第七单元 向量代数 空间解析几何
《高等数学》第七章 空间解析几何与向量代数
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关于向量的投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A a1 B a2
C
u
A
B
C
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关于向量的投影定理（3）
Pr
ju a
M 2M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
M1M3 (5 4)2 (2 3)2 (3 1)2 6
M 2M3 M1M3
M1
M3
即 M1M 2M3 为等腰三角形 .
M2
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
M B
o
A
中点公式:
B
x1
2
x2
,
y1
2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r (x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
r OM
z R
解 a 4m 3n p
4(3i 5 j 8k ) 3(2i 4 j 7k )
(5i j 4k ) 13i 7 j 15k,
在x 轴上的投影为ax
13,
高等数学第七章空间解析几何与向量代数
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二、空间两点的距离公式
如图，设M1( x1，y1，z1 )、M2( x2，y2，z2 )为空间两点，
在直角三角形
M1
NM
中，有
2
z
R
M1M2 2 M1 N 2 NM2 2
• M2
在直角三角形M 1 PN中，有
M1•
Q
M1N 2 M1P 2 PN 2 ,
M1M2 2 M1P 2 PN 2 NM2 2
a
A
返回
二、向量的线性运算 即1、 { a加a1 法b b1： ，设a{2 a向1，ba量2，2，aaa33}{ba3{1，}b称a1，2，b为2a，3b向}，3 }b量a{a{与1b1，bbb的12， ，和ab23 }，，记b则2，为a向3a量bb3}.. 加法的几何解释：
(1)三角形法则
a
b
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例2、设点P在x轴上，且它到点P1(0， 2，3)的距离为 到点P2(0，1， 1)的距离的两倍，求点P的坐标. 解：由点P在x轴上可设点P的坐标为( x，0，0)，
则 PP1 (0 x)2 ( 2 0)2 (3 0)2 PP2 (0 x)2 (1 0)2 (1 0)2
第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系
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一、空间点的直角坐标
1、空间直角坐标系 过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，
它们都以O为原点，且具有相同的长度单位，方
向按右手规则，
即以右手握住 z 轴，当右
z 竖轴
手的四个手指从正向 x轴
以 角度转向正向 y 轴
2
时，大拇指的指向就是 z
A AB
.
3、零向量：模为零的向量称为零向量. 记为0
《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何
d 2 M1M2 2
M1Q2QM 22
（△M1QM2 是直角三角形） M 1P2P2 Q Q2 M 2
z1 M1
P
（△M1PQ都是直角三角形）
x1
M 1 P 2P M 2 2Q2 M 2 x2
标式来表示向量M1M 2 与 2M1M2 .
2.已知 O A 4,1,5与O B 1,8,0,求向量AB
与 OAOB的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M1M 2,则力F 所做的功
C (2， 4， 7)， 求 AB 的 C面积.
解：
根据向量积的定义，可
知 ABC 的面积为
S ABC
1 AB 2
AC sin A 1 AB AC . 2
由于 AB 2，2，2，AC 1，2，4，所以
i jk
AB AC 2 2 2 4 i 6 j 2 k
124
于是 S ABC
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
07第七章 向量代数与空间解析几何
M1P x2 x1 x2 x1 ax ，
M2
M1
Q
P
M1M 2 a ，
y
x 图7－12
cos M1P ax
M1M 2 a
当是钝角时，上式也成立.
类似地，有
ax ax2 ay2 az2
cos ay
ay
，
a
ax2 ay2 az2
cos az
第一节 向量及其线性运算
一、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点 O，过点 O 作三条具有相同长度单位，且两两互相垂直的 x 轴，y 轴， z 轴，这样就称建立了空间直角坐标系O xyz .点 O 称为
坐标原点，x 轴，y 轴，z 轴统称为坐标轴，又分别叫做横 轴，纵轴，和竖轴.一般规定 x 轴，
解 设 AC ， BD的交点为 O（图 7-9），由于平行四 边形对角线互相平行，故
AO 1 AC 1 a，OD BO 1 BD 1 b，
2
2
2
2
根据三角形法则，有
AB AO OB AO BO
D
C
1ab 2
DA AD AO OD
a axi ay j az k 或写成
a ax ,ay ,az ，
其中是数.
3.用坐标表示向量平行的充要条件 前面已提到
向量 b与a 平行的充要条件为，存在惟一的数使
b a 引入向量坐标以后，此条件又能写成
bx ,by ,bz ax ,ay ,az ，
π 2
0，
az
a cos
2cos
2 2
2.
第7章向量代数与空间解析几何.
第7 章向量代数与空间解析几何7.1 向量代数1学习指导1.基本要求⑴理解向量的基本概念。
⑵熟练掌握向量的加减、数乘、数量积、向量积运算的几何意义和坐标运算，掌握混合积及其几何意义。
⑶熟练运用向量坐标来判定和表达向量之间的关系及计算等有关问题。
⑷掌握两个向量之间夹角的计算及两个向量平行或垂直的条件。
⑸掌握单位向量及方向余弦的表达式。
2重点与难点重点向量的概念、向量的坐标、向量的线性运算、向量的数量积与向量积。
难点向量的向量积及其运算律。
3学习方法⑴向量代数的主要内容可归类为：①两种表示法几何表示与坐标表示。
②五类运算加减、数乘、数量积、向量积与混合积运算，其中数量积与混合积的运算结果是数量，其余的运算结果是向量。
③几个关系两向量的垂直、平行及相交关系，三向量的共面关系。
研究方法是以向量为工具，用代数方法研究几何问题，学习中应 深刻理解向量的基本概念及几何意义，切实掌握用向量研究各种数形 结合问题的方法和技巧。
⑵注意向量与数量是两类不同的概念， 学习中切不可将数量中的 一些规律随意用于向量运算，例如数量乘法只有一种而向量乘法却有 多种，其结果可能是数量也可能是向量；数量乘法具有交换律和消去 律，而向量的向量积具有反交换律；两数量可以比较大小而两向量却 没有大小之分；数量乘法可记为 a b a b ab ,而向量中的a b 是向量，a b 是数量，需要严格区分不可混淆。
⑶对涉及向量的向量积和数量积的计算，一般是根据它们的定 义、性质和运算规律来进行，应明确哪个结果是数量，哪个结果是向 ，a a 0，a a b ，a b b a ，a b b a等性质简化运算，如果仅涉及向量数量积的运算，则经常使用下面两 种方法:②当不能直接利用定义时，根据所给条件充分利用数量积的有关 运算律间接计算。
⑷设a,b,c 为非零向量，研究向量间相互关系有如下方法。
如需确定a ll b 或a 与b 共线，则: ① 讨论是否有a b . ② 讨论是否满足生岂电b x b yb z③计算a b 是否等于零向量。
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
第四节 空间直线及其方程
一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20, 那么直线L可以用方程组
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
一方向向量s(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
❖直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s(m, n, p)的直线的方 程.
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量:
从而有
(xx0, yy0, zz0)//s ,
>>>注
λ >0
由性质1， Prj(λα)=|λα|cos(φ1)
α φ1 = φ
=λ|α|cosφ
λα φ1=π- φ
=λPrjlα
λ<0
当λ<0时 φ1=π-φ
λα
Prj(λα)=|λ|.|α|cos(φ1) =-λ|α|(-cosφ)
λ >0 α
=λPrjlα； 当λ=0时
高等数学第7章 向量代数与空间解析几何
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7.2.4 向量线性运算的坐标表示
33
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7.2.5 向量数量积的坐标表达式 设有两个向量
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40
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42
43
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习题7.2 A组 1.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦 限.A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4）， D（ -2，-3，1）。 2.求点p（ -3，2，-1）关于坐标面与坐标轴对称点 的坐标。 3.求点A（ -4，3，5）在坐标面与坐标轴上的投影 点的坐标。
21
22
23
7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系 在空间中任意选定一点O，过O点作三条相互垂直 且具有相同单位长度的数轴，分别称为x轴、y轴和z轴.x 轴、y轴和z轴要满足右手定则，即右手握住z轴，大拇 指指向z轴的正向，其余四个手指从x轴的正方向。
24
25
7.2.2 向量的坐标表示 设x轴、y轴、z轴正向的单位向量依次为i，j，k，如 图7.17所示。
第7章 向量代数与空间解析几何
空间解析几何是通过点与坐标的对应，把抽象的数 与空间的点统一起来，从而使得人们可以用代数的方法 研究几何问题，也可以用几何的方法解决代数问题.本章 首先介绍向量及其代数运算，然后以向量为工具研究空 间的直线与平面，最后讨论空间曲面与曲线的一般方程 和特点.
1
7.1 向量及其运算
12
13
（6）向量的数量积 1）数量积的概念在物理学中，如果物体受到恒力F 的作用，沿直线发生的位移s，设力F 与位移s的夹角为 θ，则力F对物体所做的功为 W =|F|·|s|·cosθ
高等数学第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系，然后引进有广泛应用的向量代数，以它为工具，讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.坐标法把代数与几何结合起来.代数运算的基本对象是数,几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上,引入运动的观点,使平面曲线和方程对应,从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样,要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线,就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴），统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2角度转向y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向（图7-1），这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:xOy,yOz,zOx,统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间（z＞0）中，从含有x 轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限，下半空间（z＜0）中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应地叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限（图7-2）.图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M为空间的一点，过点M作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x轴、y轴、z 轴的交点依次为P、Q、R（图7-3）.这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标依次为x，y，z.这样，空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组（x，y，z），它称为点M的直角坐标，并依次把x,y和z叫做点M的横坐标，纵坐标和竖坐标.坐标为（x,y,z）的点M通常记为M（x,y,z）.图7-3反过来，给定了一有序数组（x,y,z），我们可以在x轴上取坐标为x的点P，在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q与R分别作x轴，y轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M就是具有坐标（x,y,z）的点（图7-3）.从而对应于一有序数组（x,y,z），必有空间的一个确定的点M.这样，就建立了空间的点M和有序数组（x,y,z）之间的一一对应关系.如图7-3所示x轴，y轴和z轴上的点的坐标分别为P（x,0,0），Q（0,y,0）,R（0,0,z）；xOy面，yOz面和zOx面上的点的坐标分别为A（x,y,0），B（0，y,z）,C（x,0,z）；坐标原点O的坐标为O（0,0,0）.它们各具有一定的特征，应注意区分.二、空间两点间的距离设M1（x1,y1,z1）、M2（x2,y2,z2）为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d，我们过M1，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以M1，M2为对角线的长方体（图7-4）.根据勾股定理，有图7-4｜M 1M 2｜2＝｜M 1N ｜2＋｜NM 2｜2＝｜M 1P ｜2＋｜M 1Q ｜2＋｜M 1R ｜2.由于｜M 1P ｜＝｜P 1P 2｜＝｜x 2－x 1｜,｜M 1Q ｜＝｜Q 1Q 2｜＝｜y 2－y 1｜,｜M 1R ｜＝｜R 1R 2｜＝｜z 2－z 1｜,所以d ＝｜M 1M 2｜＝212212212)()()(z z y y x x -+-+-，这就是两点间的距离公式.特别地，点M （x,y,z ）与坐标原点O （0,0,0）的距离为d ＝｜OM ｜＝222z y x ++。
第7章向量代数与空间解析几何
第7章 向量代数与空间解析几何7.1 向量及其线性运算7.1.1 基本要求1. 理解向量的概念.2. 掌握向量的线性运算.3. 理解向量的几何表示.7.1.2 答疑解惑1. 向量与标量在表示方法上有什么区别？解答 在手写体中，向量的上方有箭头，而标量没有；在印刷体中，若用单个字母表示向量，则用粗体字母表示该向量，或者不用粗体但是字母上方加箭头，若用两个字母表示向量，则上方加箭头，而标量不用粗体，也不加箭头. 例如a ，i ，v ，F ，a ，i ，v ，F ，12M M 等都可表示向量.2. 向量的起点都在坐标原点吗？解答 本书讨论的向量都是自由向量，它的起点不是固定的，不一定在坐标原点，可以根据需要移动. 3. 当A , B 为不同点时，AB 与BA 相等吗？ 解答 不相等，因为向量AB 与BA 的大小相等，但方向相反，所以它们不相等. 本书讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等、方向相同的向量叫做相等的向量. 在这里由于AB 与BA 平行移动后，它们的方向总是不同的，所以它们不相等.4. 向量在轴上的投影是不是向量？解答 向量在轴上的投影是一个数量，它可正可负，而不是一个向量.7.1.3 经典例题解析例1 化简13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b . 解 13525-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭b a a b b 5(13)112⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭a b 522=--a b . 例2 设向量a 和b 都为非零向量，a 和b 的夹角平分线为l ，求与l 平行的向量.解 设0,a 0b 分别表示向量a , b 的单位向量，则0=a a a ，0=b b b. 因为以0,a 0b 为邻边第7章 向量代数与空间解析几何 2 的平行四边形为菱形，所以这个平行四边形的对角线平分顶角，又00+=+=a b a b a b +b a a ba b ，于是与l 平行的向量为λ+b a a ba b ，其中λ为实数.注 以上求解过程中应用了向量的加法运算和菱形的对角线平分对角的性质. 例3 在平行四边形ABCD 中，设AB = a ，AD = b . 试用a 和b 表示向量MA ，MB ，MC ，MD ，其中M 是平行四边形对角线的交点. 分析 根据平行四边形的对角线互相平分的性质和向量运算的三角形法则进行计算. 解 如图7-1所示，因为平行四边形的对角线互相平分，所以 +=a b 22,AC AM M A ==- 于是MA = 1()2-+a b ，MC MA =-= 1()2+a b . 又因为2BD MD -+==a b ，所以MD = 1()2-b a ，MB MD =-= 1()2-a b . 例4 在四边形ABCD 中，AB = 2+a b ，BC = 4--a b ，CD = 53--a b ，证明四边形ABCD 为梯形．分析 利用向量关系证明四边形ABCD 中的一组对边互相平行，则可知四边形ABCD 为梯形.证明 因为四边形ABCD 中， AD AB BC CD =++= (2)(4)(53)82++--+--=--a b a b a b a b 2BC = ， 所以向量AD ∥BC ，即四边形ABCD 中的一组对边AD 和BC 互相平行，于是四边形ABCD 为梯形． 例5 设一直线上三点A ，B ，P 满足AP ＝PB λ (其中λ是实数且1λ≠-)，O 是空间任意一点，求证： OP ＝1OA OB λλ++ . 证明 如图7-2所示，因为AP OP OA =- ，PB OB OP =- ，所以()OP OA OB OP λ-=- ，也就是(1)OP OA OB λλ+=+ ，从而OP = 1OA OB λλ++ . 7.1.4 习题全解1. 设,,A B C 为三角形的三个顶点，求AB BC CA ++ . 解 AB BC CA AC CA ++=+= 0.2. 设2=-+u a b c ,3=-+-v a b c , 试用,,a b c 表示23-u v .解 232(2)3(3)5117-=-+--+-=-+u v a b c a b c a b c .3. 设向量a 的模为4，它与轴u 的夹角为60 ，求a 在轴u 上的投影.图7-1 图 7-27.2 空间直角坐标系与向量的坐标3 解 a 在轴u 上的投影为Prj u 1cos60422==⨯=a a °. 4. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形. 解 如图 7-1 所示，四边形ABCD 中，令点M 为对角线AC 与BD 的交点，则AM MC = , BM MD = ,因为AB AM MB MC DM DC =+=+= ,所以//AB DC 且AB DC = ,即四边形ABCD 中的一组对边AB 和DC 互相平行且相等，于是四边形ABCD 是平行四边形.7.2 空间直角坐标系与向量的坐标7.2.1 基本要求1. 掌握空间直角坐标系和空间点的直角坐标的概念.2. 掌握空间两点间的距离公式.3. 掌握向量的坐标表示法.4. 掌握向量的模、单位向量及方向余弦的坐标表达式.7.2.2 答疑解惑1. 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是任意的吗？解答 空间直角坐标系中的三个坐标轴的顺序是遵循右手规则的，即以右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向以π2的角度转向y 轴的正向时，竖起大拇指的指向就是z 轴的正向.画的时候，一般z 轴向上，y 轴向右，x 轴向左下方.2. 引入向量的坐标对向量的运算有什么作用？解答 引入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便． 3. 向量的坐标是如何建立的？解答 在空间直角坐标系中，向量的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例如，设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(,,)x y z ，点N 的坐标为222(,,)x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为21x x -，21y y -, 21z z -, 于是向量212121{,,}MN x x y y z z =--- †.7.2.3 经典例题解析例1已知两点1M 和2(3,0,2)M ，求向量12M M 的模、方向余弦和方向角. 解 由1M 和2M 两点的坐标可知12{1,}M M =- ，于是12M M =2=, 与12M M同方向的单位向量为121211,,222M M M M ⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪⎩⎭，方向余弦____________________________________________________________† 本书沿用主教材中的花括号形式表示向量，而用圆括号形式表示点的坐标.第7章 向量代数与空间解析几何411cos ,cos ,cos 222αβγ=-==, 方向角α=23π, β=34π, γ=3π. 例2 已知,,A B C 三个点的坐标如下：（1）在平面直角坐标系下，(0,1),(2,2),(2,4)A B C --；（2）在空间直角坐标系下，(0,1,0),(1,0,2),(2,3,4)A B C ---.判别,,A B C 三点是否共线？ 解 （1）因为向量{2,3},{2,3}AB AC =-=- ，所以AB AC =- ，即向量AB 和AC 平行，又这两个向量有共同的起点，于是,,A B C 三点共线； （2）因为向量{1,1,2},{2,2,4}AB AC =---=- ，不存在实数λ使得AB AC λ= ，所以向量AB 和AC 不平行，于是,,A B C 三点不共线.例3 在空间直角坐标系Oxyz 中，画出点(0,0,1)A ，(2,1,0)B ，(1,2,3)C ．解 根据点A 的坐标可知，A 点在z 轴上，B 点在xOy 坐标面上．画点C 时，先在x 轴的正方向上取1个单位的点，y 轴的正方向上取2个单位的点，过这两点在xOy 坐标面上分别作y 轴与x 轴的平行线，交于点M ，过M 作z 轴的平行线MN ，在直线MN 上，点M 的上方取3个单位便得到点C ，如图7-3所示.例4 求点(3,2,1)A 关于各坐标面对称的点的坐标．解 点(3,2,1)A 关于xOy 坐标面对称的点的坐标为1(3,2,1)A -，关于yOz 坐标面对称的点的坐标为2(3,2,1)A -，关于zOx 坐标面对称的点的坐标为3(3,2,1)A -．例5 求点(4,2,3)A -到xOy 坐标面及y 轴的距离．解 点A 到xOy 坐标面的距离即为点A 的竖坐标的绝对值，即点A 到xOy 坐标面的距离为3；过点A 作垂直于xOy 坐标面的直线AB ，垂足为点B ，过点B 再作垂直于y 轴的直线BC ，垂足为点C ，于是直线AC 垂直于y 轴，即线段AC 的长度为点A 到y 轴的距离，而在直角三角形ABC 中，AC ==5=，于是点A 到y 轴的距离为5．例6 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距离的点M ．解 因为所求的点M 在z 轴上，所以可设M 点的坐标为(0,0,)z ，又因为MA MB =，=27z =，即所求的点为20,0,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 7.2.4 习题全解1. 在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,3,1)A -，(7,1,2)B --，(2,3,C -- 1)-，(1,2,3)D --.图 7-37.2 空间直角坐标系与向量的坐标5 解 (2,3,1)A -在第Ⅳ卦限，(7,1,2)B --在第Ⅷ卦限，(2,3,1)C ---在第Ⅶ卦限，(1,2,3)D --在第Ⅵ卦限.2. 指出下列各点所在的坐标面或坐标轴：(1,2,0)A -，(0,2,3)B -，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -. 解 (1,2,0)A -在xOy 坐标面上，(0,2,3)B -在yOz 坐标面上，(1,0,0)C 在x 轴上，(0,1,0)D -在y 轴上.3. 求点(2,3,5)--分别关于下列条件的对称点的坐标：（1）xOy 坐标面；（2）y 轴；（3）坐标原点.解 （1）点(2,3,5)--关于xOy 坐标面对称点的坐标为(2,3,5)-；（2）点(2,3,5)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3,5)；（3）点(2,3,5)--关于坐标原点对称点的坐标为(2,3,5)-.4. 求点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O ，z 轴及zOx 坐标面的距离.解 点(4,3,5)A -到坐标原点()0,0,0O =；点(4,3,5)A -到z 5=；点(4,3,5)A -到zOx 坐标面的距离为3.5. 在yOz 坐标面上，求与(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点等距离的点.解 因为所求点在yOz 坐标面上，所以可设它的坐标为(0,,)M y z . 又因为该点到(3,1,2)A ，(4,2,2)B --，(0,5,1)C 三点的距离相等，所以AM CM =，BM CM =，即=，=由以上两等式解得1,2y z ==-，于是所求点的坐标为(0,1,2)-.6. 已知(1,0,2)A ，(4,5,10)B ，(0,3,1)C ，(2,1,6)D -和54=+-m i j k ，求：（1）向量=a 43AB CD +- m 在三个坐标轴上的投影及分向量；（2）a 的模；（3）a 的方向余弦；（4）与a 平行的两个单位向量. 解 （1）由已知，得{}{}3,5,8,2,4,5AB CD ==- ,所以向量a 的坐标表示为 {}{}{}4343,5,832,4,5{5,1,4}13,7,51AB CD =+-=+---=a m ，可得向量a 在三个坐标轴上的投影分别为13,7,51x y z a a a ===；向量a 在三个坐标轴上的分向量分别为x a i 13=i ，y a j 7=j ，z a k 51=k .（2）向量a 的模为=a ==（3）向量a 的方向余弦为 cos α=1a x a =, cos β=1a y a =, cos γ=1a z a =. （4）与向量a 平行的两个单位向量为}013,7,51=±=a a a . 7. 设向量的方向余弦分别满足（1）cos 0α=；（2）cos 1β=；（3）cos cos 0βγ==.问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？解 （1）由cos 0α=可知，该向量与x 轴夹角为π2，即垂直于x 轴，并且平行于yOz 坐标面；第7章 向量代数与空间解析几何 6（2）由cos 1β=可知，该向量与y 轴夹角为0，于是该向量的指向与y 轴正向一致，并且垂直于xOz 坐标面；（3） 由cos cos 0βγ==可知，该向量与y 轴和z 轴夹角均为2π，于是该向量平行于x 轴，并且垂直于yOz 坐标面. 8. 已知(2,1,7)A -，(4,5,2)B -，线段AB 交xOy 坐标面于点P ，且AP PB λ= ，求λ的值. 解 由于点P 在xOy 坐标面上，可设点P 的坐标为(,,0)x y ，则{}2,1,7AP x y =-+- ，{}4,5,2PB x y =--- ,又因为AP PB λ= ，即217452x y x y λ-+-===---，于是72λ=. 9. 一个向量的终点在点(2,1,7)B -，且其在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标.解 设此向量的起点A 的坐标为(,,)x y z ，则向量{}2,1,7AB x y z =---- ,于是向量AB 在三个坐标轴上的投影分别为Pr j x 24AB x =-= ，Pr j y 14AB y =--=- ，Pr j z AB = 77z -=，由这三个等式解得2x =-,3y =,0z =，所以A 点的坐标为(2,3,0)-. 10. 从点(2,4,7)A 沿8912=+-a i j k 方向取||34AB = ，求点B 的坐标. 解 设点B 的坐标为(,,)x y z ,则向量{}2,4,7AB x y z =--- ，又8912=+-a i j k 的一个方向向量为{}8,9,12=-s ，于是向量AB 和向量s 互相平行，可得2478912x y z ---==-， 令2478912x y z k ---===-，则34AB === ，解得2k =，于是8218x k =+=，9422y k =+=，12717z k =-+=-，所以B 点的坐标为(18,22,17)-.7.3 向量的数量积 向量积7.3.1 基本要求1. 熟练掌握用坐标表达式进行向量的数量积与向量积的运算.2. 掌握两个向量夹角的求法.3. 熟练掌握两个向量互相垂直和平行的条件.7.3.2 答疑解惑1. 给出向量a 和b ，如何求以向量a 和b 为邻边的平行四边形的面积？解答 以向量 a 和 b 为邻边的平行四边形的面积为 sin(,)=⨯a b a b a b ，这也是向量积的模的几何意义；同时可知，以向量a 和b 为邻边的三角形的面积为 11sin(,)22=⨯a b a b a b .7.3 向量的数量积 向量积7 2. 向量的数量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的余弦，向量的向量积是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，这两种说法正确吗？解答 第一种说法是正确的；第二种说法是不正确的，因为向量的向量积的结果是一个向量，这个向量的模是两个向量的模相乘再乘以这两个向量夹角的正弦，方向与这两个向量都垂直.3. 在空间直角坐标系中，i ，j ，k 分别表示沿x 轴，y 轴，z 轴正向的单位向量，它们的坐标表示式分别为i = {}1,0,0，j ={}0,1,0，k ={}0,0,1，为什么⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0，而⋅=⋅=⋅=i i j j k k 1？解答 两种乘法的意义不一样. 因为sin 00⨯==i i i i ，所以⨯=i i 0，同理⨯=j j ⨯=k k 0；而2cos01⋅===i i i i i ，同理1⋅=⋅=j j k k .4. 向量的乘法有几种？解答 向量的乘法主要有如下四种：（1）向量与数的乘法；（2）向量与向量的数量积，两个向量的数量积是一个数，满足交换律和结合律；（3）向量与向量的向量积，两个向量的向量积仍然是一个向量，满足结合律但不满足交换律；（4）三个向量的混合积，先作两个向量的向量积，把得到的向量与第三个向量再作数量积，这样得到的数量叫做三个向量的混合积.注意，向量没有除法运算！5.（1）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（2）若向量≠a 0，且⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c ，为什么？（3）若向量≠a 0，且⋅=⋅a b a c ，⨯=⨯a b a c ，能否由此推出=b c , 为什么？解答 （1）不能推出=b c . 这是因为，当≠a 0时，由已知条件⋅=⋅a b a c ，可得0⋅-=()a b c ，即⊥-a b c ()，这里的向量-b c 不一定是零向量. 例如，当a ={1,0,0}, b ={0,1,0}和c ={0,0,1}时，0⋅=⋅=a b a c ，但是≠b c ;（2）不能推出=b c . 这是因为，当≠0a 时，由已知条件⨯=⨯a b a c ，可得⨯-=()0a b c .即-//()a b c ，这里的向量-b c 不一定是零向量.例如，当a ={1,0,0}, b ={1,1,0}和c ={2,1,0}时，{0,0,1}⨯=⨯=a b a c , 但是≠b c ; （3）可以推得=b c . 这是因为⋅=⋅a b a c ，所以0⋅-=()a b c ，即a 垂直于-b c . 又因为⨯=⨯a b a c ，所以⨯-=()0a b c ，即a 平行于-b c ，这样，a 既垂直于-b c ，a 又平行于-b c ，且≠0a ，只有-=0b c ，即=b c 成立.由（1）和（2）可知，向量的数量积和向量积运算不同于数的运算，不满足消去律.7.3.3 经典例题解析例1 下列各命题是否正确？（1）⨯=⨯a b b a ；（2）若0⋅=a b ，则=a 0或=b 0，若⨯=a b 0，则=a 0或=b 0.解 （1）不正确，因为向量积不满足交换律，正确的是⨯=-⨯a b b a ，这是因为按右第7章 向量代数与空间解析几何 8手规则从a 转向b 定出的方向恰好与按右手规则从b 转向a 定出的方向相反；（2）不正确，因为数量积、向量积都没有零因子律，即0⋅=a b 不能推出=0a 或者=0b ，⨯=0a b 不能推出=0a 或者=0b .例如，令{}1,0,0=a ，{}0,1,0=b ，此时0⋅=a b ，但是,≠≠00a b ；又令{}1,0,0=a ，{}2,0,0=b ，此时⨯=0a b ，但是,≠≠00a b .例2 设,,a b c 为单位向量，且++=0a b c ，求⋅+⋅+⋅a b b c c a .解 因为1===a b c 且++=0a b c ，所以向量,,a b c 首尾相接构成一个边长为1的正三角形，故cos 3π⎛⎫⋅=π-= ⎪⎝⎭a b a b 21cos 32π=-，同理可得12⋅=-b c ，12⋅=-c a ，所以 ⋅+⋅+⋅=a b b c c a 32-. 例3 已知2=||a , 5=||b , 7=||c , 并且++=0a b c ，计算⋅+⋅+⋅a b b c c a 和⨯+⨯a b b +⨯c c a 的值．解 因为++=0a b c , 所以+=-a b c ，又因为+==-=+a b c c a b ，所以向量a 与向量b 同向，向量a 与向量c 反向，向量b 与向量c 反向，于是⋅+⋅+⋅a b b c c a 25cos057cos 72cos =⨯+⨯π+⨯π103514=--39=-， 并且sin00⨯==a b a b ，sin 0⨯=π=b c b c ，sin 0⨯=π=c a c a ，因此⨯=⨯=⨯a b b c c =0a ，即⨯+⨯+⨯=0a b b c c a .例4 已知||3⋅=a b , ||4⨯=a b , 求||||a b ．解 由已知可得cos 3θ⋅==a b a b ，sin 4θ⨯==a b a b ，将上述两式平方后相加得()225=a b ，所以5=a b .例5 已知向量{}1,0,0=a ，{}0,1,2=-b ，{}2,2,1=-c ，求一单位向量n 0，使得n 0垂直于c ，并且向量0,n a 和b 共面.解 设向量n 0{},,x y z =，因为n 0是单位向量，所以2221x y z ++=. 又因为向量n 0垂直于c ，所以00⋅=n c ，即220x y z -+=，又因为向量0,n a 和b 共面，所以向量n 0垂直于⨯a b ，即0()0⋅⨯=n a b ，又100{0,2,1}012⨯==-i j ka b ，于是{,,}{0,2,1}20x y z y z ⋅=+=.联立方程组2221,220,20,x y z x y z y z ⎧++=⎪-+=⎨⎪+=⎩解得212,,333x y z ===-或212,,333x y z =-=-=，于是所求单位向量0=n 212,,333⎧⎫±-⎨⎬⎩⎭. 例6 已知向量b 和{}1,5,2=-a 共线，且满足3⋅=a b , 求向量b 的坐标．解 设向量b 的坐标为{},,x y z ，由a //b , 得152x y z ==-, 令152x y z k ===-，得,x k = 5,2.y k z k ==-7.3 向量的数量积 向量积9 将它们代入到523x y z +-=中，得到2543k k k ++=, 即1.10k =所以1,10x = 1,2y = 15z =-，即向量=b 111,,1025⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 例7112233a b a b a b ++，其中i a , i b（i =1，2，3）为实数，并指出等号成立的条件.分析 将{}123,,a a a 和{}123,,b b b 分别看作向量a 和b 的坐标，由⋅≤a b a b 可得结论.证明 令=a {}123,,a a a ，=b {}123,,b b b ，因为 cos(,)⋅=a b a b a b ，所以⋅≤a b a b ，即112233a b a b a b ++. 当且仅当 cos(,)1=a b 时，上述不等式中等号成立，此时 (,)0=a b 或 (,)=πa b ,即//a b . 因此，当且仅当312123a a ab b b ==时，有112233a b a b a b ++=.例8 若1=a ，4=b 且()3⨯⨯=-a b a b a ，问向量a 和b 的夹角θ等于多少？ 解 因为向量()⨯⨯a b a 与向量a 垂直，所以[()]0⨯⨯⋅=a b a a ，于是[()](3)3⨯⨯⋅=-⋅=⋅-⋅a b a a b a a b a a a =0，即23⋅=b a a ，亦即2cos 3θ=b a a ，从而233cos 4θ==a a b ，即3arccos 4θ=. 例9若=a ，1=b ，且a 和b 的夹角θ=6π，求： （1）向量+a b 和-a b 的夹角；（2）以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解 （1）设向量+a b 和-a b 的夹角为α，则()()cos α+⋅-=+-a b a b a b a b，在以向量a , b 和+a b 为边的三角形中应用余弦定理得2222cos 76π⎛⎫+=+-π-= ⎪⎝⎭a b a b a b ，即+=a b ，在以向量a ,b 和-a b 为边的三角形中应用余弦定理得22-=+a b a22cos 16π-=b a b ，即1-=a b ，又因为22()()2+⋅-=⋅-⋅=-=a b a b a a b b a b，所以cos α=α=； （2）以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积为(2)(3)5()55sin 62π+⨯-=-⨯=⨯==a b a b a b a b a b . 注 平行四边形的面积是由向量积的模的几何意义得到的，在这里向量积(2)+⨯a b (3)-a b 的模|(2)(3)|+⨯-a b a b 表示以向量2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.第7章 向量代数与空间解析几何 107.3.4 习题全解1. 求向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b 上的投影.解 向量{4,3,4}=-a 在向量{2,2,1}=b上的投影为Prj 2.b ⋅=a b a b 2. 设32=--a i j k ，2=+-b i j k ，求：（1）⋅a b 及⨯a b ；（2）(2)3-⋅a b 及2⨯a b ；（3）a 与b 夹角的余弦. 解 （1）⋅a b ()()()3112213=⨯+-⨯+-⨯-=，⨯a b 12323131257211112121----=--=-+=++---i j k i j k i j k ； （2）(2)3(624)(363)(6)3264(3)18-⋅=-++⋅+-=-⨯+⨯+⨯-=-a b i j k i j k ，2(32)(242)31224212323110214;422224⨯=--⨯+-=-------=-+=++--i j ka b i j k i j k i j k i j k（3）a 和b 夹角的余弦为cos(,)⋅==a b a b a b 3. 已知OA = 3+i k ，OB = 3+j k ，求三角形OAB 的面积. 解法一 根据向量积的定义可知，三角形OAB 的面积为()11sin ,22OAB S OA OB OA OB OA OB ==⨯ △， 又因为OA OB ⨯= 10333013=--+i j k i j k ，所以2OAB S ==△ 解法二 在三角形OAB 中，{}1,0,3OA = 与{}0,1,3OB = 的夹角余弦为()9cos ,10OA OB OA OB OA OB ⋅===， 于是 ()sin ,OA OB =，所以三角形OAB 的面积为()1sin ,2102OAB S OA OB OA OB === △. 4. 试用向量证明直径所对的圆周角是直角.。
第7章 空间解析几何与向量代数
在空间引入一直角坐标系，为一个向量，为了讨论方便， a
OM OA AP PM OA OB OC
称向量OA, OB, OC为OM 在x轴、y轴、z轴上的分向量。 （又称基本单位向量）
记i, j , k分别为与x轴、y轴、z轴正向相同的单位向量。
设 Pr jx OM X , Pr j y OM Y , Pr jz OM Z 那么 OA X i , OB Y j , OC Z k 于是OM X i Y j Z k
cos X | OM | X X Y Z
2 2 2
而 Y Pr j y a | OM | cos , cos Y X 2 Y 2 Z2
同理 cos
Z X 2 Y 2 Z2
由于0 , , cos , cos , cos 唯一, 故称 cos , cos , cos为向量a 的方向余弦. 显然a
设向量 a, b 称 a b cos(a, b) 为向量 a, b 的数量积, 记作 a b 即a b a b cos(a, b)
由于 Pr ja b b cos(a, b) 所以 a b a Pr ja b b Pr jb a
点积的运算性质
(1) a a a
2
(2) cos(a, b)
a b ab
(3) a b a b 0
点积满足
交换律 a b b a
分配律 (a b) c a c b c ; ( a) b (a b)
5)向量与向量的向量积(又称为叉积)
设两个向量 a, b 称向量 a b sin(a, b) 为向量 a与b 的向量积, 记作 a b , 即 a b a b sin(a, b) 其中 是单位向量, 的方 向为按右手法则四指从a 的正向以不超过的角转动到b 的 正向时大拇指所指的方 . 向
(整理)第七章 向量代数与空间解析几何
第七章向量代数与空间解析几何讲授内容：§7-1向量及其线性运算教学目的与要求：1．理解向量概念.2．掌握向量的加减以及数乘运算律，掌握两向量平行的充要条件. 教学重难点：重点――向量的线性运算.难点――两向量平行的条件的运用.教学方法：讲授法教学建议：掌握用向量的理论证明几何问题.学时：2学时教学过程：一、向量概念向量: 既有大小又有方向的量.向量在数学上的表示:有向线段AB表示以A为起点，B为终点的向量.其中|AB|表示向量的大小; 有向线段的方向表示向量方向或者表示为: a、b、c 或者、、等.自由向量: 与起点无关的向量.向量a=b 大小相等、方向相同.向量的模: 向量的大小|AB| .单位向量: 模等于1的向量.零向量: 模等于0的向量,记作0,或者,起点与终点重合,方向任意.向量a∥b: 两个非零向量的方向相同或相反.零向量与任意向量平行.两向量共线: 两向量平行时,当将起点放在一起时,终点在同一直线上;k 个向量共面: k 个向量起点放在同一点时,起点和终点在同一平面上.例: 把空间中的一切单位向量归结到共同的始点，他们的终点构成单位球面二、 向量的线性运算1. 向量的加法设有向量a 与b ,任取一点A ,作AB =a ,再以B 为终点,作BC =b ,连接AC ,则AC =c , 称为a 与b 的和,记作c =a +b .三角形法则平行四边形法则 加法的运算规律（1） 交换律a +b =b +a （2） 结合律(a +b )+c = a +(b +c )(结合律示意图) (s =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5示意图)推广: 任意有限个向量1a ,2a ,…, n a 的和可记为1a +2a +…+n a .作图法,由向量的三角形求和法则推广到 多边形法则即 n n n A A A A OA OA 1211-+++= （当A n 与O 重合时=n OA ）2. 向量的减法a 的负向量: 与a 的模相同,方向相反的向量.记作 –a .a －b ∆ a +(- b )任给向量AB 及点O ,有:AB=AO+OB=OB-OA.三角形原理:| a+b |≤| a |+| b |; | a – b |≤| a |+| b |;3.向量与数的乘法向量a与实数λ的乘积记作λa, 规定λa是一个向量,其模为: |λa|=λ|a|,其方向为: 当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反.运算规律:(1)结合律: λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.(2)分配律: (λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+μb.向量的线性运算: 向量相加及数乘向量4.两向量平行的充分必要条件定理:设向量a≠0,则向量b∥a ⇔∃| λ∈R: 使b=λa.证明:充分性显然(必要性) 设b∥a.取|λ|=|b|/|a|,且规定:b与a同向时,λ>0; b与a反向时,λ<0.则有: b=λa.唯一性设b=λa ,b=μa ,则(λ－μ)a=0 ⇒|λ－μ||a|=0因|a|≠0, ⇒λ=μ5.向量a的单位向量e a:e a=a/|a|.例1.在平行四边形ABCD中,设AB=a,AD=b.试用a和b表示向量MA, MB, MC, MD,这里M是平行四边形对角线的交点.解:MA=-(1/2)AC=-(a+b)/2; MC=-MA=(a+b)/2;MB=(1/2)DB=(a-b)/2; MD=-MB=(b-a)/2作业：高等数学练习册C习题三十六第4题教学后记：教学参考书：《高等数学》北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》陈兰祥编《高等数学》黄立宏廖基定主编复旦大学出版社《高等数学》同济大学应用数学系主编《高等数学》同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题：用向量的方法证明：梯形两腰中点的连线平行底边且等于两底边和的一半.讲授内容：§7-2点的坐标与向量的坐标教学目的与要求：1．理解空间直角坐标系的概念.2．掌握用坐标进行线性运算的方法，会求向量的模以及两点间的距离.3．掌握定比分点的坐标公式.教学重难点：重点――用坐标进行线性运算.难点――理解空间直角坐标系的概念.教学方法：讲授法教学建议：在解题过程中要掌握数形结合的方法，充分采用向量形式，最后用代数方法解之.学时：2学时教学过程：一、空间直角坐标系坐标轴: x轴(横轴),y轴(纵轴), z轴(竖轴)以O为原点,两两垂直.三轴的单位向量依次为i, j, k.构成空间直角坐标系Oxyz或[O,i,j,k],正向符合右手规则.坐标面: 任意两条坐标轴确定的平面.xOy平面; xOz平面; yOz平面.卦限: 坐标平面将空间划分的每一个部分称为一个卦限.卦限内点的坐标如下表.向量的坐标分解式:给定向量r,对应点M,使OM=r.则r=OM=OP+PN+NM=OP+OQ+OR设OP=x i; OQ=y j; OR=z k.则r =OM=x i+y j+z k. 称为r的坐标分解式.空间点M,向量r = OM与有序数组(x,y,z)的关系:M ↔ r =OM=x i+y j+z k ↔ (x,y,z)称(x,y,z)为点M的坐标.记为M(x,y,z).向径:向量OM称为点M关于原点O的向径.点与此点的向径有相同的坐标. (x,y,z)既表示点M,又表示向量OM. 坐标轴及坐标面上的点的坐标特征:x 轴: (x ,0,0); y 轴: (0,y ,0); z 轴:(0,0,z ).xoy 面:(x ,y ,0); yoz 面: (0,y ,z );xoz 面: (x ,0,z ).原点: (0,0,0). 二、 利用坐标作向量的运算设a =(a x ,a y ,a z ),b =(b x ,b y ,b z ) ⇒ a =a x i +a y j +a z k , b = b x i +b y j +b z k , 则a +b =( a x + b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )ka-b =( a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )kλa =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k向量平行充分必要条件:设: a =(a x ,a y ,a z )≠0, b =(b x ,b y ,b z )b ∥a ⇔ b=λa ⇔ (b x ,b y ,b z )= (a x ,a y ,a z )⇔zz y y x x a b a b a b == 三、 向量的模、两点间的距离1． 向量的模设向量r =(x ,y ,z ),作OM =r ,则r =OM =OP+OQ+OR| r |=|OM |=2||2||2||OR OQ OP ++OP =x i , OQ =y j , OR =z k |OP |=|x|, |OQ |=|y |,|OR |=|z |2. 两点间的距离公式设有点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2),则AB=OA-OB =(x 1,y 1,z 1)-(x 2,y 2,z 2)=(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)点A 和点B 的距离|AB |为:四、 定比分点对于有向线段P 1P 2 (P 1≠P 2)，如果点P 满足P 1P ＝λPP 2（λ≠－1），我们就称点P 为有向线段P 1P 2的λ分点.说明：○1λ≠－1使得P 1≠P 2； ○2λ>0，则P 1P 与PP 2同向，P 为P 1P 2内部的点； ○3λ<0，则P 1P 与PP 2反向，P 为P 1P 2外部的点： 且若λ<－1，则P 点在P 2右侧；若－1<λ<0，则P 点在P 1左侧.例1. 已知点A (x 1,y 1,z 1)、点B (x 2,y 2,z 2)和实数λ≠-1,在直线AB 上求点M,使AM =λMB .解: AM=OM-OA , M B=OB-OM ,OM-OA=λ(OB-OM )⇒ OM=λ+11(OA+λOB )=λ+11[(x 1,y 1,z 1)+λ(x 2,y 2,z 2)]⇒ OM=(λλ++121x x ,λλ++121y y ,λλ++121z z ) ⇒ 此为点M 的坐标.此为定比分点公式.当λ=1时,为中点公式. 例2. 求证:以M 1(4,3,1)、M 2(7,1,2)、M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解: |M 1M 2|2=(7-4)2+(1-3)2+(2-1)2=14;|M 1M 3|2=(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2=6;|M 2M 3|2=(4-5)2+(3-2)2+(1-3)2=6例3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)、B (3,5,-2)等距离的点.解: 设所求点的坐标为 (0,0,z ), 则有:|MA |2=|MB |2 ⇒(0+4)2+(0-1)2+(z -7)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z )2,⇒ z=19=4/9 所求点为: (0,0,14/9)例4. 求点A (a ,b ,c )关于(1)各坐标轴;(2)各坐标面;(3)坐标原点的对称点的坐标.解: (1) 关于x 轴:(a ,-b ,-c ); 关于y 轴:(-a ,b ,-c ); 关于z 轴: (-a ,-b ,c );(2) 关于xoy 面: (a ,b ,-c );关于xoz 面: (a ,-b ,c );关于yoz 面: (-a ,b ,c );(3) 关于坐标原点:(-a ,-b ,-c ) 例5. 已知两点A (4,0,5)和点B (7,1,3),求与AB 方向相同的单位向量. 解: AB=OB-OA =(7,1,3)-(4,0,5)= (3,1,-2)⇒ |AB |=222)2(13-++=14⇒ e AB =||AB AB =141(3,1,-2) 作业：练习册C 习题三十六第2、3题.教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题：已知两点)2,1,0(1M 和)0,1,1(2-M ，求平行于向量−→−21M M 的单位向量.讲授内容：§7-3 向量的方向余弦及投影教学目的与要求：1．理解方向角、方向余弦及向量的投影的概念.2．会求方向角、方向余弦.教学重难点：重点――向量的方向余弦.难点――向量在轴上的投影.教学方法：讲授法教学建议：向量的方向余弦在以后经常用到，应该让学生熟练掌握.学时：2学时教学过程：一、方向角与方向余弦1. 两向量的夹角:设有非零向量a,b,任取一点O,作OA=a,OB=b,称不超过π的角φ=∠AOB为向量a,b的夹角.记为(a^b)或(b^a).2.向量的方向角:非零向量r=OM与三条坐标轴的夹角α, β,γ(0≤α,β,γ≤π)称为向量r的方向角.3. 向量的方向余弦设r =(x ,y , z )由图可知,OP =x i , ⇒cos α=||OM x =||r x;同理: c os β=||r y ; cos γ=||r z⇒ (cos α,cos β,cos γ)=(||r x ,||r y ,||r z )=||1r ( x ,y , z )=||r r=e r . cos α,cos β,cos γ叫做r 的方向余弦.|r |=222z y x ++⇒cos α=222z y x x ++;cos β=222z y x y ++;cos γ=222z y x z ++性质:例1.已知两点M 1(2,2,2)和M 2(1,3,0),求向量M 1M 2的模、方向余弦和方向角.解: M 1M 2=(1-2,3-2,0-2)=(-1,1,-2).|M 1M 2|=222)2(1)1(-++-=2 cos α=-1/2, cos β=1/2, c os γ=-2/2 α=2π/3,β=π/3,γ=3π/4例2.设点A 位于第Ⅰ卦限,向经OA 与x 轴,y 轴的夹角依次为π/3和π/4,且|OA |=6,求点A 的坐标.解: α=π/3; β=π/4由cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1 ⇒ cos 2γ=1/4 又点A 在第Ⅰ卦限,⇒ cos γ=1/2.OA =|OA |e OA =6 (21,2121)=(3,32,3) 此为点A 的坐标. 二、 向量在轴上的投影设点O及单位向量e确定轴u(相当于坐标轴).给定向量r,作r=OM,过点M作与轴u垂直的平面交轴u于点M′,(点M′称为点M在轴u上的投影)向量OM′称为向量r在轴u上的投影,记为prj u r(或(r)u.由此向量a在坐标系Oxyz中的坐标a x,a y,a z为a在三条坐标轴上的投影.即有:a x=Prj x a, a y= Prj y a, a z= Prj z a,或a x=(a)x, a y=(a)y, a z=(a)z向量投影的性质:向量的投影具有于向量坐标相同的性质:性质1：(a)u=|a|cosφ[或Prj u a=|a|cosφ]其中φ为a与轴u的夹角.性质2: (a+b)u=(a)u+(b)u [或Prj u(a+b)=Prj u a+Prj u b ]Prj u(a1+a2+…+a n)=Prj u a1+Prj u a2+…+ Prj u a n.性质3: (λa)u=λ(a)u[或Prj u(λa)=λPrj u a]例3.设向量a=(4,－3,2),又轴u的正向与三条坐标轴的正向构成相等锐角,试求(1)向量a在u轴上的投影;(2)向量a与u轴的夹角θ.解:设e u的方向余弦为cosα,cosβ,cosγ.则由题义有:0<α=β=γ<π/2.由cos2α+cos2β+cos2γ=1,得: cosα=cosβ=cosγ=3/3.e u=3/3i+3/3j+3/3k.a=4i-3j+2k.Prj u a = Prj u (4i )+ Prj u (-3j )+ Prj u (2k )=4Prj u i -3Prj u j + 2Prj u k=4•3/3-3•3/3+2•3/3=3. 由于Prj u a =|a |cos θ=29cos θ=3,⇒ θ=arccos 3/29.例4.设立方体的一条对角线为OM ,一条棱为OA ,且|OA |=a ,求OA 在OM 上的投影Prj OM OA . 解: 设 φ=∠MOA ,则 φ=||||OM OA =31⇒ Prj OM OA =|OA |•cos φ=3a作业：高等数学练习册C 习题三十六第一大题 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习思考题：已知单位向量→a 与x 轴正向夹角为3π，与其xoy 面上的投影向量夹角为4π，试求向量→a .讲授内容：§7-4数量积向量积教学目的与要求：1、理解向量的数量积、向量积的概念.2、掌握向量的数量积、数量积的性质和运算律.3、掌握用数量积，向量积证明两向量垂直、平行的方法.4、熟练掌握数量积、向量积的坐标表达式，并会用数量积、向量积解决相关实际问题.教学重难点：重点――数量积、向量积的计算与运用.难点――数量积与向量积的混合运用教学方法：讲授法教学建议：为帮助学生记忆向量积的坐标表达式，可先简要介绍三阶行列式及其记忆的方法.学时：2学时教学过程：一、两向量的数量积1.向量a,b的数量积: a•b ∆|a||b|cosθ. [θ=(a^b)]当a≠0时, |b|cosθ=|b|cos(a^b)= |b|Prj a ba•b=|a|Prj a b(a≠0),同理a•b=|b|Prj b a(b≠0)性质:(1)a•a=|a|2(2)a•b=0 ⇔a⊥b2.运算规律(1)交换律: a•b = b•a(2)分配律: (a+b)•c= a•c+b•c(3)结合律: (λa)•b=λ(a•b)=a•(λb)(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b) 证明:(1) a•b = |a||b|cosθ;b•a = |a||b|cosθ;⇒a•b = b•a(2) 当c=0时,显然成立.当c≠0时,(a+b)•c=|c|Prj c(a+b)=|c|(Prj c a+Prj c b)=|c|Prj c a+|c|Prj c b=a•c+b•c(3) 当b=0时,结论成立.当b≠0时,(λa)•b=|b|Prj b(λa)= |b|•λPrj b a =λ|b|Prj b a=λ(a•b)=a•(λb).(λa)•(μb)=λ[a•(μb)]= λ[μ(a•b)]= λμ(a•b)例1.试用向量证明三角形的余弦定理.证明:设在△ABC中,∠B C A=θ, |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c记CB=a, CA=b, AB=c. ⇒c=a-b⇒c2=|c|2=c•c=(a-b)•(a-b)=a•a+b•b-2a•b⇒c2=|a|2+|b|2-2|a||b|cosθ=a2+b2-2ab cosθ3.数量积的坐标表达式设a=a x i+a y j+a z k , b= b x i+b y j+b z k则a•b =(a x i+a y j+a z k)•( b x i+b y j+b z k)= a x b x+a y b y+a z b z从而 cos θ=b a b a ∙=2z2y 2x 2z 2y 2x z z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++例2. 已知三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B (2,1,2),求∠AMB .解:作MA ,MB , ∠AMB 为MA 与MB 的夹角 ⇒ MA =(2,2,1)-(1,1,1)=(1,1,0); MB =(2,1,2)-(1,1,1)=(1,0,1)MA •MB =1⨯1+1⨯0+0⨯1=1; |MA |=2;|MB |=2cos ∠AMB =21 ⇒ ∠AMB=π/3.例3. 已知a ,b ,c ,两两垂直,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求s =a +b +c 的长度与它和a ,b ,c 的夹角.解: |s |2 =s • s =(a +b +c )•(a +b +c )=a •a +b •b +c •c +2a •b +2b •c +2a •c 由于: a •a =|a |2=1,b •b =|b |2=4,c •c =|c |2=9;a •b =b •c =a •c =0 ⇒ |s |2=14,⇒|s |=14cos(s •a )=a s a s ∙= 14a c)b (a ∙++=14aa ∙=1/14. ⇒ (s ^a )=arcos(1/14); 同理: (s ^b )= (s ^c ) =accos(1/14)例4.设a ,b ,c 为单位向量,且满足a +b +c =0,求a •b +b •c +c •a .解: (a +b +c )• a =a 2+b •a +c •a =1+a •b +c •a ;(a +b +c )• b =a •b +b 2+c •b =1+a •b +b •c ; (a +b +c )• c =a •c +b •c +c 2=1+c •a +b •c ; 三式相加:⇒ 3+2[a •b +b •c +c •a ]= (a +b +c )• (a +b +c )=0⇒ a •b +b •c +c •a =-3/2.例5.利用向量证明不等式:232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3| 其中a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3为任意常数,并指出等号成立的条件. 证明:设a =( a 1,a 2,a 3),b =( b 1,b 2,b 3)cos(a ^b )=b a b a ∙=232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++⇒232221a a a ++•232221b b b ++≥|a 1b 1+ a 2b 2+ a 3b 3|等号“=”成立 ⇔a //b例6.有一个△ABC 和一个圆,三角形边长BC =a ,CA =b ,AB =c ,圆的中心为A ,半径为r .引圆的直径PQ ,试求当BP •CQ 取得最大、最小时PQ 的方向,并用a ,b ,c ,r 表示BP •CQ 的最大值、最小值.解:AQ =-AP , |AP |=|AQ |=r ,AB •AC =|AB ||AC |cos A =bc [(b 2+c 2-a 2)/2bc ]=( b 2+c 2-a 2)/2⇒ BP •CQ =(AP －AB )•(AQ －AC )=(AP －AB )•(－AP －AC ) =－|AP |2+(AB －AC )•AP +AB •AC =( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+CB •AP=( b 2+c 2-a 2)/2－r 2+BC •PA⇒ 当BC •PA 最大(小)时,BP •CQ 最大(小).⇒ 当BC •PA 同向即PQ 与BC 同向时,BC •PA 最大,其最大值是ar .⇒ 当BC •PA 反向即PQ 与BC 反向时,BC •PA 最小,其最小值是-ar .⇒ PQ 与BC 同向时, max{ BP •CQ }=( b 2+c 2-a 2)/2-r 2+ar ;PQ与BC反向时, min{ BP•CQ}=( b2+c2-a2)/2-r2-ar二、两向量的向量积1.定义: a×b = c, c称为a与b的向量积.其中,(1)|c|=|a||b|sinθ, θ=(a^b)(2)c的方向垂直于a,b所决定的平面,其指向按右手从a转向b确定.性质:由定义可得:(1)a×a=0(2)a∥b a×b=0几何意义: | a×b |为以a,b为边的平行四边形的面积.2.运算律:(1)a×b= - b×a(2)分配律: (a＋b)×c=a×c+b×cc×(a＋b)=c×a+c×b(3)结合律: (λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)3. 向量积的坐标表达式设 a = a x i+a y j+a z k , b = b x i+b y j+b z k则a×b =(a x i+a y j+a z k)×( b x i+b y j+b z k)=(a y b z-a z b y)i+(a z b x-a x b z)j+ (a x b y-a y b x)ka ×b =z y z yb b a a i -zx z xb b a a j +yx y xb b a a k =zy xz y xb b b a a a k j i例7. 设a =(2,1,-1),b =(1,-1,2),计算 a ×b .解: a ×b =211112--k j i=2111--i -2112-j +1112-k =i -5j -3k.例8.已知△ABC 的顶点分别是A (1,2,3)、B (3,4,5)和C (2,4,7),求△ABC 的面积.解: S ∆ABC =21|AB |•|AC |•sin ∠A=21|AB ⨯AC | AB =(3,4,5)-(1,2,3)=(2,2,2,), AC =(2,4,7)-(1,2,3)=(1,2,4).S ΔABC =21|AB ⨯AC |=421222kj i =4222i -4122j +4121k =4i -6j +2k. 例9. 利用向量积证明三角形的正弦定理.证明：如图S △abc =1/2|a ×b |=1/2|b ×c |=1/2|c ×a |⇒ |a ||b |sin C =|b ||c |sin A =|c ||a |sin B例10. 已知M 1(1,-1,2), M 2(3,3,1), M 3(3,1,3),求与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的单位向量.解: M 1M 2=(3,3,1)-(1,-1,2)=(2,4,-1),M 2M 3=(3,1,3)-(3,3,1)=(0,-2,2);与M 1M 2,M 2M 3同时垂直的一个向量为:a =M 1M 2⨯M 2M 3=220142--k j i=2214--i -2012-j +2042-k=6i -4j -4k .|a|=222)4()4(6-+-+=217⇒ a =±171(3i -2j -2k ) 作业：高等数学练习册C 习题三十七 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习参考题：设向量→→→→++=k j i a 32，→→→→--=k j i b 2 （1）求向量→a 在→b 上的投影；（2）若|→c |=3，求向量→c ，使得三向量→a ，→b ，→c 构成的平行六面体的体积最大.|讲授内容：§7-5 平面及其方程教学目的与要求：1 掌握平面的点法式、一般式、截距式方程,会根据相应条件求平面的方程.2.掌握两平面夹角的概念与求法，掌握两平面平行、垂直的充分必要条件.3.掌握点到平面的距离公式，会求点到平面的距离.教学重难点：重点――求平面的方程.难点――根据相应条件灵活选取平面方程的形式.教学方法：讲授法教学建议：用点法式求平面方程的关键是确定平面上的一个已知点和平面的法向量学时：2学时教学过程：一、平面的点法式方程1.法线向量: 与平面垂直的非零向量.2.平面的点法式方程设M0(x0,y0,z0)是平面П上的已知点,n=(A,B,C)是平面П的法线向量,M(x,y,z)是平面П上的任一点.则有n•M0 M=0.由于n=(A,B,C) ; M0M=( x－x0,y－y0,z－z0)即有此为平面的点法式方程.例1.求过点(2,-3,0)且以n =(1,-2,3)为法线向量的平面方程.解:代入方程得:(x -2)-2(y +3)+3(z -0)=0 ⇒x -2y +3z -8=0例2.求过三点M 1(2,-1,4)、M 2(-1,3,-2)、M 3(0,2,3)的平面方程.解:由于n ∥M 1M 2×M 1M 3=132643----kj i =14i +9j -k则所求平面方程为 ⇒ 14(x -2)+9(y +1)-(z -4)=0 ⇒14x +9y -z -15=0二、 平面的一般方程1. 平面的一般方程为其中n =(A ,B ,C )为法向量2. 各种特殊情形a) D =0,平面Ax +By +Cz =0经过原点; b) A =0,平面By +Cz +D =0平行于x 轴; c) B =0,平面Ax +Cz +D =0平行于y 轴; d) C =0,平面Ax +By +D =0平行于z 轴; e)A =B =0,平面Cz +D =0平行于xoy 平面;f)A=C=0,平面By+D=0平行于xoz平面;g)B=C=0,平面Ax+D=0平行于yoz平面.例3.求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程.解:平面经过x轴,则法向量在x轴上的投影为0, ⇒A=0;平面经过x轴,则平面经过原点, ⇒D=0;故可设平面方程为: By+Cz=0,又平面经过点(4,-3,-1), ⇒-3B-C=0,或C=-3B.代入有y-3z=0.例4.设一平面与x,y,z轴的交点依次为P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c)三点,求此平面的方程.(其中a≠0,b≠0,c≠0)解:设平面方程为Ax+By+Cz+D=0代入P(a,0,0)、Q(0,b,0)和R(0,0,c) 得A=-D/a, B=-D/b, C=-D/c,代入方程并消去D得平面方程:此方程称为平面的截距式方程,a,b,c依次称为平面在x,y,z轴上的截距.三、两平面的夹角1.两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角).设平面П1和П2的法线向量依次为:n 1=(A 1,B 1,C 1) n 2=(A 2,B 2,C 2)则平面П1和П2的夹角θ为(n 1^n 2)和π-(n 1^n 2)中的锐角,⇒ cos θ=|cos(n 1^n 2)|,即有:2. 两平面垂直、平行的充分必要条件例1. 求两平面x -y +2z -6=0和2x +y +z -5=0的夹角. 解:n 1=(1,-1,2) n 2=(2,1,1)⇒ cos θ=2222221122)1(1|121)1(21|++∙+-+⨯+⨯-+⨯=21⇒ θ=π/3例2. 一平面通过两点M 1(1,1,1)和M 2(0,1,-1)且垂直于平面x +y +z =0,求它的方程. 解:设所求平面的一个法向量为 n ={A ,B ,C }.由n ⊥M 1M 2=(-1,0,-2) ⇒ -A -2C =0 由n ⊥(1,1,1)⇒ A +B +C =0 ⇒ A =-2C ,B =C ,代入点法式方程:A (x -1)+B (y -1)+C (z -1)=0消去C 得所求方程为:2x -y -z =03. 点到平面的距离例3.设P 0(x 0,y 0,z 0)是平面Ax +By +Cz +D =0外一点,求P 0到这平面的距离. 解:在平面上任取一点P 1(x 1,y 1,z 1),并作一法向量n ={A ,B ,C }.则所求距离:d =│Prj n P 1P 0│. 又设e n 为与n 方向一致的单位向量, 则有:Prj n P 1P 0= P 1P 0•e n而e n =(222CB A A ++,222CB A B ++,222CB AC ++)P 1P 0=(x 0－x 1,y 0－y 1,z 0－z 1)由于: Ax 1+By 1+Cz 1+D =0, 所以:Prj n P 1P 0=222000CB A DCz By Ax +++++即:222000CB A DCz By Ax d +++++=例1.求点(2,1,1)到平面x +y －z +1=0的距离解: d =222)1(11|1121121|-+++⨯-⨯+⨯=3作业：高等数学练习册C 习题三十八教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型） 复习参考题：求经过点)1,1,1(1p 和)2,2,2(2p 且与平面0=-+z y x 垂直的平面的方程.讲授内容：§7-6空间直线及其方程教学目的与要求：1、 掌握空间直线的一般方程、对称式方程和参数方程.并会根据相关条件求直线的方程2、 理解两直线夹角的概念，会求两直线的夹角.3、 掌握两直线平行垂直的充分必要条件.4、 理解直线与平面夹角的概念，掌握直线与平面垂直平行的充分必要条件.5、 掌握用平面束方程的解题方法.教学重难点： 重点――空间直线方程的三种形式及其求法.难点――熟知向量的概念和运算.教学方法：讲授法 教学建议：平面束方程的解题方法，在求平面、直线方程中有时很有意义，可多举例说明. 学时： 2学时 教学过程：一、 空间直线的方程 1、空间直线的一般方程定义:方程组⎩⎨⎧=+++=+++0222111D z C y B x A D z C y B x A 叫做空间直线的一般方程或面交式方程.2、空间直线的对称式方程1）．方向向量:与已知直线平行的非零向量. 2）．直线的对称式方程或点向式方程:设M 0(x 0,y 0,z 0)为直线L 上的已知点, M (x ,y ,z )为直线L 上的任一点. s =(m ,n ,p )为L 的方向向量.由于 M 0M ∥s ,即有:此方程称为直线的对称式方程或点向式方程直线L 的任一方向向量s 的坐标m ,n ,p 称为这直线的一组方向数,而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦.注:当m ,n ,p 中有一个为零时,如m =0,而n ,p ≠0时,则方程组为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-p z z ny y x x 0000当m ,n ,p 中有两个为零时,如m =n =0,而p ≠0时,则方程组为⎩⎨⎧=-=-0000y y x x 3、直线的参数方程由t pz z n y y m x x =-=-=-000得:称此方程组为直线的参数方程.例1． 对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x解:两平面的法向量分别为n 1={1,1,1}和n 2={2,1,-3},则s = n 1×n 2=312111-kj i令x =1,代入方程,求得直线上得一点: (1,0,-2) 对称式方程为:32141-+=-=-z y x 参数式方程为:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=t z t y t x 3241 二、 两直线的夹角1、直线的夹角:两直线方向向量的夹角.(通常为锐角)2、设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1=(m 1,n 1,p 1),s 2=(m 2,n 2,p 2), 则其夹角为φ=(s 1^s 2)中的锐角.且有3、两直线相互垂直和平行的充分必要条件例2． 求直线L 1:13141x y z -+==-和L 2: 2221x y z+==--的夹角. 解: s 1=(1,-4,1),s 2=(2,-2,-1)⇒ cos φ=222222)1()2(21)4(1|)1(11)2()4(21|-+-+∙+-+-⨯++-⨯-+⨯=21⇒ φ=π/4.三、 直线与平面的夹角1、 线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,直线与平面的夹角是指直线和它在平面上的投影直线的夹角 φ.(0≤φ＜π/2）当直线与平面垂直时,规定直线与平面的夹角为π/2.设直线L 的方向向量为s =(m ,n ,p ),平面Π的法向量n =(A ,B ,C ),其夹角为φ，则 φ=|π/2-(s ^n )| 因此,sin φ=|cos(s ٨n )|且有2、 直线与平面相互垂直和平行的充分必要条件例3. 求过点(1,-2,4)且与平面2x -3y +z -4=0垂直的直线的方程.解: 所求直线的方向向量为: s =(2,-3,1)直线过点(1,-2,4)直线方程为:21-x =32-+y =14-z 四、 平面束解题方法平面束:通过定直线的所有平面.设直线 L 为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 其中系数A 1,B 1,C 1和A 2,B 2,C 2不成比例,则过L的平面束方程为例4. 求直线1010x yz x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面x +y +z =0上的投影直线方程.解:设经过直线L : ⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x的平面束方程为 (x +y -z -1)+λ(x -y +z +1)=0, 即:(1+λ)x +(1-λ)y +(-1+λ)z +(-1+λ)=0由于此平面与已知平面垂直,所以:(1+λ)+(1-λ)+(-1+λ)=0 即有λ=-1代入平面束方程得投影平面的方程为y -z -1=0从而得投影直线l 的方程:⎩⎨⎧=++=--001z y x z y五、 杂例例5. 求与平面x -4z =3和2x -y -5z =1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线方程. 解:s =n 1×n 2=512401---kj i=-(4i +3j +k )则所求直线方程为:153243-=-=+z y x例6. 求直线234112x y z ---==与平面2x +y +z -6=0的交点. 解: 直线的参数方程为: x =2+t , y =3+t , z =4+2t , 将其代入平面方程:⇒t =-1.将其代入直线方程得:交点坐标为:(1,2,2).例7. 求过点(2,1,3)且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解:(法一)过点(2,1,3)作平面垂直于已知直线,则此平面的方程为3(x -2)+2(y -1)-(z -3)=0求已知直线与该平面的交点,将直线的参数方程x =-1+3t ,y =1+2t ,z =-t代入平面方程得t =3/7从而得交点(2/7,13/7,-3/7)于是所求直线的方向向量为s =(2/7-2,13/7-1,-3/7-3)=－6/7(2,-1,4)故所求直线的方程为:431122-=--=-z y x (法二)设所求直线的参数方程为x =mt +2,y =nt +1,z =pt +3, 由于所求直线与已知直线垂直,从而有: (m ,n ,p )⊥(3,2,-1),⇒3m +2n -p =0又由于所求直线与已知直线相交,故由两直线的参数方程有x =3t -1=mt +2, y =2t +1=nt +1, z =-t =pt +3⇒(m -3)t =-3,(n -2)t =0,(p +1)=-3显然t ≠0,从而解得:m =-4,n =2,p =-8,t =3/7故有所求直线的参数方程为: x =-4t +2,y =2t +1,z =-8t +3或者所求直线的方程为:431122-=--=-z y x . 例8. 求与已知直线L 1:351231x y z +--==及L 2:147510z y x =+=-相交且和直线L 3:137182-=-=+z y x 平行的直线L . 解(法一):将L 1与L 2都化为参数方程:L 1:⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=1115332tz t y t x ; L 2:⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=22274105tz t y t x 由于L 与L 1和L 2都相交且与L 3平行,则两交点对应坐标的差应与L 3的方向数成比例,即有:17)74()53(8)105()32(212121t t t t t t -=--+=+-- ⇒⎩⎨⎧=--=-123413362121t t t t 解得t 1=－25/2,由此得L 和L 1的交点为:x 1=-28,y 1=-65/2,z 1=-25/2故所求直线的方程为:12/2572/65828+=+=+z y x 解(法二)设直线经过点(a ,b ,c ),下面求点(a ,b ,c ) 由所求直线与L 3平行有:x =8t +a ,y =7t +b ,z =t +c ;由所求直线与L 1相交,即有t 1,满足8t 1+a =2t 1-3,7t 1+b =3t 1+5,t 1+c =t 1,⇒6t1=-3-a,4t1=5-b,c=0.⇒2a-3b=-21,c=0 (1)又由所求直线与L2相交,即有t2,满足:8t1+a=5t2+10,7t2+b=4t2-7,t2+c=t2,⇒3t2=10-a,3t2= -7-b,c=0.⇒a-b=17,c=0 (2) 由(1),(2)⇒a=72,b=55,c=0故所求直线的方程为:x=8t+72,y=7t+55,z=t.例9.求过直线3220260x yx y z-+=⎧⎨--+=⎩且与点(1,2,1)的距离为1 的平面方程.解:设过此直线的平面束方程为:(3x-2y+2)+λ(x-2y-z+6)=0 ⇒(3+λ)x-(2+2λ)y-λz+(2+6λ)=0,由点到平面的距离公式d=222)22()3()6 2(12)22(1)3(λλλλλλλ+++++ +∙-∙+-∙+=1 ⇒λ=－2,或λ=－3,故所求平面的方程为x+2y+2z-10=0, 或4y+3z-16=0.例10.求两直线L1:1011x y z-==和L2:212+=-=zyx的公垂线L的方程.解:公垂线的方向向量:s=s1×s2=(0,1,1)×(2,-1,0)=(1,2,-2) 过L与L1的平面法向量为:n 1= s ×s 1=(1,2,-2)×(0,1,1)=(4,-1,1)在直线L 1上取点(1,0,0),则过L 与L 1的平面方程为:4x -y +z -4=0过L 与L 2的平面法向量为:n 2= s ×s 2=(1,2,-2)×(2,-1,0)=(2,4,5)在直线L 2上取点(0,0,-2) 则过L 与L 2的平面方程为:2x +4y +5z +10=0于是公垂线的方程为:⎩⎨⎧=+++=-+-010542044z y x z y x 作业：高等数学练习册C 习题三十九 教学后记：教学参考书： 《高等数学》 北京大学数学科学部编 《高等数学典型题精解》 陈兰祥编《高等数学》 黄立宏 廖基定主编 复旦大学出版社 《高等数学》 同济大学应用数学系主编《高等数学》 同济大学应用数学系主编（本科少学时类型）复习思考题 ：设12122:,21221:21zy x l z y x l =-=-++==-是两条异面直线，求 （1） 1l 与2l 的公垂线方程. （2） 1l 与2l 的距离.讲授内容：§7-7旋转曲面和二次曲面教学目的与要求：1、理解曲面与曲面方程间的关系，会用轨迹法求曲面的方程.2、掌握由平面曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面的方程的方法.3、理解柱面的概念，并会求柱面的方程.4、理解用截痕法，伸缩变形法讨论曲面形状的方法.5、掌握九种二次曲面的方程和大致形状.教学重难点：重点――旋转曲面、柱面方程的求法.难点――二次曲面的方程和大致形状.教学方法：讲授法教学建议：为使学生掌握二次曲面的方程和形状，讲清由平面曲线先经过旋转再伸缩变形的基本思想学时：2学时教学过程：一．曲面方程的概念1.曲面方程的定义:如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0 (1)满足（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),那么,方程(1)叫做曲面S的方程;而曲面S叫做方程(1)的图形.例1.建立球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面方程.解:设点M(x,y,z)是球面上的任意一点,则|M0M|=R,⇒(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2.设有点A(1,2,3)和B(2,－1,4),求线段AB的垂直平分面的方程.解:设点M(x,y,z)在平分面上,则|AM|=|BM|,⇒(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2.⇒2x-6y+2z-7=0.例3.方程x2+y2+z2－2x+4y=0表示怎样的曲面.解: 将方程配方: ⇒(x-1)2+(y+2)2+z2=5.表示球心在(1,-2,0),半径为5的球.由此空间解析几何中关于曲面的讨论,有下列两个基本问题(2)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;(3)已知坐标x,y,和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.例1、例2为问题(1),例3为问题(2).二．旋转曲面旋转曲面：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面.这条定直线叫做旋转曲面的轴.设在yoz面上有一已知曲线C,它的方程为f(y,z)=0,将其绕z轴旋转一周,得到一曲面,其方程求法如下:设M 1(0,y 1,z 1)为曲线C 上的任一点,则有f (y 1,z 1)=0 (2)当曲线C 绕z 轴旋转时,点M 1也绕z 轴旋转到另一点M (x ,y ,z ), 此时z =z 1保持不变,且点M 到旋转轴的距离d =22y x +=|y 1| 将 z =z 1, y 1=±22y x + 代入(2)中,⇒f (±22y x +,z )=0这就是所求曲面的方程.同理,曲线C 绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (y ,±22z x +)=0类似地有:曲线 C : f (x ,y )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22z x +, y )=0曲线 C :f (x ,z )=0绕x 轴旋转的旋转曲面方程为: f (x , ±22z y +)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程为: f (±22y x +,z )=0例4.直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点叫做圆锥面的顶点,两直线的夹角(0<α<π/2)叫做圆锥面的半顶角.试建立顶点在坐标原点O ,旋转轴为z 轴,半顶角为α的圆锥面的方程.解:在yoz 平面上,直线L 的方程为:z =y cot α,⇒ 旋转曲面的方程为:z =±22y x +cot α 或者 z 2=a 2(x 2+y 2), 其中,a =cot α例5. 将xoz 坐标面上的双曲线2222cz a x -=1分别绕x 轴和z 轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.解:绕x 轴旋转生成的旋转双叶双曲面: 22222c z y a x +-=1绕z 轴旋转生成旋转单叶双曲面: 22222cz a y x -+=1三、柱面柱面:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹.定曲线C叫做柱面的准线, 动直线L叫做柱面的母线.例6.方程x2+y2=R2表示的曲面叫做圆柱面解: 准线是xoy平面上的圆x2+y2=R2,母线是平行于z轴的直线.例7.方程y2=2x表示的曲面叫做抛物柱面解:准线是xoy平面上的抛物线y2=2x,母线是平行于z轴的直线.一般地,在空间直角坐标系下,F(x,y)=0: 母线平行于z轴的柱面,其准线是xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.F(x,z)=0: 母线平行于y轴的柱面,其准线是xoz面上的曲线C: F(x,z)=0.F(y,z)=0: 母线平行于x轴的柱面,其准线是yoz面上的曲线C: F(y,z)=0.平面为柱面.例如: 平面x -z =0表示:母线平行于y 轴,准线为xoz 平面上的直线:x -z =0.四、二次曲面二次曲面: 三元二次方程F (x ,y ,z )=0所表示的曲面.平面叫做一次曲面 二次曲面共九种.利用截痕法可以了解二次曲面的形状.1. 椭球锥面: 22222z by a x =+ 以平面z=t 截曲面:当t=0时,得一点(0,0,0).当t ≠0时,得平面z=t 上得椭圆: 2222)()(bt y at x +=1; 当|t|从大到小变为0时,椭圆从大到小收宿为一点,其图形为:平面z =t 于曲面F (x ,y ,z )=0的交线称为截痕.通过截痕的变化了解曲面形状的方法称为截痕法.下面用伸缩变形法讨论曲面的形状平面xoy 上的图形的伸缩变形:将平面上的点M (x ,y )变为点M ′(x ,λy ),此时点M (x ,y )的轨迹C 变为点M ′(x ,λy )的轨迹C ′,称将图形C 沿y 轴方向伸缩λ倍变成图形C ′.下面讨论C 于C ′的方程关系:设C 的方程为F (x ,y )=0,点M (x 1,y 1)∈C ,将M (x ,y )变为M ′(x 2,y 2),此时 x 2=x 1,y 2=λy 1⇒ x 1=x 2, y 1=λ1y 2 由 M (x 1,y 1)∈C ⇒ F (x 1,y 1)=0 ⇒ F (x 2,λ1y 2)=0 因此M ′(x 2,y 2)的轨迹C ′的方程为: F (x ,λ1y )=0. 例如将圆x 2+y 2=1沿y 轴方向伸缩ab 倍,则圆的方程变为:2222b y a x +=1,即图形由圆变为椭圆. 将圆锥面222a y x +=z 2沿y 轴方向伸缩ab 倍,则 圆锥面变为椭圆锥面: 22222z by a x =+2. 椭球面: 222222c z b y a x ++=1 将xoz 平面上的椭圆2222cz a x +=1绕z 轴旋转得 旋转椭球面:222a y x ++22c z =1, 再将旋转椭球面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得 椭球面: 222222cz b y a x ++=1 当a =b =c 时,椭球面为球面: x 2+y 2+z 2=a 2.3. 单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕z 轴旋转得 旋转单叶双曲面:222a y x +-22c z =1 再将旋转单叶双曲面沿y 轴方向伸缩ab 倍,得单叶双曲面: 222222cz b y a x -+=14. 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=1 将xoz 平面上的双曲线2222cz a x -=1绕x 轴旋转得 旋转双叶双曲面:22a x -222c z y +=1 再将旋转双叶双曲面沿y 轴方向伸缩cb 倍,得 双叶双曲面: 222222cz b y a x --=15. 椭圆抛物面: 2222by a x +=z。
第七章 向量代数与空间解析几何
第七章 向量代数与空间解析几何一、基础题：１．一向量a 与x 轴正向，y 轴正向的夹角相等．与z 轴正向的夹角是前者的两倍，求与向量a 同方向的单位向量．【分析】 与向量a 同方向的单位向量就是以向量a 的方向余弦为坐标的向量．故问题求解的关键在于求出向量a 的方向余弦．解 设向量a 与x 轴正向、z 轴正向的夹角为α，则它与y 轴的正向夹角为α2，那么， a 的方向余弦分别是ααα2cos ,cos ,cos ．故1)2(cos cos cos 222=++ααα即 0)2(cos 1cos 222=+-αα由此得到 0)12(c o s 2c o s =+αα02cos =∴α或|2cos -=α 又 ],0[2πα∈ ，4πα=∴或2π，则 0cos ,22cos ,22cos ===γβα或1cos ,0cos ,0cos -===γβα， 因此，所求的单位向量为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,22,22或()1,0,0-．２．设(4,5,3)=-a ，(2,3,6)=b ，求a 对应的单位向量0a 及b 的方向余弦．解 与a 对应的单位向量0a 是与a 方向相同的单位向量．因此03)==-=a a a 同上，可求出与b 方向相同的单位向量0b ：0236,,777⎫⎛=== ⎪⎝⎭b b b从而，b 的方向余弦为：76,73cos ,72cos ===γβαcoa ． ３．设未知向量x 与k j i a 22+-=共线，且满足18-=⋅x a ，求x ． 解 （方法1）由于x 与a 共线，故设 )2,,2(λλλλ-==a x18922)(122)2,,2()2,1,2(-==⋅+-⋅-⋅=-⋅-=⋅λλλλλλλx a 2-=∴λ故 )4,2,4(--=x ．(方法2)由于x 与a 共线，故可设a x λ=,则[]1892)1(2)()(2222-==+-+==⋅=⋅=⋅λλλλλa a a a a x a 2-=∴λ故 )4,2,4(--=x ．４．已知向量c b a ,,满足0c b a =++,证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯. 证 )(),(c a b c b a +-=+-=c b b c b c b b b c b b a ⨯=⨯-=⨯+⨯-=⨯+-=⨯∴)()( a c c a c c c a c c a c b ⨯=⨯-=⨯+⨯-=⨯+-=⨯)()(a c cb b a ⨯=⨯=⨯∴５．已知三角形三个顶点坐标是(2,1,3),(1,2,3),(0,1,4)A B C -，求ABC ∆的面积．【分析】 以向量,a b 为邻边的三角形的面积12S =⨯a b ．解 由向量积的定义，可知ABC ∆的面积为：11sin 22ABC S AB AC A AB AC ∆=⋅⋅∠=⨯由于(1,3,0),(2,2,1)AB AC =-=-，因此13034221AB AC ⨯=-=++-i j ki j k1342ABC S ∆∴=++=i j k ６．指出下列二次曲面的名称，并作草图．(1)222169925x y z --=-； (2)222169925x y z --=；(3)224y z x +=； (4)2222(1)(2)(3)0x y z -+---=．【分析】 对已给出的二次曲面方程，要求判断曲面性质的题型，应先进行简化运算将方程转化成常见的曲面方程形式，然后再进行判断．解 (1)可以将方程写成如下的标准形式：2222221555423x y z -++=⎫⎫⎫⎛⎛⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭该方程表示单叶双曲面，其草图如图7-1；图7-1(2)方程可写成如下的标准形式：2222221555433x y z --=⎫⎫⎫⎛⎛⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭该方程表示双叶双曲面，其草图如图7-2；图7-2(3)方程可写成如下的标准形式：222222y z x =+该方程表示椭圆抛物面，其草图如图7-3；图7-3(4) 方程可写成如下的标准形式：22222(1)(2)(3)1x y z --+=-⎝⎭该方程表示椭圆锥面，它是由标准椭圆锥面222221x y z +=⎝⎭的图形平移到使锥面的顶点为(1,2,3)时得到的．其草图如图7-４；图7-４７．一动点M 到平面01=-x 的距离等于它与x 轴距离的两倍，又点M 到(0,1,2)A -的距离为l ，求动点M 的轨迹方程．解 设点M 的坐标为),,(z y x ，则M 到平面01=-x 的距离为1-x ．到x轴的距离为由题设条件，有|1|x -=，即)(4)1(222z y x +=-，又M 到)2,1,0(-A 的距离为l ， 即22221)2()1(=-+++z y x∴动点M 的轨迹方程满足：⎩⎨⎧=-++++=-1)2()1()(4)1(222222z y x z y x 注 此类问题常用到距离公式及向量代数的工具．由所给条件确定动点的坐标所满足的约束方程，如方程是一个，则轨迹为曲面；如方程有两个，则轨迹为曲线．另外，也可以设定参数求动点的轨迹方程．若参数有两个，则轨迹为曲面；若参数只有一个，则轨迹是曲线．８．求二次曲面2222x z y a c=-与三个坐标平面的交线．解 求解空间曲面与坐标平面的交线，只须将已知曲面方程与坐标平面方程联立． 此二次曲面为双曲抛物面，它与xOy 面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=02222z c z ax y ，即⎪⎩⎪⎨⎧==022z a x y ． 这是xOy 面上的抛物线 22a x y =．曲面与zOx 面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=02222y cz a x y ，即⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-00y c z a x c z a x ．这说明曲面与zOx 面的交线是zOx 面上的两条相交直线x a c z =和x acz -=． 曲面与yOz 面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=-=02222y c z a x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=022x c z y ． 这是yOz 面上的抛物线．９．一平面与原点的距离为6 ，且在三坐标轴上的截距之比::1:3:2a b c =，求该平面方程．解 因为截距之比为 ::1:3:2a b c =，故可设截距 a t =，3b t =，2c t =，则平面方程可设为 132x y zt t t++=．此平面与原点的距离：6d ==解得 7t =±，则所求平面的方程为： 172114x y z++=±即 62342x y z ++±=10．设直线l 过点0(1,1,1)P ，并且与直线1:23y z l x ==相交，与直线2123:214x y z l ---==垂直，试求直线l 的方程解 直线2l 的方向向量为2(2,1,4)=s ，过0(1,1,1)P 以2s 为法向量的平面方程为：π：2(1)(1)4(1)0x y z -+-+-=由题意知，所求直线l 在平面π上．因直线1l 与直线l 相交，故1l 与平面π也相交，我们可求出1l 与π的交点．将1l 转化为参数式23x ty t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，代入平面方程，得716t =．故交点1P 的坐标为7721,,16816⎫⎛ ⎪⎝⎭．由于直线l 过0(1,1,1)P 和17721,,16816P ⎫⎛ ⎪⎝⎭两点，其方向向量s 与01P P =925,,161616-⎫⎛- ⎪⎝⎭平行，可选择(9,2,5)=-s ．所以，直线l 的方程为111925x y z ---==- 11．判定下列各组平面与直线间的位置关系：（1）1l ：223273x y z -+-==--与:4223x y z π--= （2）2l ：121312x y z -++==与:1x y z π-+= 解 （1）1l 的方向向量(2,7,3)=-s ，π的法向量(1,1,1)=-n ．因为()()()()352472320321x y z+-==⋅=-⨯+-⨯-+⨯-=s n 所以1//l π．将直线1l 上的定点(2,2,3)P -，代入平面方程不满足，即P 点不在平面π上，因此直线平行于平面但不在平面上．（2）2l 的方向向量(2,7,3)=--s ，π的法向量(1,1,1)-n =，s 与n 既不平行也不垂直，故2l 与π斜交．二、提高题１．设空间四边形ABCD 各边的中点依次为P 、Q 、R 、S ．证明： （1） 四边形PQRS 是平行四边形；（2） 四边形PQRS 的周长等于四边形ABCD 的两对角线的长度之和． 证 设在四边形ABCD 中，AC 、BD 为两条对角线．（1） 在ABD ∆中，由中位线定理知，12PS BD = ，同理，12QR BD =，PS QR ∴= 即 //PS QR 且PS QR =故PQRS 是平行四边形．（2） 分别在ABC ∆及DAC ∆中应用中位线定理，得12PQ AC SR ==同理，12PS QR BD ==PS SR QR PQ AC BD ∴+++=+即四边形PQRS 的周长等于四边形ABCD 的两条对角线的长度之和．２．已知,2,22==-=-+a i b j k c i j k ,求一单位向量m ,使⊥m c ,且m 与,a b 共面． 解 设所求向量(,,)x y z =m ,依题意,有1=m 即 2221x y z ++=由c m ⊥知，0=⋅c m 即 022=+-z y x ，由m 与b a ,共面知，0],,[=b a m 即 02210001=+=-z y zy x． 以上三式联立，解得 32,31,32-===z y x ,或 32,31,32=-=-=z y x 212,,333⎫⎛∴=±- ⎪⎝⎭m ．３．设(1,1,1),(3,4,5),λ=-=-=+a b c a b ，问λ取何值时，c 最小？并证明：当c 最小时，⊥c b ．解 2()()()()λλλλλλ=⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅c c c a b a b a a a b b a b b2222()λλ=+⋅+b a b a ∴ 当2222()13(1)(4)1512650253(4)5λ⋅⨯+-⨯-+⨯=-=-=-=-+-+a b b时，c 最小．此时 6()13(1)(4)1550025λλ-⎫⎛⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯+-⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭c b a b b a b b b∴⊥c b４．试用向量方法证明正弦定理：sin sin sin a b cA B C==． 【分析】 由于正弦定理涉及到三角形的边与它们的夹角，并且是夹角的正弦，这使我们容易想到涉及正弦运算的向量积．证 在ABC ∆中，()0AC CB AB +⨯=AC AB CB AB BC BA BA BC ∴⨯=-⨯=-⨯=⨯两边取向量的模，有sin sin AC AB b c A BA BC c a B ⨯=⋅⋅=⨯=⋅⋅由此得到sin sin a bA B =． 同理可得 sin sin b cB C=故在ABC ∆中，有sin sin sin a b cA B C==． ５．根据,p q 的不同取值情况，说明二次曲面222z x py qz =++的类型． 解 (1)当0p q ==时，2z x =是抛物柱面．(2)当0,0q p =≠时，若220,p z x py >=+是椭圆抛物面；若220,p z x py <=+是双曲抛物面．(3)当0,0p q =≠时，若20q a =>，则方程可化为221124x az a a ⎫⎛+-= ⎪⎝⎭是椭圆柱面；若20q a =-<，则方程可化为2221124az x a a ⎫⎛+-= ⎪⎝⎭是双曲柱面．(4)当0p q ⋅≠时，若220,0p a q b =>=>，方程可化为222221122x a y bz b b ⎫⎫⎛⎛++-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是椭球面；若220,0p a q b =-<=-<，方程可化为222221122a y bz x b b ⎫⎫⎛⎛+--= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是单叶双曲面；若220,0p a q b =>=-<，方程可化为222221122x a y bz b b ⎫⎫⎛⎛+-+=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是双叶双曲面；若220,0p a q b =-<=>，方程可化为222221122x a y bz b b ⎫⎫⎛⎛-+-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭是单叶双曲面．６．试求到球面2221:(4)9x y z ∑-++=与2222:(1)(1)(1)4x y z ∑+++++=的距离之比为3:2的点的轨迹，并指出曲面的类型．解 设所求的动点坐标为(,,)M x y z ，点M 到1∑的球心(4,0,0的距离为1d =，点M 到2∑的球心(1,1---的距离为2d =点M 到1∑的球面距离为133d -=，点M 到2∑的球面距离为222d -．由已知123322d d -=-，得1223d d =．两边平方，得 2222224(4)9(1)(1)(1)x y z x y z ⎡⎤⎡⎤-++=+++++⎣⎦⎣⎦化简，得 ()222550189370x y z x y z +++++-=．这是一个球面方程． ７．求直线01x y zβα-==绕z 轴旋转而成的曲面的方程，并按,αβ的值讨论它是什么曲面．【分析】 此类问题，应先将所给的曲线方程化为参数方程，再根据旋转轴来求解．解 直线的参数方程为x ty z t αβ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，绕z 轴旋转而成的曲面的方程为22222x y t z tαβ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，消去t ，得22222x y z αβ+-=．当0,0αβ=≠时，222x y β+=为圆柱面；当0,0αβ≠=时，22221()z x y α=+为圆锥面；当0,0αβ≠≠时，22222x y z αβ+-=为旋转单叶双曲面．８．求曲线22:20x y zC x y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩在三个坐标平面上的投影曲线方程．【分析】 从空间曲线C 的方程2220x y zx y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩中分别消去z y x ,,即可得曲线C 在三个坐标面上的投影柱面方程．再与坐标面方程联立方程组，即得投影曲线方程．解 在⎩⎨⎧=-++=0222z y x z y x 中，消去x ，得0222=-++z y z y这是曲线C 向yOz 平面的投影柱面．此投影柱面与yOz 面的交线即为曲线C 在yOz 面上的投影曲线，故⎩⎨⎧==-++0222x z y z y 即为所求．同理，消去y 可得曲线C 向zOx 面的投影曲线()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=04122y z x z x ． 消去z 可得曲线C 向xOy 面的投影曲线()⎪⎩⎪⎨⎧=++=0222x y x y x ．９．求与平面632120x y z +++=平行，而使点(0,2,1)-与这两平面的距离相等的平面方程．解 由题意，所求平面方程可设为6320x y z D +++=由点(0,2,1)-到这两个平面的距离相等，即=得 416D += 所以 12D =或20D =- 从而所求平面的方程为：632120x y z +++=（与已知平面重合）或632200x y z ++-=1０．求通过直线50:40x y z l x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面π：48120x y z --+=成045角的平面方程.解 设过直线l 的平面束方程为5(4)0x y z x z λ+++-+=整理得：(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=在平面束中确定所求平面，使其与已知平面π成045角，故cos4π==所以 34λ=-故所求平面为 20712x y z ++-=值得注意的是，平面束中未包含平面40x z -+=，此平面与已知平面π的夹角为cos θ= 因此，该平面与π的夹角045θ=，亦为所求．所以，所求平面为207120x y z ++-=和40x z -+=．1１．设平面方程为1x y za b c++=，证明：（1）22221111d a b c=++（其中d 为原点到平面的距离）；（2）平面被三坐标面所截得的三角形面积为A =．证 （1）平面的一般式为：11110x y z a b c++-=，所以，原点到平面的距离为d ==从而22221111d a b c =++ （2）方法1 平面与x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为：(,0,0)P a ，(0,,0)Q b ，(0,0,)R c 则(,,0)PQ a b =- ，(,0,)PR a c =-0(,,)0PQ PR a b bc ac ab a c⨯=-=-i j k所以2212A PQ PR =⨯ 方法2 平面与三坐标面所围的体积为1163V abc Ad ==所以11122A abc abc d =⋅==1２．求过点0(2,2,4)M =，且与两个平面1π，2π都平行的直线方程，其中12:210,:210x y z x y z ππ+--=+-+=解 设直线的方向向量为s ，根据题设条件知，s 与1π和2π的法向量都垂直，可取112(3,1,1)121=-=--i j ks 所求直线方程为24311x y z --==- 1３．求与已知直线1l ：35211x y z +-==和2l ：31141x y z-+==都相交，且与3l ：213321x y z +--==平行的直线方程． 分析：所求直线l 的方向向量为(3,2,1)=s ，只要在l 上找到一个定点P ，即可使问题获解.最好选择l 与1l 或2l 的交点．解 将1l 和2l 化为参数方程：123:5x t l y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 23:41x t l y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩设l 与1l 和2l 的交点分别对应参数1t 和2t ，则知交点分别为111(23,5,)P t t t -+，222(3,41,)Q t t t +-，由于//PQ S，故()()()()121212233541321t t t t t t --++---==整理成方程组12122626t t t t -=-⎧⎨+=⎩，解得10t =．所以，P 的坐标为(3,5,0)-．故所求直线方程为：35321x y z+-==1４．设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎫⎛⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是满秩的，则直线333122121x a y b z c a a b b c c ---==--- （ ） （A ）相交于一点 （B ）重合 （C ）平行但不重合 （D ）异面 【分析】 记111(,,)A a b c =，222(,,)B a b c =，333(,,)C a b c =由于矩阵111222333a b c a b c a b c ⎫⎛⎪⎪ ⎪⎝⎭满秩，所以A 、B 、C 三点不共线．第一条直线过点C 且平行于AB ，第二条直线过点A 且平行于BC ，故两条直线相交． 所以，正确答案为（A ）．1５．求两条直线1250:240x y l y z ++=⎧⎨--=⎩，20:240y l x z =⎧⎨++=⎩的公垂线方程．【分析】 公垂线l 既在由1l 与l 确定的平面1π上，又在由2l 与l 确定的平面2π上，因此1π和2π的交线即为公垂线解 为求1π的平面方程，可在1l 上选取一个定点，如(5,0,4)A -，至于1π的法向量可作如下考虑：若直线1l 的方向向量为1s ，直线2l 的方向向量为2s ，则公垂线方向为2⨯1s =s s ，那么，由1l 与所确定的平面1π，其法向量为1⨯1n =s s ．(1,2,0)(0,2,1)(2,1,2)=⨯-=-1s (0,1,0)(1,0,2)(2,0,1)=⨯=-2s2212(1,2,2)201⨯=-=---1i j ks =s s11122(6,6,3)3(2,2,1)212⨯=--==-i j kn =s s所以1π的方程为：2(5)2(4)0x y z ++++= 即 22140x y z +++=． 同理，在2l 上选取一个定点(0,0,2)B -，又2π的法向量为22122(2,5,4)201⨯=--=----i j kn =s s从而得平面2π的方程为25480x y z +++=故所求公垂线的方程为2214025480x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩1６．求直线l ：11111x y z --==-在平面π：210x y z -+-=上的投影直线0l 的方程，并确定0l 绕y 轴旋转一周的旋转面方程．解 首先求出l 在平面π上的投影直线0l ，0l 位于过l 且与π垂直的平面1π上．1π的法向量1n 与π的法向量n 垂直，且与l 的方向向量s 垂直，故1112(1,3,2)111⨯=-=--i j kn =n s所以1π的方程为(1)32(1)0x y z --++-=，即3210x y z --+=．由于0l 位于平面π上，因此得其一般式方程2103210x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求直线0l 绕y 轴旋转的旋转曲面方程，将0l 化为参数方程形式21(1)2x t y t z t ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=--⎩ 旋转面方程应满足22221(2)(1)4x z t y t R y t ⎧+=+-⎪∈⎨⎪=⎩消去参数，得旋转面一般方程222214(1)4x z y y +=+-通过配方可进一步化为222217144()41717x z y y +=+-+，即222221717117()141744x y z +-+= 此曲面为单叶双曲面．三、考研题１．（95，3分）设()2+⋅=a b c ，则[()()]()⨯⋅+=++a b b c c a ． 【分析】 这是向量运算问题，首先由叉乘对加法的分配律得[()()]()⨯⋅+=++a b b c c a =()[()]()⨯+⨯⨯⨯⋅+()+()+a b a c b b b c c a其中⨯=0b b ．再用点乘对加法的分配律得原式=()()()⨯⋅+⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅()+()+()a b c a c a a c c a c a +b c c +b c a 由于()()0⨯⋅x,y,z x y z =记，只要其中有两个向量相同，又()x,y,z 中相邻两个向量互换则变号，故原式= 2()224⨯⋅⨯=a b c =．2．（90，3分）过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，垂直的平面方程是 ．【分析】 所求平面的法向量n 平行于所给直线(1,3,1)=-s 的方向向量，取n =s ，则所求平面方程为 (1)3(2)(1)0x y z --+-++=，即340x y z --+=．3．（91，3分）已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-， 221:211x y z L +-==，则过1L 且平行2L 的平面方程为 ．【分析】 所求平面π过直线1L ，因而过1L 上的点(1,2,3)，π过1L 平行于2L ，于是π平行于不共线的向量1(1,0,1)l =-，2(2,1,1)l =（分别是直线1L 与2L 的方向向量）．于是平面π的方程1231010211x y z ----=，即320x y z -++=位所求． 4．（96，3分）设一平面经过原点及(6,3,2)-，且与平面4428x z -+=垂直，则此平面方程为 ．【分析１】 所求平面π过(0,0,0)O 与0(6,3,2)M -，其法向量0{6,3,2}OM ⊥=-n ；平面π垂直于已知平面0:428x y z π-+=，它们的法向量也互相垂直：0⊥n n ．由此00//632446412i OM i ⨯=-=--+-j kn n j k取223i +-n =j k ，则所求过O 点的平面π的方程为 2230x y z +-=．【分析２】 即求过O 点，与两个不共线的向量（一个是从原点到点0(6,3,2)M -的向量0{6,3,2}OM =-，另一个是平面428x y z -+=的法向量0{4,1,2}=-n ）平行的平面，即6320412x y z-=-，即 2230x y z +-=． 5．（93，3分）设有直线1158:121x y z L --+==-，26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为 （A ）6π （ B ）4π （C ）3π （D ）2π【分析】 这实质是求两个向量的夹角问题．1L 与2L 的方向向量分别为：1(1,2,1)=-s 与 2110(1,1,2)021i=-=--j ks1L 与2L 的夹角ϕ的余弦为1212121cos cos(,)23πϕϕ⋅====⇒=s s s s s s 应选（C ）．6．（95，3分）设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L（A ）平行于π （B ）在π上 （C ）垂直于π （ D ）与π斜交【分析】 这是讨论直线L 的方向向量与平面π的法向量的相互关系问题，直线L 的方向向量为132281477(42)2110==-+---+--i j k i j k =i j k s平面π的法向量42i -+n =j k ，s//n ，L π⊥，应选（C ）．7．（98，5分）求直线11:111x y z L --=+-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程．解 先求直线L 在平面π上的投影0L ：求L 在平面π上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面π的平面0π，所求投影线就是平面π与0π的交线．平面0π过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量{1,1,1}=-l （直线L 的方向向量）及{1,1,2}-n =（平面π的法向量）平行，于是0π的方程是111110112x y z ---=-，即 3210x y z --+= 投影线为0210:3210x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩再求0L 绕y 轴的旋转S ：先把表以y 为参数的形式21(1)2x yz y =⎧⎪⎨=--⎪⎩，按参数式表示的旋转面方程得s 的参数方程为x y y z θθ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩消去θ得s 的方程为 22221(2)((1))2x z y y +=+-，即2224174210x y z y -++-=为所求．8．（94，6分）已知A 点和B 点的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为s ，求由s 及两平面0z =，1z =所围成立体的体积．解法1 用定积分．设高度为z 处的截面z D 的面积为()s z ，则所求体积1()V s z dz =⎰A 、B 所在的直线方程为1111x y z-==- 或 1x z y z =-⎧⎨=⎩截面z D 的半径为22222(1)R x y z z =+=-+，则22()(122)s z R z z ππ==-+由此 1202(122)3V z z d z ππ=-+=⎰．解法2 用三重积分．21120022(122)3V dV d dzd z z dz πϕρππΩ===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 或者 112002(122)3zD V dV dzd z z dz σππΩ===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．四、自测题１．填空题：（１）若向量a 与b 之间的夹角为23π，且3=a ，5=b ，则+=a b ， -=a b ； （２）已知{}{}3,1,2,1,2,3==-a b ，则(2)⨯=a b ； （３）已知向量{},5,1m =-a 和{}3,1,n =b 共线，则m = ，n = ；（４）直线1123:231x y z L -+-==-与直线21:123x y z L +==的夹角ϕ= ； （５）直线11236x y z-+==与平面2230x y z +--=的夹角ϕ= ；（６）曲线22241x y z zz ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 平面的投影曲线的方程是 ；（７）已知2=a ，5=b ， 2(,)3π=ab ，且向量17λ=+αa b 与3=-βa b 垂直，则λ= ；（８）已知,,αβγ都是单位向量，且满足++=αβγ0，则⋅+⋅+⋅=αββγγα ． ２．选择题：（１）设a ，b 为非零向量，且⊥a b ，则必有（ ）Ａ．+=+a b a b Ｂ．+=-a b a bＣ．-=-a b a b Ｄ．+=-a b a b（２）+>-a b a b 成立的的是（ ）Ａ． (,)2π<ab Ｂ． (,)2π>a b Ｃ． (,)2π=ab Ｄ． (,)a b 任意 （３）下列说法正确的是（ ）Ａ．2>i j Ｂ．+=-a b a b Ｃ．++i j k 不是单位向量 Ｄ．-i 不是单位向量 （４）设三向量,,a b c 满足关系：++=a b c 0，则⨯=a b （ ）Ａ．⨯c b Ｂ．2+⨯b b cＣ．0 Ｄ．⨯b c （５）已知有向直线L 与向量{}2,2,1=-a 平行，则下列各组数中不能作为L 的方向数的是（ ）Ａ．{}2,2,1-- Ｂ．{}1,1,2-Ｃ．221,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ Ｄ．22,,333πππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭（６）设有直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ ）Ａ．平行于π Ｂ．在π上Ｃ．垂直于π Ｄ．与π斜交（７）已知直线L 的方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，其中所有系数均不为零，如果1212A A D D =，则直线L （ ） Ａ．平行于x 轴 Ｂ．与x 轴相交 Ｃ．通过原点 Ｄ．与x 轴重合 （８）．给定四点1(1,1,1)M ，2(2,3,4)M ，3(3,6,10)M ，4(4,10,20)M ，则四面体1234M M M M 的体积为（ ）Ａ．1 Ｂ．13Ｃ．12 Ｄ．16（９）螺旋线cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩上任一点处的切线与Oz 轴的夹角为（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．（10）下列方程中，其图形是旋转曲面的是（ ）Ａ．22214y x z +-= Ｂ．2224x y += Ｃ．22212y x z -+= Ｄ．222123y z x ++= ３．计算题：（１）已知向量a与三个坐标轴正向构成相等的锐角，且=a a 的终点坐标为()4,3,5-，求a 的起点坐标．（２）求一平面，它平行于向量{}2,1,1=-l ，且在x 轴，y 轴上的截距分别是3,2a b ==-． （３）已知平面通过直线2330:3210x y z L x y z -+-=⎧⎨+++=⎩且在x 轴上的截距为２，求此平面方程．（４）在直线0210x y z x y z ++=⎧⎨+--=⎩上求一点，使其到两平面210x y z +++=和230x y z ++-=的距离相等．（５）求通过点()03,1,2P -且与直线1021:103x y z L -+-==-垂直相交的直线方程． （６）求曲线240x z y ⎧=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转所形成的旋转曲面的方程，并求此曲面与平面1z =的交线在xOy 平面投影曲线的方程．（７）设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且2AB =-a c ，3BC =+b c ，568CD =+-a b c（a ，b ，c 是不共面的向量），求连接四角形ABCD 两对角线中点的向量．（８）求通过点()2,0,0-和()0,2,0-且与锥面222x y z +=的交线为抛物线的平面方程．４．证明题：（１）证明三平面230x y z +-+=，3210x y z -++=，23320x y z -+-=共线． （２）若三向量,,p q r 不共面，求证：23,35,25+-+p q q r p r 必共面．自测题答案１．填空题：7； （２）{}14,22,10-；（３）115,5m n ==-；（４）1arccos 14ϕ=；（５）5arcsin 21ϕ=；（６）223x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩；（７）40λ=；（８）32⋅+⋅+⋅=-αββγγα．２．选择题： （１）Ｂ；（２）Ａ；（３）Ｃ；（4）Ｄ；（５）Ｂ；（６）Ｃ；（７）Ｂ；（８）Ａ；（９）Ｂ； （10）Ｃ．3．计算题：（１）解 cos cos cos 0αβγ==>，又222c o s c o s c o s 1αβγ++=，故c o s α=．设a 的起点坐标为000(,,)x y z，于是，04cos 2x α-===a，03cos 2y β--===a，05cos 2z γ-===a ，解得0002,5,3x y z ==-=，故a 的起点坐标为(2,5,3)-．（２）解 可设平面方程为132x y z c -+=，因此，所求平面的法向量为111,,32c ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭n ．又所求平面与向量l 平行，即⊥n l ，所以0⋅=n l ，即1112()1(1)032c⋅+-⋅+⋅-=，解得6c =，于是所求平面方程为1326x y z-+=，即2360x y z -+-=．（３）解 用平面束方程求解．()2333210x y z x y z λ-+-++++=，整理得()()()()2331230x y z λλλλ++-+++-=，以点()2,0,0代入，得310λ+=，即13λ=-．故所求的平面方程为()123332103x y z x y z -+--+++=，即512100x y z -+-=．（４）解 已给直线可写成对称式方程：211321x y z -++==-，再写成参数式：32211x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，将其代入两平面的法式方程即为距离：=，即224t t =-，解得1t =，故所求的点为1,1,0x y z =-==，即所求点的坐标为1,1,0-．（５）．解 过点P 与直线L 垂直的平面方程为()()3320x z --+-=，即330x z -+=．令1021103x y z t -+-===-，得直线的参数方程为1013x ty z z t=-⎧⎪=-⎨⎪=+⎩，代入方程330x z -+=，得1t =，于是求得平面330x z -+=与已知直线L 的交点为()19,2,4P -，连接01,P P 的直线即为所求直线．由于{}016,1,2P P =- ，故所求直线的方程为312612x y z -+-==-． （６）．解 所求旋转曲面的方程为224x y z +=．此曲面与1z =的交线为2241x y z z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去z 得2214x y +=，即224x y +=，旋转曲面与1z =的交线在xOy 平面投影曲线的方程为224x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩． （７）．解 设AC 的中点为E ，BD 的中点为F ，所求向量为()()()11112222EF DF DE DB DA DC CB CD DA DC =-=-+=--+因为AB BC CD DA +++=0，故 ()()()23568699699DA AB BC CD =-++=--++++-=-+-=--+a c b c a b c a b c a b c所以 ()()()()111136993352222EF CB CD DA DC CB DA =--+=-=--++-=+-b c a b c a b c ．（８）．解 设所求的平面方程为0Ax By Cz D +++=，则()()201202A D B D -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，另一方面，由圆锥线的性质可知，和锥面交成抛物线的平面与锥面的一条母线是平行的，而已知锥面是圆锥面，所以锥面上任一条母线与xOy 坐标面都成定角4π，故所求平面与xOy 面也成定角4π()22203A B C +-=．由式()()()1,2,3解得：11,,22A D B D C ===，于是所求的平面方程为20x y ++=与20x y ++=．４．证明题：（１）证 考虑如下方程组的求解230321023320x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+-=⎩．在方程组中令0x =，有解75,33y z =-=-；在方程组中令0y =，有解78,55x z =-=．故1750,,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和278,0,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭同时在三个平面上，于是12P P 的连线也在三个平面上，从而说明题中的三面共线．（２）证 考虑()()()[]()()()2335256109152530300+⨯-⋅+⎡⎤⎣⎦=⨯-⨯+⨯-⨯⋅+=-⨯⋅+⨯⋅=p q q r p r p q p r q q q r p r q r p p q r故23,35,25+-+p q q r p r 是共面的．。
大学数学微积分第七章 向量代数与空间解析几何平面与直线知识点总结
第七章 向量代数与空间解析几何§7.2 平面与直线一、 空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程， （2）已知坐标x ，y 和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
2 距离公式 空间两点()111,,A x y z 与()222,,B x y z 间的距离d 为d =3 定比分点公式(),,M x y z 是AB 的分点：AMMBλ=,点A,B 的坐标为()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则 121x x x λλ+=+，121y y y λλ+=+，121z z z λλ+=+ 当M 为中点时， 122x x x +=，122y y y +=，122z zz += 二、平面及其方程。
1 法向量： 与平面π垂直的非零向量，称为平面π的法向量，通常记成n 。
对于给定的平面π，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。
2 点法式方程： 已知平面π过()000,,M x y z 点，其法向量n ＝{A,B,C},则平面π的方程为 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-= 或()00n r r ⋅-=其中 {}{}0000,,,,,r x y z r x y z ==3 一般式方程：0Ax By Cz D +++=其中A, B, C 不全为零. x, y, z 前的系数表示π的法线方向数，n ＝{A,B,C}是π的法向量 特别情形： 0Ax By Cz ++=，表示通过原点的平面。
0Ax By D ++=，平行于z 轴的平面。
0Ax D +=，平行yOz 平面的平面。
x ＝0表示yOz 平面。
4 三点式方程：设()111,,A x y z ,()222,,B x y z ,()333,,C x y z 三点不在一条直线上。
则通过A,B,C 的平面方程为： 1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 5 平面束：设直线L 的一般式方程为1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩，则通过L的所有平面方程为1K ()1111A xB yC zD ++++2K ()22220A x B y C z D +++=，其中()()12,0,0k k ≠6 有关平面的问题两平面为 1π：11110A x B y C z D +++= 2π：22220A x B y C z D +++=7 设平面π的方程为0Ax By Cz D +++=，而点()111,,M x y z 为平面π外的一点，则M 到平面π的距离d ： d =三 直线及其方程1 方向向量：与直线平行的非零向量S ，称为直线L 的方向向量。
第七章空间解析几何与向量代数
第七章空间解析⼏何与向量代数第七章空间解析⼏何与向量代数解析⼏何：⽤代数⼯具解决⼏何问题平⾯解析⼏何的研究，在代数与⼏何之间架起了⼀座桥梁，它使平⾯上的点与⼀对有序数组),(y x 之间建⽴了⼀⼀对应关系。
从⽽把平⾯上的图形（⼏何上）与⽅程（代数上）联系在了⼀起。
⽽实际上，我们在前⾯学习⼀元函数微积分的时候，已经⼤量地使⽤了平⾯解析⼏何的知识、许多概念通过⼏何直观使我们更容易理解。
下⾯要研究多元函数（以⼆元为主）的情形。
当然也希望能有其⼏何形象来帮助理解。
由于⼆元函数会出现三个变量，所以平⾯解析⼏何的知识是不够的，我们要把它推⼴，只有空间中的点才能和有序数组),,(z y x 相对应，所以我们要掌握⼀些空间解析⼏何的知识，并以向量为研究⼯具。
平⾯解⼏：⼀元函数的⼏何（曲线）通过坐标把平⾯上的点与⼀对有序数对应起来空间解⼏：研究多元函数的基础讨论多元函数(,)z f x y （曲⾯、曲线）本章在空间直⾓坐标系中引进在⼯程技术上有⼴泛应⽤的向量，介绍向量的⼀些运算，介绍空间曲⾯和空间曲线的部分内容，并以向量为⼯具来讨论空间的平⾯和直线。
教学⽬的：1、理解空间直⾓坐标系，理解向量的概念及其表⽰；2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直和平⾏的条件；3、理解单位向量、⽅向数与⽅向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握⽤坐标表达式进⾏向量运算的⽅法；4、掌握平⾯⽅程和直线⽅程及其求法；5、会求平⾯与平⾯、平⾯与直线、直线与直线之间的夹⾓，并会利⽤平⾯、直线的相互关系（平⾏、垂直、相交等）解决有关问题；6、会求点到直线以及点到平⾯的距离；7、理解曲⾯⽅程的概念，了解常⽤⼆次曲⾯的⽅程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲⾯及母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程；8、了解空间曲线的参数⽅程和⼀般⽅程；9、了解空间曲线在坐标平⾯上的投影，并会求其⽅程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平⾏的条件；3、平⾯⽅程和直线⽅程；4、平⾯与平⾯、平⾯与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平⾯的距离；6、常⽤⼆次曲⾯的⽅程及其图形；7、旋转曲⾯及母线平⾏于坐标轴的柱⾯⽅程；8、空间曲线的参数⽅程和⼀般⽅程。
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第七单元 向量代数 空间解析几何一、向量概念及其加、减法和数乘运算 1、两点A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）之间的距离 212212)()(y y x x d -+-=2、向量的定义：既有大小，又有方向的量。
记作： 或a向量的模：︱ ︱ 0向量：模为0的向量。
记作：0单元向量：模为1的向量。
记作：a 0 3、两向量相等：方向相同，模相等。
记作：a =b 4、加法运算：a +b =b +a (交换律) (a +b )+c = a +(b +c ) （结合律） 5、数与向量的积︱λa ︱=︱λ︱︱a ︱ （λ为常数）λa 的方向：当λ>0时，与a 同向，当λ<0时，与a 反向。
6、向量的坐标表示法：设向量的起点为M 1（x 1,y 1,z 1）,终点为M 2（x 2,y 2,z 2）,则 = (x 2-x 1)i +(y 2-y 1)j +(z 2-z 1)k ︱ ︱=︱212212212)()()(z z y y x x -+-+- 7、基本单位向量：三个坐标轴上正方向上的单位向量i ，j ，k 8、向量的加、减法与数乘运算a ±b =（a x ±b x ）i +（a y ±b y ）j +（a z ±b z ）k λ a = (λa x )i + (λa y )j + (λa z ) k 9、方向角与方向余弦向量a 分别与x 、y 、z 三个坐标轴的正向不超过π的夹角，用α、β、γ表示，则称他们为向量a 的方向角，cos α、cos β、 cos γ称为方向余弦，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ=110、单位向量的三角表示法 a 0=i cos α+j cos β+k cos γ 11、方向余弦的计算设向量a 的坐标表示为：a = x i +y j +z k ，则 222222aa cos ,cos zy x y yzy x x x++==++==βα222acos zy x z z++==γ二、数量积（点积）和向量积（叉称）的计算及应用1、数量积（点积）：a ·b =∣a ∣∣b ∣cos θ θ为a 与b 的夹角，θ≤运算性质：a ·b = b ·aAB AB AB M 1M 2M 1M 2M 1M 2a ·（b +c ）= a ·b + a ·c λ(a ·b )= (λa )·b = a ·(λb ) 2、两向量间的位置关系向量a 在向量b 上的投影： （数量） a b = ∣a ∣cos(a ,b )平行：a ∥b ⇔ a =λb 或b =λa 或λa +μb =0（λ，μ不同时为0） 垂直：a ⊥b ⇔ a ·b =0 a ·a =∣a ∣2计算公式:设a = {x 1,y 1,z 1}, b = {x 2,y 2,z 2},则 ∣a ∣=212121z y x ++,∣b ∣=222222z y x ++a ·b = x 1x 2 + y 1y 2 + z 1z 2 cos(a ,b )=222222212121212121z z y y x x zy x zy x ++++++3、向量积a × 模：∣a ×b ∣=∣a ∣∣b ∣sin θ, θ为a 与b 的夹角，πθ≤几何意义:以a 、b 为邻边的平行四边形的面积 运算性质：a ×b = - b ×aa ×（b +c ）= a ×b + a ×c (λa ) ×b =λ(a ×b ) = a ×(λb ) 计算方法：a = {x 1,y 1,z 1}, b = {x 2,y 2,z 2},则i j ka ×b = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 4、两向量平行的充分必要条件a ×b = 0 即zzy x x b a b b z zy y x x ====或,212121 5、基本单位向量的点、叉积关系i·i = j·j = k·k = 1, i·j = j·k = k·i = 0 i ×i = j ×j = k ×k = 0i ×j = k , j ×k = I , k ×i = j 6、三阶行列式的计算 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1a 2b 2c 2 a 2 b 2 =a 1b 2c 3+b 1c 2a 3+c 1a 2b 3-c 1b 2a 3-a 1c 2b 3-b 1a 2c 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3三条实斜线为主对角线，三条虚斜线为次对角线。
计算方法：主对角线上三个元素之积的和减去次对角线上三个元素之积的和 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3例1 设向量a =8i +9j -12k ，其始点坐标为A （2，-1，7）（1） 求其终点B 的坐标（2） 如取向量a 方向且模为34的向量，求该向量的终点坐标（始点仍为A ）解：（1）设终点坐标为B （x,y,z ）,则有=(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k ，令 = a ，即 8i +9j -12k =(x-2)i +(y+1)j +(z-7)k ，所以有： x-2=8，y+1=9，z-7=-12，解得x=10,y=8,z=-5 故终点坐标为B （10，8，-5）（2）与a 同向的单位向量为：a 0=a ∕∣a ∣=)1298(171)12(981298222k j i k j i -+=-++-+ 与a 同向的模为34的向量为： b =34a 0=16i +18j -24k设其终点坐标为B （x,y,z ）,仿（1）得x-2=16，y+1=18，z-7=-24，解得x=18,y=17,z=-17故终点坐标为B （18，17，-17）例2 设向量a ={x,y,z}的方向解α=600，β=600且∣a ∣=3，问这种向量有几个，求之。
解：设第三个方向角为γ，则由cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1得 cos 2γ=1-cos 2600-cos 2600=21，cos γ=22±,这样的γ有两个子434ππ与，所以这样的向量也有两个：a =∣a ∣a 0 = 3（i cos α+j cos β+k cos γ）=23i +23j +223k或 a =23i +23j -223k (单位向量的三角表示式) 例3 设a ={-1，2，-2}，b ={1，-3，4},试计算a · b ，a × b ， (a+b ) ×(a-b ),cos(a ,b )解: a · b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=(-1) ×1+2×(-3)+(-2) ×4 = -15a ×b =k j i kj i z y x z y x k j i++=---=22431221222111 (a+b )×(a-b )= {-1，2，-2}×{1，-3，4}}2,4,4{652210---=---==kjicos(a ,b )=262654)3(1)2(2)1(15222222-=+-+-++--=⋅ba b a AB AB例4 已知四个点A(0,0,0),B(3,4,-1),C(2,3,5),D(6,0,-3),求△ ABC 的面积.解: △ABC面积应为以 为邻边的平行四边形面积的一半.={3,4,-1}, ={2,3,5} ×}1,17,23{532143-=-=k ji△ABC 面积=21︱ × ︱2913= 例5 求与向量a ={2,-1,2}平行且满足a ·b =-18的向量b 解:设b =λa ,则a ·b =λ︱a ︱2=λ(22+(-1)2+22)=-18 解得λ=-2,即设b ={-4,2,-4}例6 在xoy 平面上求一个垂直于向量a ={5,-3,4}且与a 等长的向量b 解: 因b 在xoy 平面,可设b ={x,y,0},则a ·b =5x-3y=0,︱b ︱2=x 2+y 2=52+(-3)2+42=50 (︱a ︱=︱b ︱) 由上两方程联立解得1725,1715±=±=y xb =}0,1725,1715{±±例7 已知a ={m,5,-1}, b ={3,1,n}互相平行,求m,n 解: 因a ∥b ,所以有n m 1153-==,解得m=15,51-=n 例8 设一向量与x 轴及y 轴的夹角相等,而与z 轴的夹角是前者的2倍,求这个向量的方向余弦.解: 设该向量与x 、y 轴的夹角为α，则与z 轴的夹角为2α，所以cos 2α+cos 2α+cos 22α=1,2cos 2α+(2cos 2α-1)2=1 即4cos 4α-2cos 2α=0,解得cos α=0或22cos ±=α（负值舍去） 故方向余弦为0，0，-1或0,22,22 例9 设向量a ={3，4，-2}，b ={2,1,k},若a 与b 垂直，则k=( 5) (05、10)解：因a 与b 垂直，所以a ·b = 0，即{3，4，-2}·{2,1,k}=0 6+4-2k=0,解得k=5例10 设向量︱a ︱=1，︱b ︱=2，︱a +b ︱=3，则a ·b = （-1）AB AC ABAC AC AB AB（05B 、10）解：设a = {x 1,y 1,z 1}, b = {x 2,y 2,z 2}，则2,1222222212121=++=++z y x z y x︱a +b ︱=221221221)()()(z z y y x x +++++=)(2)()(212121222222212121z z y y x x z y x z y x ++++++++ =3)(25212121=+++z z y y x x解得 1212121-=++z z y y x x a ·b = 1212121-=++z z y y x x例11 设︱a ︱=1，a ⊥b ，则a ·（a +b ）= （1） （06、10） 解：因a ⊥b ，所以a ·b =0，a ·（a +b ）= a ·a +a ·b =︱a ︱2=1 例12 已知a ，b 均为单位向量，且a ·b =21，则以向量a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 （23）（07，10）解：因a ，b 均为单位向量，所以︱a ︱=︱b ︱=1a ·b =︱a ︱︱b ︱cos(a ,b )=21，cos(a ,b )=21, a ,b =3π平行四边形的面积=︱a ×b ︱=︱a ︱︱b ︱sin(a ,b ) =233sin=π例13 设a ={1，2，3}，b ={3，2，4}，则a ×b = （C ） （08、4） A 、{2，5，4} B 、{2，-5，-4} A 、{2，5，-4} A 、{-2，-5，4}解：a ×b }4,5,2{423321-==k j i三、 平面与直线 平面 1、平面方程（1） 平面的点法式方程：平面过点M 0（x 0,y 0,z 0）,以n ={A,B,C} 为法向量，方程为：A （x- x 0）+B （y- y 0）+C （z- z 0）=0（2） 平面的一般方程：Ax+ By+ Cz+D=0 （A ，B ，C 不全为零）,其法向量为n ={A,B,C} （3） 平面的截距式方程：1=++czb y a x （a,b,c 分别为x 轴，y 轴和z 轴上的截距，且a ·b ·c ≠0）2、 特殊的平面方程：过原点的平面方程：Ax+By+Cz=0 平行于oz 轴的平面方程：Ax+By+D=0 过oz 轴的平面方程：Ax+By =0平行于坐标平面xoy 的平面方程：Cz+D=0说明：过其他轴及平面的方程，可仿照上述方程写出。