2017考研数学三试题答案
2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题：9～14⼩题，每⼩题4分，共24分。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
2017考研数学三真题及答案解析
ln 2
ln 2
2
．
5
19．（本题满分 10 分）
设
a0
1, a1
0, an1
n
1
1
(na
n
a n 1 )(n
1, 2,3 ),
，
S(x)
为幂级数
n0
an xn
的和函数
（1）证明 an xn 的收敛半径不小于1． n0
（2）证明 (1 x)S(x) xS(x) 0(x (1,1)) ，并求出和函数的表达式．
0
2
10．差分方程 yt1 2 yt 2t 的通解为
．
【详解】齐次差分方程 yt1 2 yt 0 的通解为 y C 2x ；
设
yt 1
2 yt
2t
的特解为
yt
at 2t
，代入方程，得 a
1 2
；
所以差分方程
yt 1
2 yt
2t
的通解为
y
C 2t
1 t2t. 2
11．设生产某产品的平均成本 C(Q) 1 eQ ，其中产量为 Q ，则边际成本为
8．设
X1, X 2,, X n(n
2)
为来自正态总体 N (,1) 的简单随机样本，若
X
1 n
n i 1
Xi
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n
（A） ( X i )2 服从 2 分布 i 1
（B） 2 X n X1 2 服从 2 分布
n
（C） ( X i X )2 服从 2 分布 i 1
时， g(x) g(0) 0 ，进一步得到当 x (0,1) 时， f (x) 0 ，也就是 f (x) 在 (0,1) 上单调减少．
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
（ A ） E T 不可逆 （ B ） E T 不可逆 （ C ） E 2 T 不可逆 （ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)
2017年考研数学三真题和解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1；2,1,1,,1；1,1,1,,1-；3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）． 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）（1）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(，因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而21=ab ，应选)(A 。
（2）二原函数)3(y x xy z--=的极值点为（ ）)(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-=''，y x z xy 223--=''，x z yy 2-=''，当)0,0(),(=y x 时，092<-=-B AC ，则)0,0(不是极值点；当)1,1(),(=y x 时，032>=-B AC 且02<-=A ，则)1,1(为极大点，应选)(D 。
（3）设函数)(x f 可导，且0)()(>'⋅x f x f ，则（ ）)(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ，则0)(>'x f ，从而0)1()1(>->f f ；若0)(<x f ，则0)(<'x f ，从而0)1()1(<-<f f ，故|)1(||)1(|->f f ，应选)(C 。
2017【考研数学三】真题及答案解析
2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂，232z x x xy y ∂=--∂，2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；1,1,1,,1-L ；3,1,1,,1L ．显然只有TE αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-U显然，A B U 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布 （C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=L 且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sinx dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e-+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33t x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→==== 16．（本题满分10分）计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数（1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+L1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+L也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+L111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑Llim1n n n ρ→∞=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）n 次测量结果12,,,n X X X L 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计参数σ． （1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L ．当0,1,2,i z i n >=L 时似然函数为221121()(,)ni i n nz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年考研数学三真题与解析
【详解】设 g(x) ( f (x))2 ，则 g(x) 2 f (x) f (x) 0 ，也就是 f (x)2 是单调增加函数．也就得到
2
2
f (1) f (1) f (1) f (1) ，所以应该选（C）
1
1
4．
若级数 n2 sin
k ln(1 n
n) 收敛，则 k
（
）
（A）1
2017 年考研数学三真题
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1 cos x
,x 0
1．若函数 f (x) ax
在 x 0 处连续，则
b,
x0
1
1
（A） ab （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2
2
2
1
x
1 cos 【详解】 lim f (x) lim
．
解：由对称性知 (sin3 x
2 x2 )dx 2
2 x2 dx 3 ．
i 1
2 (n) 分布，也就是（A）结论是正确的；
（2）
n i 1
(Xi
X )2
(n 1)S 2
(n 1)S 2 2
~
2 (n 1) ，所以（C）结论也是正确的；
1 （3）注意 X ~ N (, )
n ( X ) ~ N (0,1) n( X )2 ~ 2 (1) ，所以（D）结论也是正确的；
x lim 2
1 ， lim f (x) b f (0) ，要使函数在 x 0 处连续，
x0
x0
ax
x0 ax 2a x0
1
1
必须满足 b ab ．所以应该选（A）
2a
2
2．二元函数 z xy(3 x y) 的极值点是（ ）
2017年考研数学三真题及答案解析
2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =，处连续，则（ ）（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ） （A ）(0,0)（B ）(0,3)（C ）(3,0)（D ）(1,1)（3）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >- （B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >- （D ）(1)(1)f f <-（4）设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2TE αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,,A B C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是（A ）A 与B 相互独立（B ）A 与B 互不相容（C ）AB 与C 相互独立（D ）AB 与C 互不相容（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）3(sin x dx ππ-=⎰_______。
2017年考研数学三真题与解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ∂=---=--∂，232zx x xy y∂=--∂， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选（C ）4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）TE αα-不可逆 （B ）TE αα+不可逆 （C ）2TE αα+不可逆 （D ）2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．8．设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）（A ）21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-= 且相互独立，所以21()nii Xμ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．3(sin x dx ππ-=⎰ ．解：由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰．10．差分方程122tt t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =，代入方程，得12a =； 所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．13．设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分）求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，t x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 33xt x u u x x x x x dt e du du ++++---→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17．（本题满分10分） 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18．（本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数 （1）证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!nn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑1n n n ρ=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数nn n a x∞=∑， 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数．21．（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ． 【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a = 114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭， 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （1）求概率P Y EY ≤（）；（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰（2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23．（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ． （1）求i Z 的概率密度；（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩．（2）数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时似然函数为21121()(,)ni i n nz i i L f z σσσ=-=∑==∏，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年考研数学三真题与解析
f (1)
2
f ( 1) f (1) f ( 1) ，所以应该选（C）
2
4． 若级数
sin k ln(1 ) 收敛，则 k （ n n
n2
1
1
） （D） 2
（A） 1
（ B） 2
（C） 1
1
【详解】iv n 时 sin
n
n
k 1
n
k
2
k ln 1 n k k 1 n k k ln 1 lim ln 1 2 n n n n k 1 n n k 1 n 1 1 1 ln(1 x) dx 2 2 0 4
3．设函数 f ( x ) 是可导函数，且满足 f ( x ) f ( x ) 0 ，则 （A） f (1) f ( 1)
2
（B） f (1) f ( 1)
（C） f (1) f ( 1)
2
（D） f (1) f ( 1)
【详解】设 g ( x ) ( f ( x )) ，则 g ( x ) 2 f ( x ) f ( x ) 0 ，也就是 f ( x ) 是单调增加函数．也就得到
1 0 1 1 0 1 1 0 1 【详解】对矩阵进行初等变换 A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A 的秩为 2，由于 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 , 2 , 3 为线性无关，所以向量组 A1 , A 2 , A 3 的秩为 2．
．
0
解：由对称性知
(sin 3 x 2 x 2 ) dx 2
2017年考研数学三真题和解析
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则 (A ）12ab =(B)12ab =-(C ）0ab =(D ）2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=．所以应该选（Ａ）２.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ )(A)(0,0) （B)03(,) （C ）30(,) （Ｄ）11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选(D)3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>,则（A)(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- (C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-，所以应该选(C)4． 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛，则k =（ ） (A)1 (B)2 （C ）1- （D ）2-【详解】i ｖn →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择(Ｃ）．５.设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵,则(A ）T E αα-不可逆 (Ｂ)TE αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （Ｄ)2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1．显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆，应该选(A ）．6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A),A C 相似，,B C 相似 (B ）,A C 相似，,B C 不相似 (Ｃ）,A C 不相似,,B C 相似 (D ）,A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．对于矩阵A ，0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于１ ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，秩等于 2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择（B)． 7.设,A B ，C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ )(Ａ),A B 相互独立 (B ）,A B 互不相容 （C),AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(Ｃ ).8．设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是（ ）(A ）21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 (B ）()212n X X -服从2χ分布 (C)21()nii XX =-∑服从2χ分布 （Ｄ）2()n X μ-服从2χ分布解：（1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立，所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（Ａ)结论是正确的;（2）222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以（Ｃ)结论也是正确的;(3)注意221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D ）结论也是正确的；(４）对于选项（B):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-，所以（Ｂ)结论是错误的,应该选择(Ｂ）二、填空题（本题共6小题,每小题4分,满分2４分． 把答案填在题中横线上） 9．3(sinx dx ππ-=⎰ ．解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰.１０．差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =； 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程，得12a =； 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+１1.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e-+-.平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-1２．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，知矩阵Ａ的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==，{}3P X b ==,若0EX =，则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题15．（本题满分10分)求极限0limt x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,xt x u dt du -=⎰⎰00002limlim limlim 3xxxt x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→==== 16．（本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域． 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)111141128Dy y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-= ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分1０分) 求21limln 1nn k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰1８．(本题满分10分） 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少，由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少．00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<.设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(１)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（１)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ→∞=≤++≤=，所以收敛半径1R ≥ （2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质，可得11()n nn S x na x∞-='=∑，所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1xCe S x x -=-，由于0(0)1S a ==，得1C =所以()1xe S x x-=-．设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (１)证明：()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解．【详解】(1）证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥，又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <，也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭；又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭；方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 为任意常数.2１.（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭，30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. ２２.(本题满分１1分)设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他． （１）求概率P Y EY ≤（）;（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2）Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 ２３．(本题满分11分)次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.（1)求i Z 的概率密度；（２)利用一阶矩求σ的矩估计量; （3）求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1）先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.（2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.（３)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017年考研数学三真题与解析
考研数学真题及解析= = - ∂z n =2 2017 年考研数学三真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．⎧1- co 1. 若函数 f (x ) = ⎪, x > 0在 x = 0 处连续，则 ⎨ ax ⎩⎪ b , x ≤ 0 （A ） ab = 1 （B ） ab = - 1（C ） ab = 0 （D ） ab = 2【详解】 lim 2 f (x ) = lim2 1 x = lim 2 =1 ， limf (x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续， x →0+x →0+ ax x →0+ ax 2a x →0-1必须满足 2a = b ⇒ ab = 1 ．所以应该选（A ） 22. 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（）（A ） (0, 0)（B ） (0, 3)（C ） (3, 0)（D ） (1,1)【详解】∂z= y (3 - x - y ) - xy = 3y - 2xy - y 2 ， ∂z= 3x - x 2 - 2xy ，∂2z = - ∂x 2∂x 2 y , ∂2 z∂y 2 = -2x ,∂2 z ∂x ∂y∂y ∂2 z ∂y ∂x 3 2x⎧∂z= 3y - 2xy - y 2 = 0 ⎪∂x 解方程组 ⎨⎪ = 3x - x 2 - 2xy = 0⎪⎩∂y，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2，发现只有在点(1,1) 处满足AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ）3. 设函数 f (x ) 是可导函数，且满足 f (x ) f '(x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1)（B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1)（D ） f (1) < f (-1)【详解】设 g (x ) = ( f (x ))2 ，则 g '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) > 0 ，也就是 ( f (x ))2是单调增加函数．也就得到( f (1))2> ( f (-1))2⇒ f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ）∞⎡ 1 1 ⎤ 4.若级数∑ ⎢⎣sin n - k ln(1- n )⎥⎦ 收敛，则k = （ ）（A ）1（B ） 2（C ） -1（D ） -2s x 1- cos x⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭1 1 1 ⎛ 1 1 ⎛ 1 ⎫2⎫ ⎛ 1 ⎫ 1 k 1 ⎛ 1 ⎫【详解】iv n → ∞ 时sin n - k ln(1- n ) = n - k - - ⎪ ⎪ + o n 2 ⎪ = (1+ k ) + 2 o n 2 ⎪ ⎝n 2 ⎝ n ⎭ ⎭ ⎝ ⎭ 1n 2 n ⎝ ⎭ 显然当且仅当(1+ k ) = 0 ，也就是 k = -1 时，级数的一般项是关于 n（C ）．5. 设α 为n 单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（A ） E - αα T不可逆（B ） E + αα T不可逆（C ） E + 2αα T不可逆（D ） E - 2αα T不可逆【详解】矩阵αα T的特征值为1和 n -1个 0 ，从而 E - αα T, E + αα T, E - 2αα T, E + 2αα T的特征值分别为0,1,1, 1； 2,1,1, ,1 ； -1,1,1, ,1； 3,1,1, ,1 ．显然只有 E - αα T存在零特征值，所以不可逆， 应该选（A ）．6.已知矩阵 A = ⎪ 0 0 1 ⎪ ⎪ 0 0 1 ⎪，则 0 0 2 ⎪（A ） A , C 相似， B , C 相似（B ） A , C 相似， B , C 不相似（C ） A , C 不相似， B , C 相似（D ） A , C 不相似， B , C 不相似【详解】矩阵 A , B 的特征值都是λ1 = λ2 = 2, λ3 = 1．是否可对解化，只需要关心λ = 2 的情况．⎛ 0 0 0 ⎫ 对于矩阵 A ， 2E - A =0 0 -1⎪ ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 存在两个线性无关的⎪ 0 0 1 ⎪ 特征向量，也就是可以对角化，也就是 A ~ C ．⎛ 0 -1 0 ⎫对于矩阵 B ， 2E - B = 0 0 0 ⎪ ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值λ = 2 只有一个线性无关的0 0 1 ⎪ 特征向量，也就是不可以对角化，当然 B , C 不相似故选择（B ）．7. 设 A , B ， C 是三个随机事件，且 A , C 相互独立， B , C 相互独立，则 A B 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）（A ） A , B 相互独立（B ） A , B 互不相容（C ） AB , C 相互独立 （D ） AB , C 互不相容【详解】⎛ 2 0 0 ⎫ ⎛ 2 1 0 ⎫ ⎛ 1 0 0 ⎫0 2 1 ⎪ ， B = 0 2 0 ⎪ ， C =0 2 0 ⎪ ⎪≥ μ = n ∑ n 1 π ππt +1 t t +1 t 3π nP (( A B )C ) = P ( AC + AB ) = P ( AC ) + P (BC ) - P ( ABC ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( ABC )P ( A B )P (C ) = (P ( A ) + P (B ) - P ( AB ))P (C ) = P ( A )P (C ) + P (B )P (C ) - P ( AB )P (C )显然， A B 与C 相互独立的充分必要条件是 P ( ABC ) = P ( AB )P (C ) ，所以选择（C ）．1 n8.设 X 1, X 2 , , X n (n 2) 为来自正态总体 N ( ,1) 的简单随机样本，若 X X i ，则下列结论中不i =1正确的是（）（A ） ∑( X i - μ) i =1服从χ 2 分布 （B ） 2 ( X - X )2服从χ 2 分布n（C ） ∑( X i i =1- X )2服从χ 2分布 （D ） n ( X - μ)2服从 χ 2分布解：（1）显然 ( X i - μ) ~ N (0,1) ⇒ ( X i - μ)2~ χ 2(1), i = 1, 2, n 且相互独立，所以∑( X i =1- μ)2服从χ 2 (n ) 分布，也就是（A ）结论是正确的；n22(n -1)S 22（2） ∑( X i - X ) i =1= (n -1)S =σ 2~ χ (n -1) ，所以（C ）结论也是正确的；（3）注意 X ~ N (μ, 1) ⇒ nn ( X - μ) ~ N (0,1) ⇒ n ( X - μ)2 ~ χ 2 (1) ，所以（D ）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）： ( X - X ) ~ N (0, 2) ⇒X n - X 1 ~ N (0,1) ⇒ 1( X - X )2 ~ χ 2 (1) ，所以（B ）结n1论是错误的，应该选择（B ）2 n 1二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） 9．⎰-π(sin 3 x + π 2 - x 2 )dx = ．解：由对称性知⎰-π(sin x +)dx = 2⎰03 dx = ．210.差分方程 y - 2 y = 2t的通解为．【详解】齐次差分方程 y - 2 y = 0 的通解为y = C 2x；设 y t +1 - 2 y t = 2t的特解为 y = at 2t，代入方程，得a = 1 ； 2所以差分方程 y t +1 - 2 y t= 2t 的通解为 y = C 2t + 1 t 2t . 211.设生产某产品的平均成本C (Q ) = 1+ e-Q，其中产量为Q ，则边际成本为.n2π 2 - x 2π 2 - x 2t2i⎝ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭lim = 0⎰ 【详解】答案为1+ (1- Q )e -Q ．平均成本C (Q ) = 1+ e-Q，则总成本为C (Q ) = QC (Q ) = Q + Qe-Q，从而边际成本为C '(Q ) = 1+ (1- Q )e -Q .12.设函数 f (x , y ) 具有一阶连续的偏导数，且已知 df (x , y ) = ye y dx + x (1+ y )e y dy ， f (0, 0) = 0 ，则f (x , y ) =【详解】df (x , y ) = ye ydx + x (1+ y )e ydy = d (xye y) ，所以 f (x , y ) = xye y+ C ，由 f (0, 0) = 0 ，得C = 0 ，所以 f (x , y ) = xye y ．⎛ 1 0 1 ⎫ 13 ． 设矩阵 A = 1 1 2 ⎪ ， α ,α ,α 为线性无关的三维列向量， 则向量组 A α , A α, A α 的秩⎪ 0 1 1 ⎪为．1 2 3⎛ 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 0 1⎫ ⎛ 1 0 1 ⎫123【详解】对矩阵进行初等变换 A = 1 1 2 ⎪ → 0 1 1⎪ → 0 1 1 ⎪ ，知矩阵 A 的秩为 2，由于0 1 1 ⎪ 0 1 1⎪ 0 0 0 ⎪ α1,α2 ,α3 为线性无关，所以向量组 A α1, A α2 , A α3 的秩为 2．14．设随机变量 X 的概率分布为 P {X = -2} = 1， P {X = 1} = a ， P {X = 3} = b ，若 EX = 0 ，则2DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知a + b + 1= 12EX = -2 ⨯ 1 +1⨯ a + 3⨯ b = a + 3b -1 = 0 ，解得a = 1 , b = 12 4 4EX 2 = 2 + a + 9b = 9 ， DX = EX 2 - E 2 ( X ) = 9．2 2三、解答题15．（本题满分 10 分）求极限 lim⎰0x →0+x - te t dt x 3【详解】令 x - t = u ，则t = x - u , dt = -du ，⎰x - te t dt = ⎰ xue x -u du lim⎰0x - t e t dt e x = limue -u du = lim ⎰0 ue -udu = xe - x 2 x →0+x →0+x →0+x →0+3 x 32x 3x 3x 3x xx x xx ⎰⎰D∑ n 1 1 1y 3计算积分24 2dxdy ，其中 D 是第一象限中以曲线 y 与 x 轴为边界的无界区域．D【详解】y 3+∞xy 3⎰⎰ (1+ x2+ y 4 )2dxdy = ⎰dx ⎰0(1+ x 2+ y 4 )2dy1 +∞x d (1+ x 2 + y 4)4 ⎰0dx ⎰0(1+ x 2+ y 4 )2 = 1 +∞ ⎛ 1 -1 ⎫dx = π ⎛1- 2 ⎫ 4 ⎰0 1+ x 2 1+ 2x 2 ⎪8 2 ⎪17．（本题满分 10 分）⎝ ⎭ ⎝ ⎭nk⎛ k ⎫求 lim n →∞ k =1 n 2 ln 1+ ⎪ ⎝ ⎭【详解】由定积分的定义lim ∑k ln ⎛1+ k ⎫ = lim 1 ∑nk ln ⎛1+ k ⎫ =x ln(1+ x )dxn →∞n2n⎪ n →∞n nn ⎪⎰k =1⎝⎭k =1⎝⎭ = 1 ⎰1 ln(1+ x )dx 2 = 118．（本题满分 10 分）112 0 4已知方程ln(1+ x ) - = k 在区间(0,1) 内有实根，确定常数k 的取值范围． x【详解】设 f (x ) =- , x ∈(0,1) ，则 ln(1+ x ) x' 1 1(1+ x ) ln 2 (1+ x ) - x 2f (x ) = - + (1+ x ) l n 2(1+ x ) x 2x 2(1+ x ) ln 2 (1+ x )令 g (x ) = (1+ x ) ln 2(1+ x ) - x 2，则 g (0) = 0, g (1) = 2 ln 22 -1g '(x ) = ln 2 (1+ x ) - 2 ln(1+ x ) - 2x , g '(0) = 0 g '(x ) =2(ln(1+ x ) - x )< 0, x ∈(0,1) ，所以 g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，1+ x由于 g '(0) = 0 ，所以当 x ∈(0,1) 时，g '(x ) < g '0) = 0 ，也就是 g (x ) g '(x ) 在(0,1) 上单调减少，当 x ∈(0,1)时， g (x ) < g (0) = 0 ，进一步得到当 x ∈(0,1) 时， f '(x ) < 0 ，也就是 f (x ) 在(0,1) 上单调减少．lim f (x ) = lim ⎛1- 1 ⎫ = lim x - ln(1+ x ) = 1 ， f (1) =1 -1 ，也就是得到 1 -1 < k < 1 ．++ ⎪ +x →0x →0 ⎝ ln(1+ x ) x ⎭ x →0 x ln(1+ x ) 2ln 2 ln 2 2 = n=∞ （1）证明∑ a x 的收敛半径不小于1．nnnn ∞∞∞a = 1, a = 0, a= 1 (na + a )(n = 1, 2, 3 ), S (x ) ∑ a x n设 01n +1 n +1n n -1 ， 为幂级数n n =0的和函数∞n n n =0（2）证明(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件a n +1 =1(na n +1n + a n -1 ) ⇒ (n +1)a n +1 = na n + a n -1 也就得到(n +1)(a - a ) = -(a - a ) ，也就得到a n +1 - a n = - 1, n = 1, 2, n +1 n n n -1 a - a n +1a n +1 - a n = a n +1 - a n ⨯a n - a n -1 n n -1⨯ ⨯ a 2 - a 1 = (-1)n 1a 1 - a 0 a n - a n -1 a n -1 - a n -2 a 1 - a 0(n +1)!也就得到a n +1 - a n = (-1)n +11 (n +1)!, n = 1, 2,nk +11a n +1 = (a n +1 - a n ) + (a n - a n -1 ) + + (a 2 - a 1 ) + a 1 = ∑(-1)k =2ρ = lim n →∞ ≤ lim n →∞ ≤ lim n →∞= 1 ，所以收敛半径 R ≥ 1∞∞（2）所以对于幂级数∑ a xn， 由和函数的性质，可得 S '(x ) =∑ n a xn -1，所以n n =0nn =1(1- x )S '(x ) = (1- x )∑ n a xn -1 = ∑ n a xn -1 - ∑ n a x nn =1n =1 ∞∞n =1= ∑(n +1)a + x n - ∑ n a x nn =0∞n 1nn =1= a 1 + ∑((n +1)a n +1 n =1- na )x n= ∑ a x n = ∑ a x n +1 = x ∑ a x n = xS (x )n =1n -1n =0nnn =0也就是有(1- x )S '(x ) - xS (x ) = 0(x ∈(-1,1)) ．'Ce- x 解微分方程(1- x )S (x ) - xS (x ) = 0 ，得 S (x ) = 1- x，由于 S (0) = a 0 = 1 ，得C = 1e - x 所以 S (x ) =．1- x∞∞∞ na n n1 + 1 + 2! 3! + 1 n ! n e k !⎪ -1 1 -1 1 ⎪ ⎪ 设三阶矩阵 A = (α1,α2 ,α3 ) 有三个不同的特征值，且α3 = α1 + 2α2 . （1）证明： r ( A ) = 2 ；（2）若 β = α1 + α2 ,α3 ，求方程组 Ax = β 的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以 A 是非零矩阵，也就是r ( A ) ≥ 1．假若 r ( A ) = 1 时， 则 r = 0 是矩阵的二重特征值， 与条件不符合， 所以有 r ( A ) ≥ 2 ， 又因为α3 - α1 + 2α2 = 0 ，也就是α1 ,α2 ,α3 线性相关， r ( A ) < 3 ，也就只有 r ( A ) = 2 ．（2）因为r ( A ) = 2 ，所以 Ax = 0 的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于α3 - α1 + 2α2 = 0 ，所⎛ 1 ⎫以基础解系为 x = 2 ⎪；⎪ ⎝ ⎭又由 β = α + α ,α ⎛1⎫ ，得非齐次方程组 Ax = β 的特解可取为 1⎪ ；123⎪ ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 ⎫ ⎛1⎫方程组 Ax = β 的通解为 x = k 2 ⎪ + 1⎪，其中k 为任意常数．⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭21．（本题满分 11 分）设 二 次 型 f (x , x , x ) = 2x 2- x 2+ ax 2+ 2x x - 8x x + 2x x在 正 交 变 换 x = Qy下 的 标 准 形 为1231231 21 32 3λ y 2 + λ y 2 ，求a 的值及一个正交矩阵Q ．1 12 2⎛ 2 1-4 ⎫ 【详解】二次型矩阵 A =1 -1 1 ⎪⎪ -4 1 a ⎪ ⎝ ⎭因为二次型的标准形为λ y 2 + λ y 2．也就说明矩阵 A 有零特征值，所以 A = 0 ，故a = 2.1 12 2λ -1 -1 4λ E - A = 1 λ +11 = λ(λ + 3)(λ - 6)4-1λ - 2令 λ E - A = 0 得矩阵的特征值为λ1 = -3, λ2 = 6, λ3 = 0 ．1 ⎪1 ⎪ 1 ⎪ ⎨ ⎩⎩ =通过分别解方程组(λ E - A )x = 0 得矩阵的属于特征值λ = -3 的特征向量ξ =⎛ 1 ⎫ 1 -1⎪ ，属于特征值特 i⎛ -1⎫ 1 1⎛ 1 ⎫3 ⎪ ⎝ ⎭ 征值λ = 6 的特征向量ξ = 1 0 ⎪， λ = 0 的特征向量ξ =1 2 ⎪ ，2 2 2 ⎪ 3⎝ ⎭ 36 ⎪ ⎝ ⎭⎛ 1 - 11 ⎫ 32 6 ⎪ ⎪ 所以Q = (ξ ,ξ ,ξ ) = -10 2 ⎪为所求正交矩阵． 1 2 3 36 ⎪⎪ 1 1 1 ⎪ 3 2 6 ⎪ ⎝⎭22．（本题满分 11 分）设随机变量 X ,Y 相互独立， 且 X 的概率分布为 P {X = 0} = P {X = 2} = 1， Y 的概率密度为2f ( y ) = ⎧2 y , 0 < y < 1．⎨0, 其他（1） 求概率 P （Y ≤ EY ）；（2）求 Z = X + Y 的概率密度． 【详解】（1） EY = +∞122 yf ( y )dy2 y dy = . ⎰-∞ Y⎰0 3 ⎧ 2 ⎫24 所以 P {Y ≤ EY } = P ⎨Y ≤ ⎬ = ⎰ 32 ydy = .⎩ 3 ⎭ 09 （2） Z = X + Y 的分布函数为F Z (z ) = P {Z ≤ z } = P {X + Y ≤ z } = P {X + Y ≤ z , X = 0} + P {X + Y ≤ z , X = 2}= P {X = 0,Y ≤ z } + P {X = 2,Y ≤ z - 2}= 1 P {Y ≤ z } + 1P {Y ≤ z - 2} 2 2 = 1[F (z ) + F (z - 2)]2 YY故 Z = X + Y 的概率密度为f (z ) = F '(z ) = 1[ f (z ) + f (z - 2)] Z Z2⎧z , 0 ≤ z ≤ 1 = ⎪z - 2, 2 ≤ z < 3 23．（本题满分 11 分）⎪0, 其他 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量 μ 是已知的，设X i - μX i - μ 2π 2π Z n1 ∑ n z2 ii =1 1 2 nZ= = n ∑ σ σ = 2σ2 2σ nn nn 次测量结果 X , X , , X 相互独立且均服从正态分布 N (μ,σ 2). 该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 Z i = X i - μ , (i = 1, 2, , n ) ，利用 Z 1 , Z 2 , , Z n 估计参数σ ．（1） 求 Z i 的概率密度；（2） 利用一阶矩求σ 的矩估计量； （3） 求参数σ 最大似然估计量．【详解】（1）先求 Z i 的分布函数为F (z ) = P {Z ≤ z } = P { X- μ ≤ z } = P⎧ ≤z ⎫Zii⎨σσ ⎬当 z < 0 时，显然 F Z (z ) = 0 ；⎩⎭⎧ z ⎫ ⎛ z ⎫当 z ≥ 0 时， F Z (z ) = P {Z i ≤ z } = P { X i - μ ≤ z } = P ⎨ σ ≤ σ ⎬ = 2Φ σ⎪ -1 ； ⎩ ⎭ ⎝ ⎭ ⎧ - z 2 所以 Z 的概率密度为 f (z ) = F ' (z ) = ⎪⎩+∞+∞2σ 2, z ≥ 0 ． 0, z < 02-z 22σ（2）数学期望 EZ i = ⎰ z f (z )dz = ⎰ ze 2σ 2dz = ，0 01 n令 EZ Z Z i ，解得 的矩估计量 i =1 ∑ Z i ． i =1（3）设 Z 1, Z 2 , , Z n 的观测值为 z 1 , z 2 , , z n ．当 z i > 0, i = 1, 2, n 时n12似然函数为 L (σ ) = ∏ f (z i ,σ ) = i =1 - 2 ∑ z ii =1 ，n 1 n 2取对数得： ln L (σ ) = n ln 2 - ln(2π ) - n ln σ - 2 ∑ z ii =1d ln L (σ )n 1n2令= - + d σσ σ 3 ∑ z ii =1 = 0 ，得参数σ 最大似然估计量为σ = ．2πσ 2πσ 2π ( 2πσ )n2n。
2017年考研数学三真题及解析
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒= (2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答案】D【解析】(3)设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C) ()()11f f >- (D)()()11f f <-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
(4)若级数2111n sin kln nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛，则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2 【解析】(5)设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（）(A) T E αα-不可逆 (B) TE αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2TE αα-不可逆 【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E .即αα-TE 不可逆.选项B,由()1ααα=Tr 得ααT的特征值为n-1个0，1.故αα+TE 的特征值为n-1个1，2.故可逆.其它选项类似理解.(6)已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似 【答案】B【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1.因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，且100~020002A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化， ∴~A C ，且B 不相似于C.(7)设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是 (A) A 与B 相互独立 (B)A 与B 互不相容 (C)AB 与C 相互独立 (D)AB 与C 互不相容 【答案】C 【解析】(8)设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是： (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布 (B) 212()n X X -服从2χ分布 (C)21()nii XX =-∑服从2χ分布(D) 2()n X μ-服从2χ分布 【答案】B【解析】2212221222211(,1),(0,1)()(),(1)()(1)C 1~(,)(0,1),()~(1),()~(0,2),~(1),B 2i ni i ni i n n XN X N X n A n S X X n X N X N n X D nX X X X N μμμχχμμμχχ==-⇒-⇒-=--⇒---⇒-∑∑正确，正确，正确,故错误.由于找不正确的结论，故B 符合题意.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分。
2017年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2017年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数f(x)=在x=0处连续，则( )A．ab=1／2B．ab=-C．ab=0D．ab=2正确答案：A解析：=1／2a，∵f(x)在x=0处连续，1／2a=bab=1／2，选A．2．二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是( )A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：=-1，从而AC-B2＞0，从而(1，1)为极值点．3．设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)＞0，则( )A．f(1)＞f(-1)B．f(1)＜f(-1)C．|f(1)|＞f(-1)|D．|f(1)|＜|f(-1)|正确答案：C解析：举特例，设f(x)=ex，可排除BD；设f(x)=-ex，可排除A，故选C．4．若函数收敛，则k=( )A．1B．2C．-1D．-2正确答案：C解析：因为原级数收敛，所以1+k=0k=-1．选C．5．设α为n维单位向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E-ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E-2ααT不可逆正确答案：A解析：选项A，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆，选项B，由r(ααT)=1得ααT的特征值为n-1个0，1故E-ααT的特征值为n-1个1，2，故可逆．6．已知矩阵A=，则( )A．A与C相似，B与C相似B．A与C相似，B与C不相似C．A与C不相似，B与C相似D．A与C不相似，B与C不相似正确答案：B解析：由(λE-A)=0可知A的特征值为2，2，1因为2E-A=得r(2E-A)=1，∴A可相似对角化。
且A～由|λE-B|=0可知B特征值为2，2，1因为2E-B=得r(2E-B)=2，∴B不可能相似对角化，显然C可相似对角化，∴A～C，且B不相似于C．7．设A，B，C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则A∪B与C相互独立的充分必要条件是( )A．A与B相互独立B．A与B互不相容C．AB与C相互独立D．AB与C互不相容正确答案：C解析：由题设知，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，由A∪B与C相互独立知，P(A∪B)C=P(A∪B)P(C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)而P[(A∪B)∩C]=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)P(ABC)=P(AB)P(C)，即AB与C相互独立．8．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记Xi，则下列结论不正确的是( )A．(X1-μ)2服从χ2分布B．2(Xn-x1)2服从χ2分布C．)2服从χ2分布D．n(-μ)2服从χ2分布正确答案：B二、填空题9．∫-ππ(sin3x+)dx=_______．正确答案：π3／2解析：∫-ππ(sin3x+)dx=2∫0π(2∫0π／2πcost．πcostdt=2π2∫0π／2πcos2tdt=2π22．=π3／2．10．差分方程yt+1-2yt=2t通解为yt=_______．正确答案：φt=C．2t+t．2t解析：由yt+1-2y1=2tλ=2，∴=C2t设y1*=C1t21，则y1+1*=C1(t+1)2i+1=2tt2i(C∈R)．11．设生产某产品的平均成本(Q)=1+e-Q，其中产量为Q，则边际成本为_______．正确答案：1+(1-Q)e-Q解析：C=Q=Q(1+e-Q)C’(Q)=1+e-Q-Qe-Q=1+(1-Q)e-Q．12．设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，且(x，y)=yeydx+x(1+y)eydy，f(0，0)=0，则f(x，y)=_______．正确答案：xyey解析：f’k=yey，f’y=x(1+y)ey，f(x，y)=∫yeydx=xyey+c(y)，故f’y=xey+xyey+c’(y)=xey+xyey，故c’(y)=0，由f(0，0)=0，即f(x，y)=xyey．13．设矩阵A=，α1、α2、α3为线性无关的三维向量组，则向量组Aα1、Aα2、Aα3的秩为_______．正确答案：2解析：由a1，a2，a3，线性无关，可知矩阵a1，a2，a3，可逆，故r(Aa1，Aa2，Aa3)=r(A(a1，a2，a3))=r(A)再由r(A)=2得r(Aa1，Aa2，Aa3)=2．14．设随机变量X的概率分布为P{X=-2}=1／2，P={X=1}=a，P{X=3}=b，若EX=0，则DX=_______．正确答案：9／2解析：由归一性得+a+b=1，再由EX=0得-1+a+3b=0故a=b=1／4，故EX2=(-2)2×=9／2，DX=EX2-(EX)2=9／2．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年数学三真题答案解析
所以Z的概率密度为
O<z <L
几(z)�r-- 2, 2<z<3,
(23)解
0'
其他．
CI) Z1 的分布函数为
厂王） -], F(z)�P{Z,,s;;z}�P{IX,-pl,s;;z}�
z�o.
o,
z < 0,
所以Z1 的概率密度为 f(z)�{f•';';,'
z歹o,
z<O.
=厂叮 z 厂 C II) EZ1
已AB与C相互独立，故应选C. (8) B
解 因为X, �NCµ ,1),
所以X,
— µ
�N(O,l),
�ex, 则
—µ尸～贮(n), 故A正确；
,-1
一｀ (n — 1)S 2
�(X,
,-1
因为 z =
�X气n — 1)'
C,
1
故C正确；
因为
X
�N(
µ
,—1 )， n
X—µ
所以
�N(O,l),
1
石
(z)dz =
ze 三 dz
芦a o
z a.
v冗
z z a
=
卢
�1 n
EZ1, 令Z=亡让，得
6
的矩估计最为aA
石
dx
。 =
1 +=
1
4J (1+x2
—
1 1+2x 2)dx
。) 勹1 (arctanx
/
产
0
—
过 了arctan,/2x
+=
(17)解
2 —迈 = 16 兀
n (--;;) --;; 杻心： -杻心： n k
2017年考研数学真题(数三)试题+解析
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