利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
初中几何最值问题常用解法
初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。
以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。
一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。
通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。
二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。
例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。
三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。
在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。
四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。
五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。
通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。
六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。
利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。
七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。
例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。
八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。
例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。
九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。
利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。
例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。
有关动点的线段和的最小值问题
1351 概述由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实际意义，形式变化多样，做法灵活。
针对此类问题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段是建立函数模型。
这两种方法各有优点，可配合使用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。
第二种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的问题使用较多。
介于篇幅，本文只对该问题用几何方法加以研究。
2 类型一：两点在直线异侧如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。
因为连结两点的所有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。
此类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是满足要求的各个动点。
图13 类型二：两点在直线同侧图2如图2，点C和点D是直线AB同侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。
类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。
作C点关于直线AB的对称点C＇，连结C＇D与直线AB的交点即为所求的点P。
这是一道典型的化折为直的题目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两点之间线段最短即可确定P的位置。
类型二是类型一有关动点的线段和的最小值问题陈 刚（兰州交通大学附属中学，甘肃 兰州 730070）摘要：文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。
例谈利用图形变换解决几何最值问题
Ｑ 的值 最 小 ， Ｒ 为使
， ，Ｒ 的和 能 在 一 条 直 线 上 ， 得 把 船 Ｑ 就
尸 ）艘 变换 到 厶 ４ Ｂ的 外 部 ， 为 连 接 两 定 点 间 首 尾 相 连 的 （， Ｏ 成 折 线 ． 后 才有 可 能 共 线 ． 用轴 对称 性 质 ， Ｐ关 于 Ｏ Ｏ 然 利 作 Ａ， Ｂ 对 称 的点 ， 则 点 ， 为 定 点 ， 接 ＭＲ， Ｑ， 把 Ⅳ， Ⅳ 连 Ｎ 就 ，
可 能共 线 ， 由于 Ｏ Ｏ Ｏ Ａ， Ｂ， Ｃ有 公 共 端 点 Ｏ， 对 称 无 法 做 到 ， 用 而 利 用旋 转 法 将 △ＡＯ Ｃ绕 点 Ａ 逆 时 针 旋 转 ６ 。 到 △ＡＭＮ位 ０，
置 ． 则 △ＡＯ 和 △４ Ⅳ 均为正 三角形 ， △ＡＯＣｔ ＡＡＮＭ ， ＝ 并
这 种 模 型 就 是 要 利 用 图形 变 换 将 求 和 的 线 段 经 过 变 换 后 使 和成 为 连 接 两 定 点 之 间 的首 尾 相 连 的折 线 ， 当这 几 条 线 段 的和 在 一 条 直线 上 时 ， 和 最 小 ． 其 例 １ 如 图 １ 菱形 ＡＢ Ｄ 的 对 角 ． Ｃ
Ｏ 上 分 别 有 两 动 点 Ｒ， 求 ＡＲ Ｂ Ｑ， 周长
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达 到 优 化 图 形 结 构 ， 一 步 整 合 图 形 信 息 的 目 的 ， 会 使 进 就 得 复 杂 的 问 题 得 以创 造 性 地 解 决 ． 初 中 几 何 中 ，有 关 几 在
值 最 小 ， 时 这
０曰 ＝ ｌ ０。一 Ａ ０Ｎ ＝ １ 。一 ６ ８ ８０ ０。＝ １ ０。． ２ ＯＣ ： Ａ ＝ １ ０。一 ＡⅣ Ｄ ＝ ｌ 。一 ６ Ｖ ８ ８０ ０。＝ １ 。． ２０ ＤＣ ： ３ ６０。一 １ ０。一 １ ０。＝ １ ０。． ２ ２ ２
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
几何中求线段最值问题
几何中求线段最值问题一、核心解题依据1、已知线段AB=5，点C 是以B 为圆心，以2为半径的圆上任意一点，则线段AC 的最大值是 ，最小值是 。
题组一 1.在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2.将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转得到△A ′B ′C,取AC 中点E ，A ′B ′中点P,连接EP ，则在旋转过程中线段EP 的最大值是 ，最小值是 。
2.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC=6，AC=12,点D 在边AC 上（不与A ，C重合）且AD=4，连结BD ，,将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值和最小值。
想一想：此类动态问题中求一条线段的最值问题通常通过构造 来解决，构造 的关键是课后作业C BA D CB A1.已知边长是2的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是____________ ．2. .已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==, 连接AD 、BC ，点M 、N 、P分别为OA 、OD 、BC 的中点. 固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值3直线23+-=x y 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D 。
（1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点PABC A B 、x y x。
线段和最值问题思路
线段和最值问题思路
一、问题识别
在解决线段和最值问题时，首先需要识别出问题中的线段和最值条件。
这通常涉及到对题目的仔细阅读和解析，明确问题的目标和限制条件。
二、转化问题
一旦识别出问题中的线段和最值条件，需要将这些条件转化为数学语言。
这可能涉及到将问题转化为几何图形或者代数表达式，以便更好地理解和求解。
三、数形结合
在解决线段和最值问题时，需要充分利用数形结合的思想。
通过绘制几何图形或者图表，将问题中的数量关系转化为几何关系，以便更好地观察和求解。
四、选取代表元
在处理代数问题时，通常需要选取一个代表元来简化问题。
在解决线段和最值问题时，也可以通过选取代表元来简化计算和推理过程。
五、应用定理
在解决线段和最值问题时，需要熟练掌握和应用相关的数学定理和公式。
这些定理和公式可能是几何、代数或三角函数等方面的知识，需要根据问题的具体情况来选择和应用。
六、求解最值
在找到合适的代数表达式或几何图形后，需要使用适当的数学方法来求解最值。
这可能涉及到求导数、使用基本不等式或者进行代数运算等技巧。
七、验证答案
在得到答案后，需要对答案进行验证。
这可能涉及到对答案进行反向推导或者重新计算，以确保答案的正确性和合理性。
八、总结方法
最后，需要对解决问题的方法进行总结。
这包括总结使用的数学知识和技巧，以及在解决问题过程中遇到的困难和解决方案。
通过总结方法，可以加深对问题的理解，提高解决问题的能力和数学素养。
几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)—2024年中考数学压轴题(全国通用)(解析版)
几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略 【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接H G ，试问H G 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】(2)①103；②2【分析】（1）取AB 的中点H ，连接,EH HC ，证明FEB CAB ∠=∠，得出1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=则12BF EF =，进而根据CE EF CF =−（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，证明DBC GBF ∽得出DC ，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，H G 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin ETA ∠=45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC ， 又∵AC BC ⊥ ∴45ECA ∠=︒ ∵AE BE =，BE AE ⊥ ∴45EBA ∠=︒ ∴45ECA ABE ∠=∠=︒ ∴FEB CAB ∠=∠ ∵24AC BC ==， ∴2BC =∴BF CF = ∴1tan 2CB CAB AC ∠== ∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠= ∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =−（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N ，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒ ∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD ，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DBBF BG==∴BD BGBC BF= 又∵DBG CBF ∠=∠ ∴DBC GBF ∠=∠ ∴DBC GBF ∽∴DC DBGF GB==∴DC ∴DM GF = 在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB ≌ ∴MGD FBG ∠=∠ ∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒ 又∵90DGB ∠=︒ ∴180MGF ∠=︒ ∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒ ∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD ∠=︒∠=︒=∠ ∴D 在EB 上， ∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒ ∴DN DB = ∴3AB DN =， ∵4AC =，2CB =∴AB ==∴13DN AB ==∴103AD ==， ②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为H G 的最小值， 设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE 12EH AB ==∴sin 3AE ETA AT ∠=== 设FEB CAB α∠=∠= 则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯= 【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A ， (2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D ''，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______； (2)如图②，当点C '落在OB 上时， 求点D ¢的坐标和 BD '的长； (3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)． 逆时针旋转OCD ，得OC D ''，知为中心，逆时针旋转OCD，得OC D''，可得(2,23B为中心，逆时针旋转OCD，得OC D''，()A，2,0()A2,0,(2,23 B是AOB的中位线，为中心，逆时针旋转OCD，得OC D''，'==，D CD3M是C'(2,23B1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅； (2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为 ． 再证明AMB CNB ≅可得MB ，证明BGM 是等腰直角三角形，然后求出【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF =，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， SAS ADE CDF ∴（）≌． （2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒， 90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠=，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒， 90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒，AMB CNB ∴≅，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ABM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△， BM AH ∴=，2AH AD =DH ∴最大时，可知，BGM 是等腰直角三角形，23⨯=(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=． (2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．的长，证明(AAS)FDB FGE ≌AD BC EG AD ⊥⊥，， 90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=点(AAS)FDB FGE ∴≌3BD GE ∴==DFAD=，7∴=AG ADRt AGE中，2⊥，AD BC90∴∠=︒，ADC点E为GH的中点，∴=，GE HE在AGE和KHE△中，=AE KE∴≌(SAS) AGE KHE∴∠=∠34∠=DAC∴设EBC∠点和KEF中，(SAS)AFB KEF ∴≌89AB FK ∴=∠=∠，BAC ∠=Rt FDM 中，1由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==， ABK ∠=ABK ∴∠+∠EKQ EOA ∴∽，KE KQ QE（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________． 问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值． 问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．是ABC 的中位线，由中位线的性质，即可求解，Rt EDC 中，根据勾股定理，求出∵点E为AD上的靠近点∴11633AE AD==⨯=在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，【问题提出】（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______； 【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值； 【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．994CBAABDSS ==，即可得到ACD 的面积；为直径的O 上交O 于点P ）证明,CBH EBC ∽得到，再证明,ABH EBA ∽得到在O 的劣弧与O 相交于点ABDCBAS S=994CBAABDSS ==，∴ACD 的面积为9CBAABDS S−=故答案为：为直径的O 上运动，交O 于点P，作ABH 的外接圆O ，连接∴,CBH EBC ∽ BC BH∴,ABH EBA ∽ 120AHB EAB ∠=∠=在O 的劣弧120=︒在AOB 中，则1602BM AM AB ===米， 与O 相交于点题型二 线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________． 【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值； 【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．将AQD 绕点BC ⊥在OAB 中，3OB =，将OAB 绕点120BOB '∴∠=︒，3OB OB '==，OBB OB B ''∴∠=∠，OBB '∠+OC BB ⊥OCB '∴∠将∴++=+PA PB PC PA∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=，ABC边长为DCBDCE BCA∴∠=∠=60）如图所示，将AQD绕点，90EA︒=【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进行探究．已知ABC 是边长为2的等边三角形．(1)【动手操作】如图1，若D 为线段BC 上靠近点B 的三等分点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，则CE 的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值． 证明BAD CAE ≌，的三等分点和ABC 是边长为ADB AEC =∠60BEC ∠=︒EB（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABC 是等边三角形，AB AC =，∴SAS ABD ACE ≌（）BD CE =；的三等分点，且ABC 是边长为∵ABC 是等边三角形，AB AC =，∴SAS ABD ACE≌（），120ADB AEC ∠=∠=上时，DEC 的周长存在最小值，如图：∵ABD ACE ≌△△， ∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =++∴当点D 在线段BC 上时，DEC 的周长∵DEC 为等边三角形，DE AD =，的最小时，DEC 的周长最小，此时∴DEC 的周长的最小值为【点睛】本题考查几何变换综合应用，旋转性质、涉及等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．≌，可得出点，证明AND CMDAOC的平分线对称，由∴AND CMD≌，DN DM=，P大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD中，4AB=，6AD=，点P在AD上，点Q在BC上，且AP CQ=，连接CP、QD，求PC QD+最小时AP的长；（3）如图3，在ABCDY中，10AB=，20AD=，点D到AB的距离为动点E、F在AD边上运动，始终保持3EF=，在BC边上有一个直径为BM的半圆O，连接AM与半圆O交于点N，连接CE、FN，求CE EF FN++的最小值．()SASABP CDQ≌=的O 外有一点在O 上， 如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA DCQ '∠=∠=∠=∠在ABP 和CDQ 中，AB CD =∴()SAS ABP CDQ ≌Rt B BC '中，AB P BB ''=∠ （3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =EFGC【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为 ； 【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值； 【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ==米，=60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧E F 所对的圆心角为90︒，E F 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧E F 上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．交O于点P⊥PH BC交O于点P点P为半圆O的AB上一点，∴当点P与点P不重合时，1当点P与点P重合时，BC切半圆∴∠=ABC=OB OP矩形ABCD 的面积是PBC 面积的13553PBCS∴=⨯⨯=CF PH =又5BC =，60ABC ∠=︒，AB BC ==ABC ∴是等边三角形， 60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE AA M '∴和CMN ∴∠=点'A Q OQ+∴的最小值为A Q'ABC为等边三角形，点∴点为BC△,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时， ①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．先证明APF AKL ∽，得到∴HF DE =，CH BG =，∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=，根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=，根据两边对应成比例且夹角相等可得APF AKL ∽， ∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =题型三 面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为 ； 【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积； 【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．，证明()SAS ABG ADF ≌，再证明()SAS AEF AEG ≌，得到ABG ，则)()33AEF AEG SS==最小值最小值∵ABC 是边长为 ∴()SAS ABG ADF ≌∴()SAS AEF AEG ≌，得到ABG ， )()33AEF AEG SS==最小值最小值【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值． 进一步证明DEF,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出 4DEFS EM =，进而根据（2）的方法得出EM GH =，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32OF =− 【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒， ∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA =∠=∠， ∴点H 在BC 的延长线上， ∵四边形ABCD 是正方形 ∴90ADC ∠=︒， ∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF ∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠ 又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=， 故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠， ∵EM BC ∥，则EM AB ⊥， ∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥， ∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒， ∵EM BC ∥， ∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒， 即180DFC DGH ∠+∠=︒， ∴,,,D F H G 四点共圆； ∴30GFH GDH ∠=∠=︒， 又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形， FT CK ∴=8DK CK DK FT ∴+=+= 111()4222DEFEMDEMFSSSEM DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+=同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ， 可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH = 取得最小值时，DEF 的面积最小，∵2220−=≥，∴FH x y =+≥ 当且仅当x y =时取得等于号， 此时FC AE CH ==， 设,,,D F H G 的圆心为O ， ∵DC FH ⊥，FC CH =， ∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF =︒= ∵8OD OC +=8OF +=解得：32OF =−∴232FH FC OF ===−∴48GH =，∴()44448192DEFSEM GH ====，即DEF 面积的最小为192．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为 ；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值． 问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．为弦的确定的圆上，作ABC 的外接圆，可得当点时，ABC 的面积最大，求出，再根据三角形的面积公式计算即可；将ABC 绕点A 逆时针旋转、D 、E 在同一条直线上，求出BCES，可得要使四边形面积最小，就要使BCE 的面积最大，然后由（时，BCE 的面积最）的方法求出BCE 面积的最大值，可得四边形，根据OA 如图，作ABC 的外接圆，∴当点C 在C '的位置，即时，ABC 的面积最大，∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴ABC 面积的最大值为）如图，将ABC 绕点∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转至COE ，连接∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，AOBBCOSS+COEBCOSS+ BOE BCES S− BCESBCES，的面积最小，就要使BCE 的面积最大，作BCE 的外接圆I ，点F 是I 上一点，CF 交由（1）可知，当CF 是直径，且CF BE ⊥时，BCE 的面积最大，∴BCE 面积的最大值为150BCES=（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______． 问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．）设ABC 的边长为EQG ，根据四边形则当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线， ∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴AD ==∴2112224ABCS BC AD a =´=´´=∴24a =解得：4a =， 故答案为：4．（2）如图所示，连接CD ，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点， ∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒ 又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF ∠=∠−∠=∠−∠=∠ 在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDF V V ≌ ∴DE DF =； （3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒， ∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒−︒−︒=︒ 将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ， ∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ， 又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN ==∴2PG PN ==∴2111222PQGSPG NQ b =⨯=⨯=∵四边形PEQF 的面积为 ∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =， 在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ =⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌， 同理可得PNQ PMQ ≌ 则2PNQPEQF S S=四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQS=如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE = ；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ， 2,AB BC ==点 P 在AD 上运动，求 PBC 的面积的最大值； （3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为 120米的正方形荒地 ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求 2CQ AP =，过点 B 作 BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在 CDE 内种植花卉， DEP 内修建老年活动区， BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的 CDE 的面积是否存在最小值？ 若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．得ABE DCE ∽，得对应成比例的线段，于是得到结论；时，PBC 的面积有最大值，解直角三角形求出PBC 的高即可得到结论；于点M ，作BME 的外接圆O ，过点OF DC ⊥₂E CD ₂的面积最小． （）∥AB CD DCE ，是O的直径．₂的面积最大．P BC上任意另取一点P₁PBC的面积最大．Rt OBE中，．S=PBC。
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题是数学中一类比较有挑战性的问题，通常涉及到几何图形中的动点以及与之相关的最值情况。
以下是一些常见的动点产生的几何最值问题类型：
1. 最短路径问题：在给定的几何图形中，寻找动点到某个点或线段的最短路径。
这可以涉及到直线、圆、多边形等图形。
2. 最大面积问题：确定动点在几何图形中移动时，如何使形成的图形面积最大。
例如，求动点构成的三角形、矩形等的最大面积。
3. 最长线段问题：找到在特定条件下，动点所形成的最长线段。
4. 最短时间问题：考虑动点在移动过程中，如何以最短时间到达目标点。
5. 最优位置问题：确定动点在几何图形中的最优位置，使得某个目标函数达到最大或最小值。
6. 角度最值问题：探究动点在运动过程中，相关角度的最大或最小值。
7. 对称问题：利用对称性质来解决与动点相关的最值问题。
这些只是一些常见的类型，实际问题可能更加复杂和多样化。
解决动点产生的几何最值问题通常需要结合几何学的知识、定理和方法，以及对运动轨迹和约束条件的分析。
具体的解决方法会根据问题的具体情况而有所不同。
初中几何最值：利用几何变换求解多动点线段和的最值问题(6个类型全面)
利用几何变换求解多动点线段和的最值问题多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.一、求两动点到一定点距离和的最小值此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换 至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例1如图1，菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒. E 为BC 上的一动点，F 为AB 上的一动点，P 为AC 上一个定点，则PE PF +的最小值为 .解析 如图2，根据菱形的对称性作点F 关于AC 的对称点1F ，连结1PF ，则有1PE PF PE PF +=+.所以，当点E 、P 、1F 三点共线且垂直BC 时PE PF +最小.作AG BC ⊥点G ，所以PE PF +的最小值即为AG 为长.因为菱形ABCD 的边长为4,60B ∠=︒，所以2BE =，AG =PE PF +的最小值为 二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.例2 如图3，45AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q 、R 分别是OA 和OB 上的动点，求PQR 周长的最小值.解析 如图4，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ，连结CD ，则PR PQ RQ CD ++≥，当Q 、R 在线段CD 上时，PQR 周长最小.因为290COD AOB ∠=∠=︒，10OC OD OP ===，所以CD ==PQR周长的最小值为 三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.例3 如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.解析 如图6，作点D 关于x 轴的对称点1D ，则122OB OD OD ===，1(0,2)D - 将点C 向左平移2个单位(2EF =)到1C 点，定点D 、C 分别到动点E 、F 的距离和等于为定点1D 、1C 到动点E 的距离和，即11DE CF D E C E +=+，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.连结11D C 交x 轴于点E ，四边形1EFCC 为平行四边形，此时1111DE CF D E C E D C +=+=值最小，则四边形CDEF 的周长最小.由(0,2)D -、1(1,4)C可求直线11D C 解析式为62y x =-.当0y =时，13x =，即1(,0)3E ，则7(,0)3F . 四、求两动点到另一动点距离和的最小值 一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例4 如图7，菱形ABCD 中3AB =，60A ∠=︒，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，求PE PF +的最小值.解析 如图8，与上例类似，仍然要作某一动点(P )所在直线(CD )同侧的两个动点(E 、F )中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F ，但考虑到F 是圆上动点，因此作菱形ABCD 和⊙B 的对称图形11A B CD 和⊙1B .根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A 、D 、1B 三点共线，1PF PF =.欲求PE PF +的最小值，即求1PE PF +的最小值，所以当1PA PB +最小时，1PE PF +的最小值为:1113PA PB AE BF PA PB +--=+-显然，点P 运动到D 时，1PA PB +最小值为6，所以PE PF +的最小值是3.五、求三动点构成的三角形周长的最小值三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解. 例5 如图9，在平面直角坐标系中，已知(0,2)A ，(3,0)B -，(1,0)C .点P 是线段BC 上的动点(点P 不与B 、C 重合)，点Q 是线段AB 上动点(点Q 不与A 、B 重合)，点R 是线段AC 上动点(点R 不与A 、C 重合)，求PQR 周长的最小值. 解析 如图10，不妨作P 关于AB 的对称点1P ，交AB 于G ，作P 关于AC 的对称点2P ，交AC 于H ，连结1PQ 、2P R 、1AP 、2AP .由对称性可知:12PQR l PQ QR P R =++, 当PQR l 最小时，1P 、Q 、R 、2P 四点共线，即Q 、R 分别为12P P 与边AB 、AC 的交点，PQR l 的最小值为12P P . 由对称性可知12AP AP AP ==，1P AB PAB ∠=∠，2P AC PAC ∠=∠,所以122PPP BAC ∠=∠.所以1212sin 2sin PP AP BAC AP BAC =⨯∠=⨯∠ (作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得).从条件不难发现BAC ∠为定值，根据模型1(垂线段最短)，当AP BC ⊥(点即P 运动 到点O )时，AP 最小，从而12P P 最小.又根据条件，不难求出2AP =，1PC =，3BP =，AB =AC =11sin 22ABC S AB AC BAC BC AP =⨯⨯∠=⨯,sin BAC ∴∠=,1222PP ∴=⨯=.即PQR l 最小值为：65. 六、求三动点到一定点距离和的最小值解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.例6 如图11，四边形ABCD 是边长为2的正方形，M 为对角线BD 上任意一点，当M 在何处时，AM BM CM ++最小，并求出最小值.解析 如图12，将ABM 绕点B 逆时针旋转60︒得到EBN ，连结MN ，由旋转性质得EN AM =，BN BM =，BMN 为等边三角形，所以MN BM =，此时AM BM CM ++转化为折线EN NM CM ++.根据模型2, C 、M 、N 、E 四点共线时，AM BM CM ++最小，等于CE ，所以M 位于BD 与CE 的交点处.过点E 作BC 的垂线交CB 的延长线于点F .由题意得30EBF ∠=︒，所以1EF =，FB =从而CE ====即AM BM CM ++。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第七章 作图与图形变换 方法技巧突破(五) 求几何最值的常用方法
4．如图，∠AOB＝30°，点 M，N 分别是射线 OA，OB 上的动点，OP 平分
∠AOB，且 OP＝6，则△PMN 的周Байду номын сангаас最小值为
( C)
A．4 B．5 C．6 D．7
类型 2 线段和的最小值问题 【问题背景】在 l1上找一点 A，在 l2上找一点 B，使 PA＋AB 值最小． 【模型突破】根据两点之间线段最短，需将线段 AP，AB 转化到同一直线 上即可，作点 P 关于 l1 的对称点 P′，再作 P′B⊥l2于点 B，交 l1 于点 A， 则线段 P′B 即为所求．
作点B关于l的 对称点B′，连接 AB′并延长，与直 线l交于点P
――――――→
3．如图，抛物线 y＝x2－2x－3 与 x 轴交于点 A，B，交 y 轴 于点 C，在直线 x＝1 上有一点 D，满足△ACD 周长最小，则点 D 的坐标为((11，，－－2))．在直线 x＝1 上有一点 F，满足|FB －FC|最大，则点 F 的坐标为((11，，－－66))．
5．如图，在菱形 ABCD 中，AC＝6 2，BD＝6，点 E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连接 PE，PM，则 PE＋PM 的最小值是( C ) A．6 B．3 3 C．2 6 D．4.5
模型三：“两点两线”型(两动点＋两定点) 【问题背景】点 P，Q 是∠AOB 的内部两定点，在 OA 上找点 M，在 OB 上 找点 N，使得四边形 PQNM 周长最小． 【模型突破】要使四边形 PQNM 周长最小，PQ 为定值，即求得 PM＋MN＋ NQ 的最小值即可，需将线段 PM，MN，NQ 三条线段尽可能转化到一条直线 上，因此想到作点 P 关于 OA 的对称点，点 Q 关于 OB 的对称点．
利用变换解决几何极值问题
Ｑ ＯＩＡ ．若 Ｐ Ｃ Ｏ与 Ｑ Ｏ的 交 点 ０位 于矩 形 Ｐ Ｑ Ｍ Ｎ
若（） ８不满 足 ， 则有 两种 可能 的情况 ．
（ ） ６ 甲 一 ＞
ｊ
．
内 ， 交 点 ０ 即为所 求 ． 证 明 ０正 是 ［Ｏ Ｑ的 斐 则 容易 ］ Ｐ
２ 即 ｂ， 马 点．图 ３ （ ）
图 １
：
（） ５
（ ＋ 干 ｄ． 以 ６ ）
（） ６
但 根 据 ｘ ｂ 易 知 ２ ＜ａ ｂ所 以 （ ） ≤Ｊ ≤ａ ｘ ＋． ￣ ６ 中只 能取 负号 （ 否则 ２ ＞＋ ） ｘａｂ ，
即（） ５ 中只能 取正 号， 有 ， 于是
由上讨 论 可见
ｏ ＋ Ｑ Ｐ √ ６ ＋ｎ 】 ＝ （＋ — ： ， Ｐ Ｏ 二 Ｑ＝ 【 一） （ ）＋ √口 ６ ２） （ — ： ＋
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ｓ ｉｃ ｎｔ
２ ｉ ｃｓ ｎ ０ ｓ
ｓ “ Ｉ ｎ
若存 在 Ｘ使 （ｌＯ 则 上式 给 出 ｘ＝ ），
Ｙ— ｌ （ ｌ ＝２ａ＋ｂ ） 一２ （ ２ １）
其 中 ｙ＝ （１， １ ） （ ） ｌｙｘ）由（２ 和 ２ 解得
问题 １ 平 面上 已给 直线 Ｊ在 Ｊ 同侧 有 两定 点 ， 的
Ｐ和 Ｑ，试求 平 面上 到 Ｐ Ｑ及 的距 离之 和 为最 小 的 ，
点 ０” ｔ 。
Ｍ
Ｒ Ｎ
（甲 ）
２
Ｍ
６ Ｎ 、
（ ） 乙
分析
若 ０已找 到 ， ０到 Ｊ 令 的距 离 Ｏ ＝ ， ０ Ｒ ｘ过
动点求最值方法总结
动点求最值方法总结一、引言动点求最值是一类经典数学问题，在各个学科领域中都有广泛的应用。
它可以通过将问题转化为数学模型，通过解析方法或数值计算方法求解。
本文将对动点求最值的方法进行总结和探讨，深入探究这类问题的解决思路和技巧。
二、常见的动点求最值问题2.1 直线上的动点问题在一条直线上，给定两个固定点A和B，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值或最大值。
这类问题可以通过求解P点的坐标来实现。
2.2 平面内的动点问题在平面内，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题涉及到平面几何和三角函数的运用。
2.3 空间内的动点问题在三维空间中，给定固定点A、B和C，求动点P到点A、B、C的距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用空间几何和向量的知识。
三、解决动点求最值问题的方法3.1 几何解法几何解法是通过绘制几何图形，利用几何性质和定理来解决问题。
在直线上的动点问题中，可以通过绘制线段和圆等图形来分析，确定最值点的位置。
在平面内和空间内的动点问题中，可以借助几何图形的相似性和对称性来求解。
3.2 代数解法代数解法是通过建立方程或运用代数方法来求解问题。
在直线上的动点问题中，可以通过设定P点的坐标，利用距离公式建立相应的方程，并通过求导或配方法求解。
在平面内和空间内的动点问题中，可以利用向量运算和三角函数关系建立方程，然后通过求解方程组来得到最值点的坐标。
3.3 数值计算方法如果问题比较复杂，无法通过几何或代数的方法得到解析解，可以使用数值计算方法进行近似求解。
常用的数值计算方法包括最优化算法、数值优化算法和遗传算法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最值点的位置。
四、案例分析4.1 直线上的动点问题案例假设直线上有两个点A(1, 2)和B(3, 4)，求动点P到A点和B点的距离之和的最小值。
通过建立P点的坐标(x, y)，利用距离公式可得：d=√(x−1)2+(y−2)2+√(x−3)2+(y−4)2通过求导可以得到最小值点的坐标：∂d=0∂x∂d=0∂y解得最小值点为P(2, 3)。
动点线段求最大值的方法
动点线段求最大值的方法
在数学领域中，求解动点线段的最大值问题是一种常见的几何问题。
这类问题通常出现在优化问题的求解过程中，如求解函数的最大值、几何图形的面积或体积的最大值等。
本文将详细介绍求解动点线段最大值的方法。
一、问题定义
动点线段最大值问题可以描述为：在一条线段上，有一个动点P，该动点可以在线段上任意移动。
要求求解动点P到线段两端点A和B的最大距离。
二、求解方法
1.代数方法
（1）设线段AB的长度为L，动点P到端点A的距离为x（0≤x≤L），则动点P到端点B的距离为L-x。
（2）根据勾股定理，可以得到动点P到线段两端点的距离的平方和为：d^2 = x^2 + (L-x)^2
（3）对d^2求导，得到：
d"^2 = 2x - 2L + 2(L-x)
（4）令d"^2 = 0，解得x = L/2，此时动点P位于线段的中点，距离两端点的距离相等，为最大值。
2.几何方法
（1）作线段AB的垂直平分线CD，设垂直平分线与线段AB的交点为O。
（2）根据几何知识，线段AB的中点O到两端点A和B的距离相等，且
为线段AB上任意一点到两端点距离的最大值。
（3）因此，动点P在线段AB的垂直平分线CD上移动时，距离两端点的距离最大，最大值为线段AB长度的一半。
三、总结
求解动点线段最大值的方法主要有代数方法和几何方法。
在实际应用中，可以根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解。
动点最值问题归纳及解法
在直线两侧找一点，使得到两定点的距离之和最短
作对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求
构造平行四边形
利用平移构造平行四边形，求最小或最大值
过一点作平行线，构造平行四边形，利用平行四边形的性质求解
相似三角形
利用相似三角形求解最值问题
根据题目条件，构造相似三角形，利用相似比求解
三角函数
利用三角函数求解最值问题
根据题目条件，构造直角三角形，利用三角函数求解
定圆到定圆
圆圆之间连心线截距最短（长）
连接两圆心，求两圆的位置关系（相交、相切、相离），再计算截距
动点路径待确定
动点路径不明确，需先确定路径
根据题目条件，利用几何性质或代数方法确定动点路径
动线（定点）位置需变换
动线或定点位置需通过变换求解
利用翻折、平移、相似、三角等变换方法，将问题转化为基本图形求解
最值问题归纳及解法
问题类型
归纳描述
解法
定点到定点
两点之间线段最短
直接连接两点求线段长度
定点到定线
点线之间垂线段最短
过点作线的垂线，求垂线段长度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定点到定圆
点圆之间点心线截距最短（长）
连接圆心与点，利用勾股定理或相似三角形求解
定线到定圆
线圆之间心垂线截距最短
过圆心作线的垂线，求垂线段与圆的交点，再计算截距
利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
利用几何变换求解多动点线段和的最值问题多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1――垂线段最短，或模型2――两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析. 一、求两动点到一定点距离和的最小值此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例1如图1，菱形ABCD的边长为4，?B?60?. E为BC上的一动点，F为AB上的一动点，P为AC上一个定点，则PE?PF的最小值为 .解析如图2，根据菱形的对称性作点F关于AC的对称点F1，连结PF1，则有PE?PF?PE?PF1.所以，当点E、P、F1三点共线且垂直BC时PE?PF最小.作AG?BC点G，所以PE?PF的最小值即为AG为长.因为菱形ABCD的边长为4, ?B?60?，所以BE?2，AG?23，从而PE?PF的最小值为23. 二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.?AOB?45?，P是?AOB内一点，PO?10，Q、R分别是OA和OB 例2 如图3，上的动点，求VPQR周长的最小值.解析如图4，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连结CD，则，当Q、R在线段CD上时，VPQR周长最小.因为PR?PQ?RQ?CD?COD?2?AOB?90，?OC?OD?OP?10，所以CD?2OC?102，则VPQR周长的最小值为102.三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.例3 如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA?3，OB?4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF?2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.解析如图6，作点D关于x轴的对称点D1，则OD1?OD?OB?2，D1(0,?2) 2 将点C向左平移2个单位(EF?2)到C1点，定点D、C分别到动点E、F的距离和等于为定点D1、C1到动点E的距离和，即DE?CF?D1E?C1E，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.连结D1C1交x轴于点E，四边形EFCC1为平行四边形，此时则四边形CDEF的周长最小.由D(0,?2)、C1(1,4)DE?CF?D1E?C1E?DC11值最小，可求直线D1C1解析式为y?6x?2.当y?0时，x? 四、求两动点到另一动点距离和的最小值117，即E(,0)，则F(,0). 333 一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.例4 如图7，菱形ABCD中AB?3，?A?60?，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，求PE?PF的最小值.解析如图8，与上例类似，仍然要作某一动点(P)所在直线(CD)同侧的两个动点(E、F)中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F，但考虑到F是圆上动点，因此作菱形ABCD和⊙B的对称图形A1B1CD和⊙B1.根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A、D、B1三点共线，PF?PF1.欲求PE?PF的最小值，即求PE?PF所以当PA?PB1最小时，PE?PF11的最小值，的最小值为:PA?PB1?AE?BF1?PA?PB1?3显然，点P运动到D时，PA?PB1最小值为6，所以PE?PF的最小值是3. 五、求三动点构成的三角形周长的最小值三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解. 例5 如图9，在平面直角坐标系中，已知A(0,2)，B(?3,0)，C(1,0).C重合)，点P是线段BC上的动点(点P不与B、点Q是线段AB上动点(点Q不与A、B重合)，点R是线段AC上动点(点R不与A、C重合)，求VPQR周长的最小值. AB于G，作P关于AC的对称点解析如图10，不妨作P关于AB的对称点P1，交P2，交AC于H，连结PQ2R、AP1、P1、AP2.由对称性可知:lVPQR?PQ1?QR?P2R,R、PR分别为PPAB、AC的当lVPQR最小时，P12与边1、Q、2四点共线，即Q、交点，lVPQR的最小值为PP12. 由对称性可知AP??PAB，?P2AC??PAC, 1?AP?AP2，?PAB1 所以?PPP12?2?BAC.所以PP12?2AP1?sin?BAC?2AP?sin?BAC (作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得).从条件不难发现?BAC为定值，根据模型1(垂线段最短)，当AP?BC(点即P运动到点O)时，AP最小，从而PP12最小.又根据条件，不难求出AP?2，PC?1，BP?3，AB?13，AC?5, QSVABC?11AB?AC?sin?BAC?BC?AP,22?sin?BAC?865, 658653265. ?65653265. 65?PP12?2?2?即lVPQR最小值为：六、求三动点到一定点距离和的最小值解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.例6 如图11，四边形ABCD是边长为2的正方形，M为对角线BD上任意一点，当M在何处时，AM?BM?CM最小，并求出最小值.解析如图12，将VABM绕点B逆时针旋转60?得到VEBN，连结MN，由旋转性质得EN?AM，BN?BM，VBMN为等边三角形，所以MN?BM，此时AM?BM?CM转化为折线EN?NM?CM.根据模型2, C、M、N、E四点共线时，AM?BM?CM最小，等于CE，所以M位于BD与CE的交点处.过点E作BC的垂线交CB的延长线于点F.由题意得?EBF?30?，所以EF?1，FB?3.从而CE?EF2?CF2?12?(2?3)2 ?8?43?2?6. 即AM?BM?CM最小值是2?6.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
例谈求线段最值的方法
例谈求线段最值的⽅法例谈求线段最值的⽅法⼏何最值问题属于中考题中的热点问题，也是难点问题，其中，求线段的最值问题是近年常见的题型.下⾯结合⼀些实例谈谈解决此类问题的⽅法.⼀、轨迹法对于线段最⼩值问题，若线段的⼀个端点是定点，另⼀个端点是动点，可以考虑轨迹法，即考虑动点的轨迹.若动点的轨迹是⼀条直线，可以⽤“垂线段最短”原理解决;若动点的轨迹是圆(或⼀段圆弧)，可以⽤“圆最值模型”解决.圆最值模型如图1, P是⊙O外的⼀点，直线PO分别交⊙O于点,A B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离, PB是点P到⊙O上的点的最长距离.PC OC.证明如图1，在⊙O是任取⼀点C(不为,A B)，连结,Q,<+=+=+,P O P C O C P O P A O A P A O C∴<,P A P C即PA是点P到⊙?O上的点的最短距离.PD OD.如图2，在⊙O是任取⼀点D(不为,A B) ,连接,Q,+>=+=+,PO OD PD PB PO OB PO OD∴>,PB PD即PB是点P到⊙O上的点的最长距离.例1 (2016年⽆锡市中考题)如图3，已知平⾏四边形OABC的顶点,A C分别在直线x=上，O是坐标原点，则对⾓线OB长的最⼩值为.x=和41解析如图3，设直线1x =和x 轴交于点E .作BF ⊥直线4x =点F ，因为平⾏四边形OABC ，所以OA 和BC 平⾏且相等，可得AOE ?和CBF ?全等，所以OE BF =，可得点B 的轨迹是直线5x =.当点B 在x 轴上时，OB ⊥直线5x =，此时OB 最⼩，最⼩值为5.例2 (2016年安徽省中考题)如图4,Rt ABC ?中，,6,4,AB BC AB BC P ⊥==是ABC ?内部的⼀个动点，且满⾜PAB PBC∠=∠，则线段CP 长的最⼩值为( )(A) 32 (B) 2 (c)解析根据PAB PBC ∠=∠，可得90APB ∠=?，故点P 在以AB 为直径的圆上(如图4).取AB 的中点,O OC 交⊙O 于点P ,根据圆最值模型知此时CP 最⼩.13,52OP AB OC ===Q ，所以CP 的最⼩值为532OC OP -=-=, 选B.⼆、构造法对于线段最⼤值问题，若线段的⼀个端点是定点，另⼀个端点是动点，但动点轨迹难确定，可以考虑构造法，即找⼀个定点，当这三点共线时，线段最⼤.例3 如图5，平⾯直⾓坐标系中，已知矩形,2,1ABCD AB BC ==，点A 和B 分别在x 轴正半轴和第⼀象限⾓平分线上滑动，点C 在第⼀象限，求OC 的最⼤值.解析如图5，取AOB ?外接圆的圆⼼I ,因为2AB =是确定的，且45AOB ∠=?也是确定的，所以AOB ?外接圆是确定的.那么线段OIBIC ?是确定的，135,1IBC BI BC ∠=?=，可解三⾓形得CI =所以当,,O I C三点共线时，线段OC 取得最⼤值，即为OI CI + 三、转化法对于线段最值问题，若线段的两个端点都是动点，可以考虑运⽤转化法，将它转化为求与之有关的另⼀条线段的最值.例4 (2016年三明市中考题)如图6，在等边ABC ?中，4AB =，点P 是BC 边上的动点，点P 关于直线,AB AC 的对称点分别为,M N ，则线段MN 长的取值范围是 .解析如图6，连结,,AP AM AN ，由对称可得,AP AM AN BAP MAB ==∠=∠，CAP NAC ∠=∠,所以2120MAN BAC ∠=∠=?，所以AMN ?是顶⾓为120°的等腰三⾓形，可得MN ==.于是求线段MN 长的取值范围，就转化为求线段AP 长的取值范围.AP 最⼩为AP 垂直BC 时，最⼤为AB ，所以AP 的取值范围是4AP ≤≤，所以MN 的取值范围是6AP ≤≤ 四、函数法当线段最值问题从⼏何⾓度很难求解的时候，可以考虑引⼊参数，建⽴函数模型，⽤函数法来解决.例5 如图7，在ABC ?中，2AB AC BC ===,点P 是AB 边上的动点(不与点,A B 重合).过点P 作//PE BC 交AC 于点E ，作P F B C ⊥于点F ，连结,EF M 是EF 上的点，且2EM FM =，则PM 的最⼩值是 .解析由条件“2AB AC BC ===”可知ABC ?是确定的，tan 2B =;⼜根据作图可知PBF ?形状也是确定的，PF ⼆2BF,并且有2PF BF =.所以，分析可得PM 的⼤⼩取决于BF 的⼤⼩，所以引⼊参数.设BF x =，则2PF x =,22PE x =-.加图7，作MN PF ⊥于点N .2EM FM =Q ,122333MN PE x ∴==-,2433PN PF x ==, 在Rt PMN ?中，222224()()333PM x x =-+，化简得2220116()9545PM x =-+.所以当15BF =时，PM。
P、Q、R分别是△ABC三边上的动点，则△PQR周长的最小值为______
P、Q、R分别是△ABC三边上的动点，则△PQR周长的最小值为______在平面几何中有一类求线段和最小值问题，这类问题源自古罗马时代“将军饮马”问题。
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦(已知三角形三边a，b，c，求面积S可用公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]计算，其中p表示三角形的半周长，即p=(a+b+c)/2．这个公式就是海伦发现的)，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个问题被称为“将军饮马”问题，在世界各地广泛流传．“将军饮马”问题，我国唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”与“将军饮马”情景何其相似，诗中说的是一位将军白天骑马去山上点A处巡查烽火台，黄昏时牵马到河边饮水，然后回到与河同岸的营地B宿营。
如果诗中再提出这个将军该走哪条路线使路程最短，那么这个就跟“将军饮马”问题完全相同了。
这个问题的解决并不难，据说当时海伦略加思索就解决了它．事实上，这个问题转化为数学问题就是这样一个求线段河最小值的问题：如图1，已知直线l的同侧有A、B两点，在直线l上求作一个点P，使PA+PB最小。
把P视为直线l上的动点，则问题就变成了确定动点P的位置，使得PA+PB最小。
母庸质疑，海伦解决的方法和我们今天解决的方法是一样滴，利用轴对称变换将A、B两点中的一个点变换到直线l的另一侧，比如作点A关于直线l的对称点C（这里要明白为什么要作轴对称？原因很简单，因为这样做虽然点A的位置变了，但能保证点P到A的新位置C的距离PC与原来P到A的距离PA不变，即PC=PA），此时问题变为要使PA+PB最小，只需要PC+PB最小即可。
由于不论点P在何位置，根据“两点之间，线段最短”可知总有PC+PB≥BC，当点P与B、C共线时，等号成立，PC+PB最小=BC。
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利用几何变换求解多动点线段和的最值问题
多动点产生的线段和的最值问题，涉及的知识面广，表现形式灵活，已成为中考的热点，也是考生颇感困惑的问题之一历年来，虽经命题者不断更新变化、赋予新意，但万变不离其宗，解题存在一定的规律与技巧，一般就是通过化归，利用对称、平移、旋转等几何变换，将相关线段转化到同一条直线上，达到化折为直的目的，再根据模型1——垂线段最短，或模型2——两点之间线段最短来求解.下面就不同情形举例分析.
一、求两动点到一定点距离和的最小值
此类问题一般借助轴对称变换，将定点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换 至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
例1如图1，菱形ABCD 的边长为4，60B ∠=︒. E 为BC 上的一动点，F 为AB 上的一动点，P 为AC 上一个定点，则PE PF +的最小值为 .
解析 如图2，根据菱形的对称性作点F 关于AC 的对称点1F ，连结1PF ，则有1PE PF PE PF +=+.所以，当点E 、P 、1F 三点共线且垂直BC 时PE PF +最小.作AG BC ⊥点G ，所以PE PF +的最小值即为AG 为长.因为菱形ABCD 的边长为4,
60B ∠=︒，所以2BE =，AG =PE PF +的最小值为 二、求两动点与一定点构成的三角形周长的最小值
此类问题仍是借助轴对称变换，作定点关于两动点所在定直线的对称点，使两动点在两对称点的折线段上，利用模型2求解.
例2 如图3，45AOB ∠=︒，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q 、R 分别是OA 和OB 上的动点，求PQR V 周长的最小值.
解析 如图4，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点C ，D ，连结CD ，则
PR PQ RQ CD
++≥，当Q 、R 在线段CD 上时，PQR V 周长最小.因为
290C O D A O B ∠=∠=︒，10OC OD OP ===，所以CD ==P Q R V
周长的最小值为 三、求两动点与两定点构成的四边形周长的最小值
此类问题首先要转化为求两动点分别到两定点距离和的最小值，然后仿上述例1解法求解.
例3 如图5，在平面角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
若E 、F 为边OA 上的两个动点，且2EF =，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标.
解析 如图6，作点D 关于x 轴的对称点1D ，则122
OB OD OD ===，1(0,2)D - 将点C 向左平移2个单位(2EF =)到1C 点，定点D 、C 分别到动点E 、F 的距离和等于为定点1D 、1C 到动点E 的距离和，即11DE CF D E C E +=+，从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”即模型2的类型.
连结11D C 交x 轴于点E ，四边形1EFCC 为平行四边形，此时1111DE CF D E C E D C +=+=值最小，则四边形CDEF 的周长最小.由(0,2)D -、1(1,4)
C
可求直线11D C 解析式为62y x =-.当0y =时，13x =，即1(,0)3E ，则7(,0)3
F . 四、求两动点到另一动点距离和的最小值 一般借助轴对称变换，将某一动点所在直线同侧的两个动点中的一个对称变换至直线的另一侧，利用模型1、2求解.
例4 如图7，菱形ABCD 中3AB =，60A ∠=︒，⊙A 、⊙B 的半径分别为2和1，P 、E 、F 分别是边CD 、⊙A 和⊙B 上的动点，求PE PF +的最小值.
解析 如图8，与上例类似，仍然要作某一动点(P )所在直线(CD )同侧的两个动点(E 、F )中的一个对称变换至直线的另一侧，不妨选F ，但考虑到F 是圆上动点，因此作菱形ABCD 和⊙B 的对称图形11A B CD 和⊙1B .
根据题意和菱形以及轴对称图形的性质，可知A 、D 、1B 三点共线，1PF PF =.
欲求PE PF +的最小值，即求1PE PF +的最小值，所以当1PA PB +最小时，
1PE PF +的最小值为:
1113PA PB AE BF PA PB +--=+-
显然，点P 运动到D 时，1PA PB +最小值为6，所以PE PF +的最小值是3.
五、求三动点构成的三角形周长的最小值
三动点三角形周长最小值问题一般较难，没有固定的解题模式，关键是要灵活使用基本模型将问题转化，通常是根据轴对称性质，将周长转化成动点为端点的折线段，然后再利用
模型1，设法固定一个动点，将问题转化成双动点线段长最值问题，最后根据模型2求解. 例5 如图9，在平面直角坐标系中，已知(0,2)A ，(3,0)B -，(1,0)C .
点P 是线段BC 上的动点(点P 不与B 、C 重合)，
点Q 是线段AB 上动点(点Q 不与A 、B 重合)，点R 是线段AC 上动点(点R 不与A 、C 重合)，求PQR V 周长的最小值. 解析 如图10，不妨作P 关于AB 的对称点1P ，交AB 于G ，作P 关于AC 的对称点2P ，交AC 于H ，连结1PQ 、2P R 、1AP 、2AP .
由对称性可知:
1
2PQR l PQ QR P R =++V , 当PQR l V 最小时，1P 、Q 、R 、2P 四点共线，即Q 、R 分别为12P P 与边AB 、AC 的交点，PQR l V 的最小值为12P P .
由对称性可知
12AP AP AP ==，1P AB PAB ∠=∠，2P AC PAC ∠=∠,
所以122PPP BAC ∠=∠.
所以1212sin 2sin PP AP BAC AP BAC =⨯∠=⨯∠ (作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得).
从条件不难发现BAC ∠为定值，根据模型1(垂线段最短)，当AP BC ⊥(点即P 运动 到点O )时，AP 最小，从而12P P 最小.
又根据条件，不难求出
2AP =，1PC =，3BP =，AB =AC =11sin 22
ABC S AB AC BAC BC AP =⨯⨯∠=⨯V Q ,
sin BAC ∴∠=,
1222PP ∴=⨯=.
即PQR l V 六、求三动点到一定点距离和的最小值
解决此类问题一般是应用旋转变换，将交于同一点的三条线段改变位置，等量转换为两定点之间的折线之和，然后利用模型1求解.
例6 如图11，四边形ABCD 是边长为2的正方形，M 为对角线BD 上任意一点，当M 在何处时，AM BM CM ++最小，并求出最小值.
解析 如图12，将ABM V 绕点B 逆时针旋转60︒得到EBN V ，连结MN ，由旋转性质得E N A M =，BN BM =，BMN V 为等边三角形，所以M N B M =，此时
A M
B M
C M
++转化为折线EN NM CM ++.根据模型2, C 、M 、N 、E 四点共线时，AM BM CM ++最小，等于CE ，所以M 位于BD 与CE 的交点处.
过点E 作BC 的垂线交CB 的延长线于点F .由题意得30EBF ∠=︒，所以1EF =，
FB =从而
CE ==
==
即AM BM CM ++。