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文科高考数学重难点05 概率与统计(解析版)

重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2021·广西钦州一中高三开学考试（文））点在边长为2的正方形内运动，P ABCD 则动点到顶点的距离的概率为（）P A 2PA <A ．B ．C ．D ．14124ππ【答案】C 【解析】分析：先根据题意得出PA 等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C21444r ππ=2．（2020·全国高三其他模拟（文））从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高、体重数据，得到体重关于身高的回归方程，用来刻画回归效(cm)(kg)ˆ0.8585yx =-果的相关指数，则下列说法正确的是（）20.6R =A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C ．身高为的女学生的体重一定为170cm 59.5kgD ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加0.85cm 1kg 【答案】B【分析】因为回归方程为，且刻画回归效果的相关指数，所以，ˆ0.8585y x =-20.6R =这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A 错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的，B 正确；时，，预测身高为的女学生体重为,C 错170x =ˆ0.851708559.5y=⨯-=170cm 59.5kg 误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加，D 错误．0.85cm 0.850.850.7225(kg)⨯=故选：B3．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））网络是一种先进的高频传输技5G 术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手5G 5G 机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数5G x y 据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预y x0.042y x a =+测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精5G 确到月）（）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【分析】：，1(12345)35x =⨯++++=1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++=点在直线上()3,0.1ˆˆ0.042y x a =+，ˆ0.10.0423a=⨯+ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =-令ˆ0.0420.0260.5y x =->13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C4．（2020·河南新乡市·高三一模（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全2020国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年2019月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月11202011份代码分别对应年月年月）113:2019112020:11根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两y a =+ln y c d x =+个回归方程分别为，并得到以下一些0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+统计量的值：是（）A ．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系y xB ．根据年月在售二手房均价约为万元/0.9369y =+20212 1.0509平方米C ．曲线的图形经过点0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+()x yD ．回归曲线的拟合效果好于的拟合效0.95540.0306ln y x =+ 0.9369y =+果【答案】C【分析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正y x 相关关系，故A 正确；对于B ，令，由，16x =0.9369 1.0509y =+=所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B 正确；20212 1.0509对于C ，非线性回归曲线不一定经过，故C 错误；()x y 对于D ，越大，拟合效果越好，故D 正确.2R 故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【分析】：由条形图知女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习（文））下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知ABC :DEFC ，，在内任取一点，则此点取自正方形内的概率为（2BC =4AC =ABC :DEFC）A ．B ．C ．D ．12592949【答案】D【分析】解：，，4tan 22AC B BC === tan 2EFB FB ∴==，解得，22()2(2)EF FB BC EF EF ==-=-43EF =，，1142422ACB S AC BC ∴==⨯⨯=::4416339DEFC S =⨯=根据几何概型．164949P ==故选：D ．7．（2021·江西新余市·高三期末（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．从15以p 2p +(,2)p p +内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）A ．B ．C ．D ．13141516【答案】C【分析】以内的素数有，，，，，，共个，任取两个构成素数对，则152********有：，，，，，，，，，，()2,3()2,5()2,7()2,11()2,13()3,5()3,7()3,11()3,13()5,7，，，，，共中取法，而是孪生素数的有，()5,11()5,13()7,11()7,13()11,1315()3,5，，其概率为.()5,7()11,1331155p ==故选：C.8．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））如图，根据已知的散点图，得到y 关于x 的线性回归方程为，则（）ˆ0.2y bx =+ˆb =A ．1.5B ．1.8C ．2D ．1.6【答案】D【分析】因为，所以，解得12345235783,555x y ++++++++====530.2b =+ ．1.6b = 故选：D .9．（2021·全国高三专题练习（文））在上随机取一个数，则事件“直线与[]1,1-k y kx =圆相交”发生的概率为（）22(x 13)25y -+=A ．B ．12513C ．D ．51234【答案】C【分析】直线与圆相交y kx =22(x 13)25y -+=555,1212d k ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率时与圆相交，故所求概率.55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10512212P ==故答案选C10．（2021·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆy bx a =+(,)x y ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；||r ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少ˆ20.5y x =-x ˆy0.5个单位.其中说法正确的是（）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本ˆˆˆy bx a =+(x y 点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，||r 所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增ˆ20.5y x =-x 加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.ˆy 故选：B.11．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））给出一组样本数据：1，4，，3，它们出m 现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取m 两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A ．B ．C ．D ．12231314【答案】C【分析】由题意得，样本平均值为，解得，10.140.10.430.4 2.5m ⨯+⨯+⨯+⨯=2m =即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，共6种情况，()1,4()1,2()1,3()4,2()4,3()2,3其中和为5的有，两种情况，()1,4()2,3∴所求概率为，2163P ==故选：C.12．（2020·全国高三专题练习（理））物流业景气指数反映物流业经济发展的总体LPI 变化情况，以作为经济强弱的分界点，高于时，反映物流业经济扩张；低于50%50%时，则反映物流业经济收缩。

人教版高三数学教材解析重难点剖析与教学建议

人教版高三数学教材解析重难点剖析与教学建议数学作为一门科学的基础学科，对于高中学生来说具有重要的地位，能力的培养和提升是数学教育的核心目标之一。

人教版高三数学教材是目前广泛使用的教材之一，本文将对人教版高三数学教材进行重难点剖析，并提出一些教学建议，以便帮助学生更好地理解和应用数学知识。

一、函数与导数部分1. 函数与映射在高三数学教学中，函数与映射是重要的基础概念。

教师可以通过实际生活中的例子，或者绘制图像的方式来引入这一概念，帮助学生理解函数与映射的关系，掌握函数的定义与性质。

2. 导数与微分导数与微分是高中数学中的重点难点，学生往往对其理解有一定困难。

教师可以采用多种教学方法，如几何与物理的角度解释导数的含义，以及直观的图像来说明导数的应用。

同时，通过大量的例题练习，帮助学生掌握导数运算的方法和技巧。

二、三角函数与解三角形部分1. 三角函数的基本性质三角函数的基本性质是高中数学教学的重中之重。

在教学中，可以通过图像、图表等形式展示三角函数的周期性、奇偶性等特征，帮助学生理解三角函数的基本概念，并进行相关的习题练习。

2. 解三角形解三角形是高中数学中的难点，对于学生来说需要掌握一定的解题技巧。

教师可以通过引导学生分析题目中给出的信息，运用正弦定理、余弦定理等方法来解题，同时加强学生对题目中条件的理解和运用能力。

三、数列与数学归纳法部分1. 等差数列与等比数列等差数列与等比数列是数列中常见且重要的两种类型，学生需要掌握其性质、求和公式等概念。

教师可以通过实际问题的引入，或者通过绘制图像的方式来帮助学生理解数列的特点，并讲解数列求和公式的推导过程。

2. 数学归纳法数学归纳法是高中数学中的重点内容，也是学生容易出错的地方。

在教学中，教师可以通过引入具体的问题、列出观察规律等方式来引导学生理解数学归纳法的原理，并通过大量的例题练习来提高学生的应用能力。

综上所述，人教版高三数学教材涵盖了广泛而深入的数学知识，对学生的数学能力提升有着重要的促进作用。

2023年高考数学复习----《统计图表》规律方法与典型例题讲解

2023年高考数学复习----《统计图表》规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、制作频率分布直方图的步骤．第一步：求极差，决定组数和组距，组距=极差组数第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表；第四步：画频率分布直方图．2、解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点．（1）直方图中各小矩形的面积之和为1；（2）直方图中纵轴表示频率组距，故每组样本的频率为组距⨯频率组距（3）直方图中每组样本的频数为频率⨯总体个数．3、用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法．（1）众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点的横坐标；（2）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；（3）平均数等于每个小矩形面积与小矩形底边中点横坐标之积的和．【典型例题】例1．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1．（1）根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数（2）若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为X ，求X 的分布列与数学期望．【解析】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间[70,110)内的频率为(0.0040.0120.0190.030)10+++⨯=0.65，所以数学成绩落在区间[110,140]内的频率为10.650.35−=，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为40.35421⨯++0.2=，数学成绩落在区间[70，100）的频率为(0.0040.0120.019)100.35++⨯=，所以中位数落在区间[100,110)内，设中位数为x ，则(100)0.0300.50.35x −⨯=−，解得105x =，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为105．（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为0.0310⨯+0.2+20.35421⨯++0.6=，由题意可知，3~(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033338(0)C ()(1)55125P X ==⋅−=，12333(1)C (1)55P X ==⋅⋅−36125=， 22333(2)C ()(1)55P X ==⋅⋅−54125=，330333(3)C ()(1)55P X ==⋅−27125=，所以X 的分布列为：所以数学期望8365427()0123125125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯95=．例2．（2022·贵州贵阳·贵阳六中校考一模）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在区间[)60,70内的人数为400．（1）求出直方图中a ，b ，c 的值；（2）估计中位数（精确到0．1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间[]90,100内的学生人数为X ，求X 的数学期望．【解析】（1）依题意可得：4001000100.04a =÷÷=，又a ，b ，c 成等差数列，所以2b a c =+且(0.0050.005)101a b c ++++⨯=，解得：0.02,0.03c b == 所以0.04,0.03,0.02a b c ===．（2）因为(0.0050.04)100.450.5+⨯=<，设中位数为x ，则[70,80)x ∈，所以()()0.0050.0410700.030.5x +⨯+−⨯=，解得：71.7x ≈，即中位数约为71.7，平均数为(550.005650.04750.03850.02950.005)1073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．（3）由题意可知：得分在区间[]90,100内概率为10.0051020⨯=，根据条件可知：X 的所有可能值为0,1,2,3,4,5,6，且1(6,)20X ，所以1()60.320E X np ==⨯=．例3．（2022·全国·高三专题练习）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委为所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[75,100)内，再以5为组距画分数的频率分布直方图（设“Y=频率组距”）时，发现Y 满足：7,15,15019,16,30011,16,1520n Y n k n n ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪⎪−⋅>⎪−⎩,55(1)n N n X n *∈≤<+．（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的同学无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95,100)内的同学评为一等奖；分数在[90,95)内的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)内的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级，且附加赛获奖等级在第一阶段获奖等级基础上，最多升高一级）．已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段获得二等奖．①求学生B 最终获奖等级不低于学生A 最终获奖等级的概率；②已知学生A 和B 都获奖，记A ，B 两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解析】（1）根据题意，X 在[75,100)内，按5为组距可分成5个小区间，分别是[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)，因为75100X ≤<，由55(1)n X n ≤<+，n N *∈，所以15,16,17,18,19n =．每个小区间的频率值分别是7,15,30195,1660115,17,18,19320n P Y n k n n ⎧=⎪⎪⎪===⎨⎪⎪−⋅=⎪−⎩由719111511306032k ⎛⎫++−++= ⎪⎝⎭，解得350k =．（2）①由于参赛学生很多，可以把频率视为概率．由（1）知，学生B 的分数属于区间[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100)的概率分别是：730，1960，1460，1160，260．我们用符号ijA （或ijB ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j ≤=记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ，则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=．②学生A 最终获得一等奖的概率是111A P =，学生B 最终获得一等奖的概率是21112116060272711272796060B P =+⋅=+=，1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅−+−⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=．所以ξ的分布列为：801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=．。

高中数学题难点总结归纳

高中数学题难点总结归纳高中数学题是许多学生头疼的问题，无论是对于基础薄弱的学生还是对于学有所成的学生，都可能遇到各种各样的难题。

本文将总结归纳一些高中数学题的难点和解题方法，帮助大家更好地应对高中数学。

一、函数与方程函数与方程是高中数学的基础内容，也是考试中常常出现的重点。

其中，绝对值函数、指数函数、对数函数和三角函数等经常成为学生的弱点。

在解题时，学生通常容易陷入以下几个难点：1. 难点一：对函数与方程的理解不深入很多学生对于函数与方程的定义和性质掌握不牢固，无法准确运用所学知识解题。

因此，掌握函数与方程的基本概念、性质和运算规则是解题的基础。

2. 难点二：不熟悉常见函数的性质和图像特征对于绝对值函数、指数函数、对数函数和三角函数等常见函数，学生需要熟悉它们的性质和图像特征。

比如，绝对值函数的图像是关于原点对称的一条折线，指数函数的图像是逐渐上升或下降的曲线。

3. 难点三：应用函数解决实际问题在实际问题中，学生经常会遇到需要建立函数模型来解决的问题。

这就要求学生能够将问题抽象成数学符号，建立数学模型，并运用函数知识解决问题。

解决方法：1. 加强基础知识的巩固学生需要理清函数与方程的定义和性质，熟练掌握常见函数的图像特征和性质，深入理解函数与方程之间的联系和运算规则。

2. 做大量的练习题通过反复练习，掌握函数与方程的应用技巧，提高解题的能力。

可以选择一些难度适中的练习册或试卷，坚持每天做一些练习。

3. 多理解、多思考实际问题在解决实际问题时，加强思维训练，培养抽象问题、建立数学模型和求解的能力。

可以通过做一些真实的实际问题或者数学建模题来提高解题能力。

二、平面几何平面几何是高中数学的重点和难点之一，考察学生的几何思维和证明能力。

其中，角的性质、三角形的性质和圆的性质是高中几何题中的难点。

1. 难点一：理解角的性质和运算规则学生需要熟悉角的度量和角的运算规则，掌握角的补角、余角、同位角、对顶角等性质。

高中数学有哪些重点难点？

高中数学有哪些重点难点？高中数学是连接初中数学与大学数学的桥梁，其内容深化和拓宽思维，对学生思维能力和学习方法提出更高要求。

相对于高中生来说，理解并完全掌握高中数学的重点难点极其关键，这不仅能帮助他们扎下坚实的数学基础，更能为未来学习和发展创造良好的条件。

一、重点内容解析高中数学涵盖代数、几何、三角函数、概率统计等多个领域，每个领域都有其独特的重点内容，下面将从几个方面进行解析：1. 函数与方程重点：函数的概念、性质、图像以及函数的应用是高中数学的核心内容。

理解函数的定义、完全掌握函数的性质，并能利用函数图像进行分析和解题是学习的关键。

难点：函数的复合运算、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的最值问题等，这些知识点需要学生具备较强的抽象思维能力和逻辑推理能力。

学习建议：要重视函数的定义和性质，多做练习，注重理解和应用。

2. 平面向量与解析几何重点：向量乘法运算、向量坐标、向量的线性运算、平面向量与直线的交点、圆锥曲线等。

掌握向量的基本概念和运算方法，并能将向量应用于解析几何问题是解决问题的关键。

难点：平面向量与直线、曲线关系的分析，圆锥曲线方程的推导，利用向量方法解决几何问题等。

学习建议：注重向量与几何图形的结合，通过作图和推理来理解向量和几何图形之间的关系，并能熟练掌握向量方法解决几何问题的步骤。

3. 三角函数重点：三角函数的定义、性质、图像、变化和应用。

理解三角函数的本质、完全掌握三角函数的性质和图像，并能依靠三角函数解决问题是重点。

难点：三角函数的图像变换、三角函数的恒等变换、三角函数的求值、三角函数的应用等。

学习建议：理解三角函数的定义和性质，掌握三角函数的图像变换和恒等变换，并能灵活运用三角函数解决生活中的实际问题。

4. 数列重点：数列的定义、性质、通项公式、求和公式以及数列的应用。

理解数列的概念、完全掌握数列的性质和公式是学习的关键。

难点：等差数列、等比数列、递推公式数列的求和等问题。

新课标人教A版高中数学必修一课程标准细化

新课标人教A版高中数学必修一课程标准细化1、了解映射的概念及其与函数的关系；2、掌握映射的表示方法；3、能够判断给定的映射是单射、满射还是双射；4、了解反函数的概念及其应用。

二．教学重点和难点1、映射的概念及其与函数的关系；2、映射的表示方法，包括箭头图、矩阵、集合等；3、单射、满射、双射的判断方法及其应用；4、反函数的概念及其应用。

难点在于单射、满射、双射的判断方法。

教学目标：1.通过实例让学生了解映射的概念和表示方法。

2.结合简单的对应图表，让学生理解一一映射的概念。

3.让学生理解函数概念与映射概念的区别与联系。

教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念教学内容：1.3.1 函数的单调性教学目标：1.通过已学过的函数，特别是二次函数，让学生理解函数的单调性及其几何意义，形成增（减）函数的直观认识。

2.通过具体函数值的大小比较，让学生认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义，并掌握用定义证明函数单调性的步骤。

3.让学生树立数形结合的思想，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

教学重点与难点：1.函数的单调性及其几何意义。

2.利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

1.3.2 函数的奇偶性教学目标：1.通过具体函数的图像，让学生理解函数的奇偶性及其几何意义，学会运用函数图像理解和研究函数的性质，并学会判断函数的奇偶性。

2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。

教学重点与难点：1.函数的奇偶性及其几何意义。

2.判断函数的奇偶性的方法与格式。

第二章：基本初等函数2.1.1 指数与指数幂的运算研究目标：1.通过平方根、立方根等式，让学生理解n次方根的意义，能进行简单的n次方根的运算。

2.通过n次方根和数的运算，让学生理解有理数指数幂的含义，掌握根式与有理数指数幂的互化。

3.通过数学逼近过程，让学生理解无理数指数幂的意义。

高一图表怎么看数学知识点

高一图表怎么看数学知识点数学是一门注重逻辑性和抽象思维的学科，对于很多高中生来说，学好数学成为一项挑战。

而图表则是数学中常用的一种信息传达方式，通过图表可以更加直观地理解和掌握数学知识点。

本文将就高一阶段学习数学时，如何有效地利用图表来掌握数学知识点进行论述。

一、认识各类数学图表数学中常见的图表类型有折线图、柱状图、饼图等。

在学习数学时，我们需要了解这些图表的特点和应用场景，以便能更好地理解和分析图表中的数学知识点。

1. 折线图：折线图常用于表示数据随时间变化的趋势，如表示函数关系、年度数据等。

在观察折线图时，应注意折线的走势、极值点、拐点等，以便更好地理解其中的数学知识。

2. 柱状图：柱状图常用于比较多个项目的数据大小，如不同城市的人口数量、不同年级的学生成绩等。

观察柱状图时，需注意柱状的高度、宽度、间距等因素，从而得出数学知识的结论。

3. 饼图：饼图常用于表示各部分在总体中所占的比例，如不同学科的考试成绩比例等。

观察饼图时，应关注各部分的角度大小以及扇形面积的比较，以便分析数学知识的内涵。

二、理解图表中的数学知识点了解了各类数学图表的特点，接下来就是如何利用图表来理解和掌握数学知识点。

1. 观察图表的特征：在学习数学时，我们可以通过观察图表的特征来了解其中存在的数学知识点。

比如，在折线图中，我们可以根据折线的趋势来判断函数的性质；在柱状图中，我们可以比较柱形的高度来分析数据的大小关系等。

2. 分析图表的趋势：图表通常代表了一组数据随着某个变量的变化而发生的变化趋势。

通过观察和分析图表中的趋势，我们可以推测出数学知识点的规律和特性。

例如，某个函数图像在一个区间内呈现上升趋势，则可以推测出该函数在该区间是递增的。

3. 研究图表的交叉点和拐点：图表中的交叉点和拐点往往对应着数学问题中的关键点或者特殊情况，通过研究这些点，我们可以更好地理解和掌握数学知识点。

比如，在折线图中，交叉点可以表示方程的解；拐点可以表示函数极值点等。

高三数学难点和重点知识点

高三数学难点和重点知识点数学是高中阶段的一门重要学科，对于高三学生来说，数学难点和重点知识点的掌握至关重要。

本文将介绍高三数学的难点和重点知识点，以帮助学生们更好地备战高考。

难点一：导数与微分导数与微分是高三数学的一个难点，其中必须掌握的知识点包括极限的概念、导数的定义、导数的基本性质、高阶导数以及应用题等。

在学习导数与微分时，学生们需要理解极限的概念，熟练运用导数的定义和基本性质，掌握求高阶导数的方法，并能够灵活运用导数解决实际问题。

难点二：向量向量也是高三数学的一大难点，其中重点涉及向量的表示、向量的运算、向量的共线和垂直、平面向量的数量积和向量积以及解析几何中的相关知识等。

在学习向量时，学生们需要熟练掌握向量的表示和运算规律，理解向量的共线和垂直的判定方法，掌握平面向量的数量积和向量积的计算方法，并能够应用向量解决几何问题。

难点三：三角函数三角函数作为数学的基础知识，在高三阶段也是一个难点，其中重点涉及三角函数的定义、性质、常用公式、图像与变换、和角公式以及解三角方程等。

在学习三角函数时，学生们需要熟练掌握三角函数的定义和基本性质，熟悉三角函数的常用公式，理解三角函数的图像和变换规律，掌握和角公式的应用，能够解决各类三角方程。

难点四：数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高三数学的一个难点，其中重点涉及数列概念、等差数列和等比数列的性质与求和、递推式的确定、递推关系的运用以及归纳法的应用等。

在学习数列与数学归纳法时，学生们需要理解数列的概念和基本性质，掌握等差数列和等比数列的求和公式，能够确定递推式和递推关系，理解数学归纳法的原理，并能够运用归纳法解决问题。

重点知识点一：函数与方程函数与方程作为高中数学的基础知识点，在高三阶段也是重点内容。

其中必须掌握的知识点包括函数的性质、函数的图像与变换、一元二次方程与不等式、二次函数以及函数组合与复合等。

在学习函数与方程时，学生们需要熟练掌握函数的定义和性质，理解函数的图像和变换规律，掌握一元二次方程和不等式的解法，掌握二次函数的图像和性质，能够进行函数的组合和复合运算。

河南高一数学知识点总结归纳图

河南高一数学知识点总结归纳图数学是一门抽象而又实用的学科，在高中阶段，我们学习了许多数学知识点，其中包括但不限于代数、几何、概率与统计等内容。

为了更好地理解和掌握这些知识，下面我将对河南高一数学知识点进行总结和归纳，并以图表的形式进行呈现。

1. 代数知识点总结归纳在高一的代数学习中，我们主要学习了函数、方程与不等式、数列等内容。

下面是这些知识点的总结归纳图：[在这里以图表的形式呈现代数知识点的总结归纳图]2. 几何知识点总结归纳几何是数学中的一个重要分支，它研究的是形状、结构和空间之间的关系。

在高一的几何学习中，我们主要学习了平面几何和立体几何的知识。

下面是这些知识点的总结归纳图：[在这里以图表的形式呈现几何知识点的总结归纳图]3. 概率与统计知识点总结归纳概率与统计是数学中的一个重要分支，通过对数据进行分析和推断，可以帮助我们做出合理的决策。

在高一的概率与统计学习中，我们主要学习了概率、统计图表和统计量等内容。

下面是这些知识点的总结归纳图：[在这里以图表的形式呈现概率与统计知识点的总结归纳图]通过以上的总结归纳图，我们可以清晰地看到河南高一数学知识点的体系结构和重点内容。

对于每个知识点，我们可以进一步扩展相关的概念和定理，并学习其应用方法和解题技巧。

同时，我们还可以通过图表的方式将知识点串联起来，形成一个完整的数学知识网络，便于我们掌握和应用。

总体而言，数学是一门需要大量练习和思考的学科，通过对河南高一数学知识点的总结归纳，我们可以更好地理解数学的逻辑和规律，提高自己的数学素养和解题能力。

希望同学们能认真学习和巩固这些知识点，并在将来的学习和生活中灵活运用。

这样，我们才能更加深入地探索数学的奥秘，并在其中找到乐趣和成就感。

数学高中重难点总结归纳

数学高中重难点总结归纳在高中数学学习过程中，有许多内容被认为是重难点，对学生来说需要付出更多的时间和精力。

本文将对高中数学重难点进行总结归纳，帮助学生更好地理解和掌握这些知识点。

1. 函数与方程函数与方程是高中数学的基础，在解决各种问题中起到重要的作用。

其中，一元二次函数和二次方程是重点中的重点。

学生需要掌握函数的定义、性质和图像，以及如何求解二次方程。

2. 几何几何是高中数学中重要的一部分，主要包括平面几何和立体几何。

在平面几何中，三角形和圆是重点内容。

学生需要理解三角形的性质、定理，以及如何证明三角形的各种性质。

在立体几何中，学生需要掌握立体图形的名称、性质和体积计算方法，如正方体、长方体和球体等。

3. 数列与数列的表示数列是数学中常见的概念，对于理解数学问题、发现规律具有重要意义。

重要的数列包括等差数列和等比数列。

学生需掌握数列的定义、通项公式、通项和求和的计算方法，以及如何利用数列解决实际问题。

4. 概率与统计概率与统计是高中数学中的一部分，涉及到对数据的处理和分析。

重点内容包括概率的计算、事件间的关系、统计图表的绘制和解读，以及如何利用概率与统计解决实际问题。

学生需要掌握概率与统计的基本概念和方法，以及如何应用到实际问题中。

5. 三角函数三角函数是高中数学中一个重要的章节，对于解决与角度相关的问题有着广泛的应用。

学生需要掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质和图像，以及如何在实际问题中运用三角函数解决相关的计算和证明问题。

6. 微积分微积分作为高中数学的拓展内容，是一门较高难度的学科。

重点内容包括导数和不定积分。

学生需要理解导数和不定积分的定义、性质，以及如何求解导数和不定积分。

此外，学生还需要掌握导数和不定积分的基本运算规则，并能够在实际问题中应用微积分解决相关的计算和证明问题。

总结起来，数学高中的重难点包括函数与方程、几何、数列、概率与统计、三角函数和微积分等内容。

通过对这些知识点的深入学习和理解，学生能够更好地掌握数学的核心概念和解题方法，提高数学学习的效果。

高一数学直方图知识点

高一数学直方图知识点直方图是高中数学中一个重要的统计图表，它能够直观地展示数据的分布情况。

通过观察直方图，我们可以了解到数据的集中程度、差异程度以及频率分布等信息。

在高一数学课程中，直方图是一个必须要掌握的知识点。

本文将详细讲解高一数学直方图的相关内容。

一、直方图的基本概念直方图是由一系列柱状条纵向排列而成的统计图表。

其中，每个柱状条表示相应数据的频率或频数。

柱状条的宽度通常相等，而高度则与数据的频率成正比。

直方图的坐标轴上通常标注着数据的取值范围。

在绘制直方图之前，首先需要确定数据的分组区间。

这一步又被称为数据的分组。

分组的目的是将大量的数据进行分类，方便后续的统计分析。

常用的分组方法有等距分组、等频分组和不等距分组等。

二、直方图的绘制步骤绘制直方图的步骤分为以下几个部分：1. 确定数据的分组区间：根据数据的范围和数量确定合适的分组区间。

一般要求每个区间包含的数据个数相等。

2. 绘制坐标轴：根据数据的取值范围确定坐标轴的刻度和范围。

3. 绘制柱状图：根据数据的频率，将每个分组的频率用柱状条表示出来。

柱状条的宽度相等，高度与频率成正比。

4. 添加标题和标签：给直方图添加标题，同时标注坐标轴的刻度、单位以及柱状条的频率值。

三、直方图的解读与分析绘制直方图之后，我们需要对其进行解读和分析。

以下是几个常见的分析方法：1. 数据的分布情况：通过观察直方图的柱状条高度和宽度，我们可以了解数据的分布情况。

如果柱状条较高且集中在某个范围内，则说明数据的分布较为集中。

相反，如果柱状条较低且分布范围广泛，则说明数据的分布较为分散。

2. 数据的集中趋势：通过观察直方图的柱状条集中位置，我们可以大致判断数据的集中趋势。

如果柱状条的集中位置偏左，则说明数据整体上偏小；如果柱状条的集中位置偏右，则说明数据整体上偏大。

而如果柱状条的集中位置接近中心，则说明数据比较均衡。

3. 异常值的检测：直方图还可以用来检测异常值。

如果某个柱状条的高度明显偏离其他柱状条，说明该数据具有异常性质。

高中数学重点内容

高中数学重点内容•一、代数与函数1. 代数基础•多项式：掌握多项式的概念、运算（加、减、乘、除）、因式分解、根的求解等。

•方程：一元一次方程、一元二次方程的解法及其应用，理解方程的根与系数的关系（韦达定理）。

•不等式：一元一次不等式、一元二次不等式的解法，以及分式不等式、无理不等式的处理方法。

2. 函数•函数概念：理解函数的概念、定义域、值域、对应法则，以及函数的表示方法（解析法、列表法、图像法）。

•函数性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性等，掌握这些性质的判断方法。

•函数运算：函数的和、差、积、商的运算，以及复合函数、反函数的概念及性质。

•初等函数：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等的基本性质、图像及应用。

•二、几何1. 平面几何•直线与圆：直线的性质（斜率、距离公式）、圆的性质（标准方程、一般方程、性质定理）、直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。

•三角形：三角形的性质（边角关系、中线、高线、角平分线、中位线）、面积公式、解三角形（正弦定理、余弦定理）。

•四边形：平行四边形的性质、矩形、菱形、正方形的性质及判定。

2. 立体几何•空间点、直线、平面：理解空间几何体的基本性质，掌握空间点、直线、平面的位置关系（平行、相交、垂直）。

•空间几何体：柱体、锥体、球体的表面积和体积计算，以及三视图（正视图、侧视图、俯视图）的绘制。

•空间向量：向量的表示、运算（加法、减法、数乘、数量积）、向量的模长与夹角、向量的平行与垂直。

•三、三角函数•基本概念：正弦、余弦、正切函数的定义、性质（周期性、奇偶性、单调性）。

•诱导公式：掌握三角函数的诱导公式，实现角度的转换。

•同角关系式：理解同角三角函数的基本关系式。

•三角恒等变换：二倍角公式、和差化积公式、积化和差公式的应用。

•解三角形：利用正弦定理、余弦定理、面积公式解决实际问题。

•四、数列与极限1. 数列•基本概念：数列的定义、分类（等差数列、等比数列）、通项公式、前n项和公式。

高中数学新课标重难点

高中数学新课标重难点
高中数学新课标重难点主要集中在以下几个方面：
1. 函数与方程：函数的概念、性质、图像以及函数与方程的关系是高
中数学的重点。

特别是复合函数、分段函数、函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以及函数的极值和最值问题。

2. 导数与微积分：导数的概念、运算法则、导数的应用（如速度、加
速度、曲线的切线斜率等）以及微积分的初步知识（如定积分、不定
积分）是高中数学的难点。

3. 几何与空间几何：平面几何中的三角形、四边形、圆的性质和定理，以及空间几何中的立体几何、向量、空间直线与平面的位置关系等是
高中数学的重点内容。

4. 概率与统计：概率的基本概念、事件的独立性、条件概率、随机变
量及其分布、统计图表的绘制与解读、数据的描述性分析等是高中数
学的重要组成部分。

5. 数列与极限：数列的概念、通项公式、求和公式、数列的极限以及
极限的运算是高中数学的难点之一。

6. 解析几何：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的性质、
方程以及它们的位置关系是高中数学的重点。

7. 矩阵与变换：矩阵的概念、运算、逆矩阵、行列式以及矩阵在几何
变换中的应用是高中数学的难点。

8. 算法与逻辑：算法的基本思想、流程图的绘制、逻辑推理、证明方法等是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要内容。

这些重难点不仅要求学生掌握相应的数学知识和技能，还要求他们能够运用这些知识和技能解决实际问题，提高他们的数学素养和创新能力。

高一数学知识点重点难点

高一数学知识点重点难点一、函数与方程函数是数学中的重要概念，高一数学课程中需要掌握函数的定义、函数图像的变换以及函数的性质等知识点。

对于平方函数、绝对值函数、一次函数等常见函数，需要熟练掌握其图像特征和性质，并能够应用到实际问题中去解答。

方程作为数学中的基本工具之一，是高一数学的难点之一。

高一数学课程中的方程主要涉及到一元二次方程、一次方程组和二元二次方程等。

特别是对于一元二次方程，需要重点掌握求根公式和判别式的运用，并能够运用到实际问题中解决。

二、几何与三角在几何的学习中，需要掌握几何基本性质、常见的几何公式以及几何图形之间的关系。

对于圆的相关知识，需要熟练掌握圆的基本性质和常见的定理，如切线定理、弦切角定理等。

三角学是高中数学中的重点难点，主要包括正弦定理、余弦定理、正切定理以及三角函数的相关性质等。

在解决实际问题时，需要能够灵活运用这些定理和公式。

三、概率与统计概率与统计是高一数学的另一难点。

概率主要涉及到事件的概率计算、事件之间的关系以及样本空间的构建等。

统计则需要掌握统计调查的方法和数据处理的技巧，包括频率统计、图表分析、平均数和标准差的计算等。

四、数列与逻辑数列是高一数学中的一个重要内容，需要理解数列的概念、数列的通项公式和前n项和的计算。

同时，需要熟练掌握等差数列和等比数列的性质以及其应用。

逻辑推理是高一数学的一个考察点，需要能够运用命题逻辑的方法进行推理和证明。

包括条件命题、充分必要条件、充要条件等概念的理解，并能够应用到相关问题中去解答。

五、矩阵与变量矩阵是高一数学中的一个重要概念，需要理解矩阵的定义、矩阵的运算以及矩阵的性质。

同时，需要能够运用矩阵解决实际问题，如线性方程组的解法等。

变量是数学中的一个基本概念，需要理解变量的含义和变量的应用。

在高一数学中，需要熟练掌握解方程的方法以及应用变量解决相关问题。

六、解析几何解析几何是高中数学的重点内容，需要掌握平面直角坐标系、直线和曲线的方程以及相关的性质。

全国通用版高中数学第九章统计重难点归纳

(名师选题)全国通用版高中数学第九章统计重难点归纳单选题1、设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．10答案：C分析：根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.因为数据ax i+b，(i=1,2,⋯,n)的方差是数据x i，(i=1,2,⋯,n)的方差的a2倍，所以所求数据方差为102×0.01=1故选：C小提示：本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.2、抽样统计甲射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，90，89，88，87，85，92，则这10次成绩的80%分位数为（）A．88.5B．89C．91D．89.5答案：D分析：将数据从小到大排列，计算10×80%=8，得到答案.甲射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为：85,85,86,86,87,88,88,89,90,92.=89.5.10×80%=8，这10次成绩的80%分位数为：89+902故选：D.3、某校为了解学生的课外锻炼身体的情况，随机抽取了部分学生，对他们一周的课外锻炼时间进行了统计，统计数据如下表所示：则该校学生一周进行课外锻炼的时间的第40百分位数是（）A．8.5B．8C．7D．9答案：A分析：根据百分位数的求法计算即可.抽取的学生人数为6+10+9+8+7=40．由40%×40=16，故第40百分位数为所有数据从小到大排序的第16项与第17项数据的平均数，=8.5．即8+92故选: A.4、嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．将报名的30位同学依次编号为01，02，…，30，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个个体的编号为（）35 24 10 16 20 33 32 51 26 38 79 78 45 0438 23 16 86 38 42 38 97 01 50 87 75 66 81A．26B．01C．16D．04答案：B分析：由随机数表，按照规则选出.依次从数表中读出的有效编号为10，16，20，26，04，23，01，…故选出来的第7个个体的编号为01．故选：B．5、每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检（）A．20家B．10家C．15家D．25家分析：确定抽样比，即可得到结果.=20（家）.解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检27×10020+100+15故选：A.6、从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，下列说法正确的是（）A．50名学生是总体B．每个被调查的学生是个体C．抽取的6名学生的视力是一个样本D．抽取的6名学生的视力是样本容量答案：C分析：根据总体、样本、个体、样本容量的概念判断.从某班50名学生中抽取6名学生进行视力状况的统计分析，则50个学生的视力状况是总体，抽取的6名学生的视力是一个样本，每个被调查的学生的视力状况是个体，样本容量是6，结合所给的选项，只有C正确.故选：C．7、要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查有关消费购买力的某项指标；（2）从某中学高一年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习情况；应采用的抽样方法分别是（）A．（1）用简单随机抽样，（2）用分层随机抽样B．（1）（2）都用简单随机抽样C．（1）用分层随机抽样，（2）用简单随机抽样D．（1）（2）都用分层随机抽样答案：C分析：根据简单随机抽样、分层抽样的适用条件进行分析判断.因为有关消费购买力的某项指标受家庭收入的影响，而社区家庭收入差距明显，所以①用分层抽样；从10名体育特长生中抽取3人调查学习情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，所以②用简单故选：C8、为调查参加考试的高二级1200名学生的成绩情况，从中抽查了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法正确的是（）A．1200名学生是总体B．每个学生是个体C．样本容量是100D．抽取的100名学生是样本答案：C分析：根据总体、个体、样本容量、样本的定义，结合题意，即可判断和选择.根据题意，总体是1200名学生的成绩；个体是每个学生的成绩；样本容量是100，样本是抽取的100名学生的成绩；故正确的是C.故选：C.9、某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程（单位：103km）．A类轮胎：94，96，99，99，105，107．B类轮胎：95，95，98，99，104，109．根据以上数据，下列说法正确的是（）A．A类轮胎行驶的最远里程的众数小于B类轮胎行驶的最远里程的众数B．A类轮胎行驶的最远里程的极差等于B类轮胎行驶的最远里程的极差C．A类轮胎行驶的最远里程的平均数大于B类轮胎行驶的最远里程的平均数D．A类轮胎的性能更加稳定答案：D分析：根据众数、极差、平均数和方差的定义以及计算公式即可求解.解：对A：A类轮胎行驶的最远里程的众数为99，B类轮胎行驶的最远里程的众数为95，选项A错误；对B：A类轮胎行驶的最远里程的极差为13，B类轮胎行驶的最远里程的极差为14，选项B错误．对C ：A 类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−6−4−1−1+5+76=100，B 类轮胎行驶的最远里程的平均数为100+−5−5−2−1+4+96=100，选项C 错误．对D ：A 类轮胎行驶的最远里程的方差为(94−100)2+(96−100)2+(99−100)2×2+(105−100)2+(107−100)26=643，B 类轮胎行驶的最远里程的方差为(95−100)2×2+(98−100)2+(99−100)2+(104−100)2+(109−100)26=763>643，故A 类轮胎的性能更加稳定，选项D 正确．故选：D.10、某购物广场开展的“买三免一”促销活动异常火爆，对其中一日8时至22时的销售额进行统计，组距为2小时的频率分布直方图如图所示．已知12时至l6时的销售额为90万元，则10时至12时的销售额为（）．A ．60万元B ．80万元C ．100万元D ．120万元答案：A分析：依据频率分布直方图的性质即可求得10时至12时的销售额.12时至l6时的频率为0.100×2+0.125×2=0.45，10时至12时的频率为0.150×2=0.30 10时至12时的销售额0.300.45×90=60（万元）则故选：A11、下列调查方式合适的是（）.A ．为了了解一批头盔的抗压能力，采用普查的方式B ．为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式D．为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式答案：C分析：根据抽查和普查的特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.对于选项A，采用普查的方式测试头盔的抗压能力，成本较高，不适合，故A错误；对于选项B，采用普查的方式测试玉米种子的发芽率，较为繁琐且工作量较大，不适合，故B错误；对于选项C，采用抽查的方式了解河流的水质，适合，故C正确；对于选项D，为了了解5个人每周体育锻炼的时间，适合采用普查的方式，故D错误．故选：C．12、2020年广东12月份天气预报历史记录中1号至8号的数据如表所示，则（）A．这8天的最高气温的极差为5°C B．这8天的最高气温的中位数为23°CC．这8天的最低气温的极差为5°C D．这8天的最低气温的中位数为11.5°C答案：D分析：由极差等于一组数据中的最大值与最小值的差，并根据中位数的定义，求最高、最低气温数据的中位数即可判断各项的正误.=22°C，这8天的最低气温的这8天的最高气温的极差为23−19=4°C，这8天的最高气温的中位数为21+232=11.5°C，故选：D．极差为15−9=6°C，这8天的最低气温的中位数为11+122填空题13、某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中A等占25%,B等占40%,C等占30%,D等占5%的比例，规定达到C等级及以上才能通过考试，则要答案：24分析：根据频率分布直方图可得答案.由图可知，分数在20分以下的比例为0.001×20=0.02，在40分以下的比例为(0.001+0 .0075)×20=0.17，因此5%分位数位于[20,40)内，由20+20×0.05−0.020.15=24，所以通过本次考试分数至少为24.所以答案是：24.14、已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.答案：53.分析：由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.由题意，该组数据的平均数为6+7+8+8+9+106=8，所以该组数据的方差是16[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=53.小提示：本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.15、如图是2020年某大学自主招生面试环节中，7名评委为某考生打出的分数的茎叶图，该组数据的众数为___________.答案：84解：根据茎叶图可知，7名评委为某考生打出的分数分别为79,84,84,84,86,87,93，所以，该组数据的众数为84.所以答案是：8416、我国古代数学名著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：“开仓受纳，有甲户米一千五百三十四石到廊．验得米内夹谷，乃于样内取米一捻，数计二百五十四粒，内有谷二十八颗．今欲知米内杂谷多少．”意思是：官府开仓接受百姓纳粮，甲户交米1534石到廊前，检验出米里夹杂着谷子，于是从米样粒取出一捻，数出共254粒，其中有谷子28颗，则这批米内有谷子约_____________石（结果四舍五入保留整数）；答案：169分析：求出米内夹谷的比例，再乘以1534即可得解.依题意可得米内夹谷的比例为28254=14127，所以这批米内有谷子1534×14127≈169石.所以答案是：169.17、一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：则样本数据落在[10，40)上的频率为________.答案：0.52分析：根据图表，样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52，根据频率公式即可得解.样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52.则样本数据落在[10，40)上的频率为52100＝0.52.所以答案是：0.52解答题18、某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m(m>20)人，按年龄分得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这m人中35~45岁所平均数与方差分别为37和52有人的年龄的方差.答案：（1）平均年龄32.25岁，第80百分位数为37.5；（2）10.分析：（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2，进而根据方差{4×[s42+(x4−z)2]+2×[s52+(x5−z)2]}，代入计算即可得答案.公式有s2=16解：（1）设这m人的平均年龄为x，则x=22.5×0.05+27.5×0.35+32.5×0.3+37.5×0.2+42.5×0.1=32.25.设第80百分位数为a，由5×0.02+(40−a)×0.04=0.2，解得a=37.5.（2）由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s42，s52，则x4=37，x5=43，s42=5，s52=1，2设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2.=39，则z=4x4+2x56{4×[s42+(x4−z)2]+2×[s52+(x5−z)2]}=10，s2=16因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.19、某服装公司计划今年夏天在其下属实体店销售一男款衬衫，上市之前拟在该公司的线上旗舰店进行连续20天的试销，定价为260元/件.试销结束后统计得到该线上专营店这20天的日销售量(单位：件)的数据如图.（1）若该线上专营店试销期间每件衬衫的进价为200元，求试销期间该衬衫日销售总利润高于9500元的频率.（2）试销结束后，这款衬衫正式在实体店销售，每件衬衫定价为360元，但公司对实体店经销商不零售，只提供衬衫的整箱批发，大箱每箱有70件，批发价为160元/件；小箱每箱有60件，批发价为165元/件.某实体店决定每天批发大小相同的2箱衬衫，根据公司规定，当天没销售出的衬衫按批发价的8折转给另一家实体店.根据往年的销售经验，该实体店的销售量为线上专营店销售量的80%，以线上专营店这20天的试销量估计该实体店连续20天的销售量.以该实体店连续20天销售该款衬衫的总利润作为决策，试问该实体店每天应该批发2大箱衬衫还是2小箱衬衫？答案：（1）0.55；（2）该实体店应该每天批发2大箱衬衫.分析：（1）先利用不等式性质求得要使得日销售总利润高于9500元时日销售衬衫的件数的取值范围，然后根据频数分布图计算对应的天数，从而求得响应频率；.（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.分别就选择批发2小箱时和2大箱时各种情况下的日利润列举计算，并求得相应的总利润，进行比较大小即可做出判断.解：（1）因为试销期间每件衬衫的利润为260−200=60元，≈158.3，所以要使得日销售总利润高于9500元，则日销售衬衫的件数大于950060=0.55.故所求频率为7+420（2）由题可知，该实体店20天的日销售量情况为3天日销售量为48件，6天日销售量为80件，7天日销售量为128件，4天日销售量为160件.若选择批发2小箱，则批发成本为60×2×165=19800元，当日销售量为48件时，当日利润为48×360+0.8×(120−48)×165−19800=6984元；当日销售量为80件时，当日利润为48×360+0.8×(120−80)×165−19800=14280；当日销量为128件或160件时，当日利润为120×360−19800=23400元.所以这20天销售这款衬衫的总利润为6984×3+14280×6+23400×11=364032元.若选择批发2大箱，则批发成本为70×2×160=22400元，当日销售量为48件时，当日利润为48×360+0.8×(140−48)×160−22400=6656元；当日销售量为80件时，当日利润为80×360+0.8×(140−80)×160−22400=14080元；当日销量为128件时，当日利润为128×360+0.8×(140−128)×160−22400=25216元.当日销售量为160件时，当日利润为140×360−22400=28000元.所以这20天销售这款衬衫的总利润为6656×3+14080×6+25216×7+28000×4=392960元.因为392960>364032，所以该实体店应该每天批发2大箱衬衫.20、某校对学生成绩进行统计（折合百分制，得分为整数），考虑该次竞赛的成绩分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图（如图），图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1:3:6:4:2，第五组的频数为12.(1)该样本的容量是多少？(2)成绩落在哪一组中的人数最多？并求该小组的频率；(3)该样本的第75百分位数在第几组中？答案：(1)96；(2)第三组，3；8(3)第四组.分析：（1）根据给定条件，求出第五小组的频率即可计算作答.（2）确定频率分布直方图中面积最大的小矩形，再求出频率作答.（3）求出各小组频数，由第75百分位数的意义求解作答.，而第五组的频（1）在频率分布直方图中，各小组的小长方形的高的比为1:3:6:4:2，则第五组的频率为216数为12，所以样本的容量n=12216=96.（2）由频率分布直方图知，[70.5,80.5)分段内的人数最多，该小组为第三组，该小组的频率为616=38.（3）第一、二、三、四、五组的频数分别为6，18，36，24，12，该样本的第75百分位数位于第72名，72名位于第四组.。

高中数学难点知识总结归纳

高中数学难点知识总结归纳数学作为一门学科，对于大部分高中学生来说，往往都是一个备受困扰的难以逾越的山峰。

然而，数学并非无解的难题，只要我们能够深入理解难点知识，并掌握合适的解题方法，就能够攀登这座高峰。

本文将对一些高中数学中常见的难点知识进行总结归纳，希望能给学生朋友们提供一些参考和帮助。

一、二次函数与函数的图像1. 二次函数的定义和性质二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

而a、b、c分别代表抛物线的开口方向、顶点坐标与y轴交点。

此外，二次函数还具有对称轴、零点、最值等重要性质。

2. 二次函数与图像的关系二次函数与其对应的图像密切相关。

通过对a、b、c的取值范围和变化进行分析，我们可以了解到抛物线的开口方向、位置等信息。

同时，通过图像我们还能轻松得到函数的零点、最值等关键要素。

二、三角函数与三角方程1. 基本三角函数的定义和性质在高中数学中，最常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

其中，正弦函数表示一个角的边长比上斜边长，余弦函数表示一个角的邻边比上斜边长，而正切函数则表示一个角的对边比上邻边。

这些函数都具有周期性、奇偶性等特点。

2. 三角函数的图像与性质通过对基本三角函数的图像进行观察和推导，我们可以得到它们的周期、对称轴等特性。

此外，还可以通过变换得到其他三角函数和反三角函数的图像。

3. 三角方程的解法与技巧三角方程作为数学中的重要理论和实际应用工具，在解题过程中常常给学生们带来困扰。

但只要我们熟练掌握三角函数的基本性质、公式和恒等式，灵活运用解方程的思维方法，就能够迎刃而解。

三、概率与统计1. 基本概率理论概率是研究随机事件发生可能性的一门学科。

在高中数学中，我们需要掌握概率的基本概念和性质，包括事件、样本空间、事件的概率计算等。

2. 统计的基本概念与方法统计是利用具体数据对总体进行推断与研究的数学方法。

在高中数学中，学生需要学习如何进行数据收集、整理、描绘图表并进行统计分析等技巧。

高一的数学重点知识点归纳

高一的数学重点知识点归纳高中数学作为学生学习中非常重要的一门学科，承载着培养学生逻辑思维和创新能力的重要任务。

在高一学年，学生们开始接触更加深入和复杂的数学知识，掌握好这些重点知识点对于后续学习和应对高考都至关重要。

本文将对高一数学的重点知识点进行归纳。

1. 直线与坐标高一数学的重点之一是直线与坐标。

学生需要了解直线的斜率与截距的概念，并且能够利用这些概念求直线的方程。

另外，学生还需要学会通过两点求直线方程、垂直平分线的性质以及两直线的夹角等等。

这些基础知识点将为后续的数学学习提供必要的基础。

2. 函数与方程在高中数学中，函数与方程是非常重要的内容。

高一学年学生需要掌握一次函数和二次函数的图像和性质，学会通过函数图像和方程求解问题。

同时，学生还要学会解一元一次方程和一元二次方程，熟悉配方法、因式分解和求根公式等解题方法。

3. 解析几何解析几何是高一数学中的一大重点。

学生需要熟悉平面直角坐标系，学会利用距离和斜率的概念解决几何问题。

此外，学生还需要掌握直线和圆的方程以及求解直线与圆的交点的方法。

解析几何内容的掌握对于后续学习空间几何和向量等内容具有重要的影响。

4. 三角函数高一学年还引入了三角函数的概念。

学生需要学习正弦、余弦和正切函数的定义和性质，并且能够通过这些函数求解三角函数方程和解三角形问题。

此外，学生还需要熟悉三角恒等式、一些特殊角的计算和三角函数的图像等知识。

5. 数列与常用数学模型数列是高一数学中的一个重要内容。

学生需要学会等差数列和等比数列的概念及其常用性质，掌握通过通项公式和前n项和的计算方法。

此外，学生还需要了解指数函数和对数函数的概念，并能够应用这些知识解决实际问题。

6. 概率与统计概率与统计是高中数学的一大模块，在高一学年，学生开始学习概率与统计的基础知识。

学生需要了解概率的基本概念、条件概率和事件独立性等概率的常用概念和性质。

此外，学生还需要熟悉统计学中的数据收集、整理和分析方法，学会制作频率分布表、直方图和折线图等图表。