讲义(1)平面直角坐标系知识点介绍

《平面直角坐标系》

1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

要求：画平面直角坐标系时，轴、y轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

2．各个象限内点的特征:

第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；

第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；

第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；

第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；

四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）

在x轴上：（x，0）点P（x，y），则y＝0；

在x轴的正半轴：（＋，0）点P（x，y），则x＞0，y＝0；

在x轴的负半轴：（－，0）点P（x，y），则x＜0，y＝0；

在y轴上：（0，y）点P（x，y），则x＝0；

在y轴的正半轴：（0，＋）点P（x，y），则x＝0，y＞0；

在y 轴的负半轴：（0，－）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＜0；

坐标原点：（0，0）点P （x ， y ），则x ＝0，y ＝0；

例1：已知点)5,114(2-+-n m m M ，则点M 在平面直角坐标系中的什么位置？

3. 点到坐标轴的距离：

点P （x ，y ）到x 轴的距离为|y|，

到y 轴的距离为|x|。

到坐标原点的距离为 22y x +（由勾股定理可得）

例2：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.

例3：已知：)54,21(-+a a A ，且点A 到两坐标轴的距离相等，求A 点坐标．

4．中点与两点间的距离：

已知点A ),(11y x ，B ),(22y x

两点AB 距离为：AB ＝221221)()(y y x x -+-

中点P 的坐标为：)2

,2(2121y y x x ++ 例4：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积.

例题5：如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），

A （0，6），

B （4，6），

C （4，4），

D （6，4），

E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且

将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ________

5．点的对称：

点P(m ，n)，关于x 轴的对称点坐标是(m ，－n)，

关于y 轴的对称点坐标是(－m ，n)

关于原点的对称点坐标是(－m ，－n)

例题6：点A （－1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称点

的坐标是 。点A 关于x 轴对称的点的坐标为

例7：在平面直角坐标系中，已知：)2,1(A ，)4,4(B ,在x 轴上确定点C ，使得

BC AC +最小．

6．平行线：

平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(n p

平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(p m

例8：已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为多少？

7．象限角的平分线：

第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：),(m m P

点P(a ，b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ， a)

第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：),(m m P -

点P(a ，b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(－b ，－a)

例9：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出

点P 的位置.

x

y

O

例10：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系

中表示出点P 的位置.

x

y

O

例11：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标满足|1|-=x y ，在平面直角坐

标系中表示出点P 的位置.

x

y

O

8．点的平移：

在平面直角坐标系中，将点（x ，y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（x ＋a ，y ）； 将点（x ，y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x －a ，y ）；

将点（x ，y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；

将点（x ，y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

平移口诀：“左＋右－、上＋下－”

例题12：将点P （－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，y ），则x y ＝___________

练习试题

1. 下列各点中，在第二象限的点是【 】

A. （2，3）

B. （2，－ 3）

C. （－2，－3）

D. （－2，3）

2. 将点A （－4，2）向上平移3个单位长度得到的点B 的坐标是【 】

A. （－1，2）

B. （－1，5）

C. （－4，－1）

D. （－4，5）

3. 如果点M （a －1，a+1）在x 轴上，则a 的值为【 】