2014学年第二学期宁波市九校联考数学答案 (1)
(试题)宁波市2014年中考数学试卷及答案(Word解析版)
浙江省宁波市2014年中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）．2．（4分）（2014•宁波）宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元，其中253.7D．|a|的绝对值与小数点移动的位数相同．是，）A．．．．4．（4分）（2014•宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（）0.3+0.2+0.3，底面半径为，则此圆锥的侧面积是（）解：此圆锥的侧面积本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4）AB==5本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出7．（4分）（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）．．．．，故选的可能性相同，其中事件．8．（4分）（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）．：，求出=，DAC=的面积比．AD=，==，==，DAC==•=×==，，．9．（4分）（2014•宁波）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）＜0本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多10．（4分）（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）B此题主要考查了认识立体图形，关键是掌握棱柱和棱锥的形状．11．（4分）（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）．．，=AF=2．点评：12．（4分）（2014•宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A+4a=二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）（2014•宁波）﹣4的绝对值是4．专题：一个正数的绝对值是它本身；14．（4分）（2014•宁波）方程=的根x= ﹣1．：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到经检验15．（4分）（2014•宁波）某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是150支．分析：16．（4分）（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．））17．（4分）（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）EF+1××÷9618．（4分）（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．解：如图作△ACG≌△==•OCOA=2，AM=2NE=GN=NE== GE=2NE=2AM=××=6三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）（2014•宁波）（1）化简：（a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣2ab；（2）解不等式：5（x﹣2）﹣2（x+1）＞3．）先运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即20．（8分）（2014•宁波）作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：（1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；（2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次；（3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率（精确到0.1%）．：年的租车费，除以总投入即可得到结果．）根据题意得：=21．（8分）（2014•宁波）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75），再根据AB=AH+BHAB=AH+BH=9.1+5.6=14.7此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，22．（10分）（2014•宁波）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．）利用y=）解：在AD==1），）解：点y=23．（10分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．，﹣，y=﹣时，得x﹣2=∴点24．（10分）（2014•宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？（x∴盒子的个数为：25．（12分）（2014•宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为角，而后确定一边为的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后EAC=a所以联立得方程组，即三分线长分别是26．（14分）（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．，那么直接取圆直径最大为2，即为半径．由设半径为中，．．比较知，方案三半径较大．时，（x=r=）；时，（＞r=）＜﹣时，r=（﹣=时，r=（），x=最大为．＜＜，生物达人12：中考数学真题，答案解析，真题，模拟试题，中考真题。
浙江宁波市九校2024年高一下学期期末联考数学试题+答案
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．四棱锥至多有几个面是直角三角形？ A ．2B ．3C ．4D ．52．已知点()2,3A ，()3,1−B ，若直线l 过点()0,1P 且与线段AB 相交，则直线I 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．23≤−k 或1≥k B ．23≤−k 或01≤≤k C ．203−≤≤k 或1≥kD ．213−≤≤k 3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且1= a ，1= b ，2= c ，则++=a b c （ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．1或24．已知m ，n 为两条不同的直线，αβ为两个不同的平面，若α⊥m ，β⊂n ，则“⊥m n ”是“αβ∥”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．逢山开路，遇水搭桥，我国摘取了一系列高速公路“世界之最”，锻造出中国路、中国桥等一张张闪亮的“中国名片”。
如图，一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶，在A ，B ，C 三处测得道路一侧山顶的仰角依次为30°，45°，60°，若=AB a ，()03=<<BC b a b ，则此山的高度为（ ）ABCD6．已知复数11=+z i 是关于x 的方程2)0(,++=∈x px q p q R 的一个根，若复数z 满足1−=−z z p q ，复数z 在复平面内对应的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（ ） A ．πB ．4πC ．16πD ．25π7．慢走是一种简单又优良的锻炼方式，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小温从小到大记录了近6周的慢走里程（单位：公里）：11，12，m ，n ，20，27，其中这6周的慢走里程的中位数为16，若要使这6周的周慢走里程的标准差最小，则=m （ ） A ．14B ．15C ．16D ．178．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2222sin −+=b c B c a ，且2=a ， 则tan tan tan AB C的最大值为（ ）A 2−B ．3−C D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列描述正确的是（ ）A ．若事件A ，B 相互独立，()0.6=P A ，()0.3=P B ，则()0.54= P AB AB B ．若三个事件A ，B ，C 两两独立，则满足()()()()=P ABC P A P B P CC ．若()0>P A ，()0>P B ，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥一定不能同时成立D ．必然事件和不可能事件与任意事件相互独立10．已知复数12=−+z ，则下列说法正确的是A ．zB ．12=−z z C ．复平面内1+z z对应的点位于第二象限 D ．2024=z z11．如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于2，E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点．G 为平面ABD 上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）A ．三棱锥E -AFCB ．线段+CG GFC ．当G 落在直线BD 上时，异面直线EF 与AG D ．垂直于EF 的一个面α，截该四面体截得的截面面积最大为1第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．已知直线1:40+−=l ax y 23:202+++=l x a y 平行，则实数=a _______． 13．已知圆O 的直径AB 把圆分成上下两个半圆，点C ，D 分别在上、下半圆上（都不与A ，B 点重合）若2=AC ，1=AD ，则⋅=AB DC _______．14．已知三棱锥P -ABC 的四个面是全等的等腰三角形，且=PA ，==PB AB ，点D 为三棱锥P -ABC 的外接球球面上一动点，=PD 时，动点D 的轨迹长度为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．（13分）如图，在等腰梯形ABCD 中，2222====ADDC CB AB a ，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，BF 与DE 交于点M ．（1）用 AD ，AE 表示 BF ；（2）求线段AM 的长．16．（15分）已知直线l ：()()1231−=−+a y a x ． （1）求证：直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围；（3）若直线l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l 的方程17．（15分）“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动．在活动中，共有20道数学问题，满分100分在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：[)40,50，[)50,60，……，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；（2）活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，丙同学答对了n 道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同． （i ）任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；（ii ）任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为2225，求n 的值． 18．（17分）如图1，有一个边长为4的正六边形ABCDEF ，将四边形ADEF 沿着AD 翻折到四边形ADGH 的位置，连接BH ，CG ，形成的多面体ABCDGH 如图2所示．（1）求证：AD ⊥CG ：（2）若AH ⊥CD ，试求直线CH 与平面ABCD 所成角的正弦值：（3）若二面角H -AD -B M 是线段CG 上的一个动点（M 与C ，G 不重合），试问四棱锥M -ABCD 与四棱锥M -ADGH 的体积之和是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由19．（17分）矩形ABCD 中，P ，Q 为边AB 的两个三等分点，满足===AP PQ QB BC ，R 点从点A 出发．沿着折线段AD -DC -CB 向点B 运动（不包含A ，B 两点），记α∠=ARP ，β∠=BRQ ．（1）当△APR 是等腰三角形时，求sin α；（2）当R 在线段AD （不包含A ，D 两点）。
宁波市2014届初中毕业生学业考试数学模拟试卷(1)及答案
2014宁波市初中毕业生学业考试数学模拟1本卷满分150分一．选择题（每题4分，共48分）1. 抛物线y =122+-x x 与坐标轴交点为（ ）A 、二个交点B 、一个交点C 、无交点D 、三个交点3则 这组数据的极差与众数分别是（A ）2,28 （B ）3,29 （C ）2,27 （D ）3,284据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104485元，104485元用科学计数法表示为（A ）1.04485×106元 （B ）0.104485×106元 （C ）1.04485×105元 （D ）10.4485×104元5. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展平后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G ，连接GF ，下列结论：①AE=AG ；②tan ∠AGE=2；③EFO G D O G S S 四边形=∆；④四边形ABFG 为等腰梯形；⑤BE=2OG ，则其中正确的结论个数为（ ）。
A ．2B ．3C ．4D ．56. 如图，三个半径为3的圆两两外切，且ΔABC 的每一边都与其中的两个圆相切，那么ΔABC 的周长是（A ）12+63 （B ）18+63 （C ）18+123 （D ）12+1237. 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为m cm，宽为n cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（ ） A)4m cm (B) 2(m +n ) cm (C) 4n cm (D)4(m -n ) cm8. 如图是一把300的三角尺，外边AC=8,内边与外边的距离都是2,那么内边EF 的长度是（ ）A. 4B.43C. 2.5D. 326-9.的图象开口向上，图象经过点（-1，y轴相交于负半轴．给出四个结论： ① abc<0； ②a+c=1； ③ 2a+b>0； ④b 2-4ac>0． 其中结论正确的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．110. 如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE ∽△ADO ；④CO CE CD ⋅=2．其中正确结论的序号是 。
浙江省2014年学业水平测试模拟测试数学试题Word版有答案
浙江省2014年学业⽔平测试模拟测试数学试题Word版有答案2014年浙江省宁波第⼆中学数学学业⽔平测试模拟试题选择题部分⼀、选择题(共25⼩题，1-15每⼩题2分，16-25每⼩题3分，共60分。
每⼩题中只有⼀个选项是符合题意的。
不选、多选、错选均不得分)1．已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B 的元素个数是(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 2．22log 12log 3-=(A)2- (B)0 (C)12(D)2 3．若右图是⼀个⼏何体的三视图，则这个⼏何体是 (A)圆锥 (B)棱柱 (C)圆柱 (D)棱锥 4．函数R))(3π2sin()(∈+=x x x f 的最⼩正周期为 (A)2π(B) π (C) π2 (D) 4π 5．直线230x y ++=的斜率是 (A)12-(B)12(C)2- (D)2 6．若1x =满⾜不等式2210ax x ++<，则实数a 的取值范围是 (A)(3,)-+∞ (B)(,3)-∞- (C)(1,)+∞ (D)(,1)-∞ 7．函数3()log (2)f x x =-的定义域是(A)[2,)+∞ (B)(2,)+∞ (C)(,2]-∞ (D)(,2)-∞ 8．圆22(1)3x y -+=的圆⼼坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3(C)(-(第3题图)9．各项均为实数的等⽐数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a = (A)2 (B)2-10．下列函数中，图象如右图的函数可能是(A)3y x = (B)2xy =(C)y =2log y x =11．已知a ∈R ，则“2a >”是“22a a >”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件12．如果222=+ky x 表⽰焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是(A) ()+∞,0 (B)()2,0 (C)()+∞,1 (D) ()1,0 13．设x 为实数，命题p ：x ?∈R ，20x ≥，则命题p 的否定是（A ）p ?：∈?0x R,0200≤x （C ）p ?：x ?∈R,20x < （D ）p ?：x ?∈R,20x ≤ 14．若函数()(1)()f x x x a =+-是偶函数，则实数a 的值为(A)1 (B)0 (C)1- (D)1± 15．在空间中，已知,a b 是直线，,αβ是平⾯，且,,//a b αβαβ??，则,a b 的位置关系是(A)平⾏ (B)相交 (C)异⾯ (D)平⾏或异⾯ 16．在△ABC 中，三边长分别为c b a ,,，且?=30A ，?=45B ，1=a ，则b 的值是(A)21(B) 22 (C) 2 (D) 2617．若平⾯向量,a b 的夹⾓为60，且|2|=|a b |，则 (A)()⊥+a b a (B)()⊥-a b a (C)()⊥+b b a (D)()⊥-b b a(第10题图)18．如图，在正⽅体1111D C B A ABCD -中，E 为1BC 的中点，则DE 与⾯11B BCC 所成⾓的正切值为(A)2(B) 3(D)219．函数44sin cos y x x =-在]3π,12π[-的最⼩值是(A)1-(B)2- (C)12(D)1 20．函数1()2xf x x=-的零点所在的区间可能是 (A)(1,)+∞ (B)1(,1)2 (C)11(,)32 (D)11(,)4321．已知数列{}n a 满⾜121a a ==，2111n n n na a a a +++-=，则65a a -的值为 (A)0 (B)18 (C)96 (D)60022．若双曲线22221x y a b-=的⼀条渐近线与直线310x y -+=平⾏，则此双曲线的离⼼率是323．若将⼀个真命题．．．中的“平⾯”换成“直线”、“直线”换成“平⾯”后仍是真命题．．．，则该命题称为“可换命题”．下列四个命题：①垂直于同⼀平⾯的两直线平⾏；②垂直于同⼀平⾯的两平⾯平⾏；③平⾏于同⼀直线的两直线平⾏；④平⾏于同⼀平⾯的两直线平⾏．其中是“可换命题”的是(A)①② (B)①④ (C)①③ (D)③④A 1（第18题图）24．⽤餐时客⼈要求：将温度为10C、质量为25.0 kg 的同规格的某种袋装饮料加热⾄C C ～??4030.服务员将x 袋该种饮料同时放⼊温度为80C 、5.2 kg 质量为的热⽔中，5分钟后⽴即取出．设经过5分钟加热后的饮料与⽔的温度恰好相同，此时，1m kg 该饮料提⾼的温度1t C ?与2m kg ⽔降低的温度2t C ?满⾜关系式11220.8m t m t ??=，则符合客⼈要求的x 可以是(A)4 (B)10 (C)16 (D)2225．若满⾜条件20,20,210x y x y kx y k -+≥??+-≥??--+≤?的点(,)P x y 构成三⾓形区域，则实数k 的取值范围是(A)(1,)+∞ (B)(0,1) (C)(1,1)- (D)(,1)(1,)-∞-+∞⾮选择题部分⼆、填空题(共5⼩题，每⼩题2分，共10分)26．已知⼀个球的表⾯积为4πcm 3，则它的半径等于▲ cm ．27．已知平⾯向量(2,3)=a ，(1,)m =b ，且//a b ，则实数m 的值为▲．28．已知椭圆中⼼在原点，⼀个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准⽅程是▲．29．数列{}n a 满⾜?≤≤≤≤=--,1911,2,101,2191n n a n n n 则该数列从第5项到第15项的和为▲．30．若不存在．．．整数x 满⾜不等式2(4)(4)0kx k x ---<，则实数k 的取值范围是▲．三、解答题(共4⼩题，共30分) 31．(本题7分) 已知,54sin ),π,2π(=∈θθ求θcos 及)3πsin(+θ的值.32．（本题7分，有A 、B 两题，任选其中⼀题完成，）（A ）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =, 4BC =, 5AB =, 点D 是AB 的中点.(1)求证:1AC BC ⊥; (2)求证:1AC ∥平⾯1CDB .（B ）如图,在底⾯为直⾓梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90?=∠ABC平⾯⊥PA ABCD ，32,2,3===AB AD PA ,BC =6.(1)求证:;PAC BD 平⾯⊥ (2)求⼆⾯⾓A BD P --的⼤⼩.33．(本题8分) 如图，由半圆221(0)x y y +=≤和部分抛物线2(1)y a x =-（0y ≥，0a >）合成的曲线C称为“⽻⽑球形线”，且曲线C 经过点(2,3).A B 1BC （第33题A 图）（1）求a 的值；（2）设(1,0)A ,(1,0)B -，过A 且斜率为k 的直线 l 与“⽻⽑球形线”相交于P ,A ,Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．34．(本题8分) 已知函数9()||f x x a a x=--+，[1,6]x ∈，a R ∈． (1)若1a =，试判断并证明函数()f x 的单调性；(2)当(1,6)a ∈时，求函数()f x 的最⼤值的表达式()M a ．参考答案⼀、选择题(共25⼩题，1-15每⼩题2分，16-25每⼩题3分，共60分。
宁波市2014年初中毕业生学业考试数学模拟试卷(附答案 答卷 评分标准)
第二次模拟考试数学参考答案一、选择题（每题3分，共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBADBCCBADCC二、填空题（每小题3分，共18分）13、 1 14、 5/12 15、 -2 16、 (4π＋8)cm 2 17、 2 18、 34 三、解答题(19，20题各6分，21题9分，22题8分，23题8分，24题7分，25题10分，26题12分， 共66分)19. （本小题满分6分）解：原式=x+2 ……………………………………………3分 （选取的x 的值x ≠2且x ≠0）………………………6分 20. （本小题满分6分）解：作CH ⊥AB 于H （1分） Rt △ACH 中CH =AC ·sin A =43×sin30°=23 ……………（3分） AH= AC ·cos A=43×cos30°=6∴BH =AB -AH =4 …………………（4分） ∴tan B =23342CH BH ==…………………（5分) ∴污渍部分内容内为32…………………（6分） 21. （本小题满分9分）答案不唯一，图略，每种画法4分，结论1分22. （本小题满分8分）解：（1）1283834--=％％％………………………2分 （2）8160.342400÷=………………………………3分2400(840816144)600A =-++=…………………4分 1(0.340.250.06)0.35B =-++=………………………5分 A 的值为600，B 的值为0.35……………………………6分 （3）408341200÷=％…………………………7分 240012002÷=……………………………………8分该校学生平均每人读2本课外书．23. （本小题满分8分）（1）证明：∵△ADC 沿直线AD 翻折后点C 落在点E 处， ∴△ADC ≌△ADE ，---------------1分 ∴CD=ED ， ∴∠DCE=∠DEC ，∵AD 为中线，∴BD=DC ，∴BD=DE ，∴∠DBE=∠DEB ，--------------2∵∠DBE+∠BEC+∠ECB=1800，即2∠DEB+2∠CED=1800， ∴∠DEB+∠CED=900，∴BE ⊥EC-----------------3 （1） 画图正确ADBE 是平行四边形-------------------4证明：∵△ADC 沿直线AD 翻折后点C 落在点E 处， ∴△ADC ≌△ADE ， ∴AE=AC ，DE=DC∵AC=DC ，∴AE=AC=DE=DC ，∴四边形AEDC 是菱形----------------------------6∴AE//DC ，且AE=DC-------------------7 ∵AD 是中线，∴BD=DC ，∴AE//BD ，且AE=BD∴四边形ADBE 是平行四边形-----------------------824. （本小题满分7分）(1)将(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++，得93010b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 23b c =⎧⎨=-⎩ ∴223y x x =+---------------------------3分 (2)∵2223(1)4y x x x =+-=+-∴对称轴1x =-， 而A ，B 关于对称轴对称 ∴连结BD 与对称轴的交点即为所求P 点.过D 作DF ⊥x 轴于F. 将2x =-代入223y x x =+-， 则4433y =--=- ∴D （-2，-3）----------------4分∴3,1(2)3DF BF ==--= Rt △BDE 中，BD=223332+= ∵PA=PB ∴PA+PD=BD=32故PA+PD 的最小值为32 --------------------------7分25. (本小题满分10分)解：（1）设A 型x 块，B 型（5000-x ）块 23500≤5.2x+4.15(x-5000) ≤24000 解得15260930952121x ≤≤-------------------------2分 X 取100的倍数，∴x 为2700，2800，2900，3000∴有4种方案① A 型2700块，B 型2300块 ② A 型2800块，B 型2200块 ③ A 型2900块，B 型2100块④A 型3000块，B 型2000块-------------------------3分 （2）设总费用为W 元W=5.2x+4.15(x-5000)=1.05x+20750--------------------------5分 当x=2700时，总费用为最少为23585元--------------------------6分（3）W=(5+0.2-m)x+4.15(x-5000)=(1.05-m ）x+20750--------------------7分ABCDE当m>1.05时，当x=3000时费用最少，选择方案④A 型3000块，B 型2000块 当m<1.05时，当x=2700时费用最少，选择方案①A 型2700块，B 型2300块 当m=1.05时，四种方案费用一样。
宁波市江东区2014年初中生学业模拟考试数学试题及答案
宁波市江东区2014年初中生学业模拟考试数 学 试 题考试须知：1. 全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试卷共6页，有三个大题，26个小题，满分为150分，考试时间为120分钟．2. 请将学校、姓名、准考证号等信息分别填写在答题卷的规定位置上．3. 答题时，把试卷Ⅰ的答案写在答题卷一上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试卷Ⅱ的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷二、三各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效． 4. 不允许使用计算器，没有近似要求的计算，结果不能用近似值表示．5. 抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --．试 题 卷 Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．下列各数中最小的是A ．0B ．1-C ．3-D ．2 2．直线2y x =-与y 轴的交点坐标是A ．(2,0)B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(0,2)- 3．下列多项式在实数范围内不能．．因式分解的是 A ．221x x -+ B ．21x - C ．22x x - D ．21x +4．风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是A B C D5．已知二元一次方程341x y -=，则用含x 的代数式表示y 是A ．134x y -=B ．314x y -=C ．314x y +=D ．314x y +=-6．说明命题“如果,,a b c 是△ABC 的三边，那么长为1,1,1a b c ---的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是A ．2,2,3a b c ===B ．2,2,2a b c ===C ．2,b 2,c 4a ===D ．3,b 4,c 5a ===7．如图，飞机客舱第12排的6个座位都还没有售出，座号分别是12A ，12B ，12C ，12D ，12E ，12F ，某人随机购买第12排座位字母相邻的2张机票，则他购得的票中有一个座位靠窗的概率是A ．12B ．25C ．13D ．148．不等式141126x x -+->的解是A ．5x <-B ．10x >-C ．10x <-D ．8x <-9．已知抛物线23y x ax a =-++对称轴在y 轴的右侧，顶点在x 轴上，则a 的值是A ．6B ．-2C ．6或-2D ．4 10．对于反比例函数xy 6-=图象对称性的叙述错误．．的是 A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =对称 C ．关于直线y x =-对称 D ．关于x 轴对称11．如图，菱形ABCD 中，∠A=120°，E 是AD 上的点，沿BE 折叠△ABE ，点A 恰好落在BD 上的点F ，那么∠BFC 的度数是A ．60°B ．70°C ．75°D ．80°12．如图，AD 是△ABC 的高，AB=15，AC=12，AD=10，则△ABC 的外接圆直径AE 长为A ．20B ．18C ．16D ．103FE CAED OCA（第7题） （第11题） （第12题）试 题 卷 Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分） 13．计算Sin60°的值是 ． 14．化简：21221(1)x x x x -++=++ ． 15．某超市计划招聘一名收银员，下表是三名应聘者的素质测试成绩，超市根据实际需要，对电脑操作、商品知识、语言表达三项测试成绩分别赋予权重5︰3︰2．那么这三人中 成绩最好．16．如图，矩形ABCD 中，AB=2，A 为圆心AB 为半径的弧交DC 于E ，则BE 长为 ．17．如图，△ABC 中，AB=AC=15，∠B=30°，在AB 、AC 、BC 上分别取一点D 、E 、F ，使AD=AE ，BD=DF ，要使△DEF 和△CEF 均是直角三角形，那么AD= ．C BB18．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=3，BC=7，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，G 在BC 上，EG ∥AF ，则CG 的长等于 ．三、解答题（19题6分，20～21每题8分，22～24每题10分，25题12分，26题14分，共78分） 19．计算（1）212(3)(1)6()23-+-⨯-．（第16题） （第17题） （第18题）（2）21(32)63-+．20．如图是2014年3月19日到23日宁波、三亚两地每天的最高温度统计图，在右边的统计表中空缺3个统计数．（1）求出空缺的3个统计数，并填在表内；（2）宁波5天中最高温度的方差比三亚大，这说明了什么？21．已知三角形的三边分别为a 、b 、c ，且1a m =-，b m =，1c m =+（1m >）． （1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？（2）试给出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数。
2014宁波中考数学试题及答案(word版)
2014年宁波市初中毕业生学业考试数学试题考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷。
试题卷共6页，有三个大题，26个小题。
满分为150分，考试时间为120分钟。
2，请将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上。
3．答题时，把试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满。
将试题卷Ⅱ答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示，抛物线y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的顶点坐标为24(,)24b ac b a a--。
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）1.下列各数中，既不是正数也不是负数的是（ ）Ａ．０ Ｂ．－１ Ｃ． Ｄ．２2.宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元。
其中253.7用科学计数法（ ）A ．253.7×108 B. 25.37×109 C ．2.537×1010 D 。
2.537×10113.用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（ ）4.杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如图。
则这4筐杨梅的总质量是（ ）5.圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）A ．6πB ．8πC ．12πD ．16π6．菱形的两条对角线长分别为6和8，则此菱形的边长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．57.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取得定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使ΔABC 为直角三角形的概率是（ ）A ．B ．25C ．37D ．478.如图，梯形ABCD 中，AD//BC,∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则ΔABC 与ΔDCA 的面积比为（ ）9.已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）A．b=-1 B．b=2 C． b=-2 D． b=010.如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥，如图一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱，下列棱柱中与九棱锥的棱数相等的是（）A．五棱柱 B．六棱柱 C．七棱柱 D．八棱柱11.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．5 C． D．212.已知点A(a-2b,2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（-3,7） B．（-1,7） C．（-4,10） D．（0,10）二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13.-4的绝对值是14.方程的根x=15.某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形如图所示，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是支。
浙江省宁波市九年级数学3月期始四校联考试题-人教版初中九年级全册数学试题
2014学年第二学期九年级四校联考数学学科试题卷考生须知：1．全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试题卷共6页，有三个大题，26个小题．满分为150分，考试时间为120分钟．2．请将某某、某某号分别填写在答题卷的规定位置上．3．答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷II的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷II各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．5．抛物线2y ax bx c=++的顶点坐标为24(,)24b ac ba a--．试题卷Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1. 如果收入80元记作+80元，那么支出20元记作（▲）．A． +20元B．﹣20元C．+100元D．﹣100元2.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水为世界节水．若每人每天浪费水0.32L，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（▲）．×107×106×105×104L3.如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适，以下裁剪示意图中，正确的是（▲）．A. B. C. D.4.下列运算结果正确的是（▲）．A.x2+x3=x5B. x3•x2=x6C.x5÷x=x5D． x3•(3x)2=9x55.下列命题是真命题的是（▲）．A . “任意一个三角形的外角和是180度”这一事件是不可能事件数据1，6，3，9，8，5的中位数是6C.“面积相等的两个三角形全等”是必然事件D.必然事件发生的概率为0第3题6.如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在C ′处，折痕为EF ，若AB=1，BC=2，则△ABE 和△BC ′F 的周长之和为（ ▲ ）． A. 3 B. 4 C. 6 D. 87.已知点P (1－2a ，a －2)关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程1x x a+-＝2的解是（ ▲ ）．A ．5B ．1C ．3D ．不能确定8.设计一X 折叠型方桌子如图，若50AO BO cm ==，30CO DO cm ==，将桌子放平后，要使AB 距离地面的高为40cm ，则两条桌腿需要叉开的∠AOB 应为（ ▲ ）． A ．60º B ．90º C ．120º D ．150º9.如图，O 内切于ABC △，切点D E F ，，分别在BC ，AB ，AC 上．已知50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，那么EDF ∠等于（ ▲ ）． A ．40° B ．55° C ．65° D ．70°10.定义新运算：()()ab >0ba b a b <0b⎧⎪⎪⊕=⎨⎪-⎪⎩，例如：4⊕5=54，4⊕（-5）=54．则函数y=2⊕x （x≠0）的图象大致是（ ▲ ）．A. B. C. D.11.如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON =30°。
浙江省宁波市九校高一下学期期末联考数学试题 Word版
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b -<- C ．22a b > D ．ac bc ≥ 2.在等差数列{}n a 中，563,2a a ==-，则348a a a +++等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.直线:10l x ky k -+-=与圆22:3C x y +=的位置关系为（ ） A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项都有可能4.已知ABC ∆的面积222()S a b c =-+，则cos A 等于（ ）A ．-4 BC． D． 5.过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为（ ） AB ．1920C ．910D ．126.若1sin()43πα+=，(0,)απ∈，则cos2α=（ ） A ．79-B． CD．7.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 … 2013 2014 2015 2016 3 5 7 9 … 4027 4029 40318 12 16 ... 8056 8060 20 28 (16116)该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ） A ．201520172⨯ B ．201420172⨯ C ．201520162⨯ D ．201420162⨯8.已知关于x 的二次方程20ax bx c ++=(0,,)a b c R >∈在区间(0,2)内有两个实根，若1251044c a b c ≥⎧⎨++≥⎩，则实数a 的最小值为（ ） A ．1 B ．32 C ．94 D ．1625二、填空题（多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9.已知直线:210l x y +-=，则原点O 关于直线l 对称的点是 ；经过点(2,1)P 且纵横截距相等的直线方程是 .10.对正整数n 定义一种新运算“*”，它满足：①1*11=；②(1)*12(*1)n n +=，则2*1= ；*1n = . 11.已知1cos 3α=，1cos()3αβ+=-，且,(0,)2παβ∈，则cos β= ；2αβ+= .12.设实数,x y 满足24y x y x y x ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则4z y x =-的取值范围是 ；4||z y x =-的取值范围是 .13.直线20(,0)mx ny m n -+=>被圆222210x y x y ++-+=截得弦长为2，则41m n+的最小值为 .14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当数列{}n a 的通项公式为*1,1n a n N n =∈+时，我们记实数λ为2n n S S -的最小值，那么数列1100n b n λ=-，*n N ∈取到最大值时的项数n为 .15.已知正实数,a b 满足21122a a b+=++，则a b +的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分14分）设函数2()f x x ax b =++，已知不等式()0f x <的解集为{|13}x x <<. （1）若不等式()f x m ≥的解集为R ，求实数m 的取值范围； （2）若()f x mx ≥对任意的实数2x ≥都成立，求实数m 的取值范围. 17. （本小题满分15分） 已知1tan()43πα+=. （1）求2sin 2cos 1sin 2ααα-+的值；（2）若α为直线l 的倾斜角，当直线l 与曲线:1C x =l 的纵截距b 的取值范围. 18. （本小题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c 满足cos 2cos B b aC c c+=. （1）求角C 的大小；（2）若边长c =2a b +的最大值. 19. （本小题满分15分）已知圆心在x 轴正半轴上的圆C 与直线512210x y ++=相切，与y 轴交于,M N 两点，且120MCN ∠=.（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 交于不同的两点,A B ，若设点G 为OAB ∆的重心，当MNG ∆时，求直线l 的方程.备注：ABC ∆的重心G 的坐标为(,)33A B C A B Cx x x y y y ++++.20. （本小题满分15分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n a 满足11a =，2(1)n n n S a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列21{}(2)n a +的前n 项和为n A ，求证：对任意正整数n ，都有12n A <成立； （3）数列{}n b 满足1()2nn n b a =，它的前n 项和为n T ，若存在正整数n ，使得不等式11(2)22n n n nn T λ---<+-成立，求实数λ的取值范围.参考答案一、选择题 BCADC DBD 二、填空题9. 24(,)55；30x y +-=或20x y -= 10. 12,2n -11.7,9π 12. [6,24],[8,4]-- 13.9214. 34 15.1,)2+∞ 16.解：已知()0f x =，解为1,3，则1313a b +=-⎧⎨∙=⎩ 43a b =-⎧⇒⎨=⎩（1）22()43(2)1f x x x x =-+=--，所以min ()1m f x ≤=-，（2）24334x x m x x x-+≤=-+恒成立，17.（1）tan()tan144tan tan[()]4421tan()tan 44ππαππααππα+-=+-==-++ 故22222sin 2cos 2sin cos cos 2tan 181sin 2sin cos 2sin cos tan 12tan ααααααααααααα---===-+++++ （2）由题意可知直线1:2l y x b =-+，而曲线C 为圆22(1)(1)1x y -+-=的一部分（右半圆），当直线l 与圆22(1)(1)1x y -+-=1|1|1b +-<，故可得b <<. 又曲线C 如图所示，当直线l 过点(1,2)时，min 52b =， 所以参数b的取值范围是52b ≤<. 18.（1）因为cos 2cos B b aC c c+=，故cos sin sin cos 2sin cos B C B C A C +=. 也即sin 2sin cos A A C =，又sin 0A ≠， 所以1cos 2C =， 又(0,)C π∈，故3C π=.（2）2(sin 2sin )sin ca b A B C+=+ 2[sin()2sin ]B C B =++12[sin 2sin ]2B B B =++5sin B B =+令cos ϕ=，sin ϕ=，则2)a b B ϕ+=+当2B πϕ+=时，max (2)a b +==.另解：由余弦定理可知：2222cos a b ab C =+-即223a b ab =+-， 故2221173525(2)3(35)7(35)()(2)77228b b a a b b a b b b a a b +++-=+=⨯+≤⨯=+所以(2)a b +≤，当735b b a =+时，即45a b =时，max (2)a b +== 19.（1）解：由题意知圆心(,0)C a ，且0a >，由0120MCN ∠=知Rt MCO ∆中，60MCO ∠=，||OC a =，则||2CM a =， 于是可设圆C 的方程为222()4x a y a -+= 又点C 到直线512210x y ++=的距离为|521|213a d a +==， 所以1a =或2131a =-（舍）， 故圆C 的方程为22(1)4x y -+=. （2）MNG ∆的面积1|||||2G G S MN x x === 所以||1G x =，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则1203G x x x ++=，即123G x x x +=， 当直线l 斜率不存在时，ABO ∆不存在，故可设直线l 为2y kx =+，代入圆C 的方程22(1)4x y -+=中，可得22(1)(42)10k x k x ++-+=，则22122(1)(42)104003241k x k x k k k x x k ⎧⎪++-+=⎪⎪∆>⇒<>⎨⎪-⎪+=⎪+⎩或所以22431k k -=+或22431kk-=-+得1k =-或13k =-，故满足条件的直线l 的方程为2y x =-+或123y x =-+.20. （1）22n n n S a a =+， 当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+， 两式相减得：22112n n n n n a a a a a --=-+-，所以11()(1)0n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 为正项数列，故10n n a a -+≠，也即11n n a a --=， 所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列，故通项公式为*,n a n n N =∈.（2）1234n n A a a a a a =+++++22222111113456(2)n =+++++ 1111111111()()()()()2334455612n n <-+-+-+-++-++ 111222n =-<+ 所以，对任意正整数n ，都有12n A <成立.（3）易知2n n nb =，则23111111123(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①231111111112(2)(1)222222n n n n T n n n -+=⨯+⨯++-⨯+-⨯+⨯② ①-②可得：2111111121222222n n n n n T n +++=+++-⨯=-故222n n n T +=-所以不等式112(2)222n n n λ---<--成立，若n 为偶数，则1122222n n n λ---<--，所以211112()122n n λ-->-⨯++设111(0,]22n t -=∈，则2221(1)y t t t =-++=-在1(0,]2单调递减，故当12t =时，min 14y =所以14λ>若n 为奇数，则1122222n n n λ--<--，所以211112()122n n λ--<⨯--设11(0,1]2n t -=∈，则2221(1)y t t t =--=--在(0,1]单调递增，故当1t =时，max 0y = 所以0λ<综上所述，λ的取值范围0λ<或14λ>.。
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z =1+3i1−2i，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1B ．iC ．﹣iD ．﹣12．在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（ ）A ．−35B ．35C ．−45D ．453．设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C ．若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βD ．若α∥β，l ∥α，则l ∥β4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝CD ＝1，则其内切球表面积为（ ） A ．3πB ．√3πC ．(3−2√2)πD ．(√2−1)π5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 176．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√367．在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)210．下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√611．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√2412．已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a m C ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 ．14．已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= ．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是 ．16．已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式； （2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围； （2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值．22．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：S n 2=a n （S n ﹣1），且S n ≠0，数列{b n }满足：对任意n ∈N *有b 1S 1+b 2S 2+⋯+b n S n=(n −1)⋅2n+1+2．（1）求证：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式； （3）设T n 是数列{2n−1b 2n −b n }的前n 项和，求证：T n ＜76．2022-2023学年浙江省宁波市九校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+3i1−2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．1B．i C．﹣i D．﹣1解：z=1+3i1−2i=(1+3i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−1+i，则z=−1−i，其虚部为﹣1．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点（4，﹣3），则cos(α−π2)的值为（）A．−35B．35C．−45D．45解：由三角函数定义有sinα=−3 5，所以cos（α−π2）＝sinα=−35．故选：A．3．设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥α，l⊥β，则α∥βD．若α∥β，l∥α，则l∥β解：若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β相交，故A错误；若α⊥β，l∥α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，故B错误；若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故C正确；若α∥β，l∥α，则l∥β或l⊂β，故D错误．故选：C．4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝CD＝1，则其内切球表面积为（）A．3πB．√3πC．(3−2√2)πD．(√2−1)π解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，所以AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AC ⊥CD ， 设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ，则V ABCD =V O−ABC +V O−ABD +V O−ACD +V O−BCD =13r(S △ABC +S △ABD +S △ACD +S △BCD )， 所以r =3V ABCDS ABCD，因为四面体ABCD 的表面积为S ABCD =S △ABC +S △ABD +S △ACD +S △BCD =1+√2， 又因为四面体ABCD 的体积V ABCD =13×12×1×1×1=16， 所以r =3VABCD S ABCD =√2−12，所以内切球表面积S =4πr 2=(3−2√2)π． 故选：C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 7＞T 9＞T 8，则（ ） A ．q ＜0B ．a 1＜0C ．T 15＜1＜T 16D ．T 16＜1＜T 17解：因为等比数列{a n }的前n 项积为T n ， 若T 7＞T 9＞T 8，故1＞a 8a 9，a 9＞1，a 8＜1；所以a 1⋅q 8＞1，所以a 1＞0，0＜q ＜1；所以T 16=a 1⋅a 2⋅...⋅a 15⋅a 16=(a 8a 9)8＜1，T 17=a 1⋅a 2⋅...a 16⋅a 17=a 917＞1． 故选：D ．6．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是A 1B 1的中点，过B ，C ，D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点B 1所在部分的体积为（ ）A ．2√33B ．5√36C ．√3D ．7√36解：如图，取A 1C 1的中点E ，连接DE ，CE ，又D 是A 1B 1的中点， ∴DE ∥B 1C 1，且DE =12B 1C 1， 又B 1C 1∥BC ，且B 1C 1＝BC ， ∴DE ∥BC ，且DE =12BC ，∴过B ，C ，D 三点的平面截该三棱柱的截面为梯形BCED ， ∴所求体积为：V 三棱柱ABC−A 1B 1C 1−V 三棱台A 1DE−ABC =12×2×2×√32×2−13×(12×1×1×√32+12×2×2×√32+√34×√3)×2 =2√3−7√36=5√36． 故选：B ．7．在△ABC 中，P 0是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则△ABC 一定是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系，设AB ＝4， 则A （﹣2，0），B （2，0），C （a ，b ），P （0，0），P 0（x ，0），所以PB →=（2﹣x ，0），PC →=（a ﹣x ，b ），P 0B →=（2，0），P 0C →=（a ，b ）， 因为恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（2﹣x ）（a ﹣x ）≥（2a ， 整理得x 2﹣（a +2）x ≥0恒成立，故Δ＝（a +2）2≤0，即a ＝﹣2，此时BA ⊥AC ， 所以∠A ＝90°，所以△ABC 为直角三角形． 故选：A ．8．十七世纪法国数学家皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”．它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点，已知在△ABC 中，已知C =23π，AC ＝1，BC ＝2，且点M 在AB 线段上，且满足CM ＝BM ，若点P 为△AMC 的费马点，则PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=（ ） A ．﹣1B ．−45C ．−35D ．−25解：因为C =23π，AC ＝1，BC ＝2，所以由余弦定理可得AB =√AC 2+CB 2−2AC ⋅CBcosC =√7，由正弦定理可得AC sinB =ABsinC，即sinB =ACsinC AB =1×√327=√2114，又B 为锐角，所以cosB =√1−sin 2B =5√714，设CM ＝BM ＝x ，则CM 2＝CB 2+BM 2﹣2CB •BM cos C ， 即x 2=4+x 2−10√77x ， 解得x =2√75，即BM =25AB ， 所以AM =35AB =3√75，则S △AMC =35S △ABC =35×12×1×2×√32=3√310，又cos ∠AMC =AM 2+CM 2−AC22AM⋅CM =6325+2825−12×3√75×2√750， 则∠AMC 为锐角，所以△AMC 的三个内角均小于120°， 则P 为三角形的正等角中心， 所以S △AMC =12|PA →|⋅|PM →|sin 2π3+12|PM →|⋅|PC →|sin 2π3+12|PA →|⋅|PC →|sin 2π3 =√34(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|)=3√310， 所以|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA →|⋅|PC →|=65，所以PA →⋅PM →+PM →⋅PC →+PA →⋅PC →=|PA →|⋅|PM →|cos 2π3+|PM →|⋅|PC →|cos 2π3+|PA →|⋅|PC →|cos 2π3=−12(|PA →|⋅|PM →|+|PM →|⋅|PC →|+|PA|⋅|PC|)=−12×65=−35． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．|(a →⋅b →)⋅c →|≤|a →||b →||c →|C ．若a →⊥(b →−c →)，则a →⋅b →=a →⋅c →D ．(a →⋅b →)⋅b →=a →⋅(b →)2解：对于A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →，不能得出a →∥c →，选项A 错误；对于B ，|（a →•b →）c →|＝|（|a →||b →|cos ＜a →，b →＞|c →|）|≤|a →||b →||c →|，当且仅当a →与b →共线时取“＝”，所以选项B 正确；对于C ，a →⊥(b →−c →)时，a →•（b →−c →）＝0，即a →⋅b →=a →⋅c →，选项C 正确；对于D ，（a →•b →）•b →是数乘向量，与b →共线的向量，a →•(b →)2也是数乘向量，与a →共线的向量，所以等式不成立，选项D 错误． 故选：BC ．10．下列说法正确的是（ ）A ．若f(x)=sinωx +2cos(ωx +π3)，ω＞0的最小正周期为π，则ω＝2B ．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A ＞B ”是“a ＞b ”的充要条件C ．三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D ．△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√6解：对于A ，f （x ）＝sin ωx +2cos （ωx +π3）＝（1−√3）sin ωx +cos ωx =√5−2√3sin （ωx +φ），其中tan φ=11−3=−1+√32，若f （x ）的最小正周期为π，则ω=2ππ=2，选项A 正确； 对于B ，△ABC 中，A ＞B 得出a ＞b ，充分性成立，a ＞b 也能得出A ＞B ，必要性成立，是充要条件，选项B 正确；对于C ，若2a ，2b ，2c 成等差数列，则2•2b ＝2a +2c ，所以2＝2a ﹣b +2c ﹣b ，所以a ﹣b ＝c ﹣b ＝0，即a ＝b ＝c ，所以选项C 错误；对于D ，△ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则△ABC 的面积为2√2S 直观图＝2√2×√34×22=2√6，选项D 正确． 故选：ABD ．11．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A ．存在某条直径CD ，使得AD ⊥SDB ．若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 体积的最大值为16C ．对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D ．若∠ABD =π6，则异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24解：对A 选项，∵SD 在底面的射影为CD ，而CD 与AD 夹角始终为锐角， ∴AD 与AD 不垂直，∴根据三垂线定理可知AD 与SD 不垂直，∴A 选项错误； 对B 选项，若AB ＝2，则三棱锥S ﹣AOD 的高为SO ＝1，当AO ⊥DO 时，三角形AOD 的面积取得最大值为12×1×1=12，此时三棱锥S ﹣AOD 体积取得最大值为13×12×1=16，∴B 选项正确；对C 选项，∵AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径， ∴根据异面直线的判定定理可知：对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线，∴C 选项正确； 对D 选项，若∠ABD =π6，则∠AOD =π3，设圆锥的底面圆半径为r ， ∴SA →⋅OD →=(OA →−OS →)⋅OD →=OA →⋅OD →−OS →⋅OD →=r ×r ×cos π3−0=r 22，又易知|SA →|=√2r ，|OD →|＝r ，∴cos ＜SA →，OD →＞=SA →⋅OD →|SA →||OD →|=r 22√2r×r=√24，∴异面直线SA 与CD 所成角的余弦值是√24，∴D 选项正确． 故选：BCD ．12．已知数列{a n }中各项都小于2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是（ ）A ．任意a 1与正整数m ，使得a m a m +1≥0B ．存在a 1与正整数m ，使得a m+1＞34a m C ．任意非零实数a 1与正整数m ，都有a m +1＜a mD ．若a 1＝1，则S 2022∈（1.5，4）解：对于选项A ：因为a n+12−4a n+1=a n 2−3a n ，所以（a n +1﹣4）a n +1＝（a n ﹣3）a n ， 整理得a n +1=(a n −3)a na n+1−4，所以a n a n +1=(a n −3)a n 2a n+1−4≥0，故选项A 正确；对于选项B ：不妨设f （x ）＝x 2﹣4x ，因为a n+12−4a n+1=a n 2−4(34a n )≥(34a n )2−4(34a n )，可得f(a n+1)≥f(34a n )， 而f ′（x ）＝2x ﹣4＝2（x ﹣2），当x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ，故选项B 错误； 对于选项C ：由A 可知所有a n 同号，①当a 1＝0 时，对于任意正整数n ，都有a n ＝0；②当0＜a 1＜2时，0＜a n ＜2，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＞f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减， 所以对于任意正整数n ，都有a n +1＜a n ；③当a 1＜0时，a n+12−4a n +1=a n 2−3a n ＞a n 2−4a n ，所以f （a n +1）＜f （a n ），又函数f （x ）在（﹣∞，2）上单调递减，所以对于任意正整数n ，都有a n +1＞a n ，故选项C 正确； 对于选项D ：因为对于任意正整数n ，都有a n+1≤34a n ， 当a 1＝1时，a n ≤（34）n ﹣1，所以S 2022≤∑ 2022k=1（34）k ﹣1=1−(34)20221−34=4[1﹣（34）2022]＜4，因为当a 1＝1时，0＜a n ≤1，又a 22−4a 2+2＝0，解得a 2＝2−√2＞12， 所以S 2022＞S 2＞32，则S 2022∈（1，5，4），故选项D 正确； 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴．在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3．若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为 12√2 ．解：设一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r ，所以2πr =2π3×30，可得r ＝10， 因此该圆锥的高为h =√302−102=20√2， 故侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形的圆锥的高为1230ℎ=25×20√2=8√2，因此若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致， 则该几何体的高为20√2−8√2=12√2． 故答案为：12√2．14．已知等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3，则cosa 5+cosa 7cosa 6= 1 ．解：等差数列{a n }，a 8＝8，a 9=8+π3， 所以公差d ＝a 9﹣a 8=π3， 则cosa 5+cosa 7cosa 6=cos(a 6−π3)+cos(a 6+π3)cosa 6=2cosa 6cosπ3cosa 6=1．故答案为：1．15．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，动点P 在△A 1B 1C 1内（包括边界上），且始终满足BP ⊥AB 1，则动点P 的轨迹长度是125．解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1＝3，AC ＝4，AC ⊥BC ，建立如图所示的坐标系，由题意可知A （4，0，0），B （0，3，0），C （0，0，0），B 1（0，3，3），设P （x ，y ，3）， 则BP →=（x ，y ﹣3，3），AB 1→=（﹣4，3，3），BP ⊥AB 1， 可得：﹣4x +3y ﹣9+9＝0，即4x ﹣3y ＝0．直线A 1B 1的方程：3x +4y ＝12，{3x +4y =124x −3y =0，可得x =3625，y =4825，所以D （3625，4825），动点P 的轨迹为线段C 1D ，长度为：√(3625)2+(4825)2=12×525=125． 故答案为：125．16．已知向量a →，b →的夹角为π3，且a →⋅b →=3，向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)，且a →⋅c →=b →⋅c →，记x =c →⋅a →|a →|，y =c →⋅b→|b →|，则x 2+y 2﹣xy 的最大值为 278 ．解：设OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，∵a →⋅b →=|a →||b →|cos π3=3，∴|a →||b →|=6， ∵向量c →满足c →=λa →+(1−λ)b →(0＜λ＜1)， ∴C 在线段AB 上，设∠AOC ＝α，则∠BOC =π3−α，则x =c →⋅a →|a →|=|c →|cos α，y =c →⋅b →|b →|=|c →|cos(π3−α)，∴34|c →|2≤34×(3√22)2x 2+y 2﹣xy =|c →|2cos 2α+|c →|2cos 2(π3−α)−|c →|cosα⋅|c →|cos(π3−α) =|c →|2[cos 2α+(12cosα+√32sinα)2−cosα(12cosα+√32sinα)]=|c →|2(cos 2α+12cos 2α+√32sinαcosα+34sin 2α−12cos 2α−√32sinαcosα)=34|c →|2，在△ABO 中，由余弦定理有：|AB|2=|a →|2+|b →|2−2|a →||b →|cos π3=|a →|2+|b →|2−|a →||b →|≥2|a →||b →|−|a →||b →|=|a →||b →|=6， ∴|AB|≥√6，当且仅当|a →|=|b →|时等号成立， ∵a →⋅c →=b →⋅c →，∴(a →−b →)⋅c →=0，∴BA →⊥OC →， ∴S △OAB =12|AB|×|OC|=12|OA|×|OB|sin π3，∴|OC|=6×√32|AB|≤3√3√6=3√22，即|c →|≤3√22，∴x 2+y 2﹣xy =34|c →|2≤34×(3√22)2=278． 故答案为：278．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）定义一种运算：(a ，b)[cd ]=ac +bd ．（1）已知z 为复数，且(3，z)[z4]=7−3i ，求|z |；（2）已知x ，y 为实数，(y +sin2x ，2)[i y ]−(1，sin 2x)[sinx2√3i ]也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间．解：（1）设z ＝a +bi ，由题意可得， （3，z ）[z4]＝3z +4z =3（a +bi ）+4（a ﹣bi ）＝7a ﹣bi ＝7﹣3i ，故a ＝1，b ＝3， 所以|z |=√10； （2）由题意可得，原式＝2y ﹣sin x +（y +sin2x ﹣2√3sin ²x ）i 是实数， 所以y +sin2x ﹣2√3sin 2x ＝0， 即y ＝﹣sin2x +2√3sin ²x =√3（1﹣cos2x ）﹣sin2x ＝﹣2sin （2x +π3）+√3，所以当2k π+π2≤2x +π3≤2k π+3π2，k ∈Z 时， sin （2x +π）单调递减，此时函数y 单调递增，解得k π+π12≤x ≤kπ+7π12，k ∈Z ， 即单调增区间为[kπ+π12，k π+7π12]（k ∈z ）．18．（12分）今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”．其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化．现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数f （x ）＝40[A cos ω（x +4）+k ]来刻画．其中正整数x 表示月份且x ∈[1，12]，例如x ＝1时表示1月份，A 和k 是正整数，ω＞0．统计发现，该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人；③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的y ＝f （x ）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由． 解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12． 由此可得，T =2πω=12，得ω=π6； 由规律②可知，f （x ）max ＝f （8）＝40（A cos2π+k ）＝40A +40k ， f （x ）min ＝f （2）＝40（A cos π+k ）＝﹣40A +40k ， 由f （8）﹣f （2）＝80A ＝160，得A ＝2；又当x ＝2时，f （2）＝40[2cos ω（2+4）+k ]＝80•cos π+40k ＝40， 解得k ＝3．综上可得，f （x ）＝80cos （π6x +2π3）+120符合条件．（2）由条件，80cos （π6x +2π3）+120＞160， 可得cos （π6x +2π3）＞12，则2k π−π3＜π6x +2π3＜2k π+π3，k ∈Z ， ∴12k ﹣6＜x ＜12k ﹣2，k ∈Z ．∵x ∈[1，12]，x ∈N *，∴当k ＝1时，6＜x ＜10，故x ＝7，8，9，即一年中的7，8，9三个月是该地区的旅游“旺季”． 19．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2+4n ﹣3． （1）求{a n }的通项公式；（2）记b n =2n+5S n S n+1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 解：（1）由S n ＝n 2+4n ﹣3， 可得n ＝1时，a 1＝S 1＝5﹣3＝2，当n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2+4n ﹣3﹣（n ﹣1）2﹣4（n ﹣1）+3， 化简可得a n ＝2n +3（n ≥2）， 所以a n ={2，n =12n +3，n ≥2且n ∈N ∗；（2）b n =2n+5S n S n+1=2n+5(n 2+4n−3)(n 2+6n+2)=1n 2+4n−3−1n 2+6n+2，可得T n =12−19+19−118+...+1n 2+4n−3−1n 2+6n+2=12−1n 2+6n+2=n 2+6n2n 2+12n+4．20．（12分）在△ABC 中，内角A ，B 都是锐角． （1）若∠C =π3，c ＝2，求△ABC 周长的取值范围； （2）若sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ，求证：sin 2A +sin 2B ＞1． 解：（1）由正弦定理有：asinA=b sinB=c sinC=√32=4√33， ∴a =4√33sinA ，b =4√33sinB ， ∴a +b =4√33sinA +4√33sinB =4√33sinA +4√33sin(2π3−A) =4√33sinA +4√33(√32cosA +12sinA) =2√3sinA +2cosA =4sin(A +π6)， ∵内角A ，B 都是锐角，∴{0＜A ＜π20＜2π3−A ＜π2，∴π6＜A ＜π2， ∴π3＜A +π6＜2π3，∴sin(A +π6)∈(√32，1]， ∴a +b ∈(2√3，4]， ∴a +b +c ∈(2+2√3，6]，∴△ABC 周长的取值范围为(2+2√3，6]；（2）∵sin 2A +sin 2B ＞sin 2C ， 由正弦定理得：a 2+b 2＞c 2，由余弦定理：cos C =a 2+b 2−c 22ab＞0， ∵C ∈（0，π），∴C 为锐角， ∵A ，B 都是锐角，∴A +B ＞π2，∴0＜π2−B ＜A ＜π2， ∴sinA ＞sin(π2−B)=cosB ＞0， ∴sin 2A +sin 2B ＞cos 2B +sin 2B ＝1， ∴sin 2A +sin 2B ＞1．21．（12分）已知边长为6的菱形ABCD ，∠ABC =π3，把△ABC 沿着AC 翻折至△AB 1C 的位置，构成三棱锥B 1﹣ACD ，且DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，EF =√372．（1）证明：AC ⊥B 1D ；（2）求二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小； （3）求EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值． 解：（1）证明：取AC 中点O ，连接OB 1，OD ，因为菱形ABCD ，∠AB 1C =π3， 所以△ACB 1，△ACD 为等边三角形， 所以OB 1⊥AC ，OD ⊥AC ，又因为OB 1，OD ⊂面OB 1D ，OB 1∩OD ＝O ， 所以AC ⊥面OB 1D ，因为B 1D ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥B 1D ．（2）因为DE →=12DB 1→，CF →=13CD →，所以FE →=FB 1→+B 1E →=CB 1→−CF →+12B 1D →=CB 1→−13CD →+12(CD →−CB 1→)=16CD →+12CB 1→，平方得，FE →2=(16CD →+12CB 1→)2=136CD →2+16|CD →||CB 1→|cos∠B 1CD +14CB 1→2，即374=136×36+16×6×6cos∠B 1CD +14×36，解得cos ∠B 1CD =−18，在△B 1CD 中，由余弦定理得，B 1D ²＝C B 12+CD ²﹣2CB 1•CD cos ∠B 1CD ＝36+36﹣2×6×6×(−18)=81，所以B 1D ＝9，由（1）可知，∠DOB 1 是二面角B 1﹣AC ﹣D 的平面角， 在等边△AB 1C 中B 1O =B 1Csin60°=3√3，同理OD =3√3，在△B 1OD 中，由余弦定理得，cos ∠B 1OD =B 1O 2+DO 2−B 1D 22B 1D⋅DO =27+27−812×27=−12， 因为0＜∠B 1OD ＜π，所以∠B 1OD =2π3， 即二面角B 1﹣AC ﹣D 的大小2π3．（3）取B 1E 中点G ，连接CG ，则E 是GD 靠近G 的三等分点，则EF ∥CG ，所以CG 与平面AB 1C 所成角即为所成角， 在平面DOB 1中，作GK ⊥B 1O ， 因为AC ⊥面OB 1D ，GK ⊂面OB 1D ， 所以AC ⊥GK ，又因为AC ，B 1O ⊂面AB 1C ，AC ∩B 1O ＝O ， 所以GK ⊥面AB 1C ，所以∠GCK 是CG 与平面AB 1C 所成角，在△DOB 1中，∠OB 1D =∠ODB 1=π6，B 1G =14B 1D =94， 所以GK =12B 1G =98，在ΔDCB 1中，由△DEF ∽△DGC ，得EF CG =DE DG =23，CG =32×√372=3√374， 所以sin ∠GCK =GK CG =983√374=3√3774， 所以EF 与平面AB 1C 所成角的正弦值为3√3774． 22．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：S n 2=a n （S n ﹣1），且S n ≠0，数列{b n }满足：对任意n ∈N *有b 1S 1+b 2S 2+⋯+b n S n =(n −1)⋅2n+1+2． （1）求证：数列{1S n}是等差数列； （2）求数列{b n }的通项公式；（3）设T n 是数列{2n−1b 2n−b n }的前n 项和，求证：T n ＜76． 解：（1）证明：由S n 2=a n （S n ﹣1）得S n 2=（S n ﹣S n ﹣1）（S n ﹣1）， 化简得S n S n ﹣1+S n ﹣S n ﹣1＝0，由于S n ≠0，所以又有1+1Sn−1−1S n =0， 即1S n −1S n−1=1， 又1S 1=1a 1=1，所以{1S n }是以1为首项，1为公差的等比数列；（2）结合（1）可得1S n =1+（n ﹣1）＝n ，所以有b 1+2b 2+…+nb n ＝（n ﹣1）•2n +1+2， 又有b 1+2b 2+…+nb n +（n +1）b n +1＝n •2n +2+2， 二式相减得（n +1）b n +1＝（n +1）•2n +1， 即b n +1＝2n +1，所以当n ≥2有b n ＝2n ，又b 1＝2，符合上式，所以b n ＝2n ；（3）结合（2）可知2n−1b 2n −b n =2n−122n −2n ＜2n−122n −22n−1=2n−122n−1， 所以T n ＜12+323+525+⋯+2n−122n−1， 设Q n =12+323+525+⋯+2n−122n−1， 则14Q n =123+325+527+⋯+2n−122n+1，二式相减得34Q n =12+2×（123+125+⋯+122n−1）−2n−122n+1=12+14×(1−(14)n−1)1−14−2n−122n+1， 即Q n =23+49(1−(14)n−1)−432n−122n+1， 又2n−122n+1＞0，所以Q n 随着n 的增大而增大， 当n →+∞，Q n →23+49=109，所以T n ＜109＜76．。
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷附答案解析
2024届宁波市九校高三数学上学期期末联考试卷2024.01注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．已知集合2{|210}A x x x =--≤，{}ln B x y x ==∣，则()R A B ⋂=ð（）A．[]0,1B．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C．(],1-∞D．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知复数252ii i z +=+，则z 的虚部为（）A．12-B．1-C．32-D．323．与双曲线2219y x -=有共同的渐近线，且经过点)的双曲线方程为（）A．223126x y -=B．223162y x -=C．221218x y -=D．221182y x -=4．若数列{}n a 为等比数列，则“31a ≥”是“152a a +≥”的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件5．体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（）A．60B．70C．80D．906．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b 上的投影向量为（）A．12b - B．13b - C．23b D．23b -7．已知tan 12A =，则cos44cos23cos44cos23A A A A -+=++（）A．116B．18C．14D．128．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（）A．数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的第70百分位数是8.5B．若随机变量()()2~2,10.68X N P x σ>=，，则()230.18P x ≤<=C．设A B ，为两个随机事件，()0P A >，若()()P B A P B =∣，则事件A 与事件B 相互独立D．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到24.712=χ，依据0.05α=的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ，可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510．已知()()()()()726701267211111x a a x a x a x a x -=+-+-++-+- ，则（）A．01a =B．7123731a a a a ++++=- C．5672a =-D．61237237143a a a a ++++=⨯ 11．抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为θ的动直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在第一象限），且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设B 关于y 轴的对称点为B '，则下列说法一定正确的是（）A．sin FA p FA θ+=B．22sin pAB θ=C．22cos AOBp S θ= D．2tan AFB S p θ'= 12．已知0a b >>，0c d >>， 1.1ln 1ln 1a ba b ==++，()()1ln 1ln 0.9c cd d -=-=，则（）A．2a b +>B．2c d +>C．11a bd c ->-D．1ad >第Ⅱ卷三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束）.假设小周每一局获胜的概率为13，小王每一局获胜的概率为23，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为.14．若点P 直线30x y ++=上的动点，过P 与圆22:410C x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α的最大值为.15．将函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 在π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F M 分别是棱1111,,B C C D AB 的中点，,G H 分别是线段1,AC EF 上的动点，则GHGM +的最小值为.四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18-22每小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*532323N n n S S a a n ==+∈，.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13n n b +=，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18．如图，在三棱锥-P ABC 中，1PA BC ==，AB =PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ，M 是PC 的中点.(1)求证：AB BC ⊥;(2)求平面PAB 与平面MAB 的夹角.19．某企业对2023年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下：月份x123456净利润y （万元）510265096195根据以上数据，绘制了散点图.(1)根据散点图判断，e dxy c =与y a bx =+（a b c d ，，，均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述y 与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)根据（1）的判断结果求出y 关于x 的回归方程；(3)已知该企业的产品合格率为90%，现随机抽取9件产品进行检测，则这9件产品中合格的件数最有可能是多少？参考数据：xyω()6211i x x =-∑()621ii ωω=-∑()()61iii x x ωω=--∑()()61iii x x y y =--∑3.5063.673.4917.509.4912.95519.01其中lny ω=.参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程ˆˆˆybx a =+的系数公式为，()()()121ˆni ii n ii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-.20．在ABC 中，已知sin 1,tan 2cos AAC B A ==-.(1)求AB 的长；(2)若BAC ∠的平分线AD 交BC 点D ，求AD BC ⋅的最大值.21．已知点(F 和直线l :y =，动点P 与定点F 的距离和P 到定直线l 的距离的比是常数22.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知()1,1M ，过点M 作直线l '交C 于A ，B 两点，若2AM MB =，求l '的斜率k 的值.22．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为()()()()()01v x y u x u x u x =>≠，，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数xy x =，()()()()ln ln ln e e e ln 1x x x x x x x y x x ''''⎡⎤====+⎢⎥⎣⎦.(1)已知()1x xf x x x -=>，，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若0m >且1m ≠，0x >.研究()112xxm g x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的单调性；(3)已知a b s t ，，，均大于0，且a b ¹，讨论2ts s a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和2st t a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭大小关系.1．D【分析】解一元二次不等式求集合A，由对数函数定义域求集合B，再由集合的交补运算求结果.【详解】由题设1{|(21)(1)0}{|1}2A x x x x x =+-≤=-≤≤，{|0}B x x =>，所以R {|0}B x x =≤ð，故()R 1{|0}2A B x x ⋂=-≤≤ð，即为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D2．C【分析】应用复数的乘方、除法运算化简，即可得虚部.【详解】252i 2i (2i)(1i)13i i i 1i (1i)(1i)22z +++--====--+-+-+--，故虚部为32-.故选：C 3．D【分析】设所求双曲线方程为229y x k-=，代入已知点坐标求解．【详解】由题意设所求双曲线方程为229y x k-=，又双曲线过点，∴2629k-=，即2k =-，∴双曲线方程为2229y x -=-，即221182y x -=，故选：D．4．C【分析】利用等比数列性质，结合基本不等式及不等式性质，由充分、必要性定义判断充分、必要性.【详解】若数列{}n a 的公比为q ，由2311a a q =≥，故10a >，则4510a a q =>，所以15322a a a +≥=≥，当且仅当15a a =，即21q =时取等号，故充分性成立；由152a a +≥，故23322a a q q +≥，若212q =，则345a ≥，故必要性不成立；故选：C5．B【分析】只需确定从8人中任抽4人放在第一排的方法数即可得答案.【详解】从8人中任抽4人放在第一排有48C 70=种，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70种.故选：B 6．D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=- ，由a 在b上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D7．A【分析】根据已知条件，结合二倍角公式，弦化切，即可求解．【详解】1tan 2A =，则2244224cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4sin 1tan cos 44cos 232cos 214cos 232(cos 21)4cos 16A A A A A A A A A A A A A-+--+-=====++-+++．故选：A．8．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，32h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.9．BCD【分析】根据百分位数的定义可判定A，利用正态分布的对称性可判定B，利用条件概率及相互独立事件的定义可判定C，利用独立性检验的意义可判定D.【详解】对于A，因为1070%7⨯=，又将数据从小到大排列，第7个数为7，第8个数为8，所以第70百分位数为7.5，故A 错误；对于B，根据正态分布的性质可知为()20.5P x ≥=，()()()()2312120.18P x P x P x P x ∴≤<=<≤=>-≥=，故B 正确；对于C，根据条件概率可知()()()()()()()P AB P B A P B P AB P A P B P A ==⇒=∣，由相互独立事件的判定可知C 正确；对于D，根据独立性检验的意义可知20.054.712x χ=>，故可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.05，故D 正确.故选：BCD.10．ABD【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.【详解】A：在已知等式中，令1x =，则有()7002111a a ⨯-=⇒=，所以本选项正确；B：在已知等式中，令2x =，则有()77012712722131a a a a a a a ⨯-=++++⇒+++=- ，所以本选项正确；C：因为()()7721211x x -=-+⎡⎤⎣⎦，所以()51x -项的系数55257C 21672a =⨯⨯=，D：对已知等式，两边同时求导，得()()()6612772122171x a a x a x -⨯=+-++- ，在该式中，令2x =，则有612714327a a a ⨯=+++ ，所以本选项正确，故选：ABD11．ACD【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义，结合倾斜角的意义及直角三角形锐角三角函数、三角形面积公式逐项判断即得.【详解】抛物线C ：()220x py p =>的焦点为(0,2p F ，准线方程为2p y =-，设11221(,),(,),0A x y B x y x >，过A 作AD x ⊥轴于D ，过F 作FM AD ⊥于M ，显然AFM θ∠=，由抛物线定义得1||2p FA y =+，1||||||||2pAM AD OF y FA p =-=-=-，而||||sin AM FA θ=，则||sin ||FA FA p θ=-，因此||sin ||FA p FA θ+=，A 正确；显然||1sin p FA θ=-，同理||1sin p FB θ=+，则22||||||1sin 1sin cos p p p AB FB FA θθθ=+=+=+-，B 错误；又π2OFB θ∠=-，则点O 到直线AB 的距离π||sin()cos 22pd OF θθ=-=，因此22112||cos 22cos 22cos AOBp p p S AB d θθθ=⋅=⋅⋅= ，C 正确；显然π2OFB OFB θ'∠=∠=-，则2AFB θ'∠=，又||||1sin pFB FB θ'==+，因此211||||sin 2sin 2tan 221sin 1sin AFB p p S FA FB p θθθθθ''==⋅⋅⋅=-+ ，D 正确.故选：ACD12．ABC【分析】构造函数()ln 1x f x x =+，则有()() 1.1f a f b ==、111 1.10.9ff c d ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得C、D，构造函数()213ln 122x F x x x x =-+-+，结合函数性质可得2a b +>，构造函数()()1ln g x x x =-及()()()2G x g x g x =--，可得2c d +>.【详解】令()ln 1x f x x =+，则()()2ln ln 1x f x x '=+，当110,,1e e x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<，当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭、1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,∞+上单调递增，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()111ln11f ==+，有()() 1.1f a f b ==，故11e b a <<<，又()11111ln ln 1c f c c c c ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，()11111ln ln 1d f d d d d ⎛⎫==⎪-⎝⎭+，故11110 1.10.99f f c d ⎛⎫⎛⎫===> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故有1111e b a cd <<<<<，故11a b d c ->-，即C 正确，11a d <<，即1ad <，故D 错误，令()213ln 122x F x x x x =-+-+，则()()2ln 1ln 1x F x x x =-++'，令()()2ln 1ln 1xx x x μ=-++，则()()()()()24311ln 12ln ln 11ln 11ln 1ln 1x x x x x x x x x x μ+-+-=-=-++'，当11e x <<时，()()31ln 11ln 1ln 0ln 1xx x x x x μ-=->--=-'>+，当1x >时，()()31ln 10ln 1x x x x μ-=-<+'，故()x μ在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()()2ln11110ln11μ=-+=+，故()0x μ≤恒成立，即()0F x '≤恒成立，故()F x 在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()113110ln1122F =-+-=+，故当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x >，当()1,x ∞∈+，()0F x <，即当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，213ln 122x x x x >-++，当()1,x ∞∈+时，213ln 122x x x x <-++，令2131.122x x -+=，即220.80x x -+=，此时4 3.20.80∆=-=>，故该方程有两个不相等的实根，设两根为1x 、2x ，且121x x <<，则有122x x +=，由 1.111a b lna lnb ==++，且11e b a <<<，故有11x b x a <<<，由122x x +=，故122a b x x +>+=，即2a b +>，故A 正确；令()()1ln g x x x =-，有()()0.9g c g d ==，则()1ln 1ln g x x x -'=-=-，当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1,x ∞∈+，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，有()11g =，又0c d >>，故1d c <<，令()()()()()()21ln 21ln 2G x g x g x x x x x ⎡⎤=--=-----⎣⎦，则()()()()()22ln ln 2ln 2G x g x g x x x x x =+-=---=-'-''，由01x <<，故()222111x x x -=--+<，即()0G x '>，故()G x 在()0,1上单调递增，又()10G =，故()0G x <恒成立，即()()2g x g x <-，由1d c <<，即有()()2g d g d <-，又()()g d g c =，即有()()2g c g d <-，有21d ->，1c >，又()g x在()1,∞+上单调递减，故2c d>-，即2c d+>，故B正确.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数()ln1xf xx=+，结合函数性质，从而得到a、b、1c、1d的大小关系，即可得C、D，构造函数()213ln122xF x x xx=-+-+与函数()()()2G x g x g x=--，从而得到a b+、+c d与2的关系.13．20 27【分析】应用独立事件乘法及互斥事件加法求小王在比赛中获胜的概率.【详解】由题设，小王在比赛中获胜情况：小王在前2局都胜，小王在前2局胜一局且第3局胜，所以小王在比赛中获胜的概率为222122023333327⨯+⨯⨯⨯=.故答案为：20 2714．5【分析】根据题设可得直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，有π(0,)22APCα∠=∈，结合点线距离求得52||2PC≥，再由22||||sin||AC APPCα==，即可求其最大值.【详解】由题意，直线与圆是相离关系，且22:(2)5C x y-+=，则(2,0)C，如下图，1π(0,)222APC APBα∠=∠=∈，且||PC≥=，所以22||||sin2sin cos22||AC APPCααα===，令212(0,||25tPC=∈，则sinα=所以max(sin)5α=.故答案为：15．10,3⎛⎤⎝⎦【分析】根据图象平移得()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，将问题化为siny t=在πππ(,π)266ωω++上递增，结合正弦函数性质求参数ω的取值范围.【详解】由题设()ππsin36g x xωω⎛⎫=++⎪⎝⎭，又π2π,63x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππππ(,π36266t xωωωω=++∈++，即siny t=在πππ(,π266ωω++上递增，又0ω>，所以ππ026πππ62ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩或ππ3π2π262π5ππ2π62kkωω⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩且Nk∈，故13ω<≤或843723kkωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩且Nk∈，则1(0,]3ω∈.故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦16．24612【分析】根据给定条件，确定点H的位置，再把111,AA C ABC展开放置于同一平面内，借助三点共线，结合余弦定理求解即得.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，连接11A C EF H'=，连接11B D，由1AA ⊥平面1111D C B A ，EF ⊂平面1111D C B A ，得1AA EF⊥，由,E F 分别是棱1111,B C C D 的中点，得11//EF B D ，而1111AC B D ⊥，则11A C EF⊥，又1111111,,AA A C A AA A C ⋂=⊂平面11AA C ，于是EF ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C，连接GH '，显然GH '⊂平面11AA C ，因此GH EF '⊥，则有GH GH '≥，当且仅当点H 与H '重合，即H 为线段EF 的中点时取等号，又MG ⊂平面1ABC ，把111,AA C ABC 展开放置于同一平面内，连接1MH AC G= ，于是GH GM +的最小值，即为线段MH 长，连接AH ，依题意，1A H =，在1Rt AA H 中，344AH =，11sin A AH A AH ∠=∠=1111sin A AC A AC ∠=∠=111sin sin 22A AB A AC ∠=∠=，21111cos cos 2123A AB A AC ∠=∠=-⨯=-，则111cos cos()33MAH A AB A AH ∠=∠-∠=-+在MAH 中，由余弦定理得MH =，GH GM +的最小值为.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.17．(1)43n a n =-；(2)552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.【分析】（1）根据等差数列前n 项和、通项公式列方程求基本量，即可得通项公式；（2）写出n n nc a b =的通项公式，应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题设有112115103(33)23a d a d a a d a +=+⎧⎨=+=+⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，即43n a n =-；（2）由（1）及已知得()1433n n n n c a b n -==-⋅，则()0111353433n n T n -=⨯+⨯++-⨯ ①，()()12131353473433n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，②-①，得()()121214333433n nn T n -=--++++-⨯ ()()13131443313n nn --=--⨯+-⨯-()5453nn =+-⨯，所以552322n n T n ⎛⎫=-⨯+⎪⎝⎭.18．(1)证明见解析；(2)π4.【分析】（1）作AH PB ⊥，垂足为H ，根据面面垂直性质得AH ⊥平面PBC ，再由线面垂直性质得AH BC ⊥、PA BC ⊥，最后由线面垂直的判定及性质证结论；（2）法一：构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的大小；法二：取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME ，由面面角的定义找到其平面角，再根据已知条件求平面角的大小.【详解】（1）作AH PB ⊥，垂足为H，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =，AH ⊂平面PAB ，所以AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AH BC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，因为PA AH A ⋂=，,PA AH ⊂面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，由AB ⊂平面PAB ，所以BC AB ⊥.（2）（向量法）如图，以B 为原点，,BC BA 及垂直面ABC 向上为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系.所以()()()11,1,0,0,,,222A C P M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()BA =，1122BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，易知平面PAB 的一个法向量(1,0,0)m =，设平面AMB 的法向量为(,,)n x y z =，则011022BA n BM n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令1x =，所以(1,0,1)n =-，则||2|cos ,|2||||m n m n m n ⋅===，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.（几何法）取AB 中点E ，PB 中点D ，连结DM ，DE ，ME，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又//DE PA ，所以DE AB ⊥，由（1）知，BC ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC PB ⊥，在直角PBC 和直角PAC △中PC ===，12AM PC BM ===，所以MAB △是等腰三角形，所以ME AB ⊥，综上，DEM ∠即为二面角P AB M --的平面角，12DE =，12DM =，2EM ==，则222DE DM EM +=，所以DEM △为等腰直角三角形，故π4DEM ∠=，所以平面PAB 与平面MAB 的夹角为π4.19．(1)e dx y c =(2)0.740.90ˆe x y +=(3)8件或9件【分析】（1）根据散点图的趋势即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解方程，（3）根据二项分布求解概率，即可根据不等式求解最值.【详解】（1）由于散点图呈现在曲线附近，所以选择e dxy c =（2）两边取对数，得ln ln y dx c =+，设ln y ω=，ln c e =，建立ω关于x 的回归方程ˆˆˆwdx e =+，则()()()6126112.950.7417.50ˆi i i i i x x dx x ωω==∑--===∑-，3.490.74 3.500.90ˆˆe dx ω=-=-⨯=，所以ω关于x 的回归方程为0.74.0ˆ09x ω=+，所以0.740.90ˆe x y +=.（3）设抽到的产品中有X 件合格品，则()~9,0.9X B ，所以()()99C 0.90.101210k k k P X k k -==⋅⋅= ，，，，，()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩，即91189********C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1C 0.90.1k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，()()()()()()91891109!9!0.90.10.90.1!9!1!8!9!9!0.90.10.90.1!9!1!10!k k k kk k k kk k k k k k k k -+----⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪-+-⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪---⎩，解得89k ≤≤，所以最有可能是8件或9件.20．(1)2(2)2【分析】（1）根据条件及正弦的和角公式得到2sin sin B C =，再利用正弦定理即可求出结果；（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，利用ABC ABD ACD S S S =+ 及条件得出4cos 3AD θ=，再利用余弦定理得BC =AD BC ⋅=【详解】（1）由题意得，sin sin cos 2cos B AB A =-，得到2sin sin cos sin cos B B A A B -=，所以()2sin sin cos sin cos sin sin B A B B A A B C=+=+=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得到2AB AC =，又1AC =，所以2AB =.（2）设π,(0)2BAD ∠θθ=∈,，因为ABC ABD ACD S S S =+ ，所以111sin2sin sin 222bc AD c AD b θθθ=⋅+⋅，又2,1c b ==，所以4cos 3AD θ=，由余弦定理，BC ===所以AD BC ⋅=当3cos 4θ=时，AD BC ⋅取到最大值.21．(1)22142y x +=(2)k 【分析】（1）设(),P x y ，用坐标表示出已知关系化简即得；（2）设1122(,),(,)A x yB x y ，直线方程为(1)1y k x =-+代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x+，再由向量运算的坐标表示得出12,x x 的关系，结合越来可求得k 值．【详解】（1）设(),P x y=，化简得C :22142y x +=.（2）设l '：()()()()1122111,,y k x kx k A x y B x y =-+=+-，，，与C 联立得，()()2222222230kx k kx k k ++-+--=，因为221131424+=<，则定点()1,1在椭圆内，则该直线与椭圆必有两交点，所以21222122222232k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩①②因为2AM MB = ，所以()2OM OA OB OM-=-，即1233OM OA OB =+ ，所以1223x x +=③，由①③得212222462262k k x k k k x k ⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩④⑤，将④⑤代入②，得222222462623222k k k k k k k k k --++--⋅=+++，化简得2732300k k ++=，，解得k .【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，联立椭圆方程得到韦达定理式，再根据向量关系式，从而解出212222462262k kxkk kxk⎧--=⎪⎪+⎨++⎪=⎪+⎩，最后得到关于k的方程，解出即可.22．(1)1y=(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则即可求解，（2）利用“指数化"，即可结合复合函数的求导法则求导，构造函数()()()()ln1ln11ln2 t t t t t tϕ=-++++，即可求解，（3）根据()g x的单调性，即可令bma=求解.【详解】（1）()11lne x xx xxf x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，则()1ln2211e1ln1x xxf x xx x⎛⎫-⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫=++-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，所以()10f'=，又因为()11f=，所以切线方程为1y=.（2）()()1ln1ln21e2xmx xxmg x+-⎛⎫+==⎪⎝⎭，0x>，()()()()()()ln 1ln 22ln 1ln 11ln2e1x m x x x x x xxm m m m m g x x m +--++++=⋅+'，0x >令0x m t =>，令()()()()ln 1ln 11ln2t t t t t t ϕ=-++++，()()2ln ln 1ln2ln 1tt t t t ϕ=-++=+'，令()2ln01tt t ϕ'=>+，解得1t >，所以()t ϕ在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()10t ϕϕ>=，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增.（3）由（2）知，令b m a =，得()111122xxx x x b a b ag x a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎛⎫+⎝⎭⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，由（2）知()g x 在()0,∞+上单调递增.所以()12xxxa b h x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递增，当s t ≥时，1122ssttsta b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22tss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当s t <时，22t ss s t t a b a b ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数；(3)利用导数研究单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．。
浙江省宁波市九校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题【含答案】
宁波市2023学年第二学期期末九校联考高二数学试题第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知平面,,,,,l m n αβγαββγγα⋂=⋂=⋂=.则“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．给出四组成对数据：（1）()()()()2,3,1,1,0,1,1,3----；（2）()()()()0,0,1,1,2,4,3,9；（3）()(()(2,0,3,0,2,3-；（4）()()()()0,0,1,1,2,2,3,3---，其中样本相关系数最小的是（）（提示：样本相关系数()()()()12211ni i i n n i i i i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）3．已知函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()()2,4,g x 是()f x 的反函数，则函数22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．既是偶函数又是减函数D ．既是偶函数又是增函数4．已知函数()231cos 22x f x x =++，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()1πsin 1212g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．()πsin 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭C ．()1sin 12g x x =+D ．()sin21g x x =+5．在ABC 中，已知sin cos 2cos ,2sin sin cos B B A A C C ==，则()tan πB +=（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣，则()P A =（）A ．0.05B ．0.27C ．0.68D ．0.327．在正三棱锥A BCD -中，侧棱AB =点E 在棱BC 上，且16BE BC ==若球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，过点E 作球O 的截面α，则所得的截面中，面积最小的截面的面积为（）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知实数1,2,3,4,5,6,7，将这7个数适当排列成一列数127,,,a a a ，满足1234567a a a a a a a <<>><<，则满足要求的排列的个数为（）A ．58B ．71C ．85D ．96二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知关于x 的方程()210x tx t ++=∈R 在复数范围内的根为12,x x .若122x x -=，则实数t 的值可能为（）A ．B ．1C ．0D ．-10．高考数学试题第二部分为多选题，共3个小题，每小题有4个选项，其中有2个或3个是正确选项，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是12，记X 为小明随机选择1个选项的得分，记Y 为小明随机选择2个选项的得分，则（）A ．()()00P X P Y =>=B ．()()34P X P Y ===C ．()()E X E Y =D ．()()D X Y D >11．已知2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，则（）A ．展开式的各二项式系数的和为0B ．1220251a a a +++=- C ．20252024202301220252221a a a a ++++= D ．1220251111a a a +++=- 第II 卷三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{2,0,1},{1}M N x x a =-=-<∣.若M N ⋂的真子集个数是3，则实数a 的取值范围是.13．已知平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，对任意的实数k ，a kb c ++ 的最小值为.14．已知定义在R 上的函数()f x 满足下列两个条件：①()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+；②()30,0x f x x ∀>+>.请你写出一个符合要求的函数解析式.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知函数()321x f x x-=-.(1)设()()g x f x a b =++，若()g x 是奇函数，求,a b 的值，并证明；(2)已知函数[)[)21,1,03()2(),0,13x m x h x f x m x ⎧++∈-⎪⎪=⎨⎪+∈⎪⎩，若关于x 的方程()h x mx =在[)1,1-内恰有两个不同解，求实数m 的取值范围.16．如图，在三棱锥D ABC -中，CD ⊥平面,1,2,ABC BC BA B ==是以AC 为直径的圆周上的一点，,M N 分别是,BD AD 上的动点，且MN 平面ABC ，二面角C AB D --的大小为45.(1)求证：MN AB ；(2)求证：MN ⊥平面BCD ；(3)当直线CN 与平面ABD 所成的角最大时，求AN 的值.17．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分[](](](](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12,12,14,14,16,16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计该地区高一学生阅读时间的上四分位数；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]4,6，(]8,10二组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了20个学生，得到均值为8，方差为3.75，现在已知(]4,6这一组学生的均值为5，方差为2；求(]8,10这一组学生的均值和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用()P k 表示这10名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]8,14内的概率，其中0,1,2,,10k =⋯.当()P k 最大时，写出k 的值，并说明理由.18．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c sin C c =.(1)若tan tan tan ,3A B C a =+=，求ABC 的面积；(2)若B 为锐角，ABC ABC 的内切圆半径的最大值.19．（1）我们学过组合恒等式11C C C m m m n n n -+=+，实际上可以理解为011111C C C C C m m m n n n -+=+，请你利用这个观点快速求解：051423324150105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++.（计算结果用组合数表示）（2）（i ）求证：1111C C k k n n n k--=；（ii ）求值：101220250(1)C 2025n n n n n -=--∑.1．C【分析】根据面面垂直的判定和性质结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当,,αβγ两两垂直时，在β内作a l ⊥，在γ内作b n ⊥，因为αβ⊥，l αβ= ，γα⊥，n γα=I ，所以,a b αα⊥⊥，所以a ‖b ，因为,a γb γ⊄⊂，所以a ‖γ，因为,a m ββγ⊂= ，所以a ‖m ，因为a α⊥，所以m α⊥，因为,l n α⊂，所以,m l m n ⊥⊥，同理可证得n l ⊥，所以,,l m n两两垂直，当,,l m n 两两垂直时，因为,,l m n αββγγα⋂=⋂=⋂=，所以,,,,,n l l m m n αβγ⊂⊂⊂，因为m n ⊥，所以m 与n 是相交直线，因为,l m l n ⊥⊥，,m n γ⊂，所以l γ⊥，因为,l l αβ⊂⊂，所以,αγβγ⊥⊥，同理可证得αβ⊥，所以,,αβγ两两垂直，所以“,,l m n 两两垂直”是“,,αβγ两两垂直”的充要条件，故选：C2．D【分析】画出散点图，结合相关性的定义即可求解.【详解】分别作出四组数据的散点图，根据散点图可知：第（1）（2）呈正相关，第（3）（4）组数据呈现负相关，但显然第（4）组相关系数更小，3．B【分析】首先代入点的坐标求出a ，即可求出()g x 的解析式，从而求出22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】因为函数()(0x f x a a =>，且1)a ≠的图象过点()2,4，所以24a =，解得2a =（负值已舍去），所以()2x f x =，又()g x 是()f x 的反函数，所以()2log g x x =，则222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，令202x x +>-，解得22x -<<，所以22x g x +⎛⎫ ⎪-⎝⎭的定义域为()2,2-，令()222log 22x x h x g x x ++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则()()2222log log 22x x h x h x x x -+⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()22x h x g x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，又24122x y x x +-==---在()2,2-上单调递增，2log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，所以222log 22x x g x x ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭在()2,2-上单调递增.故选：B4．A【分析】利用辅助角公式与三角函数的伸缩变换和平移变换即可得解.【详解】由()211cos 1πsin cos sin sin 12222226x x f x x x x +⎛⎫=++++=++ ⎪⎝⎭，先将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得：11πsin 1226f x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得的图象向右平移π6个单位长度，可得()1ππ1πsin 1sin 1266212g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5．A【分析】对已知等式利用三角形内角和定理、两角和的正弦公式和同角三角函数商关系进行化简tan tan .A C =和tan tan 1,tan C B A==，最后利用诱导公式计算结果；【详解】在ABC 中，sin 2cos ,sin 2cos sin ,π,sin()2cos sin ,sin B A B A C A B C A C A C C =∴=++=∴+= sin cos cos sin 2cos sin ,sin cos cos sin A C A C A C A C A C∴+==化简得sin sin =,tan tan .cos cos A C A C A C =cos 2sin ,cos 2sin cos sin 2cos sin cos B A B A C B A C C=∴== 两式做比值得tan tan 1,tan C B A ==则()tan πB +=tan 1,B =故选：A.6．C 【分析】根据条件概率公式可得(),()P AB P AB ，进而可得()P A ，即可由对立事件概率公式求解.【详解】由()0.1,()0.5,()0.3P B P AB P A B ===∣∣可得()()()0.05,(()()0.30.90.27P AB P B P A B P AB P B P A B ====⨯=∣∣,所以()()()0.050.270.32P A P AB P AB =+=+=,故()1()0.68P A P A =-=,故选：C7．B【分析】取正BCD △的中心G ，根据正三棱锥的结构特征分析可知AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，结合外接球的性质可得外接球的半径为5R =，分析可知当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的面积最小，据此运算求解即可.【详解】如图，取正BCD △的中心G ，连接,,AG GE OE ，由题意可知：AG ⊥平面BCD ，且O AG ∈，由BG ⊂平面BCD ，可得AG BG ⊥，因为正BCD △的边长为62162262sin 60BG ==︒可得226AG AB BG -=，设正三棱锥A BCD -的外接球的半径为R ，则()(222626R R =-+，解得5R =，可知1OG AG R =-=，在BEG 中，可知26,2,30BG BE EBG ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos EG BG BE BG BE EBG =+-⋅⋅∠，即23242262142EG =+-⨯⨯，可得14EG =则2215OE EG OG =+=由球的性质可知：当且仅当OE ⊥截面α，截面圆的半径最小，即圆的面积最小，此时圆的半径为2210r R OE =-=210πr π=，所以面积最小的截面的面积为10π.故选：B.8．B【分析】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，分51a =，52a =和53a =三类进行讨论.【详解】根据题意，3746,,,a a a a 都比5a 大，所以5a 可能取1,2或3，当51a =时，67,a a 有26C 种选法，剩余数字中3a 最大，12,a a 有23C 种选法，最后剩下一个就是4a ，共有2263C C 15345=⨯=种，当52a =时，11a =，67,a a 有25C 种选法，剩余数字中3a 最大，而2a ，4a 有22A 种选法，共有2252C A 10220=⨯=种，当53a =时，11a =，22a =，67,a a 有24C 种选法，剩余数字3a ，4a 只有1种，共有24C 6=种，则满足要求的排列的个数为4520671++=种.故选：B9．ACD【分析】根据韦达定理求得()22124x x t =--，讨论24t -，求得12x x -，结合条件，即可求解.【详解】由韦达定理可知，12x x t +=-，121=x x ，()()22221211244x x x x x x t +-=-=-，当240t ->时，12x x -，则122x x -==，得t =±当240t -<时，12x x -=，则122x x -=，得0=t .故选：ACD10．BC【分析】A 选项，X 0=，分该题有两个正确选项和3个正确选项，计算出()308P X ==，()203P Y ==，A 错误；B 选项，计算出()()1344P X P Y ====；C 选项，求出X 的可能取值和对应的概率，计算出()32E X =，同理可得()32E Y =，得到C 正确；D 选项，利用方差计算公式得到()()D X D Y <.【详解】A 选项，X 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，故()11211144C C 11302C 2C 8P X ==⨯+⨯=，Y 0=，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择1个，从两个正确选择中选择1个，或选择两个错误选项，若该题有三个正确选项，则小明选择错误选项，再从3个正确选项中选择1个，故()11112132222244C C C C C 11202C 2C 3P Y +==⨯+⨯=，故()()00P X P Y =<=，A 错误；B 选项，3X =，即该题有两个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1214C 1132C 4P X ==⨯=，4Y =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择2个，故()2324C 1142C 4P Y ==⨯=，故()()34P X P Y ===，B 正确；C 选项，X 的可能取值为0,2,3，其中()308P X ==，()134P X ==，2X =，即该题有3个正确选项，小明从正确选项中选择1个，故()1314C 1322C 8P X ==⨯=，故()33130238842E X =⨯+⨯+⨯=，Y 的可能取值为0,4,6，其中()203P Y ==，()144P Y ==，6Y =，即该题有2个正确选项，小明选择了2个正确选项，()2224C 1162C 12P Y ==⨯=，故()211304634122E Y =⨯+⨯+⨯=所以()()E X E Y =，C 正确；D 选项，()22233333130232828242D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2223231311904623242124D Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然()()D X D Y <，D 错误.故选：BC11．BCD【分析】二项式系数和为2n ，得出A ；令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，令0x =，得到01a =，得出B ；由二项式定理可得()2025C 1k k k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，它是()()202521+-的展开，得到C ；1C k n =1111112C C k k n n n n +++⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 化简即可得D.【详解】2025220250122025(1)x a a x a x a x -=++++ ，展开式的各二项式系数的和为20252，所以A 错；令0x =，得到01a =，令1x =，得到01220250a a a a ++++= ，1220251a a a +++∴=- ，所以B 对；由二项式定理可得：()()20252025C C 1k k k k k x x -=-，()2025C 1kk k a =-，所以()20252025202522C 1k k k k k a --=-，0,1,22025k = ，()()()()()()202501220252025020241202320202520252025202520252C 12C 12C 12C 1211-+-+-+-=+-= ，20252024202301220252221a a a a ∴++++= ，故C 对；()2025C 1,0,12025kk k a k =-= ，()()()()()()()!!!!2!!11111C !21!21!k n k n k k n k n k n k k n k n n n n n n n --+-+++-++==⋅=⋅++++()()()()()111!1!1!!111121!1!2C C k k n n k n k k n k n n n n n n +++⎡⎤+-+-⎛⎫++=+=+⎢⎥ ⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()2025202520252025012202500020252025202520252025202511111111C C C C C 1C k k k k k k k k a ===-===-+-+--∑∑∑ ，12025202620261202611C 2027C C k k k +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2020202501122025202602026202620262026202620261202611111112027C C C C C C k k a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑ 020262026202620261102027C C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭011a = ，1220251111a a a +++∴=- ，故D 对.故选：BCD.12．10a -<<【分析】M N ⋂的真子集个数是3，所以共有2个元素，分{}1,0M N ⋂=-和{}0,2M N ⋂=两种情况即可解出答案.【详解】M N ⋂的真子集个数是3，M N ⋂共有n 个元素，所以213n -=，2n =.{}{1}11N x x a x a x a =-<=-<<+∣∣若{}1,0M N ⋂=-，则有11012a a -<-⎧⎨<+≤⎩，10a ∴-<<；若{}0,2M N ⋂=，则有11012a a -≤-<⎧⎨+>⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围是10a -<<.故答案为：10a -<<.13．122-【分析】根据题意，得到由a kb c a kb c ++≥+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，结合221a kb k k +=-+ ，得到a kb +.【详解】因为平面向量,,a b c 满足1a b == ，a 与b 的夹角为1120,2c = ，可得12a b ⋅=- ，由12a kbc a kb c a kb ++≥+-=+- ，当且仅当a k b + 与向量c 反向时，等号成立，又由222222121()24a kb a k b ka b k k k +=++⋅=-+=-+ ，当12k =时，a kb +所以a kb c ++的最小值为122-.12.14．()3(0)f x x kx k =-+>（答案不唯一）【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可.【详解】因为()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，所以()()3226=-f x f x x ，可得()()332(2)2⎡⎤+=+⎣⎦f x x f x x ，设()3(0)f x x kx k +=>，可得()3(0)f x x kx k =-+>.因为()()()()3322333+=-+++=----++f x y x y k x y x x y xy y k x y ，()()()()3223333+-+=----++f x f y xy x y x x y xy y k x y ，所以()()()()3f x y f x f y xy x y +=+-+，且()30+=>f x x kx ，符合题意.故答案为：()3(0)f x x kx k =-+>.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到()()3226=-f x f x x ，再构造函数.15．(1)13a b =⎧⎨=⎩，证明见解析(2)[)()3,03,99,2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将()321x f x x -=-代入()()g x f x a b =++，结合奇函数定义可得答案.（2）由()h x mx =[)1,1-内恰有两个不同解，得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，23y mx m =-过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合图象分析即可.【详解】（1）法一：()131f x x =---，所以()131g x b x a =-+-+-，因为()g x 是奇函数，所以()()g x g x -=-，所以113311b b x a x a ⎡⎤-+-=--+-⎢⎥-+-+-⎣⎦整理得：()222262(1)0a b x a ⎡⎤-+---=⎣⎦所以220620a b -=⎧⎨-=⎩，所以13a b =⎧⎨=⎩，法二：()131g x b x a =-+-+-，因为奇函数的定义域关于原点对称，所以10a -=，则1a =，取()()11g g -=-得3b =，所以13a b =⎧⎨=⎩.，由上，()1g x x=-且定义域为{|0}x x ≠关于原点对称，且()()11g x g x x x-=-==--，即()g x 为奇函数，得证.（2）由题意得[)[)1,1,0()32,0,11x x k x x x x⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪-⎩和23y mx m =-两个函数图象有两个交点，32213x mx m x -=--，得到25232033mx m x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，若0m ≠时，由Δ=0，解得9m =，且()k x 过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，又23y mx m =-也经过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，当23y mx m =-经过点()0,2-时，3m =，当23y mx m =-经过点()0,1时，32m =-，由图可知m 的取值范围是[)()3,03,99,2∞⎛⎤-⋃⋃+ ⎥⎝⎦.16．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据线面平行的性质定理得出线线平行；（2）先证明AB ⊥平面BCD ，再由//MN AB 即可得证；（3）先找出线面角CNM ∠，再由sin CM CNM CN∠=转化为求CN 最小值，此时可得AN .【详解】（1）因为//MN 平面,ABC MN ⊂平面ABD ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，所以//MN AB .（2）因为CD ⊥平面,ABC CD ⊂平面BCD ，所以平面ABC ⊥平面BCD ，因为B 是以AC 为直径的圆周上一点，所以AB BC ⊥，又平面ABC ⋂平面,BCD BC AB =⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面BCD ，由（1）得//MN AB ，所以MN ⊥平面BCD .（3）由（2）可知AB ⊥平面,BCD AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD当M 为BD 中点时，因为BCD △是等腰直角三角形，则CM BD ⊥，且1BC =，则CM =，由平面ABD ⊥平面BCD ，BD 为交线，CM ⊂平面BCD ，CM BD ⊥，可得CM ⊥平面ABD ，所以CN 在平面ABD 上的射影为NM ，则直线CN 和平面ABD 所成的角为CNM ∠.sin CM CNM CN∠=.所以当CN 最小时，CNM ∠最大.此时CN AD ⊥，由AC ==AD ==可得2AC AN AD ==17．(1)11.5(2)平均值为9，方差为13(3)6k =，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图中概率之和等于1，得出0.10,a =再计算高一学生阅读时间的上四分位数；（2）根据分层抽样抽取人数，利用平均数和方差公式解出结果；（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，根据()P k 最大不等式节出k 的值；【详解】（1）由频率分布直方图得：()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=，解得0.10,a =频率分布直方图中，第一个小长方形面积为20.020.04,⨯=第二个小长方形面积为20.030.06,⨯=第三、四个小长方形面积为20.050.1,⨯=第五个小长方形面积为20.150.3,⨯=第六个小长方形面积为20.10.2,⨯=前六个长方形面积和为0.8，所以高一学生阅读时间的上四分位数在第六个小长方形内，设高一学生阅读时间的上四分位数为x ；()0.6100.10.75x +-⨯=，解得11.5x =（2）按分层抽样(](]4,6,8,10二组内的学生抽取的学生分别为5人，15人设(]8,10这一组的平均值x ，方差y55158920x x ⨯+⨯=⇒=所以总体方差是{}22152(58)15(98) 3.7520y ⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，解得13y =（3）以样本的频率估计概率，该问题是二项分布问题，由频率分布直方图可知(]8,14内的概率是0.1520.120.0520.6⨯+⨯+⨯=，由()()()()11P k P k P k P k ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩得1011111010101191010C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4C 0.60.4k k k k k kk k k k k k -----++-⎧≥⎨≥⎩解得5.6 6.6k ≤≤所以当()P k 最大时，6k =18．(1)3)1【分析】（1）先应用正弦定理求出角B,再分类讨论应用两角和差正切公式求出角C ，再求面积即可；（2）应用三角形面积等于周长乘以半径的一半，再结合不等式求最大值即得.【详解】（1sin C c =sin sin B C C =，所以2sin 2B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =，或3π4B =（i ）当π4B =时，tan 1tan AC =+因为()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +-=+=-，所以tan tan 1tan tan A C A C -=+化简得2tan tan 20C C --=，所以tan 1C =-，或tan 2C =①当tan 1C =-时，3π4C ∠=（舍去）；②当tan 2C =时，作AD BC ⊥于D ，得12,32AD BD CD CB CD BD BD BD ===+=+=，所以2,2BD AD ==，此时132ABC S BC AD =⨯= （ii ）当3π4B =时，tan 1tan AC =-+类似可得：tan tan 1tan tan A C A C-+=+化简得：2tan tan 20C C +-=，所以tan 1C =，或者tan 2C =-.①当πtan 1,,tan 04C C A ===，舍去；②当tan 2,C C =-为钝角，舍去综上得3ABC S =△.（2）由（1）可知ππ,2244B b ===记ABC 内切圆半径为得r ，因为()11sin 22ac B a b c r =++，所以sin ac B r a b c ==++因为222π2cos 4b a c ac =+-，所以(24()2a c ac =+-+，即2ac =，所以)22222ac r a c a c ===+-++由(2224()2())a c ac a c a c =+-+≥+-+，得a c +≤所以)max 21r ⎫==⎪⎪⎭当且仅当a c =时取等号.19．（1）515C ；（2）（i ）证明见解析；（ii ）22025-【分析】（1）依题意，将已知式拆开，使其可利用组合恒等式，通过多次提取系数运用恒等式即可求得；（2）（i ）利用组合数公式与排列数公式之间的关系推理即得；（ii ）将所求和式展开后，拆项，利用（i ）式化简，通过构造数列建立和式之间的递推关系，分析得到数列的周期性，从而利用周期求的结果.【详解】（1）0514********105105105105105105C C C C C C C C C C C C +++++011223344510101010101010101010C C C C C C C C C 46644C 4=+++++++++123451223344511111111111111111111111111C 4C 6C 4C C C C 3C 3C 3C 3C C C =++++=+++++++234523344512121212121212121212C 3C 3C C C C 2C 2C C C =+++=+++++345344545513131313131313141415C 2C C C C C C C C C =++=+++=+=；（2）（i ）1111A A A 111C C !!!k n k k k k n n n n n n k k k kn ----=⋅===；（ii ）10120123202520252024202320220(1)1111C C C C C 20252025202420132012n n n n n -=-=-+-+-∑ 101210131C 1013+012310122025202420232022101312025202520252025C C C C C 20252024202320221013⎡⎤=-+-++⎢⎥⎣⎦ 0123101220252024202320221013+)1[(C C C C C 2025=-+++ 12310122024202320221013231012C C C C ]2024202320221031()1--+-- 由（i ）得11C C k k n n k n--=，则有102110121011202420232023202210131012121012C C ,C C ,,C C 202420231013==⋯=，原式()()0123101201210112025202420232022101320232022202110121C C C C C C C C C 2025⎡⎤=-+-++--+--⎣⎦构造数列{}n a ，令0123123C C C C n n n n n a ---=-+-+ ，则01231112C C C C n n n n n a ++--=-+-+ ，所以()()012301231112123C C C C C C C C n n n n n n n n n n a a ++------=-+-+--+-+()()()()00112233111223C C C C C C C C n n n n n n n n +-----=---+---+ 0121231C C C n n n n a ----=-+-+=- 所以11n n n a a a +-=-，即()2111n n n n n n n a a a a a a a ++--=-=--=-，即3n n a a +=-，所以63n n n a a a ++=-=，即数列{}n a 是周期为6的数列.又因为12345620231202531,0,1,1,0,1,,1,1a a a a a a a a a a ===-=-======- ，所以()()1012202520252023310(1)112C 2025202520252025n n n n a a a a n -=-=-=-=--∑.【点睛】关键点点睛：本题主要考查组合恒等式的应用和利用构造数列求解和式问题，属于难题.解题关键在于熟悉组合数与排列数的阶乘计算公式，掌握组合数的性质，并能根据和式组成的规律性，构造对应的数列，运用数列的相关性质求解问题.。
宁波市江东区2014年初中生学业模拟考试数学试题及答案
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 宁波市江东区2014年初中生学业模拟考试数 学 试 题考试须知：1. 全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷．试卷共6页，有三个大题，26个小题，满分为150分，考试时间为120分钟．2. 请将学校、姓名、准考证号等信息分别填写在答题卷的规定位置上．3. 答题时，把试卷Ⅰ的答案写在答题卷一上对应的选项位置用2B 铅笔涂黑、涂满．将试卷Ⅱ的答案用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷二、三各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．4. 不允许使用计算器，没有近似要求的计算，结果不能用近似值表示．5. 抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --． 试 题 卷 Ⅰ一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．下列各数中最小的是A ．0B ．1-C ．3-D ．22．直线2y x =-与y 轴的交点坐标是A ．(2,0)B ．(2,0)-C ．(0,2)D ．(0,2)-3．下列多项式在实数范围内不能．．因式分解的是 A ．221x x -+ B ．21x - C ．22x x - D ．21x +4．风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，才能在风口处平稳旋转．现有一长条矩形硬纸板（其中心有一个小孔）和两张全等的矩形薄纸片，将纸片粘到硬纸板上，做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车．正确的粘合方法是A B C D5．已知二元一次方程341x y -=，则用含x 的代数式表示y 是A ．134x y -=B ．314x y -=C ．314x y +=D ．314x y +=-----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 6．说明命题“如果,,a b c 是△ABC 的三边，那么长为1,1,1a b c ---的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是A ．2,2,3a b c ===B ．2,2,2a b c ===C ．2,b 2,c 4a ===D ．3,b 4,c 5a ===7．如图，飞机客舱第12排的6个座位都还没有售出，座号分别是12A ，12B ，12C ，12D ，12E ，12F ，某人随机购买第12排座位字母相邻的2张机票，则他购得的票中有一个座位靠窗的概率是A ．12B ．25C ．13D ．148．不等式141126x x -+->的解是 A ．5x <- B ．10x >- C ．10x <- D ．8x <-9．已知抛物线23y x ax a =-++对称轴在y 轴的右侧，顶点在x 轴上，则a 的值是 A ．6 B ．-2 C ．6或-2 D ．410．对于反比例函数xy 6-=图象对称性的叙述错误．．的是 A ．关于原点对称 B ．关于直线y x =对称C ．关于直线y x =-对称D ．关于x 轴对称11．如图，菱形ABCD 中，∠A=120°，E 是AD 上的点，沿BE 折叠△ABE ，点A 恰好落在BD 上的点F ，那么∠BFC 的度数是A ．60°B ．70°C ．75°D ．80°12．如图，AD 是△ABC 的高，AB=15，AC=12，AD=10，则△ABC 的外接圆直径AE 长为A ．20B ．18C ．16D ． 试 题 卷 Ⅱ二、填空题（每小题4分，共24分）13．计算Sin60°的值是 ．14．化简：21221(1)x x x x -++=++ ． 15．某超市计划招聘一名收银员，下表是三名应聘者的素质测试成绩，超市根据实际需要，对电脑操作、商品知识、语言表达三项测试成绩分别赋予权重5︰3︰2．那么这三人中 成绩最好．（第7题） （第11题） （第12题）----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有----------------------------------------------16．如图，矩形A B C D 中，A B =2，A D =，以A 为圆心A B 为半径的弧交D C 于E ，则BE 长为 ．17．如图，△ABC 中，AB=AC=15，∠B=30°，在AB 、AC 、BC 上分别取一点D 、E 、F ，使AD=AE ，BD=DF ，要使△DEF 和△CEF 均是直角三角形，那么AD= ．C B18．如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，AD=3，BC=7，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，G 在BC 上，EG∥AF，则CG 的长等于．三、解答题（19题6分，20～21每题8分，22～24每题10分，25题12分，26题14分，共78分）19．计算（1）2012(3)(1)6()23-+-⨯-． （2 20．如图是2014年3月19日到23日宁波、三亚两地每天的最高温度统计图，在右边的统计表中空缺3个统计数．（1）求出空缺的3个统计数，并填在表内；（2）宁波5天中最高温度的方差比三亚大，这说明了什么？21．已知三角形的三边分别为a 、b 、c ，且1a m =-，b =，1c m =+（1m >）．（1）这个三角形一定是直角三角形吗？为什么？（2）试给出一组直角三角形的三边的长，使它的最小边不小于20，另两边的差为2，三边均为正整数。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题答案
宁波市二2220学年第学期九校联考高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（1）若选①：sin sin cos 222B C A Ac c c π+−==．cos sin 2Ac a C ∴=．--------------------------------------------------------------------------------------1分sin cos sin sin 2AC A C ∴=．------------------------------------------------------------------------------3分cos sin 2sin cos 222A A A A ∴==． 1sin 22A ∴=．又0A π<<，故02A π<<，故2A π=，解得3A π=．------------------------------------------5分若选②：)222cos ABC S b c a A =+−=△．----------------------------------------------2分1cos sin 2A bc A =． sin A A =．---------------------------------------------4分tan A ∴=3A π=．-------------------------------------------------------------------------------5分（2）2CD BD AD ==．23AD a ∴=且1233AD AB AC =+．222144999AD AB AC AB AC ∴=++⋅．22241429999a cb bc ∴=++，即222442a c b bc =++．①------------------------------------------7分 又由余弦定理得222a b c bc =+−．②联立①②可得2c b =，a =．---------------------------------------------------------------------9分 从而222a b c +=，故ABC △是直角三角形．------------------------------------------------------10分18．解：（1）()sin cos 4f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．()f x 的图象关于直线8x π=对称．,842k k Z πππωπ∴+=+∈，解得82,k k Z ω=+∈．当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,4464x ππππωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭．()f x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值．3642πππω∴+≤，解得152ω≤． 又0ω>，所以2ω=，所以()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．-------------------------------------------4分令()222242k x k k Z πππππ−+≤+≤+∈，解得()388k x k k Z ππππ−+≤≤+∈． 所以()f x 的单调增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤−++⎢⎥⎣∈⎦．-----------------------------------------6分 （2）任意1,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，均存在[]20,2x ∈，使得()()12f x g x ≤．()()12max max f x g x ∴≤．----------------------------------------------------------------------------------7分 1,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．1352,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦．()1max 1f x ∴=．又()()log 242x a g x a a =−+（0a >且1a ≠）在定义域上是增函数．()()()2max 2log 2421a g x g a a ∴==−+≥．----------------------------------------------------------9分21242a a a a >⎧∴⎨−+≥⎩或201242a a a a <<⎧⎨−+≤⎩2a ∴≥或112a ≤<．------------------------------------------------------------------------------------12分19．解：（1）（i ）证明：()()()11nni i i i i i i i x x y y x y x y xy x y ==−−=−−+∑∑1111n n n ni i i i i i i i x y x y xy x y =====−−+∑∑∑∑1111nn n ni i i i i i i i x y y x x y x y =====−−+∑∑∑∑()()1ni i i x y y nx x ny nx y ==−−+∑1ni i i x y nx y ==−∑，在上式中分别用,i x x 替代,i y y ，得()22211nni i i i x xx nx ==−=−∑∑，同理，也有()22211nni ii i y yyny ==−=−∑∑，故样本相关系数ni ix ynx yr −=∑．-------------------------------------------------4分（ii ）可知10117610i i x x ===∑，10117310i i y y ===∑．10110536201076731860i i i x y x y =∴−≈−⨯⨯=−∑，10222110581501076390i i x x =−≈−⨯=∑，1022211064810107311520ii yy =−≈−⨯=∑，1010620.8970i ix yx yr −∴≈=≈−≈−∑故顾客投诉次数与航班正点率之间的线性相关程度很强．--------------------------------------8分（2）557673453a x y =+=⨯+=．------------------------------------------------------------------------10分令545360y x =−+≤，得78.6x ≥．即该公司的航班正点率应达到78.6%．-------------------------------------------------------------12分20．解：（1）P （甲队晋级）3394416=⨯=，P （乙队晋级）322535=⨯=．X 的可能取值为0,1,2．()922101116580P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．B ()92924111116516580P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ()929216540P X ==⨯=． X ∴的分布列为-----------------------------------------------4分()214197701280804080E X ∴=⨯+⨯+⨯=．--------------------------------------------------------------6分 （2）记事件A = “甲队获得冠军”，B = “该题由甲队抢到答题权”．()()()()()291323||3163540P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=．-----------------------------------9分 故()()()()()()29|15316|232340P AB P B P A B P B A P A P A ⨯====．--------------------------------------------12分21．解：（1）过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．平面ABC ⊥平面BCD ， 平面ABC 平面BCD BC =，AE BC ⊥，AE ⊂平面ABC ． AE ∴⊥平面BCD ． AE CD ∴⊥．AD AB ⊥，AB AC ⊥，AC AD A =．AB ∴⊥平面ACD ． AB CD ∴⊥．又AE AB A =，故CD ⊥平面ABC ．--------------------------------------------------------------4分 （2）过点D 作DF BC ⊥，垂足为F ．平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC 平面BCD BC =， DF BC ⊥，DF ⊂平面BCD ． DF ∴⊥平面ABC ． DBC ∴∠是BD 与平面ABC 所成的角． 在ABC △中，sin sin CD BCDBC BDC=∠∠， 即12sin sin DBC BDC=∠∠． ∴当sin 1BDC ∠=即CD BD ⊥时，sin DBC ∠最大，故DBC ∠最大，此时30DBC ∠=．-----------------------------------------------------------------7分 记l α=平面BCD ．过点E 作EG l ⊥，垂足为G ，连结AG ． //BC α，BC ⊂平面BCD ，l α=平面BCD ．//l BC ∴．故平面ADG 就是平面α．----------------------------------------------------------------9分 AE ⊥平面BCD ． AE l ∴⊥．C B图②EG l ⊥，EG AE E =． l ∴⊥平面AGE ． l AG ∴⊥．AGE ∴∠是平面α与平面BCD 的夹角．12tan 332AE AGE GE ∠===． 21cos 7AGE ∴∠=．------------------------12分 22．解：（1）若3t =，则()31f x t x −=−+，()()222621238g x t x x x −=−+=−+．(){}2min 31,1238m x x x x ∴=−+−+．令221238x x x −=−+， 得15x =，28x =．故函数()m x 的图象如右图所示．----------2分 ()m x ∴的单调减区间为(),3−∞，()5,6，单调增区间为()3,5，()6,+∞．------------4分 （2）()min 1f x =，()min 2g x =． ()min 1m x ∴=．∴不等式()m x t<有解的必要条件是1t >．①当12t <≤时，如图①所示， 令()m x t <，即()f x t <， 得()1,21D t =−．()222L D t ∴=−≤，不符合题意．------------------------------------------------------------6分当2t >时，令()1x t g x −+=，得()2241410x t x t t −++++=． 解得141432t t x +−−=，241432t t x ++−=．令11x t t −+=，得3t =．②当23t <≤时，如图②所示， ()f x t <的解集为()1,21t −，()g x t <的解集为()22,22t t t t −−+−，此时()2222L D t t =−+−．令()6L D =，解得3t =．----------------9分 ③当3t >时，如图③所示，图①22241432224443102t t x t t t t t t +−−++−=+−−−−−−=<222t t x ∴+−< 令()m x t <，得()1,22D t t =+−． ()221L D t t ∴=+−−．令()6L D =，解得3t =或174t =，均舍去． 综上所述，3t =．-----------------------------------------------------------------------------------12分图③。
青浦区2014学年第二学期期末青东片九校联考(六年级数学参考答案)
青浦区2014学年第二学期期末青东片九校联考六年级数学参考答案 2015.6（考试时间90分钟，满分100分）一、选择题（本大题共有4个小题，每题3分，满分12分）1. C ；2. D ；3. B ；4. C.二、填空题（本大题共有14个小题，每题2分，满分28分）5. 0；6. 3±；（少写不得分）7. >；8. 510694.4⨯； 9. <；10. 7-；11. 231xy -=； 12. 1 ；13. a a 22≥-；14.)41(601565或=-x x ； 15. 1； 16. 15°或105°；（少写不得分）17. 面F 、A 、C 、E ；（少写不得分；漏写“面”字不扣分） 18. 175°.三、计算题（本大题共有6个小题，每题4分，满分24分）19. 解：222131⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---4131+--=…………3分（各1分）)415(433--=或……1分20. 解1：1261225.1312⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-解2：1261225.1312⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++-126134537⨯⎪⎭⎫⎝⎛++-=126134537⨯⎪⎭⎫⎝⎛++-=……1分 1261312451237⨯+⨯+⨯-=12122612151228⨯⎪⎭⎫⎝⎛++-=……1分 261528++-=……3分（各1分） 121213⨯=…………1分 13=………………1分13=………………1分21. 解：1723512=+--x x ()()35235127=+--x x ……1分351015714=---x x ……1分 1735+=-x ………………1分 52-=x ……………………1分所以原方程的解是52-=x .22. )3()2()1(.52,1,6⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=++z y x y x z y x 解：①+②得 52=+z x ④…………………………1分把④代入③得0=y .…………………………1分 把0=y 代入②得 1-=x .…………………………1分 把1=x 代入④得 52=+-z 解得.7=z .…………………………1分所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==-=.7,0,1z y x注：不写结论扣1分，其它解法视情况给分. 23. 解：2132xx -<- ()x x 3622-<-…………1分x x 3642-<-…………1分 105<x2<x …………1分图略.…………1分注：数轴上至少要标注两个数字，否则画图分不给.24. ()⎪⎩⎪⎨⎧-<-+≤+)2(31221)1(1315x x x x解：由①得，1≤x .…………1分由②得，1->x .…………1分所以原不等式组的解集为11≤<-x .…………1分 整数解为1,0.…………1分四、简答题（本大题共有4个小题，每题6分，满分24分）25. （1）作图1分，结论1分；（2）作图3分，结论1分. 注：只有结论没画图不给分.26. 解：设这个角的余角和补角的度数分别为x x 5,2，…………1分根据题意得x x 5180290-=- .…………2分解得.30=x …………1分所以 602=x ，1505=x .…………1分答：求这个角的余角和补角分别为60和150.…………1分 注：其它解法视情况给分.27. 解：大长方体的体积1205432=⨯⨯⨯=V （立方厘米）.……2分大长方体的表面积有三种情况：①()1644323554434=⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯=S （平方厘米）；………1分 ②()1485423554434=⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯=S （平方厘米）；………1分 ③()1583523554434=⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯=S （平方厘米）.………1分答：大长方体的体积为120立方厘米，表面积为164、148或158平方厘米..………1分注：整个．．解题过程中只要出现过“立方厘米”和“平方厘米”的，不扣单位分，否则扣1分.28. 解：因为 180=∠+∠AOD DOB ，所以14436180180=-=∠-=∠DOB AOD .…………2分 又因为 180=∠+∠AOD AOC ，所以36144180180=-=∠-=∠AOD AOC .…………1分 因为OE 平分AOD ∠， 所以 7221=∠=∠AOD EOD ，…………2分所以108=∠+∠=∠DOB EOD EOB .…………1分五、应用题（本大题共有2个小题，每题6分，满分12分）29. 解：设每件服装的进价为x 元，标价y 件，根据题意，得⎩⎨⎧=-=-.57.0,359.0y x y x …………2分 解得⎩⎨⎧==.150,100y x …………1分经检验⎩⎨⎧==150,100y x 是原方程的解且符合题意.设这批服装的数量为m 件，根据题意得80025235=⨯+⨯mm …………1分 解得m =40.…………1分经检验m =40是原方程的解且符合题意.答：每件服装的进价为100元，这批服装的数量为40件.…………1分 注：其它解法视情况给分.30. 解：（1）乙.…………1分（2）设参加活动的学生人数为x 人，则参加活动的大人为()x -60人，单人的基准价格为a 元，根据题意得…………1分()607.06.0609.0⨯=+-⨯a ax x a ………………1分整理，得423.054=-x .解得40=x .……………………………………1分 所以参加活动的学生人数为40人. （3）m n 2>…………………………2分 注：（3）的等价结论一样给分.。
浙江省宁波市2014年中考数学试卷(解析版)
浙江省宁波市2014年中考数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）﹣2．（4分）（2014•宁波）宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元，其中253.7）．根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一4．（4分）（2014•宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（））的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．•4•2π•2=8π）AB===5O B7．（4分）（2014•宁波）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）．．8．（4分）（2014•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（）．：，求出=．=，=====，DAC==•=×，====9．（4分）（2014•宁波）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）：10．（4分）（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（）A11．（4分）（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）AC=CF=3AF==2CH=AF=×2=12．（4分）（2014•宁波）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关析：=二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）（2014•宁波）﹣4的绝对值是4．14．（4分）（2014•宁波）方程=的根x= ﹣1．15．（4分）（2014•宁波）某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图，其中售出红豆口味的雪糕200支，那么售出水果口味雪糕的数量是150支．∴售出雪糕总量为16．（4分）（2014•宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．（（17．（4分）（2014•宁波）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17个这样的停车位．（≈1.4）≈1.54=5×≈3.1418．（4分）（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．==•OCOA=2，AM=2GENE== GE=2NE=2AGE=GE•AM=×2×2，66三、解答题（本大题有8小题，共78分）19．（6分）（2014•宁波）（1）化简：（a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣2ab；（2）解不等式：5（x﹣2）﹣2（x+1）＞3．20．（8分）（2014•宁波）作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完成，某部门对今年4月份中的7天进行了公共自行车日租车量的统计，结果如图：（1）求这7天日租车量的众数、中位数和平均数；（2）用（1）中的平均数估计4月份（30天）共租车多少万车次；（3）市政府在公共自行车建设项目中共投入9600万元，估计2014年共租车3200万车次，每车次平均收入租车费0.1元，求2014年租车费收入占总投入的百分率（精确到0.1%）．30天）共租车）根据题意得：=21．（8分）（2014•宁波）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）22．（10分）（2014•宁波）如图，点A、B分别在x，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO=CD=2，AB=DA=，反比例函数y=（k＞0）的图象过CD的中点E．（1）求证：△AOB≌△DCA；（2）求k的值；（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，是判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由．的坐标y=的图象上．AD=AC=y=的图象上．23．（10分）（2014•宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．a=﹣x x时，得x x24．（10分）（2014•宁波）用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．（1）用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？x=7∴盒子的个数为：25．（12分）（2014•宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．所以联立得方程组，即三分线长分别是26．（14分）（2014•宁波）木匠黄师傅用长AB=3，宽BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、O2分别在CD、AB上，半径分别是O1C、O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（0＜x＜1），圆的半径为y．①求y关于x的函数解析式；②当x取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．度．则选择最小跨度，取其r=．r=．时，r=x=r=﹣=时，r=＞r=（﹣=时，r=（）=时，（）＜（），x=最大为．＜＜，。