英文版greene 计量经济学Ch5

var(Pu) = E(Puu' P' ) = σ 2I GLS 估计量：
βˆ = ( X ' P' PX )−1 X ' P' PY = ( X ' Ω −1 X )−1 X ' Ω −1Y
var(βˆ ) = σ 2 ( X ' Ω −1 X )−1
σˆ 2 = (Y − Xβˆ)' Ω −1(Y − Xβˆ) /(n − k) 线性约束检验：
4. 扰动项的异方差与自相关
对模型： Y = Xβ + u
假定： u ~ N (0, Ωσ 2 )
4.1 ML 估计
L = f (u) = 2π σ −n/ 2 −n Ω −1/ 2 exp[− 1 u' (Ωσ 2 )−1u] 2
l
= − n ln(2π ) − 2
n ln σ 2 2
− 1 ln Ω 2
"
∂2l ⎤'
∂θ1∂θ k
⎥ ⎥
" % "
∂2l ⎥
∂θ 2 ∂θ # ∂ 2l
k
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
∂θ
2 k
⎥⎦
(3) 渐进有效性
n (θˆ − θ ) →d
N (0,−E( 1 H )−1) n
(4) 不变性
如果 g(θ ) 是θ 的连续函数，则 g(θˆ) 是 g(θ ) 的 MLE。
(5)
定义 s(θ )
βˆIV
=β
+ (1 n
X ' Z (Z ' Z )−1 Z ' X )−1( 1 n
X ' Z (Z ' Z )−1 Z ' u)
p lim βˆIV = β
5.1 IV 估计的特例
如果工具变量个数与解释变量个数相等。
βˆIV = (Z ' X )−1 Z 'Y var(βˆ) = σ 2 ( X ' Z (Z ' Z )−1 Z ' X )−1
2
(Y
−
Xβ )' (Y
−
Xβ )
解析式：
∂l ∂βˆ
=
0
∂l ∂σˆ 2
=
0
估计量：
βˆ = ( X ' X )−1 X 'Y
σˆ 2 = (Y − Xβ )' (Y − Xβ ) / n
估计量的协方差矩阵：
H
=
⎢⎡− ⎢ ⎢−
X'X
σ2 X 'u
⎣ σ4
− n
X 'u ⎤
σ −
4
u
'
u
⎥ ⎥ ⎥
n (θˆ − θ ) = −H −1[ ns(θ )] − nH −1RT
2. 线性 MLE
n (θˆ − θ ) →d H −1[ ns(θ )]
n (θˆ − θ ) →d
N (0,−E( 1 H )−1) n
Y = Xβ + u 正态性假定
l
=
−
T 2
ln(2π )
−
T 2
ln σ
2
−
1 2σ
uˆR = Y − XˆβˆR
uˆUR = Y − XβˆUR
F
=
(uˆ'uˆR − uˆ'uˆUR ) / uˆ'uˆUR /(n − k )
q
~a
F(q, n
−
k)
说明：检验统计量渐进有效
H0 : Rβ = r
（Rβˆ－r）'[R
(
X uˆ'
' Ω −1 X )−1)R' ]−1 Ω −1uˆ（/ n − k）
(Rβˆ－r)
/
q
～F（q，n
−
k）
更一般型式：
u ~ N (0,V )
βˆ = ( X 'V −1 X )−1 X 'V −1Y
var(βˆ) = ( X 'V −1 X )−1
=
0
(1) 一致性
(2) 渐进正态性
θˆ ~a N (θ , Inf (θ )−1) Inf (θ ) 为信息矩阵。
Inf
(θ
)
=
E ⎢⎡⎜⎛ ⎢⎣⎝
∂l ∂θ
⎟⎞⎜⎛ ⎠⎝
∂l ∂θ
⎟⎞
'
⎤ ⎥
⎠ ⎥⎦
=
−
E
⎡ ⎢ ⎣
∂ 2l ∂θ∂θ
⎤
'
⎥ ⎦
其中：
∂l ∂θ
=
⎡ ⎢ ⎣
∂l ∂θ1
"
∂l ⎤'
2σ 4 σ 6 ⎦
⎡X'X
Inf
⎢ =⎢
σ2
⎢0 ⎣
0
⎤ ⎥
n
⎥ ⎥
2σ 2 ⎦
⎡σ 2 ( X ' X )−1 Inf −1 = ⎢
⎢0 ⎣
0⎤
2σ
2
⎥ ⎥
n⎦
注：系数和扰动项方差的估计量相互独立。
极大似然函数值：
max .l = cont − n ln(uˆ'u) 2
根据残差可以进行极大似然函数的迭代。
∂θ k
⎥ ⎦
∂
∂l ∂θ
/ ∂θ1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
⎡ ∂2l
⎢ ⎣
∂θ12
"
∂2l ⎤'
∂θ1∂θ k
⎥ ⎦
海塞矩阵：
⎡ ∂2l
⎢ ⎢
∂θ12
H
=
∂ 2l ∂θ∂θ '
=
⎢ ∂2l
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
∂θ 2 ∂θ1 # ∂ 2l
⎢⎣ ∂θk ∂θ1
∂ 2l
∂θ1∂θ 2 ∂ 2l
∂θ
2 2
#
∂ 2l
∂θ 2 ∂θ k
=
∂l ∂θ
，则 E(s)
=
0，
var(s)
=
Inf
(θ )
。
∫ ∫ " f (Y1,",Yn ,θ )dY1 " dY2 = 1
∫" ∫
∂f ∂θ
dY
=
0
E(s)
=
∫
"
∫
∂l ∂θ
fdY
=0
var(s) = E(ss' ) = −E(H ) = Inf (θ )
说明：信息矩阵与海塞矩阵的期望值：
∫
−
1 2σ 2
(Y
−
Xβ )' Ω −1(Y
−
Xβ )
解析式：
∂l ∂βˆ
=
0
∂l ∂σˆ 2
=
0
估计量：
βˆ = ( X ' Ω −1 X )−1 X ' Ω −1Y σˆ 2 = (Y − Xβˆ)' Ω −1(Y − Xβˆ) / n 4.2 GLS 估计 设非奇异矩阵：
P' P = Ω −1 PY = PXβ + Pu
"
∫
∂l ∂θ
fdY
=0
∫
"
∫
(
∂ 2l ∂θ∂θ
'
f
+ ∂l ∂θ
∂f )dY ∂θ '
=0
∂f ∂θ '
=
∂l ∂θ '
f
∫
"
∫
(
∂2l ∂θ∂θ
'
+
∂l ∂θ
∂l ) fdY ∂θ '
=0
E(ss' ) = −E(H )
MLE 的分布
s(θˆ) = 0
在 0 值邻域内进行二阶泰勒展开
s(θˆ) = s(θ ) + H (θˆ − θ ) + RT
3. LR、Wald、LM 检验统计量
线性约束： Rβ = r
其中：R 是 q × k 的常数矩阵，r 是 q ×1 的常数向量。
3.1 似然比检验
似然比： λ
=
LR LUR
大样本检验统计量：
LR = −2 ln λ = 2(lUR − lR ) = n[ln(uˆ'uˆ)R − ln(uˆ'uˆ)UR ]
LR ~a χ 2 (q)
特点：同时估计受约束和无约束模型
3.2 沃尔德检验
如果 H0 : Rβ = r 成立，对无约束估计量：
(Rβˆ − r) ~a N (0, RInf (β )−1 R' ) （多维）
[ ] (Rβˆ − r)' RInf (β )−1 R' −1(Rβˆ − r) ~a χ 2 (q)
如果约束成立，对受约束估计量：
LM = s'(θ~)Inf (θ~)s(θ~) ~a χ 2 (q) 。
s(θ )
=
⎡1 ⎢⎢σ 2
X 'u
⎢⎢⎣−
n 2σ 2
+
u'u 2σ 4
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
，（ σ~ 2
=
u~ ' u~
/
n
）
s(θ~)
=
⎡1 ⎢⎢σ 2
X 'u~⎥⎤ ⎥
⎣0
⎦
⎡σ~2 ( X ' X )−1 Inf −1 = ⎢
用σ 2 代替σˆ 2 ，渐进分布依然成立。
[ ] W
=
(Rβˆ
− r)'
R( X ' X )−1 R'