2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法

综合法是中学数学证明中最常用的方法． 综合法是 从已知到未知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q
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πL2 L2 πL2 L2 4 式成立， 只需证明 2 ＞ 成立， 即证明 2 ＞ ， 两边同乘以 2， 4π 16 4π 16 L
L 2 L2 1 1 得 ＞ ，因为上式成立，所以 π2π ＞ 4 . π 4
所以，如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这 个圆的面积比这个正方形的面积大． 点评：分析法．
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从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中使每一步
结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公
理等)为止，这种证明的方法叫做分析法．
分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理 方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等， Q 表示所要证明的结论，则分析法用框图表示为：
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1 2 3 1．证明： ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
1 证明： 因为 logab＝ ， 所以左式＝log195＋2log193 logba ＋3log192＝ log19(5×32×23)＝log19360. 因为 log19360＜log19361＝2， 1 2 3 所以 ＋ ＋ ＜2. log519 log319 log219
第二章
推理与证明
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
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1． 了解直接证明的两种基本方法——综合法和分 析法． 2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用 综合法和分析法证明数学问题．
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栏 综合法 是直接证明中最基本的两种 1．________
证法三
∵a，b∈R＋， ab b· a
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1 1 a＋b a＋b b a ∴a＋b＝ a ＋ b ＝ 1＋a＋ b＋ 1≥2＋ 2 ＝4，当且仅当 a＝b 时，取“＝”号． 点评：综合法．
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论 成立，这种证明方法叫做综合法．
3
a－
b) <( a－b) ，即 a－b－3 a b＋3 ab2<a－b， 即证 ab < a2b，只需证 ab2<a2b， 即 ab(b－a)<0. 只需 ab>0 且 b－a<0 或 ab<0，b－a>0. 答案：D 3
2
3
3
3
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题型1
综合法的应用
1 1 例1 已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证： ＋ ≥4. a b
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Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→
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2．当 a≥2 时，求证： a＋1－ a＜ a－1－ a－2.
分析：条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明． 证明：要证 只需证 只需证( a＋1－ a＜ a－1－ a－2 ，
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a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1 ， a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2，
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证明：证法一
∵a，b∈R＋且 a＋b＝1，
1 ∴a＋b≥2 ab.∴ ab≤ . 2 1 1 a＋b 1 ∴a＋b＝ ab ＝ab≥4.
证法二
∵a，b∈R＋， 1 ab>0.
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1 1 ∴a＋b≥2 ab>0.a＋b≥2
1 1 ∴(a＋b)a＋b≥4.
1 1 又 a＋b＝1，∴a＋b≥4.
自 测 自 评
1. 证明不等式 2 ＋ 7< 3 ＋ 6 的最适合的方法是 ( ) A．综合法 C．间接证法 B．分析法 D．合情推理法
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解析：证明该不等式的最合适方法是分析法．故选 B. 答案：B
自 测 自 评
2．已知直线 l，m，平面 α，β，且 l⊥α，m⊂β，给 出下列四个命题：①若 α∥β，则 l⊥m；②若 l⊥m，则 α∥β；③若 α⊥β，则 l⊥m；④若 l∥m，则 α⊥β. 其中正确命题的个数是( A．1 个 C．3 个 B．2 个 D．4 个 )
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自 测 自 评
解析：若 l⊥α，m⊂β，α∥β，则 l⊥β，所以 l⊥m，① 正确；若 l⊥α，m⊂β，l⊥m，α 与 β 可能相交，②不正确； 若 l⊥α，m⊂β，α⊥β，l 与 m 可能平行或异面，③不正确； 若 l⊥α，m⊂β，l∥m，则 m⊥α，所以 α⊥β，④正确． 答案：B
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题型2
分析法的应用
例2 求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这
个圆的面积比正方形的面积大．
L 2 证明： 设圆和正方形的周长为 L， 依题意， 圆的面积为 π2π ， L2 L 2 L2, 正方形的面积为 4 ，因此本题只需证明 π2π ＞ 4 要证明上
证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从已知条件 ________出发，经过逐步的推理 __________，最 后达到待证结论． 3．分析法是从待证结论 ________出发，一步一步寻求结论成 立的________ 充分条件，最后达到题设的已知条件，或已被证明 的事实．
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只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 a＋1a－2 ＜ a ＋ a － 1 ＋ 2 aa－1，只需证 a＋1a－2< aa－1 ，
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自 测 自 评
3．要证 a－ b< a－b成立，a，b 应满足的条件 是( ) A．ab<0 且 a>b B．ab>0 且 a>b C．ab<0 且 a<b D．ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b
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3
3
3
自 测 自 评
解析：要证 3
3
3
a－
3
b< 3
3
2
a－b ， 只 需 证 ( 3