切线；（2）ME2＝MD•MN．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．27．如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求AE的长．28．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF＝BE，EF与CD交于点G．（1）求证：BD∥EF；（2）若＝，BE＝4，求EC的长．29．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ACD∽△BFD；（2）当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．30．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC＝40cm，AD＝30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．31．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，点E为OB的中点，连接CE并延长交⊙O于点F，点F恰好落在的中点，连接AF并延长与CB的延长线相交于点G，连接OF．（1）求证：OF＝BG；（2）若AB＝4，求DC的长．参考答案与试题解析一．中等题（共50小题）1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AD＝3，BD＝6，求CD的长．【解】由射影定理得，CD2＝AD•DB＝3×6＝18，∴CD＝＝3．2．如图，是一块三角形材料，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，要使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在何处？【解】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB＝3，由勾股定理得，AC＝＝＝3，在Rt△ADF中，∠A＝30°，∴AD＝2DF，AF＝DF，∴CF＝AC﹣AF＝3﹣DF，则矩形DECF面积＝DF×（3﹣DF）＝﹣DF2+3DF＝﹣（DF﹣）2+，当DF＝时，剪出的矩形DECF面积最大，则AD＝2DF＝3，∴使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．3．如图，BD，CE是△ABC的高．求证：BA•AE＝AC•AD．【解】∵BD，CE是△ABC的高∴∠ADB＝∠AEC＝90°又∵∠A＝∠A∴△ADB∽△AEC∴＝∴AD•AC＝AE•AB即BA•AE＝AC•AD．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．求证：DC2＝DA•DB．【解】证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠DCB+∠B＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，又∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD，∴＝，∴DC2＝DA •DB．5．已知：如图所示，直线AE、BD、CF相交于点O，AC∥EF，BC∥DF，求证：AB∥DE．【解】证明：∵AC∥EF，∴＝，∵BC∥DF，∴＝，∴＝，∵∠AOB＝∠DOE，∴AB ∥DE．6．如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）证明：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，AD＝10，求线段BF的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°∴∠CED＝∠F，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC．∴，∵AB＝CD＝3，AE＝4，AD＝10，∴DE＝6，∴，∴BF＝5．答：线段BF的长为5．7．如图，已知AB∥MN，BC∥NG．（1）求证：；（2）在此图中你还有什么发现？请直接写出2个结论．【解】证明：（1）如图所示：∵AB∥MN，∴△AOB～△MON，∴，又∵BC∥NG，∴△BOC～△NOG，∴，∴；（2）△AOB～△MON，△BOC～△NOG，△AOC∽MOG 等，证明过程见第（1）的步骤．8．如图，矩形CDEF两边EF、FC的长分别为8和6，现沿EF、FC的中点A、B截去一角成五边形ABCDE，P是线段AB上一动点，试确定AP的长为多少时，矩形PMDN的面积取得最大值．【解】延长MP，交EF于点Q．如图所示：设AP的长x，矩形PMDN的面积为y．∵四边形CDEF为矩形，∴∠C＝∠E＝∠F＝90°．∵四边形PMDN为矩形，∴∠PMD＝∠MPN＝∠PND＝90°．∴∠PMC＝∠QPN＝∠PNE＝90°．∴四边形CMQF、PNEQ为矩形．∴MQ＝CF，PN＝QE，且PQ∥BF．∵EF、FC 的中点分别为A、B，且EF＝8，CF＝6，∴AF＝4，BF＝3，∴AB＝＝5，∵PQ∥BF，∴△APQ ∽△ABF．∴＝＝．即＝＝．解得：AQ＝x，PQ＝x．∴PN＝QE＝AQ+AE＝x+4，PM＝MQ﹣PQ＝6﹣x．∴y＝PN•PM＝（x+4）（6﹣x）＝﹣x2+x+24．当x＝﹣＝时，y取得最大值．即当AP＝时，矩形PMDN的面积取得最大值．9．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．【解】（1）∵DF∥AE，∴＝，即＝，解得，EF＝4；（2）∵DF∥AE，∴△BDF∽△BAE，∴＝，即＝，解得，EA＝．10．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD：DE＝3：5，AE＝16，BD＝8，（1）求证：△ACD∽△BED；（2）求DC的长．【解】（1）∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD∽△BED；（2）∵△ACD∽△BED，∴＝，又∵AD：DE＝3：5，AE＝16，∴AD＝6，DE＝10，∵BD＝8，∴＝，即＝．∴DC＝．11．如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE＝DG；（2）若∠B＝60°，且四边形AECG是正方形时，求的值．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∠B＝∠D，由平移的性质得：AE∥GC，∵AE是BC边上的高，∴AE⊥BC，∠AEB＝90°，∴GC⊥AD，∴∠CGD＝90°，在△ABE和△CDG中，，∴△ABE≌△CDG（AAS），∴BE＝DG；（2）解：∵∠AEB＝90°，∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB，AE＝BE，∵四边形AECG是正方形，∴CE＝AE＝BE，∴BC＝CE+BE＝（+1）BE，∴＝＝．12．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△EGB；（2）若AB＝4，求CG的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；（2）∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝＝2，由（1）知，△ABE∽△EGB，∴＝，即：＝，∴BG＝10，∴CG＝BG﹣BC＝10﹣4＝6．13．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．交CB的延长线于M．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点O作ON ∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ON＝BC＝2，BN＝AB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴＝，即＝，解得，BE＝1．14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴＝＝，∴BF＝AD＝BC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴△FGC∽△DGA，∴＝，即＝，解得，FG＝2．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．（1）求证：△DBE是等腰三角形；（2）求证：△COE∽△CAB．【解】证明：（1）连接OD，如图所示：∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ADO，∴∠BDE＝∠CBA，∴EB＝ED，∴△DBE是等腰三角形；（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，∴CB是⊙O的切线，∵DE是⊙O 的切线，∴DE＝EC，∵EB＝ED，∴EC＝EB，∵OA＝OC，∴OE∥AB，∴△COE∽△CAB．16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，求△BEF与△DCB的面积比．【解】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴BE＝AB＝CD，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴，∴，又∵，∴．17．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF∽△EBA．【解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠DF A＝∠BAE，∴△ADF∽△EBA．18．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BC＝3CD，分别过点B，D作AD，AB的平行线，并交于点E，且ED交AC于点F，AD＝3DF．（1）求证：△CFD∽△CAB；（2）求证：四边形ABED为菱形；（3）若DF＝，BC＝9，求四边形ABED的面积．【解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）证明：∵EF ∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD ∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA＝＝4，∴AE＝8，∴四边形ABED的面积＝AE×BD＝×8×6＝24．19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF＝BD．BF的延长线交AC于点E．（1）求证：AB•AD＝AF•AC；（2）若∠BAC ＝60°．AB＝4，AC＝6，求DF的长；（3）若∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，直接写出的值．【解】（1）∵AD平分∠BAC∴∠BAF＝∠DAC又∵BF＝BD∴∠BFD＝∠FDB∴∠AFB＝∠ADC∴△AFB∽△ADC∴．∴AB•AD＝AF•AC（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH＝AB＝2，CN＝AC ＝3∴AH＝BH＝2，AN＝CN＝3∴HN＝∵∠BHD＝∠CDN∴△BHD∽△CND∴∴HD＝又∵BF＝BD，BH⊥DF∴DF＝2HD＝（3）由（1）得①，易证△ABD，△AEF，△BFD均为顶角为30°的等腰三角形∴AB＝AD，AE＝AF，BF＝BD易证△ABD∽△AEF∴②∴①×②得＝＝，过F作FG⊥AB于G，设FG＝x，则AF＝2x，BF＝x，AG＝x，BG＝x∴AB＝（+1）x，∴＝＝4﹣220．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于E．（1）求证：△ADC∽△BEC；（2）若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．【解】（1）∵在四边形ABDE中，∠ABD+∠AED＝180°，∴∠BAE+∠BDE＝180°，∴点A、B、D、E 四点共圆，∴∠DAE＝∠DBE．又∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC；（2）∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝．∵D为BC中点，∴BD＝DC＝2．在Rt△ABD中，AD＝．在Rt△CDE 中，∠C＝30°，CD＝2，所以CE＝3．∵△ADC∽△BEC，∴，即，解得BE＝．所以BE长为．21．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为8，AE＝2，求⊙O的半径．【解】（1）∵∠GAF+∠ADF＝90°，∠CDF+∠ADF＝90°，∴∠GAF＝∠CDF．∵⊙O经过点C、D、G、F，∴∠FCD+∠FGD＝180°．又∵∠AGF+∠FGD＝180°，∴∠AGF＝∠DCF．∴△AFG∽△DFC；（2）在Rt△AED和Rt△AFD中tan∠ADF＝．∵△AFG∽△DFC，∴，即，解得AG ＝2．∴GD＝8﹣2＝6．连接GC，∵∠GDC＝90°，∴GC为直径．在Rt△GDC中，GC＝＝10，所以⊙O的半径为5．22．已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠A＝30°．（1）求证：AC＝PC；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC＝18，求⊙O的面积．【解】（1）证明：连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，即∠COP+∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∵∠COP是△AOC的一个外角，∴∠COP＝2∠CAO＝60°，∴∠P＝∠CAO＝30°，∴AC＝PC；（2）解：连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD＝∠DAE，又∠ADC＝∠EDA，∴△ACD ∽△EAD，∴＝，即AD2＝DC•DE，∵DC•DE＝18，∴AD＝3，∵＝，∴AD＝BD＝3，∵AB是⊙O的直径，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AB＝6，∴OA＝AB＝3，∴S⊙O＝π•OA2＝9π．23．如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB、DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，连接AC．（1）求证：△ACD∽△EAD；（2）若圆O的半径为5，AF＝2BE＝4，求证：AC＝AD．【解】（1）∵DF过圆心O交AB于F，AF＝FB，∴DF垂直平分AB．∴弧AD＝弧BD，∴∠DCA＝∠DAB．又∵∠ADC＝∠EDA，∴△ACD∽△EAD；（2）连结OA，在Rt△AFO中，OF＝3，DF＝8，在Rt△DEF中，EF＝6，∴DE＝10．∵AE＝10，∴DE＝AE．∴∠ADE＝∠DAE．∴弧AC＝弧BD．∴AC＝BD．又弧AD ＝弧BD，∴AD＝BD．∴AC＝AD．24．如图，已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为4，弦AC与BD的交点为E，OA与BD相交于点F，AB＝AD．（1）求证：AB2＝AE•AC；（2）若AE＝EC，AF＝2，求△BCD的面积．【解】（1）证明：∵AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB又∵∠ADB＝∠ACB∴∠ABD＝∠ACB而∠BAE＝∠CAB∴△ABE∽△ACB∴即：AB2＝AE•AC得证．（2）连接OB，如下图所示∵AE＝EC∴S△BAE＝S△BCE，S△DAE＝S△DCE∴S△BCD＝S△BAD又∵AB＝AD∴OA⊥BD且BF＝DF∵AF＝2，OA＝OB ＝4∴BF＝DF＝2∴BD＝4∴S△BAD＝×BD×AF＝×4×2＝4而S△BCD＝S△BAD故△BCD的面积为4．25．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．【解】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（1）得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD ＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．∴BE＝．∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．26．如图，点D，E在线段BC上，△ADE是等边三角形，且∠BAC＝120°（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若BD＝2，CE＝8，求BC的长．【解】（1）证明：∵∠BAC＝120°，∴∠BAD+∠EAC＝60°，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED ＝60°，∴∠BAD+∠B＝60°，∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠B＝∠EAC，又∠ADB＝∠AEC，∴ABD∽△CAE；（2）解：∵ABD∽△CAE，∴＝，即AD2＝BD•CE＝16，解得，AD＝4，则DE＝4，∴BC＝BD+DE+EC＝14．27．如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若CE＝2，CD＝4，求△ABC的面积．【解】证明：（1）∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴CD＝AB＝AD，∴∠A＝∠ACD．∵DE∥AC，∴∠CDE＝∠ACD＝∠A，又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DEC．（2）在Rt△DEC中，DE＝，△CDE的面积为×2×4＝4．∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝8．∵△ABC∽△DEC，∴，即，∴△ABC的面积为．28．如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB．（1）求证：△ABE∽△ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求CD的长．【解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACB；（2）∵△ABE∽△ACB，∴，即，解得AC＝9．∴CE＝9﹣AE＝5．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴，即，解得CD＝．29．已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点，PQ⊥AQ．求证：BP＝3CP．【解】证明：∵PQ⊥AQ，∴∠AQD+∠PQC＝90°．∵∠C＝∠D＝90°，∴∠DAQ+∠AQD＝90°．∴∠DAQ＝∠PQC．∴△DAQ∽△CQP．∵Q是CD的中点，∴．∴，∴AD＝4CP．．∵AD＝BC，∴BC＝4CP，∴BP＝3CP．30．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP与DE、CD分别交于点G、F．DF＝2CF，AB＝6，求DG的长．【解】在正方形ABCD中，有△PCF∽△PBA∴而DF＝2CF，即CF＝CD∴＝∴＝即而AB＝BC＝6，∴PC＝3又∵点E是BC的中点∴DE＝3，PE＝6∵AD∥EP∴△PGE∽△AGD ∴而PE＝AD＝6，∴GE＝GD＝故DG的长为．31．已知，在Rt△ABC中，以斜边AB上的高CD为直径作了一个圆，圆心为点O，这个圆交线段BC于E点，点G为BD的中点．（1）求证：GE为⊙O的切线；（2）若＝，GE＝6，求AD的长．【解】（1）证明：连接OE、DE、OG，∵CD为⊙O的直径，∴∠CED＝90°，∵点G为BD的中点，∴GE＝BD＝DG，在△GEO和△GDO中，，∴△GEO≌△GDO（SSS）∴∠GEO＝∠GDO＝90°，∴GE为⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB＝90°，∠CDA＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴tan B＝＝，∴tan∠ACD＝＝，∴AD＝CD＝GE＝3．32．如图，▱ABCD中，E是AB中点，AC与DE交于点F．（1）求证：△DFC∽△EF A．（2）若AC⊥DE，AB＝2，AF＝2，求DF长．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AB＝CD，∴△DFC∽△EF A；（2）解：∵E 是AB中点，∴AE＝AB＝，∵AC⊥DE，∴∠AFE＝90°，∴FE＝＝1，∵△DFC∽△EF A，∴＝＝，∴DF＝2EF＝2．33．已知四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF＝EB，△DGC∽△ADC．（1）求证：CD＝CF；（2）H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC＝2∠HAG，AD＝5，DC＝3，求的值．【解】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，在△ADC和△ABC中，∴△ADC ≌△ABC（SAS），∴CD＝CB，∵CE⊥AB，EF＝EB，∴CF＝CB，∴CD＝CF；（2）解：∵△DGC∽△ADC，∴∠DGC＝∠ADC，∵∠ADC＝2∠HAG，∴∠DCG＝2∠HAG，∵∠DGC＝∠HAG+∠AHG，∴∠HAG＝∠AHG，∴HG＝AG，∵∠GDC＝∠DAC＝∠F AG，∠DGC＝∠AGF，∴△DGC∽△AGF，∴△AGF∽△ADC，∴＝＝，即＝．34．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．【解】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，∴△DMA∽△BMC，∴＝，∴DM•MC＝BM•MA；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，∵⊙O半径为2，∴AH＝∵AC＝2AH，∴AC＝2．35．已知：如图，在△ABC中，D在边AB上．（1）若∠ACD＝∠ABC，求证：AC2＝AD•AB；（2）若E为CD中点，∠ACD＝∠ABE，AB＝3，AC＝2，求BD的长．【解】（1）在△ABC和△ACD中，∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，故，即AC2＝AD⋅AB，（2）过C作CF∥EB交AB的延长线于F，由于E为CD中点，故BF＝BD，∠F＝∠ABE，而∠ACD＝∠ABE，∴∠ACD＝∠F，∴在△AFC和△ACD中，∠ACD＝∠F，∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACD，∴，∴AC2＝AD•AF，又∵AB＝3，AC＝2，∴22＝（3﹣BD）（3+BD），∴BD＝．36．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，EF⊥CE于点E（1）求证：△AEF∽△BCE．（2）若，求的值．【解】（1）∵∠A＝∠B＝90°，∠FEC＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AEF+∠CEB＝90°．∴∠AFE ＝∠CEB．∴△AEF∽△BCE；（2）由，设BE＝x，则AE＝2x，AB＝3x＝BC．∵△AEF∽△BCE，∴＝．37．如图，已知▱ABCD，点E在边BC延长线上，连接AE，如果∠EAC＝∠D．（1）求证：△EAC∽△EBA；（2）若＝，求的值．【解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B，又∠E ＝∠E，∴△EAC∽△EBA；（2）解：△EAC∽△EBA，＝，∴＝＝＝，∴EC＝EA，EB ＝EA，则＝．38．如图，E是边长为4的正方形ABCD的边AB上的点，且AE＝1，EF⊥DE交BC于点F，求线段CF的长．【解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵EF⊥DE，∴∠BEF+∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴△ADE∽△BEF，∴＝，即＝，解得，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝．39．如图，AB∥CD∥EF，点C在AE上，点G在EF上，AF、BG交于点D，已知CD＝5米，EG＝6米，GF＝9米，求AB的长．【解】∵CD∥EF，∴△ACD∽△AEF，∴＝，即＝＝，∴＝，∵AB∥EF，∴△ADB ∽△FDG，∴＝，即＝，解得，AB＝4.5（米）．40．已知：如图，△ABC中，AD是角平分线，点E在AC上，∠ADE＝∠B，求证：AD2＝AE•AB．【解】证明：∵AD是角平分线，∴∠BAD＝∠DAC，又∵∠ADE＝∠B，∴△ABD∽△ADE，∴＝，∴AD2＝AE•AB．41．如图，在矩形ABCD中，点M是CD的中点，MN⊥BM交AD于N，连BN；（1）求证：BM平分∠NBC；（2）若＝，求的值．【解】（1）证明：延长BM交AD的延长线于H，在△BMC和△HMD中，，∴△BMC≌△HMD，∴BM＝MH，又MN⊥BM，∴NB＝NH，∴∠NBM＝∠NHM，∵AH∥BC，∴∠MBC＝∠NHM，∴∠MBC＝∠NBM，即BM平分∠NBC；（2）解：设DN＝a，则DC＝AB＝4a，∴DM＝MC＝2a，由勾股定理得，MN＝＝a，由（1）得，∠BNM＝∠MND，∠BMN＝∠MDN，∴△BMN∽△MDN，∴＝＝，∴BM＝2a，由勾股定理得，BN＝＝5a，则AN＝＝3a，∴＝＝．42．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB．【解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＝∠BDE+60°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB．43．如图，△ABC中，DE∥BC，△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，OE＝4，求BE的长．【解】∵△ADE的面积等于6，△DEC的面积等于9，∴＝，∴＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE ∽△ABC，∴＝＝＝，∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OB＝10，∴BE＝OB+OE＝14．44．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠1＝∠2＝∠3．（1）求证：DE•AB＝BC•AE；（2）求证：∠AEB＝∠ADC．【解】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠BAC＝∠EAD，∵∠AED＝∠1+∠ABD，∠ABC＝∠3+∠ABD，∠1＝∠3，∴∠ABC＝∠AED，∴△ABC∽△AED，∴＝，∴DE•AB＝BC•AE；（2）证明：∵△ABC∽△AED，∴＝，∴＝，∵∠1＝∠2，∴△ABE∽△ACD，∴∠AEB＝∠ADC．45．已知：如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点E，∠BED＝60°，DE＝OE＝4．求：（1）CE的长；（2）⊙O的半径．【解】（1）作OF⊥CD于F，如图1所示：则CF＝DF，∠OFC＝∠OFE＝90°，∵∠OEF＝∠BED＝60°，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE＝2，∴CF＝DF＝DE+EF＝4+2＝6，∴CE＝CF+EF＝6+2＝8；（2）连接OC，如图2所示：∵∠EOF＝30°，∴OF＝EF＝2，由勾股定理得：OC＝＝＝4，即⊙O的半径为4．46．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若BE＝5，CD＝8，求⊙O的半径．【解】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线；（2）∵CD是⊙O的切线，BE是⊙O的切线，∴DE＝BE＝5，∠CBE＝90°＝∠CDO，∴CE＝CD+DE＝13，∴BC＝＝＝12，∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CEB，∴＝，即＝，解得：OC＝，∴OB＝BC﹣OC＝，即⊙O的半径为．47．如图，点C，P均在⊙O上，且分布在直径AB的两侧，BE⊥CP于点E．（1）求证：△EPB∽△CAB；（2）若BP＝5，BE＝4，AB＝10，求CE的长．【解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CP，∴∠ACB＝∠BEP＝90°，∵∠CAB＝∠BPC，∴△EPB ∽△CAB；（2）解：∵△EPB∽△CAB，∴＝，即：＝，解得：BC＝8，∴CE＝＝＝4．48．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弦AD与OC相交于点E，与BC相交于点F，AE＝DE．（1）求证：∠CBD＝∠OCB；（2）若⊙O的半径为2，BC＝8，求DF的长．【解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD，∵AE＝DE，∴OE⊥AD，∴OE∥BD，∴∠CBD＝∠OCB；（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACD中，AC＝＝＝4，∵OE⊥AD，∴＝，∴∠CAD＝∠ABC，又∠ACF＝∠BCA，∴△ACF∽△BCA，∴＝，即＝，解得，CF＝2，∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，∵∠ABC＝∠CBD，∠ACB＝∠FDB，∴△ABC∽△FBD，∴＝，即＝，解得，DF＝．49．如图（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝80°，AB＝8．（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．【解】（1）∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝80°，∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA，∴＝＝，∵AO＝6，∴OD＝AO＝2，∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，∴AB＝AD＝8，故答案为：80，8；（2）过点B 作BE∥AD交AC于点E，如图3所示：∵AC⊥AD，BE∥AD，∴∠DAC＝∠BEA＝90°，∵∠AOD＝∠EOB，∴△AOD∽△EOB，∴＝＝，∵BO：OD＝1：3，∴＝＝，∵AO＝6，∴EO＝AO ＝2，∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，∵∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，AB＝AC，∴AB ＝2BE，在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，解得：BE＝8，∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，解得：DC＝8．50．如图，在△ABC中，∠C＝90°，F为射线BA上一点，且满足CB2＝CE•CA，过B作BD⊥DF于D，交AC边于E．证明：∠BFD＝2∠CBD．【解】证明：如图，作AH⊥BD于H点，∵CB2＝CE•CA，即．又∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB．∴∠CBD＝∠CAB．∵∠BCE＝∠AHE＝90°，∠CEB＝∠HEA，∴∠CBD＝∠CAH．∴∠BAH＝2∠CBD．∵AH∥DF，∴∠BAH＝∠BFD．∴∠BFD＝2∠CBD．二．提高30道1．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF＝DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求DM的长．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE．∴∠CBD＝∠BDE．∵ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD．∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD＝180°，∴∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝90°．∴OD⊥DF．∵OD是半径，∴DF是⊙O的切线．（2）解：连接DC，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°．∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD．∴CD＝AD＝4，AB＝BC．∵DE＝5，∴，EF＝DE＝5．∵∠CBD＝∠BDE，∴BE＝DE＝5．∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8．∴AB＝8．∵DE∥AB，∴△ABF∽△MEF．∴∴ME＝4．∴DM＝DE﹣EM＝1．2．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：EF＝DE；（2）若AD＝4，DE＝5，求BD的长．【解答】（1）证明：∵DF为切线，∴BD⊥DF，∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠F＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠3＝∠4，∵DE∥AB，∴∠2＝∠4，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠F，∴EF＝ED；（2）解：∵∠2＝∠3，∴BE＝DE＝5，而EF＝ED＝5，∴BF＝10，∵BD为直径，∴∠BAD＝90°，∵∠3＝∠4，∠BDF＝∠BAD ＝90°，∴△BDF∽△BAD，∴＝，∴BD2＝BF•AB＝10AB，在Rt△ABD中，BD2＝AD2+AB2，∴AB2﹣10AB+16＝0，解得AB＝2或AB＝8，当AB＝2时，BD＝2＜DE（舍去）；当AB＝8时，BD＝4，∴BD的长为4．3．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交弦BC于点E，过点D作⊙O 的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：EF＝ED；（2）如果半径为5，cos∠ABC＝，求DF的。
相似三角形练习题及答案
相似三角形练习题及答案一、选择题1. 若两个三角形的对应角相等，且对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
这种说法正确吗？A. 正确B. 错误2. 三角形ABC和三角形DEF相似，AB=6cm，DE=3cm，那么AC的长度是多少？A. 4cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm3. 在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=40°，那么∠C是多少度？A. 40°B. 60°C. 80°D. 100°二、填空题4. 若三角形ABC与三角形DEF相似，且AB:DE=2:3，BC=8cm，求DE的长度。
5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=70°，求∠C的度数。
三、解答题6. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AC=4cm，DF=6cm，AB=5cm，求EF的长度。
7. 在三角形ABC中，已知AB=6cm，AC=4cm，BC=8cm，判断三角形ABC 是否为直角三角形，并说明理由。
四、证明题8. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明∠C=∠F。
9. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE=2/3，AC/DF=2/3，证明BC/EF=2/3。
五、应用题10. 在平面直角坐标系中，点A(-3,4)，B(1,-2)，C(5,6)，点D(-1,1)，E(3,-6)，F(7,3)，判断三角形ABC与三角形DEF是否相似，并求出相似比。
答案：1. A2. B3. C4. 6cm5. 80°6. 7.5cm7. 是直角三角形，因为AB²+AC²=BC²。
8. 由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三角形的性质，对应角相等，所以∠C=∠F。
9. 根据相似三角形的性质，对应边的比值相等，所以BC/EF=AB/DE=2/3。
10. 三角形ABC与三角形DEF相似，相似比为3/2。
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在AB边上，点E在AC边上，且AD=CE。
求证：△BED∽△CDE。
2.如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠XXX∠C。
求证：△BED∽△ABC。
ABF∽△ECF证明：首先根据题目中给出的比例式，可以得到：frac{BF}{AB}=\frac{BE}{BC}$$移项可得：frac{AB-BF}{AB}=\frac{BC-BE}{BC}$$化简可得：frac{AF}{AB}=\frac{CE}{BC}$$由此可知，△ABF与△ECF的两个对应角分别为∠A和∠C，因为它们有一个共同的角∠B，所以根据相似三角形的性质，可知△ABF∽△ECF。
例1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，要证明FD2=FB·FC。
证明：连接AF，因为AE=ED，所以∠EAD=∠EDA，即AD是∆AEF的角平分线，所以AF=EF，又因为AF∥BC，所以∆BFC与∆AFE相似，所以FB/AF=FC/FE，即FB·FE=FC·AF，代入AF=EF，得到FB·FC=FD2，即证。
例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA 的延长线上，CE交AD于F，要证明AC·BE=CE·AD。
证明：连接BE、CF，因为AB∥CD，所以∠BCE=∠EAD，所以∆BCE与∆EAD相似，所以BE/AD=CE/AC，即AC·BE=CE·AD，即证。
例3】如图，△ACB为等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°，要证明AB2=BE·CD。
证明：连接AE、BD，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°，所以∆ABD与∆AEC相似，所以AB/AC=BD/CE，即AB·CE=BD·AC，又因为AB=AC，所以AB2=BD·AC，代入AB·CE=BD·AC，得到AB2=BE·CD，即证。
初三相似三角形练习题含答案
初三相似三角形练习题含答案1. 某个角的度数是60°。
它的补角和它的和是多少？解答：补角是90°减去该角的度数，即90°- 60° = 30°。
和角是该角的度数加上补角的度数，即60° + 30° = 90°。
2. 给出三角形ABC，其中∠ABC = 90°, AB = 6cm，AC = 8cm。
根据比例的性质，我们可以得出DE = ? （ADE与ABC相似，DE = x cm）解答：由三角形相似的性质可知，AB/DE = AC/AD。
代入已知条件可得6/DE = 8/AD。
交叉相乘得到8DE = 6AD，进一步可以得到4DE = 3AD。
根据题意可知AD = AE + DE，即8 = AE + x。
将此代入前面的等式中，可以得到4x = 3(8-x)。
解这个方程可以得到x = 6。
所以DE = 6cm。
3. 已知两个三角形ABC和DEF相似。
已知BC = 12cm，EF = 8cm，且BC/EF = 3/2。
求AB的长度。
解答：根据相似三角形的性质，AB/DE = BC/EF。
代入已知条件得到AB/8 = 12/8。
交叉相乘可得到8AB = 12 × 8，即AB = 12 × 8 ÷ 8 =12cm。
所以AB的长度为12cm。
4. 两个三角形相似，已知小三角形的面积为25cm²，大三角形的面积是多少？解答：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，它们对应边的比例的平方等于对应高的比例的平方。
假设小三角形的面积为S，大三角形的面积为T，对应边的比例为k，对应高的比例为h，那么我们可以得到：T/S = (k² × h²)/(k² × h²) = (k² × h²)/(1) = k² × h²根据题意，已知小三角形的面积为25cm²，所以S = 25。
相似三角形(8大题型)(48道压轴题专练)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册单元速记巧
相似三角形（8大题型）（48道压轴题专练） 压轴题型一 相似形压轴题型1．（20-21九年级上·重庆渝中·期末）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别是A （－2，2），B （－4，1），C （－1，－1）．以点C 为位似中心，在x 轴下方作△ABC 的位似图形△A'B'C ．并把△ABC 的边长放大为原来的2倍，那么点A'的坐标为( )A ．（1，－6）B ．（1，－7）C ．（2，－6）D ．（2，－7）2．（23-24八年级下·山东淄博·(2)ABCD AD AB AD <<纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，在余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形．若剪去两个菱形后余下的平行四边形与原平行四边形ABCD 相似，则平行四边形ABCD 的相邻两边AD 与AB 的比值是 ．3．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形ABCD的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的12，画出缩小后的四边形111AB C D，再在AB上画点E，使得DE平分四边形ABCD的周长；(2)在图2中，先在AB上画点F，使得CF BC=，再分别在AD，AB上画点M，N，使得四边形BCMN 是平行四边形．4．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为()1a a³，宽为1．一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则a的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则a的值为______．一分为多（3）有同学说“无论a为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例．一分为三（4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的a 的值．5．（20-21八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形ABCD ∽四边形A B C D ¢¢¢¢，且62A Ð=°，75B Ð=°，140D Т=°，9AD =，11A B ¢¢=，6A D ¢¢=，8B C ¢¢=．(1)请直接写出：C Ð= 度；(2)求边AB 和BC 的长．6．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点坐标分别为()1,1A ，()3,2B ，()2,3C （每个方格的边长均为1个单位长度），请按下列要求画图：(1)111A B C △与ABC V 关于原点O 成中心对称，画出111A B C △并写出点1A 的坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将ABC V 放大，画出放大后的222A B C △并写出点2B 的坐标；(3)根据信息回答问题：已知ABC V 的面积为32，AB ，请直接写出222A B C △的面积和22A B 边上的高的值．压轴题型二 比例线段压轴题型1．（2020古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底0.618≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm2．（2024·四川乐山·一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MG GN MN MG ==这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC V 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE V 的面积为 ．3．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果()0a c e k b d f b d f ===++¹，那么a c e k b d f++=++．理由如下：∵()0a c e k b d f b d f===++¹∴a bk =，c dk =，e fk =（第一步）∴()k b d f a c e bk dk fk k b d f b d f b d f++++++===++++++（第二步）(1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，()k b d f k b d f ++=++应用了______的基本性质；(2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题：①如果22567a b c ===，则218a b c ++=______；②已知0345x y z ==¹，求23x y z x y z -++-的值．4．（23-24九年级上··的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽1AB =．(1)黄金矩形ABCD 的长BC = ；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE ，求点D 到线段AE 的距离．5．（22-23九年级上·浙江·周测）若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+×+×+的值．6．（23-24九年级下·山东淄博·期末）已知a ，b ，c ，d 为四个不为0的数．(1)如果3a b =，求a b b +与a b a b -+的值；(2)如果(),a c a b c d b d =¹¹，求证a c b a d c =--；(3)如果a c a b d b +=+，求证a c b d=．压轴题型三 相似三角形的判定压轴题型1．（21-22九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ^F ，连接DF ，分析下列四个结论，①AEF CAB △∽△，②CF 2AF =；③DF DC =；④CD AC =．其中正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC V 中，4AB BC ==，D 为BC 上一点，E 为BC 延长线上一点，且45DAE =°∠，2AE AD =，则BD = ．3．（2024·广东梅州·模拟预测）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点C ，D 分别在边DC ，BC 上，AB AB ^，垂足为点G ．求证：ADE DCF ∽V V ．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H Ð=Ð．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E F 分别在边DC ，BC 上，10AE DF ==，7DE =，60AED Ð=°，求CF 的长．4．（2024·山西晋中·二模）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以正方形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，正方形ABCD 中，4AB =，点E ，F 分别是边AB ，AD 的中点，连接EF ，点G 是线段EF 上的一个动点，连接AG ，将线段AG 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到AH ，连接HD ，GB ．猜想证明：（1）针对老师给出的问题背景，“智慧小组”发现GB HD =，请你证明这一结论；操作探究：（2）“善思小组”提出问题：如图2，当点G 为线段EF 的中点时，连接FH ，试判断四边形AGFH 的形状，并说明理由；深入探究：（3）“创新小组”BG 与直线DH 交于点M ，当AHD V 为直角三角形时，请直接写出四边形AGMH 的面积．5．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，在四边形ABCD 中，120ABC Ð=°，60ADC Ð=°，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC AD =，BD 平分ABC Ð．(1)求证：DB AB CB =+；(2)如图2，过点D 作DE AB ∥，使DE BC =，连接AE ，取AE 中点 F ，连接DF ，求证：22AC DF OD =×．6．（23-24九年级上·湖南常德·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD Ð=Ð=°，连接AC BD ，，过点A 作AE AC ^交CB 的延长线于点E ，求证：E ACD Ð=Ð．（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，（1）中的其它条件不变，点M ，N 分别是BD EC ，的中点，连接AN AM ，，MN ．①求证：AE AC =﹔②求证：N ABE AM ∽△△．压轴题型四 相似三角形的性质压轴题型1．（22-23九年级上·上海长宁·期中）已知点D 在ABC V 的边BC 上，联结AD ，如果ABD △与ACD V 相似，那么下列四个说法：①BAD C Ð=Ð；②AD BC ^；③2AD BD CD =×；④22AB BD AC CD =．一定成立的是（ ）．A ．②④B ．①③C ．①②③D ．②③④2．（2024·上海浦东新·三模）如图，在ABC V 中，3AC BC ==，90C Ð=°，点D 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AD ，点E 在边AB 上，EDB ADC Ð=Ð．已知点H 在射线AC 上，连接EH 交线段AD 于点G ，当1CH =，且AEH BED Ð=Ð时，则BE AB = ．3．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图1，矩形ABCD ，点E ，点F 分别为AD ，BC 上的点，将矩形沿EF 折叠，使点B 的对应点B ¢落在CD 上，连接BB ¢．(1)如图2，当点B ¢与点D 重合时，连接BE ，试判断四边形BEB F ¢的形状，并说明理由；(2)若6AB =，8BC =，求折痕EF 的最大值．4．（23-24八年级下·山东东营·期末）综合与探究(1)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC CD ，上，且AE BF ^，则线段AE 与BF 的之间的数量关系为_____________；(2)【类比探究】如图2，在矩形ABCD 中，35AB AD ==，，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且AE BF ^，请写出线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．(3)【拓展延伸】如图3，在Rt ABC V 中，9046ABC AB BC Ð=°==，，，D 为BC 上一点，且2BD =，连接AD ，过点B 作BE AD ^于点F ，交AC 于点E ，求BE 的长．5．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边ABC V ，以AC 为斜边向外作Rt ACD △，定义Rt ACD △为等边ABC V 的“关联直角三角形”，连接BD 交AC 于点E ，下面我们来研究与DE BE的值有关的问题．(1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，DE BE的值为______；(2)如图②，当“关联直角三角形”是含30°的直角三角形时，求DE BE的值；(3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若16,3DE AB BE ==，求BD 的值．6．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF Ð=°，求AC BD 的值．压轴题型五 相似三角形的应用压轴题型1．（2024·浙江温州·三模）图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径CD 为5尺，不知其深AD ．立5尺长的木CE 于井上，从木的末梢E 点观察井水水岸A 处，测得“入径CF ”为4寸，问井深AD 是多少？（其中1尺10=寸）”根据译文信息，则井深AD 为（ ）A ．500寸B ．525寸C ．550寸D ．575寸2．（2022·浙江金华·一模）将一本高为17cm （即17cm EF =）的词典放入高（AB ）为16cm 的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处8cm ，若此时将词典无滑动向右倒，书角H 的对应点H ¢恰为CD 中点．（1）收纳盒的长BC = ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．3．（2024·江苏南京·一模）在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜EF 的焦距为f ，主光轴l EF ^，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，2OB OD f ==，蜡烛PQ l ^（蜡烛可移动，且OQ f >），光线PG l ∥，其折射光线GC 与另一条经过光心的光线PP ¢相交于点P ¢（P Q l ¢¢^）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高()PQ 为h ，像高()P Q ¢¢为h ¢，物距()OQ ，像距()OQ ¢为v ．(1)若10cm f =，10cm h =，15cm u =，=v cm ．(2)求证111u v f+=．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象()u f >，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？4．（23-24九年级上·河北邢台·1，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB 、CD 相交于点O ，B 、D 两点在地面上，经测量得到136cm AB CD ==，51cm OA OC ==，34cm OE OF ==，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF 成一条线段．发现：连接AC ．则AC 与EF 有何位置关系?并说明理由；探究：若32cm EF =，求利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上?5．（22-23九年级上·浙江·单元测试）如图，Rt ABC V 为一块铁板余料，90B Ð=°，6cm BC =，8cm AB =，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．6．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF //BC ，可以得到以下结论：AH EF AD BC=．拓展应用：(1)如图2，在△ABC 中，BC ＝3，BC 边上的高为4，在△ABC 内放一个正方形EFGM ，使其一边GM 在BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上，则正方形EFGM 的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm ，底边长为160cm 的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm 分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC 的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n 表示排数，y 表示每排的隔板长度，试求出y 与n 的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？压轴题型六 重心的性质压轴题型1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，点G 是ABC V 的重心，过点G 作MN BC ∥分别交AB AC ，于点M ，N ，过点N 作ND AB ∥交BC 于点D ，则四边形BDNM 与ABC V 的面积之比是（ ）A ．1:2B ．2:3C ．4:9D ．7:92．（2023·上海·一模）在Rt ABC △中，9030B BAC BC Ð=°Ð=°=，，1，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，设点E 、F 分别是ABC V 和ACD V 的重心，则两重心E 与F 之间的距离是 ．3．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E 、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 各边的中点，连接AF CE 、交于点M ，连接AG 、CH 交于点N ，将四边形AMCN 称为平行四边形ABCD 的“中顶点四边形”．(1)求证：中顶点四边形AMCN 为平行四边形；(2)①如图2，连接AC BD 、交于点O ，可得M 、N 两点都在BD 上，当平行四边形ABCD 满足________时，中顶点四边形AMCN 是菱形；②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法）4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）作图．(1)直尺作图：如图1，已知D 、E 分别为AB 、AC 中点，过点A 作AF 平分ABC V 面积；(2)直尺作图：如图2，已知AD BC ∥，在四边形ABCD 中作一点O ，使AOB COD S S =△△；(3)尺规作图：如图3，已知D 为AC 中点，点M 在BC ，在AC 上作点N 使MN 平分ABC V 面积．5．（2024·辽宁丹东·二模）阅读与思考：三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．下面是小明证明性质的过程．如图，在ABC V 中，D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，AD 、BE 相交于点G ，求证：13GE GD BE AD ==证明：连接ED ，∵D ，E 是边BC ，AC 的中点，∴DE AB ∥，12DE AB =（依据1）∴ABG DEGV V ∽∴12GE GD DE GB GA AB ===（依据2）∴13GE GD BE AD ==(1)任务一，在小明的证明过程中，依据1和依据2的内容分别是：依据1：______________________依据2：______________________(2)应用①如图，在ABC V 中，点G 是ABC V 中的重心，连接AG 并延长交BC 与点E ，若 3.5GE =，求AG 长．②在ABC V 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若ABC V 的面积等于30，求BOD V 的面积．6．（2024·河南周口·三模）（1）古往今来，人们在生产和生活中对三角形的应用层出不穷，三角形也是我们平时研究的重点，如图1，已知ABC V 是等边三角形． P 是ABC V 的重心，连接BP CP ，并延长分别交边AC AB ，于点E ，D ．试判断：①BPD Ð的度数为 ；②线段PB PD PE ，，之间的数量关系：PB PD PE +；（填写“>”“<”或“=”）（2）如图2，若在等边ABC V 中，点E 是射线AC 上一动点（其中点E 不与点A 重合，且12CE AC <），连接BE ，作边BA 关于直线 BE 的对称线段 BD ，直线CD ，BE 相交于点 P ，试探究线段PB PC PD ，，的数量关系，并说明理由．压轴题型七 平面向量的线性运算压轴题型1．（23-24九年级上·上海·期中）下列判断不正确的是（ ）A ．()222a b a b +=+r r r r ；B ．如果向量a r 与b r 均为单位向量，那么a b =r r 或a b =-r r ；C ．如果a b =r r ，那么a b =r r ；D ．对于非零向量b r ，如果()0a k b k =×¹r r ，那么a b r r P ．2．（2024·上海普陀·二模）如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，过点A 作AE DC ∥分别交BD 、BC 于点F 、E ，23BE BC =，设AD a =uuu r r ，AB b =uuu r r ，那么向量FE uuu r 用向量a r 、b r 表示为 ．3．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如图，点E 在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线上．(1)填空：BA AB +uuu r uuu r ＝ ，BA AE ED DC +++uuu r uuu r uuu r uuu r ＝ ；(2)图中与AB uuu r 相等的向量是 ，与AD uuu r 相反的向量是 ；(3)求作：DC DE +uuu r uuu r （不写作法，保留作图痕迹，写出结论）．4．（23-24八年级下·上海·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点O 是对角线AC 的中点，DO 的延长线与BC 相交于点E ，设AB a uuu r r =，AD b =uuu r r ，BE c =uuu r r ．(1)试用向量a r 、b r 、c r 表示向量：ED =uuu r ______；(2)写出图中所有与AD uuu r 互为相反向量的向量：______；(3)求作：AD OC +uuu r uuu r．（画出所求向量，并直接写出结论）5．（23-24八年级下·上海闵行·期末）如图，已知梯形ABCD 中，AB DC P ，点E 在AB 上，ED BC ∥．(1)填空：BE ED DC CB +++=uuu r uuu r uuu r uuu r ，(2)填空：BA AD DC EA ++-=uuu r uuu r uuu r uuu r ；(3)在图中直接作出AE ED AB +-uuu r uuu r uuu r ．（不写作法，写结论）6．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，已知点M 是△ABC 边BC 上一点，设AB uuu r ＝a r ，AC uuu r ＝b r ．(1)当BM MC＝2时，AM uuuu r ＝______；（用a r 与b r 表示）(2)当AM uuuu r ＝4377a b +r r 时，BM MC ＝______；(3)在原图上作出AM uuuu r 在AB uuu r 、AC uuu r 上的分向量．压轴题型八 相似三角形的动点问题1．（2020·山西·一模）如图，在ABC V 中，8AB AC ==，6BC =，点P 从点B 出发以1个单位长度/秒的速度向点A 运动，同时点Q 从点C 出发以2个单位长度/秒的速度向点B 运动，其中一点到达另一点即停．当以B ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC V 相似时，运动时间为（ ）A ．2411秒B ．95秒C ．2411秒或95秒D ．以上均不对2．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，90C Ð=°，3AC =，4BC =，动点P 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿B A ®匀速运动；同时点Q 从点A 出发同样的速度沿A C B ®®匀速运动．当点P 到达点A 时，P 、Q 同时停止运动，设运动时间为t 秒，当t 为 时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形．3．（2024·吉林长春·三模）如图，在Rt ABC △中，90ABC Ð=°，8AB =，6BC =，点D 为AC 中点，动点P 从点A 出发，沿边AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°得线段DE ，连结PE ．设点P 运动的时间为t 秒．(1)用含t 的代数式表示点P 到AC 的距离为________；(2)当点E 落在ABC V 内部（不包括边界）时，求t 的取值范围；(3)当PE 与ABC V 的一边平行时，求线段PE 的长度；(4)当经过点E 与ABC V 的一个顶点的直线平分ABC V 面积时，直接写出t 的值．4．（2024·江苏苏州·二模）如图，矩形ABCD 中，4AB ＝厘米，3BC ＝厘米，点E 从A 出发沿AB BC -匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F 从C 出发沿对角线CA 向A 匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE DF EF 、、，设运动时间为t 秒．请解答以下问题：(1)当0 2.5t ＜＜时①t 为何值时，EF AD ∥；②设DEF V 的面积为y ，求y 关于t 的函数；5．（2023·吉林松原·模拟预测）已知ABC V 中，90C Ð=°，3cm AC =，4cm CD =，BD AD =．点F 从点A 出发，沿AC CD -运动，速度为1cm/s ，同时点E 从点B 出发，沿BD DA -运动，运动速度为1cm/s ，一个点到达终点，另一点也停止运动．设AEF △ 的面积为S 2cm ，点E ，F 运动时间为t s ．(1)求BD 的长；(2)用含t 的代数式表示DE ；(3)求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．6．（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图1和2，在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点K 在CD 边上．且73CK =．点M N ，分别在,AB BC 边上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速运动，点E 在CD 边上随P 移动，且始终保持^PE AP ；点Q 从点D 出发沿DC 匀速运动，点P Q ，同时出发，点Q 的速度是点P 的一半，点P 到达点N 时停止，点Q 随之停止．设点P 移动的路程为x ．(1)当点Q 与点K 重合时，通过计算确定点P 的位置；(2)若点P 在BN 上，当BP CE =时，如图2，求x 的值；(3)在点P 沿折线MB BN -运动过程中，求点Q ，E 的距离（用含x 的式子表示）；(4)已知点P 从点M 到点B 再到点N 共用时20秒，请直接写出点K 在线段QE 上（包含端点）的总时长．。
相似三角形难题及答案-精练版
相似三角形提高训练一．填空题（共2小题）1．如图所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．2．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F．若AB=a，AD=c，BE=b，则BF=_________．二．解答题（共17小题）3．如图所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC交BC于D．求证：．4．如图所示，▱ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：．5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F．求证：．6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．8．已知：P为▱ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：．9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）．求证：．11．如图所示．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD．一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I．已知EF=FG=GH=HI=IJ，求DC：AB．12．已知P为△ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F．求证：（1）（2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2．13．如图所示．在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分∠BAC，BD⊥AE的延长线于D，且交AM延长线于F．求证：EF∥AB．14．如图所示．P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，BH⊥PC于H．求证：QH⊥DH．15．已知M是Rt△ABC中斜边BC的中点，P、Q分别在AB、AC上，且PM⊥QM．求证：PQ2=PB2+QC2．16．如图所示．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB，CF平分∠BCD．求证：EF∥BC．17．如图所示．在△ABC内有一点P，满足∠APB=∠BPC=∠CPA．若2∠B=∠A+∠C，求证：PB2=PA•PC．（提示：设法证明△PAB∽△PBC．）18．已知：如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB=2：1．求证：CE⊥AD．19．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：GE的值．20.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．求证提示：要证明如几何题的常用方法：①比例法：将原等式变为，故构造成以a+b、b为边且与a、c所在三角形相似的三角形。
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)
初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)初中数学经典相似三角形练习题(附参考答案)一、题目描述在初中数学中，相似三角形是一个非常重要的概念。
本文为您提供一些经典的相似三角形练习题，通过解答这些练习题可以提高学生的解题能力和对相似三角形的理解。
本文附有详细的参考答案，供学生进行自我检测和复习。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF相似，AB = 6cm，BC = 8cm，AC = 10cm，DE = 9cm，计算EF的长度。
2. △ABC与△DEF相似，AB = 2cm，BC =3.5cm，AC = 4cm，EF= 7cm，求DE的长度。
3. 在△ABC中，角A的度数为50°，角B的度数为70°，BC = 8cm。
若与△ABC相似的三角形的边长分别为10cm和12cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
4. 在△ABC中，∠B = 90°，AC = 10cm，BC = 12cm。
若与△ABC相似的三角形的第二边为16cm，求与△ABC相似的三角形的第三边的长度。
5. 已知△ABC与△DEF相似，AB = 6cm，AC = 8cm，DE = 12cm，若EF = 18cm，求BC的长度。
6. 高度为5cm的小树和高度为12cm的大树的影子长度之比为2:3。
如果小树的影子长度为10cm，求大树的影子长度。
7. 一个航拍无人机垂直飞行，发现自己离地面的垂直距离与航拍无人机的长度（包括机身和旋翼）的比例为3:2。
如果航拍无人机的长度为120cm，求离地面的垂直距离。
8. 在一个旅游小组中，由5名成年人和7名儿童组成，其平均年龄为30岁。
如果另一个旅游小组由2名成年人和3名儿童组成，其平均年龄为24岁。
求这两个旅游小组的总年龄之比。
三、参考答案1. 根据相似三角形的性质可知，EF与AC的比例应与DE与BC的比例相等。
即 EF/AC = DE/BC。
代入已知值，得 EF/10 = 9/8。
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1． 已知 D 是△ABC 的边 AB 上的一点，AB=12，AC=15，AD= 使△ADE 与△ABC 相似，并求 AE 的长．
2 AB ．在 AC 上求一点 E， 3
பைடு நூலகம்
2. 如图所示，△ABC 的高 AD，BE 交于点 F，则图中的相似三角形 共有______对．
3. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90° ，过点C作对角线BD的垂线交BD、AD 于点E、
AD ． F．求证： CD2 DF·
1
4.如图，在△ ABC 中，∠BAC=90° ， AH⊥ BC 于 H，以 AB 和 AC 为边在 Rt△ ABC 外作等 边△ABD 和△ACE，判断△BDH 与△AEH 是否相似，说明理由．
5.如图，坐标系中，O(0，0)、A(6， 6 3 )，B(12，0)，将△OAB 沿 直线 CD 折叠，使点 A 恰好落在线段 OB 上的点 E 处，若
OE 24 ，则 CE：DE 的值是 5
.
6.已知 D 是 BC 边延长线上的一点，BC=3CD，DF 交 AC 边于 E 点，且 AE=2EC．试求 AF 与 FB 的比．
2