动态规划 求解资源分配 实验报告

动态规划求解资源分配

实验目标：

（1）掌握用动态规划方法求解实际问题的基本思路。

（2）进一步理解动态规划方法的实质，巩固设计动态规划算法的基本步骤。

实验任务：

（1）设计动态规划算法求解资源分配问题，给出算法的非形式描述。

（2）在Windows环境下用C语言实现该算法。计算10个实例，每个实例中n=30，m=10，C i j为随机产生于范围（0，103）内的整数。记录各实例的数据及执行结果（即最优分配方案、最优分配方案的值）、运行时间。

（3）从理论上分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释相应的实验结果。

实验设备及环境：

PC；C/C++等编程语言。

实验主要步骤：

(1)认真阅读实验目的与实验任务，明确本次实验的内容；

(2)分析实验中要求求解的问题，根据动态规划的思想，得出优化方程；

(3)从问题出发，设计出相应的动态规划算法，并根据设计编写程序实现算法；

(4)设计实验数据并运行程序、记录运行的结果；

(5)分析算法的时间和空间复杂度，并由此解释释相应的实验结果；

问题描述：资源分配问题

某厂根据计划安排，拟将n台相同的设备分配给m个车间，各车间获得这种设备后，可以为国家提供盈利C i j(i台设备提供给j号车间将得到的利润，1≤i≤n，1≤j≤m) 。问如何分配，才使国家得到最大的盈利？

1.问题分析：

本问题是一简单资源分配问题，由于具有明显的最优子结构，故可以使用动态规划求解，用状态量f[i][j]表示用i台设备分配给前j个车间的最大获利，那么显然有f[i][j] = max{ f[k][j–1] + c[i-k][j] }，0<=k<=i。再用p[i][j]表示获得最优解时第j号车间使用的设备数为i-p[i][j]，于是从结果倒推往回求即可得到分配方案。程序实现时使用顺推，先枚举车间数，再枚举设备数，再枚举状态转移时用到的设备数，简单3重for循环语句即可完成。时间复杂度为O(n^2*m)，空间复杂度为O(n*m)，倘若此题只需求最大获利而不必求方案，则状态量可以减少一维，空间复杂度优化为O(n)。

程序代码：

#include

#include

#include

#include

#include

#define N 31

#define M 11

int c[N][M], f[N][M], p[N][M];

int main() {

int i, j, n, m, k;

srand(time(NULL));

n = 30; m = 10;

for (int cas = 1; cas <= 5; ++cas) {

cout<<"第"<

memset(c, 0, sizeof(c));

for (i = 1; i <= n; ++i)

for (j = 1; j <= m; ++j)

c[i][j] = rand() % 1000;

cout<<"利润表："<

cout<<" ";

for (j = 1; j <= m; ++j)

cout<

cout<

for (i = 1; i <= n; ++i) {

cout<

for (j = 1; j <= m; ++j)

cout<

cout<

}

memset(f, 0, sizeof(f));

memset(p, -1, sizeof(p));

for (j = 1; j <= m; ++j)

for (i = 1; i <= n; ++i)

for (k = 0; k <= i; ++k)

if (f[i][j] < f[k][j - 1] + c[i - k][j]) {

f[i][j] = f[k][j - 1] + c[i - k][j];

p[i][j] = k;

}

cout<<"最大获利："<

cout<<"资源分配匹配方案："<

k = n;

for (j = m; j >= 1; --j) {

cout<<"第"<

k = p[k][j];

}

cout<

}

return 0;

}

实验小结：

本次是实验是一次动态规划的实验，而本次实验的主要内容就是把动态规划的过程弄清楚，这也是本次实验的难点。动态规划可得到一系列的解，求动态规划的基本步骤等都要有所理解。