2019版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标59几何概型

第59讲 几何概型

[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现． 一、选择题

1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( B ) A ．4

5 B ．35 C ．2

5

D ．15

解析 区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P ＝35

.

2．设p 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2

＋px ＋1＝0有实数根的概率为( C ) A ．1

5 B ．25 C ．3

5

D ．45

解析 方程有实根，则Δ＝p 2

－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为

5－25－0＝35

. 3．在区间[0,2π]上任取一个数x ，则使得2sin x >1的概率为( C ) A ．1

6 B ．14 C ．1

3

D ．23

解析 ∵2sin x >1，x ∈[0,2π]，∴x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6，5π6，

∴p ＝5π6－π62π＝13

，故选C ．

4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1

3

，则阴影部分的面积是( D

)

A ．π

3

B ．π

C ．2π

D ．3π

解析 设阴影部分的面积为S 1，圆的面积S ＝π×32

＝9π，由几何概型的概率计算公式

得S 1S ＝1

3

，得S 1＝3π. 5．(2018·北京昌平模拟)设不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x －2y ＋2≥0，x ≤4，

y ≥－2

表示的平面区域为D .在区

域D 内随机取一个点，则此点到直线y ＋2＝0的距离大于2的概率是( D )

A ．4

13 B ．513 C ．8

25

D ．925

解析 作出平面区域可知平面区域D 是以A (4, 3)，B (4，－2)，C (－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED 区域内时，点到直线y ＋2＝0的距离大于2.P ＝S △AED S △ABC ＝1

2

×6×3

1

2×10×5＝

9

25

，故选D ．

6．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( C )

A ．4n

m

B ．2n m

C ．4m

n

D ．2m n

解析 如图，数对(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )表示的点落在边长为1的正方形OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得m n ＝14π12⇒π＝4m

n

.故选C ．

二、填空题

7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为__1

2

__.

解析 当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离小于12，

所以所求概率P ＝1×1×

121×1×1＝1

2

.

8．记集合A ＝{(x ，y )|x 2

＋y 2

≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为__1

2π

__.

解析 作圆O ：x 2

＋y 2

＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝1

2π

.

9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是__17

25

__.

解析 设随机取出的两个数分别为x ，y ，则0

5，由几何概

型知，所求概率为P ＝12

－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15×⎝ ⎛⎭⎪

⎫1－1512

＝17

25

. 三、解答题

10．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；

(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

解析 (1)设甲、乙两船到达时间分别为x ，y ，

则0≤x <24,0≤y <24， 且y －x >4或y －x <－4. 作出区域⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x <24，0≤y <24，

y －x >4或y －x <－4.

设“两船无需等待码头空出”为事件A ， 则P (A )＝2×1

2×20×2024×24＝25

36

.

(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x －y >2或y －x >4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B ，画出区域

⎩⎪⎨⎪

⎧

0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或x －y >2.

则P (B )＝12×20×20＋1

2×22×2224×24＝442576＝221

288

.

11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是1

2

.

(1)求n 的值；

(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .

①记“2≤a ＋b ≤3”为事件A ，求事件A 的概率；

②在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x 2

＋y 2

>(a －b )2

恒成立”的概率．