数学运算题型之概率原理

数学运算题型之概率原理
1．重视概念的甄别，即弄清某些容易混淆的概念之间的区别。

在概率论中存在许多容易混淆的概念，如果不能认真区分，仔细加以甄别，就不能正确理解这些重要概念，在应用时就会产生各种各样的错误。

互不相容事件与相互独立事件是最容易混淆的一对概念
“互不相容”是指两个事件不能同时发生。

而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响。

随机变量的独立性与不相关性是两个既有区别又有联系的概念
对两个随机变量而言，相互独立⇒不相关。

条件概率P(A|B)与乘积概率P(AB) 也是容易混淆的一对概念
一般来说，当事件B A ,同时发生时，常用)(AB P ，而在有包含关系或明确的主从关系中，用)(A B P 。

如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求：(1)第二次才取到白球的概率；(2)第一次取到的是白球的条件下，第二次取到的也是白球的概率。

问题(1)是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率，而问题(2)则是求在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率。

2．善于识别一些重要的概率模型并能正确进行计算是提高分析和解决概率实际问题能力的关键。

在概率论中有许多经长期实践概括出的重要概率模型（简称“概型”），学生必须了解其背景、特点和适用范围，要熟记计算公式，以便能正确应用。

例如：
（1）古典概型：一类具有有限个“等可能”发生的基本事件的概率模型。

（2）完备事件组模型：若干个两两互不相容的事件在一次试验中有且仅有一个发生的一类概率模型。

它主要用于某些复杂事件的计算——全概率公式，以及某些条件概率的计算——贝叶斯公式。

（3）伯努利概型与二项分布模型：伯努利概型是关于独立重复试验序列的一类重要的概率模型，其特点是各个重复试验是独立进行的，且每次试验中仅有两个对立的结果：事件A 发生或不发生，则在n 次
独立重复试验中，事件A 恰好发生v 次的概率为v n v v n n p p C v P --=)1()( ，其中)(A P p =。

（4）普阿松分布：例如，电话交换台在单位时间内所接到的呼唤次数；到某商店去购物的顾客人数；放射性物质不断放出的质点数。

（5）正态分布——最重要的概率模型：人体的身高、体重，测量的误差等都服从正态分布。

（6）均匀分布——“等可能”取值的连续化模型：如果连续随机变量ξ仅在某有限区间],[b a 内取值，且具有概率密度
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它
,0 ,1)(b x a a b x ϕ 则称ξ服从区间],[b a 上的均匀分布。

教 学 内 容 ( Contents )
Chapter One 随机事件及其概率(Random Events and Probability)
一、概率论的诞生及应用(Naissance and application of probability theory)
1. 概率论的诞生
1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家, 若在一赌徒胜<),另一赌徒胜b局(b c
a局 (a c
<)时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与
费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念-------数学期望
2. 概率论的应用
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象的数量规律. 一方面，它有自己独特的概念和方法，另一方面，它与其他数学分支又有紧密的联系，它是现代数学的重要组成部分.概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 工农业生产和国民经济的各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨率等等.
概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.
二、随机现象(Random phenomenon)
自然界和社会上所观察到的现象:确定性现象随机现象
确定性现象在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.实例
确定性现象的特征条件完全决定结果
随机现象在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观察之前不能预知确切的结果. 实例
随机现象的特征条件不能完全决定结果
1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有一定的统计规律性, 概率论就是研究随机现象这种本质规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?随机现象是通过随机试验来研究的.
Problem:什么是随机试验?
§1.1 随机事件(Random Events)
一、随机试验(Random experiment)
我们遇到过各种试验。

在这里，我们把试验作为一个含义广泛的术语，它包括各种各样的科学试验，甚至对某一事物的某一特征的观察也认为是一种试验。

下面举一些试验的例子：
E：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。

1
E：将一枚硬币抛三次，观察出现正面的次数。

2
E：抛一枚骰子，观察出现的点数。

3
E：记录车站售票处一天内售出的车票数。

4
E：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

5
E：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

6
这些试验都具有以下的特点：
1、可以在相同的条件下重复地进行；
2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

在概率论中，我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验(Random experiment)。

二、样本空间(Sampling space)
对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验的结果，但试验的一切可能的结果是已知的，我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间(Sampling space)，记为S。

样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点(Sampling point)。

例如，上面的6个随机试验的样本空间分别为：
{}1,S H T =；
2{0,1,2,3}S =；
{}31,2,3,4,5,6S =；
4{1,2,,}S n =⋅⋅⋅；这里的n 是售票处一天内准备出售的车票数n 。

{}5|0S t t =≥；
{}601(,)|S x y T x y T =≤≤≤；这里x 表示最低温度，y 表示最高温度。

并设这一地区的温度不会小于0T ，也不会大于1T 。

三、 随机事件(Random event)
在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情就叫随机事件(Random event)。

随机事件常用大写字母 ,,,C B A 表示，它是样本空间S 的子集合。

在每次试验中，当且仅当子集A 中的一个样本点出现时，称事件A 发生。

例如在3E 中，如果用A 表示事件“掷出奇点数”，那么A 是一个随机事件。

由于在一次投掷中，当且仅当掷出的点数是1，3，5中的任何一个时才称事件A 发生了，所以我们把事件A 表示为{}1,3,5A =。

同样地，若用B 表示事件“掷出偶点数”，那么B 也是一个随机事件，{}2,4,6B =.
对于一个试验E ，在每次试验中必然发生的事件，称为E 的必然事件(Certain event)；在每次试验中都不发生的事件，称为E 的不可能事件(Impossible event)。

例如在3E 中，“掷出的点数不超过6”就是必然事件，用集合表示这一事件就是3E 的样本空间{}31,2,3,4,5,6S =.而事件“掷出的点数大于6”是不可能事件，这个事件不包括3E 的任何一个可能结果，所以用空集φ表示。

对于一个试验E ，它的样本空间S 是E 的必然事件；空集φ是不可能事件。

必然事件与不可能事件虽已无随机性可言，但在概率论中，常把它们当作两个特殊的随机事件，这样做是为了数学处理上的方便。

四、 事件间的关系与运算(Relation and operation of events)
因为事件是一个集合，因而事件间的关系和运算是按集合间的关系和运算来处理的。

下面给出这些关系和运算在概率中的提法。

并根据“事件发生”的含义，给出它们在概率中的含义。

设试验E 的样本空间为S ，而),2,1(,, =k A B A k 是S 的子集。

（1）事件的包含与相等(Inclusion and equivalent relation) 若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含事件B ，记为A B ⊃或者B A ⊂。

若B A ⊂且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等。

（2）事件的和(Union of events) 事件A 与事件B 至少有一个发生的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为B A .事件B A 发生意味着：或事件A 发生，或事件B 发生，或事件A 与事件B 都发生。

事件的和可以推广到多个事件的情景。

设有n 个事件n A A A ,,,21 ，定义它们的和事件为
{n A A A ,,,21 中至少有一个发生}，记为k n
k A 1= . （3）事件的积(Product of events) 事件A 与事件B 都发生的事件称为事件A 与事件B 的积事件，记为B A ，也简记为AB 。

事件B A （或AB ）发生意味着事件A 发生且事件B 也发生，即A 与B 都发生。

类似的，可以定义n 个事件n A A A ,,,21 的积事件k n
k A 1= ={n A A A ,,,21 都发生}。

（4）事件的差(Difference of events) 事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。

（5）互不相容事件(互斥)(Incompatible events) 若事件A 与事件B 不能同时发生，即φ=AB ，则称事件A 与事件B 是互斥的，或称它们是互不相容的。

若事件n A A A ,,,21 中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的。

(6) 对立事件(Opposite events) “A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件，记为A .A 和A 满足：S A A = ，φ=A A ，A A =。

（7）事件运算满足的定律 设C B A ,,为事件，则有
交换律(Exchange law)：A B B A =；BA AB =。

结合律(Combination law)：)()(C B A C B A =；)()(BC A C AB =。

分配律(Distributive law)：)()()(BC AC C B A =；))(()(C B C A C AB =。

对偶律(Dual law)：B A B A = ；B A AB =。

Example 1.1 向指定目标射三枪，观察射中目标的情况。

用1A 、2A 、3A 分别表示事件“第1、2、3枪击中目标”，试用1A 、2A 、3A 表示以下各事件：
（1）只击中第一枪；
（2）只击中一枪；
（3）三枪都没击中；
（4）至少击中一枪。

Solution （1）事件“只击中第一枪”，意味着第二枪不中，第三枪也不中。

所以，可以表示成 1A 32A A 。

（2）事件“只击中一枪”，并不指定哪一枪击中。

三个事件“只击中第一枪”、“只击中第二枪”、“只击中第三枪”中，任意一个发生，都意味着事件“只击中一枪”发生。

同时，因为上述三个事件互不相容，所以，可以表示成 123A A A +321A A A +321A A A .
（3）事件“三枪都没击中”，就是事件“第一、二、三枪都未击中”，所以，可以表示成 123A A A .
（4）事件“至少击中一枪”，就是事件“第一、二、三枪至少有一次击中”，所以，可以表示成 321A A A 或 123A A A +321A A A +321A A A +1A 32A A +321A A A +321A A A + 321A A A .
§1.2 概率的统计定义(The Statistic Definition of Probability)
一、 频率(Frequency)
设E 为任一随机试验，A 为其中任一事件，在相同条件下，把E 独立的重复做n 次，A n 表示事件A 在这n 次试验中出现的次数（称为频数）。

比值n n A f A n =)(称为事件A 在这n 次试验中出现的频率(Frequency)。

人们在实践中发现：在相同条件下重复进行同一试验，当试验次数n 很大时，某事件A 发生的频率具有一定的“稳定性”，就是说其值在某确定的数值上下摆动。

一般说，试验次数n 越大，事件A 发生的频率就越接近那个确定的数值。

因此事件A 发生的可能性的大小就可以用这个数量指标来描述。

二、 概率的统计定义(The statistic definition of probability)
Definition 1.1 设有随机试验E ，若当试验的次数n 充分大时，事件A 的发生频率)(A f A 稳定在某数p 附近摆动，则称数p 为事件的概率(Probability)，记为：p A P =)(。

(Let E be a random experiment, a number p is called the probability of a event A if the frequency of A swings nearby p steadily.)
概率的这种定义，称为概率的统计定义，统计定义是以试验为基础的，但这并不是说概率取决于试验。

值得注意的是事件A 出现的概率是事件A 的一种属性。

也就是说完全决定于事件A 本身的结果，是先于试验客观存在的。

概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率。

通常只能在n 充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。

三、 概率的性质(The property of probability)
（1）1)(0≤≤A P .
（2）0)(=φP ， 1)(=ΩP .
（3）若φ=AB ，则)()()(B P A P B A P += .
（4）)(1)(A P A P -=.
（5）)()()()(AB P B P A B P A B P -==-.特别地，若 B A ⊂， )()()(A P B P A B P -=-，)()(A P B P ≥.
（6）对任意两个事件B A ,，有)()()()(AB P B P A P B A P -+= .
这条性质可以推广到多个事件。

设n A A A ,,,21 是任意n 个事件，则有
∑∑≤<≤=-
=n j i j
i n i i n A A P A P A A A P 1121)()()( 1121()(1)()n i j k n i j k n P A A A P A A A +≤<<≤+
++-∑
Example 1.2 设事件B A ,的概率分别为21,
31 .在下列三种情况下分别求)(A B P 的值： （１）A 与B 互斥；
（２）；B A ⊂ （３）8
1)(=AB P ． Solution 由性质（5），)(A B P =)()(AB P B P -.
（1） 因为A 与B 互斥，所以φ=AB ，)(A B P =)()(AB P B P -=P(B)=
2
1 （2） 因为；B A ⊂所以)(A B P =)()(AB P B P -=)()(A P B P -=6
13121=- （3） )(A B P =)()(AB P B P -=838121=-
§1.3 古典概型(Classical Probability)
一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability)
“概型”是指某种概率模型。

“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。

如果做某个随机试验E 时，只有有限个事件n A A A ,,,21 可能发生，且事件n A A A ,,,21 满足下面三条：
（1）n A A A ,,,21 发生的可能性相等（等可能性）；
（2）在任意一次试验中n A A A ,,,21 至少有一个发生（完备性）；
（3）在任意一次试验中n A A A ,,,21 至多有一个发生（互不相容性）。

具有上述特性的概型称为古典概型(Classical probability)或等可能概型。

n A A A ,,,21 称为基本事件(Basic events)。

等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E 共有n 个基本事件，事件A 包含了m 个基本事件，则事件A 的概率为
n m A P =)(
Example 1.3 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。

现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。

Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。

若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生
的取法为25C 种，从而
()P A =25C /28C =5/14
Example 1.4 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。

Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方法，事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共
有49713C C 种取法，故得事件A 的概率为
()P A =138.05100
49713≈C C C Example 1.5 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：
（１）每个盒子最多有一个球的概率；
（２）某指定的盒子中恰有m （m N <）个球的概率。

Solution 这显然也是等可能问题。

先求N 个球随机地放入n 个盒子的方法总数。

因为每个球都可以落入n 个盒子中的任何一个，有n 种不同的放法，
所以N 个球放入n 个盒子共有N N
n n n n =⨯⨯⨯
种不同的放法。

（1）事件A ={每个盒子最多有一个球}的放法。

第一个球可以放进n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放进余下的1n -个盒子之一，有1n -种放法；．．．第N 个球只能放进余下的1n N -+个盒子之一，有1n N -+种放法；所以共有(1)(1)n n n N --+ 种不同的放法。

故得事件A 的概率为
()P A =N n
N n n n )1()1(+-- （2）事件B ={某指定的盒子中恰有m 个球}的放法。

先从N 个球中任选m 个分配到指定的某个盒子中，共有m N
C 种选法；再将剩下的N m -个球任意分配到剩下的1n -个盒子中，共有m N n --)1(种放法。

所以，得事件B 的概率为
N m
N m N n
n C B P --=)1()( Example 1.6 在１~９的整数中可重复的随机取６个数组成６位数，求下列事件的概率：
（１）６个数完全不同；
（２）６个数不含奇数；
（３）６个数中５恰好出现4次。

Solution 从9个数中允许重复的取6个数进行排列，共有6
9种排列方法。

（1）事件A={６个数完全不同}的取法有456789⨯⨯⨯⨯⨯种取法，故 11.09
456789)(6=⨯⨯⨯⨯⨯=A P （2）事件B={６个数不含奇数}的取法。

因为6个数只能在2，4，6，8四个数中选，每次有4种取法，所以有64
取法。

故
66
9
4)(=B P
（3）事件C={６个数中５恰好出现4次}的取法。

因为6个数中５恰好出现4次可以是6次中的任意4次，出现的
方式有46C 种，剩下的两种只能在1，2，3，4，6，7，8，9中任取，共有2
8种取法。

故 62
469
8)(C C P = 二、 几何概型(Geometric probability)
上述古典概率是在有限样本空间下进行的，为了克服这种局限性，我们将古典概型推广。

如果一个试验具有以下两个特点：
（1） 样本空间S 是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）。

（2） 向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”。

那么，事件A 的概率由下式计算：
的计量
的计量S A A P =)( Example 1.7 在一个均匀陀螺的圆周上均匀地刻上（０，４）上的所有实数，旋转陀螺，求陀螺停下来后，圆周与桌面的接触点位于［0.5，１］上的概率。

Solution 由于陀螺及刻度的均匀性，它停下来时其圆周上的各点与桌面接触的可能性相等，且接触点可能有无穷
多个，故 8
1421]40[]1,5.0[)(===的长度，区间的长度区间A P . Example 1.8 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。

先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率。

Solution 以X ，Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末 812X ≤≤ ，812Y ≤≤ ；若以(,)X Y 表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为4的一个正方形：812X ≤≤ ，812Y ≤≤ 内所有点表示出来。

二人能会面的充要条件是 12X Y -≤（图中阴影部分）
；所以所求的概率为： 64
1516]21421[2162=--==）（的面积正方形阴影部分的面积ABCD P . §1.4 条件概率(Conditional Probability)
一、 条件概率(Conditional probability)
在实际问题中，常常会遇到这样的问题：在得到某个信息A 以后（即在已知事件A 发生的条件下），求事件B 发生的概率。

这时，因为求B 的概率是在已知A 发生的条件下，所以称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

记为)|(A B P 。

由此引入条件概率的一般定义：
Definition 1.2 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P =)()(A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率(Conditional probability)。

(Suppose B A , are two events and 0)(>A P , )|(A B P =)()(A P AB P is called the conditional probability of B under the condition that A occurs.)
计算条件概率可选择两种方法之一：
（1） 在缩小后的样本空间A S 中计算B 发生的概率)|(A B P .
（2） 在原样本空间S 中，先计算)(),(A P AB P ，再按公式)|(A B P =)()(A P AB P 计算，求得)|(A B P . Example 1.9 设某种动物有出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活25岁以上的概率？
Solution 设事件A ={能活20岁以上}；事件B ={能活25岁以上}。

按题意，()0.8P A =，由于A B ⊂，因此()()0.4P AB P B ==.由条件概率定义
5.08
.04.0)()()|(===
A P A
B P A B P 二、 乘法公式(Multiplication formula) 由条件概率的定义容易推得概率的乘法公式(Multiplication formula)：
).()()()()(B A P B P A B P A P AB P ==
利用这个公式可以计算积事件。

乘法公式可以推广到n 个事件的情形：若(P n A A A ,,,21 )0>，则
)()()()()(112131211-⋅⋅⋅=n n n A A A P A A A P A A P A P A A P
Example 1.10 在一批由90件正品，３件次品组成的产品中, 不放回接连抽取两件产品，问第一件取正品，第二件取次品的概率。

Solution 设事件A ={第一件取正品}；事件B ={第二件取次品}。

按题意，()P A =
9390，)|(A B P =92
3.由乘法公式 0315.092
39390)|()()(=⨯=
=A B P A P AB P 三、全概率公式(Complete probability formula) 为了计算复杂事件的概率，经常把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，通过分别计算简单事件的概率，来求得复杂事件的概率。

全概率公式(Complete probability formula)：n A A A ,,,21 为样本空间S 的一个事件组，且满足：
（1）n A A A ,,,21 互不相容，且
),,2,1(0)(n i A P i =>;
(2)S A A A n = 21.
则对S 中的任意一个事件B 都有 )()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=
Proof: 因为
B BS B ==(n A A A 21)=n BA BA BA 21
由假设j i BA BA j i ≠=,))((φ，得到
12()()()()n P B P BA P BA P BA =+++=
)()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P +++
Example 1.11 七人轮流抓阄，抓一张参观票，问第二人抓到的概率？
Solution 设i A ={第i 人抓到参观票}(1,2i =)，于是
6
1)|(,0)|(,76)(,71)(121211====A A P A A P A P A P 由全概率公式 7161760)|()()|()()(1211212=⨯+
=+=A A P A P A A P A P A P . 从这道题，我们可以看到，第一个人和第二个人抓到参观票的概率一样；事实上，每个人抓到的概率都一样。

这就是“抓阄不分先后原理”。

Example 1.12 设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20
1,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率？ Solution 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是：
;20
19)|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321======A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有：112233()(|)()(|)()(|)()P B P B A P A P B A P A P B A P A =++= 92.010
220191031514105109=⋅+⋅+⋅ 四、 贝叶斯公式(Bayesian formula)
设B 是样本空间S 的一个事件，n A A A ,,,21 为S 的一个事件组，且满足：
（1）n A A A ,,,21 互不相容，且
),,2,1(0)(n i A P i =>;
(2)S A A A n = 21.
则 )
()()()()()()()()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++== 这个公式称为贝叶斯公式(Bayesian formula)，也称为后验公式。

Example 1.13 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“—”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“．”
时，收报台未必收到信号“.”，而是分别以0.8和0.2收到“．”和“—”；同样，发出“—”时分别以0.9和0.1收到“—”和“．” 。

如果收报台收到“．”，问它没收错的概率？
Solution 设A ={发报台发出信号“．”}，A ={发报台发出信号“—”}，B ＝｛收报台收到“．”｝，B ＝｛收报台收到“—”｝；于是，()0.6P A =，()0.4P A =，(|)0.8P B A =，(|)0.2P B A =，(|)0.9P B A =，(|)0.1P B A =；按贝叶斯公式，有
5714.09
.04.08.06.08.06.0)|()()|()()|()()()()|(=⨯+⨯⨯=+==A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P 所以没收错的概率为0.5714.
Example 1.14 根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95 ；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95 .对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎。

现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？
Solution 设A ={某人做此试验结果为阳性}，B ={某人确有肝炎}；由已知条件有，(|)0.95P A B =，(|)0.95P A B =，()0.005P B =；从而()1()0.995P B P B =-=，(|)1P A B =-(|)0.05P A B =；由贝叶斯公式，有
()()(|)(|)0.087()()(|)()(|)
P BA P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ===+ 本题的结果表明，虽然(|)0.95P A B =，(|)0.95P A B =，这两个概率都很高。

但若将此实验用于普查，则有(|)0.087P B A =，即其正确性只有8.7%.如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断。

这也说明，若将(|)P A B 和(|)P B A 搞混了会造成不良的后果。

§1.5 事件的独立性(Independence of Events)
一、 事件的独立性(Independence of events)
设A ，B 是两个事件，一般而言)|()(B A P A P ≠，这表示事件B 的发生对事件A 的发生的概率有影响，只有当)|()(B A P A P =时才可以认为B 的发生与否对A 的发生毫无影响，这是就称两事件是独立的。

这时，由条件概率可知，
)()()()()|()()(B P A P A P B P B A P B P AB P ===
由此，我们引出下面的定义。

Definition 1.3 若两事件A ，B 满足)()()(B P A P AB P =,则称A ，B 相互独立(Mutual independence)。

(The events A ，B is called independent mutually if )()()(B P A P AB P =.)
Theorem 1.1 若四对事件},{},,{},,{},,{B A B A B A B A 中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立
的.(If there is one dual of the four events },{},,{},,{},,{B A B A B A B A is independence, then the rest are also independence.)（证明留给学生）
在实际问题中，我们一般不用定义来判断两事件A ，B 是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件以及试验的具体本质分析去判断它们有无关联，是否独立？如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率了。

Example 1.15 两门高射炮彼此独立的射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率？
Solution 设A ={甲炮击中敌机}，B ={乙炮击中敌机}，那么{敌机被击中}=B A ；因为A 与B 相互独立，所以，有
()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-= 98.08.09.08.09.0=⨯-+
Note ：事件的独立性与互斥是两码事，互斥性表示两个事件不能同时发生，而独立性则表示他们彼此不影响。

Definition 1.4 设C B A ,,是三个事件，如果满足：
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===
则称这三个事件C B A ,,是两两独立的。

(Three events C B A ,, are called independence between them if )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===.)
Definition 1.5 设C B A ,,是三个事件，如果满足：
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===,)()()()(C P B P A P ABC P =
则称这三个事件C B A ,,是相互独立的。

(Three events C B A ,, are called independence each other if
)()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===,)()()()(C P B P A P ABC P =.)
三个事件相互独立一定是两两独立的，但两两独立未必是相互独立。

Example 1.16 一产品的生产分4道工序完成，第一、二、三、四道工序生产的次品率分别为2%、3%、5%、3%，各道工序独立完成，求该产品的次品率？
Solution 设A={该产品是次品}，i A ={第i 道工序生产出次品}，I=1,2,3,4,则
12341234()1()1()1()()()()P A P A P A A A A P A P A P A P A =-=-=-=
1(10,02)(10.03)(10.05)(10.03)0.124-----=
事件的相互独立性概念可推广到多个事件的情形：
Definition 1.6 设n A A A ,,,21 是n 个事件,若对任意)1(n k k ≤<，对任意n i i i k ≤<<<≤ 211，都成立
)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P =
则称事件n A A A ,,,21 相互独立。

(The events n A A A ,,,21 are called independent each other if
)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P = for any n i i i k ≤<<<≤ 211.)
小结(Summary of Chapter One)
1. 本章介绍了随机事件与样本空间的概念，事件的关系与运算；给出了概率的统计定义，概率加法定理，条件概率与概率乘法定理，并介绍了全概率公式与逆概率公式，研究了事件的独立性问题，贝努里概型。

2. 古典概型是一种随机现象的数学模型，它要求所研究的样本空间是有限的，且各样本点的发生和出现是等可能的。

计算古典概率必须要知道样本点的总数和事件Ａ所含的样本点数。

在所考虑的样本空间中，对任何事件Ａ均有1)(0≤≤A P .古典概率的求法是灵活多样的，从不同的角度分析，可以构成不同的样本空间，解题的关键是确定什么是所需的样本点。

3. 统计概率是一种随机试验事件的概率，它不一定是古典概型。

其特点是以事件出现次数的频率作为概率的近似值。

4. 事件的关系和运算和集合论的有关知识有着密切的联系。

如事件的包含关系可以表示为集合的包含关系；事件的和、积相当于集合的并、交，事件的对立相当于集合的互补，学习时需要加以对照。

5. 为了讨论有关系的事件的概率，必须了解概率的加法定理、条件概率与概率乘法定理。

在应用加法定理时首先要搞清楚所涉及的事件是否互斥（三个以上的事件是否两两互斥？）。

使用概率的乘法公式时，首先要搞清楚所涉及的事件是否相互独立？条件概率与事件乘积的概率的联系由公式)|()()(A B P A P AB P =表示。

了解事件的独立性以及事件的互不相容性对于计算一些事件的概率可起简化作用。

全概率公式 )|()()(1i i n
i A B P A P B P ∑==中要求),...,2,1(n i A i =是互不相容的完备群。

逆概率公式
∑==n i i
i i i i A B P A P A B P A P B A P 1)|()()
|()()|(是求后验概率而得到的。

它与全概率公式中求先验概率问题恰是对立的，但
彼此又有公式相联系。