第2章 确知信号剖析
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现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
第2章确知信号
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
以上分析表明，信号分成两类：
1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。
2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。
注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量
即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T
T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt
以上分析表明，信号分成两类：
1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。
2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。
注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量
即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t
因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T
T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt
TXYL通信原理(第2章)确知信号
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
Cn的模偶对称
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
n
(a) 振幅谱
n
Cn的相位奇对称
-5
-4 -3
-2
-1 0 1 2
3 4 5
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号
1 (an jbn ) 令 ，将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到 2 j 2nt / T0 s(t ) Cn e C0 an cos2nt / T0 bn sin 2nt / T0
s(t ) s(t T ), 由式(2.2-1) ：
1 Cn T
t
-T
V 0
T
t
0
Ve
j 2nf 0t
1 dt T
V j 2nf 0t e j 2nf0 0
V 1 e j 2nf 0 V 1 e j 2n / T T j 2nf0 j 2n
对比：因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
第2章 确知信号
【例2.3】试求图2-4中周期波形的频谱。
0 t 1 t
j 2nf 0t
s(t ) sin(t ) s(t ) f (t 1)
1 Cn T
s(t)
1
由式(2.2-1)：
t
T /2
2
参照式(2.2-28)，上式可以改写为
S( f ) 1 [ ( f f 0 ) ( f f 0 )] 2
第2章-确知信号与随机信号分析基础
f
(t)
n
Fn e
jn 0 t
Fn
n
Fn
1 T0
T0 / 2
f
T0 / 2
(t )e jn0t dt
0 f0 2 f0 3 f0 4 f0
f
2020/12/19
4
二、非周期信号的付氏变换形式
(1)
f (t)
F( j)
1
F( j)ejtd
2
f (t)ejtdt
(逆变换) (正变换)
(2) f (t) F( j)
付里叶变换对
注意：非周期信号的频谱F(ω)是连续谱，周 期信号的频谱Fn是离散谱，这个特征要记住
2020/12/19
5
三、常用信号的频谱
1. 单位冲激函(数 t)
E(t) E 或 (t) 1
物理意义 :变化快的信号如很脉窄冲的等 ,可近似用
数学模型(t)来表示 ,上式说明这类随时化间很变快
1
F ( ) 2 d
1
G ( )d
2
2
2
功率谱密度 P( )(或 P( j ))定义为单位频率上信号 的功率 ,
即S
Fn
n
2
1
2
P( )d
注意 ,由于周期信号的谱线 Fn为离散谱 , 而周期信号为功率
信号 , 在这种情况下 , 就只能用功率 , 而不能用能量 (因为此
时能量为无穷大 ). 因此 , 上面第二个式子中就只 能用功率
f
(t)
Fnejn0t
n
,式中 0
2
T0
,T0为周,期 则
S 1
T 2020/12/19 0
T0 T0
第2章 确知信号(简)
S ( f ) = ∫ s (t )e − j 2πft dt
−∞
∞
【例2.4】试求一个矩形脉冲（能量信号）的频谱密度。
——单位门函数
其时域波形如图（a）所示。 它的傅里叶变换即为其频谱密度：
S ( f ) = Ga ( f ) = ∫
τ /2
−τ / 2
e
− j 2π ft
1 dt = (e jπ f τ − e − jπ f τ ) j 2π f
s (t )
−∞< t < +∞
t
T
第2章 确知信号
2、按照能量是否有限区分： （1）能量信号 归一化功率——电流在单位电阻（1Ω）上消耗的功率：
P = V 2 / R = I 2R = V 2 = I 2
能量信号 功率信号
若s(t)表示电压或电流的时间波形，则瞬时功率为：s2(t) 信号能量为：
第2章 确知信号
1 由式(2.2-1)： Cn = C (nf 0 ) = T0
可求得： C = 1 n T
∫
T0 / 2
−T0 / 2
s (t )e − j 2π nf0t dt
τ /2
∫τ
τ /2
− /2
Ve
− j 2 π nf 0 t
1 dt = T
⎡ V − j 2 π nf 0 t ⎤ e ⎢− ⎥ j 2π nf 0 ⎣ ⎦ −τ / 2
度为无穷小、面积为1的脉冲。
δ函数的频谱密度为：
∆( f ) = ∫ δ (t )e
−∞
∞
− j 2πft
dt = 1 ⋅ ∫ δ (t )dt = 1
−∞
∞
第2章 确知信号
第2章 确知信号
j 2nf 0 t
( 2.2 2)
( 2.2 3)
n
T0 / 2
T0 / 2
s( t )dt
复振幅：Cn Cn e j ，|Cn|—振幅，n—相位 Cn—双边频谱：负频率仅在数学上有意义，物理上并不存在。
2018/10/8
第16页
2.2 确知信号的频域性质
一、功率信号的频谱
周期性功率信号频谱的性质：物理上实信号的频谱和数学上的频谱函
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) cos(2nf 0 t )dt j
1 T
T0 / 2
T0 / 2
s( t ) sin( 2nf 0 t )dt Re (C n ) j Im(C n )
而
T0 / 2
T0 / 2
s(t ) sin( 2nf0 t )dt 0 ，所以 Cn为实函数。
随机信号定义：是指其取值不确定、且不能事先确切预知
的信号。这种信号在任何时间的取值自然也是不可能用一个数学公
式准确计算出来的。然而，在一个长时间内观察，这种信号有一定的 统计规律，可以找到它的统计特性。通常，把这种信号看作是一个随 机过程。
2018/10/8
第2页
2.1 确知信号的类型
二、周期信号和非周期信号
Cn 1 T0 1 j 2nf 0 t s ( t ) e dt T0 / 2 T0
T0 / 2
j 2nf 0 t * s ( t ) e dt Cn T0 / 2
T0 / 2
( 2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即： Cn的相位奇对称
2 2 bn (2) 实信号 s(t) 的各次谐波的振幅等于 an
通信原理第2章 确知信号
n 1
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
它的意义在于： （1）把一个时域信号转换为频域表达，从而引出频谱的概 念； （2）揭示了周期信号的实质，即一个周期信号是由不同频 率的谐波分量构成。当信号被分解为各次谐波之后，就可 以从频域来分析问题。因此，傅里叶分析实质上是一种频 域分析方法。信号的频域特性即信号的内在本质，而信号 的时域波形只是信号的外在形式。
j 2nt / T0
j 2nt / T0 Cn e n 1
C 0 C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) C n (cos2ntf 0 j sin2ntf 0 ) n 1 n 1 C 0 [(C n C n ) cos 2ntf 0 j(C n C n ) sin2ntf 0 ] n 1
T0 / 2
T0 / 2
S ( t )e
j 2nf 0 t
* dt C n
即频谱函数的负频率和正频率部分存在“复数共轭”关系
双边谱
11
根据频谱函数的负频率和正频率之间的“复数共轭”关系
S (t )
n
C
n
e
j 2nt / T0
C0 C ne
3
（2）周期信号和非周期信号
周期信号：定义在（- ∞, +∞）区间上，且每隔一定的时间间
隔按相同规律重复变化的信号。
s(t ) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
满足上述条件的最小T0称为信号的基波周期， f0 =1/T0称为信 号的基频。 非周期信号是不具有重复性的信号，如：符号函数、单位冲 激信号、单位阶跃信号等。
确知信号的分析
f (t ) f (t nT )
n 0,1,2,
3、功率信号与能量信号
E
T /2
T / 2
| f (t ) | dt ,
2
当T→∞时，如果E存在，称f(t)为能量信号，此时 平均功率S=0。反之，如果E不存在（无穷大），而 S存在，则称f(t)为功率信号。
二、典型的时间信号举例
1 f (t )dt 2
2
| F ( ) | 2 d
（2）对于周期性功率信号。设周期性功率信 号为
f (t )
1 S T0
n
Vn e jn 0t
2
T0 2 T 0 2
f (t )dt
n
| Vn |
2
2、能量谱密度G ( )和功率谱密度 P ( )
/ 2 0 / 2
t
4
2
0
2
4
2、单边指数信号的频谱
e f (t ) 0
F ( )
at
(t 0) (t 0)
其中 a 0
f (t )e
jt
dt e at e jt dt
0
e ( a j )t dt
F ( )
f (t )e
jt
dt
/2
/ 2
Ee jt dt
sin 2 E 2 F ( ) sin E 2 2
f (t )
E
E
[VIP专享]第2章通信原理确知信号
![[VIP专享]第2章通信原理确知信号](https://img.taocdn.com/s3/m/517f565002020740be1e9bab.png)
Cn = Cn e jqn , 即C本n 身一般是复数，
例：对称方波的频谱
稿纸
s(t)
=
ìïïíïïî
V 0
-t /2 £ t /2 t /2<(T-t /2)
s(t) = s(t - T ) -¥ <t<¥
方波的周期为T，脉冲宽度为，t 幅度为 V
解：
ò Cn
=
1 T
τ/2
Ve-
- τ/2
j2pnf0t dt = 1 T
信号的平均功率：
ò P= lim 1 T /2 s2 (t)dt
T T ® ¥
- T/2
信号分成两类：
能量信号：能量等于一个有限正值，但平均功率为 0.
功率信号：平均功率是一个有限值，但能量为无限大。周期信号一般认为有无限长的持续时间，是
功率信号。
2.2 确知信号的频域性质
信号的频率特性有四种：功率信号的频谱；能量信号的频谱密度；能量信号的能量谱密度；功率信
号的功率谱密度。
1. 功率信号的频谱
周期性信号（功率信号）可以用指数形式的傅里叶级数展开：
频谱函数
å s (t ) =
+¥ -¥
Cn
e j2pnt /T0 , w0 =
2p T0
ò Cn
=
C(nf0 ) =
1 T0
T0 / 2
s(t )e-
-T0 / 2
dt j 2pnf0t
第 2 章 确知信号
南京工程学院备课
V ej 2p nf 0
ùt
ú j 2pnf0t úû0
=
V 1-e- j 2pnf0t T j2pnf0
=
V (1- e- j2pnt /T ) j2pn
例：对称方波的频谱
稿纸
s(t)
=
ìïïíïïî
V 0
-t /2 £ t /2 t /2<(T-t /2)
s(t) = s(t - T ) -¥ <t<¥
方波的周期为T，脉冲宽度为，t 幅度为 V
解：
ò Cn
=
1 T
τ/2
Ve-
- τ/2
j2pnf0t dt = 1 T
信号的平均功率：
ò P= lim 1 T /2 s2 (t)dt
T T ® ¥
- T/2
信号分成两类：
能量信号：能量等于一个有限正值，但平均功率为 0.
功率信号：平均功率是一个有限值，但能量为无限大。周期信号一般认为有无限长的持续时间，是
功率信号。
2.2 确知信号的频域性质
信号的频率特性有四种：功率信号的频谱；能量信号的频谱密度；能量信号的能量谱密度；功率信
号的功率谱密度。
1. 功率信号的频谱
周期性信号（功率信号）可以用指数形式的傅里叶级数展开：
频谱函数
å s (t ) =
+¥ -¥
Cn
e j2pnt /T0 , w0 =
2p T0
ò Cn
=
C(nf0 ) =
1 T0
T0 / 2
s(t )e-
-T0 / 2
dt j 2pnf0t
第 2 章 确知信号
南京工程学院备课
V ej 2p nf 0
ùt
ú j 2pnf0t úû0
=
V 1-e- j 2pnf0t T j2pnf0
=
V (1- e- j2pnt /T ) j2pn
第二章通信信号分析
f
2
t
（2.1-）
将周期看作无穷大，那么非周期功率信号的 功率可写成类似的形式
P lim1 T
T
T 2
T 2
f 2 t dt
（2.11）
2.2 确知信号的频域性质
功率信号的频谱—离散谱
S ( t ) C n j 2t 1 T0 / 2 j 2nf 0 t C n C ( nf 0 ) dt s( t ) T0 T0 / 2
（ 2.2-2）
能量信号的频谱—连续谱
S ( f ) s( t ) j 2ft dt
（2.2-21）
2.2 确知信号的频域性质
能量信号的能量谱密度 —连续谱 --能量普密度 （2.2-39） G( f ) S ( f ) 2
2 E G f d f S 2 ( t )dt
E 1 π E d
0
（2.13）
3．功率（密度）谱
对周期性功率信号f t 而言，平均功率为
1 T T 2 f t dt Fn
T 2 2 n
2
2
（2.14）
其中 Fn 是周期信号的功率谱，它对应于各频率分 量的功率。式（2.14）是关于周期信号的帕斯瓦 尔定律，其意义请同学们参照非周期信号的相关 定律自行解释。
第2章 确知信号分析
主要内容： 确知信号的特性表达 确知信号的频域分析 确知信号的时域分析 重点： 确知信号的分类 功率信号、能量信号的谱密度 功率信号、能量信号的互相关函数
目
录
2.1 确知信号的类型 2.2 确定信号的频域特性 2.3 确知信号的时域性质
通信原理课件第2章确知信号
测试信号
用于系统性能测试和故障诊断，如误码率测试和信号质量评估等。
THANKS
感谢观看
确知信号的应用
在通信系统中，确知信号常被用作载 波信号或调制信号，以传递信息。
可以用确定的数学函数来表示确知信 号，例如正弦波、余弦波、方波等。
确知信号的分类
周期信号和非周期信号
根据信号波形重复性的不同，可以将确知信号分为周期信号和非周期信号。周 期信号的波形在时间上重复出现，而非周期信号则没有这种重复性。
确定性
确知信号的波形是确定的 ，不受外界干扰的影响， 因此其取值是确定的，不 具有随机性。
02
CATALOGUE
确知信号的频域分析
频域分析的基本概念
频域
在信号处理中，频域是描述信号 频率特性的一个抽象空间，通过 将信号分解为不同频率的正弦波
分量来研究信号的频率特性。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究信号在频域中 的性质和行为的一种数学工具， 通过将信号表示为正弦波的叠加 ，可以分析信号的频率成分和频
能量信号与功率信号
能量信号是指能量有限的信号，其能量值在时间上可变；功率信号是指功率有限的信号， 其功率值在时间上可变。能量信号和功率信号的时域波形和频域特性有所不同。
确知信号的时域运算
信号的加法与减法
将两个同频率、同相位的信号相加或相减，可以得到一个新的信号。新信号的幅度和相位可以通过简单的代数运算得 到。
率变化。
频谱
频谱是信号在频域中的表示形式 ，通过将信号的幅度或功率随频 率变化的规律绘制成图，可以直
观地了解信号的频率特性。
确知信号的频谱
确定性信号
确知信号也称为确定性信号，是 指信号在时间上是确定的，即对 于任意给定的时间，信号都有一
用于系统性能测试和故障诊断，如误码率测试和信号质量评估等。
THANKS
感谢观看
确知信号的应用
在通信系统中，确知信号常被用作载 波信号或调制信号，以传递信息。
可以用确定的数学函数来表示确知信 号，例如正弦波、余弦波、方波等。
确知信号的分类
周期信号和非周期信号
根据信号波形重复性的不同，可以将确知信号分为周期信号和非周期信号。周 期信号的波形在时间上重复出现，而非周期信号则没有这种重复性。
确定性
确知信号的波形是确定的 ，不受外界干扰的影响， 因此其取值是确定的，不 具有随机性。
02
CATALOGUE
确知信号的频域分析
频域分析的基本概念
频域
在信号处理中，频域是描述信号 频率特性的一个抽象空间，通过 将信号分解为不同频率的正弦波
分量来研究信号的频率特性。
傅里叶分析
傅里叶分析是研究信号在频域中 的性质和行为的一种数学工具， 通过将信号表示为正弦波的叠加 ，可以分析信号的频率成分和频
能量信号与功率信号
能量信号是指能量有限的信号，其能量值在时间上可变；功率信号是指功率有限的信号， 其功率值在时间上可变。能量信号和功率信号的时域波形和频域特性有所不同。
确知信号的时域运算
信号的加法与减法
将两个同频率、同相位的信号相加或相减，可以得到一个新的信号。新信号的幅度和相位可以通过简单的代数运算得 到。
率变化。
频谱
频谱是信号在频域中的表示形式 ，通过将信号的幅度或功率随频 率变化的规律绘制成图，可以直
观地了解信号的频率特性。
确知信号的频谱
确定性信号
确知信号也称为确定性信号，是 指信号在时间上是确定的，即对 于任意给定的时间，信号都有一
通信原理：第二章 确定信号分析
1 傅里叶变换
1.1 傅里叶变换的运算性质
1.1 傅里叶变换的运算性质
1.2 常用信号的傅里叶变换
1.2 常用信号的傅里叶变换
1.2 常用信号的傅里叶变换
1.3 实信号的傅里叶变换
试证明之！
源函数若为复函数呢？
2 确知信号的表示
能量信号的相关函数与能量谱密度 功率信号的相关函数与功率谱密度 周期信号的表示与功率谱密度 信号带宽的定义方法
由于实信号频谱 的Hermitian特性
共轭性质， how？
5 解析信号
Parseval关系
6 频带信号与带通系统
6 频带信号与带通系统f t Rezt
z t fL t e j2 fct
等效基带信号
f t Re z t
Re
f
t
j
f
t
Re fL t e j2 fct
z(t)为f(t)的解析信号，fL(t)为f(t)的等效基带信号。 fc按实际情况选取。
6 频带信号与带通系统
h(t)的等效低通特性
6 频带信号与带通系统
频带信号通过带通系统 yL t ?
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1 2
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t
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1 2
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*
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1 2
Re
zx
t
*
zh
t
Re e j2 fct
xL
hL
t
d
6 频带信号与带通系统
第二章确知信号
P( f )e j 2 f df
返回
3.能量信号的互相关函数
R12 ( ) s1 (t )s2 (t )dt ,
/2
sin c(t ) Sa( t ) sin( t ) / ( t )
V s(t ) Sa( nf 0 )e j 2 nf0t n T
x
n n f 0 n0 T 2
返回
2.能量信号的频谱密度
S ( f ) s(t )e
返回
3.能量和功率
功率 P V 2 / R I 2 R V 2 I 2 (W )
能量 E
s(t ) dt ( J )
2
1 T /2 2 s(t ) dt (W ) 平均功率 P lim T /2 T T
返回
4.能量信号和功率信号
当 T 时，如果存在E，称为能量信号，此时平 均功率 P 0 。 当 T 时，不存在E（无穷大），而存在P，则 称为功率信号。 能量信号的能量有限，但平均功率为0。功率信号 的平均功率有限，但能量为无穷大。 周期信号一定是功率信号（全0除外），非周期信 号可以是周期信号也可以是能量信号。 有些信号既 不是功率信号，也不是能量信号，如x(t)=etu(t)。
[Cn e j 2 n /T0
1 T0
T0 /2
T0 /2
* s (t )e j 2 nt /T0 dt ] [Cn e j 2 n /T0 Cn ]
| Cn |2 e j 2 n /T0
| C ( f ) |2 ( f nf 0 )e j 2 f df
通信原理(第二版)第2章确知信号与随机信号分析
通信原理(第二版)第 2章确知信号与随机
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。
信号分析
目录
• 确知信号分析 • 随机信号分析 • 确知信号与随机信号的应用 • 信号分析的现代方法
01
确知信号分析
定义与分类
定义
确知信号是指在任何时刻都已知 其全部信息的信号，如正弦波、 方波等。
分类
连续信号和离散信号，周期信号 和非周期信号，实信号和复信号 等。
小波变换具有多分辨率分析的 特点，能够适应不同频率的信 号处理需求。
小波变换在信号降噪、特征提 取、模式识别等领域有着广泛 的应用。
神经网络在信号分析中的应用
神经网络能够通过学习自动提取信号 中的特征，具有很强的自适应性。
神经网络在语音识别、图像处理、雷 达信号处理等领域有着广泛的应用。
神经网络可以处理非线性信号，对于 一些难以用传统方法处理的复杂信号 非常有效。
随机信号的时域分析
自相关函数
描述随机信号取值在时间上的相关性。
互相关函数
描述两个随机信号在时间上的相关性。
谱估计
通过时域数据估计随机信ห้องสมุดไป่ตู้的功率谱密度的方法。
03
确知信号与随机信号的应 用
确知信号在通信中的应用
载波信号
用于调制信息信号，实现信息的 传输。
脉冲信号
用于数字通信中表示二进制状态， 如脉冲编码调制（PCM）。
确知信号的频域分析
01
02
03
傅里叶级数
将确知信号表示为无穷多 个正弦波的叠加，每个正 弦波具有不同的幅度、频 率和相位。
频谱密度函数
描述信号中各频率分量的 强度，通常用图形表示， 即频谱图。
频谱分析
通过频谱图分析信号中各 频率分量的特性，如频率 范围、幅度和相位等。
信号分析与信息论基础
傅里叶变换： 式(2-7)
傅里叶反变换： 式(2-6)
式（2-8）是傅里叶变换的指数形式，傅里叶变换是一
个连续函数，称为频谱密度函数，简称频谱函数。
典型的连续时间信号：
1.Sa(t)信号（抽样信号）：Sa(t)=sin(t)/t 波形
特点：偶函数；零值点（±n π ）；(0~ ∞)的积分为
π/2
2.单位阶跃信号：U(t)=0 (t<0); U(t)=1 (t>0);
3.单位冲激信号：∫
例：
（1）阶跃信号构成矩形脉冲信号： g(t)=u(t)-u(t-t0)
（2）阶跃信号构成符号函数：
Sgn(t)=2u(t)-1
常用信号的傅里叶变换： 矩形函数（图2-1）的傅里叶变换见式（2-9），其频谱
函数见图（2-2）。 冲激函数的傅里叶变换。 余弦函数的傅里叶变换。
傅里叶变换的性质： 时移特性： 频移特性：
第二章 信号分析与信息论基础
2.1 确知信号分析 2.2 随机信号分析 2.3 信息及信息的度量 2.4 信道统计特性
本章教学内容及要求
信号通过系统的过程。确定信号的时域和频域 分析。傅立叶变换关系式，傅立叶变换的主要运算 特性，常用信号的付立叶变换。
卷积定义式，时域卷积定理，频域卷积定理。 信号的能量和能量谱密度；信号的功率和功率 谱密度。 信号的表达方法，信号通过线性系统传输后的 变化及表达。 信息及信息量、信道模型、随参信道传输媒质的特 点、信道容量计算。
通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于
线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许
信道容量：信道在理想状态下（无差错传输或差错率等
由f(x)的表达式可画出图形
线性系统：输出信号与输入信号满足线性关系（允许 的数值等于该过程的平均功率( 包括直流功率和交流功
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通信原理
第2章 确知信号
第2章 确知信号
傅里叶变换
欧拉、拉格朗日
傅里叶：周期信号可以用成谐波关系正 弦函数级数表示（狄里赫利证明）
把非周期信号认为是 无限长的周期信号
傅里叶变换
第2章 确知信号
X ( j) F[x(t)] x(t)e jt dt
x(t) F 1[ X ( j)] 1 X ( j)e jtd
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
能量信号s(t) 的傅里叶变换：S( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：s(t)
S(
f
)e
j 2ft
df
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱；
S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
s(t)
C e j 2nt /T0 n
C0
an cos2nt / T0 bn sin2nt / T0
n
n1
C0
an2 bn2 cos2nt / T0
(2.2 8)
n1
式中 tan 1 bn / an
Cn
1 2
an2 bn2
式(2.2－8)表明：
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
单调减小，但总趋势是下降的，最终衰减为0
第2章 确知信号
【例2-1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1)：
t
-T
0
T
/2
Cn
1 T
/
2
V
e
j
2nf0t
第2章 确知信号
正弦波某点的相位，只与该点再循环中的位置有关 ，与正弦波频率无关。 如果正弦波在t=0时，相位不为0度，而是为θ，则我 们称该正弦波的初始相位为θ。
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
深入理解相位
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
2
利用直接测量到的原始信号，以累加方式来 计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅 和相位。
第2章 确知信号
复数信号处理的好处： 由于对相位的确定，使相关检测成为可能； 对于数字通信，在基带处理带通信号，可以 是有效带宽减少一半，改善A/D、FFT的性能
相位，表示时域上初始相位
第2章 确知信号
相位是指一个波在循环中特定位置的标度。 相位反映了波在特定时刻的状态，通常用角度度量 ，也叫做相角。
若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为
Cn
1 T0
T0 / 2 s(t)e j2nf0t dt 1
T0 / 2
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)[cos
(2nf
0
t
)
j sin(2nf0t)]dt
1
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)
cos
(2nf
0
t
)
dt
j1 T
T0 / T0
Cn
C(nf0 )
1 T0
T0 / 2 s(t )e j 2nf0t dt
T0 / 2
(2.2 1)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
s(t)
C e j 2nt / T0 n
n
(2.2 2)
C0
1 T0
T0 / 2 s(t )dt
T0 / 2
(2.2 3) 时间平均，直流 分量
2 /2
s
(t
)
s
in(2nf
0
t
)dt
Re(Cn )
j Im( Cn )
而
T0 / 2 T0 / 2
s(t ) sin(2nf 0t )dt
0
所以Cn为实函数。
第2章 确知信号
周期信号频谱特点
离散性：以基频 为间隔分布的离散频谱 谐波性：谱线只在信号基频整数倍 上出现
，称为n次谐波 收敛性：各次谐波振幅尽管不一定随n的增大
s(t
)e
j
2nf0t
dt
Cn*
(2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cn|
Cn的模偶对称
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称
-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e j 2nf0t
/2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf0T
sin nf0
V
T
sin c n
T
C
s(t)
C e j 2nf0t n
n
V
T n
sin c n
T
e j 2nf0t
n
第2章 确知信号
正弦波某点的相位，实际就是对应的旋转矢量从实轴正方 向开始逆时针旋转的度数。
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密
度简称为频谱。
实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇
对称，即复数共轭，因
s(t)e j2ft dt
功率信号：
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
平均功率P为有限正值：P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
第2章 确知信号
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义
Cn Cn e jn －双边谱，复振幅
(2.2 － 4)
|Cn| －频率为 信号振幅， n－频率为 信号相位
第2章 确知信号
周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
1
Cn T0
T0 / 2 T0 / 2st)edt j 2nf0t
1
T0
T0 / 2 T0 / 2
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 an2 bn2
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
第2章 确知信号
正负频率分别表示，在时域复平面内，向两个逆、顺时针 不同方向转动的旋转矢量所展现的频率。
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
傅里叶变换
欧拉、拉格朗日
傅里叶：周期信号可以用成谐波关系正 弦函数级数表示（狄里赫利证明）
把非周期信号认为是 无限长的周期信号
傅里叶变换
第2章 确知信号
X ( j) F[x(t)] x(t)e jt dt
x(t) F 1[ X ( j)] 1 X ( j)e jtd
2.2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义：
能量信号s(t) 的傅里叶变换：S( f ) s(t)e j2ft dt
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：s(t)
S(
f
)e
j 2ft
df
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱；
S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
s(t)
C e j 2nt /T0 n
C0
an cos2nt / T0 bn sin2nt / T0
n
n1
C0
an2 bn2 cos2nt / T0
(2.2 8)
n1
式中 tan 1 bn / an
Cn
1 2
an2 bn2
式(2.2－8)表明：
1. 实信号可以表示成包含直流分量C0、基波(n = 1时)和各次谐 波(n = 1, 2, 3, …)。
单调减小，但总趋势是下降的，最终衰减为0
第2章 确知信号
【例2-1】 试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。
V , s(t) 0,
/2 t /2 / 2 t (T / 2)
s(t)
s(t) s(t T ),
t
V
由式(2.2-1)：
t
-T
0
T
/2
Cn
1 T
/
2
V
e
j
2nf0t
第2章 确知信号
正弦波某点的相位，只与该点再循环中的位置有关 ，与正弦波频率无关。 如果正弦波在t=0时，相位不为0度，而是为θ，则我 们称该正弦波的初始相位为θ。
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
深入理解相位
第2章 确知信号
第2章 确知信号
第2章 确知信号
2
利用直接测量到的原始信号，以累加方式来 计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅 和相位。
第2章 确知信号
复数信号处理的好处： 由于对相位的确定，使相关检测成为可能； 对于数字通信，在基带处理带通信号，可以 是有效带宽减少一半，改善A/D、FFT的性能
相位，表示时域上初始相位
第2章 确知信号
相位是指一个波在循环中特定位置的标度。 相位反映了波在特定时刻的状态，通常用角度度量 ，也叫做相角。
若s(t)是实偶信号，则 Cn为实函数。 因为
Cn
1 T0
T0 / 2 s(t)e j2nf0t dt 1
T0 / 2
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)[cos
(2nf
0
t
)
j sin(2nf0t)]dt
1
T
T0 / T0
2 /2
s
(t
)
cos
(2nf
0
t
)
dt
j1 T
T0 / T0
Cn
C(nf0 )
1 T0
T0 / 2 s(t )e j 2nf0t dt
T0 / 2
(2.2 1)
式中，f0 ＝ 1/T0，n为整数，- < n < +。
s(t)
C e j 2nt / T0 n
n
(2.2 2)
C0
1 T0
T0 / 2 s(t )dt
T0 / 2
(2.2 3) 时间平均，直流 分量
2 /2
s
(t
)
s
in(2nf
0
t
)dt
Re(Cn )
j Im( Cn )
而
T0 / 2 T0 / 2
s(t ) sin(2nf 0t )dt
0
所以Cn为实函数。
第2章 确知信号
周期信号频谱特点
离散性：以基频 为间隔分布的离散频谱 谐波性：谱线只在信号基频整数倍 上出现
，称为n次谐波 收敛性：各次谐波振幅尽管不一定随n的增大
s(t
)e
j
2nf0t
dt
Cn*
(2.2 5)
正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系，即
|Cn|
Cn的模偶对称
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
n
(a) 振幅谱 n
Cn的相位奇对称
-5 -4
-2 -1
3
-3
012
45
n
(b) 相位谱
第2章 确知信号
将式(2.2－5)代入式(2.2－2)，得到
dt
/ 2
1 T
V
j 2nf 0
e j 2nf0t
/2
V T
e e j 2nf0 / 2
j 2nf0 / 2
j 2nf 0
V
nf0T
sin nf0
V
T
sin c n
T
C
s(t)
C e j 2nf0t n
n
V
T n
sin c n
T
e j 2nf0t
n
第2章 确知信号
正弦波某点的相位，实际就是对应的旋转矢量从实轴正方 向开始逆时针旋转的度数。
第2章 确知信号
2.1 确知信号的类型
按照周期性区分：
周期信号： s(t) s(t T0 ), t T0－信号的周期， T0 > 0
非周期信号
按照能量区分：
能量信号：能量有限，
0 E s2 (t)dt
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密
度简称为频谱。
实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇
对称，即复数共轭，因
s(t)e j2ft dt
功率信号：
归一化功率： P V 2 / R I 2 R V 2 I 2
平均功率P为有限正值：P lim 1 T / 2 s2 (t)dt
T T
T / 2
能量信号的功率趋于0，功率信号的能量趋于
第2章 确知信号
2.2 确知信号的频域性质
2.2.1 功率信号的频谱
周期性功率信号频谱（函数）的定义
Cn Cn e jn －双边谱，复振幅
(2.2 － 4)
|Cn| －频率为 信号振幅， n－频率为 信号相位
第2章 确知信号
周期性功率信号频谱的性质
对于物理可实现的实信号，由式(2.2－1)有
1
Cn T0
T0 / 2 T0 / 2st)edt j 2nf0t
1
T0
T0 / 2 T0 / 2
2. 实信号s(t)的各次谐波的振幅等于 an2 bn2
3. 实信号s(t)的各次谐波的相位等于
称为单边谱。
4. 频谱函数Cn又称为双边谱， |Cn|的值是单边谱的振幅之半。
第2章 确知信号
正负频率分别表示，在时域复平面内，向两个逆、顺时针 不同方向转动的旋转矢量所展现的频率。
第2章 确知信号