十动态规划的应用---资源分配问题
动态规划资源分配问题
S1
7
X1
12
3
4
P1(x1)
44
5
8
F2+ p1 21 19
17 18
f1(s1)
21
X1*
1
• 当k=2时;
f2(s2) = max [p2(x2)+ f3(s3) ]
1< x2 < s2 3< s2< 6 计算结果:
S2 X2 p2(x2) F3+ p2 f2(s2) X2*
34 1 12 3 35 10 12 12 10 12 1 1或2
f（k* sk ) max{ fk (sk , xk )}
xk 1,2,3...,sk
4
xi sk
ik
xi大于等于1且为整数
将递推关系写出即是
f
* k
(
sk
)
xk
max
1, 2 ,..., sk
{Pk
(
xk
)
f
* k 1
(
sk
xk )}
f（5* s5）＝0
k 1,2,3
当k=4时;
f4(s4) = max [p4(x4)]
S3 X3 p3(x3) F3+ p3 f3(s3) X3*
23 1 12 5 56 7 98 79 11
4 123 568 12 10 10 12 1
5 1 2 34 5 6 88 13 13 12 10 13 1或2
• 当k=1时;
f1(s1) = max [p1(x1)+ f2(s2) ]
1< x1< s1 s1=7 计算结果:
5 123 35 6 15 14 13 15 1
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划习题详解
动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。
该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。
他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。
他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。
动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。
动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。
由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。
第一节动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。
例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。
(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。
如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。
(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。
描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。
如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。
第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。
资源分配问题的求解方法
线性规划是运筹学中最基本且范围最广的分支，它最主要是应用于合理的进行 各种资源的分配，以取得最佳的效果。
对于这类需要 M 种不同的原材料生产 AN 种不同的产品的资源分配问题，一般是 已知每种原材料的库存量，每种产品所需的各种原材料的分量，以及生产每种产品 能获得多少利益[1]。这类资源分配问题只要运用线性规划就可以解决。
其一般的数学模型为[3] ：
n
max(min)z cj xj j 1
n
aij x j
(, )bi (i 1,2,, m)
j1
x j 0或1, ( j 1,2,, n)
其中 x j 为 0-1 变量，也称二进制变量、逻辑变量。 x j 仅取值 0 或 1 这个条件可 由下述约束条件所代替。x j 1，x j 0 ，x j 为整数，它和一般整数线性规划的约束条 件形式是一致的。
这里 f 为由目标函数的系数组成的向量，A 和 b1 分别为不等式约束条件的系数 矩阵和右端向量， B 和 b2 分别为等式约束条件的系数矩阵和右端向量，当约束条 件没有等式时，B 和 b2 就用空矩阵[] 表示，l1 和 l2 分别是变量的下界和上界约束。 满足全部约束条件的一组决策变量 x1, x2 ,..., xN ，称为此线性问题的可行解，而使目 标函数达到问题要求的最优值( max 或 min )的可行解称为线性规划问题的最优解。
III
石家庄学院毕业论文
1 引言
人们奋斗所争取的一切，都同他们的利益有关。资源分配问题关系着人们的利 益能否实现，因而一直是政治经济学研究的中心课题之一。在近几年，随着社会经 济的发展，资源分配问题已经广泛存在于社会各个领域，并且已经成为制约我国改 革、发展、稳定的焦点问题。如何在满足各使用者的基础上，将有限资源进行最佳 分配，使得生产成本最低、投资最省、产量最高、利润最大，以最大限度地提高效 益，是资源分配问题中亟待解决的难题，所以资源分配的求解方法就给解决这种问 题带来了很大的方便。线性规划是运筹学中研究较早，理论和算法比较成熟的分支 之一，它主要研究在线性等式（或不等式）的限制条件下，使某一线性目标函数取 得最大值（或最小值）的问题，并且求解有统一而简单的方法即单纯形法。但在许 多问题中，决策变量必须为整数，例如当决策变量是分配的人数、购买的设备数、 投入的车辆数时，它们一般必须为非负整数时才有意义。在这种情况下，常需要应 用整数规划进行优化。0-1 整数规划是整数规划的特殊情况，也是最广泛的整数规划， 用 0-1 整数规划求解时有时会更容易。有时源分配问题上也可以使用动态规划求解， 动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法，这种方法就是把它看成一 个时间轴，在时间的推移过程中，在每个时间阶段选择适当的决策，以使整个系统 达到最优。本文不仅介绍了线性规划、0-1 规划、和动态规划几种求解资源分配的方 法，还介绍了求解线性规划的方法—单纯形法、求解 0-1 规划的方法—隐枚举法和 LINGO 软件法、以及求解动态规划的方法—逆序递推法等几种算法的模型、求解的具 体步骤和所对应的实例。通过对本文的这几种求解方法的介绍，基本上就可以使不 同的资源分配问题得到更好更快的解答。
动态规划方案解决资源分配问题的策略
动态规划方案解决资源分配问题的策略在幼儿教育事业中，资源分配问题是一项至关重要的任务。
如何合理、高效地分配教育资源，以满足幼儿的需求和发展，成为幼儿工作者们关注的焦点。
针对这一问题，我们引入动态规划这一优化算法，提出一套解决方案，以期为我国幼儿教育事业的发展提供有力支持。
一、背景及问题阐述随着我国经济社会的快速发展，幼儿教育事业逐渐受到广泛关注。
然而，在资源分配方面，幼儿教育仍面临诸多问题。
一方面，资源分配不均，城乡、地区之间差距较大，部分幼儿无法享受到优质的教育资源；另一方面，资源利用效率低下，导致教育成本上升，加剧了教育资源供需矛盾。
为解决这一问题，我们需要对教育资源进行合理分配，提高资源利用效率。
动态规划作为一种优化算法，具有实现全局最优、求解效率高等特点，适用于解决资源分配问题。
本文将以幼儿教育资源分配为背景，探讨动态规划在解决资源分配问题方面的应用。
二、动态规划基本原理动态规划（DynamicProgramming，DP）是一种求解最优化问题的方法，它将复杂问题分解为多个子问题，并通过求解子问题来实现全局最优。
动态规划的核心思想是“记住已经解决过的子问题的最优解”，从而避免重复计算。
1.确定状态：将问题分解为若干个子问题，并用状态变量表示这些子问题。
2.建立状态转移方程：找出子问题之间的关系，建立状态转移方程，表示当前状态如何通过前一个状态得到。
3.确定边界条件：设定初始状态和边界条件，为递推过程提供基础。
4.计算最优解：根据状态转移方程，从初始状态开始递推，得到问题的最优解。
5.构造最优解：根据最优解的递推过程，构造出问题的最优解。
三、动态规划解决资源分配问题的策略1.状态定义我们将资源分配问题分为两个状态：当前状态和子状态。
当前状态表示在某一时间点或某一阶段，已分配的资源总量；子状态表示在分配过程中，某一特定资源类型的分配情况。
2.状态转移方程状态转移方程是动态规划的核心，它描述了当前状态如何由子状态得到。
简述动态规划的最优性原理及应用
简述动态规划的最优性原理及应用1. 动态规划的最优性原理动态规划是一种求解最优化问题的方法，它通过将问题分解为更小的子问题，并通过保存中间结果来减少重复计算的次数。
1.1 最优子结构性质动态规划的最优性原理基于最优子结构性质。
最优子结构性质指的是一个问题的最优解包含其子问题的最优解。
当一个问题满足最优子结构性质时，我们可以用递归的方式将问题分解为更小的子问题，然后通过解决这些子问题来得到原问题的最优解。
1.2 重叠子问题性质动态规划的最优性原理还依赖于重叠子问题性质。
重叠子问题性质指的是在求解一个问题时，我们会多次遇到相同的子问题。
通过保存中间结果，我们可以避免对相同的子问题重复计算，从而提高算法的效率。
2. 动态规划的应用动态规划的最优性原理可以应用于解决各种不同的问题，包括最长公共子序列、背包问题、图的最短路径等。
2.1 最长公共子序列最长公共子序列问题是指在两个序列中找到一个最长的公共子序列，该子序列不需要在原序列中是连续的。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将最长公共子序列问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
2.2 背包问题背包问题是指在给定的容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将背包问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
2.3 图的最短路径图的最短路径问题是指在一个带有加权边的有向图中，找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
通过动态规划的最优性原理，我们可以将图的最短路径问题分解为更小的子问题，然后通过求解这些子问题来得到原问题的最优解。
3. 动态规划的实现步骤使用动态规划求解问题的一般步骤如下：1.定义状态：明确问题所求解的状态是什么，一般用函数或数组表示。
2.确定状态转移方程：通过分析问题的最优子结构，构建状态转移方程，表示当前状态与前一个状态之间的关系。
3.初始化边界条件：根据问题的实际情况，初始化边界条件，来解决最小规模的子问题。
动态规划在资源分配中的应用
第 ２ 第 ６期 ２卷
Ｖｏ． ２ Ｎ ． １２ ｏ ６
荆 门职业技术 学院学报
Ｊｕ ａ ｆＪｎ ｍｅ ｅ ｈ ｉａ ｌ ｇ ｏ ｒ ｌ ｉｇ ｎ Ｔ ｃ ｎｃ ｌ ｎ ｏ Ｃｏ ｅ ｅ
２０ ０７年 ６月
Ｊｎ ２０ ｕ ．０ ７
２ 动 态 规 划 的数 学模 型 及 求解 步 骤
动态 规划的 学模 数 型是：
பைடு நூலகம்
Ｏｔ ｐ ＠ （ｋ ， Ｒ Ｘ， ）
Ｘ ： （ ， ）
Ｊ ｓ ．
∈ Ｕ （ ） ｋ∈
ｊ ｝＝ １， … ， ２， 忍
（） １
［ 收稿 日期 ］２ ０ ０６—１ ３ ２—１ ［ 作者简 介］王小华（ ９ １ ， ， １６ 一） 女 四川三 台人 ， 罗定职业技术学 院讲 师。研究方 向： 高等代数 、 高等 数学 。Ｅ—ｍ ｉ ａ ｌ
４ ）根 据状 态变 量 之 间的递 推关 系 ， 出状 态 转移方 程 写 ６ ）建立 动态 规划 基本 方程 ： ＝ （ ， （ ） ； ） ５ 建 立 指标 函数 ： ） 一般 用 ｒ（ ， ）描写 阶段 效应 ， ） 示 ｋ一１ Ａ（ 表 ２阶段 的最优 策 略函数 ；
合这 种 要求 的一 种决 策方 法。
１ 动 态 规 划 的最 优 性 原 理
动态规划在经济管理、 军事、 工程技术等方面都有广泛 的应用。“ 最优化原理” 是动态规划的核心， 所有动态规划 问题 的递推关系都是根据这个原理建立起来的。 最优性原理 ：整个过程的最优策略具有这样 的性质 ： “ 即无论过程过去 的状态和决策 如何 ， 对前面 的决策所形成 的状态而言 ， 余下的诸决策必须构成最优策略。 简而言之 ， ” 最优性原理的含义就是 ： 最优 策略 的任何一部分子策略也必须是最优的。
管理运筹学07动态规划
连续时间动态规划
定义
连续时间动态规划是指时间连续变化，状态 和决策也连续变化，状态转移和决策可以发 生在任意时刻。
解决思路
通过将时间连续化，将连续的时间动态问题转化为 离散的时间动态问题，然后应用动态规划的方法进 行求解。
应用场景
控制系统优化、金融衍生品定价、物流优化 等。
状态转移
指从一个状态转移到另一个状态的过程，是动态规划的基本要素 之一。
状态转移方程
描述了状态转移的数学表达式，是动态规划算法的核心。
最优化原理
最优化原理
在多阶段决策问题中，如果每个阶段 都按照最优策略进行选择，则整个问 题的最优解一定是最优的。
最优子结构
如果一个问题的最优解可以由其子问 题的最优解推导出来，则称该问题具 有最优子结构。
解决方案
采用启发式搜索策略， 如模拟退火、遗传算法 等，来引导算法跳出局 部最优解。
案例
在旅行商问题中，采用 模拟退火算法结合动态 规划，在局部搜索和全 局搜索之间取得平衡， 得到全局最优解。
06 动态规划案例研究
案例一：生产与存储问题的动态规划解决方案
总结词
该案例研究探讨了如何利用动态规划解决生 产与存储问题，通过合理安排生产和存储策 略，降低总成本。
管理运筹学07动态规划
contents
目录
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的应用 • 动态规划的扩展 • 动态规划的挑战与解决方案 • 动态规划案例研究
01 动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法，从而有效 地解决最优化问题的方法。
动态规划方法在资源分配问题中的应用探索
动态规划方法在资源分配问题中的应用探索资源分配是管理学和经济学领域中一个重要的课题。
任何一个组织，无论是企业、政府机构还是非营利组织，都需要合理地分配有限的资源，以达到最大化效益的目标。
然而，资源分配问题常常面临的挑战是复杂性和不确定性。
为了解决这个问题，动态规划方法被引入到资源分配决策中。
动态规划是一种数学优化方法，其核心思想是将一个问题划分为一系列的子问题，并从子问题中推导出最优解。
在资源分配问题中，这意味着我们可以将资源分配决策划分为一系列的时间步骤，每一步中做出最佳的决策，以实现整体资源的最优分配。
在资源分配问题中，一个常见的情况是多个项目同时需要资源，而资源又是有限的。
动态规划可以帮助我们确定在每个时间步骤中分配给每个项目的资源数量，以最大化整体效益。
具体来说，我们可以使用动态规划来解决两个关键问题：资源分配优先级和资源分配时机。
首先，资源分配优先级是指确定哪些项目在每个时间步骤中应该优先获得资源。
在动态规划中，我们可以为每个项目定义一个价值函数，该函数表示该项目在获得资源后所产生的效益。
然后，我们可以通过比较不同项目的价值函数来确定资源分配的优先级。
通过动态规划的递推过程，我们可以找到最佳的资源分配优先级，以最大化整体效益。
其次，资源分配时机是指确定在每个时间步骤中分配多少资源给每个项目。
动态规划提供了一种方法来计算每个时间步骤中分配给每个项目的最佳资源数量。
通常，我们可以通过建立状态转移方程来描述资源分配问题，其中状态表示当前时间步骤、已分配的资源量和项目的优先级。
通过求解状态转移方程，我们可以计算出最佳的资源分配方案。
动态规划方法在资源分配问题中的应用可以带来许多好处。
首先，它可以明确地确定每个项目获得资源的优先级，帮助决策者做出明智的决策。
其次，它可以考虑到不同项目之间的相互关系，从而避免资源的浪费和冲突。
最重要的是，动态规划方法可以有效地处理不确定性和变化，因为它可以根据不同时间步骤的信息进行适时的调整。
动态规划文献
1、动态规划（DP）方法在房地产投资分配最优化问题中的应用研究
2、动态规划法对灌区水资源最优化分配
3、动态规划法确定灌溉用水定额
4、动态规划法在确定建筑机械设备最佳租赁方案中的应用
5、动态规划法在设备更新问题中的应用
6、动态规划方法在科研基金分配中的应用研究
7、动态规划模型在_组合投资_理论中的应用
8、动态规划算法实现数字图像压缩的研究
9、动态规划原理在采购决策中的应用
10、动态规划在产品家族替换策略中的应用
11、动态规划在钢材采购中的研究与应用
12、动态规划在货物归并问题中的应用及优化
13、动态规划在生产管理等方面的应用
14、动态规划在投资理财问题中的应用
15、动态规划在消防增援调度中的应用
16、动态规划在医疗设备购置与更新中的应用
17、动态规划在油气开发投资决策中的应用研究
18、动态规划在政府投资预算中的应用实例分析
19、动态规划在资源分配上的应用
20、供应链中的部分信息共享模型
21、灌区多种作物间灌溉水量的最优分配
22、混合算法在大学课程表问题中的应用研究
23、基于Matlab的动态规划问题
24、基于动态规划的股票投资决策研究
25、基于动态规划的无人机航路优化问题研究
26、基于组件最优组合的需求优先级排序方法
27、利用动态规划方法确定包装设备更新的最佳时机
28、利用动态规划求解资源分配问题
29、小城镇规划的优化模式研究
30、一个多阶段最优生产计划的问题
31、一种基于动态规划的自动信任协商策略
32、用动态规划分配可靠度的方法及其改进
33、资源分配问题的动态规划求解方法
34、最优指派问题的动态规划模型及算法。
动态规划应用案例
动态规划应用案例动态规划是一种解决复杂问题的优化算法。
它通过将问题拆分成多个子问题，并记录每个子问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。
在实际应用中，动态规划被广泛用于解决各种问题，包括最优化问题、路径搜索问题、序列问题等。
本文将介绍几个动态规划的应用案例，以展示其在实际问题中的强大能力。
案例一：背包问题背包问题是动态规划中经典的一个例子。
假设有一个背包，容量为V，现有n个物品，每个物品的重量为wi，价值为vi。
要求在不超过背包容量的前提下，选取一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择一些物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)最后，根据状态转移方程，可以循环计算出dp[n][V]的值，即背包中物品总价值的最大值，从而解决了背包问题。
案例二：最长递增子序列最长递增子序列是指在一个序列中，选取一些数字，使得这些数字按照顺序排列，且长度最长。
动态规划也可以应用于解决最长递增子序列问题。
假设有一个序列nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长递增子序列的长度。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最长递增子序列的长度。
案例三：最大子数组和最大子数组和问题是指在一个数组中，选取一段连续的子数组，使得子数组的和最大。
动态规划也可以用于解决最大子数组和问题。
假设有一个数组nums，长度为n。
定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以nums[i]为结尾的连续子数组的最大和。
然后，可以得到如下的状态转移方程：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])最后，循环计算出dp数组中的最大值，即为最大子数组的和。
动态规划部分知识点总结
动态规划部分知识点总结动态规划的基本思想动态规划的基本思想可以用“递推”来描述。
在解决一个问题时，通常需要先确定一个递推关系，然后利用递推关系逐步求解问题的最优解。
以求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）问题为例，最长递增子序列是指在一个无序的序列中找到一个最长的子序列，要求子序列中的元素是递增的。
假设原序列为A，最长递增子序列的长度为LIS(i)，则可以通过递推关系来解决这个问题：LIS(i) = max(LIS(j)+1)，其中j<i 且A[j]<A[i]通过这个递推关系，我们可以逐步求解出从A[1]到A[n]的最长递增子序列的长度，最终得到整个序列的最长递增子序列。
动态规划的特点动态规划有一些特点，可以帮助我们更好地理解和应用这种方法。
1. 重叠子问题：动态规划的关键特点之一是重叠子问题，即原问题可以分解为若干个子问题，不同的子问题可能有重叠的部分。
通过记录和利用子问题的解，可以避免重复计算，提高计算效率。
2. 最优子结构：动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。
最优子结构指的是原问题的最优解可以通过子问题的最优解来求解。
换句话说，原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
3. 状态转移方程：动态规划问题通常可以通过状态转移方程来描述。
状态转移方程是指原问题与子问题之间的关系，它可以用数学公式或递推关系来表示。
通过状态转移方程，可以确定问题的递推规律，从而求解问题的最优解。
动态规划的应用动态规划广泛应用于各种领域，比如算法设计、优化问题、数据挖掘等。
它可以解决许多经典问题，比如最短路径、背包问题、编辑距离、最长公共子序列等。
1. 最短路径：最短路径问题是指在一个加权有向图或加权无向图中，找到一条从起点到终点的路径，使得路径上的边权重之和最小。
动态规划可以用于求解最短路径问题，比如利用Floyd-Warshall算法或Dijkstra算法，通过记录并利用子问题的解来求解最短路径。
运筹学第五章动态规划
和 dk 2 (sk ))；
(4) 允许决策集： D k ( s k ) ( x k , y k ) 0 ≤ y k ≤ s k ; 0 ≤ x k ≤ 1 0 0 0 ( s k y k )
状态转移方程： s k 1 s k x k y k ,s 1 5 0 0k4,3,2,1
其中s 5 表示第四阶段末的状态； (5) 阶段指标： v k ( s k ,x k ,y k ) q k y k p k x k ，k4,3,2,1；
5.1 动态规划的基本概念和模型
5.1.1 动态规划的基本概念
下面结合实例来介绍动态规划的基本概念：
【例5.1】 如图5.1所示，在处有一水库，现需从点铺设一条 管道到点，弧上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建 的渠道长度，请找出一条由到的修建线路，使得所需修建的渠 道长度最短。
2
A4
3
B
7
(1) 按月份分段： k4,3,2,1；
(2) 状态变量： s k 表示第 k 个月月初的库存量；
(3) 决策变量： dk1(sk表) 示第 k 个月已有库存 s的k 情况下，要定
购的商品量， dk2表(sk示) 第 个月k 已有库存 的商品量(为方便，后面将分别依次用 ，
的 来x sk 情 代k y况 替k 下，要d销k1(售sk )
(6) 动态规划基本方程：
fk(s k) (x k,y m k) a D x k(s k)v k(s k,x k,y k) fk 1 (s k 1 )
f5 (s 5 ) 0 k 4 ,3 ,2 ,1
求解（要求板书） 辅图1
辅图2
辅图3
5.2.3 动态规划的顺序解法
【 例 5.3】 图 5.3 所 示 为 一 水 利 网 络 ， A 为 水 库 ， 分B 1 ,别B 2 为,B 3 不;C 同1 ,C 的2 ,供C 3 水;D 目1 ,D 的2地，试找出给各供水目的地供水的 最短路线。
动态规划算法原理及应用
动态规划算法兴田（工业大学计算机学院软件工程1205班2）摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。
关键词：动态规划算法Dynamic ProgrammingLiu xingtian(Zhe Jiang University Of Technology, Computer Science and Technology Campus,Software Engineering 120526630512)Abstract:Dynamic Programming is the most effective way to solve the problem of optimization .This dissertation introduce the thinking of Dynamic Programming and the step to using Dynamic Programming ,it also gives some examples to help analysis Dynamic Programming and the specific method to use Dynamic Programming .Key words : Dynamic Programming , Alsgorithm1.引言规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。
在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。
所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。
将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。
动态规划算法在资源分配与任务调度中的应用
动态规划算法在资源分配与任务调度中的应用随着科技的不断发展和社会的不断进步，资源的分配和任务的调度成为了许多领域中的重要问题。
为了高效地利用有限的资源和合理地安排任务，动态规划算法被广泛应用于资源分配与任务调度中。
动态规划算法是一种通过将复杂问题分解为一系列子问题来求解的方法。
它的核心思想是将问题划分为多个阶段，并在每个阶段选择一个最优解，然后利用这些最优解来求解整个问题的最优解。
在资源分配与任务调度中，动态规划算法可以帮助我们找到最佳的资源分配方案和任务调度策略，以提高效率和降低成本。
在资源分配方面，动态规划算法可以帮助我们确定如何将有限的资源分配给不同的任务，以最大化整体效益。
例如，在生产制造行业中，企业需要合理分配原材料、设备和人力资源，以满足市场需求并最大化利润。
动态规划算法可以根据不同的生产需求和资源限制，确定每个阶段的最佳资源分配方案，从而使整个生产过程更加高效和经济。
另外，动态规划算法还可以应用于任务调度中。
在大型项目或复杂系统中，存在着多个任务需要按照一定的顺序和时间进行调度。
动态规划算法可以帮助我们确定每个任务的最佳开始时间和完成时间，以最小化整体的完成时间或最大化资源利用率。
例如，在交通运输领域，动态规划算法可以帮助我们确定最佳的车辆调度方案，以减少交通拥堵和提高交通效率。
动态规划算法的应用还可以扩展到其他领域，如网络路由、电力调度等。
在网络路由中，动态规划算法可以帮助我们确定最佳的数据传输路径，以提高网络传输速度和稳定性。
在电力调度中，动态规划算法可以帮助我们确定最佳的电力供应方案，以满足不同地区的用电需求和减少能源浪费。
然而，动态规划算法在资源分配与任务调度中的应用也面临一些挑战。
首先，问题的规模和复杂性可能会导致算法的计算量巨大，需要耗费大量的时间和计算资源。
其次，问题的不确定性和动态性可能会导致算法的不稳定性和适应性不足。
因此，在实际应用中，我们需要综合考虑问题的特点和算法的性能，选择合适的动态规划算法或进行算法优化，以达到最佳的资源分配和任务调度效果。
动态规划在投资分配问题中的应用
一
（）ｇｘ） ｘ： 一 （ ｆｘ ＝ ａ ｇｚ＋ｋｘ—） ｋ ） 。 ｘ｛（ ｆ ｚ （ ｍ ｋ） ＿ （ ）
—
（） １ （） ２
、
动 态规 划 的 基 本原 理
的一 个 重 要 分 支在 工 程 技 术 、 济 管 理 、 业生 产 、 通运 输 等 等 众 多 股 票 ） 的 最优 分 配 方 案 ， 经 工 交 时 以及所 提 供 的最 大 利 润 ： Ｋ个 阶段 是 把 资 第 领 域 都 有 广 泛 的应 用 。动 态 规 划 的 独 到 之 处 是 ， 把 多 变 量 的 复 杂 的 金 分 配 给前 Ｋ 只股 票 时 的 最 优 分 配方 案 以及 提 供 的 最 大利 润 。 据 动 它 根 决 策 问题 进 行分 阶 段 决 策 ， 成 了求 解 多 个 单 变 量 的 决 策 问题 ， 在 态 规 划 的最 优 化 原 理 ， 们 得 到 ： 变 故 我
明 。根 据 最 短 路 径 的这 一 重 要 性 质 ， 们 给 出 动 态 规 划 中 的 一 个 重 要 我 定理 。
（＝ ，， ｎ ｋ ２３ …，）
这 里 假设 ： 只股 票 之 间 进 行投 资 分 配 时 可 以确 定 投 资 额 的 最 小 各 分配单位 ， 这个 最 小 单 位 可 以 根 据 实 际情 况 来 确定 。例 如 以万 元 为 分 配 单 位 ， 以 百 万元 为 分 配 单 位 。而 ｘ 是 按 这 个 单位 计 量 的 。这 时 ｚ 或 就 仅 取 非 负 整 数 ， ０ １２ … Ｘ 即 ， ， ， 。而 （） 可 以 写 为 ： ２式 ｆｘ＝ ｛ ） ｋ — ） ｋ ） ｍ ｘ ｇ（ ｆ （ ａ ｚ ｘ ｚ）
动态规划资源分配问题
小组成员：黄秀梅 罗燕雯 杨俊 李彩霞 林琳 （女） 吴晶莹 邓桂兰 罗碧辉
可编辑ppt
1
资源分配问题：只有一种资源有待于分配到 若干个活动，其目标是如何最有效地在各 个活动中分配这种资源。在建立任何效益 分配问题的DP(Dynamic Programming )模型 时，阶段对应于活动，每个阶段的决策对 应于分配到该活动的资源数量；任何状态 的当前状态总是等于留待当前阶段和以后 阶段分配的资源数量，即总资源量减去前 面各阶段已分配的资源量。
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3
课程 1 学分 复习天数
234
1
4 35 2
2
54 5 6
3
4
4
5 68 7
8 7 88
可编辑ppt
4
解：这个问题要求作出4个相应关联的决策，即应分配多 少天给每门考试科目。因此，即使这里没有固定的次序， 这四门考试科目可以看成动态规划模型中的四个阶段。 阶段：k＝1，2，3，4。考试科目 决策变量：x（k k＝1，2，3，4）是分配到阶段（考试科目） k的天数； 状态变量：sk是仍待分配的天数（即前面阶段未分配完的天数）
4
f（k
s
，
k
x
）＝
k
P（k
x
）＋
k
max
{
Pi ( x i )}
ik 1
f
பைடு நூலகம்
（*
k
sk
)
max{
f k ( s k , x k )}
x k 1,2 ,3 ..., s k
4
xi sk
ik
x i大于等于 1且为整数
将递推关系写出即是
资源分配的多目标优化动态规划模型
资源分配的多目标优化动态规划模型一、本文概述本文旨在探讨资源分配的多目标优化动态规划模型。
资源分配问题是在有限资源条件下，如何合理、有效地将这些资源分配给不同的活动或项目，以实现特定的目标或优化某些性能指标。
多目标优化则意味着在解决这类问题时，我们需要同时考虑并优化多个目标，如成本最小化、时间最短化、收益最大化等。
动态规划作为一种重要的数学方法，为解决此类问题提供了有效的工具。
本文首先将对资源分配问题的背景和重要性进行简要介绍，阐述为何需要多目标优化的动态规划模型来解决这一问题。
接着，文章将详细阐述多目标优化动态规划模型的基本概念和原理，包括模型的构建、求解方法以及关键要素等。
在此基础上，文章将结合具体案例，分析多目标优化动态规划模型在资源分配问题中的应用，并探讨其在实际操作中的优缺点。
本文还将对多目标优化动态规划模型的发展趋势进行展望，探讨未来研究的方向和可能的应用领域。
文章将总结全文，强调多目标优化动态规划模型在资源分配问题中的重要性和价值，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。
二、资源分配问题的基本框架资源分配问题是一类重要的优化问题，它涉及到如何在多个可选方案之间分配有限的资源，以达到一个或多个预定目标的最优化。
这类问题广泛存在于各种实际场景中，如生产管理、物流规划、能源分配、投资组合等。
为了有效地解决这些问题，我们需要构建一个合理的资源分配多目标优化动态规划模型。
目标函数：目标函数是资源分配问题的核心，它描述了优化问题的目标。
在多目标优化问题中，目标函数通常是一个由多个子目标组成的函数组，这些子目标可能是相互冲突的，需要在优化过程中进行权衡。
约束条件：约束条件描述了资源分配问题中的限制条件，包括资源数量、分配规则、时间限制等。
这些约束条件限定了资源分配的可能性和范围，对于保证优化问题的可行性和实际意义至关重要。
决策变量：决策变量是资源分配问题中的关键参数，它代表了各种可能的资源分配方案。
动态规划算法在资源分配优化中的应用
动态规划算法在资源分配优化中的应用动态规划算法是一种解决多阶段决策过程的优化问题的有效方法。
在资源分配优化中，动态规划算法可以帮助我们找到最优的资源分配方案，以达到最大的效益或最小的成本。
本文将介绍动态规划算法在资源分配优化中的应用，并探讨其优势和实践案例。
1. 动态规划算法概述动态规划算法是通过将一个问题分解为多个子问题，并在解决子问题的基础上求解原始问题的一种方法。
其核心思想是利用子问题的最优解来解决大问题，通过记忆化存储已经解决的子问题的最优解，避免重复计算。
动态规划算法通常适用于满足最优子结构和重叠子问题性质的问题。
2. 资源分配优化问题资源分配优化问题是在有限的资源条件下，通过合理的分配来最大化或最小化某种目标函数的问题。
在实际生活和产业中，资源分配优化问题广泛存在。
例如，生产线上的机器资源分配、货物配送中的路径规划、投资组合的资产配置等。
3. 动态规划在资源分配优化中的应用动态规划算法在资源分配优化中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：3.1 生产线上的机器资源分配在生产线上，有多种不同的机器可以用于不同的工序。
如何合理地调度和分配这些机器资源，以最小化生产成本或最大化效率，是一个重要的资源分配优化问题。
动态规划算法可以通过将整个生产过程分解为多个子问题，逐步求解每个子问题的最优解，从而找到最优的机器资源分配方案。
3.2 货物配送中的路径规划在物流配送中，如何选择最短路径来配送货物，以最小化成本和时间，是一个典型的路径规划问题。
通过将整个路径划分为多个子路径，并记录每个子路径的最优解，动态规划算法可以评估每个子路径的成本，并最终找到全局最优的配送路径。
3.3 投资组合的资产配置在金融投资领域，如何将有限的资金在不同的资产上进行合理分配，以最大化投资收益或最小化风险，是一个关键的资产配置问题。
动态规划算法可以通过将整个投资时间划分为多个阶段，每个阶段选择最佳的资产配置方案，从而找到最优的资产组合方案。
资源分配问题的数学建模与解法研究
资源分配问题的数学建模与解法研究1. 引言资源分配问题是指在特定条件下，将有限的资源分配给各个需求方，以使资源得到最优的利用的问题。
该问题涉及到多个领域，如供应链管理、项目管理和人力资源管理等。
为了解决资源分配问题，在实际工作中我们需要进行数学建模并寻求相应的解法。
本文将讨论资源分配问题的数学建模和解法研究。
2. 数学建模数学建模是一个抽象概念，是指将实际问题转化为数学问题的过程。
在资源分配问题中，我们需要确定以下几个关键因素进行建模：资源可分配量、需求量、约束条件和优化目标。
2.1 资源可分配量资源可分配量是指一定时间内可供分配的资源数量。
根据不同的资源类型，可分配量可以是物质资源、人力资源或财务资源等。
我们需要对不同资源的可用量进行量化和统计，以便在建模中进行计算和分析。
2.2 需求量需求量是指各个需求方对资源的实际需求量。
需求量可以是实际数据，也可以是根据历史数据或经验进行估计得出的预测值。
在建模过程中，我们需要获取和处理需求量数据，并进行适当的数学转化和归纳。
2.3 约束条件约束条件是指对资源分配过程中的限制条件。
这些限制条件可能包括可用资源的限制、时间限制、成本限制和技术限制等。
在建模过程中，我们需要将约束条件转化为数学表达式，并将其考虑到解法中。
2.4 优化目标优化目标是指在资源分配过程中需要最大化或最小化的指标。
例如，在供应链管理中，我们可能希望最小化成本或最大化利润。
在项目管理中，我们可能希望最小化项目完成时间或最大化项目效益。
在建模过程中，我们需要明确优化目标，并将其转化为数学目标函数。
3. 解法研究针对资源分配问题，已经发展出了多种解法，包括线性规划、整数规划、动态规划和启发式算法等。
3.1 线性规划线性规划是一种基于线性数学模型的优化方法。
它将资源分配问题转化为一个线性目标函数和一组线性约束条件的优化问题。
通过线性规划方法，我们可以求解出最优的资源分配方案，使得目标函数达到最大或最小值。
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甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 3
甲
乙
丙
4
5
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 5
f 2 (5) max {g 2 ( x2 ) f 3 ( s3 )}
0 x2 s 2
乙 0 5 10 11 11 11
丙
s3 = 5
f 3 (5) 12
x3*(5) = 4,5
0 4 6 11 12 12
结果可写 成表格的 形式:
x3 s3 0 1 2 3 4 5 0 0 1 4
4
5
f3(s3) x*3
11
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
k =2，s3 = s2 - x2，s2=0,1,2,3,4,5，0 x2 s2，有
x2*(1) =1
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3
g 2 (0) f 3 (1) m ax x 2 0 ,1 g (1) f ( 0 ) 3 2 0 4 m ax 5 x 2 0 ,1 5 0
s2 = 0
0 x 2 s 2
s3 s2 x2
f 2 (0) max { g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )} g 2 (0) 0
x2*(0) = 0
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3 4 5 f3(s3) x*3
x2*(3) =2
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 1 4 6 2
g3(x3) 3 4 5
f3(s3) x*3
甲
乙
丙
11
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s3的可达状态集合
决策变量 0 ukx (s kk) sk
s2的可达状态集合
s1的可达状态集合
3个阶段 如何划分 阶段
甲 乙 丙
状态转移方程？
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s1
x1 1
s2
x2 2
s3
x3 3
s4
sk 1 sk xk
资源分配问题
1 资源平行分配问题
不考虑回收 设有某种原料，总数量为 a，用于生产 n 种产 品。若分配数量 xi 用于生产第 i 种产品，其收益为 gi ( xi )，问应如何分配，才能使生产 n 种产品的总 收入最大？ Max Z = g1(x1)+g2(x2)+ +gn(xn) s.t. x 1+ x 2 + + x n = a xi 0 i = 1, 2, , n 静态规 划模型
3
g 3 ( 0) 0
3
s3 = 1
s3 = 2
f 3 (2) 6
f 3 (1) m ax{ g 3 ( x 3 ) f 4 ( s 4 )} x *(1) = 1 3 0 x 3 s3 g 3 ( 0 ) m ax 4 x 3 0 ,1 g 3 (1) 甲 乙 丙
x2
0 x1 s1
s2
f2(s2) 0 5 10 14 16 21
x*2 0 1 2 2 1,2 2
甲
乙
丙
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
结果可写成表格的形式
x1 s1 5 0 1 0+21 3+16 g1(x1)+f2(s1-x1) 2 3 7+14 4 5 f1(s1) 21 x*1 0,2
x3*(2) = 2
s3 = 3 f 3 (3) 11
x3*(3) = 3
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s3 = 4
f 3 (4) 12
x3*(4) = 4
甲 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 2 3 6 0 3 7 9 12 13
9+10 12+5 13+0
最优分配方案一：由 最优分配方案？ x1* = 0，根据 s2 = s1- x1* = 5- 0 = 5，查表知 x2* = 2，由s3 = s2- x2* = 5 - 2 = 3，故 x3* = s3 =3。即得甲工厂分配0台，乙工厂分配2台，丙 工厂分配3台。
最优分配方案二：由 x1* = 2，根据 s2 = s1 - x1* = 5- 2 = 3，查表知 x2*= 2，由 s3 = s2 - x2*= 3 - 2 =1， 故 x3* = s3 =1。即得甲工厂分配2台，乙工厂分配2台， 丙工厂分配1台。 以上两个分配方案所得到的总盈利均为21万元。 问题： 如果原设备台数是4台，求最优分配方案？ 如果原设备台数是3台，求最优分配方案？
例3 某公司拟将5台某种设备分配给所属的甲、 乙、丙三个工厂，各工厂若获得这种设备，可以为 公司提供的盈利如表。 问：这五台设备如何分配给各工厂，才能使公 司得到的盈利最大。
工厂 盈利 设备台数
甲
乙
丙
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
f3(s3) x*3
0 x 2 s 2
x2*(4) =1,2
x3 s3 0 0 0 1 2 3 4 5 g3(x3) 1 4 6 11 2 3
f 3 ( 4) 0 12 5 11 f 3 ( 3) f 3 ( 2) m ax 10 6 x 2 0 ,1 , 2 , 3 , 4 11 4 f 3 (1) 11 0 f 3 ( 0)
4
5
f3(s3) x*3
甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 2
f 2 ( 2) max{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )}
f2(s2) 0 5 10 14 16 21
x*2 0 1 2 2 1,2 2
k =1时， s2 = s1 - x1， s1 = 5， 0 x1 s1，有
f 1 ( s1 ) max{ g1 ( x1 ) f 2 ( s 2 )} g 1 ( 0) f 2 ( 5) 0 21 g1 (1) f 2 (4) 3 16 g ( 2 ) f ( 3 ) 1 7 14 2 max max 21 x1 , 0 ,1, 2 , 3 , 4 , 5 g 1 ( 3) f 2 ( 2) 9 10 g1 (4) f 2 (1) 12 5 x1*(5) =0,2 13 0 g 1 ( 5) f 2 ( 0)
甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
s2 = 1
f 2 (1) m ax{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )}
0 x 2 s2
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
状态转移方程: 基本方程：
sk+1 = sk - xk
xk的取值 范围？ Dk ( sk )={ uk|0uk= xk sk }
ax[ g k x k f k 1 ( s k 1 )] f k s k 0m x k sk f 4 ( s4 ) 0
s2 = 4
f 2 (4) m ax{ g 2 ( x 2 ) f 3 ( s 3 )} g 2 ( 0) g 2 (1) m ax g 2 ( 2) x 2 0 ,1 , 2 , 3 , 4 g 2 ( 3) g ( 4) 2 16
4
5
f3(s3) x*3
甲
乙
丙
12 12 12
0 4 6 11 12 12
0 1 2 3 4 4,5
0 1 2 3 4 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
结果列于下表：
x2 g2(x2)+f3(s2-x2)