现代通信技术第二版 翻译

翻译译文9.1频率分解和窗口要计算数字模拟信号的频谱，是将有限长信号记录采样和样品由DFT 或FFT 算法转化到频域模拟信号。

采样速率s f 必须足够快，以尽量减少混叠的效应。

模拟抗混叠预过滤，如果有必要，可预想操作。

采样信号的频谱)(^f X 是在采样速率为s f 的倍数复制所需的模拟频谱)(f X ，依照泊松求和公式，方程（1.5.14）第1章。

我们看到，采样率和预过滤器的正确选择，它可以保证，)(^f X 同意所需)(f X 超过奈奎斯特间隔。

如方程(1.5.15):22ss f f f ≤≤- (9.1.1)这个属性是采样定律的直接推论，由非重叠的光谱)(^f X 复制而来，然而，如果它与副本发生重叠，它将有助于等式（9.1.1）的右侧部分，所需的采样频率讲不同：22...,)()()()(^ss s s f f f f f X f f X f X f X T ≤≤-+++-+= （9.1.2）由于满足等式（9.1.1）是非常重要的，我们只能先计算出)(^f X ，或者使等式（9.1.2）中的额外协议小余尼奎斯特间隔，这恰好使)(f X 与f 迅速衰减相一致。

例1.5.2举例说明了方程（9.1.2）非带线信号近似特性。

虽然，我们可以通过)(^f X 的数字信号处理技术得到)(f X 的最近似值，但是由于需要采样的数字是一个无穷的数字∞<<-∞n nT x ),(，所以我们无法计算得出。

为了方便计算，我们必须构造一个)(f X 的第二近似值，使它的采样数是一个有限值，比如说，)(nT x ，10-≤≤L n 。

这个时间窗口过程如图所示9.1.1。

根据采样信号)(nT x ，原始的采样频谱)(^f X 和他的时间窗口类型由下式给出：∑∞-∞=-=n jfnT e nT x f x π2^)()( （9.1.3）∑-=-=102^)()(L n jfnTL e nT x f x π图9.1.1 时间窗口从图9.1.1可以看出，窗口数据记录当采样信号n =0到采样信号1-=L n 为T L )1(-秒，采样时间间隔s f T /1=。

因为每个采样信号都持续T 秒，最后一个采样信号直到时间为LT 。

因此，我们可以得到数据记录的持续时间为：TL T L = （9.1.4） 窗口信号可以看做是0以外的窗口范围和原始的窗口的无线信号。

为明确的表示这个数学思想，我们定义这个矩形窗口的长度为L ：⎩⎨⎧-≤≤=therwise L n if n W ,010,1)( （9.1.5） 于是，定义这个窗口信号如下：⎩⎨⎧-≤≤==otherwise L n if n x n w n x n x L ,010),()()()( （9.1.6） 通过)(n w 的倍增确保)(n x L 在窗户以外的范围为零。

等式（9.1.3）现在可以在形式上表示的更加简便：∑∞-∞=-=n jwn e n x x )()(ω∑-=-=10)()(L n jwn L en x x ω∑∞-∞=-=n jwn L e n x )( （9.1.7）这时s f f /2πω=。

因此，)(ωL X 是窗口信号)(n x L 的离散时间信号的傅里叶变换，同时可以计算出任意ω的期望值。

长度为L 的数据窗口增加，窗口信号)(n x L 成为)(n x 更好的一个近似值，这样，)(ωL x 便成为)(ωx 的更好的近似值。

例1.5.2举例说明了L 增长的近似值。

通常来说，窗口过程有两个主要的作用：第一，它减少了计算频谱的频率分辨率，从本质上看，最小的可解析的频率是不同的，它被限制在记录数据的长度中，也就是说，L T f /1=∆。

这就是众所周知的“不确定性准则”。

第二，它介绍了在频谱中的虚假高频分量，它由左侧信号)(n x 的图突然地削波引起，右侧在矩形窗口结束。

这个作用简称“高频泄露”。

这两个影响可以通过窗口谱)(ωL x 到非窗口)(ωx 的精确连接来理解，如等式（9.1.7）。

使用二次函数的结果进行傅里叶变换，是它们傅里叶变换的卷积结果，我们得出)()()(n w n x n x L =的频域分析器的类型： ⎰--=πππωωωωω2')'()'()(d W X X L （9.1.8） 这时)(ωW 是矩形窗口)(n w 的离散时间信号的傅里叶变换。

就是说， jwn L n e n w W --=∑=)()(10ω 它可以被理解为在ωj e Z =单位循环上Z 变换的估值。

设定1)(=n w ，我们可以发现：1101011)()(---=--=---===∑∑z z z zn w z W L L n n L n n 设定ωj e z =，我们发现)(ωW 为： 2/)1()2/sin()2/sin(11)(----=--=L j j jL e L e e W ωωωωωω （9.1.9）这个强度频谱|)2/sin(/)2/sin(||)(|ωωωL W =在图例9.1.2中被描述。

它由长度为Ｌ的主瓣和以0=ω为中心基宽为L /4π的一些旁瓣组成。

旁瓣在)(ωW 零点之间，同时分子为)2/sin(L ω且等于零，就是说，,...2,1,/2±±==fork L k πω（同时0=k 已排除）。

主瓣的峰值在直流主导频谱，因为)(n w 本质上是一个直流信号，除了当它阻隔在断点处。

更高直流电泄露的频率分量和)(n w 的旁瓣在末端的急剧变化。

主瓣的宽度可以用不同的方式定义。

比如说，我们可以通过基底的宽度，L /4π，或者，采用3dB 带宽，就是说，当2|)(|ωW 减少到1/2处。

为简便起见，我们可以定义基底带宽的一半，也就是说，每个抽样单位的弧度：L w πω2=∆ （矩形窗口宽度） （9.1.10） 用Hz 的单位通过s w w f f /2∆=∆πω定义。

运用等式（9.1.4），我们可以得出 L s T LT L f f 11===∆ （9.1.11） 我们可以简单的看出，主瓣带宽w f ∆窗口谱的频谱分辨限制。

随着L 的增长，主板的高度也随之增长，带宽便短，同时愈发向DC 集中。

然而，侧瓣的长度增加，但是相对于主瓣的高度它保持与近似值一致并在大约13dB 处下降。

举个例子来看，第一个侧瓣的峰值在近似值的一半处，即在2到L /2π和/4π的0处，也就是，当L /3πω=处。

利用L W =)0(，我们可以发现L 的相对高度基本上是独立的：ππππωωωπω32)2/3(1|)2/3sin()2/3sin(||)2/sin()2/sin(||)0()(|/3=≅===L L L L L L W W L我们假定L 足够大（例如，10≥L ），使小的X 的近似值为Lxwithx x 2/3sin π=≅。

这样衡量，相对侧瓣水平为dB W W R L 46.13)32(log 20|)0()(|log 2010/310-=≅==πωπω为了举例说明等式（9.1.8）卷积的作用，我们可以考虑频率为1f 的单调模拟正弦曲线和它的采样类型：∞<<-∞==⇒∞<<-∞=n e e n x t e t x n j nT jf Tf ,)(,)(11122ωππ 此时s f f Tf /22111ππω==。

模拟信号)(t x 的傅里叶变换频谱为：)()()(1)(221f f dt e dt e t x f X t f f j jft -===⎰⎰∞∞---∞∞--δππ 因此，)(f X 由1f f =的单调变换光谱组成。

因为实数的正弦曲线)2cos()(1t f t x π=，我们能够得到两个f f ±=的半高线。

确定，傅里叶变换的余弦函数为： )(21)(212121)2cos()(1122111f f f f e e t f t x t jf t jf ++-→+==-δδπππ 假定1f 位于尼奎斯特间隔，也就是说，2/||1s f f ≤，我们利用等式（9.1.1）去定义信号)(n x 在2/2/s s f f f ≤≤-上的频谱为： )(1)(1)()(1^f f T f X T f X X -===δω利用Delta 函数性质，)()(||x ax a δδ=，我们可以描述频谱在数字频率Tf f f s ππω2/2==，如下： )(1)22(21)(2111f f T Tf Tf T T -=-=-δππδπωωπδ因此，单调采样频谱，在尼奎斯特间隔应为： πωπωωπδω≤≤--=),(2)(1X （9.1.12） 在尼奎斯特间隔之外，光谱线以π2的倍数进行复制，就是为，)2(21m πωωπδ--。

这个内容在5.4章节讨论过。

他已经在等式（9.1.12）被证实过，从离散傅里叶变换的逆运算得到采样正弦函数，等式（1.5.5）：n ej d e d e X n x jwn jwn 112)(22)()(ωπωωωπδπωωππππ=-==⎰⎰--正弦函数窗口由L 采样信号组成：1,...1,0,)(1-==L n e n x n j L ω 它的频谱通过将等式（9.1.8）带入等式（9.1.12）得到： πωωωωωπδπωωωωωππππ2')'()'(22')'()'()(1d W d W X x L ⎰⎰----=-=由于Delta 函数)'(1ωωδ-在被积函数，我们得到：)()(1ωωω-=W x L （9.1.13） 这个转换以1ω为中心，在图9.1.3中显示。

因此，这个窗口程序作用于使谱线)(1ωωδ-抹平1ω，并用)(1ωω-W惊醒转换。

图 9.1.3 窗口单一频谱和双正弦波一个近似的分析是在)(t χ由两个复杂的正弦函数频率为1f 和2f 复杂的正弦函数和振幅为1A 和2A 的情况下构成的。

我们对其进行分析、采样、给窗口信号，得到他们的光谱为：∞<<-∞+=t e A e A t x t jf t jf ,)(212221ππ )()()(2211f f A f f A f X -+-=δδ∞<<-∞+=n e A e A n x n j n j ,)(2121ωω πωπωωδπωωδπω≤≤--+-=),(2)1(2)(221A A X10,)(2121-≤≤+=L n e A e A n x n j n j L ωω )()1()(221ωωωωω-+-=W A W A X L此外，这两个骤减的频率谱线被他们的覆盖后的版本替代，在图片9.1.2中显示。

在这个图形中，我们可以得到频率分离，||12f f f -=∆，或者||12ωωω-=∆，这两个正弦曲线必须足够大以便于主瓣容易区分且不会发生重叠。