0723第二章单自由度振动系统(讲)

第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。

(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。

[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。

[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。

忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。

把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。

于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。

阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。

以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。

有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。

应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零）（动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。

它可以分为以下几种不同的情况：（1）单自由度无阻尼自由振动0=+kx xm （2）单自由度有阻尼自由振动0=++kx x C xm （3）单自由度无阻尼受迫振动t P kx x m ωsin 0=+（4）单自由度有阻尼受迫振动t P kx x C xm ωsin 0=++ §2-2 单自由度系统无阻尼自由振动无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所作的振动。

其动力学模型如图2.3所示。

图2.3 单自由度系统无阻尼自由振动动力学模型设质量块的质量为m ，它所受的重力为W 。

弹簧刚度为k ，它是弹簧每伸长或压缩一个单位长度所施加的力。

弹簧未受力时的原长为l ，挂上质量块后，弹簧的静伸长为j λ。

此时系统处于静平衡状态，平衡位置为O-O ，由静平衡条件得：W k j =λ （2.2）当系统受到外界某种初始干扰后，系统的静平衡状态受到破坏，则弹性力不再与重力平衡，而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。

若取静平衡位置为坐标原点，以x 表示质量块的垂直位移，并作为系统的广义坐标，取向下为正。

则当质量块离开平衡位置x 时，质量块所受的作用力,重力W 和弹性力()x kj +λ，由于受力不平衡，质量块即产生加速运动。

()kx x k W xm j -=+-=∴λ即 0=+kx x m （2.3）上式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程式。

现求解上列微分方程，先将（2.3）式改写成：0=+x mk x 令 mk n =2ω （这里是有用意的） 则 02=+x x nω （2.5） 这是一个齐次二阶常系数线性微分方程。

设st e x =是方程的解，代入（2.5）式 ()022=+st n e s ω 有 022=+ns ω n i S ω±=∴ （两个不相等的实根）故方程（2.5）的通解为()()()()212211212121;:6.2sin cos sin cos sin cos C C i b C C b t b t b t i t C t i t C e C e C x n n n n n n ti t i n n -=+=+=-++=+=-式中ωωωωωωωω（2.6）式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，而这两个同频率的简谐振动，合成后仍是一个简谐振动， 即： ()ϕω+=t A x n sin 式中：2112221b b tg b b A -=+=ϕ A 和ϕ是两个待定常数，取决于振动的初始条件。

设振动的初始条件为：00,,0x xx x t ===时 代入（2.7）式中得：ϕωϕcos ;sin 00n A xA x == 解之得： 00122020x x tgx x A n n ωϕω-=+=二、振动特性的讨论1．振动的类型 无阻尼自由振动是简谐振动。

其振动特性只决定于系统的弹性和质量块的惯性。

2．系统的频率和周期系统振动的圆频率m K n =ω系统的振动频率 m K f n n ππω212==系统的振动周期： m K f T n π21==由此可见，系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关。

因此,当振动系统的结构确定之后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关。

ωn ——固有圆频率（natural circlar frequency ）f n ——固有频率（natural frequency ）(说明)线性系统自由振动等时性可以用于判断，刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。

质量相同的两个系统，刚度小的系统固有频率低，刚度大的系统固有频率高。

换句话说，系统质量增大和刚度减小都会使系统固有频率下降；反之，要提高系统的固有频率，应减小系统质量和增大系统刚度。

这一性质在定性研究振动，特别是希望调整系统的固有频率时是极重要的。

3．系统的振幅和初相位运动微分方程中，A 是系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置的最大位移。

ϕ则是初相位，表示质量块的初始位置。

振幅A 和初相位ϕ的大小取决于00,,xx n ω的数值。

这就是说，振幅A 和初相位ϕ不仅由系统的惯性和弹性所决定，而且还与运动的初始条件有关。

振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。

4．常力对振动特性的影响常力（如重力）作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动特性。

因此，在分析振动时，只要以平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力。

[例1] 一质量块m 安放在长度为l 的简支梁的中点，梁的弯曲刚度为EJ ，若忽略梁的质量，试求此系统的固有频率。

解：将上述系统简化为一个单自由度自由振动系统，简支梁相当于一根弹簧。

根据材料力学简支梁的挠度公式，在梁的中点作用一个垂直力P 时，该点的挠度为：EJ Pl y 483=故简支梁的弹簧刚度为：348lEJ y P k == 所以系统的固有圆频率即可算出：393.6ml EJ m k n ==ω系统的固有频率为： 31.12ml EJ f n n ==πω *[例2] 试确定图2.6中各个系统的固有频率。

解：在图2.6（a ）所示的系统中，质量块m 作铅直方向位移（平动）时，引起各分弹簧的等量伸长。

设弹簧的静伸长为j λ，则该系统静平衡时，质量块的重力W 与各分弹簧的弹性力之间存在下列关系：j n i i j j j K k k k W λλλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=∑=1321 所以系统的总弹簧刚度为：∑===n i i j K Wk 1λ因此该系统的固有圆频率为：m k k k m k n 321++==ω在图2.6（b ）所示的系统中，若将质量块m 看成是由两个分质量块m 1和m 2所组成，即m = m 1＋m 2两个分质量块分别与弹簧k 1和k 2连接，这两个分系统的固有圆频率为：由于这两个质量块是牢固地连接在一起的，所以它们的固有频率必然相等，且等于整个系统的固有频率ωn，即：212211221121;k k K k mk m k m k m m km k m k nn n +=======ωωω 所以整个系统的固有圆频率为：mk k m kn 21+==ω在图2.6（c ）所示的系统中，质量块m 的重力W 通过弹簧传至固定点。

在平衡时，作用在各分弹簧上的力均为W 。

质量块的位移则等于各分弹簧变形的总和，即：222111;m k m k n n ==ωω∑∑==⋅=++======++=ni ij j j j ni jij j j j K W K W K W K W K W K W K W K W 132133221113211λλλλλλλλλ即∑==ni iK K 111因此3121323213211111K K K K K K K K K K K K K ++=++=所以该系统的固有圆频率为：()m k k k k k k k k k mk n 312132321++==ω由本例可以看出：系统中的弹性环节往往由多个弹簧组成，组成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。

为了计算固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定系统总的弹簧刚度。

总结一下可以得出以下规则：并联弹簧的等效弹簧刚度等于各分弹簧刚度之和；串联弹簧的等效弹簧刚度的倒数等于各分弹簧刚度倒数之和。

三、扭转振动以上讨论的是直线振动的情况，但在工程技术上常常碰到另一种需要用角位移θ作为广义坐标来表达其振动状态的扭转振动。

由牛顿定律的表达式为：∑θ IM=式中M——施加于转动物体上的力矩；I——转动物体对于转动轴的转动惯量；θ ——角加速度。

如图2.7所示，在一根垂直轴下端固定着一个圆盘。

圆盘转动惯量为I，轴的扭转刚度为K，轴的长度l，直径为d。

θ当系统受到某种干扰后，即作扭转自由振动。

现取θ为广义坐标，并以逆时针为正。

振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与θ方向相-。

反的弹性恢复力矩θθK可建立上述系统的扭转振动运动微分方程式0=+-=θθθθθθK I K I 022=+=θωθωθnnIk 令 可见，扭转自由振动的微分方程与直线自由振动的微分方程完全相似。

其通解为：()ϕωθ+=t A sin所以单自由度系统扭转自由振动也是一个简谐振动。

其固有圆频率、固有频率及周期分别为Ik T Ik f I k n θθθππω221===振幅A 和初相位ϕ也决定于扭转振动的初始条件，若t=0时，0,θθθθ ==，则： 00122020θωθϕωθθ nntgA -=+=四、计算系统固有频率的其它方法在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义。