分支限界法

6.1分支限界法的基本思想
分支限界法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜 索问题的解空间树。
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结 点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结 点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结 点被加入活结点表中。
右儿子剪枝
提前更新 bestw
// 检查右儿子结点 if (ew + r > bestw && i < n)
// 可能含最优解
queue.put(new Integer(ew)); ew=((Integer)queue.remove()) .intValue(); // 取下一扩展结点
思考：为什么在回溯算法中不需要在进入左子树时更新这个值，而 是在找到一个可行解后才更新？(比较P156程序)
算法设计与分析
北京交通大学计算机学院 李清勇 E-mail: qingyongli@ Tel: 51688603
主校区: 9号楼 北312
回溯法概述
回溯法是一种通用性解法，可以将回溯法看作是带优化的 穷举法。
回溯法的基本思想是在一棵含有问题全部可能解的状态空 间树上进行深度优先搜索。搜索过程中，每到达一个结点 时，则判断该结点为根的子树是否含有问题的解，如果可 以确定该子树中不含有问题的解，则放弃对该子树的搜索， 退回到上层父结点，继续下一步深度优先搜索过程。 在回溯法中，并不是先构造出整棵状态空间树，再进行搜 索，而是在搜索过程，逐步构造出状态空间树，即边搜索， 边构造。
6.3 装载问题
3. 算法的改进
// 检查左儿子结点 int wt = ew + w[i]; if (wt <= c) { // 可行结点 if (wt > bestw) bestw = wt; // 加入活结点队列 if (i < n) queue.put(new Integer(wt)); }
课外知识点：堆
n 个元素的序列 {k1 , k 2 , , k n }
当且仅当满足下述关系时，称之为堆
ki k 2i k i k 2 i 1
或
ki k 2i k i k 2 i 1
n i 1,2, , 2
6.1分支限界法的基本思想
优化穷举
碰壁回头
动态构造
回溯法求解步骤
(1)针对所给问题，定义问题的解空间；
(2)确定易于搜索的解空间结构（子集树和排列树）； (3)以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函 数避免无效搜索。
常用剪枝函数 1. 用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树； 2. 用限界函数剪去得不到最优解的子树。
5. 优先队列式分支限界法
解装载问题的优先队列式分支限界法用最大优先队列存储活结点 表。活结点x在优先队列中的优先级定义为从根结点到结点x的路 径所相应的载重量再加上剩余集装箱的重量之和； 优先队列中优先级最大的活结点成为下一个扩展结点。以结点x 为根的子树中所有结点相应的路径的载重量不超过它的优先级。 子集树中叶结点所相应的载重量与其优先级相同； 在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结点成为当前扩展结 点，则可以断言该叶结点所相应的解即为最优解。此时可终止算 法。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结 点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为 止。
6.1分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法的不同
（1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条 件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件 的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最 优解。
优先队列式分支限界法(效益函数为当前获取价 值)： < > A(0) <A > B, C => B(45), C(0) <B, C > D, E => E(45) (比较队列式方法！) <E, C > J, K => K(45) <1, 0, 0> <C > F, G => F(25), G(0) <F, G > L, M => L(50), <0, 1, 1>, M(25)<0,1,0> <G > N, O => N(25)<0,0,1>, O(0)<0,0,0>
例题：0-1背包问题(子集树)
考虑如下0-1背包问题的实例： n=3, c=30, w=<16,15,15>, p=<45,25,25>
1 B D H I J E
A
0 C F G
队列式分支限界法： <>A <A > B, C => B, C <B, C > D, E => E <C, E > F, G => F, G <E, F, G > J, K => K(45) <1,0,0> <F, G > L, M => L(50) <0, 1, 1>, M(25)<0,1,0> <G > N, 0 => N(25)<0,0,1>, O(0)<0,0,0>
中取出的是-1时，再判断当前队列是否为空。如果队列非空，则将尾 部标记-1加入活结点队列，算法开始处理下一层的活结点；为空，则 exit。
6.3 装载问题
2. 队列式分支限界法
while (true) { if (ew + w[i] <= c) enQueue(ew + w[i], i); // 检查左儿子结点
K L M N O
例题：旅行售货员问题（排列树）
1 6 3
5 20 30
2
10
4
4
A B C D
E
K
F
L
G
M
H
N
I
O
J
P
队列式分支限界法： <>A <A> B, C, D <B, C, D> E, F <C, D, E, F> G, H <D, E, F, G, H> I, J <E, F, G, H, I, J> K(59) <1,2,3,4> <F, G, H, I, J> L(66) <G, H, I, J> M(25) <1, 3, 2, 4> <H, I, J> 1-3-4(26) <I, J> O(25) <J> P(59) 优先队列式分支限界法： <>A <A > B, C, D => B(30), C(6), D(4) <D, C, B > I, J => I(14), J(24) <C, I, J, B > G, H => G(11), H(26) <G, I, J, B, H > M => M(25) <1, 3, 2, 4> <I, J, B, H > O => O(25) <J, B, H > P => P(59) <B, H > B, H 被剪枝
enQueue(ew, i);
ew = ((Integer) queue.remove()).intValue(); if (ew == -1) { if (queue.isEmpty()) return bestw;
//右儿子结点总是可行的
// 取下一扩展结点
queue.put(new Integer(-1)); ew = ((Integer) queue.remove()).intValue(); i++; } }
}
形成了一个链表来保存最优解的相应信息！
6.3 装载问题
找到最优值后，可以根据parent回溯到根节点，找到最优解。
// 构造当前最优解 for (int j = n; j > 0; j--) { bestx[j] = (e.leftChild) ? 1 : 0; e = e.parent; }
6.3 装载问题
6.3 装载问题
while(i!=n+1){ if(ew+w[i]<=c) // 判断左儿子是否可行 addLiveNode(ew+w[i]+r[i],i+1,e,true); addLiveNode(ew+w[i]+r[i],i+1,e,false); // 右结点总是可行 // 取下一扩展结点 HeapNode node=(HeapNode)heap.removeMax(); i=node.level; e=node.liveNode; ew=node.uweight-r[i-1];
6.3 装载问题
怎样来构造在优先队列的每个活结点中保存从根结点到该活结点的路径； 2) 在搜索过程中保存当前已经构造出的部分解空间树。 class Bbnode { Bbnode parent; // 父结点 boolean leftChild; // 左儿子结点标志 } 把优先队列中每个活结点所处的层次信息记录在结点中。 class HeapNode{ Bbnode liveNode; int uweight; // 活结点优先级 int level; // 活结点在子集树中所处的层次号 }
优先队列式分支限界法程序框架
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数；初始化优先队 列Q； 计算~C(T)，并将T入队； 循环，直到队列Q空（无解）： 结点e出队； 若e是回答结点，则 输出解或求解路径，求解结束； 否则 检查e的所有子结点x： 若x满足约束条件，则 计算~C(x)，并将x入队； 记录搜索路径；