2019初三数学中考考前冲刺(最新题型+方法总结+思维训练)--03翻折问题--教师版

第三次课----翻折问题知识梳理：1、折叠（翻折）是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．3、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形4、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．例题讲解：类型一折叠三角形【例1】如图，把Rt △ABC （∠C =90°）折叠，使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE =1:2.类型二折叠平行四边形【例2】在如图所示的平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，且AE 过BC 的中点O ，则△ADE 的周长等于________．【分析】要计算周长首先需要证明E ，C ，D 共线，DE 可求，问题得解．【解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD ＝AB ＝2.由折叠知∠DAC ＝∠EAC .∵∠DAC ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠EAC ，∴OA ＝OC .∵AE 过BC 的中点O ，∴AO ＝12BC ，∴∠BAC ＝90°，∴∠ACD ＝90°.由折叠知∠ACE ＝90°，∴E ，C ，D 共线，则DE ＝4，∴△ADE 的周长为3＋3＋4＝10.故答案为10.总结：关于平行四边形折叠问题，解答时需要关注：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段、对应角相等，与特殊的平行四边形相比，它缺少了特殊的条件．类型三折叠菱形【例3】对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B′M＝1，则CN的长为()A．7B．6C．5D．4【分析】连结AC，BD，利用菱形的性质得OC＝12AC＝3，OD＝12BD＝4，∠COD＝90°，再利用勾股定理计算出CD＝5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN＝BM，然后根据折叠的性质得BM＝B′M＝1，从而有DN＝1，于是计算CD－DN即可．【解】如图，连结AC，BD.∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴CD＝32＋42＝5.∵AB∥CD，∴∠MBO＝∠NDO.在△OBM和△ODN中，MBO＝∠NDO，＝OD，BOM＝∠DON，∴△OBM≌△ODN，∴DN＝BM.∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM＝B′M＝1，∴DN＝1，∴CN＝CD－DN＝5－1＝4.故选D.总结：折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．对于菱形的折叠，还要明确菱形的基本性质，在解题过程中要抓住菱形的性质进行分析．类型四折叠矩形【例4】折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE 上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上．若AB＝AD＋2，EH＝1，则AD＝________．【分析】设AD＝x，则AB＝x＋2，利用折叠的性质得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得DH＝DC＝x＋2，则AH＝AE－HE＝x－1，然后根据勾股定理得到x2＋(x－1)2＝(x＋2)2，再解方程求出x即可．类型四【解】设AD＝x，则AB＝x＋2.∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD＝x.∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH＝DC＝x＋2.∵HE＝1，∴AH ＝AE －HE ＝x －1.在Rt △ADH 中，∵AD 2＋AH 2＝DH 2，∴x 2＋(x －1)2＝(x ＋2)2，整理得x 2－6x －3＝0，解得x 1＝3＋23，x 2＝3－23(舍去)，即AD 的长为3＋2 3.故答案为3＋2 3.总结：此类问题中，运用的知识点比较多，综合性强，如轴对称性、全等、相似、勾股定理、转换思想、与其他图形(圆)结合等，抓住翻折前后两个图形是全等的，把握翻折前后不变的要素是解决此类问题的关键．类型五折叠正方形【例5】如图，在边长为1的正方形ABCD 中，动点E ，F 分别在边AB ，CD 上，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A ，D 重合)，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，设BE ＝x .(1)当AM ＝13时，求x 的值；(2)随着点M 在边AD 上位置的变化，△PDM 的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；(3)设四边形BEFC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式，并求出S 的最小值．【分析】(1)利用勾股定理构建方程，即可解决问题；(2)设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，MD ＝1－y ，在Rt △AEM 中，由勾股定理得出x ，y 的关系式，可证Rt △AEM ∽Rt △DMP ，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP 的周长；(3)作FH ⊥AB 于H .则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K .根据梯形的面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题即可．类型五【解】(1)在Rt △AEM 中，AE ＝1－x ，EM ＝BE ＝x ，AM ＝13.∵AE 2＋AM 2＝EM 2，∴(1－x)2＋(13)2＝x 2，∴x ＝59.(2)△PDM 的周长不变为定值2.理由如下：设AM ＝y ，则BE ＝EM ＝x ，AE ＝1－x.在Rt △AEM 中，由勾股定理得AE 2＋AM 2＝EM 2，(1－x)2＋y 2＝x 2，解得1＋y 2＝2x ，∴1－y 2＝2(1－x)．∵∠EMP ＝90°，∠A ＝∠D ，∴Rt △AEM ∽Rt △DMP ，∴AE ＋EM ＋AM DM ＋MP ＋DP ＝AE DM，即1－x ＋x ＋y DM ＋MP ＋DP ＝1－x 1－y，解得DM ＋MP ＋DP ＝1－y 21－x＝2，∴△DMP 的周长为2.(3)如图，作FH ⊥AB 于H.则四边形BCFH 是矩形．连结BM 交EF 于O ，交FH 于K.在Rt △AEM 中，AM ＝x 2－（1－x ）2＝2x －1.∵B ，M 关于EF 对称，∴BM ⊥EF ，∴∠KOF ＝∠KHB.∵∠OKF ＝∠BKH ，∴∠KFO ＝∠KBH.∵AB ＝BC ＝FH ，∠A ＝∠FHE ＝90°，∴△ABM ≌△HFE ，∴EH ＝AM ＝2x －1，∴CF ＝BH ＝x －2x －1，∴S ＝12(BE ＋CF)·BC ＝12(x ＋x －2x －1)＝12[(2x －1)2－2x －1＋1]＝12(2x －1－12)2＋38.当2x －1＝12时，S 有最小值为38.总结：正方形的折叠同其他图形一样，要关注勾股定理、全等图形、相似等相关知识，但由于正方形的特点，所以有关正方形的折叠问题有着其他图形没有的特殊性，解题时应关注正方形本身具有的特点．类型六折叠圆【例6】如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB ︵上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D .若⊙O 的半径为5，AB ＝4，则BC 的长是()A ．23B ．32C.532 D.652【分析】连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，利用垂径定理、勾股定理、折叠的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质及正方形的性质即可求解．类型六【解】如图，连结OD ，AC ，DC ，OB ，OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F.∵D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝12AB ＝2.在Rt △OBD 中，OD ＝（5）2－22＝1.∵将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，∴AC ︵和CD ︵所在的圆为等圆，∴AC ︵＝CD ︵，∴AC ＝DC ，∴AE ＝DE ＝1，易得四边形ODEF 为正方形，∴OF ＝EF ＝1.在Rt △OCF 中，CF ＝（5）2－12＝2，∴CE ＝CF ＋EF ＝2＋1＝3，而BE ＝BD ＋DE ＝2＋1＝3，∴BC ＝3 2.故选B.课后作业：1.如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质，得出∠ADB =∠BDG =∠DBG ，由三角形的外角性质求出∠BDG =∠DBG =∠1=25°，再由三角形内角和定理求出∠A ，即可得到结果．【解答】解：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBG ，由折叠可得∠ADB=∠BDG ，∴∠DBG=∠BDG ，又∵∠1=∠BDG+∠DBG=50°，∴∠ADB=∠BDG=25°，又∵∠2=50°，∴△ABD 中，∠A=105°，∴∠A'=∠A=105°，故答案为：105°．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ADB 的度数是解决问题的关键．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB =4，AC =3，则△ADE 的面积是．分析：沿BC 折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC 垂直平分AA’，即AF =12AA’，又DE ∥BC ，得到△ABC ∽△ADE ，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE 的面积=24。