第2章【确知信号】
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τ →∞
2
参照式(2.2-28)，上式可以改写为 1 S ( f ) = [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] 2
t
－f0
0 (b) 频谱密度
f0
(a) 波形
引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第2章 确知信号 章
2.2.3 能量信号的能量谱密度
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
∫
T /2
−T / 2
s (t ) e
∞
dt =
∫
1
0
sin( π t ) e − j 2 πnt dt =
−2 π ( 4 n 2 − 1)
s (t ) =
−2
π
n = −∞
∑
1 4n 2 − 1
e j 2 πnt
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
第2章 确知信号 章
2.2.2 能量信号的频谱密度
= C 0 + ∑ [a n cos (2π nt / T0 ) + bn sin (2π nt / T0 )]
n =1
∞
= C0 + ∑
∞
式中 θ = tan−1 (bn / an ) 式(2.2－8)表明：
n =1
[a
2 n
+ bn2 cos (2π nt / T0 + θ )
]
( 2 .2 − 8 )
∫
−∞
δ (t ) = 0
t ≠ 0
δ函数的频谱密度：
∆( f ) =
∫
∞
δ函数的物理意义：
−∞
δ (t ) e
− j 2 πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t ) dt = 1
−∞
∞
一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1 的脉冲。
第2章 确知信号 章
δ函数的性质1： δ函数可以用抽样函数的极限表示：
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有 ∗ T /2 T /2 1 1 * C−n = ∫ s(t )e + j 2πnf t dt = ∫ s(t )e − j 2πnf t dt = Cn (2.2 − 5) −T / 2 −T / 2 T0 T0 正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
E = ∫ s (t )dt = ∫ S ( f ) df
2 2 −∞ −∞ ∞ ∞
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为 ∞ E = ∫ G ( f ) df 式中 G(f) = |S(f)|2 －能量谱密度
−∞
(2.2-38)
由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成
C
s (t ) =
n = −∞
∑
∞
C n e j 2 πnf 0 t =
Vτ n πτ j 2 πnf 0 t sin c e ∑ T T n = −∞
∞
n
第2章 确知信号 章
【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。 0 ≤ t ≤τ V , s(t) s(t ) = τ <t <T 0,
k
π
sin c ( kt )
(2.2-28) 即抽样函数的极限就是δ函数。
t
第2章 确知信号 章
δ函数的性质2：单位冲激函数δ(t)的频谱密度
∆( f ) = ∫ δ (t )e
−∞ ∞ − j 2πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
δ(t)
1
∆(f)
0
t
0
f
第2章 确知信号 章
2 2 2
第2章 确知信号 章
2.2.4 功率信号的功率谱密度
定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 < t < T/2 sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能 量谱密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有 T /2 ∞ 2 2 (2.2-41) E = ∫ sT (t ) dt = ∫ S T ( f ) df 将
−∞
第2章 确知信号 章
δ函数的性质4： δ函数也可以看作是单位阶跃函数 的
导数。 单位阶跃函数的定义：
0, u (t ) = 1, 当 t < 0, 当t ≥ 0
0 1
即
u′(t) = δ(t)
t
图2-8 单位阶跃函数
用δ函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。
第2章 确知信号 章
δ ( t ) = lim
k
因为，可以证明
k→∞
∫
∞
k
π
sin c ( kt )
−∞
π
sin c ( kt ) dt = 1
t
t
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越 小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。 （见左图） 和下式比较： ∞ (2.2-26) ∫−∞ δ (t )dt = 1 可见 δ ( t ) = lim k→∞
Cn =
1 2 2 a n + bn 2
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。 2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于θ
2 a n + b n2
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密 度简称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇 对称，即复数共轭，因
∫
∞
−∞
s(t)e
− j 2πft
dt = ∫ s(t)e −∞
∞
+ j 2πft
dt ,
∗
S( f ) = [S(− f )]
∗
第2章 确知信号 章
(
)
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
第2章 确知信号 章
【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
s (t ) = sin(πt ) s (t ) = f (t − 1)
1 Cn = T
0 < t ≤1 − ∞ < t < +∞
− j 2 π nf 0 t
s(t)
1
由式(2.2-1)：
t
0 0 0 0 0 0
|Cn|
Cn的模偶对称
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(a) 振幅谱
θn
Cn的相位奇对称
-5
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3 4 5
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号 章
s (t ) =
n = −∞
∑C
∞
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
n
e
j 2 π nt / T 0
【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 t ≤τ /2 设 g a ( t ) = 1 － 单位门函数
0 t >τ /2
它的傅里叶变换为
Ga ( f ) = ∫
τ / 2 − j 2πft
−τ / 2
e
dt =
1
1 sin(πfτ ) (e jπfτ − e − jπfτ ) = τ = τ sin c(πfτ ) j 2πf πfτ
Ga(f)
ga(t)
0
t
-1/τ -2/τ
1/τ 0
2/τ
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这 里它等于(1/τ) Hz。
第2章 确知信号 章
【例2.5】试求单位冲激函数(δ函数)的频谱密度。 ∞ δ函数的定义： δ ( t ) dt = 1
δ函数的性质3：
f (t 0 ) =
∫
∞
−∞
f (t )δ (t − t 0 ) dt
∞
(2.2-30)
【证】因为
∫
∞
−∞
f (t )δ (t − t 0 )dt = f (t 0 ) ∫ δ (t − t 0 )dt = f (t 0 )
−∞
物理意义：可以看作是用δ函数在 t = t0时刻对f(t)抽样。 由于单位冲激函数是偶函数，即有δ(t) = δ(-t)，所 以式(2.2-30)可以改写成： ∞ (2.2-31) f (t 0 ) = ∫ f (t )δ (t 0 − t )dt
2 2 2 2 归一化功率： P = V / R = I R = V = I
∞
1 平均功率P为有限正值： P = lim T →∞ T
∫
T /2
−T / 2
s 2 ( t ) dt
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于∞
第2章 确知信号 章
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义 1 T0 / 2 C n = C ( nf 0 ) = s (t ) e − j 2πnf 0 t dt ( 2 .2 − 1) ∫−T0 / 2 T0 −T 式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，-∞ < n < +∞。
频谱密度的定义： ∞ S ( f ) = ∫ s(t )e − j 2πft dt 能量信号s(t) 的傅里叶变换： −∞
s S(f)的逆傅里叶变换为原信号： (t ) =
∫
∞
−∞
S ( f ) e j 2πft df
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
τ
-T
τ /2
V 0
T
由式(2.2-1)： (2.2-1)
1 Cn = T 1 Ve − j 2 π nf 0 t dt = ∫−τ / 2 T
τ /2
t
V − e − j 2 π nf 0 t j 2π nf 0 −τ / 2
V e j 2 π nf 0τ / 2 − e − j 2 π nf 0τ / 2 V Vτ n πτ = = sin π nf 0τ = sin c π nf 0 T T j 2π nf 0 T T
s(t ) = s(t − T ), −∞ < t < ∞
-T
V 0 τ
T
τ
由式(2.2-1) ：
Cn = 1 T
t
∫
τ
0
Ve
− j 2 π nf 0 t
dt =
1 V − T j 2 π nf
0
e − j 2 π nf 0 t 0
V 1 − e − j 2 π nf 0τ V = = 1 − e − j 2πnτ / T T j 2 π nf 0 j 2π n
第2章 确知信号 章
若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为 1 T0 / 2 1 T0 / 2 − j 2πnf0t Cn = ∫ s(t )e dt = ∫ s(t )[cos(2πnf0t ) − j sin(2πnf0t )]dt −T0 / 2 T0 T −T0 / 2
1 T0 / 2 1 T0 / 2 = ∫ s(t ) cos(2πnf0t )dt − j ∫ s(t ) sin(2πnf0t )dt = Re(Cn ) − j Im(Cn ) T −T0 / 2 T −T0 / 2 而 T0 / 2 s (t ) sin(2πnf t )dt = 0
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2πf0t，则其频谱密度S(f)按 式(2.2-21)计算，可以写为 τ /2 τ sin[π ( f − f 0 )τ ] sin[π ( f + f 0 )τ ] + S ( f ) = lim ∫ cos 2πf 0 te − j 2πft dt = lim τ → ∞ −τ / 2 τ →∞ 2 π ( f − f 0 )τ π ( f + f 0 )τ τ = lim {sin c[πτ ( f − f 0 )] + sin c[πτ ( f + f 0 )]}
E = 2 ∫ G ( f ) df
0 ∞
(2.2-40)
第2章 确知信号 章
【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度： S ( f ) = Ga ( f ) = τ sin c (πfτ ) 故由式(2.2-39)得出
G( f ) = S ( f ) = τ sin c(πfτ ) = τ 2 sin c(πfτ )
s (t ) =
n = −∞
∑
∫
∞
C ne
j 2 π nt / T 0
( 2 .2 − 2 )
( 2 .2 − 3 )
(2.2 － 4)
1 C0 = T0
T0 / 2
− T0 / 2
jθ n
s ( t ) dt
Cn = Cn e
－双边谱，复振幅
|Cn| －振幅， θn－相位
第2章 确知信号 章
周期性功率信号频谱的性质
通信原理
通信原理
第2章 确知信号 章
第2章 确知信号 章
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
− ∞ < t < +∞ 周期信号： s(t) = s(t + T0 ), T0－信号的周期， T0 > 0 非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限， 0 < E = ∫−∞ s 2 (t )dt < ∞ 功率信号：
∫
−T0 / 2
0
所以Cn为实函数。
第2章 确知信号 章
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。 −τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2 V , s(t) s(t ) = τ / 2 < t < (T − τ / 2) 0,
s(t ) = s(t − T ), −∞ <t < ∞
2
参照式(2.2-28)，上式可以改写为 1 S ( f ) = [δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )] 2
t
－f0
0 (b) 频谱密度
f0
(a) 波形
引用了冲激函数就能把频谱密度的概念推广到功率信号上。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
第2章 确知信号 章
2.2.3 能量信号的能量谱密度
定义：由巴塞伐尔(Parseval)定理
∫
T /2
−T / 2
s (t ) e
∞
dt =
∫
1
0
sin( π t ) e − j 2 πnt dt =
−2 π ( 4 n 2 − 1)
s (t ) =
−2
π
n = −∞
∑
1 4n 2 − 1
e j 2 πnt
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
第2章 确知信号 章
2.2.2 能量信号的频谱密度
= C 0 + ∑ [a n cos (2π nt / T0 ) + bn sin (2π nt / T0 )]
n =1
∞
= C0 + ∑
∞
式中 θ = tan−1 (bn / an ) 式(2.2－8)表明：
n =1
[a
2 n
+ bn2 cos (2π nt / T0 + θ )
]
( 2 .2 − 8 )
∫
−∞
δ (t ) = 0
t ≠ 0
δ函数的频谱密度：
∆( f ) =
∫
∞
δ函数的物理意义：
−∞
δ (t ) e
− j 2 πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t ) dt = 1
−∞
∞
一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1 的脉冲。
第2章 确知信号 章
δ函数的性质1： δ函数可以用抽样函数的极限表示：
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有 ∗ T /2 T /2 1 1 * C−n = ∫ s(t )e + j 2πnf t dt = ∫ s(t )e − j 2πnf t dt = Cn (2.2 − 5) −T / 2 −T / 2 T0 T0 正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
E = ∫ s (t )dt = ∫ S ( f ) df
2 2 −∞ −∞ ∞ ∞
(2.2-37)
将|S(f)|2定义为能量谱密度。 式(2.2-37)可以改写为 ∞ E = ∫ G ( f ) df 式中 G(f) = |S(f)|2 －能量谱密度
−∞
(2.2-38)
由于信号s(t)是一个实函数，所以|S(f)|是一个偶函数, 因此上式可以改写成
C
s (t ) =
n = −∞
∑
∞
C n e j 2 πnf 0 t =
Vτ n πτ j 2 πnf 0 t sin c e ∑ T T n = −∞
∞
n
第2章 确知信号 章
【例2.2】试求图2-3所示周期性方波的频谱。 0 ≤ t ≤τ V , s(t) s(t ) = τ <t <T 0,
k
π
sin c ( kt )
(2.2-28) 即抽样函数的极限就是δ函数。
t
第2章 确知信号 章
δ函数的性质2：单位冲激函数δ(t)的频谱密度
∆( f ) = ∫ δ (t )e
−∞ ∞ − j 2πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
δ(t)
1
∆(f)
0
t
0
f
第2章 确知信号 章
2 2 2
第2章 确知信号 章
2.2.4 功率信号的功率谱密度
定义：首先将信号s(t)截短为sT(t)，-T/2 < t < T/2 sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能 量谱密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有 T /2 ∞ 2 2 (2.2-41) E = ∫ sT (t ) dt = ∫ S T ( f ) df 将
−∞
第2章 确知信号 章
δ函数的性质4： δ函数也可以看作是单位阶跃函数 的
导数。 单位阶跃函数的定义：
0, u (t ) = 1, 当 t < 0, 当t ≥ 0
0 1
即
u′(t) = δ(t)
t
图2-8 单位阶跃函数
用δ函数可以表示功率信号的频谱密度，见下例。
第2章 确知信号 章
δ ( t ) = lim
k
因为，可以证明
k→∞
∫
∞
k
π
sin c ( kt )
−∞
π
sin c ( kt ) dt = 1
t
t
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越 小、波形振荡的衰减越快，但积分等于1。 （见左图） 和下式比较： ∞ (2.2-26) ∫−∞ δ (t )dt = 1 可见 δ ( t ) = lim k→∞
Cn =
1 2 2 a n + bn 2
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。 2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于θ
2 a n + b n2
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密 度简称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇 对称，即复数共轭，因
∫
∞
−∞
s(t)e
− j 2πft
dt = ∫ s(t)e −∞
∞
+ j 2πft
dt ,
∗
S( f ) = [S(− f )]
∗
第2章 确知信号 章
(
)
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
第2章 确知信号 章
【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
s (t ) = sin(πt ) s (t ) = f (t − 1)
1 Cn = T
0 < t ≤1 − ∞ < t < +∞
− j 2 π nf 0 t
s(t)
1
由式(2.2-1)：
t
0 0 0 0 0 0
|Cn|
Cn的模偶对称
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(a) 振幅谱
θn
Cn的相位奇对称
-5
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3 4 5
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号 章
s (t ) =
n = −∞
∑C
∞
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
n
e
j 2 π nt / T 0
【例2.4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。 t ≤τ /2 设 g a ( t ) = 1 － 单位门函数
0 t >τ /2
它的傅里叶变换为
Ga ( f ) = ∫
τ / 2 − j 2πft
−τ / 2
e
dt =
1
1 sin(πfτ ) (e jπfτ − e − jπfτ ) = τ = τ sin c(πfτ ) j 2πf πfτ
Ga(f)
ga(t)
0
t
-1/τ -2/τ
1/τ 0
2/τ
f
(a) ga(t)
(b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这 里它等于(1/τ) Hz。
第2章 确知信号 章
【例2.5】试求单位冲激函数(δ函数)的频谱密度。 ∞ δ函数的定义： δ ( t ) dt = 1
δ函数的性质3：
f (t 0 ) =
∫
∞
−∞
f (t )δ (t − t 0 ) dt
∞
(2.2-30)
【证】因为
∫
∞
−∞
f (t )δ (t − t 0 )dt = f (t 0 ) ∫ δ (t − t 0 )dt = f (t 0 )
−∞
物理意义：可以看作是用δ函数在 t = t0时刻对f(t)抽样。 由于单位冲激函数是偶函数，即有δ(t) = δ(-t)，所 以式(2.2-30)可以改写成： ∞ (2.2-31) f (t 0 ) = ∫ f (t )δ (t 0 − t )dt
2 2 2 2 归一化功率： P = V / R = I R = V = I
∞
1 平均功率P为有限正值： P = lim T →∞ T
∫
T /2
−T / 2
s 2 ( t ) dt
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于∞
第2章 确知信号 章
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义 1 T0 / 2 C n = C ( nf 0 ) = s (t ) e − j 2πnf 0 t dt ( 2 .2 − 1) ∫−T0 / 2 T0 −T 式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，-∞ < n < +∞。
频谱密度的定义： ∞ S ( f ) = ∫ s(t )e − j 2πft dt 能量信号s(t) 的傅里叶变换： −∞
s S(f)的逆傅里叶变换为原信号： (t ) =
∫
∞
−∞
S ( f ) e j 2πft df
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
τ
-T
τ /2
V 0
T
由式(2.2-1)： (2.2-1)
1 Cn = T 1 Ve − j 2 π nf 0 t dt = ∫−τ / 2 T
τ /2
t
V − e − j 2 π nf 0 t j 2π nf 0 −τ / 2
V e j 2 π nf 0τ / 2 − e − j 2 π nf 0τ / 2 V Vτ n πτ = = sin π nf 0τ = sin c π nf 0 T T j 2π nf 0 T T
s(t ) = s(t − T ), −∞ < t < ∞
-T
V 0 τ
T
τ
由式(2.2-1) ：
Cn = 1 T
t
∫
τ
0
Ve
− j 2 π nf 0 t
dt =
1 V − T j 2 π nf
0
e − j 2 π nf 0 t 0
V 1 − e − j 2 π nf 0τ V = = 1 − e − j 2πnτ / T T j 2 π nf 0 j 2π n
第2章 确知信号 章
若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为 1 T0 / 2 1 T0 / 2 − j 2πnf0t Cn = ∫ s(t )e dt = ∫ s(t )[cos(2πnf0t ) − j sin(2πnf0t )]dt −T0 / 2 T0 T −T0 / 2
1 T0 / 2 1 T0 / 2 = ∫ s(t ) cos(2πnf0t )dt − j ∫ s(t ) sin(2πnf0t )dt = Re(Cn ) − j Im(Cn ) T −T0 / 2 T −T0 / 2 而 T0 / 2 s (t ) sin(2πnf t )dt = 0
【例2.6】试求无限长余弦波的频谱密度。 设一个余弦波的表示式为s(t)=cos2πf0t，则其频谱密度S(f)按 式(2.2-21)计算，可以写为 τ /2 τ sin[π ( f − f 0 )τ ] sin[π ( f + f 0 )τ ] + S ( f ) = lim ∫ cos 2πf 0 te − j 2πft dt = lim τ → ∞ −τ / 2 τ →∞ 2 π ( f − f 0 )τ π ( f + f 0 )τ τ = lim {sin c[πτ ( f − f 0 )] + sin c[πτ ( f + f 0 )]}
E = 2 ∫ G ( f ) df
0 ∞
(2.2-40)
第2章 确知信号 章
【例2.7】试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度 在例2.4中，已经求出其频谱密度： S ( f ) = Ga ( f ) = τ sin c (πfτ ) 故由式(2.2-39)得出
G( f ) = S ( f ) = τ sin c(πfτ ) = τ 2 sin c(πfτ )
s (t ) =
n = −∞
∑
∫
∞
C ne
j 2 π nt / T 0
( 2 .2 − 2 )
( 2 .2 − 3 )
(2.2 － 4)
1 C0 = T0
T0 / 2
− T0 / 2
jθ n
s ( t ) dt
Cn = Cn e
－双边谱，复振幅
|Cn| －振幅， θn－相位
第2章 确知信号 章
周期性功率信号频谱的性质
通信原理
通信原理
第2章 确知信号 章
第2章 确知信号 章
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
− ∞ < t < +∞ 周期信号： s(t) = s(t + T0 ), T0－信号的周期， T0 > 0 非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限， 0 < E = ∫−∞ s 2 (t )dt < ∞ 功率信号：
∫
−T0 / 2
0
所以Cn为实函数。
第2章 确知信号 章
【例2.1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。 −τ / 2 ≤ t ≤ τ / 2 V , s(t) s(t ) = τ / 2 < t < (T − τ / 2) 0,
s(t ) = s(t − T ), −∞ <t < ∞