2020高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理

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2019-2020年高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明AB卷文新人教A版

3. (xx ·陕西， 16) 观察下列等式 11
1－ 2＝ 2
11111 1－ 2＋ 3－ 4＝ 3＋ 4
11111111 1－ 2＋ 3－ 4＋ 5－ 6＝4＋ 5＋ 6
…… 据此规律，第 n 个等式可为 ________.
解析等式左边的特征：第 1 个等式有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，
1 11
1
1
答案 1－ 2＋ 3－ 4＋…＋ 2n－1－ 2n＝ n＋ 1＋ n＋ 2＋…＋ 2n
4. (xx ·陕西， 13) 观察下列等式
(1 ＋ 1) ＝2×１ (2 ＋ 1)(2 ＋2) ＝ 22×1× 3 (3 ＋ 1)(3 ＋2)(3 ＋ 3) ＝ 23× 1× 3× 5
……
照此规律，第 n 个等式可为 ____________________________________________.
，
Bn≠
Bn＋
2，
n∈
*
N
(
P≠Q
表示点
P
与 Q不重合 ). 若 dn＝ | AnBn| ， Sn 为△ An BnBn＋1 的面积，则 (
)
A.{ Sn} 是等差数列
B.{ S2n} 是等差数列
C.{ dn} 是等差数列
D.{ d2n} 是等差数列
1 解析 Sn 表示点 An 到对面直线的距离 ( 设为 hn) 乘以 | BnBn－1| 长度一半，即 Sn＝ 2hn| BnBn－1| ，
1 则 Sn＋1－ Sn＝ 2| AnAn＋1|| BnBn＋1|tan θ，都为定值，
所以 Sn＋1－ Sn 为定值，故选 A. 答案 A
2. (xx ·山东， 12) 观察下列等式：

2019-2020年高考高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件理

解析 (1)观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数，且奇
数的个数等于所在的行数加1，每行的第一个数字为行数加1
的和的3次方减去所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的第一个数，则an1 ＝(n＋1)3－n，因此第4行第一个数为(4＋1)3 －4＝121，则第4个等式为：54＝121＋123＋125＋127＋129.
＜
________(a，b 为正数，且 a＞b).
解析每一个不等式的右边是在不等式左边的分子，分母上各加了相同的正数，因此猜测：ba＜ba＋＋mm，(a，b，m 均为正数，且 a＞b). 答案 ba＋＋mm(a，b，m 均为正数，且 a＞b)
(2)类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”得空间相应的结论为________.
►数学归纳法的两点注意 [①明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题成立. ②由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清增加的项，并明确变形目标] (4)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋… ＋a2n＋1＝1－1－a2an＋2(a≠1)” 在验证 n＝1 时，左端计算所得项为________. 解析将 n＝1 代入 a2n＋1 得 a3，所以应为 1＋a＋a2＋a3. 答案 1＋a＋a2＋a3
都具有这些特征的推理，或者由一类对象也具有这些特征的推理
个别事实概括出一般结论的推理
由部分到整体、由个别到特点
一般的推理
由特殊到特殊的推理
(1)找出两类事物之间的相似性或一 (1)通过观察个别情况发现某些相
致性；一般同性质；
(2)用一类事物的性质去推测另一类步骤 (2)从已知的相同性质中推出一个
知识点三数学归纳法
1.数学归纳法的定义 (1)当 n 取第一个值 n0 时，证明命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当__n_＝__k_＋__1___ 时，命题也成立.于是命题对一切 n∈N*，n≥n0，命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.

2020届高考理科数学_人教版_一轮复习资料第七章不等式_推理与证明_第一节不等关系与一元二次不等式 (6)

课时跟踪检测(四十二) 数学归纳法1．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N *)，则f (1)的值为( ) A ．1 B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：选C 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.2．下列结论能用数学归纳法证明的是( )A ．x ＞sin x ，x ∈(0，π)B ．e x ≥x ＋1(x ∈R)C ．1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *) D ．sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(α，β∈R)解析：选C 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知选项C 符合题意．3．已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( )A ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2B ．f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2C ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2D ．f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2解析：选A f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项解析：选D 令不等式的左边为g (n )，则g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k .故左边增加了2k 项．5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋an ＋1＝1－a n ＋21－a (n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为___________．解析：当n ＝1时，n ＋1＝2，所以左边＝1＋a ＋a 2.答案：1＋a ＋a 26．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2＞12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________．解析：观察不等式中分母的变化便知．答案：122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2＞12－1k ＋37．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×1×(1＋1)2＝1，左边＝右边，原等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2. 那么，当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1·k 2＋(－1)k ·(k ＋1)2＝(－1)k －1·k (k ＋1)2＋(－1)k ·(k ＋1)2 ＝(－1)k ·k ＋12[－k ＋2(k ＋1)] ＝(－1)k·(k ＋1)(k ＋2)2. ∴n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n ∈N *，都有12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 8．用数学归纳法证明：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝12＋1，所以32≤1＋12≤32，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞1＋k 2＋2k ·12k ＋2k＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＜12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．9．已知数列{a n }满足a 1＝a ＞2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：对任意n ∈N *，a n ＞2恒成立；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n ＜2n ＋43. 解：(1)证明：用数学归纳法证明a n ＞2(n ∈N *)恒成立． ①当n ＝1时，a 1＝a ＞2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a k ＞2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2＞2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法，知对一切的n ∈N *，都有a n ＞2成立．(2)数列{a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n ＞2，所以a 2n ＋1－a 2n ＜0，所以a n ＋1＜a n .所以{a n }是单调递减的数列．(3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n ＞2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2＜14，所以a n ＋1－2＜14(a n －2)＜⎝⎛⎭⎫142(a n －1－2)＜…＜⎝⎛⎭⎫14n ·(a 1－2)．所以当a ＝3时，a n ＋1－2＜⎝⎛⎭⎫14n ，即a n ＋1＜⎝⎛⎭⎫14n ＋2. 当n ＝1时，S 1＝3＜2＋43，当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n＜3＋⎝⎛⎭⎫14＋2＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫142＋2＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n －1＜2n ＋43. 综上，当a ＝3时，S n ＜2n ＋43(n ∈N *)．。

高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件文新人教A版

推理问题突破方法归纳推理技巧与方法
类比推理的技巧与方法
【例1】 (1)(2016·河南八市重点高中联考)观察下列等式： 24＝7＋9 34＝25＋27＋29 44＝61＋63＋65＋67 …… 照此规律，第 4 个等式可为________.
(2)(2014·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n －m≥1，m，n∈N*)，则 am＋n＝nnb－－mma.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n －m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝________.
n－m dn
(2)
cm
[点评] 关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的
方法，进一步解决问题即可.
综合法和分析法求解方略
利用分析法证明问题的思路分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.
(1)解因为四边形 OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 设 At，12，代入椭圆方程得t42＋14＝1，即 t＝± 3.所以|AC|＝2 3.
(2)证明假设四边形 OABC 为菱形.
因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC⊥OB，所以 k≠0.
由
消 y 并整理得
解析 (1)观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数加1，每行的第一个数字为行数加1 的和的3次方减去所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的第一个数，则an1＝(n＋1)3－n，因此第4行第一个数为(4＋1)3 －4＝121，则第4个等式为：54＝121＋123＋125＋127＋129.

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.6推理与证明考试要求 1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.3.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.4.了解反证法的思考过程和特点.知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明(1)综合法①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1―→Q1⇒Q2―→Q2⇒Q3―→…―→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)．③思维过程：执果索因．4．间接证明反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．(×)教材改编题1．已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是()A．a n＝3n－1 B．a n＝4n－3C．a n＝n2D．a n＝3n－1答案 C解析a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.2．给出下列命题：“①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等，③正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是()A．①②⇒③B．①③⇒②C．②③⇒①D．以上都不对答案 C解析“矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的对角线相等”是结论．所以②③⇒①.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根.题型一合情推理与演绎推理命题点1归纳推理例1如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是()A．(2n＋1)(2n＋2) B．3(2n＋2)C．2n(5n＋1) D．(n＋2)(n＋3)答案 D解析由已知中的图形可以得到：当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，……由此可以推断，第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3)．命题点2类比推理例2(2022·铜仁质检)在△ABC中，BC⊥AC，AC＝a，BC＝b，则△ABC的外接圆的半径r＝a2＋b22，将此结论类比推广到空间中可得：在四面体P－ABC中，P A，PB，PC两两垂直，P A＝a，PB＝b，PC＝c，则四面体P－ABC的外接球的半径R＝________.答案a2＋b2＋c22解析可以类比得到：在四面体P－ABC中，P A，PB，PC两两垂直，P A＝a，PB＝b，PC ＝c，四面体P－ABC的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.下面进行证明：可将图形补成以P A，PB，PC为邻边的长方体，则四面体P－ABC的外接球即为长方体的外接球，所以半径R＝a2＋b2＋c22.命题点3演绎推理例3下面是小明同学利用三段论模式给出的一个推理过程：①若{a n}是等比数列，则{a n＋a n＋1}是等比数列(大前提)，②若b n＝(－1)n，则数列{b n}是等比数列(小前提)，③所以数列{b n ＋b n＋1}是等比数列(结论)，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 B解析大前提错误：当a n＝(－1)n时，a n＋a n＋1＝0，此时{a n＋a n＋1}不是等比数列；小前提正确：∵b n＝(－1)n，∴b nb n－1＝－1n－1n－1＝－1(n≥2，n∈N*)为常数，∴数列{b n}是首项为－1，公比为－1的等比数列；结论错误：b n＋b n＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故数列{b n＋b n＋1}不是等比数列．教师备选1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 023的末两位数字为()A．01 B．43 C．07 D．49答案 B解析∵72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649,78＝823 543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末两位数字具备周期性，且周期为4，∵2 023＝4×505＋3，∴72 023和73的末两位数字相同，故72 023的末两位数字为43.2．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)答案 B解析在等差数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则a s＋a t＝a p＋a q，若a m＝0，则a n＋1＋a n＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，当m＝10时，a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比数列{b n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，则b s b t＝b p b q，若b m＝1，则b n＋1b n＋2·…·b2m－2－n b2m－1－n＝1，所以b1b2·…·b n＝b1b2·…·b2m－1－n成立，当m＝11时，b1b2·…·b n＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立．3．“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log2|x|是对数函数，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理()A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．推理形式错误答案 C解析本命题的小前提是f(x)＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝log a x(a>0且a≠1)的才是对数函数．故选C. 思维升华(1)归纳推理问题的常见类型及解题策略①与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号．②与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意纵向对比，找到规律．③与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(2)类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练1(1)(2022·南昌模拟)已知x>0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2B．n n C．2n D．22n－2答案 B解析由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得x＋ax n≥n＋1中，a的值为n n.(2)类比是学习探索中一种常用的思想方法，在等差数列与等比数列的学习中我们发现：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数改为正整数指数幂，相应地就可以得到与等比数列的一个形式相同的关系式，反之也成立．在等差数列{a n}中有a n －k ＋a n ＋k ＝2a n (n >k )，借助类比，在等比数列{b n }中有________．答案 b n －k b n ＋k ＝b 2n (n >k )解析由题设描述，将左式加改乘，则相当于a n －k ＋a n ＋k 改写为b n －k b n ＋k ；将右式正整数2改为指数，则相当于2a n 改写为b 2n ，∴等比数列{b n }中有b n －k b n ＋k ＝b 2n (n >k )．(3)(2022·银川模拟)一道四个选项的选择题，赵、钱、孙、李各选了一个选项，且选的恰好各不相同．赵说：“我选的是A.”钱说：“我选的是B ，C ，D 之一．”孙说：“我选的是C.”李说：“我选的是D.”已知四人中只有一人说了假话，则说假话的人可能是________．答案孙、李解析赵不可能说谎，否则由于钱不选A ，则孙和李之一选A ，出现两人说谎．钱不可能说谎，否则与赵同时说谎；所以可能的情况是赵、钱、孙、李选择的分别为(A ，C ，B ，D)或(A ，D ，C ，B)，所以说假话的人可能是孙、李．题型二直接证明与间接证明命题点1 综合法例4 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13，当且仅当“a ＝b ＝c ”时等号成立．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，当且仅当“a 2＝b 2＝c 2”时等号成立，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 命题点2 分析法例5 用分析法证明：当x ≥0，y ≥0时，2y ≥x ＋2y －x .证明要证不等式成立，只需证x ＋2y ≥x ＋2y 成立，即证(x ＋2y )2≥(x ＋2y )2成立，即证x ＋2y ＋22xy ≥x ＋2y 成立，即证2xy ≥0成立，因为x ≥0，y ≥0，所以2xy ≥0，所以原不等式成立．命题点3 反证法例6 已知非零实数a ，b ，c 两两不相等．证明：三个一元二次方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0不可能都只有一个实根．证明假设三个方程都只有一个实根，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－ac ＝0， ①c 2－ab ＝0， ②a 2－bc ＝0. ③①＋②＋③，得a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝0，④ ④化为(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0.⑤ 于是a ＝b ＝c ，这与已知条件相矛盾．因此，所给三个方程不可能都只有一个实根．教师备选(2022·贵州质检)请在综合法、分析法、反证法中选择两种不同的方法证明：(1)如果a >0，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2； (2)22－7>10－3.解 (1)方法一 (综合法)因为a >0，b >0，所以a ＋b 2≥ab ，所以lg a ＋b 2≥lg ab . 因为lg ab ＝12lg(ab )＝12(lg a ＋lg b )，所以lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2. 方法二 (分析法)要证lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2，即证lg a ＋b 2≥12lg(ab )＝lg ab ，即证a ＋b 2≥ab ，由a >0，b >0，上式显然成立，则原不等式成立．(2)方法一 (分析法)要证22－7>10－3，即证22＋3>10＋7，即证(22＋3)2>(10＋7)2.即证17＋122>17＋270，即证122>270，即证62>70.因为(62)2＝72>(70)2＝70，所以62>70成立．由上述分析可知22－7>10－3成立．方法二 (综合法)由22－7＝122＋7，且10－3＝110＋3，由22<10，7<3，可得22＋7<10＋3，可得122＋7>110＋3，即22－7>10－3成立．思维升华 (1)综合法证题从已知条件出发，分析法从要证结论入手，证明一些复杂问题，可采用两头凑的方法．(2)反证法适用于不好直接证明的问题，应用反证法证明时必须先否定结论．跟踪训练2 (1)已知a >0，b >0，求证：a ＋b 2≥2ab a ＋b； (2)已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a >0，b >0，c >0.证明 (1)∵a >0，b >0，要证a ＋b 2≥2ab a ＋b，只要证(a ＋b )2≥4ab ，只要证(a ＋b )2－4ab ≥0，即证a 2－2ab ＋b 2≥0，而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立，故a ＋b 2≥2ab a ＋b成立． (2)假设a ，b ，c 不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a ≤0，下面分a ＝0和a <0两种情况讨论，如果a ＝0，则abc ＝0与abc >0矛盾，所以a ＝0不可能，如果a <0，那么由abc >0可得，bc <0，又因为a ＋b ＋c >0，所以b ＋c >－a >0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，这和已知ab ＋bc ＋ca >0相矛盾，因此，a <0也不可能，综上所述，a >0，同理可证b >0，c >0，所以原命题成立．课时精练1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫1e x 是增函数(结论)．上述推理错误的原因是( )A ．小前提不正确B ．大前提不正确C ．推理形式不正确D ．大、小前提都不正确答案 B解析大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在a >1时是增函数，而在0<a <1时为减函数．2．(2022·大庆联考)用反证法证明命题：“若a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝0，则a ，b ，c ，d 都为0”．下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c ，d 都不为0B ．假设a ，b ，c ，d 至多有一个为0C ．假设a ，b ，c ，d 不都为0D ．假设a ，b ，c ，d 至少有两个为0答案 C解析需假设a ，b ，c ，d 不都为0.3．若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根，则称该带分数为“穿墙数”，例如223＝223.若一个“穿墙数”的整数部分等于log 28，则分数部分等于( )A.37B.49C.38D.716答案 C解析因为log 28＝3，所以可设这个“穿墙数”为3＋n m，则3＋n m ＝3n m ，等式两边平方得3＋n m ＝9n m ，即n m ＝38. 4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，归纳出n 边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④答案 C解析 ①为类比推理，从特殊到特殊，正确；②④为归纳推理，从特殊到一般，正确；③不符合类比推理和归纳推理的定义，错误．5．(2022·普宁模拟)有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析乙、丙、丁所说为假⇒甲拿4，甲、乙所说为假⇒丙拿1，甲所说为假⇒乙拿2，故甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为4,2,1,3.6．观察下列数的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第2 023项是( )A ．61B ．62C ．63D ．64答案 D解析由规律可得，数字相同的数的个数依次为1,2,3,4，…，n .由n n ＋12≤2 023，得n ≤63，且n ∈N *，当n ＝63时，共有63×642＝2 016项，则第2 017项至第2 080项均为64，即第2 023项是64.7．观察下列各式：已知a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则归纳猜测a 7＋b 7＝________.答案 29解析观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a 7＋b 7＝29.8．若三角形内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12(a ＋b ＋c )r ，利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4) 解析设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．9．选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)证明：6＋7>22＋5；(2)设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 证明 (1)要证6＋7>22＋5，只需证明(6＋7)2>(22＋5)2，即证明242>240，也就是证明42>40，式子显然成立，故原不等式成立．(2)2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋ab c ＝⎝⎛⎭⎫bc a ＋ac b ＋⎝⎛⎭⎫bc a ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c≥2abc 2ab ＋2acb 2ac ＋2bca 2bc＝2c ＋2b ＋2a ，所以bc a ＋ac b ＋ab c≥a ＋b ＋c ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．解假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立，即1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立． ∵x >0且y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x .两式相加得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，即x ＋y ≤2.此与已知条件x ＋y >2相矛盾， ∴1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．11．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在2＋2＋2＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2＋x ＝x 确定x ＝2，类比上述解决方法，则正数1＋11＋11＋…等于( ) A.1＋32B.1＋52C.－1＋52D.－1＋32答案 B解析依题意1＋1x＝x ，其中x 为正数，即x 2－x －1＝0，解得x ＝1＋52(负根舍去)． 12．大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m 3分裂后，其中有一个奇数是103，则m 的值是( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 B解析因为底数为2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m 3有m 个奇数，则从底数是2到底数是m 一共有2＋3＋4＋…＋m ＝2＋m m －12个奇数，又2n ＋1＝103时，有n ＝51，则奇数103是从3开始的第52个奇数，因为9＋29－12＝44，10＋210－12＝54，所以第52个奇数是底数为10的数的立方分裂的奇数的其中一个，即m ＝10.13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，…，则在这个子数列中第2 022个数是( )A ．3 976B ．3 978C ．3 980D ．3 982答案 C解析由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，当n ＝63时，63×63＋12＝2 016，即前63次共取了2 016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3 969，即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970,3 972,3 974,3 976,3 978,3 980，…，所以第2 022个数是3 980.14．(2022·平顶山模拟)某市为了缓解交通压力，实行机动车限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周六和周日不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可推测出今天是星期________．答案四解析由题意，A ，C 只能在每周前三天限行，又昨天B 限行，E 车明天可以上路，因此今天不能是一周的前3天，因此今天是周四．这样周一、周二A ，C 限行，周三B 限行，周四E 限行，周五D 限行．满足题意．15．已知a ，b ，c ∈R ，若b a ·c a >1且b a ＋c a ≥－2，则下列结论成立的是( ) A ．a ，b ，c 同号 B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．a ，c 同号，b 与它们异号D ．b ，c 同号，a 与b ，c 的符号关系不确定答案 A解析由b a ·c a >1知b a 与c a 同号，若b a >0且c a >0，不等式b a ＋c a ≥－2显然成立，若b a <0且c a <0，则－b a>0，－c a>0，⎝⎛⎭⎫－b a ＋⎝⎛⎭⎫－c a ≥2⎝⎛⎭⎫－b a ·⎝⎛⎭⎫－c a >2，即b a ＋c a <－2，这与b a ＋c a ≥－2矛盾，故b a >0且c a>0，即a ，b ，c 同号．16．已知α，β为锐角，求证：1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9. 解要证1cos 2α＋1sin 2αsin 2βcos 2β≥9，只需证1cos 2α＋4sin 2αsin 22β≥9， ① 考虑到sin 22β≤1，可知4sin 2αsin 22β≥4sin 2α，因而要证①应先证1cos 2α＋4sin 2α≥9，即证sin 2α＋cos 2αcos 2α＋4sin 2α＋cos 2αsin 2α≥9，又sin2α＋cos2αcos2α＋4sin2α＋cos2αsin2α＝sin2αcos2α＋4cos2αsin2α＋5≥9，所以原不等式成立．。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.4 基本不等式考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析当b a为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案－1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94，当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0，即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________．答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52，当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________．答案 12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2，当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案 4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________．答案 27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________．答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22，当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ，则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22，当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确；因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________．答案 174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号，令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14，因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________．答案 3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22，当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。

高中数学一轮复习课件：第七章不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-1

令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得 x1＝－a4，x2＝a3.
①当 a>0 时，－a4<a3，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3； ②当 a＝0 时，－a4＝a3＝0，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}； ③当 a<0 时，－a4>a3，不等式的解集为 x|x<a3，或x>－a4. 综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3；
5.简单分式不等式的解法
x－a x－b>0
等价于(x－a)(x－b)>0；
x－a x－b<0
等价于(x－a)(x－b)<0；
xx－－ab≥0 等价于xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0 等价于xx－－ba≠0x－. b≤0，
[辨识巧记] 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x0⇔a>b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，
a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
ab<1⇔a<ba∈R，b>0.
2．不等式的基本性质
m＋n＝3， n－m＝－1，
解得mn＝＝12.，
因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，

高考数学一轮总复习：第七章不等式及推理与证明

高考数学一轮总复习：第七章不等式及推理与证明目录第1课时不等式与不等关系第2课时一元二次不等式的解法第3课时简单的线性规划第4课时基本不等式第5课时合情推理与演绎推理第6课时直接证明与间接证明第1课时不等式与不等关系1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0；②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0；③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析对于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －adab >0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又c a －d b >0，即bc －ad ab >0，∴②正确；对于③，∵bc －ad>0，又c a －db >0，即bc －adab>0，∴ab>0，∴③正确．2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2B.b a <1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b答案 D解析方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 21，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D.3．设a∈R ，则a>1是1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a <1a>1，故选A.4．设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( ) A ．a －b>0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0 D ．a ＋b<0 答案 D5．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.6．设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.7．已知0<a<b，且a＋b＝1，下列不等式成立的是( ) A．log2a>0 B．2a－b>1C．2ab>2 D．log2(ab)<－2答案 D解析方法一(特殊值法)：取a＝14，b＝34验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a－b<0，0<ab<14，log2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( )A．ab<b2<1 B．log12b<log12a<0C．2b<2a<2 D．a2<ab<1 答案 C解析方法一(特殊值法)：取b＝14，a＝12.方法二(单调性法)：0<b<a⇒b2<ab，A不对；y＝log12x在(0，＋∞)上为减函数，∴log12b>log12a，B不对；a>b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A．甲先到教室B．乙先到教室C．两人同时到教室D．谁先到教室不确定答案 B解析设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0<v1<v2，总路程为2s，则甲用时间为sv 1＋sv2，乙用时间为4sv1＋v2，而sv1＋sv2－4sv1＋v2＝s（v1＋v2）2－4sv1v2v1v2（v1＋v2）＝s（v1－v2）2v1v2（v1＋v2）>0，故sv1＋sv2>4sv1＋v2，故乙先到教室．10．下列四个数中最大的是( )A．lg2 B．lg 2 C．(lg2)2D．lg(lg2) 答案 A解析因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；lg2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg10)＝0，即lg2>(lg2)2；lg2－lg2＝12lg2>0，即lg2>lg 2.所以最大的是lg2.11．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>a C．a>c>b D．a>b>c 答案 D解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72，则只要比较log32，log52，log72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c，故选D.12．已知实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz>0，设M＝1x＋1y＋1z，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定答案 B解析 ∵(x＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx)＝0，∴xy ＋yz ＋zx<0，∴M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋zx ＋xy xyz<0. 13．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 (－3π2，π2) 解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2. (2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3.(3)若－1<a ＋b<3，2<a －b<4，则2a ＋3b 的取值范围为________．答案 (－92，132)解析设2a ＋3b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b)<152，－2<－12(a －b)<－1，所以－92<52(a ＋b)－12(a －b)<132.即－92<2a ＋3b<132.14．设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b) ＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)， ∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0， ∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b.(2)若a>0，b>0，则不等式－b<1x <a 的解集为________．答案 (－∞，－1b )∪(1a ，＋∞)解析由已知，得－b<0，a>0，∴1x ∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)． ∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)．16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________．答案 z>y>x解析方法一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x.z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0，故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案 a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝ (a －b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2.∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小．答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1) 解析当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)；当0<a<1时，a 3<a 2，a 3＋1<a 2＋1. 又y ＝log a x 为减函数，所以log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．综上，对a>0且a≠1，总有log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1)．第2课时一元二次不等式的解法1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0答案 C解析在C 项中，Δ＝36－40＝－4<0，所以不等式解集为R . 2．若0＜m ＜1，则不等式(x －m)(x －1m)＜0的解集为( )A ．{x|1m ＜x ＜m}B ．{x|x>1m 或x ＜m}C ．{x|x>m 或x ＜1m }D ．{x|m ＜x ＜1m}答案 D解析当0<m<1时，m<1m .3．函数y ＝ln （x ＋1）－x 2－3x ＋4的定义域为( )A ．(－4，－1)B ．(－4，1)C ．(－1，1)D ．(－1，1]答案 C解析由⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x<1.4．关于x 的不等式x 2＋px －2<0的解集是(q ，1)，则p ＋q 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2答案 B解析依题意得q ，1是方程x 2＋px －2＝0的两根，q ＋1＝－p ，即p ＋q ＝－1，选B.5．不等式(2x －1)(1－|x|)<0成立的充要条件是( ) A ．x>1或x<12B ．x>1或－1<x<12C ．－1<x<12D ．x<－1或x>12答案 B解析原不等式等价于⎩⎨⎧2x －1>0，1－|x|<0或⎩⎨⎧2x －1<0，1－|x|>0.∴⎩⎨⎧x>12，x>1或x<－1或⎩⎨⎧x<12，－1<x<1.∴x>1或－1<x<12，故选B.6．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x|x<－2或x>3B.{}x|x<－2或1<x<3C.{}x|－2<x<1或x>3D.{}x|－2<x<1或1<x<3答案 C解析 x 2－x －6x －1>0⇒（x －3）（x ＋2）x －1>0⇒(x ＋2)·(x－1)(x －3)>0，由数轴标根法，得－2<x<1或x>3.7．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式2x 2＋bx ＋a<0的解集为( )A ．{x|－1<x<12}B ．{x|x<－1或x>12}C ．{x|－2<x<1}D ．{x|x<－2或x>1} 答案 A解析由题意知x ＝－1，x ＝2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝－ba ，（－1）×2＝2a⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.∴不等式2x 2＋bx ＋a<0，即2x 2＋x －1<0. 可知x ＝－1，x ＝12是对应方程的根，∴选A.8．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13}，则f(e x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－ln3}B ．{x|－1<x<－ln3}C ．{x|x>－ln3}D ．{x|x<－ln3} 答案 D解析设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根，∴a ＝－(－1＋13)＝23，b＝－1×13＝－13，∵一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>13 }，∴f(x)＝－(x2＋23x－13)＝－x2－23x＋13，∴f(x)>0的解集为x∈(－1，13 )．不等式f(e x)>0可化为－1<e x<1 3 .解得x<ln 1 3，∴x<－ln3，即f(e x)>0的解集为{x|x<－ln3}．9．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )A．(－235，＋∞) B．[－235，1]C．(1，＋∞) D．(－∞，－23 5]答案 A解析由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解，只需满足f(5)>0，即a>－23 5.10．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝f(－x)的图像为( )答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2. 则函数y ＝f(－x)＝－x 2＋x ＋2.11．已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x)2<1(i ＝1，2，3)都成立的x 的取值范围是( )A ．(0，1a 1)B ．(0，2a 1)C ．(0，1a 3)D ．(0，2a 3)答案 B12．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a<0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(－2，－1)∪(3，4)C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4] 答案 D解析由题意得，原不等式化为(x －1)(x －a)<0，当a>1时，解得1<x<a ，此时解集中的整数为2，3，则3<a≤4；当a<1时，解得a<x<1，此时解集中的整数为0，－1，则－2≤a<－1，故a∈[－2，－1)∪(3，4]．13．不等式2x 2－3|x|－35>0的解集为________．答案 {x|x<－5或x>5}解析 2x 2－3|x|－35>0⇔2|x|2－3|x|－35>0⇔(|x|－5)(2|x|＋7)>0⇔|x|>5或|x|<－72(舍)⇔x>5或x<－5.14．已知－12<1x <2，则实数x 的取值范围是________．答案 x<－2或x>12解析当x>0时，x>12；当x<0时，x<－2.所以x 的取值范围是x<－2或x>12.15．若不等式a·4x －2x ＋1>0对一切x∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 a>14解析不等式可变形为a>2x －14x ＝(12)x －(14)x，令(12)x＝t ，则t>0.∴y ＝(12)x －(14)x ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，因此当t ＝12时，y 取最大值14，故实数a 的取值范围是a>14.16．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k<0(k≠0)． (1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．答案 (1)k ＝－25 (2)k ＝－66 (3)k<－66(4)k≥66解析 (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，所以k<0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，所以(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)因为不等式的解集为{x|x∈R ，x ≠1k}，所以⎩⎨⎧k<0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)由题意，得⎩⎨⎧k<0，Δ＝4－24k 2<0，解得k<－66. (4)由题意，得⎩⎨⎧k>0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k≥66. 17．已知不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3＜0x 2－6x ＋8＜0的解集是不等式2x 2－9x ＋a ＜0的解集的子集，求实数a 的取值范围．答案 (－∞，9]解析不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0x 2－6x ＋8<0的解集为(2，3)，令g(x)＝2x 2－9x ＋a ，其对称轴为x ＝94，∴只需g(3)＝－9＋a≤0，∴a ≤9.第3课时简单的线性规划1．下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3)答案 C解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C.2．二元一次不等式组⎩⎨⎧（x －y ＋3）（x ＋y ）≥0，0≤x ≤4，表示的平面区域是( )A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形答案 D解析由(x －y ＋3)(x ＋y)≥0，得⎩⎨⎧x －y ＋3≥0，x ＋y≥0或⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，x ＋y≤0，且0≤x≤4，表示的区域如图阴影部分所示，故所求平面区域为等腰梯形，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是()A ．－15B ．－9C ．1D ．9答案 A解析作出可行域如图所示，作出直线l 0：y ＝－2x ，平移l 0经过点A 时，z 有最小值，此时，由⎩⎨⎧y ＋3＝0，2x －3y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝－3. 即A(－6，－3)，∴z min ＝2×(－6)－3＝－15.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是()A ．－1B ．－2C ．－5D ．1答案 A解析作出满足条件的可行域，如图中阴影部分所示，易知在点A(1，1)处，z 取得最大值，故z max ＝－2×1＋1＝－1.5．实数x ，y 满足⎩⎨⎧y≥0，x －y≥0，2x －y －2≤0，则使得z ＝2y －3x 取得最小值的最优解是( )A ．(1，0)B ．(0，－2)C ．(0，0)D ．(2，2)答案 A解析约束条件所表示的可行域为三角形，其三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，0)，(2，2)，将三个顶点的坐标分别代入到目标函数z ＝2y －3x 中，易得在(1，0)处取得最小值，故取得最小值的最优解为(1，0)．6．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．[53，5]B ．[0，5]C ．[53，5)D ．[－53，5)答案 D解析画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z<2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是[－53，5)．7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，则z ＝|x －3y|的最大值为()A ．10B ．8C ．6D ．4答案 B解析不等式组⎩⎨⎧y≥x，x ＋3y≤4，x ≥－2，所表示的平面区域如图中阴影部分所示．当平移直线x －3y ＝0过点A 时，m ＝x －3y 取最大值；当平移直线x －3y ＝0过点C 时，m ＝x －3y 取最小值．由题意可得A(－2，－2)，C(－2，2)，所以m max ＝－2－3×(－2)＝4，m min＝－2－3×2＝－8，所以－8≤m≤4，所以|m|≤8，即z max ＝8.8． x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析作出约束条件满足的可行域，根据z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a>0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a<0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.9．已知O 为坐标原点，A(1，2)，点P 的坐标(x ，y)满足约束条件⎩⎨⎧x ＋|y|≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 D解析作出可行域如图中阴影部分所示，易知B(0，1)，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，平移直线x ＋2y ＝0，显然当直线z ＝x ＋2y 经过点B 时，z 取得最大值，且z max ＝2.故选D.10．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －2）2≤1，x －y －1≥0，则z ＝yx －2的最小值为( )A ．3＋ 2B ．2＋ 2 C.34 D.43答案 C解析不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．目标函数z ＝y x －2＝y －0x －2表示在可行域取一点与点(2，0)连线的斜率，可知过点(2，0)作半圆的切线，切线的斜率为z ＝yx －2的最小值，设切线方程为y ＝k(x －2)，则A 到切线的距离为1，故1＝|k －2|1＋k2.解得k ＝34.11．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x≤1，x ＋y≤3，y ≥m ，若z ＝x ＋3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m ＝( )A.32 B ．－32C.14 D ．－14答案 C解析作出不等式组表示的平面区域(图略)，由图易得目标函数z ＝x ＋3y 在点(1，2)处取得最大值；z max ＝1＋3×2＝7，在点(m －1，m)处取得最小值，z min ＝m －1＋3m ＝4m －1.又由题知7－(4m －1)＝7，解得m ＝14，故选C.12．设实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y≤0，x ＋y≥0，y ≤a ，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是________．答案 1解析依题意得a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组⎩⎨⎧x －y≤0，x ＋y≥0，y ≤a ，表示的平面区域，结合图形可知，直线z ＝x ＋2y 经过直线y ＝a 与直线x －y ＝0的交点，即点(a ，a)时，z ＝x ＋2y 取得最大值3，因此a ＋2a ＝3，a ＝1.13．点(x ，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z ＝(x －2)2＋(y －2)2，则Z 的最小值为________．答案92解析 |x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z ＝(x －2)2＋(y －2)2的几何意义是点(x ，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z 的最小值为点P(2，2)到直线x ＋y ＝1距离的平方，即为(|2＋2－1|2)2＝92.14．已知整数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y≤0，x －3y ＋5≥0，则z ＝4－x·(12)y 的最小值为________．答案 116解析 z ＝4－x·(12)y＝2－2x ·2－y ＝2－2x －y .设m ＝－2x －y ，要使z 最小，则只需m 最小．作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由m ＝－2x －y 得y ＝－2x －m ，平移可知当直线y ＝－2x －m 经过点B 时，m 最小，由⎩⎨⎧2x －y ＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即B(1，2)，此时m ＝－2－2＝－4，所以z ＝4－x ·(12)y的最小值为2－4＝116.15．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A ，B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个、乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A ，B 两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总用料面积最省？答案 A ，B 两种金属板各取5张．解析设A ，B 两种金属板各取x 张，y 张，总用料面积为z ，则约束条件为⎩⎨⎧3x ＋6y≥45，5x ＋6y≥55，x ，y ∈N ，目标函数z ＝2x ＋3y.作出不等式组的可行域，如图所示．将z ＝2x ＋3y 化成y ＝－23x ＋z 3，得到斜率为－23，在y 轴上截距为z3，且随z变化的一组平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上点M 时，截距最小，z 取得最小值．解方程组⎩⎨⎧5x ＋6y ＝55，3x ＋6y ＝45，得点M 的坐标为(5，5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25.所以两种金属板各取5张时，总用料面积最省．第4课时基本不等式1．已知a ，b ∈(0，1)且a≠b，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2 B ．2ab C ．2ab D ．a ＋b答案 D解析只需比较a 2＋b 2与a ＋b.由于a ，b ∈(0，1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b.2．设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a<b<ab<a ＋b2B ．a<ab<a ＋b2<bC．a<ab<b<a＋b2D.ab<a<a＋b2<b答案 B解析方法一(特值法)：代入a＝1，b＝2，则有0<a＝1<ab＝2<a＋b 2＝1.5<b＝2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数a＋b2与几何平均数ab的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B.3．下列函数中，最小值为4的是( )A．y＝x＋4xB．y＝sinx＋4sinx(0<x<π)C．y＝4e x＋e－x D．y＝log3x＋logx3(0<x<1)答案 C解析注意基本不等式等号成立的条件是“a＝b”，同时考虑函数的定义域，A中x的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，函数没有最小值；B中若sinx＝4sinx取到最小值4，则sin2x＝4，显然不成立．D中没有最小值．故选C.4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A．[0，2] B．[－2，0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]答案 D解析∵2x＋2y≥22x·2y＝22x＋y(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴2x＋y≤1 2，∴2x＋y≤14，得x＋y≤－2，故选D.5．若x，y是正数，则(x＋12y)2＋(y＋12x)2的最小值是( ) A．3 B.72C．4 D.92答案 C解析原式＝x2＋xy＋14y2＋y2＋yx＋14x2≥4.当且仅当x＝y＝12时取“＝”号．6．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为( )A.14B．4C.12D．2答案 C解析∵4＝2a＋b≥22ab，∴ab≤2，1ab≥12，当且仅当a＝1，b＝2时取等号．7．若x<0，则函数y＝x2＋1x2－x－1x的最小值是( )A．－94B．0C．2 D．4 答案 D解析y＝x2＋1x2－x－1x≥2x2·1x2＋2（－x）（－1x）＝4，当且仅当x＝－1时取等号．8．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是( )A．23＋2 B．23－2 C．2 3 D．2答案 A解析∵x>1，∴x－1>0.∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2（x－1）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2（x－1）（3x－1）＋2＝23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．9．已知不等式(x＋y)(1x＋ay)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 B解析(x＋y)(1x＋ay)＝1＋a·xy＋yx＋a≥1＋a＋2a＝(a＋1)2，当且仅当a·xy＝yx，即ax2＝y2时“＝”成立．∴(x＋y)(1x＋ay)的最小值为(a＋1)2≥9.∴a≥4.10．设实数x，y，m，n满足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( )A. 3 B．2C. 5D.10 2答案 A解析方法一：设x＝sinα，y＝cosα，m＝3sinβ，n＝3cosβ，其中α，β∈R.∴mx＋ny＝3sinβsinα＋3cosβcosα＝3cos(α－β)．故选A.方法二：由已知(x2＋y2)·(m2＋n2)＝3，即m2x2＋n2y2＋n2x2＋m2y2＝3，∴m2x2＋n2y2＋2(nx)·(my)≤3，即(mx＋ny)2≤3，∴mx＋ny≤ 3.11．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且满足x－2y＋3z＝0，则y2xz的最小值为( )A．3 B．6 C．9 D．12 答案 A12．若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为( )A．16 B．9 C．6 D．1 答案 C解析方法一：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，即(a－1)·(b－1)＝1，所以1a－1＋9b－1≥21a－1×9b－1＝2×3＝6.方法二：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，1a－1＋9b－1＝b－1＋9a－9ab－a－b＋1＝b＋9a－10＝(b＋9a)(1a＋1b)－10≥16－10＝6.方法三：因为1a＋1b＝1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋9b－1＝(b－1)＋9b－1≥29＝2×3＝6.13．某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年的平均增长率为p%，则p与m＋n2的大小关系为( )A．p>m＋n2B．p＝m＋n2C．p≤m＋n2D．p≥m＋n2答案 C解析依题意得(1＋m%)(1＋n%)＝(1＋p%)2，所以1＋p%＝（1＋m%）（1＋n%）≤1＋m%＋1＋n%2＝1＋m%＋n%2，当且仅当m＝n时等号成立，所以p≤m＋n2，故选C.14．(1)当x>1时，x＋4x－1的最小值为________；(2)当x≥4时，x＋4x－1的最小值为________．答案(1)5 (2)16 3解析(1)∵x>1，∴x－1>0.∴x＋4x－1＝x－1＋4x－1＋1≥24＋1＝5.(当且仅当x－1＝4x－1.即x＝3时“＝”号成立)∴x＋4x－1的最小值为5.(2)∵x≥4，∴x－1≥3.∵函数y＝x＋4x在[3，＋∞)上为增函数，∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋4x－1＋1有最小值163.15．若a>0，b>0，a＋b＝1，则ab＋1ab的最小值为________．答案17 4解析ab≤(a＋b2)2＝14，当且仅当a＝b＝12时取等号．y＝x＋1x在x∈(0，14]上为减函数．∴ab＋1ab的最小值为14＋4＝174.16．已知a>b>0，求a2＋16b（a－b）的最小值．答案16思路由b(a－b)求出最大值，从而去掉b，再由a2＋64a2，求出最小值．解析∵a>b>0，∴a－b>0.∴b(a－b)≤[b＋（a－b）2]2＝a24.∴a2＋16b（a－b）≥a2＋64a2≥2a2·64a2＝16.当a2＝64a2且b＝a－b，即a＝22，b＝2时等号成立．∴a2＋16b（a－b）的最小值为16.17．设x，y均为正实数，且12＋x＋12＋y＝13，求xy的最小值．答案16解析由12＋x＋12＋y＝13，化为3(2＋y)＋3(2＋x)＝(2＋y)·(2＋x)，整理为xy＝x＋y＋8.∵x，y均为正实数，∴xy＝x＋y＋8≥2xy＋8，∴(xy)2－2xy －8≥0，解得xy≥4，即xy≥16，当且仅当x＝y＝4时取等号，∴xy的最小值为16.18．某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用．根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用．已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与x2成反比，比例系数为4；对右脚的干扰度与400－x2成反比，比例系数为k，且当x＝102时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.065.(1)将臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y表示为x的函数；(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值．答案(1)y＝4x2＋9400－x2(0<x<20) (2)116解析(1)由题意得y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)，当x＝102时，y＝0.065，代入上式，得k＝9.所以y＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)y＝4x2＋9400－x2＝1400(4x2＋9400－x2)[(400－x2)＋x2]＝1400[4＋9＋4（400－x2）x2＋9x2400－x2]≥1400[13＋24（400－x2）x2·9x2400－x2]＝116，当且仅当4（400－x2）x2＝9x2400－x2，即x＝410时取“＝”．所以臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为1 16 .第5课时合情推理与演绎推理1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是( )A．27 B．28C．29 D．30答案 B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n（n＋1）2，∴第七个三角形数为7×（7＋1）2＝28.2．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2 019＝( )A．3 B．－3 C．6 D．－6 答案 A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an }是以6为周期的周期数列．又2 019＝6×336＋3，∴a2 019＝a3＝3.选A.3．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于( )A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案 A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.4．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48，C．75，76 D．84，85答案 D解析由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )C．123 D．199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.7．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an ，则9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 017a2 018＝( )A.2 0152 016B.2 0162 017C.2 0172 018D.2 0182 017答案 B解析由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴93（n－1）×3n ＝1n（n－1）＝1n－1－1n，∴9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2 017a2 018＝(11－12)＋(12－13)＋…＋(12 016－12 017)＝1－12 017＝2 0162 017，故选B. 8．如图，根据图中的数构成的规律，a表示的数是( ) 12 23 4 34 12 12 45 48 a 48 5C ．60D ．144答案 D9．已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3，9)B ．(4，8)C ．(3，10)D ．(4，9)答案 D解析因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.10．已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边，若满足a 2＋b 2＝c 2，即(a c )2＋(bc )2＝1，则△ABC 为直角三角形，类比此结论可知，若满足a n ＋b n ＝c n (n∈N ，n ≥3)，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能答案 A解析由题意知角C 最大，a n ＋b n ＝c n (n∈N ，n ≥3)即(a c )n ＋(bc )n ＝1(n∈N ，n ≥3)，又c>a ，c>b ，所以(a c )2＋(b c )2>(a c )n ＋(bc )n ＝1，即a 2＋b 2>c 2，所以cosC＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C<π2，故△ABC 为锐角三角形．11．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子．甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2Sl”，类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3VS ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b 22”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r＝a2＋b2＋c23”．这两位同学类比得出的结论是( )A．两人都对B．甲错、乙对C．甲对、乙错D．两人都错答案 C解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝a2＋b2＋c22，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.12．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为( )答案 B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，故选B.13．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设确定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0aa1a2h1，其中h＝a⊕a1，h1＝h⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案 C解析对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.14．如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a2 017＝( )A．502 B．503C．504 D．505答案 D解析由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn ＝n＋12.所以a2 017＝x1 009＝505.15．有一个游戏：将标有数字1，2，3，4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______．答案 4，2，1，3解析由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4，2，1，3.16．对∀a ，b ∈R ，定义运算：a⊕b＝⎩⎨⎧a ，a ≥b ，b ，a<b ；a ⊗b ＝⎩⎨⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a<b.则下列判断正确的是________．①2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 014； ②(a⊕a)⊗a ＝0； ③(a⊕b)⊗a ＝a⊕(b ⊗a)．答案 ②解析对于①，由定义的运算可知，2 014⊗2 015＝2 015－2 014＝1，故2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 015⊕1＝2 015，故①错误．对于②，因为a⊕a＝a ，故(a⊕a)⊗a ＝a ⊗a ＝a －a ＝0，故②正确．由于③，当a≥b 时，a ⊕b ＝a ，故(a⊕b)⊗a ＝a ⊗a ＝0，而b ⊗a ＝a －b ，故a⊕(b ⊗a)＝a⊕(a －b)．显然，若b≥0，则a≥a－b ，所以a⊕(a－b)＝a ，若b<0，则a<a －b ，所以a⊕(a－b)＝a －b. 故(a⊕b)⊗a≠a⊕(b ⊗a)．故③错误．17．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：答案42解析最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．第6课时直接证明与间接证明1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”“索”的“因”应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－a4＋b42≤0C.（a＋b）22－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0答案 D3．下列不等式不成立的是( )A.12<ln2 B.3＋1>2 2C．233<322D．sin1>cos1答案 B4．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析要比较P，Q的大小关系，只要比较P2，Q2的大小关系，只要比较2a ＋7＋2a（a＋7）与2a＋7＋2（a＋3）（a＋4）的大小，只要比较a（a＋7）与（a＋3）（a＋4）的大小，即比较a2＋7a与a2＋7a＋12的大小，只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P<Q.5．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案 B解析注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”知需选B.6．若a>0，b>0，a＋b＝1，则下列不等式不成立的是( )A．a2＋b2≥12B．ab≤14C.1a＋1b≥4 D.a＋b≤1答案 D解析a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·(a＋b2)2＝12，∴A成立；ab≤(a＋b2)2＝14，∴B成立；1 a ＋1b＝a＋bab＝1ab≥1（a＋b2）2＝4，∴C成立；(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab>1，∴a ＋b>1，故D 不成立．7．设x ，y ，z ∈R ＋，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2答案 C解析假设a ，b ，c 三个数都小于2. 则6>a ＋b ＋c ＝x ＋1y ＋y ＋1z ＋z ＋1x ≥2x ·1x＋2y ·1y＋2z ·1z＝6，即6>6，矛盾．所以a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于2. 8．设a>0，b>0，求证：lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．答案略证明要证lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]，只需证1＋ab ≤（1＋a ）（1＋b ），即证(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，即证2ab ≤a ＋b ，而2ab ≤a ＋b 成立，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．9．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1.答案略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 32x 2＋x 2＋x 12x 3＋x 3≥2x 22＋2x 32＋2x 12＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 32x 2＋x 12x 3≥1. 10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得 x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 8＝64. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n≥2，n ∈N *)．答案 (1)a n ＝2n －1 (2)略解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，S 8＝8a 1＋28d ＝64，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1. (2)证明：由(1)可知S n ＝n 2，要证原不等式成立，只需证1（n －1）2＋1（n ＋1）2>2n2，只需证[(n ＋1)2＋(n －1)2]n 2>2(n 2－1)2. 只需证(n 2＋1)n 2>(n 2－1)2. 只需证3n 2>1.而3n 2>1在n≥1时恒成立，从而不等式1S n －1＋1S n ＋1>2S n (n≥2，n ∈N *)恒成立．。

2020版高考数学一轮总复习第七单元不等式与推理证明教案全集含解析

不等关系与不等式的性质1．了解不等式的概念，理解不等式的性质． 2．会比较两个代数式的大小． 3．会利用不等式的性质解决有关问题．知识梳理 1．不等式的定义用不等号“>、≥、<、≤、≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫不等式． 2．两个实数的大小比较(1)作差法．设a ，b ∈R ，则a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a 0，b >0，则a b >1⇔a >b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b<1⇔a b ⇔b <a ； ②传递性：a >b ，b >c ⇔a >c ； ③可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；④不等式加法：a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；⑤可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ ac <bc ； ⑥不等式乘法：a >b >0，c >dac >bd ；⑦不等式乘方：a >b >0⇒ a n>b n(n ∈N ，n ≥1)； ⑧不等式开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n >1)．1．倒数性质 (1)a >b ，ab 1a <1b；(2)a <0<b1a <1b.2．分数性质若a >b >0，m >0，则(1)真分数性质：b a b －ma －m(b －m >0)； (2)假分数性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．热身练习1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，若最低保障金用W 表示，则上述关系可以表示为(B)A ．W >300B ．W ≥300C ．W <300D ．W ≤3002．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是(A) A ．f (x )>g (x ) B ．f (x )＝g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值的变化而变化因为f (x )－g (x )＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x －1)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，所以f (x )>g (x )．3．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的(A) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件a >b 且c >d ⇒a ＋c >b ＋d .当取a ＝1，b ＝2，c ＝5，d ＝3时，满足a ＋c >b ＋d ，但不能推出a >b 且c >d ，故选A. 4．若a >b >0，c <d <0，则一定有(D) A.a c >b d B.a c b cD.a d 1－c >0，又a >b >0，所以－a d >－b c ，所以a d <b c.5．(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为－1，－2，－3(答案不唯一) .只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．比较大小设x <y <0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．因为(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )，因为x <y <0，所以xy >0，x －y <0，所以－2xy (x －y )>0.所以(x 2＋y 2)(x －y )>(x 2－y 2)(x ＋y )．比较大小的方法有作差法和作商法．①作差法：作差→变形→判断符号→结论．其中关键是变形，变形的方法有分解因式、配方、通分等．②作商法：作商→变形→判断与1的大小关系→结论．1．(2017·全国卷Ⅰ·理)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则(D) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z令t ＝2x＝3y＝5z，因为x ，y ，z 为正数，所以t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg tlg 5.所以2x －3y ＝2lg tlg 2－3lg t lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＝lg t －lg 2×lg 3＞0，所以2x ＞3y .又因为2x －5z ＝2lg tlg 2－5lg t lg 5＝lg t －lg 2×lg 5 ＝lg t－lg 2×lg 5＜0，所以2x ＜5z ，所以3y ＜2x ＜5z .判断或证明大小关系下列命题： ①若a >b ，则a 2>b 2；②若a >b >0，c >d >0，则a d >b c； ③已知a ，b ，m 都是正数，并且a ab； ④若a >b ，则a 3>b 3.其中，真命题的序号是__________．对于①，令a ＝1，b ＝－2有a >b ，但a 2>b 2不成立．故①为假命题．对于②，因为c >d >0，1cd >0，所以1d >1c，又a >b >0，所以a d >b c>0，所以a d>bc.故②为真命题．对于③，因为a ＋m b ＋m －a b ＝m b －ab ＋m b>0.所以a ＋mb ＋m >ab，即③为真命题．对于④，因为y ＝x 3在(－∞，＋∞)上是增函数，所以当a >b 时，a 3>b 3.所以④为真命题．②③④(1)要判断一个不等式不成立，只需举出一个反例即可．而要判断一个不等式成立，一般需要证明．(2)判断大小关系，常用的方法有： ①利用不等式的性质；②利用比较法(如作差法或作商法)； ③利用函数的单调性或借助函数的图象．2．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中正确结论的序号是 ①②③ .①(方法一：利用不等式性质) 由a >b >1，1ab >0，得1b >1a，又c <0，所以c a >c b，故①正确．(方法二：利用作差比较法) 因为c a －c b ＝c b －a ab >0，所以c a >cb.故①正确．②(方法一：利用作商比较法) 因为a >b >1，所以ab>1，c <0，所以a c b c ＝(a b)c <1，所以a c b >1时，a cb >1，又c <0，所以a －c >b －c ，由对数函数的性质得：log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，故③正确．不等式性质的应用若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________．本题一般采用线性规划知识进行求解，也可用不等式的性质求解．因为2x ＋y ，x－y 的范围已经给出，若能将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，则可利用2x ＋y 与x －y 的范围求出x ＋2y 的范围，利用不等式的性质进行求解，可化繁为简，迅速得到结果．因为x ＋2y ＝(2x ＋y )＋y －x ，而3≤2x ＋y ≤9，－9≤y －x ≤－6，所以－6≤x ＋2y ≤3，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y －x ＝－9，即x ＝4，y ＝－5时取到左边等号，所以z 的最小值为－6.－6(1)不等式的性质中，同向不等式可以作加法运算，正的同向不等式可以作乘法运算．但如果涉及等号，能否取到最值，则要同时满足各个取等号的条件，这一点要特别注意．本题中，2x ＋y 与x －y 中的x ，y 不是独立的，而是相互制约的，因此，可把2x ＋y 与x －y 看作一个整体，把x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示，再求出x ＋2y 的取值范围．即先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算，求得整体的范围．(2)将x ＋2y 用2x ＋y ，x －y 表示时，若不能直接观察得到，可采用待定系数法，设x ＋2y ＝m (2x ＋y )＋n (x －y )，再比较得到m ＝1，n ＝－1.3．(2016·北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为(C)A ．0B ．3C ．4D ．52x ＋y ＝13(2x －y )＋43(x ＋y )≤13×0＋43×3＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2时取等号，满足x ≥0，所以(2x ＋y )max ＝4.1．比较数(式)的大小，常采用：(1)作差法，具体步骤：作差→变形→判断(与0比较)→结论；(2)作商法，具体步骤：作商→变形→判断(与1比较)→结论，必须注意分母的符号．2．运用不等式的基本性质解决不等式问题，要注意不等式成立的条件．有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质．一般地，要判断一个命题为真命题，必须严格证明，要判断一个命题是假命题，只需举出反例，或者由题设中条件推出与结论相反的结果．3．求范围问题：(1)差的范围转化为和的范围．⎩⎪⎨⎪⎧a <x <bc <y <d⇒⎩⎪⎨⎪⎧a <x <b －d <－y <－c⇒a －d <x －y <b －c .这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到． (2)商的范围转化为积的范围．(3)由M 1<f 1(x ，y )<N 1，M 2<f 2(x ，y )<N 2，求g (x ，y )的范围．常令g (x ，y )＝mf 1(x ，y )＋nf 2(x ，y )，用恒等关系求出m ，n ，再利用同向不等式相加求得范围．一元二次不等式1．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 2．掌握一元二次不等式的解法． 3．会求解简单的分式不等式．知识梳理1．一元二次不等式的定义只含 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式． 2．一元二次不等式的解集设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，则一元二次不等式的解集如下表所示：3.分式不等式与一元二次不等式的关系 (1)x －ax －b>0⇔ (x －a )(x －b )>0 ； (2)x －ax －b<0⇔ (x －a )(x －b )<0 ； (3)x －ax －b≥0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －a x －b ，x －b ≠0 ；(4)x －a x －b≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －a x －b ，x －b ≠0 .热身练习1．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是 [－3,1] .要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．2．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <3}，则A ∩B ＝(B)A ．[－2,3)B ．[－2，－1]C ．[－1,1]D ．[1,3)由x 2－2x －3≥0得(x －3)(x ＋1)≥0，所以x ≥3或x ≤－1，所以A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}．3．若0<a <1，则不等式(a －x )(x －1)>0的解是(B) A ．0<x <a B ．a <x <1 C ．x <a 或x >1 D ．x <1或x >a 4．不等式x －3x ＋2<0的解集为(A) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |x <－2} C ．{x |x <－2，或x >3} D ．{x |x >3}由x －3x ＋2<0得(x ＋2)(x －3)<0，解得－2<x <3. 5．不等式x 2＋mx ＋m2>0恒成立的条件是(D)A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，所以0<m <2.一元二次不等式的解法已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 .因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－4x (x <0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x ，无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上，f (x )>x 的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．(－5,0)∪(5，＋∞)(1)解一元二次不等式的一般步骤：①将二次项系数化为正；②解相应的方程；③画出相应的函数图象；④写出解集．(2)当f (x )是分段函数时，求f (x )>g (x )的解集时，要分段求解，然后取并集．1．(2018·河南洛阳模拟)不等式lg(x 2－3x )<1的解集为(D) A ．(－2,5) B ．(－5,2) C ．(3,5) D ．(－2,0)∪(3,5)不等式lg(x 2－3x )<1等价于：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x >0，x 2－3x <10，解得－2<x <0或3<x <5.所以不等式lg(x 2－3x )<1的解集为(－2,0)∪(3,5)．简单的分式不等式的解法不等式x －2x 2＋3x ＋2>0的解集是__________．不等式x －2x 2＋3x ＋2>0等价于下面的不等式组：(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x 2＋3x ＋2>0，或(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x 2＋3x ＋2<0，解(Ⅰ)得x >2，解(Ⅱ)得－2<x <－1.所以原不等式的解集为(－2，－1)∪(2，＋∞)．(－2，－1)∪(2，＋∞)(1)解分式不等式时，一般要先通过移项、通分、整理成一边是商式，另一边是0的形式，再等价转化为整式不等式(组)的形式进行求解．(2)求解分式不等式常有如下两种等价变形方式：f xg x >0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f x ，g x ，或⎩⎪⎨⎪⎧fx <0，g x⇔ f (x )·g (x )>0.前者转化为不等式组，后者转化为整式不等式．2．(2019·上海市虹口区一模)关于x 的不等式xx －1≥2的解集为 (1,2] .原不等式等价于x x －1≥2⇔x －x －x －1≥0x －2x －1≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧x －x －x －1≠0⇔ 1<x ≤2.所以原不等式的解集为(1,2]．含参数的一元二次不等式的解法解关于x 的不等式x 2－x －a (a －1)>0.原不等式可化为(x ＋a －1)(x －a )>0，当a >－(a －1)，即a >12时，则x >a 或x <1－a ；当a ＝－(a －1)，即a ＝12时，则(x －12)2>0，得x ≠12，x ∈R ；当a <－(a －1)，即a <12时，则x <a 或x >1－a .综上：当a >12时，不等式的解集为{x |x <1－a 或x >a }；当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠12，x ∈R }；当a <12时，不等式的解集为{x |x <a 或x >1－a }．(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑因式分解，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论．(2)一般地，含参数的二次型不等式，常常要从二次项的系数、判别式的符号、方程根的大小等方面进行分类讨论．分类时，要注意不重不漏；写解集时，要注意结合图象；最后还要注意将结论进行综合，分类写了答案．3．(2018·天津大港区模拟)解关于x 的不等式kx 2＋2x ＋k <0(k ≤0)．(1)当k ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}． (2)当k <0时，①当Δ＝4－4k 2>0，即－1<k <0时，不等式的解集为 {x |x <－1＋1－k 2k 或x >－1－1－k 2k}；②当Δ<0，即k <－1时，不等式的解集为R ；③当Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解集为{x ∈R |x ≠－1}．综上所述，当k ＝0时，不等式的解集为{x |x <0}；当－1<k <0时，不等式的解集为{x |x <－1＋1－k 2k 或x >－1－1－k 2k}；当k ＝－1时，不等式的解集为{x ∈R |x ≠－1}；当k <－1时，不等式的解集为R .1．一元一次不等式(组)、一元二次不等式的求解要准确、熟练、迅速，这是解其他不等式的基础．利用数轴及二次函数图象是解一元一次不等式(组)、一元二次不等式的常用方法之一．对于二次不等式的求解问题还要注意“三个二次”的相互联系，注意数形结合思想方法的运用．2．解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，然后转化为整式不等式来解；转化时，要注意以下同解原理：(1)不等式f xg x＞0(或＜0)与不等式f (x )g (x )＞0(或＜0)同解； (2)不等式f xg x≥0(或≤0)与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧fx g x ，gx(或⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ，g x)同解．3．注意含参数的不等式分类讨论时，分类要不重不漏．如解含参数t 的不等式x 2f (t )＋xg (t )＋r (t )＞0(或＜0)，一般需要从三个方面进行讨论求解：一是讨论x 2的系数f (t )的取值情况(为正、为负还是为零)；二是讨论Δ的取值情况(为正、为负还是为零)；三是讨论两根的大小(x 1＜x 2，x 1＞x 2，还是x 1＝x 2)．简单的线性规划问题1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0 某一侧所有点组成的平面区域．(2)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分 .(3)画或判断二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出的二元一次不等式组；(2)线性目标函数——由条件列出的一次函数表达式；(3)线性规划——求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，称为线性规划问题．(4)可行解、可行域、最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．3．利用线性规划求最值的一般步骤：(1)根据线性约束条件画出可行域；(2)设z＝0，画出直线l0；(3)观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；(4)求出目标函数的最大值或最小值．热身练习1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是(C)A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－1)将上述各点代入不等式检验，若满足不等式，则点在所表示的平面区域内，否则，不在．因为(0,0)，(－1,1)，(2，－1)都满足不等式，所以这些点都在所表示的平面区域内，而(－1,3)不满足不等式，故选C.2．如图所示，不等式2x－y＜0表示的平面区域是(B)直线定界，因为2x －y ＝0不经过(2,1)点排除D,2x －y <0不包括边界，排除A ，再取特殊点(1,0)代入得2－0>0，故(1,0)不在2x －y <0表示的区域内，故排除C ，选B.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于(C)A.32B.23 C.43 D.34不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，作出不等式组表示的平面区域如右图：所以S 阴＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－43×1＝43.4．目标函数z ＝x ＋2y ，将其看成直线方程时，z 的意义是(C) A ．该直线的截距 B ．该直线的纵截距 C ．该直线纵截距的2倍 D ．该直线纵截距的12将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z2，可知z ＝2b ，表示该直线的纵截距的2倍．5．(2015·北京卷)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为 7 .把z ＝2x ＋3y 变形为y ＝－23x ＋13z ，通过平移直线y ＝－23x 知，当过点A (2,1)时，z ＝2x ＋3y 取得最大值且z max ＝2×2＋3×1＝7.求线性目标函数的最值(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为______．作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x ，平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.6(1)对线性目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号一定要注意．当B ＞0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当B ＜0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．(2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察结果就可能有误．1．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是(B)A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝x －z 过点A (2,0)时，z 取得最大值，即z max ＝2－0＝2；当直线y ＝x －z 过点B (0,3)时，z 取得最小值，即z min ＝0－3＝－3.所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．求非线性目标函数的最值若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为____________．画出可行域如图阴影所示，因为y x表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，所以在点A 处时，y x最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以A (1,3)．所以y x的最大值为3.3求非线性目标函数的最值问题，关键是从目标函数联想到相对应的几何意义，常见的是两点连线的斜率和两点间的距离，在此基础上再利用数形结合的思想方法进行求解．2．(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是(C)A ．4B ．9C ．10D ．12作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1)，由图易得(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10.故选C.线性规划在实际问题中的应用某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元设出甲、乙两种产品的数量，列出关系式，转化为线性规划问题，画出可行域求解．设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图阴影部分所示，由图可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A (2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.D建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：①设出所求未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目标函数；④作出可行域；⑤运用图象法求出最优解．3．(2016·全国卷Ⅰ·理)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 216 000 元．设生产产品A x 件，产品B y 件，则⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.画出可行域，如图：目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点(60,100)时，z 取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．1．画二元一次不等式表示的平面区域常采用直线定界，特殊点定“域”；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，是它们平面区域的公共部分．2．对线性目标函数z ＝Ax ＋By 中的B 的符号一定要注意．当B ＞0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当B ＜0时，当直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．3．常见目标函数有截距型(ax ＋by ＝z )，距离型(z ＝x －x 02＋y －y 02)，斜率型(z ＝y －y 0x －x 0)几种． 4．最优解一般在可行域的顶点处或边界取得，要注意边界的虚实．此外解选择、填空题常常可先求可行域的顶点，再代入目标函数验算．5．建立线性规划问题的数学模型的一般步骤：(1)明确问题中的有待确定的未知量，并用数学符号表示；(2)明确问题中所有的限制(约束)条件，并用线性方程或线性不等式表示；(3)明确问题的目标，并用线性函数(目标函数)表示，按问题的不同，求其最大值或最小值．其中分析题目的已知条件准确找出约束条件和目标函数是关键，可以把题目涉及的量分类列出，理清思路，然后列出不等式(或方程组)确定约束条件和目标函数．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处取得最优解．基本不等式1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大(小)值问题．知识梳理 1．基本不等式a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件： a >0，b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝b 时不等式取等号． 2．几个重要不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R )； (2)a b ＋b a≥ 2 (a ，b 同号)； (3)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R )；(4)a 2＋b 22≥ (a ＋b2)2.3．基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． (2)两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值，求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是(D) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2A 、C 中，a ＝b 时不成立，B 中，当a 与b 均为负数时不成立，而对于D ，利用基本不等式x ＋y ≥2xy (x >0，y >0)成立，故选D.2．已知a ，b 为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A ．ab ≤a 2＋b 22 B ．ab ≤(a ＋b2)2C.a 2＋b 22≥a ＋b2 D.2aba ＋b≥ab易知A ，B 成立，对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，所以a 2＋b 22≥(a ＋b2)2，所以a 2＋b 22≥a ＋b2，故C 成立．对于D ，取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D.3．周长为60的矩形面积的最大值为(A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900设矩形的长为x ，宽为y ，则2(x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30，所以S ＝xy ≤(x ＋y2)2＝225，即S max ＝225.当且仅当x ＝y ＝15时取“＝”，故选A. 4．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )(A)A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数f (x )＝－[(－2x )＋(－1x)]－1≤－22－1，当且仅当x ＝－22时，等号成立，所以函数f (x )有最大值，所以选A.5．(2017·山东卷)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为 8 .因为直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以2a ＋b ＝(2a ＋b )(1a ＋2b )＝4＋4a b ＋ba≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立．故2a ＋b 的最小值为8.利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是A ．x 2＋1>2x (x ∈R ) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1＋1x 2＋1>2(x >0) D ．x ≥1x(x >0)对于A ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，A 不正确．对于B ，需要满足sin x >0，不等式成立，所以B 也不正确；对于C ，x 2＋1＋1x 2＋1≥2，当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1，即x ＝0时，取等号，但x >0，所以不等式不能取到等号，故C 正确．对于D ，当0<x <1时，x <1x，故D 不正确．C运用基本不等式判断大小关系，要注意基本不等式成立的条件及取等号的条件，同时要注意特例的运用．1．(2018·福建莆田模拟)下列结论正确的是(C) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x 的最小值为4C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立；对于B ，当x ∈(0，π2)时，sin x ＋4sin x 的最小值不为4(因为sin x ＝2不成立)；对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时，等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.利用基本不等式求最值(1)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值．(2)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．(1)y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故当x ＝1时，y max ＝1.(2)(方法一)因为x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9xy＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，且1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(方法二)由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)，可知x >1，y >9，从而x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16，所以当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.(1)利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”三个条件．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用不等式时，和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，再利用基本不等式．2．(1)若x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为 32.(2)(2018·江苏杭州一模)若对任意的x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是(B)A ．4B ．6C ．8D ．10(1)因为x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6.所以xy ＝16(2x )·(3y )≤16(2x ＋3y 2)2＝32，当且仅当2x ＝3y ＝3，即x ＝32，y ＝1时，xy 取得最大值32.(2)a ≤x 2＋3x －1对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≤(x 2＋3x －1)min .因为x 2＋3x －1＝x －2＋x －＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋2，因为x >1，所以(x －1)＋4x －1＋2≥2x －4x －1＋2＝6，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，取“＝”，所以a ≤6. 故a 的最小值为6.基本不等式的实际应用(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．一年的总运费为6×600x ＝3600x(万元)．一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为(3600x＋4x )万元．因为3600x＋4x ≥23600x ·4x ＝240，当且仅当3600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．30应用基本不等式解决实际问题的步骤：①先理解题意，设变量时一般把要求的最大(小)值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大(小)值问题；③利用基本不等式求函数的最大(小)值问题，注意是否符合“一正、二定、三相等”的条件；④回到实际问题中，写出正确答案．3．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 80 件．设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立．1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，分析其结构特点，有利于在运用过程中根据问题的结构特征灵活地对公式进行合理选择．2．基本不等式的应用主要是：(1)证明某些不等式；(2)求某些函数的最值． 3．利用基本不等式求最值，有“和定积最大，积定和最小”的结论，利用它可以解决某些非二次的有关函数及多元函数的最大值或最小值问题，在具体解题时，要特别注意：“一正、二定、三相等”的条件．创造利用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目标在于满足“一正、二定、三相等”的条件．合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理与类比推理．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行简单的演绎推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异．知识梳理 1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察，分析，比较，联想，再进行归纳，类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)三段论是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提—— 已知的一般原理； ②小前提—— 所研究的特殊情况；③结论—— 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 .热身练习1．(2015·陕西卷)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， ……据此规律，第n 个等式为 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .等式左边是一个和式，先观察其通项：等式的左边的通项为12n －1－12n，前n 项和为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；右边的每个式子的第一项为1n ＋1，共有n 项，故为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 所以第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.2．用类比的方法填写下表中的空白：类比得：b 1·b 2·b 3·b 4·b 5＝b 53.3．如图(1)有面积关系：S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′·PB ′PA ·PB ，则由图(2)有体积关系：V P －A ′B ′C ′V P －ABC＝ PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC.平面上的面积可类比到空间上的体积．V P －A ′B ′C ′V P －ABC ＝13·S △PA ′B ′·h ′13·S △PAB ·h ＝PA ′·PB ′·PC ′PA ·PB ·PC. 4．(2018·襄城区校级模拟)“所有9的倍数都是3的倍数，5不是9的倍数，故5不是3的倍数．”上述推理是(B)A ．不是三段论推理，且结论不正确B ．不是三段论推理，但结论正确C ．是三段论推理，但小前提错误D ．是三段论推理，但大前提错误5．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(C)A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但推理形式错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c N解析方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1，显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题；对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a b c －b ＝12，故C 选项为假命题；对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 20，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14，又3<a <8，∴19×3<a b <14×8，即13<a b<2. 延伸探究若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0，又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2，又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3，将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a 13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,31，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a |b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c 0 答案 D解析因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b，故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b，则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析因为1a <1b<0，所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12，即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d d >c >a解析由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7

高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内，将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内，所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________．答案 (－∞，3)解析根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)，要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3，所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，所以点A 和点B 不同在直线的一侧，所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0，解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)，所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分，则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12，所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方，又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25，故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值，易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方，由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)，故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或a ＝－5(舍)．思维升华常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________．答案 [1,5]解析作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ，将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______．答案 52解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)，由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34，所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________．答案－1或2解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行，所以a ＝－1或a ＝2.题型三实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5，所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值，故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元．教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值，即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)，所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率，由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0，得A (6,13)，所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案答案 D解析设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确；当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种，当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种，当x ＝4时，y 可取12，共1种，故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________．答案 (－∞，－3)解析因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________．答案 18解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小．令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3，则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．答案－4解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等，此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．答案 780解析设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台，则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)，且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)，所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )，所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2，因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ，因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值．因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值，所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________．答案－18解析作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率，由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。

2020高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理合情推理与演绎推理(2016·全国Ⅱ，15)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案1和3合情推理与演绎推理1.(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人解析学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙.一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等.故选B.答案B2.(2012·江西，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A.28B.76C.123D.199解析利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.答案C3.(2015·山东，11)观察下列各式：C＝40；C＋C＝41;C＋C＋C＝42；C＋C＋C＋C＝43；……照此规律，当n∈N*时，C ＋C＋ C＋…＋ C＝________.解析观察等式，第1个等式右边为40＝41－1，第2个等式右边为41＝42－1，第3个等式右边为42＝43－1，第4个等式右边为43＝44－1，所以第n个等式右边为4n－1.答案4n－14.(2015·福建，15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k ＝1，2，…，n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________.解析(ⅰ)x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1⊕1⊕0⊕1＝1，(ⅱ)x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕0⊕0⊕1＝0；(ⅲ)x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1.由(ⅰ)(ⅲ)知x5，x7有一个错误，(ⅱ)中没有错误，∴x5错误，故k等于5.答案55.(2013·陕西，14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为________.解析左边共n项，每项的符号为(－1)n＋1，通项为(－1)n＋1·n2.等式右边的值符号为(－1)n＋1，各式为(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)＝(－1)n＋1，∴第n个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1·n2＝(－1)n＋1·.答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·n（n＋1）26.(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k ≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n，3)＝n2＋n，正方形数N(n，4)＝n2，五边形数N(n，5)＝n2－n，六边形数N(n，6)＝2n2－n，…………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.解析由题中数据可猜想：含n2项的系数为首项是，公差是的等差数列，含n项的系数为首项是，公差是－的等差数列，因此N(n，k)＝n2＋n＝n2＋n.故N(10，24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1 000.答案 1 0007.(2014·陕西，14)观察分析下表中的数据：解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.答案F＋V－E＝28.(2012·陕西，11)观察下列不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，……照此规律，第五个不等式为________________________________________.解析先观察左边，第一个不等式为2项相加，第二个不等式为3项相加，第三个不等式为4项相加，则第五个不等式应为6项相加，右边分子为分母的2倍减1，分母即为所对应项数，故应填1＋＋＋＋＋<.答案1＋＋＋＋＋<1169.(2012·湖北，13)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3 443，94 249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.解析(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n＋1位回文数有9×10n个.答案(1)90 (2)9×10n10.(2013·重庆，22)对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝.(1)求集合P7中元素的个数；(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.求n 的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并.解(1)当k＝4时，中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn⊇In，不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3∉A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾.再证P14符合要求，当k＝1时，＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.当k＝4时，集中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.当k＝9时，集中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，B3＝.最后，集C＝中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B ＝P14.综上，所求n的最大值为14.注：对P14的分拆方法不是唯一的.直接证明与间接证明11.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.答案A12.(2013·四川，15)设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn 的一个“中位点”，例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点，现有下列命题：①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是________(写出所有真命题的序号).解析由“中位点”可知，若C在线段AB上，则线段AB上任一点都为“中位点”，C也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如图所示，点P为斜边AB中点，设腰长为2，则|PA|＋|PB|＋|PC|＝|AB|＝3，而若C为“中位点”，则|CB|＋|CA|＝4<3，故②错；对于③，若B，C三等分AD，若设|AB|＝|BC|＝|CD|＝1，则|BA|＋|BC|＋|BD|＝4＝|CA|＋|CB|＋|CD|，故③错；对于④，在梯形ABCD中，对角线AC与BD的交点为O，在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M，则在△MAC中，|MA|＋|MC|>|AC|＝|OA|＋|OC|，同理在△MBD中，|MB|＋|MD|>|BD|＝|OB|＋|OD|，则得，|MA|＋|MB|＋|MC|＋|MD|>|OA|＋|OB|＋|OC|＋|OD|，故O为梯形内唯一中位点，④是正确的.答案①④13.(2012·福建，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.解(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－3sin αcos α－sin2α2＝sin2α＋ cos2α＝.数学归纳法14.(2015·江苏，23)已知集合X＝{1，2，3}，Yn＝{1，2，3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)|a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解(1)f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝(t∈N*).下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；②假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；4)若k＋1＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，... 结论成立；5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(x)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立.综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立.15.(2014·陕西，21)设函数f(x)＝ln (1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明.解由题设得，g(x)＝(x≥0).(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用数学归纳法证明.①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立.②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝gk（x）1＋gk（x）＝＝，即结论成立.由①②可知，结论对n∈N＋成立.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln (1＋x)≥恒成立.... 设φ(x)＝ln (1＋x)－(x≥0)，则φ′(x)＝－＝，当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln (1＋x)≥恒成立(仅当x＝0时等号成立).当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln (1＋x)≥不恒成立.综上可知，a的取值范围是(－∞，1].(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln (n＋1)，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln (n＋1).证明如下：法一上述不等式等价于＋＋…＋1<ln (n＋1)，n＋1在(2)中取a＝1，可得ln (1＋x)>，x>0.令x＝，n∈N＋，则<ln .下面用数学归纳法证明.①当n＝1时，<ln 2，结论成立.②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋<ln (k＋1).那么，当n＝k＋1时，1＋＋…＋＋<ln (k＋1)＋<ln (k＋1)＋ln ＝ln (k＋2)，即结论成立.2由①②可知，结论对n∈N＋成立.法二上述不等式等价于＋＋…＋<ln (n＋1)，在(2)中取a＝1，可得ln (1＋x)>，x>0.令x＝，n∈N＋，则ln >.故有ln 2－ln 1>，ln 3－ln 2>，……ln(n＋1)－ln n>，上述各式相加可得ln (n＋1)>＋＋…＋，结论得证.法三如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和.∴＋＋…＋>dx＝(1－)dx＝n－ln (n＋1)，结论得证.16.(2014·重庆，22)设a1＝1，an＋1＝－2an＋2)＋b(n∈N*).(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论.解(1)法一a2＝2，a3＝＋1，再由题设条件知(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.从而{(an－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N*).法二a2＝2，a3＝＋1，可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.因此猜想an＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立.假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1.则ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立.所以an＝＋1(n∈N*).(2)法一设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an).令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝.下面用数学归纳法证明加强命题a2n<c<a2n＋1<1.当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝－1，所以a2<<a3<1，结论成立.假设n＝k时结论成立，即a2k<c<a2k＋1<1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)>f(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1.故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立.综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝.法二设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an).先证：0≤an≤1(n∈N*).①当n＝1时，结论明显成立.假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝－1<1.即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立，故①成立.再证：a2n<a2n＋1(n∈N*).②当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，有a2<a3，即n＝1时②成立.假设n＝k时，结论成立，即a2k<a2k＋1，由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2，a2(k＋1)＝f(a2k＋1)<f(a2k＋2)＝a2(k＋1)＋1.这就是说，当n＝k＋1时②成立，所以②对一切n∈N*成立.由②得a2n<－2a2n＋2)－1，即(a2n＋1)2<a－2a2n＋2，因此a2n<.③又由①、②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n ＋2，所以a2n＋1>－2a2n＋1＋2)－1.解得a2n＋1>.④综上，由②、③、④知存在c＝使a2n<c<a2n＋1对一切n∈N*成立.。

2020高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第2节不等式的解法高考AB卷理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第2节不等式的解法高考AB 卷理一元二次不等式的解法1.(2014·浙江，6)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c ，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则( )A.c ≤3B.3<c ≤6C.6<c ≤9D.c>9解析由题意，不妨设g(x)＝x3＋ax2＋bx ＋c －m ，m∈(0，3]，则g(x)的三个零点分别为x1＝－3，x2＝－2，x3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x3＋ax2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6，9].答案 C2.(2012·重庆，2)不等式≤0的解集为( )A.B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.∪[1，＋∞)D.∪[1，＋∞)解析不等式可化为解不等式组得－<x≤1，故选A.答案 A3.(2015·江苏，7)不等式2x2－x ＜4的解集为________.解析 ∵2x2－x ＜4＝22，∴x2－x ＜2，即x2－x －2＜0，解得－1<x<2.答案 {x|－1＜x ＜2}4.(2014·江苏，10)已知函数f(x)＝x2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________.解析由题可得f(x)<0对于x∈[m，m ＋1]恒成立，即解得－<m<0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 5.(2013·广东，9)不等式x2＋x －2<0的解集为________.解析由题x2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，∴－2<x<1.答案 {x|－2<x<1}6.(2013·四川，14)已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)＝x2－4x.那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________.解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)，∴不等式f(x ＋2)<5等价于f(|x ＋2|)<5，又∵x≥0时f(x)＝x2－4x ，∴|x ＋2|2－4|x ＋2|－5<0⇒|x ＋2|<5⇒－7<x<3.答案 (－7，3)7.(2012·浙江，17)设a ∈R ，若x>0时均有[(a －1)x －1]·(x2－ax －1)≥0，则a ＝________.解析当a≤1时，(a －1)x －1<0，而x2－ax －1在x 取正无穷大时为正，故不满足题意，所以a>1.因为(a －1)x －1在x∈上小于0，在x∈上大于0，要满足题意，x2－ax －1在x∈上也小于0，在x∈上大于0，故x ＝使x2－ax －1＝0，解得a ＝. 答案 32。

2020届高考数学一轮第七单元不等式与推理证明第讲合情推理与演绎推理理新人教A版

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解：平面上的面积可类比到空间上的体积． VPV-AP′-ABB′CC′＝13·S13△·SPA△′PBA′B··hh′＝PA′PA·P·PBB′·P·PCC′.
PA′·PB′·PC′ 答案： PA·PB·PC
10
4．“所有 9 的倍数都是 3 的倍数，某奇数是 9 的倍数，
故此奇数是 3 的倍数．”上述推理是( )
解：由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．
答案：C
12
归纳推理类比推理合情推理与演绎推理
13
考点1·归纳推理
【例 1】 (2016·石家庄市一模)如图所示的数阵中，用
A(m，n)表示第 m 行的第 n 个数，则依此规律 A(15,2)为( )
29 A.42
7 B.10
17 C.24
73 D.102
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点评：(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜测的结论都要经过进一步的严格证明．
(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．
29
1．归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大．
18
点评： (1)归纳推理的一般步骤： ①通过对某些特例的观察、分析和比较，发现它们的相同性质或变化规律； ②从已知的相同性质或变化规律中推出一个明确表达的一般性命题． (2)归纳常包括数字归纳和式子归纳，解决这类问题时，需要细心观察，寻找相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列，简单的递推数列等．
(sinπ7)－2＋(sin27π)－2＋(sin37π)－2＋…＋(sin67π)－2＝43×3×4；

2020高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第5节推理与证明高考AB卷理

2019-2020年高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明AB卷文新人教A版

2019-2020年高考高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件理

2020届高考理科数学_人教版_一轮复习资料 第七章 不等式_推理与证明_第一节 不等关系与一元二次不等式 (6)

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