十动态规划的应用---资源分配问题

指标函数 gk(xk)? 基本方程? 甲 乙 丙
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙分 别编号为1，2，3。 决策变量xk::
分配给生产第 k 个工厂的设备数量 状态变量 sk : 分配给第 k 个工厂 至第 3 个工厂的设备 数量（第k阶段开始 剩余的设备数量）。 甲 乙 丙
例3 某公司拟将5台某种设备分配给所属的甲、 乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备，可以为 公司提供的盈利如表。 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使公 司得到的盈利最大。
工厂 盈利 设备台数
甲
乙
丙
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 0
0 x 2 s 2
s3 s2 x2
f 2 (0) max { g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )} g 2 (0) 0
x2*(0) = 0
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3 4 5 f3(s3) x*3
乙 0 5 10 11 11 11
丙
s3 = 5
f 3 (5) 12
x3*(5) = 4,5
0 4 6 11 12 12
结果可写 成表格的 形式:
x3 s3 0 1 2 3 4 5 0 0 1 4
4
5
f3(s3) x*3
11
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
k =2，s3 = s2 - x2，s2=0,1,2,3,4,5，0 x2 s2，有
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
状态转移方程: 基本方程：
sk+1 = sk - xk
xk的取值 范围？ Dk ( sk )={ uk|0uk= xk sk }
ax[ g k x k f k 1 ( s k 1 )] f k s k 0m x k sk f 4 ( s4 ) 0
3
g 3 ( 0) 0
3
s3 = 1
s3 = 2
f 3 (2) 6
f 3 (1) m ax{ g 3 ( x 3 ) f 4 ( s 4 )} x *(1) = 1 3 0 x 3 s3 g 3 ( 0 ) m ax 4 x 3 0 ,1 g 3 (1) 甲 乙 丙
f 2 ( 3) max{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )} g 2 ( 0) g 2 (1) max x 2 0 ,1 , 2 , 3 g 2 ( 2 ) g 2 ( 3) 14
0 x 2 s2
f 3 ( 3 ) 0 11 5 6 f 3 ( 2) max x 2 0 ,1, 2 , 3 10 4 f 3 (1) f 3 ( 0 ) 11 0
甲
乙
丙
12 12 百度文库2
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 1
f 2 (1) m ax{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )}
0 x 2 s2
数量为 sk 的设备分 配给第 k 个工厂至 第 3 个工厂所得到 的最大总收益 甲 乙 丙
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
k =3，s3=0,1,2,3,4,5，0 x3 s3
s3 = 0
f 3 (0) max{ g 3 ( x 3 ) f 4 ( s4 )} x3*(0) = 0 0 x s
4
5
f3(s3) x*3
甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
结果列于下表：
x2 g2(x2)+f3(s2-x2)
s2 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 0+0 0+4 5+0 0+6 5+4 10+0 0+11 5+6 10+4 11+0 0+12 5+11 10+6 11+4 11+0 0+12 5+12 10+11 11+6 11+4 11+0
4
5
f3(s3) x*3
甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 2
f 2 ( 2) max{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )}
s3的可达状态集合
决策变量 0 ukx (s kk) sk
s2的可达状态集合
s1的可达状态集合
3个阶段 如何划分 阶段
甲 乙 丙
状态转移方程？
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s1
x1 1
s2
x2 2
s3
x3 3
s4
sk 1 sk xk
资源分配问题
1 资源平行分配问题
不考虑回收 设有某种原料，总数量为 a，用于生产 n 种产 品。若分配数量 xi 用于生产第 i 种产品，其收益为 gi ( xi )，问应如何分配，才能使生产 n 种产品的总 收入最大？ Max Z = g1(x1)+g2(x2)+ +gn(xn) s.t. x 1+ x 2 + + x n = a xi 0 i = 1, 2, , n 静态规 划模型
s2 = 4
f 2 (4) m ax{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )} g 2 ( 0) g 2 (1) m ax g 2 ( 2) x 2 0 ,1 , 2 , 3 , 4 g 2 ( 3) g ( 4) 2 16
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3 4 5 f3(s3) x*3
甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 3
x2*(3) =2
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 1 4 6 2
g3(x3) 3 4 5
f3(s3) x*3
甲
乙
丙
11
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
甲
乙
丙
4
5
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 5
f 2 (5) max {g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2
9+10 12+5 13+0
最优分配方案一：由 最优分配方案？ x1* = 0，根据 s2 = s1- x1* = 5- 0 = 5，查表知 x2* = 2，由s3 = s2- x2* = 5 - 2 = 3，故 x3* = s3 =3。即得甲工厂分配0台，乙工厂分配2台，丙 工厂分配3台。
最优分配方案二：由 x1* = 2，根据 s2 = s1 - x1* = 5- 2 = 3，查表知 x2*= 2，由 s3 = s2 - x2*= 3 - 2 =1， 故 x3* = s3 =1。即得甲工厂分配2台，乙工厂分配2台， 丙工厂分配1台。 以上两个分配方案所得到的总盈利均为21万元。 问题： 如果原设备台数是4台，求最优分配方案？ 如果原设备台数是3台，求最优分配方案？
x2
0 x1 s1
s2
f2(s2) 0 5 10 14 16 21
x*2 0 1 2 2 1,2 2
甲
乙
丙
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
结果可写成表格的形式
x1 s1 5 0 1 0+21 3+16 g1(x1)+f2(s1-x1) 2 3 7+14 4 5 f1(s1) 21 x*1 0,2
x2*(5) =2
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3
g 2 (0) f 3 (5) 0 12 g (1) f (4) 5 12 3 2 g 2 (2) f 3 (3) 10 11 max x max x2 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5 g (3) f ( 2) 2 0 ,1, 2 , 3, 4 , 5 11 6 3 2 g 2 (4) f 3 (1) 11 4 11 0 g 2 (5) f 3 (0) 21
f3(s3) x*3
0 x 2 s 2
x2*(4) =1,2
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3
f 3 ( 4) 0 12 5 11 f 3 ( 3) f 3 ( 2) m ax 10 6 x 2 0 ,1 , 2 , 3 , 4 11 4 f 3 (1) 11 0 f 3 ( 0)
x2*(1) =1
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3
g 2 (0) f 3 (1) m ax x 2 0 ,1 g (1) f ( 0 ) 3 2 0 4 m ax 5 x 2 0 ,1 5 0
0 x 2 s 2
g 2 ( 0 ) f 3 ( 2) 0 6 max g 2 (1) f 3 (1) max 5 4 10 x 2 0 ,1 , 2 x 2 0 ,1 , 2 g ( 2 ) f ( 0) 10 0 3 2 x2*(2) =2
f2(s2) 0 5 10 14 16 21
x*2 0 1 2 2 1,2 2
k =1时， s2 = s1 - x1， s1 = 5， 0 x1 s1，有
f 1 ( s1 ) max{ g1 ( x1 ) f 2 ( s 2 )} g 1 ( 0) f 2 ( 5) 0 21 g1 (1) f 2 (4) 3 16 g ( 2 ) f ( 3 ) 1 7 14 2 max max 21 x1 , 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 g 1 ( 3) f 2 ( 2) 9 10 g1 (4) f 2 (1) 12 5 x1*(5) =0,2 13 0 g 1 ( 5) f 2 ( 0)
x3*(2) = 2
s3 = 3 f 3 (3) 11
x3*(3) = 3
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s3 = 4
f 3 (4) 12
x3*(4) = 4
甲 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 2 3 6 0 3 7 9 12 13