高考数学课时作业67 文(含解析)北师大版(1)

课时作业(六十七)
一、选择题
1．如图，E 是▱ABCD 边BC 上一点，BE EC ＝4，AE 交BD 于F ，BF FD
等于 ( ) A.45 B.49 C.59
D.410
解析：在AD 上取点G ，使AG ：GD ＝1：4，连接CG 交BD 于H ，则CG ∥AE ，
∴BF FH ＝BE CE ＝4，DH FH ＝DG GA ＝4，∴BF FD ＝45
. 答案：A
2．AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为( )
A．105°B．115°
C．120°D．125°
解析：∵PC是⊙O的切线，∴∠BDC＝∠PCB，
又∠ADB＝∠ACB，∴∠ADC＝∠ACB＋∠PCB＝115°.
答案：B
3．如图，⊙O与⊙O′相交于A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q和M，交AB的延长线于N，MN＝3，NQ＝15，则PN＝( )
A．3 B.15
C．3 2 D．3 5
解析：由切割线定理知：
PN2＝NB·NA＝MN·NQ＝3×15＝45，
∴PN＝3 5.
答案：D
4．(2012年北京)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( ) A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
解析：由切割线定理得，CD2＝CE·CB，
又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD，
∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB.
答案：A
5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，BC为半圆的切线，且BC＝43，则点O 到AC的距离OD＝( )
A. 3 B．3
C．3 3 D．4
解析：由已知得∠CBA＝90°，因为BC＝43，∠BAC＝30°，所以AB＝
BC
tan30°
＝
43
3
3
＝12，故AO＝6，由于∠ODA＝90°，所以OD＝3.
答案：B
6．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝( ) A．5 B．6
C．3 3 D．4 2
解析：由三角形相似可得DE2＝DF·DB，连接AD，则DE2＝AE·EB＝1×5＝5.所以DF·DB ＝5.
答案：A
二、填空题
7．(2012年广东)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
解析：连接AO，则由∠ABC＝30°知∠AOP＝60°.
又OA＝1，∴PA＝OA·tan 60°＝ 3.
答案： 3
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过A、B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝5－1，则AC＝________.
解析：由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°， ∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，
又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2
＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案：2
9．(2012年天津)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝3
2
，则线段CD 的长为________． 解析：在圆中，由相交弦定理：AF ·FB ＝EF ·FC ， ∴FC ＝AF ·FB EF ＝2，由三角形相似，FC BD ＝AF
AB ， ∴BD ＝
FC ·AB AF ＝8
3
. 由切割弦定理：DB 2
＝DC ·DA ， 又DA ＝4CD ，∴4DC 2
＝DB 2
＝649.∴DC ＝43
. 答案：4
3
三、解答题
10．如图，等边三角形ABC 内接于圆O ，D 为劣弧BC 上一点，连接BD ，CD 并延长分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F .
求证：CE ·BF ＝BC 2
.
证明：因为△ABC 内接于圆O ，且∠BAC ＝60°， 所以∠BDC ＝120°. 所以∠DBC ＋∠DCB ＝60°.
又∠BFC ＋∠DCB ＝60°，所以∠DBC ＝∠BFC . 同理，∠DCB ＝∠CEB ，所以△CBE ∽△BFC . 所以BF BC ＝BC CE
，即BC 2
＝BF ·CE .
11．(2012年深圳模拟)如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°.以AB 为直径的圆O 交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点．连接OD 交圆O 于点M .求证：
(1)O ，B ，D ，E 四点共圆； (2)2DE 2
＝DM ·AC ＋DM ·AB . 证明：
(1)如图，连接BE ，OE ，则BE ⊥EC . 又D 是BC 的中点，所以DE ＝BD . 又OE ＝OB ，OD ＝OD ，所以△ODE ≌△ODB ，
所以∠OBD ＝∠OED ＝90°，所以D ，E ，O ，B 四点共圆． (2)延长DO 交圆O 于点H .
因为DE 2
＝DM ·DH ＝DM ·(DO ＋OH )＝DM ·DO ＋DM ·OH ＝DM ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ＋DM ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12AB ，
所以2DE 2
＝DM ·AC ＋DM ·AB .
12．(2012年辽宁)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆
于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .证明：
(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .
证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB . 从而AC AD ＝AB BD
，即AC ·BD ＝AD ·AB .
(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝AD BD
，即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，AC ＝AE . [热点预测]
13．如图，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则∠PCE ＝________.
解析：由切割线性质得：PE 2
＝PB ·PA ，即PE PA ＝PB PE
，
∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠PAE ，又△PEA 的内角和为2(∠CPA ＋∠PAE )＋30°＝180°，所以∠CPA ＋∠PAE ＝75°，即∠PCE ＝75°.
答案：75°
14．如图，PA与圆O相切于点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA＝30°，PA＝23，PC＝1，则圆O的半径等于________．
解析：由已知可得，PA2＝PC·PB，∴PB＝12，连接OA并反向延长，交圆于点E，交BC 于D，且∠BPA＝30°，在Rt△APD中可以求得PD＝4，DA＝2，故CD＝3，DB＝8，记圆的半径为R，由于ED·DA＝CD·DB，因此，(2R－2)×2＝3×8，解得R＝7.
答案：7
15．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD ⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)求证：AM·MB＝DF·DA.
证明：
(1)连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC.
又∵CA是∠BAF的平分线，
∴∠DAC＝∠OAC.
∴∠DAC＝∠OCA.∴AD∥OC.又CD⊥AD，
∴OC⊥CD，即DC是⊙O的切线．
(2)∵CA是∠BAF的平分线，∠CDA＝∠CMA＝90°，
∴CD＝CM.
由(1)知DC2＝DF·DA，又CM2＝AM·MB，
∴AM·MB＝DF·DA.
11。