线性代数总复习
线性代数--总复习
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
49页：10, 11, 12, 18
第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.
线性代数复习
线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。
初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。
初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。
初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。
A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。
|Q|=|A||B|。
0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。
|Q|=(-1)mn|A||B|。
B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。
C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。
向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。
②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。
③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。
线性代数总复习大纲及复习题
04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念1、 行列式的 定义2、 向量组相关与无关的定义3、 对称阵与反对称阵4、 可逆矩阵5、 矩阵的伴随矩阵6、 基与向量的坐标7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论1、 与向量组相关与无关相关的等价结论2、 行列式的性质3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件）4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质5、 初等变换与初等矩阵的关系6、A A A A A E **==7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换10、 矩阵正定的充要条件11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案1．若三阶行列式1231122331232226a a a b a b a b a c c c ---=，则 123123123a a ab b bc c c = 12 2．若方程组123123123000tx x x x tx x x x tx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解，则t=⎽⎽⎽⎽1⎽⎽⎽。
3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则λ≠ 04．已知三阶行列式D=123312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ；3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。
（ 对 ）4.行列式002002316.02342345= （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。
（ 错 ）6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。
（ 对 ）7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。
线性代数复习题含答案
（C ）a +a ,a +a ,a +a （D ）a −a ,a −a ,a −a
1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
分析：（A ）含有0 的向量组一定线性相关，0 +0a2 +0a3 0 ；
分析：∵A 的特征值是 1，2，−3 ．
∴ A −E 0 ， A −2E 0 ， A +3E 0 ．
∴ （A ）A −E ，（D ）A −2E ，（C ）A +3E 不可逆．
二． 填空题
1． 已知a31a21a13a5k a44 是 5 阶行列式中的一项且带正号，则i 5 ，k 2 ．
⎪ 21 1 22 2 2n n 2
⎨
⎪
n n−1 n−2 2 1 n n−1 n−2 2 1
共交换了n −2 次；……；r 与r 交换，共交换了 1 次．
2 1
( )
（A ）D D （B ）D =−D （C ）D =−1 2 D （D ）D =−1 D
（C ）一定无解 （D ）不能确定是否有解
分析：系数行列式D 0 =⇒R A <n ，方程组无解或无穷多解
( )
( ) ( )
) 1 ( ) 1
⎛a11 a12 a13 ⎞
2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1
分析：r 依次与r ,r ,,r ,r 交换，共交换了n −1次（r 移到第 1 行）；r 依次与r ,,r ,r 交换，
1 2 3
----------------------- Page 2-----------------------
（A ）0,a ,a （B ）a ,2a ,a
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结线性代数知识点总结「篇一」第一章行列式知识点1：行列式、逆序数知识点2：余子式、代数余子式知识点3：行列式的性质知识点4：行列式按一行（列）展开公式知识点5：计算行列式的方法知识点6：克拉默法则第二章矩阵知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律知识点8：矩阵的乘法运算及运算律知识点9：计算方阵的幕知识点10：转置矩阵及运算律知识点11：伴随矩阵及其性质知识点12：逆矩阵及运算律知识点13：矩阵可逆的判断知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解知识点16：初等变换的概念及其应用知识点17：初等方阵的概念知识点18：初等变换与初等方阵的关系知识点19：等价矩阵的概念与判断知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式知识点21：矩阵的秩的概念与判断知识点22：矩阵的秩的性质与定理知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例第三章向量知识点25：向量的概念及运算知识点26：向量的线性组合与线性表示知识点27：向量组之间的线性表示及等价知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念知识点29：线性表示与线性相关性的关系知识点30：线性相关性的判别法知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系知识点33：求向量组的最大无关组知识点34：有关向量组的定理的综合运用知识点35：内积的概念及性质知识点36：正交向量组、正交阵及其性质知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法知识点38：向量空间（数一）知识点39：基变换与过渡矩阵（数一）知识点40：基变换下的坐标变换（数一）第四章线性方程组知识点41：齐次线性方程组解的性质与结构知识点42：非齐次方程组解的性质及结构知识点43：非齐次线性线性方程组解的各种情形知识点44：用初等行变换求解线性方程组知识点45：线性方程组的公共解、同解知识点46：方程组、矩阵方程与矩阵的乘法运算的关系知识点47：方程组、矩阵与向量之间的联系及其解题技巧举例第五章矩阵的特征值与特征向量知识点48：特征值与特征向量的概念与性质知识点49：特征值和特征向量的求解知识点50：相似矩阵的概念及性质知识点51：矩阵的相似对角化知识点52：实对称矩阵的相似对角化。
线性代数总复习知识点
M
M
am1 L amm
0L 0
M
M
0L 0
0L0
M 0 b11 M
L L
Ma
0 b1n
=
11
M am1
L L
a1m
b 11
MM
amm bn1
L L
b1n
M bnn
bn1 L bnn
∗L∗
M ∗
b11 M
L L
Ma
∗ b1n
=
11
M am1
L L
a1m
b 11
MM
amm bn1
L b1n
M L bnn
)
=
1 det
A
2)分块上下三角阵的行列式
det CA
O B
=
det
A
⋅
det
B
，
det
A O
C B
=
det
A
⋅
det
B
3)利用
det A = λ1λ2 Lλn
其中 λ1,λ2 ,L,λn 是A的n个特征值。
四、求逆矩阵★★★
1．具体矩阵：
① 2阶矩阵——伴随阵法(公式法)
对
A
=
a11 a21
n(n−1)
= (−1) 2 a1na2,n−1Lan1
a1n
a2,n−1 NM
a2n M
n(n−1)
= (−1) 2 a1na2,n−1Lan1
an1 L an,n−1 ann
③范德蒙行列式
1 1L1
x 1
x 2
L
xn
Dn =
x2 1
M
∏ x2 2
线性代数总复习讲义PPT课件
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
线性代数 综合复习资料
《线性代数（经）》综合复习资料第一章 n 阶行列式一、判断题 1.1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ ）． （ ） 3、如果行列式0=D ，则D 中必有一行为零。
4. 设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )二.填空题：2、设行列式1112132122233132333a a a a a a a a a =，则313233213122322333111213222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。
3、n 个方程、n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是 。
4、设,A B 均为3阶方阵，且2,3A B ==-，则13A B *-= 。
5.设行列式30402222075322D =--，则41424344A A A A +++=____________.三.选择题1、设A 为3阶矩阵且行列式0A =，则下列说法正确的是（ ） （A ）矩阵A 中元素都等于0；（B ）矩阵A 中必有两列元素对应成比例；（C ）矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）矩阵A 中任一列向量是其余列向量的线性组合。
2、一个n 级方阵的行列式的值不为零，经若干次初等变换后，其行列式的值（ ）(A) 保持不变； (B ) 保持不为零； (C) 可变成任何值； ( D)保持相同的符号。
4. 已知4阶行列式D 的第三行元素分别是1，0，2，-3；第四行元素对应的代数余子式依次是5，10，t ，5，则t=( )(A) 3 (B) 4 (C)5 (D) 65.下列说法错误的是（ ）（A ）若n 阶线性方程组Ax b =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组存在唯一解； （B ）若n 阶线性方程组0Ax =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组只有零解； （C ）一个行列式交换两列，行列式值不变；（D ）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。
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线性方程组
是
线性方程组 b=0? Ax=b
否
齐次方 程组
R(A)n
基础解系
初等行 变换
有无非零解
行阶梯 形矩阵
非齐次 方程组
有解鉴定
R(A)＝ R(A b)
解旳构造
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1.解旳鉴定 (1)齐次线性方程组有非零解旳充要条件
定理3.1. Amn x = 0有非零解
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第四章 方阵旳特征值和特征向量
•矩阵等价、相同、协议旳联络与区别
A,B∈Mn,
A与B相同 存在可逆矩阵P，使P-1AP=B A与B协议 存在可逆矩阵C，使CTAC=B
A,B∈Mm×n,
A与B等价
存在m阶可逆矩阵P，n阶可
逆矩阵Q，使PAQ=B
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第四章 方阵旳特征值和特征向量
极大线性无关组：向量组A中，能 找到r个向量线性无关，任意r+1个 线性有关，则这r个向量构成旳向量 组是A旳一种最大线性无关组。
求法：非零子式法、初等变换法
极大无关组包括旳向量旳个数
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•向量组与矩阵旳关系
矩阵A = (1, 2, …, s)
列向量组: 1, 2, …, s
矩阵A旳秩R(A) 最高阶非零子式
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行列式
1、二阶三阶行列式旳计算
D a11 a21
a12 a22
线性代数总复习
性质1
例5---相似矩阵 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的 特征值分别为 所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义 由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q， 将矩阵A对角化。 解 1）
向量4---例题4
线性代数总复习
§2 线性代数的“解析理论” §3 线性代数的“几何理论” 线性 代 数 总 复 习§4 线性代数典型证明题§1 线性代数概况1. 线性代数的解析理论——矩阵理论行列式的定义、性质、计算、证明；1/3/4.1行列式、矩阵、线性方程组、二次型 矩阵的定义、性质、运算、初等变换、秩、特征值、特征向量、相似对角化、正交对角化； 方程组的Gauss 消元法、初等变换、基础解系、 通解、特解；二次型的标准化、规范化、惯性指数、正定负定；§1 线性代数概况向量、向量的线性运算；向量间的线性关系；向量组间的关系； 向量与向量组的关系；向量空间；2/3/4.1向量欧氏空间、线性方程组解空间、二次型主轴定理 空间与空间的转换关系：过渡矩阵2. 线性代数的几何理论——空间理论内积运算、欧氏空间；向量的长度、夹角、正交、规范正交向量组； 规范正交基、Schmidt 正交化；线性方程组解空间的结构、二次型的主轴定理； 空间为体，矩阵为用几何是脑力劳动，代数是体力劳动.3/3/4.13. 线性代数主线 ——教学名师 中国科技大学 李尚志1/12/4.2解析理论第一大块：行列式11121 21222 12 n n n n nna a a a a a a a a L L MMOML D =n nnj j j j j nj j j j a a a 12 12 12 ()12 (1)t L L L =- å §2 线性代数的解析理论——矩阵理论11 1122 1122 ,1 ,1,1 i i i i in in j j j j nj nj a n D a A a A a A n a A a A a A n ì = ï =+++> í ï ++> îL L 行列式的性质：（辅导P2） 1.行列式等于0；（4点） 2.行列式的值不变；（4点）3.行列式的值改变；（2点）4.特殊行列式的值。
线性代数各章复习重点汇总
线性代数各章复习重点汇总线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换、线性方程组等概念和性质。
下面是线性代数各章的复习重点汇总。
1.线性方程组：-线性方程组的基本概念和性质，包括齐次线性方程组、非齐次线性方程组等。
-线性方程组的解的存在性与唯一性，以及求解线性方程组的方法（高斯消元法、矩阵求逆法、克拉默法则等）。
-线性方程组的等价关系与等价变换。
2.矩阵与行列式：-矩阵的基本概念和性质，如矩阵的加法、减法、乘法等运算。
-方阵的特殊性质，如对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵等。
-行列式的定义和性质，包括行列式的展开定理、行列式的性质推导等。
3.向量空间：-向量空间的定义和性质，如线性相关性、线性无关性、基、维数等。
-子空间的概念和性质，包括子空间的交、和、直和等操作。
-线性组合、张成空间、极大线性无关组等概念。
4.线性变换与矩阵：-线性变换的定义和性质，包括线性变换的特征值、特征向量等。
-线性变换的矩阵表示，以及矩阵与线性变换之间的转换关系。
-线性变换的合成、逆变换等操作，以及线性变换的标准形式（例如，矩阵的对角化）。
5.特征值与特征向量：-特征值与特征向量的定义和性质，包括特征值的重数、特征向量的线性无关性等。
-特征值与特征向量的计算方法，如特征方程的求解、特征值的代入等。
-特征值与特征向量的应用，如对角化矩阵、相似矩阵等。
6.正交性与标准正交基：-向量的正交性和标准正交性的概念和性质，包括向量的点积、向量的夹角等。
-标准正交基的定义和求解方法，如施密特正交化过程等。
-正交矩阵的定义和性质，以及正交矩阵与标准正交基之间的关系。
以上是线性代数各章的复习重点汇总，希望能够帮助你理清知识重点，并提高复习效率。
祝你取得好成绩！。
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
线性代数总复习讲义
主对角线上的元素都是1, 其余元素都是零的 n阶方阵,叫做n阶单位阵, 简记作E .
５ 矩阵相加
设A
(a ij)m n
,
B
(b
ij
) m
n
为两个同型矩阵,
矩阵加法定义为A B (aijbij)mn , A B称为
A与B的和.
交换律 A B B A
结合律 ( A B) C A (B C)
则称矩阵A是可逆的(或非奇异的、非退化的、满 秩的),且矩阵B称为A的逆矩阵.
若A有逆矩阵,则A的逆矩阵是唯一的, A的逆 矩阵记作 A1 .
相关定理及性质
方阵A可逆的充分必要条件是A 0.
若矩阵A可逆,则 A1 A .
( A )1 1
A;(A)1
1
A
A1 (
0);
( AT )1 ( A1)T .
４对换
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元 素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调， 叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改 变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
５ n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n
若 同 阶 方 阵A与B都 可 逆, 那 么AB也 可 逆, 且
( AB)1 B1 A1 .
１１ 分块矩阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于 论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则 相类似．
典型例题
一、矩阵的运算 二、逆矩阵的运算及证明 三、矩阵的分块运算
１ 初等变换的定义
2021-2022学年线性代数期末总复习(含答案)
线性代数总复习第二章1．设3阶方阵A 可逆，*A 是A 的伴随矩阵，将A 的第1行和第2行互换得B ， 则( ). (A) *A 的第1行和第2行互换得*B ；(B) *A 的第1列和第2列互换得*B ； (C) *A 的第1行和第2行互换得*B -；(D) *A 的第1列和第2列互换得*B - 解:B B A A B A B A **11100001010100001010100001010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--**100001010B A -=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒则(D)正确。
第三章1. 设21,αα和21,ββ都是线性无关的三维向量，证明：存在三维非零向量γ即可以由21,αα线性表示，也可以由21,ββ线性表示. 证明 由于4个3维向量必线性相关，所以存在不全为零的数4321,,,k k k k ，使得024132211=+++ββααk k k k (1)又21,αα和21,ββ都是线性无关的，所以21,k k 和43,k k 都不全为零， （或要证02211≠+ααk k ，采用反证法。
设02211=+ααk k ， 则02413=+ββk k 。
由 21,αα和21,ββ都线性无关，得：04321====k k k k与（1）矛盾。
）只要取0--24132211≠=+=ββααγk k k k 即可. 第四章1. λ为何值时，线性方程组⎩⎨⎧=+++=+-+221243214321x x x x x x x x 和 ⎩⎨⎧=-+=+-+λ4214321122x x x x x x x 有公共解，并求出所有公共解。
解 因为公共解就是联合方程组的解，由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λ1011111222112112111－－－⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ0001310011210121~－－－－11⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛λ00001310035010360~－－－－01所以，λ＝0时，两个方程组有公共解，R k k x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=,135601332．设3阶非零矩阵A 满足0=AB ，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=413112121B ，求齐次线性方程组0=Ax 的通解。
线性代数总复习及典型例题
线性代数总复习
第一章
行列式
第一节 n阶行列式的定义
当m = n 时，n元非齐次线性方程组 Ann x b 有惟一解的充分必要条件是系数矩阵A的行列式
A0
齐次线性方程组 Ax 0 一定有解： (1) R(A) = n (2) R(A) < n
Ax 0 只有零解
Ax 0 有非零解
并且通解中有n-r个自由未知量.
齐次线性方程组 Ax 0 的具体解法： (1)对系数矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A与n之间的大小关系，从而判断方程组解 的情况：唯一解（零解），无穷解（非零解）。
第三章 线性方程组
其中 B A b
非齐次线性方程组 Ax b
(1) R A R B (2) R(A) = R(B ) R(A ) < n R(A ) = n
无解 有解:
Ax b有唯一解 ;
Ax = b 有无穷多解.
并且通解中有n-r个自由未知量.
非齐次线性方程组 Ax b 的具体解法： (1)对增广矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵， 比较 R A 、 R B 以及n之间的大小关系，从而判断 方程组解的情况：无解，唯一解，无穷解。 (2)在判断有解的情况下，继续对行阶梯形矩阵施 行初等行变换，将其化为行最简形，并写出最简形 对应的线性方程组进行求解。如果方程组有无穷多 个解，需写出通解形式。
Er O O O m n
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
线性代数复习总结
1概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩有非零解=-⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()2√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n的标准基，n中的自然基，单位坐标向量87p 教材；②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1（拉普拉斯展开式）③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.3④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）⑤范德蒙德行列式：()1222212111112n ijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ij m n A a ⨯=或mn A ⨯()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号②1()()A E E A -−−−−→初等行变换4③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m nmnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i iA c β= ，(,,)i s =1,2⇔iβ为iAx c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A Ac c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，TA 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩√ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量； 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.5√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A OC B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A **⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动）6⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=.⑨ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑪ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ；7对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑫ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑬ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅. ⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑯ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑰ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑱ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.8⑲ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 ()0A O r A =⇔=若 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()TTr A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥()()()()A r AB r B B r AB r A ⇒=⇒=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()rrE O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.9⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα⇔=−−−−−→=<⇔⇒⇔=⇔=⇔=⇔=−−−−−→≠⇒=⇔⇒当为方阵时当为方阵时有无穷多解0表示法不唯一线性相关有非零解可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⇔=⎪⎩⎧⇔≠⎪⇔=⇔<⎨⎪⇔+=⎩教材72讲义8性无关只有零解不可由线性表示无解 ○注：Ax Axββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解其导出组有非零解有唯一解其导出组只有零解Ax β=1122n n x x x αααβ+++=1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1101212(,,,)n n x xx αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =⇒()()r A r A β=⇒Ax β=一定有解，当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关.m 是()()r A r A β和的上限. √ 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解⇔()()A r r A r B B βγ⎛⎫==⎪⎝⎭.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：① 把(I)与(II)联立起来求解；② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解⇔基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解⇔2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。
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a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
a11 a1n , D 0 an1 ann
Dn D1 D2 解为 x1 , x2 , xn D D D
性质4:行列式中如果有两行(列)元素成比 例则此行列式等于零. 性质5:若行列式的某一列(行)的元素都是两 数的和,则此行列式等于两个行列式之和.
a11 a21 an1 a11 a21 an1 a12 a12 a22 (a1i a1i ) a1n ( a2 i a 2 i ) a 2 n a1i a1n a2i a2 n ani ann
矩阵秩的性质 1.若A中有某个s阶子式不为0,则 R( A) s ; 若A中所有t阶子式全为0,则 R( A) t 2.若A为 m n矩阵,则 0 R( A) min{m, n} 3. R( A) R( A )
T
4.设A为n阶矩阵，则当 A 0 时, R( A) n 当 A 0 时, R( A) n 可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数,因此可逆 矩阵也称为满秩矩阵,不可逆矩阵称为降秩矩阵
初等矩阵
定义:由单位矩阵经过一次初等变换得到的 矩阵称为初等矩阵. 定理1:设A是一个m n矩阵,对A施行一次初 等行变换,相当于在A的左边乘以相应的m阶初等 矩阵;对A施行一次初等列变换,相当于在A的右 边乘以相应的n阶初等矩阵. 定理2:方阵A可逆的充分必要条件：存在 有限个初等矩阵 P , P2 , P ,使 A PP P 1 l 1 2 l
ai 1,1 ai 1,n ann
a11 a1, j 1
b1
a1, j 1 a1n an , j 1 ann
an1 an , j 1 bn
b1 A1 j b2 A2 j bn Anj
行列式的计算
利用行列式的定义和性质计算行列式
aij为位于第 i 行,第
矩阵的运算
1.矩阵的加法(同型矩阵)
2.矩阵的数乘(与矩阵的所有元素相乘) 3.矩阵的乘法(前一个矩阵的列数=后一个矩阵 的行数) 4.矩阵的转置(行与列互换) 5.对称矩阵（反对称矩阵）
A A ( A A)
T
T
6.方阵的行列式
性质：A,B为n阶方阵
A A
线性代数总复习
第一章:行列式
行列式的定义
a11 a21 an1
a12
a1n (1) a1 p1 a2 p2 anpn
t
a22 a2 n an 2 ann
（ t 为 p1 p2 pn的逆序数）
行列式的性质
A AT 性质1:
性质2:交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则 行列式等于零. 性质3:行列式的某一行(列)中所有的元素 都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列式. 推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公 因子可以提到行列式记号的外面.
第三章:矩阵的初等变换与线性方 程组
矩阵的初等变换
1.定义:下列三种变换称为矩阵的初等变换 1).对调两行(列) 2).以数k (k 0) 乘某行(列)中的所有元素 3).将某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行 (列)对应元素上去
2.矩阵的等价
如果矩阵A经过有限次的初等变换变为矩 阵B,称A与B等价.记为 A B 3.行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,矩阵的标准形
线性方程组的解
n元线性方程组 Ax b 解的情况
1.无解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) 2.有惟一解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n 3.有无限多解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) n 4.有解的充分必要条件是 R( A) R( A, b) 5.齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充分必要 条件是 R( A) n
6.矩阵方程 AX B 有解的充分必要条件是
R( A) R( A, B)
7.矩阵方程 Amn X nl O 只有零解的充分必要条 件是 R( A) n
第四章:向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
n维向量组 线性组合:给定向量组 A : a1, a2 ,, am ,对于任 意一组实数 k1 , k2 ,, km ,表达式 k1a1 k2a2 kmam 称为向量组A的一个线性组合, k1 , k2 ,, km 称为这 个线性组合的系数.
R(b1, b2 ,, bl ) R(a1, a2 ,, am )
定理4.对矩阵 Amn ,存在矩阵 Qnm ,使 AQ Em 的充分必要条件：R( A) m 对矩阵 Amn ,存在矩阵 Pnm ,使 PA En 的充分必要条件： R( A) n
当 m n 时,P,Q便是A的逆矩阵.
T
A A
n
AB A B
( AB BA)
AB BA
7.伴随矩阵
A11 * A12 A A 1n
性质:
*
A21 A22 A2 n
*
An1 A2 Ann
AA A A A E
逆矩阵
定理:A可逆的充分必要条件：A是非奇异 矩阵(行列式不等于零)或称A是满秩矩阵。 1 * 1 定理：若 A 0 ， A 则 A A 定理：若A、B为n阶矩阵且 AB E (或 BA E ) 则 B A1 方阵的性质：若A、B为n阶可逆矩阵 0 1 1 1 1 1 ( A ) A , ( A) A , ( AB)1 B1 A1
推论:方阵A可逆的充分必要条件： A E
m 推论： n 矩阵A与B等价的充分必要条 件：存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使
PAQ B
矩阵的秩
定义:在 m n 矩阵A中,任取k行与k列(k m, k n) 位于这些行列交叉处的 k 2 个元素,不改变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式,称为矩阵 A的k阶子式. 定义:设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式 D，所有的r+1阶子式(如果有的话)全等于0,那么 D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A 的秩，记为R(A).并规定零矩阵的秩等于0.(A的秩 是A中不等于0的子式的最高阶数)
矩阵的分块
A 分块对角矩阵：A为n阶方阵， i 为各阶方阵
A1 A O A2 O As
A2 1 O 1 As
性质：若 Ai 可逆，则
A A1 A2 As ,
A11 A1 O
向量组线性无关的充分必要条件： ( A) m R
a11 a1i a1 j a1n ann a1n ann (i j ) a21 a2i a2 j a2 n an1 ani ani
a11 (a1i ka1 j ) a1 j
a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2 n an1 (ani kani ) ani
a11 a1, j 1
b1
a1, j 1 a1n an , j 1 ann
其中 D j an1 an , j 1 bn
第二章:矩阵
矩阵的定义
Amn
a11 a1n a m1 amn
j列的元素
R( A) R( A, B)
推论:向量组 A : a1, a2 ,, am 与向量组 B : b1 , b2 ,, bl 等价的充分必要条件：R( A) R( B) R( A, B)
定理3.设向量组 B : b1 , b2 ,, bl 能由向量组 A : a1 , a2 ,, am 线性表示,则
性质7:行列式等于它的任一行(列)的各元 素与其对应的代数余子式乘积之和.
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
(i 1, 2,n)
a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
( j 1, 2,n)
推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
5.若 A B ,则 R( A) R( B)
6.若P,Q可逆,则 R( PAQ) R( A) 7. max{R( A), R( B)} R( A, B) R( A) R( B) 8. R( A B) R( A) R( B) 9. R( AB) min{R( A), R( B)} 10.若 Amn Bnl O ,则 R( A) R( B) n 11.设A为n阶矩阵,则 R( A E ) R( A E ) n
定理1.向量b能由向量组 A : a1, a2 ,, am 线性 表示的充分必要条件：矩阵 A (a1, a2 ,, am )的秩 等于矩阵 B (a1, a2 ,, am , b) 的秩. 定理2.向量组 B : b1 , b2 ,, bl 能由向量组 A : a1 , a2 ,, am 线性表示的充分必要条件： 矩阵 A (a1, a2 ,, am ) 的秩等于矩阵 ( A, B) (a1, a2 ,, am , b1, b2 ,, bl ) 的秩，即
克拉默法则
定理: 如果n个未知数n个方程的线性方程 组系数行列式不等于零,则方程组有惟一解. 定理:如果n个未知数n个方程的线性方程 组无解或有两个不同的解,则它的系数行列式 必为零. 定理:如果n个未知数n个方程的齐次线性 方程组系数行列式不等于零,则方程组只有零解. 定理:如果n个未知数n个方程的齐次线性方 程组有非零解,则它的系数行列式必为零.