高一精选题库数学 课堂训练2-11
精选题库高一数学 课堂训练7-7
第7章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案：D解析：若l ∥α，则a ·n ＝0. 而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1，只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2答案：C解析：∵α∥β，∴(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴－2＝λ，k ＝－2λ，∴k ＝4.3．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案：D解析：如图建立坐标系，设AB ＝AD ＝1，AA 1＝2， cos 〈A 1B →，AD 1→〉 ＝A 1B →·AD 1→|A 1B →|·|AD 1→|＝(A 1A →＋AB →)·(AD →＋DD 1→)|A 1B →|·|AD 1→|＝0－2×2＋0＋05·5＝－45.故选D.4. [2012·辽宁沈阳]如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案：B解析：设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1,1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ，EF ∥BD 1.5. [2012·安徽调研]在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( )A. 64 B. －64 C.104D. －104答案：A解析：取AC 中点E ，连结BE ，则BE ⊥AC ， 如图，建立空间直角坐标系B －xyz ，]则A (32，12，0)，D (0,0,1)， 则AD →＝(－32，－12，1)．∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，BE ⊥AC ， ∴BE ⊥平面AA 1C 1C .∴BE →＝(32，0,0)为平面AA 1C 1C 的一个法向量，∴cos 〈AD →，BE →〉＝－64，设AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α， ∴sin α＝sin(〈AD →，BE →〉－π2)＝64.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( )A.12 B.23 C.33D.22答案：B解析：以A 为原点建系，设棱长为1.则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)， A 1E →＝(1,0，－12)，设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z ) 则⎩⎪⎨⎪⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2.∴n 1＝(1,2,2)，∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0.1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.即所成的锐二面角的余弦值为23.二、填空题(每小题7分，共21分)7．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________．答案：3010解析：建立坐标系如图， 则A (1,0,0)，E (0,2,1)， B (1,2,0)，C 1(0,2,2)， BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝ (－1,2,1)，cos 〈BC 1→·AE →〉 ＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.8．四棱锥P —ABCD 的底面为边长2的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O ，且PO ＝1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为________．答案：－13解析：如图，建立坐标系．则P (0,0,1)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，D (－1,0,0)，∴PB →＝(1,0，－1)，BC →＝(－1,1,0)，PC →＝(0,1，－1)，CD →＝(－1，－1，0)． 设平面PBC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面PCD 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·PB →＝x 1－z 1＝0n 1·BC →＝－x 1＋y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝y 2－z 2＝0n 2·CD →＝－x 2－y 2＝0.令x 1＝1，则z 1＝1，y 1＝1； 令y 2＝1，则z 2＝1，x 2＝－1， ∴n 1＝(1,1,1)，n 2＝(－1,1,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1＋1＋13·3＝13. 由题意可知，所成二面角余弦值为－13.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1－B 1的大小为________． 答案：120°解析：如下图，以C 为原点建立空间直角坐标系C －xyz ，设正方体的棱长为a ，则A (a ，a,0)，B (a,0,0)，D 1(0，a ，a )，B 1(a,0，a )．∴BA →＝(0，a,0)，BD 1→＝(－a ，a ，a )，BB 1→＝(0,0，a )， 设平面ABD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·BA →＝(x ，y ，z )·(0，a,0)＝ay ＝0，n ·BD 1→＝(x ，y ，z )·(－a ，a ，a )＝－ax ＋ay ＋az ＝0， ∵a ≠0，∴y ＝0，x ＝z ，令x ＝z ＝1，则n ＝(1,0,1)， 同理平面B 1BD 1的法向量m ＝(－1，－1,0)， cos 〈n ，m 〉＝n·m |n |·|m |＝－12.而二面角A －BD 1－B 1为钝角，故为120°.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. [2011·陕西]如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值． 解：(1)∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由∠BDC ＝90°及(1)知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |＝1，以D 为坐标原点，以DB →，D C →，D A →所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,3,0)，A (0,0，3)，E (12，32，0)，∴AE →＝(12，32，－3)，DB →＝(1,0,0)，∴AE →与DB →夹角的余弦值为cos 〈AE →，DB →〉＝AE →·DB →|AE →||DB →|＝121×224＝2222.11．在三棱锥V －ABC 中，VC ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，且AC ＝BC ＝a ，∠VDC ＝θ(0<θ<π2)．(1)求证：平面VAB ⊥平面VCD ；(2)当角θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．解：(1)以射线CA ，CB ，CV 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (a,0,0)，B (0，a,0)，D (a 2，a 2，0)，V (0,0，22a tan θ)．于是，VD →＝(a 2，a 2，－22a tan θ)，CD →＝(a2，a 2，0)，AB →＝(－a ，a,0)．从而AB →·CD →＝(－a ，a,0)·(a 2，a 2，0)＝－12a 2＋12a 2＋0＝0，即AB ⊥CD ；同理AB →·VD →＝(－a ，a,0)·(a 2，a 2，－22a tan θ)＝－12a 2＋12a 2＋0＝0，即AB ⊥VD .又CD ∩VD ＝D ，∴AB ⊥平面VCD.又AB平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD .(2)设直线BC 与平面VAB 所成的角为φ，平面VAB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝0，n ·VD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，a 2x ＋a 2y －22az tan θ＝0.可取n ＝(1,1，2tan θ)，又BC →＝(0，－a,0)，于是sin φ＝|cos 〈n ，BC →〉|＝|n ·BC →||n |·|BC →|＝a2＋2tan 2θ·a ＝22sin θ，∵0<θ<π2，∴0<sin θ<1， 0<sin φ<22.又0≤φ≤π2，∴0<φ<π4.即直线BC 与平面VAB 所成角的取值范围为(0，π4)． 12. [2011·四川]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1.D 是棱CC 1上的一点，P是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．解：(1)连接AB 1与A 1B 交于点F ，且F 为AB 1的中点，再连接DF .∵PB 1∥平面BDA 1，PB 1 平面PB 1A ，平面PB 1A ∩平面BDA 1＝DF ， ∴PB 1∥DF ， ∴D 为AP 的中点． 在△P AA 1中，DC 1∥AA 1， ∴C 1为A 1P 的中点， ∴△ACD ≌△PC 1D ， ∴CD ＝DC 1.(2)以A 1B 1、A 1C 1、A 1A 分别为x 、y 、z 轴建立空间坐标系． ∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴B 1(1,0,0)，P (0,2,0)，D (0,1，12)，B (1,0,1)，A (0,0,1)，C (0,1,1)， 由于A 1B 1⊥平面AA 1D ，∴平面AA 1D 的一个法向量n 1＝(1,0,0)． 设平面BA 1D 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )．∵A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝(0,1，12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1B →＝0，n 2·A 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0y ＋12z ＝0.取z ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1，∴n 2＝(－2，－1,2)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23＝－23. 由图形可得，二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.(3)设平面B 1DP 的法向量为n 3＝(x ′，y ′，z ′)， B 1P →＝(－1,2,0)，B 1D →＝(－1,1，12)，⎩⎪⎨⎪⎧n 3·B 1P →＝0，n 3·B 1D →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ′＋2y ′＝0－x ′＋y ′＋12z ′＝0， 取z ′＝2，则y ′＝1，x ′＝2， ∴n 3＝(2,1,2)，CD →＝(0,0，－12)，∴点C 到面B 1DP 的距离d ＝|CD →·n 3||n 3|＝122＋1＋22＝13.。
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习(一课一练,附解析)
新教材人教A版高中数学必修第一册全册课时练习1.1.1集合的概念 (2)1.1.2集合的表示 (3)1.2集合间的基本关系 (5)1.3.1并集与交集 (7)1.3.2补集及集合运算的综合应用 (8)1.4.1充分条件与必要条件 (11)1.4.2充要条件 (12)1.5.1全称量词与存在量词 (13)1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 (14)2.1等式性质与不等式性质 (16)2.2.1基本不等式 (17)2.2.2利用基本不等式求最值 (18)2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式 (19)2.3.2一元二次不等式的应用 (20)3.1.1.1函数的概念 (21)3.1.1.2函数概念的应用 (22)3.1.2.1函数的表示法 (24)3.1.2.2分段函数 (25)3.2.1.1函数的单调性 (26)3.2.2.1函数奇偶性的概念 (30)3.2.2.2函数奇偶性的应用 (32)3.3幂函数 (36)3.4函数的应用(一) (37)4.1.1根式 (40)4.1.2指数幂及其运算 (41)4.2.1指数函数及其图象性质 (43)4.2.2指数函数的性质及其应用 (44)4.3.1对数的概念 (47)4.3.2 对数的运算 (48)4.4.1对数函数及其图象 (49)4.2.2对数函数的性质及其应用 (51)4.4.3不同函数增长的差异 (53)4.5.1函数的零点与方程的解 (54)4.5.2用二分法求方程的近似解 (57)4.5.3函数模型的应用 (58)5.1.1任意角 (60)5.1.2弧度制 (61)5.2.1三角函数的概念 (62)5.2.2同角三角函数的基本关系 (64)5.3.1诱导公式二、三、四 (66)5.3.2诱导公式五、六 (67)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (69)5.4.2.1正弦函数、余弦函数的性质(一) ...................................................................... 71 5.4.2.2正弦函数、余弦函数的性质(二) ...................................................................... 73 5.4.3正切函数的性质与图象 ........................................................................................ 75 5.5.1.1两角差的余弦公式 ............................................................................................. 76 5.5.1.2两角和与差的正弦、余弦公式 ......................................................................... 78 5.5.1.3两角和与差的正切公式 ..................................................................................... 80 5.5.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式 ..................................................................... 81 5.5.2.1简单的三角恒等变换 ......................................................................................... 83 5.5.2.2三角恒等变换的应用 ......................................................................................... 84 5.6.1函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) .......................................................................... 86 5.6.2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(二) .......................................................................... 88 5.7三角函数的应用 . (90)1.1.1集合的概念1．已知a ∈R ，且a ∉Q ，则a 可以为( ) A ． 2 B ．12 C ．－2 D ．－13[解析]2是无理数，所以2∉Q ，2∈R .[答案] A2．若由a 2,2019a 组成的集合M 中有两个元素，则a 的取值可以是( ) A ．a ＝0 B ．a ＝2019 C ．a ＝1D ．a ＝0或a ＝2019[解析] 若集合M 中有两个元素，则a 2≠2019a .即a ≠0，且a ≠2019.故选C ． [答案] C3．下列各组对象能构成集合的有( )①接近于0的实数；②小于0的实数；③(2019,1)与(1,2019)；④1,2,3,1. A ．1组 B ．2组 C ．3组D ．4组[解析] ①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2019,1)与(1,2019)是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，注意该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，根据集合中元素的互异性，可知构成的集合为{1,2,3}．[答案] C4．若方程ax2＋ax＋1＝0的解构成的集合中只有一个元素，则a为( )A．4 B．2C．0 D．0或4[解析] 当a＝0时，方程变为1＝0不成立，故a＝0不成立；当a≠0时，Δ＝a2－4a ＝0，a＝4，故选A．[答案] A5．下列说法正确的是________．①及第书业的全体员工形成一个集合；②2019年高考试卷中的难题形成一个集合；③方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有3个元素；④x，3x3，x2，|x|形成的集合中最多有2个元素．[解析] ①及第书业的全体员工是一个确定的集体，能形成一个集合，正确；②难题没有明确的标准，不能形成集合，错误；③方程x2－1＝0的解为x＝±1，方程x＋1＝0的解为x＝－1，由集合中元素的互异性知，两方程所有解组成的集合中共有2个元素1，－1，故错误；④x＝3x3，x2＝|x|，故正确．[答案] ①④1.1.2集合的表示1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )A．{1,1} B．{1}C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}[解析] ∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.[答案] B2．已知集合A＝{x∈N*|－5≤x≤5}，则必有( )A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．1∈A[解析] ∵x∈N*，－5≤x≤5，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A，选D. [答案] D3．一次函数y ＝x －3与y ＝－2x 的图象的交点组成的集合是( ) A ．{1，－2} B ．{x ＝1，y ＝－2} C ．{(－2,1)}D ．{(1，－2)}[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，y ＝－2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴交点为(1，－2)，故选D.[答案] D4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示集合B 为________． [解析] 当t ＝－2时，x ＝4； 当t ＝2时，x ＝4； 当t ＝3时，x ＝9； 当t ＝4时，x ＝16； ∴B ＝{4,9,16}． [答案] {4,9,16}5．选择适当的方法表示下列集合： (1)绝对值不大于2的整数组成的集合；(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解组成的集合； (3)一次函数y ＝x ＋6图象上所有点组成的集合．[解] (1)绝对值不大于2的整数是－2，－1,0,1,2，共有5个元素，则用列举法表示为{－2，－1,0,1,2}．(2)方程(3x －5)(x ＋2)＝0的实数解仅有两个，分别是53，－2，用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫53，－2. (3)一次函数y ＝x ＋6图象上有无数个点，用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x ＋6}．课内拓展 课外探究 集合的表示方法1．有限集、无限集根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集．当集合中元素的个数有限时，称之为有限集；而当集合中元素的个数无限时，则称之为无限集．当集合为有限集，且元素个数较少时宜采用列举法表示集合；对元素个数较多的集合和无限集，一般采用描述法表示集合．对于元素个数较多的集合或无限集，其元素呈现一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示．【典例1】 用列举法表示下列集合： (1)正整数集；(2)被3整除的数组成的集合．[解] (1)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{1,2,3,4，…}．(2)此集合为无限集，且有一定规律，用列举法表示为{…，－6，－3,0,3,6，…}．[点评] (1){1,2,3,4，…}一般不写成{2,1,4,3，…}；(2)此题中的省略号不能漏掉．2．集合含义的正确识别集合的元素类型多是以数、点、图形等形式出现的．对于已知集合必须弄清集合元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合要弄清它的代表元素是什么，代表元素有何属性(如表示数集、点集等)．【典例2】已知下面三个集合：①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．问：它们是否为同一个集合？它们各自的含义是什么？[解] ∵三个集合的代表元素互不相同，∴它们是互不相同的集合．集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，即满足条件y＝x2＋1中的所有x，∴{x|y＝x2＋1}＝R.集合②{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，∴{y|y ＝x2＋1}＝{y|y≥1}．集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可认为是满足条件y＝x2＋1的实数对(x，y)的集合，也可认为是坐标平面内的点(x，y)，且这些点的坐标满足y＝x2＋1.∴{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．[点评] 使用特征性质描述来表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，如本题中元素的属性都与y＝x2＋1有关，但由于代表元素不同，因而表示的集合也不一样．1.2集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A ．4B ．7C ．8D ．16[解析] A ＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A ＝{3，－1}，集合B ＝{|x －1|，－1}，且A ＝B ，则实数x 等于( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－2D ．2[解析] ∵A ＝B ，∴|x －1|＝3，解得x ＝4或x ＝－2. [答案] C4．已知集合A ⊆{0,1,2}，且集合A 中至少含有一个偶数，则这样的集合A 的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}，已知B ⊆A . (1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．[解] (1)当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅，符合题意． 当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅. 由B ⊆A ，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <－2或0≤m ≤52. (2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.1.3.1并集与交集1．设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x <3}，则(A ∩C )∪B ＝( ) A ．{2} B ．{2,3} C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}[解析] 因为A ∩C ＝{1,2}，所以(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，选D. [答案] D2．集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈R |x 2≤9}，则P ∩M 等于( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{x |0≤x ≤3}D ．{x |0≤x <3}[解析] 由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}， 故P ∩M ＝{0,1,2}． [答案] B3．已知集合A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B[解析] ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B.[答案] B4．设集合M ＝{x |－3≤x <7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则实数k 的取值范围为________．[解析] 因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－k 2，且M ∩N ≠∅，所以－k2≥－3⇒k ≤6.[答案] k ≤65．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．[解] (1)由题意得M ＝{2}．当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}．(2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N .∵M ＝{2}，∴2∈N . ∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.1.3.2补集及集合运算的综合应用1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}[解析] ∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．故选D.[答案] D2．已知三个集合U，A，B之间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( )A．{3} B．{0,1,2,4,7,8}C．{1,2} D．{1,2,3}[解析] 由Venn图可知U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,3}，B＝{3,5,6}，所以(∁U B)∩A＝{1,2}．[答案] C3．设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1,3,7}，B＝{2,3,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．{1,2,7,8} B．{4,5,6}C．{0,4,5,6} D．{0,3,4,5,6}[解析] ∵U＝{x∈N|x≤8}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U A＝{0,2,4,5,6,8}，∁U B＝{0,1,4,5,6,7}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{0,4,5,6}．[答案] C4．全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|0<x<5}，则∁U A＝________.[解析] ∁U A＝{x|5≤x<10}，如图所示．[答案] {x|5≤x<10}5．设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，且∁U A＝{5}，求实数a的值．[解] ∵∁U A＝{5}，∴5∈U，但5∉A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4.当a＝2时，|2a－1|＝3，这时A＝{3,2}，U＝{2,3,5}．∴∁U A＝{5}，适合题意．∴a＝2.当a＝－4时，|2a－1|＝9，这时A＝{9,2}，U＝{2,3,5}，A⃘U，∴∁U A无意义，故a ＝－4应舍去．综上所述，a＝2.课内拓展课外探究空集对集合关系的影响空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集．空集就像一个无处不在的幽灵，解题时需处处设防，提高警惕．空集是任何集合的子集，其中“任何集合”当然也包括了∅，故将会出现∅⊆∅.而此时按子集理解不能成立，原因是前面空集中无元素，不符合定义，因此知道这一条是课本“规定”．空集是任何非空集合的真子集，即∅A(而A≠∅)．既然A≠∅，即必存在a∈A而a∉∅，∴∅A.由于空集的存在，关于子集定义的下列说法有误，如“A⊆B，即A为B中的部分元素所组成的集合”．因为从“部分元素”的含义无法理解“空集是任何集合的子集”、“A是A 的子集”、“∅⊆∅”等结论．在解决诸如A⊆B或A B类问题时，必须优先考虑A＝∅时是否满足题意．【典例1】已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，求满足B⊆A 的a的值组成的集合．[解] 由已知得A＝{－2,4}，B是关于x的一元二次方程x2＋ax＋a2－12＝0(*)的解集．方程(*)根的判别式Δ＝a2－4(a2－12)＝－3(a2－16)．(1)若B＝∅，则方程(*)没有实数根，即Δ<0，∴－3(a2－16)<0，解得a <－4或a >4.此时B ⊆A .(2)若B ≠∅，则B ＝{－2}或{4}或{－2,4}．①若B ＝{－2}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝－2， ∴(－2)2＋(－2)a ＋a 2－12＝0，即a 2－2a －8＝0. 解得a ＝4或a ＝－2.当a ＝4时，恰有Δ＝0； 当a ＝－2时，Δ>0，舍去．∴当a ＝4时，B ⊆A . ②若B ＝{4}，则方程(*)有两个相等的实数根x ＝4， ∴42＋4a ＋a 2－12＝0，解得a ＝－2，此时Δ>0，舍去．③若B ＝{－2,4}，则方程(*)有两个不相等的实数根x ＝－2或x ＝4，由①②知a ＝－2，此时Δ>0，－2与4恰是方程的两根．∴当a ＝－2时，B ⊆A .综上所述，满足B ⊆A 的a 值组成的集合是{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}．[点评] ∅有两个独特的性质，即：(1)对于任意集合A ，皆有A ∩∅＝∅；(2)对于任意集合A ，皆有A ∪∅＝A .正因如此，如果A ∩B ＝∅，就要考虑集合A 或B 可能是∅；如果A ∪B ＝A ，就要考虑集合B 可能是∅.【典例2】 设全集U ＝R ，集合M ＝{x |3a －1<x <2a ，a ∈R }，N ＝{x |－1<x <3}，若N ⊆(∁UM )，求实数a 的取值集合．[解] 根据题意可知：N ≠∅，又∵N ⊆(∁U M )． ①当M ＝∅，即3a －1≥2a 时，a ≥1. 此时∁U M ＝R ，N ⊆(∁U M )显然成立． ②当M ≠∅，即3a －1<2a 时，a <1.由M ＝{x |3a －1<x <2a }，知∁U M ＝{x |x ≤3a －1或x ≥2a }．又∵N ⊆(∁U M )，∴结合数轴分析可知⎩⎪⎨⎪⎧a <1，3≤3a －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≤－1，得a ≤－12.综上可知，a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥1或a ≤－12. [点评] 集合的包含关系是集合知识重要的一部分，在后续内容中应用特别广泛，涉及集合包含关系的开放性题目都以子集的有关性质为主，因此需要对相关的性质有深刻的理解．对于有限集，在处理包含关系时可列出所有的元素，然后依条件讨论各种情况，找到符合条件的结果．1.4.1充分条件与必要条件1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断[解析] 因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故a＝2是(a－1)(a－2)＝0的充分条件，应选A.[答案] A2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )A．x>1 B．x<1C．x>3 D．x<3[解析] 因为x>2⇒x>1，所以选A.[答案] A3．下列命题中，是真命题的是( )A．“x2>0”是“x>0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件[解析] A中，x2>0⇒x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0⇒x2>0，故x2>0是x>0的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件．D中，|x|>1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故本题应选B.[答案] B4．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的____________条件．[答案] 不必要(填必要、不必要)5．(1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围．(2)已知M＝{x|a－1<x<a＋1}，N＝{x|－3<x<8}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．[解] (1)记A＝{x|x>2或x<1}，B＝{x|x<m}由题意可得B⊆A，即{x|x<m}⊆{x|x>2或x<1}．所以m ≤1.故m 的取值范围为{m |m ≤1}． (2)因为N 是M 的必要条件，所以M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7.故a 的取值范围为{a |－2≤a ≤7}．1.4.2充要条件1．设x ∈R ，则“x <－1”是“|x |>1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．[答案] A2．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．[答案] B3．已知A ，B 是非空集合，命题p ：A ∪B ＝B ，命题q ：A B ，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件[解析] 由A ∪B ＝B ，得A B 或A ＝B ；反之，由A B ，得A ∪B ＝B ，所以p 是q 的必要不充分条件．[答案] D4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________． [解析] 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0. [答案] a <05．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[证明] 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y.②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0. 所以1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.1.5.1全称量词与存在量词1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A ．任何一个实数乘0都等于0 B ．自然数都是正整数C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数D ．一定存在没有最大值的二次函数 [解析] D 选项是存在量词命题． [答案] D2．下列命题中，存在量词命题的个数是( )①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．[答案] B3．下列命题是“∀x ∈R ，x 2>3”的另一种表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3 C ．任选一个x ∈R ，使得x 2>3 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3[解析] “∀x ∈R ，x 2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． [答案] C4．对任意x >8，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． [解析] ∵对于任意x >8，x >a 恒成立，∴大于8的数恒大于a ，∴a ≤8. [答案] a ≤85．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？并判断其真假． (1)∃x ∈R ，|x |＋2≤0；(2)存在一个实数，使等式x 2＋x ＋8＝0成立；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )都对应一点． [解] (1)存在量词命题．∵∀x ∈R ，|x |≥0，∴|x |＋2≥2，不存在x ∈R ， 使|x |＋2≤0.故命题为假命题． (2)存在量词命题．∵x 2＋x ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋314>0，∴命题为假命题．(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x ，y )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定1．命题“∃x ∈R ，x 2－2x －3≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x －3≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－2x －3≥0 C ．∃x 0∈R ，x 2－2x －3>0 D ．∀x ∈R ，x 2－2x －3>0[解析] 存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.[答案] D2．已知命题p ：∀x >0，x 2≥2，则它的否定为( )A ．∀x >0，x 2<2 B ．∀x ≤0，x 2<2 C ．∃x ≤0，x 2<2 D ．∃x >0，x 2<2[答案] D3．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数 B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除[解析] 全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.[答案] C4．对下列命题的否定，其中说法错误的是( )A ．p ：∀x ≥3，x 2－2x －3≥0；p 的否定：∃x ≥3，x 2－2x －3<0B ．p ：存在一个四边形的四个顶点不共圆；p 的否定：每一个四边形的四个顶点共圆C ．p ：有的三角形为正三角形；p 的否定：所有的三角形不都是正三角形D ．p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0；p 的否定：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0[解析] 若p ：有的三角形为正三角形，则p 的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C 错误．[答案] C5．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1≤0.[解] (1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假命题． (2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题．(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180°”，这个命题为真命题．(4)题中命题的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0”，这个命题为真命题．因为x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋14＋34＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34>0.2.1等式性质与不等式性质1．下列说法正确的为( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] ∵1x ＝1y，且x ≠0，y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＝y .[答案] A2．设a ，b 为非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b[解析] 用a ＝－1，b ＝1，试之，易排除A ，D.再取a ＝1，b ＝2，易排除B. [答案] C3．下列命题中正确的个数是( ) ①若a >b ，b ≠0，则a b>1； ②若a >b ，且a ＋c >b ＋d ，则c >d ； ③若a >b ，且ac >bd ，则c >d . A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] ①若a ＝2，b ＝－1，则不符合；②取a ＝10，b ＝2，c ＝1，d ＝3，虽然满足a >b 且a ＋c >b ＋d ，但不满足c >d ，故错；③当a ＝－2，b ＝－3，取c ＝－1，d ＝2，则不成立．[答案] A4．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系为________． [解析] ∵x ≠2或y ≠－1，∴M －N ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0，∴M >N . [答案] M >N5．若－1≤a ≤3,1≤b ≤2，则a －b 的范围为________． [解析] ∵－1≤a ≤3，－2≤－b ≤－1， ∴－3≤a －b ≤2. [答案] －3≤a －b ≤22.2.1基本不等式1．若ab >0，则下列不等式不一定能成立的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab B ．a 2＋b 2≥－2ab C ．a ＋b2≥abD ．b a ＋a b≥2[解析] C 选项由条件可得到a 、b 同号，当a 、b 均为负号时，不成立． [答案] C 2．已知a >1，则a ＋12，a ，2aa ＋1三个数的大小顺序是( ) A.a ＋12<a <2a a ＋1 B.a <a ＋12<2aa ＋1C.2a a ＋1<a <a ＋12 D.a <2a a ＋1≤a ＋12 [解析] 当a ，b 是正数时，2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R ＋)，令b ＝1，得2aa ＋1≤a ≤a ＋12.又a >1，即a ≠b ，故上式不能取等号，选C.[答案] C3.b a ＋ab≥2成立的条件是________．[解析] 只要b a 与a b都为正，即a 、b 同号即可． [答案] a 与b 同号4．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. [证明] 因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋ab ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋c b≥2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝bc， 即a ＝b ＝c 时，等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6.2.2.2利用基本不等式求最值1．已知y ＝x ＋1x－2(x >0)，则y 有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最小值为－2D ．最小值为2[答案] B2．已知0<x <1，则当x (1－x )取最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.14D.23[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (1－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，等号成立．[答案] B3．已知p ，q ∈R ，pq ＝100，则p 2＋q 2的最小值是________． [答案] 2004．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. [解析] 由基本不等式，得4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a2时，等号成立，即a2＝3，a ＝36.[答案] 365．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？[解] 由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式1．不等式－x 2－5x ＋6≤0的解集为( ) A ．{x |x ≥6或x ≤－1} B ．{x |－1≤x ≤6} C ．{x |－6≤x ≤1}D ．{x |x ≤－6或x ≥1}[解析] 由－x 2－5x ＋6≤0得x 2＋5x －6≥0， 即(x ＋6)(x －1)≥0， ∴x ≥1或x ≤－6. [答案] D2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为2，－1，则当a <0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >2}B ．{x |x ≤－1或x ≥2}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |－1≤x ≤2}[解析] 结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象可得{x |－1≤x ≤2}，故选D. [答案] D3．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7<x <－1}，那么a 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[解析] 由题可知－7和－1为ax 2＋8ax ＋21＝0的两个根，∴－7×(－1)＝21a，a ＝3.[答案] C4．不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为________． [解析] ∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0， ∴不等式x 2－4x ＋5≥0的解集为R . [答案] R5．当a >－1时，关于x 的不等式x 2＋(a －1)x －a >0的解集是________． [解析] 原不等式可化为(x ＋a )(x －1)>0， 方程(x ＋a )(x －1)＝0的两根为－a,1， ∵a >－1，∴－a <1，故不等式的解集为{x |x <－a 或x >1}． [答案] {x |x <－a 或x >1}2.3.2一元二次不等式的应用1．不等式x －2x ＋3>0的解集是( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |x >2} C ．{x |x <－3或x >2} D ．{x |x <－2或x >3}[解析] 不等式x －2x ＋3>0⇔(x －2)(x ＋3)>0的解集是{x |x <－3或x >2}，所以C 选项是正确的．[答案] C2．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}． [答案] B3．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2B ．m <2C ．m <0或m >2D ．0<m <2[解析] 由题意得Δ＝m 2－4×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2.[答案] D4．已知不等式x 2＋ax ＋4<0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≤－4或a ≥4D ．a <－4或a >4[解析] 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A. [答案] A5．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈R )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台 [解析] 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. [答案] C3.1.1.1函数的概念1．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2)D ．[1，＋∞)[解析] 由题意可知，要使函数有意义，需满足{ x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2.[答案] A2．函数y ＝1－x 2＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤－1}D ．{x |0≤x ≤1}[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.[答案] D 3．函数f (x )＝(x ＋2)(1－x )x ＋2的定义域为( )A ．{x |－2≤x ≤1}B ．{x |－2<x <1}C ．{x |－2<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(1－x )≥0，x ＋2≠0，解得－2≤x ≤1，且x ≠－2，所以函数的定义域是{x |－2<x ≤1}．[答案] C4．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________． [解析] 结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2]． [答案] [－1,0)∪(1,2]5．已知矩形的周长为1，它的面积S 是其一边长为x 的函数，则其定义域为________(结果用区间表示)．[解析] 由实际意义知x >0，又矩形的周长为1，所以x <12，所以定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，123.1.1.2函数概念的应用1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (m )＝m(m )2[解析] A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.[答案] D2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35[解析] f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1.[答案] B3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1[解析] y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．[答案] B4．已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[解析] 由f (x )的定义域是[0,2]知，{ 0≤2x ≤2，x －1≠0， 解得0≤x <1，所以g (x )＝f (2x )x －1的定义域为[0,1)． [答案] B5．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． [解析] ∵x ∈{1,2,3,4,5} ∴f (x )＝2x －3∈{－1,1,3,5,7}． ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． [答案] {－1,1,3,5,7}3.1.2.1函数的表示法1．y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[解析] 设y ＝k x ，当x ＝2时，y ＝1，所以1＝k 2，得k ＝2.故y ＝2x.[答案] C2．由下表给出函数y ＝f (x )，则f [f (1)]等于( )x 1 2 3 4 5 y45321A.1 B ．2 C ．4 D ．[解析] 由题意得f (1)＝4，所以f [f (1)]＝f (4)＝2. [答案] B3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )[解析] 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.[答案] C4．若3f (x －1)＋2f (1－x )＝2x ，则f (x )的解析式为__________________． [解析] (换元法)令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，t ∈R ， 原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代替t ，①式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )得f (t )＝2t ＋25，∴f (x )＝2x ＋25.[答案] f (x )＝2x ＋255．已知f (x )＝x ＋b ，f (ax ＋1)＝3x ＋2，求a ，b 的值． [解] 由f (x )＝x ＋b ，得f (ax ＋1)＝ax ＋1＋b . ∴ax ＋1＋b ＝3x ＋2，∴a ＝3，b ＋1＝2，即a ＝3，b ＝1.3.1.2.2分段函数1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100[解析] ∵f (－7)＝10，∴f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. [答案] A2．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )[解析] ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，分别画出y ＝x 2(取x ≥0部分)及y ＝－x 2(取x <0部分)即可．[答案] D3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3][解析] 当0≤x ≤1时，0≤f (x )≤2，当1<x <2时，f (x )＝2，当x ≥2时，f (x )＝3.故0≤f (x )≤2或f (x )＝3，故选B.[答案] B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为( )A ．y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B ．y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C ．y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D ．y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2)[解析] 可将原点代入，排除选项A ，C ；再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入，排除D 项． [答案] B5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x >0.若f [f (a )]＝2，则a ＝________.[解析] 当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2>0，f [f (a )]<0，显然不成立；当a >0时，f (a )＝－a 2，f [f (a )]＝a 4－2a 2＋2＝2，则a ＝±2或a ＝0，故a ＝ 2.[答案] 23.2.1.1函数的单调性1．如图所示，函数y ＝f (x )在下列哪个区间上是增函数( )A ．[－4,4]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4][解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数． [答案] C2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)2[解析] 选项A ，B 在(－∞，0)上为减函数，选项D 在(－2，0]上为减函数，只有选项C 满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.[答案] C3．若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 [解析] 由一次函数的性质得2a －1<0，即a <12.故选D.[答案] D4．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________．[解析] 因为f (x )在区间[－1,1]上为增函数，且f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.[答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，125．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性并用定义证明． [解] f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：任取x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋1－x 2－1x 2＋1＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，由x 1>x 2>0知x 1＋1>0，x 2＋1>0，x 1－x 2>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．3.2.1.2函数的最大(小)值1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )A ．3,0B ．3,1C ．3，无最小值D ．3，－2[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.[答案] C2．已知函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]，则f (x )的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 作出函数f (x )＝|x |，x ∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f (x )的最大值为3.[答案] D3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x[解析] B 、C 在[1,4]上均为增函数，A 、D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.[答案] A4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．[解析] 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y 40， 即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20时，面积最大．[答案] 205．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5，分别求下列条件下函数的最小值： (1)x ∈[－1,0]；(2)x ∈[a ，a ＋1]．[解] (1)∵二次函数y ＝x 2－4x ＋5的对称轴为x ＝2且开口向上， ∴二次函数在x ∈[－1,0]上是单调递减的． ∴y min ＝02－4×0＋5＝5.(2)当a ≥2时，函数在x ∈[a ，a ＋1]上是单调递增的，y min ＝a 2－4a ＋5；当a ＋1≤2即a ≤1时，函数在[a ，a ＋1]上是单调递减的，y min ＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋5＝a 2－2a ＋2；当a <2<a ＋1即1<a <2时，y min ＝22－4×2＋5＝1.故函数的最小值为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2，a ≤1，1，1<a <2，a 2－4a ＋5，a ≥2.3.2.2.1函数奇偶性的概念1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由－1＋a ＝0，得a ＝1.选C. [答案] C2．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1][解析] A 项中的函数为奇函数；C 、D 选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B 项中的函数为偶函数．故选B.[答案] B3．函数f (x )＝1x－x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称[解析] 函数f (x )＝1x－x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．[答案] C4．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.[解析] 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.[答案] 45．已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式f (x )g (x )<0的解集．[解] 由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数． 根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f (x )g (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0，g (x )>0，可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．3.2.2.2函数奇偶性的应用1．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－x ＋1B ．f (x )＝－x －1C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝x －1[解析] 设x <0，则－x >0.∴f (－x )＝x ＋1，又函数f (x )是奇函数． ∴f (－x )＝－f (x )＝x ＋1， ∴f (x )＝－x －1(x <0)． [答案] B2．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2) [解析] ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f (π)>f (3)<f (2)， 即f (－π)>f (3)>f (－2)． [答案] A3．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即－13<2x －1<13，解得13<x <23.。
精选题库高一数学 课堂训练10-7
第10章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A. 18 B. 14 C. 25 D. 12答案：B解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.2．[2012·浙江温州]某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125答案：A解析：该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P 1＝C 23·(35)2·25， 三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316 C.58 D.38答案：A解析：P (X ＝3)＝C 36(12)3×(1－12)3＝516.4．[2011·湖北]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为( )A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576答案：B解析：由已知P ＝P (K A 1A 2)＋P (K A 2A 1)＋P (KA 1A 2)＝0.9×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.8＝0.864.故选B.5．[2012·潍坊质检]箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A. 16625 B. 96625 C. 624625D. 4625 答案：B解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625，选B.6．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜2局时，比赛因故中断．已知甲、乙水平相当，每局甲、乙胜的概率都为12，则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1答案：B解析：奖金分配比即为甲乙取胜的概率比．甲前两局已胜，甲胜有3种情况①甲第三局胜为A 1，P (A 1)＝12，②甲第三局负第四局胜为A 2，P (A 2)＝12×12＝14，③第三局、第四局甲负，第五局甲胜为A 3，P (A 3)＝12×12×12＝18.所以甲胜的概率P ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝78，乙胜的概率则为18，所以选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2012·陕西西安]某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．答案：0.128解析：依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P ＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.8．一次测量中，出现正误差和负误差的概率均为12，那么在5次测量中，至少3次出现正误差的概率是______．答案：12解析：由题意得在5次测量中，至少3次出现正误差的概率等于C 35·(12)5＋C 45·(12)5＋C 55·(12)5＝12. 9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 答案：②④解析：对于①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；对于②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；对于③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；对于④，从甲罐中只取一球，若取出红就不可能是其他，故两两互斥； ⑤由①可算得．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2010·天津]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分．若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5) ＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6. P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列是11.[2012·击击中气球的概率分别为34、45，且每次射击相互之间没有影响．(1)若甲单独射击3次，求恰好两次击中气球的概率； (2)若两人各射击2次，求至少3次击中气球的概率．解：(1)甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，则恰好两次击中气球的概率P ＝C 23(34)2·14＝2764. (2)两人各射击2次，至少3次击中气球含两种情况：记3次击中气球为事件A ， P (A )＝(34)2×C 12×45×15＋C 12×34×14×(45)2＝2150； 记4次击中气球为事件B ，P (B )＝(34)2×(45)2＝925；所求概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝2150＋925＝3950.12．[2011·山东]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)求ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解：(1)红队至少两名队员获胜可分为四类，即甲乙、甲丙、乙丙，甲乙丙胜， ∴P ＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)ξ的可能取值为0、1、2、3，且 P (ξ＝0)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5×2＝0.35， P (ξ＝2)＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＝0.4， P (ξ＝3)＝0.6×0.5×0.5＝0.15, ∴ξ的分布列为∴数学期望Eξ＝0×。
【高一】高一数学上册课堂练习题(带答案)
【高一】高一数学上册课堂练习题（带答案）一、1.以下公式不正确（）[答案] d【分析】根据对数的运算性质：2．log23?log34?log45?log56?log67?log78＝( )a、一,b、二,c．3 d．4[答：]C[解析] log23?log34?log45?log56?log67?log78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选c.3.设LG2=A和Lg3=B，则log512等于（）a.2a＋b1＋ab.a＋2b1＋ac、 2a＋b1－ad.a＋2b1－a[答案] c[分析]log512=lg12lg5=2lg2+lg31-lg2=2A+B1-a，所以选择C4．已知log72＝p，log75＝q，则lg2用p、q表示为( )a、 pqb。
qp＋qc.pp＋qd.pq1＋pq[答：]B[解析] 由已知得：log72log75＝pq，∴log52＝pq变形量为：lg2lg5＝LG21－LG2＝PQ，‡LG2＝PP+Q，因此选择B5．设x＝，则x∈()a、（-2，-1）b.（1,2）c．(－3，－2)d．(2,3)[答：]d[解析] x＝=log310∈ （2,3），所以D6．设a、b、c∈r＋，且3a＝4b＝6c，则以下四个式子中恒成立的是( ) a、 1c＝1a＋1bb。
2c＝2a＋1bc.1c＝2a＋2bd.2c＝1a＋2b[答：]B[解析] 设3a＝4b＝6c＝m，∴a＝logm3，b＝logm4，c＝logm6∴1a＝logm3，1b＝logm4，1c＝logm6，∵ logm6=logm3+logm2，1c=1A+12b，即2c＝2a＋1b，故选b.7.设方程（lgx）2-lgx2-3=0的两个实根为a和B，则logab+logba等于（） a．1b．－2c、－103d.－4[答案] c【分析】已知LGA+LGB=2，LGA=3那么logab＋logba＝lgblga＋lgalgb＝lg2b＋lg2algalgb=（LGA+LGB）2-2LGLGLGB=4+6-3=-103，所以C8．已知函数f(x)＝2x2＋lg(x＋x2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈() a、 2.62b.2.38c．1.62d．0.38[答：]B[解析] f(－1)＝2＋lg(2－1)，f(1)＝2＋lg(2＋1)因此，f（-1）+f（1）=4+LG[（2-1）（2+1）]=4，∴f(1)＝4－f(－1)≈2.38，故选b.2、头衔9．设log89＝a，log35＝b，则lg2＝________.[答：]22+3AB[解析] 由log89＝a得log23＝32a，∴lg3lg2＝3a2，∵ log35=lg5lg3=B，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab，∴1－lg2lg2＝32ab∴lg2＝22＋3ab.10.假设logax=2，logbx=3，logcx=6，则公式logabcx=___[答案] 1[分析]logx（ABC）=logxa+logxb+logxc=12+13+16=1，∴logabcx＝1.11.如果logac+Logbc=0（C≠ 1），则AB+C－ABC=___[答案] 1[分析]来自logac+Logbc=0：lg(ab)lgalgb?lgc＝0，∵c≠1，∴lgc≠0∴ab＝1，∴ab＋c－abc＝1＋c－c＝1。
高一精选题库数学 课堂训练_2-4
第2章 第4节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 化简a 3b 23ab 2(a 14b 12)43b a(a 、b >0)的结果是( )A. ba B. ab C. a b D. a 2b答案：C解析：原式＝a 32ba 16b 13ab 2b 13a －13＝a 32＋16－1－(－13)b1＋13－2－13＝a b. 2. 设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A. f (－2)>f (－1)B. f (－1)>f (－2)C. f (1)>f (2)D. f (－2)>f (2)答案：A 解析：∵f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.3. [2011·四川]已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝(12)x ＋1，则f (x )的反函数的图像大致是( )答案：A解析：当x >0时，1<f (x )<2，此时可得反函数. f －1(x )＝log 12(x －1)(1<x <2)，对照选项可知选A.4. [2012·山东滨州一模]已知函数y ＝4x －3×2x ＋3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是( )A. [2,4]B. (－∞，0]C. (0,1]∪[2,4]D. (－∞，0]∪[1,2]答案：D解析：y ＝(2x )2－3×2x ＋3＝(2x －32)2＋34∈[1,7]，∴(2x －32)2∈[14，254].∴2x －32∈[－52，－12]∪[12，52].∴2x ∈[－1,1]∪[2,4].∴x ∈(－∞，0]∪[1,2]，故选D.5. [2012·辽宁实验中学]已知函数f (x )＝2x －1，对于满足0<x 1<x 2<2的任意实数x 1，x 2，给出下列结论：(1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22).其中正确结论的序号是( ) A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (3)(4)答案：C解析：∵f (x )为增函数，x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，∴(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，故(1)错，排除A 、B ；A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是f (x )＝2x －1在(0,2)上任意两点，则k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1不总大于1，故(3)错，排除D ，选C.6. [2012·上海交大附中月考]对于函数f (x )＝(2x－12x )x 13和实数m ，n ，下列结论中正确的是( )A. 若m <n ，则f (m )<f (n )B. 若f (m )<f (n )，则m 2<n 2C. 若f (m )<f (n )，则m 3<n 3D. 上述命题都不正确 答案：B解析：f (x )＝(2x－12x )x 13是定义在R 上的偶函数，当x >0时，y ＝2x －12x >0且为增函数，y＝x 13>0且为增函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上递增，在(－∞，0]上递减. ∴f (m )<f (n )⇒|m |<|n |⇒m 2<n 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·开封调研]函数y ＝a x ＋b (a >0且a ≠1)的图像经过点(1,7)，其反函数的图像经过点(4,0)，则a b ＝________.答案：64解析：本题考查指数函数与反函数的性质，根据条件建立方程组求出a ，b 的值即可.由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋b ＝7，a 0＋b ＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，故a b ＝43＝64. 8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5(x >6)(4－a2)x ＋4(x ≤6)在R 上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是__________.答案：[7,8)解析：由题意知，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>0(4－a 2)×6＋4≤a6－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1a <8a ≥7，解得7≤a <8. 9. 若函数f (x )＝2x 2－2ax －a－1的定义域为R ，则a 的取值范围为________.答案：[－1,0] 解析：由f (x )＝2x 2－2ax －a －1的定义域为R ，可知2x 2－2ax －a≥1恒成立，即x 2－2ax －a ≥0恒成立， 解得－1≤a ≤0.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10. 要使函数y ＝1＋2x ＋4x a 在x ∈(－∞，1]上y >0恒成立，求a 的取值范围. 解：由题意，得1＋2x＋4xa >0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a >－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立.又∵－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x＝－[(12)x ＋12]2＋14，∵x ∈(－∞，1]， ∴(12)x ∈[12，＋∞). 令t ＝(12)x ，则f (t )＝－(t ＋12)2＋14，t ∈[12，＋∞).则f (t )在[12，＋∞)上为减函数，f (t )≤f (12)＝－(12＋12)2＋14＝－34，即f (t )∈(－∞，－34].∵a >f (t )，∴a ∈(－34，＋∞).11. [2012·江苏淮安]函数f (x )＝2－x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围.解：由2－x x －1≥0，得1<x ≤2，即A ＝{x |1<x ≤2}.∵y ＝2x 是R 上的增函数，∴由22ax <2a ＋x ，得2ax <a ＋x ，∴(2a －1)x <a .(1)当2a －1>0，即a >12时，x <a 2a －1，即B ＝{x |x <a2a －1}又A ⊆B ，∴a 2a －1>2，得12<a <23.(2)当2a －1＝0，即a ＝12时，x ∈R ，即B ＝R ，满足A ∩B ＝A .(3)当2a －1<0，即a <12时，x >a 2a －1，即B ＝{x |x >a2a －1}.∵A ⊆B ，∴a 2a －1≤1，得a ≤1，故a <12.由(1)，(2)，(3)得a ∈(－∞，23).12. [2012·上海吴淞中学月考]已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域.解：(1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数. ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数.证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2(2x 1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 2＋1)，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )为R 上增函数.(3)令y ＝2x －12x ＋1，则2x ＝－1－yy －1，∵2x >0，∴－1－yy －1>0.∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1).。
高一数学试题库
高一数学试题库一、选择题1. 根据函数f(x) = x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。
a) -3b) -2c) 1d) 82. 已知三角形ABC中，角A的余角的两倍等于角B的补角，且角C为直角。
若AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为多少？a) 13 cmb) 17 cmc) 19 cmd) 25 cm3. 若a + b = 7，a^2 + b^2 = 25，则a^3 + b^3的值为多少？a) 52b) 180c) 252d) 302二、填空题1. 若a，b均为正整数，且a + b = 10，则a和b的乘积的最大值为___________。
2. 在等差数列-3, 0, 3, 6, ..., 597中，求共有___________项。
3. 若a，b，c满足2a + b + c = 8，a + 3b + 6c = 26，则a + 2b + 3c的值为___________。
三、解答题1. 某商品原价为200元，现在打折促销，打八折出售。
若小明使用100元买下该商品后还找到了零钱，假设找零钱最少，请问找零多少元？2. 若函数f(x) = 3x - 5与g(x) = 2x + k有且只有一个公共解，求k的值。
3. 求方程x^2 - 7x + 12 = 0的两个根之和和两个根的乘积。
四、应用题1. 甲、乙、丙三人共抓了100只鸟，甲抓的鸟数是乙的一半，乙抓的鸟数是丙的一半。
如果甲、乙、丙三人每人抓了多少只鸟？2. 电脑游戏厅有多个游戏机器，其中1/3的游戏机器是街机，其余的都是电玩。
若电玩机器的台数是街机的4倍，求电脑游戏厅共有多少台游戏机器？3. 甲、乙两人合作种植兰花，甲的工作效率是乙的1.5倍，如果两人合作12天后完成了任务，甲独立完成任务需要多少天？以上为高一数学试题库的一部分，希望可以帮助到你的学习和复习。
请根据题目要求进行选择、填空或解答，并核对你的答案。
祝你学业进步！。
高一数学上册课堂练习题1(答案)
2021届高一数学上册课堂练习题1〔答案〕本文导航 1、首页2、***3、***一、选择题1.集合M={直线}，N={圆}，那么MN的元素个数为()个.()A.0B.1C.2D.不确定[答案] A[解析] 集合MN中的元素说明既是直线又是圆的元素，这样的元素是不存在的，从而MN=，应选A.[点评] 集合M与N都是图形集，不是点集，M中的元素为直线，N中的元素为圆.易将MN错误理解为直线与圆的交点个数的集合，得出MN={0,1,2}，从而易错选C.2.(2021江西理，2)假设集合A={x|x|1，xR}，B={y|y=x2，xR}，那么AB=()A.{x|-11}B.{x|x0}C.{x|01}D.[答案] C[解析] 集合A={x|-11}，B={y|y0}，故AB={x|01}.选C.3.(09山东文)集合A={0,2，a}，B={1，a2}.假设AB={0,1,2,4,16}，那么a的值为()A.0B.1C.2D.4[答案] D[解析] ∵A={0,2，a}，B={1，a2}，AB={0,1,2,4,16}，a2=16a=4，a=4.应选D.4.(2021福建文，1)假设集合A={x|13}，B={x|x2}，那么AB 等于()A.{x|2C.{x|23}D.{x|x2}[答案] A[解析]AB={x|25.设集合A={x|-12}，B={x|xA.a2B.a-2C.a-1D.-1[答案] C[解析] 由A知a-1，应选C.6.(08山东文)满足M{a1，a2，a3，a4}，且M{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是()A.1B.2C.3D.4[答案] B[解析] ∵M{a1，a2，a3}={a1，a2}，a1M，a2M，a3M.又∵M{a1，a2，a3，a4}，M={a1，a2}或{a1，a2，a4}.7.(09全国Ⅱ理)设集合A={x|x3}，B=xx-1x-40，那么AB=()A. B.(3,4)C.(-2,1)D.(4，+)[答案] B[解析] ∵A={x|x3}，B=xx-1x-40={x|(x-1)(x-4)0}={x|1 AB={x|38.设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={x|x=a+b，aP，bQ}，假设P={0,1,2}，Q={-1,1,6}，那么P+Q中所有元素的和是()A.9B.8C.27D.26[答案] D[解析] 由P+Q的定义知：a=0时，b可取-1,1,6，故x=-1,1,6;同理可得x可取的其它值为：0,2,7,3,8，故P+Q={-1,0,1,2,3,6,7,8}，其所有元素之和为26.9.集合A={x|x=2k+1，kN*}，B={x|x=k+3，kN}，那么AB等于()A.BB.AC.ND.R[答案] B[解析] A={3,5,7,9}，B={3,4,5,6}，易知A?B，AB=A. 10.当xA时，假设x-1A，且x+1A，那么称x为A的一个孤立元素，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的孤星集，假设集合M={0,1,3}的孤星集为M，集合N={0,3,4}的孤星集为N，那么MN=()A.{0,1,3,4}B.{1,4}C.{1,3}D.{0,3}[答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M={3}，N={0}，那么MN={0,3}.本文导航 1、首页2、***3、***二、填空题11.假设集合A={2,4，x}，B={2，x2}，且AB={2,4，x}，那么x=________.[答案] 0,1或-2[解析] 由得BA，x2=4或x2=x，x=0,1，2，由元素的互异性知x2，x=0,1或-2.12.A={x|x2+px+q=x}，B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+1}，当A={2}时，集合B=________.[答案] {3+2，3-2}[解析] ∵A={2}，方程x2+px+q=x有两相等实根2，4+2p+q=2(p-1)2-4q=0p=-3q=4，方程(x-1)2+p(x-1)+q=x+1可化为：x2-6x+7=0，x=32，B={3+2，3-2}.13.(胶州三中2021～2021高一期末)设A={x|x2-px+15=0}，B={x|x2+qx+r=0}且AB={2,3,5}，AB={3}，那么p=______;q=______;r=______.[答案] 8 -5 6[分析] 抓住集合中元素的特征性质，A、B都是一元二次方程的解集.从AB入手知3是两个方程的公共根，可确定A中方程的系数p进而得A，也就弄清了B中的元素获解.[解析] ∵AB={3}，3A,3B9-3p+15=0 (1)9+3q+r=0 (2)，由(1)得p=8，A={x|x2-8x+15=0}={3,5}又AB={2,3,5}，2B，4+2q+r=0 (3)由(2)(3)得q=-5，r=6.经检验符合题意.本文导航 1、首页2、***3、***三、解答题14.A={x|aa+3}，B={x|x-1或x5}(1)假设AB=，求a的取值范围.(2)假设AB=B，a的取值范围又如何?[解析] (1)-12(2)∵AB=B，AB，a+3-1，或a5，a5或a-415.设集合M={1,2，m2-3m-1}，N={-1,3}，假设MN={3}，求m.[解析] ∵MN={3}，3M，m2-3m-1=3，m=-1或4.16.A={1，x，-1}，B={-1,1-x}.(1)假设AB={1，-1}，求x.(2)假设AB={1，-1，12}，求AB.(3)假设BA，求AB.[解析] (1)由条件知1B，1-x=1，x=0.(2)由条件知x=12，A={1，12，-1}，B={-1，12}，AB={-1，12}.(3)∵BA，1-x=1或1-x=x，x=0或12，当x=0时，AB={1,0，-1}，当x=12时，AB={1，12，-1}.17.某班参加数学课外活动小组的有22人，参加物理课外活动小组的有18人，参加化学课外活动小组的有16人，至少参加一科课外活动小组的有36人，那么三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人?[解析] 设参加数学、物理、化学课外活动小组的同学分别组成集合A、B、C.由下列图可知，要使AC的元素个数最多，因此区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中元素应尽可能地少，由于在22+18+16=56中AC中元素个数重复计算了三次(只应计数一次).故AC的元素个数最多可为12(56-36)=10.故三科课外活动小组都参加的同学至多有10人.18.集合A={x|3x-70}，B={x|x是不大于8的自然数}，C={x|xa，a为常数}，D={x|xa，a为常数}.(1)求A(2)假设A，求a的取值集合;(3)假设AC={x|73(4)假设AD={x|x-2}，求a的取值集合;(5)假设BC=，求a的取值集合;(6)假设BD中含有元素2，求a的取值集合.[解析] A={x|x73}，B={0,1,2,3,4,5,6,7,8}.(1)AB={3,4,5,6,7,8}.(2)∵A，a73，a的取值集合为73，+.(3)由条件知，AC不是空集，AC={x|73又AC={x|73a=3，a的取值集合为{3}.(4)∵AD={x|xA，AD=D，a=-2，即a的取值集合为{-2}.(5)∵BC=，a0，a的取值集合为{a|a0}.(6)∵2D，2D，a2，a的取值集合为{a|a2}.。
高一数学上册课堂练习题(含答案)
高一数学上册课堂练习题(含答案)1.3.1.2一、选择题1．函数f(x)＝2x＋6x∈1，2]x＋7x∈－1，1]，则f(x)的最大值、最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对答案]A解析]分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故选A.2．函数y＝x|x|的图象大致是()答案]A解析]y＝x2x≥0－x2x3．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量x单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元D．120.25万元答案]C解析]设公司在甲地销售x辆(0≤x≤15，x为正整数)，则在乙地销售(15－x)辆，∴公司获得利润L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30.∴当x＝9或10时，L最大为120万元．故选C.点评]列函数关系式时，不要出现y＝－x2＋21x＋2x的错误．4．已知f(x)在R上是增函数，对实数a、b若a＋b＞0，则有()A．f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)B．f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)C．f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)D．f(a)－f(b)＜f(－a)＋f(－b)答案]A解析]∵a＋b＞0∴a＞－b且b＞－a，又y＝f(x)是增函数∴f(a)＞f(－b)且f(b)＞f(－a)故选A.5．(河南郑州市智林学校2009～2010高一期末)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]答案]D解析]∵f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2在1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝ax＋1在1,2]上是减函数，∴a>0，∴06．函数y＝3x＋2x－2(x≠2)的值域是()A．2，＋∞)B．(－∞，2]C．{y|y∈R且y≠2}D．{y|y∈R且y≠3}答案]D解析]y＝3x＋2x－2＝3(x－2)＋8x－2＝3＋8x－2，由于8x－2≠0，∴y≠3，故选D.7．函数y＝f(x)的图象关于原点对称且函数y＝f(x)在区间3,7]上是增函数，最小值为5，那么函数y＝f(x)在区间－7，－3]上()A．为增函数，且最小值为－5B．为增函数，且最大值为－5C．为减函数，且最小值为－5D．为减函数，且最大值为－5答案]B解析]由题意画出示意图，如下图，可以发现函数y＝f(x)在区间－7，－3]上仍是增函数，且最大值为－5.8．函数y＝|x－3|－|x＋1|有()A．最大值4，最小值0B．最大值0，最小值－4C．最大值4，最小值－4D．最大值、最小值都不存在答案]C解析]y＝|x－3|－|x＋1|＝－4(x≥3)2－2x(－1＜x＜3)4(x≤－1)，因此y∈－4,4]，故选C.9．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则()A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(1)答案]B解析]因为二次函数图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，知f(x)在区间1，＋∞)上为增函数，故f(1)10．(08•重庆理)已知函数y＝1－x＋x＋3的最大值为M，最小值为m，则mM的值为()A.14B.12C.22D.32答案]C解析]∵y≥0，∴y＝1－x＋x＋3＝4＋2(x＋3)(1－x)(－3≤x≤1)，∴当x＝－3或1时，ymin＝2，当x＝－1时，ymax＝22，即m＝2，M＝22，∴mM＝22.二、填空题11．函数y＝－x2－10x＋11在区间－1,2]上的最小值是________．答案]－13解析]函数y＝－x2－10x＋11＝－(x＋5)2＋36在－1,2]上为减函数，当x＝2时，ymin＝－13.12．已知函数f(x)在R上单调递增，经过A(0，－1)和B(3,1)两点，那么使不等式|f(x＋1)|答案]{x|－1解析]由|f(x＋1)|∴0∴使不等式成立的x 的集合为{x|－113．如果函数f(x)＝－x2＋2x的定义域为m，n]，值域为－3,1]，则|m－n|的最小值为________．答案]2解析]∵f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当m≤x≤n时，－3≤y≤1，∴1∈m，n]，又令－x2＋2x＝－3得，x＝－1或x＝3，∴－1∈m，n]或3∈m，n]，要使|m－n|最小，应取m，n]为－1,1]或1,3]，此时|m－n|＝2.三、解答题14．求函数f(x)＝－x2＋|x|的单调区间．并求函数y＝f(x)在－1,2]上的最大、小值．解析]由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．①∵f(x)＝－x2＋|x|＝－x2＋x(x≥0)－x2－x(x＜0)即f(x)＝－(x－12)2＋14(x≥0)－(x＋12)2＋14(x＜0)作出其在－1,2]上的图象如右图所示由图象可知，f(x)的递增区间为(－∞，－12)和0，12]，递减区间为－12，0]和12，＋∞)．②由图象知：当x＝－12或12时，f(x)max＝14，当x＝2时，f(x)min ＝－2.15．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x2(0≤x≤400)，80000(x＞400)，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)解析](1)设月产量为x台，则总成本为u(x)＝20000＋100x，从而f(x)＝R(x)－u(x)，即f(x)＝－12x2＋300x－20000(0≤x≤400)，60000－100x(x＞400).(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，有最大值25000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x 是减函数，f(x)＜60000－100×400＝20000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000.答：每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．16．已知函数f(x)＝x2＋2x＋3x(x∈2，＋∞))，(1)证明函数f(x)为增函数．(2)求f(x)的最小值．解析]将函数式化为：f(x)＝x＋3x＋2①任取x1，x2∈2，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(1－3x1x2)．∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，又∵x1≥2，x2＞2，∴x1x2＞4,1－3x1x2＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0，即：f(x1)＜f(x2)．故f(x)在2，＋∞)上是增函数．②当x＝2时，f(x)有最小值112.。
高一数学考试题库及答案
高一数学考试题库及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是实数集合的符号表示？A. ZB. NC. QD. R答案：D2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是：A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)答案：A3. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}答案：B4. 计算下列三角函数值：sin(π/6)的值是：A. 1/2B. √3/2C. 1/√2D. √2/2答案：A5. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，则a5的值是：A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A6. 函数y = x^2 - 6x + 5的顶点坐标是：A. (3, -4)B. (3, 4)C. (-3, 4)D. (-3, -4)答案：B7. 已知复数z = 2 + 3i，求z的共轭复数：A. 2 - 3iB. -2 + 3iC. -2 - 3iD. 2 + 3i答案：A8. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. 10B. -2C. 2D. -10答案：B9. 计算下列极限：lim(x→0) [sin(x)/x]的值是：A. 1B. 0C. ∞D. -1答案：A10. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 9，圆心坐标为：A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (-3, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=1处的导数是______。
答案：212. 集合{1, 2, 3}的补集在全集U={1, 2, 3, 4, 5}中是______。
答案：{4, 5}13. 已知等比数列{bn}的首项b1=4，公比q=2，则b3的值是______。
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第2章 第10节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·龙岩质检]已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列四个结论：①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 则其中正确的是( ) A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③答案：A解析：由图像可知函数f (x )在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，在(7，＋∞)内单调递增，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.2. [2012·山东烟台一模]已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为( )A. －1B. 0C. 1D. ±1答案：B解析：由题意易知f (x )＝x 4－2x 2－5.由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，只有f (0)＝－5，故选B.3. [2012·江西七校联考]函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案：A解析：令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g (－x )＝cos(－x )－(－x )sin(－x )＝cos x －x sin x ＝g (x )，即函数f ′(x )是偶函数，其图像关于y 轴对称．当0<x <π2时，g ′(x )＝－sin x －(x cos x＋sin x )<0，此时f ′(x )是减函数，因此结合各选项知，选A.4. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为 ( )A ．(－∞，12)∪(12，2)B ．(－∞，0)∪(12，2)C ．(－∞，12)∪(12，＋∞)D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)答案：B解析：由f (x )图像单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)．5. [2011·湖南]设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A. 1B. 12C.52D.22答案：D解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－ln t ，∴φ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，可知t ∈(0，22)时，φ(t )单调递减；t ∈(22，＋∞)时，φ(t )单调递增，∴t ＝22时|MN |取最小值．6. 设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )答案：C解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0， 所以y 在R 上单调递减， 又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )． 二、填空题(每小题7分，共21分)7. f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案：6解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6， 若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4， 令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点， 故c ＝2不合题意，所以c ＝6.8. 关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－4,0)解析：由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0－4－a <0，解得－4<a <0.9. [2012·山东聊城外国语学校一模]一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后__________秒车停下来，期间列车前进了__________米．答案：30 405解析：s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了s (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 设函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立． 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0. 由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x－2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln2a )上单调递减， 而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0.不符合要求． 综合得a 的取值范围为(－∞，12]．11. [2011·南昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋bx ＋c (x <1)a ln x (x ≥1)的图像过点(－1,2)，且在x ＝23处取得极值．(1)求实数b ，c 的值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋b ， 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2，f ′(23)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＋c ＝2，－3×49＋43＋b ＝0， 解得b ＝c ＝0. (2)由(1)知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).①当－1≤x <1时，f ′(x )＝－x (3x －2)，解f ′(x )>0得0<x <23；解f ′(x )<0得－1≤x <0或23<x <1.∴f (x )在[－1,0)和(23，1)上单减，在(0，23)上单增，由f ′(x )＝－x (3x －2)＝0得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，f (1)＝0，∴f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )在[1，e]上的最大值为a .∴当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2. 12. [2012·山东烟台一模]已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝ －x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，则当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e，不成立舍去；②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2. ①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立．所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．。
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第7章第1节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 下列说法正确的是()A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形答案：D解析：由于梯形中有一组对边不相等，故其直观图不可能是平行四边形；矩形的两组对边相等，其直观图不可能是梯形；A显然不正确；所以只有D正确．2. [2012·北京海淀一模]一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是()答案：C解析：由于C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.3．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④答案：D解析：因几何体的正视图和侧视图一样，所以易判断出其俯视图可能为①②③④，故选D.4. [2012·湖南联考]若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为45，则该几何体的俯视图可以是( )答案：D解析：可分别计算出俯视图为A 、B 、C 三种情形时的体积为1、π4、π4，均不合题意，故选D.5. [2012·广东一模]已知△ABC 的斜二测直观图是边长为2的等边△A 1B 1C 1，那么原△ABC 的面积为( )A. 2 3B. 3C. 2 6D. 6答案：C 解析：如图：在△A 1D 1C 1中，由正弦定理a sin 2π3＝2sin π4，得a ＝6，故S △ABC ＝12×2×26＝2 6. 6. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图像可能是 ( )答案：B解析：根据容器的三视图可知，该容器是一倒立的圆锥，则匀速注水时，水面高度h随时间t变化越来越慢．故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2011·辽宁]一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是__________．答案：23解析：如图，设底面边长为a，则侧棱长也为a，34a2·a＝23，故a3＝8，a＝2.左视图与矩形DCC1D1相同，S四边形DCC1D1＝32a·a＝2 3.8．如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析：①是四边形在平面ABB′A′或CDD′C′上的投影；②是四边形在平面ADD′A′或BCC′B′上的投影；③是四边形在平面ABCD或A′B′C′D′上的投影．答案：①②③9．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.答案：13解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13cm.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如右图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．解：轴截面如右图所示：被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，圆锥的截面圆的半径O1D设为x.∵OA＝AB＝R，∴△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，故x＝l.∴截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．11．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC 1及直三棱柱B 1C 1Q —A 1D 1P 的组合体．由P A 1＝PD 1＝2，A 1D 1＝AD ＝2，可得P A 1⊥PD 1.故所求几何体的表面积S ＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝22＋42(cm 2)，所求几何体的体积V ＝23＋12×(2)2×2＝10(cm 3)．12．直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的三视图如下图所示，D ，E 分别是棱CC 1和棱B 1C 1的中点，求图中三棱锥E －ABD 的侧视图的面积．解：通过三视图可知直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的前侧面是边长为2的正方形，左侧面与前侧面互相垂直．将直三棱柱补形成正方体的方法，找到正方体右侧面作为几何体侧视图的投影面，可知三棱锥E －ABD 的侧视图为正方体右侧阴影部分．故有：三棱锥E －ABD 的侧视图的面积S △BB 1G ＝2.。
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第1章 第1节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·山东]设集合M ＝{x |x 2＋x －6<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( ) A. [1,2) B. [1,2] C. (2,3] D. [2,3]答案：A解析：∵M ＝{x |－3<x <2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，∴M ∩N ＝{x |1≤x <2}．2. 已知全集U 为实数集R ，集合M ＝{x |x ＋3x －1<0}，N ＝{x ||x |≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是( )A. [－1,1]B. (－3,1]C. (－∞，－3]∪[－1，＋∞)D. (－3，－1) 答案：D 解析：∵M ＝{x |x ＋3x －1<0}＝{x |－3<x <1}，N ＝{x ||x |≤1}＝{x |－1≤x ≤1}，∴阴影部分表示的集合为M ∩∁U N ＝{x |－3<x <－1}，所以选D.3. [2012·成都五校联考]设集合M ＝{y |y ＝2x ，x <0}，N ＝{x |y ＝1－xx}，则“x ∈M ”是“x ∈N ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案：A解析：M ＝(0,1)，N ＝(0,1]，∴“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分不必要条件，故选A. 4. [2012·福建质检一]已知集合A ＝{x |a －2<x <a ＋2}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥4}，则A ∩B ＝Ø的充要条件是( )A. 0≤a ≤2B. －2<a <2C. 0<a ≤2D. 0<a <2答案：A解析：如果A ∩B ＝Ø，根据数轴有⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－2a ＋2≤4，解得0≤a ≤2.5. [2012·宁波“十校联考”]对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B 等于( )A. [0,2)B. (0,2]C. (－∞，0]∪(2，＋∞)D. (－∞，0)∪[2，＋∞)答案：C解析：由题意知：集合A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≤2}， 所以A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}， 所以A ⊕B ＝(－∞，0]∪(2，＋∞)，故选C.6. [2011·安徽]设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠Ø的集合S 的个数是( )A. 57B. 56C. 49D. 8答案：B解析：由S ⊆A 且S ∩B ≠Ø可知：元素4,5,6中至少有一个是S 中的元素．S 中的其余元素是从1,2,3中选1个，2个，3个或不选．故S 的个数为(C 13＋C 23＋C 33)×23＝56，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·南京一模]已知全集U ＝R ，Z 是整数集，集合A ＝{x |x 2－x －6≥0，x ∈R }，则Z ∩∁U A 中元素的个数为__________．答案：4解析：由x 2－x －6<0，得－2<x <3，即∁U A ＝{x |－2<x <3}，Z ∩∁U A ＝{－1,0,1,2}，因此Z ∩∁U A 中元素的个数为4.8. [2012·海南三亚]设集合A 、B ，有下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A 都有x ∉B ； ②A B ⇔A ∩B ＝Ø； ③A B ⇔B A ；④A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是________．(把符合要求的命题序号都填上) 答案：④解析：①不正确，如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}有A B 但2∈A 且2∈B . ②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2,3}有A B 而A ∩B ＝{2}． ③不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{2}有A B 但B ⊆A . ④正确．9. [原创题]设S 为满足下列条件的实数构成的非空集合：(1)1∉S ；(2)若a ∈S ，则11－a∈S .现给出如下命题：①0∈S ；②若2∈S ，则12∈S ；③集合{－1，12，2}是符合条件的一个集合；④集合S 中至少有3个元素．则正确命题的序号是__________．答案：②③④解析：①不正确，因为若0∈S ，则有11－0＝1∈S ，与题意不符．②③正确，若2∈S ，则11－2＝－1∈S ，11－(－1)＝12∈S ，11－12＝2∈S ，由集合中元素的互异性知集合{2，－1，12}就是符合条件的一个集合．④正确，集合S 中至少有3个元素．证明如下：设a ∈S ，可知a ≠0，a ≠1，由题设知11－a ∈S ，显然11－a ≠0，11－a ≠1，11－a ≠a (方程a 2－a ＋1＝0没有实数根)，即a 与11－a是两个不同元素．又11－11－a ＝a －1a ∈S ，显然a －1a ≠0，a －1a ≠1，且a －1a ≠a ，a －1a ≠11－a ，即a 、11－a 、a －1a是三个不同元素，∴集合S 中至少有3个元素． 综上知正确命题的序号为②③④. 三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}． (1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}． ∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}． (2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．11. [2012·揭阳模拟]已知二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，不等式f (x )<0的解集为A . (1)求集合A ；(2)设集合B ＝{x ||x ＋4|<a }，若集合B 是集合A 的子集，求a 的取值范围． 解：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋x 有最小值，∴a >0. ∴解不等式f (x )＝ax 2＋x <0，得集合A ＝(－1a ，0)．(2)由B ＝{x ||x ＋4|<a }，解得B ＝(－a －4，a －4)， ∵集合B 是集合A 的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a －4≥－1a a －4≤0，，解得0<a ≤5－2.12. [2012·浙江丽水高三模拟]已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}．(1)若A ∩B ＝Ø，求a 的取值范围；(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 解：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．(1)当A ∩B ＝Ø时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0， ∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}． ∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}． ∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．。
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第2章 第11节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176 B.143 C.136 D.116答案：A解析：s ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )21＝176. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案：A解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)21＝56.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案：C解析：如右图，⎠⎛2f (x )d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 310＋(2x －12x 2)21＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 4. 若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要做的功为( ) A. 0.05 J B. 0.5 J C. 0.25 J D. 1 J答案：B解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F＝100x ，所以W ＝∫0.10100x d x ＝50x 2| 0.10＝0.5 J ．故选B.5. [2011·湖南]由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A. 12 B. 1 C.32D. 3答案：D解析：封闭图形的面积S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝2×sin x | π30＝2(sin π3－sin0)＝3，∴选D.6. [2012·海南华侨中学统考]如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A. 23 B. 25 C. 13 D. 14答案：D解析：S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为最小值点，此时S (t )min ＝14.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·广东一模]已知f (x )是偶函数，且⎠⎛05f (x )d x ＝6，则⎠⎛5－5f (x )d x ＝________.答案：12解析：因为⎠⎛5－5f (x )d x ＝⎠⎛0－5f (x )d x ＋⎠⎛05f (x )d x ，又函数f (x )为偶函数，所以⎠⎛0－5f (x )d x ＝⎠⎛05f (x )d x ，∴⎠⎛5－5f (x )d x ＝6＋6＝12，故填12.8. [2012·安徽合肥第一次质检]函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于__________．答案：43解析：由f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，得f ′(1)＝2， 故在点(1,2)处的切线方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝2. 于是，围成的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x＝(x 2－13x 3)| 20＝4－83＝43. 9. [2012·福州质检]已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．答案：－1解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列定积分：(1)⎠⎛12(x －1x )d x ；(2)∫π20cos2xcos x －sin x d x .解：(1)⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )| 21＝32－ln2. (2)∫π20cos2xcos x －sin xd x ＝∫π20(cos x ＋sin x )d x＝(sin x －cos x )| π20＝2.11．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积S . 解：解法一：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x .得A (1,1)． 过A 点作直线x ＝1将阴影部分分割成两部分，所以S ＝3·(1－13)－⎠⎛1131x d x ＋S Rt △ABC ＝4－ln3.解法二：以y 为积分变量S ＝⎠⎛13(y －1y )d y ＝(12y 2－ln y )31＝4－ln3. 12. 对于函数f (x )＝bx 3＋ax 2－3x .(1)若f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，试求实数t 的取值范围；(2)若f (x )为实数集R 上的单调函数，且b ≥－1，设点P 的坐标为(a ，b )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：(1)∵f (x )＝bx 3＋ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3.∵f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值，∴x ＝1和x ＝3是f ′(x )＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－2a3b ，1×3＝－33b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13，∴f ′(x )＝－x 2＋4x －3.∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，∴f ′(x )≤2sin t cos t －23cos 2t ＋3对x ∈R 恒成立，而f ′(x )＝－(x －2)2＋1，其最大值为1，故2sin t cos t －23cos 2t ＋3≥1，∴2sin(2t －π3)≥1，∴kπ＋π4≤t ≤kπ＋7π12，k ∈Z .(2)当b ＝0时，由f (x )在R 上单调，知a ＝0.当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立． ∵f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3，∴Δ＝4a 2＋36b ≤0，可得b ≤－19a 2.从而知满足条件的点P (a ，b )在直角坐标平面aOb 上的轨迹所形成的图形是由曲线b ＝－19a 2与直线b ＝－1所围成的封闭图形．其面积为S ＝⎠⎛3－3(1－19a 2)d a ＝(a －a 327)| 3－3＝4.。
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第2章 第11节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )
A.17
6 B.14
3 C.136 D.116
答案：A
解析：s ＝⎠
⎛1
2(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )21
＝17
6. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则
⎠⎛1
2
f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16
答案：A
解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛1
2
(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)21＝56
. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈[1，2]，
则⎠⎛02f (x )d x ＝( )
A.3
4 B.4
5 C.5
6 D ．不存在
答案：C
解析：如右图，⎠⎛
2f (x )d x
＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1
2(2－x )d x
＝13x 310＋(2x －12x 2)21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56
.
4. 若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要做的功为( ) A. 0.05 J B. 0.5 J C. 0.25 J D. 1 J
答案：B
解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F
＝100x ，所以W ＝∫0.10100x d x ＝50x 2| 0.1
0＝0.5 J ．故选B.
5. [2011·湖南]由直线x ＝－π3，x ＝π
3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为
( )
A. 1
2 B. 1 C.
32
D. 3
答案：D
解析：封闭图形的面积S ＝∫π
3－π3cos x d x ＝2∫π
30cos x d x ＝2×sin x | π
30＝2(sin π
3
－sin0)＝3，
∴选D.
6. [2012·海南华侨中学统考]如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )
A. 23
B. 2
5 C. 13 D. 14
答案：D
解析：S (t )＝⎠⎛0
t (t 2－x 2)d x ＋⎠
⎛t
1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋1
3，
S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝1
2为最小值点，此时
S (t )min ＝1
4
.
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. [2012·广东一模]已知f (x )是偶函数，且⎠⎛0
5f (x )d x ＝6，则⎠
⎛5－5f (x )d x ＝________.
答案：12
解析：因为⎠⎛5－5f (x )d x ＝⎠
⎛0－5f (x )d x ＋⎠⎛0
5f (x )d x ，又函数f (x )为偶函数，所以⎠
⎛0－5f (x )d x ＝⎠⎛0
5
f (x )d x ，∴⎠
⎛5－5f (x )d x ＝6＋6＝12，故填12.
8. [2012·安徽合肥第一次质检]函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2
围成的图形的面积等于__________．
答案：43
解析：由f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，得f ′(1)＝2， 故在点(1,2)处的切线方程为y ＝2x .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，y ＝x 2
，得x ＝0或x ＝2. 于是，围成的面积S ＝⎠⎛0
2(2x －x 2)d x
＝(x 2－13x 3)| 20
＝4－83＝43
. 9. [2012·福州质检]已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为1
12
，则a 的值为________．
答案：－1
解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－⎠
⎛a
0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝1
12，∴a ＝－1.
三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列定积分：
(1)⎠
⎛1
2(x －1x )d x ；(2)∫π20cos2x
cos x －sin x d x .
解：(1)⎠
⎛1
2(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )| 21＝3
2－ln2. (2)∫π
20cos2x
cos x －sin x
d x ＝∫π
20(cos x ＋sin x )d x
＝(sin x －cos x )| π
20＝2.
11．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积S .
解：解法一：如图，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
xy ＝1，y ＝x .得A (1,1)． 过A 点作直线x ＝1将阴影部分分割成两部分，所以S ＝3·(1－13)－⎠⎛1131x d x ＋S Rt △ABC ＝4
－ln3.
解法二：以y 为积分变量
S ＝⎠
⎛1
3(y －1y )d y ＝(1
2y 2－ln y )31＝4－ln3. 12. 对于函数f (x )＝bx 3＋ax 2－3x .
(1)若f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，试求实数t 的取值范围；
(2)若f (x )为实数集R 上的单调函数，且b ≥－1，设点P 的坐标为(a ，b )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .
解：(1)∵f (x )＝bx 3＋ax 2－3x ， ∴f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3.
∵f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值， ∴x ＝1和x ＝3是f ′(x )＝0的两个根， ∴⎩⎨⎧
1＋3＝－2a
3b
，1×3＝－3
3b
⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－1
3， ∴f ′(x )＝－x 2＋4x －3.
∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，
∴f ′(x )≤2sin t cos t －23cos 2t ＋3对x ∈R 恒成立，而f ′(x )＝－(x －2)2＋1，其最大值为1，
故2sin t cos t －23cos 2t ＋3≥1，
∴2sin(2t －π3)≥1，∴kπ＋π4≤t ≤kπ＋7π
12，k ∈Z .
(2)当b ＝0时，由f (x )在R 上单调，知a ＝0.
当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立．
∵f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3，∴Δ＝4a 2＋36b ≤0，可得b ≤－1
9
a 2.
从而知满足条件的点P (a ，b )在直角坐标平面aOb 上的轨迹所形成的图形是由曲线b ＝－1
9
a 2与直线
b ＝－1所围成的封闭图形． 其面积为S ＝⎠
⎛3－
3(1－19a 2)d a ＝(a －a 327)| 3
－3＝4.。