广东省汕头市高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理教案2 新人教A版必修5
广东省汕头市高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理教学设计 新人教A版必修5
通过旧知识分析新题，引导学生发现旧知识的限制性，对迫切寻找新知识起促进作用。
不直接说明余弦定理。通过图形和引导性问题使学生发现 所求和已知的关系。利用向量把所求和已知求出。引导学生发现余弦定理。
流程
教师活动
学生行为
设计意图
课堂演练
§学生自主阅读课本例3和例4.
（4）已知三边
学生回顾总结
反思学习过程，对余弦定理及其推论的适用范围应用进行总结，使学生明白在不同的条件下可以用不同的方法解三角形。
课后作业
《课时训练区》（余弦定理）
便于及时了解学生学习效果，调整教学安排。
教学反思
1.板书要经过设计，定理和推论写在左边，不要擦掉。
2.注意格式，在△ABC中， ，∴ .
流程
教师活动
学生行为
设计意图
新课讲 解
§老师：如果我把“每日一题”中的条件和结论换一下，变成“在△ABC中，已知 ，解三角形。”那用我们学过的知识，能不能解答。
§老师先不解题，与 学生一起分析思路。
分析：
1.两边及夹角确定了，这个三角形就已经确定下来，要解三角形，先求角还是先求边？
2.由以往的知识，c边无法求出，但如果可以知道A角或B角，则可以解题。即从角度入手。
同一道题有不同的解答方法。引导学生发现运用正弦定理和余弦定理的不同过 程。
学会利用余弦定理的推论解题。
课堂小结
1.余弦定理
2.余弦定理的推论
3.解三角形的问题可以分为几种类型
（1）已知两角及其中一角的对边，如A,B,a
（2）已知两边及其中一边所对的角，如a,b,A
（3）已知两边和它们的夹角，如a,b,C
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.3解三角形的进一步讨论教案新人教A版必修5
1.1.3 解三角形的进一步讨论一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；难点3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教学准备投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)正弦定理:RCcBbAa2sinsinsin===；余弦定理:a2=b2+c2-2bcco s A,b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C，bcacbA2cos222-+=,cabacB2cos222-+= ,abcbaC2cos222-+=.第二张:例3、例4(记作1．1．3B)[例3]已知△ABC, BD为角B的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC.[例4]在△ABC中,求证:a2sin2B+b2sin2A=2ab sin C.第三张:例5(记作1．1．3C)[例5]在△ABC中,bco s A=aco s B,试判断三角形的形状.教学过程导入新课师前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用. 推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况. 师 分析：先由aAb B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而ACa c sin sin =. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解；如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a ＞b sin A ，则有两解； （2）若a =b sin A ，则只有一解； （3）若a ＜b sin A ，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且b sin A ＜a ＜b 时，有两解；其他情况时则只有一解或无解． （1）A 为直角或钝角（2）A为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角△ABC是锐角三角形。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理》优质课教案_2
§1.1.2余弦定理一、教学内容分析本节内容选自普通高中课程标准实验教科书人教A版《数学》必修5第一章《解三角形》第一节正弦定理和余弦定理。
第一节约4课时，2课时通过探究证明正弦定理，应用正弦定理解三角形；2课时通过探究证明余弦定理，应用余弦定理解三角形。
本节课是余弦定理的第一课时，属于定理教学课。
正余弦定理是定量研究三角形边角关系的基础，它们为解三角形提供了基本方法，为后续解决测量等实际问题提供了理论基础和操作工具。
余弦定理是继正弦定理之后的解三角形又一有力工具，完善了解三角形体系，为解决三角形的边角关系提供了新的方法；是对任意三角形“边、角、边”和“边、边、边”问题进行量化分析的结果，将两种判定三角形全等的定性定理转化为可计算的公式。
纵观余弦定理的发展史，它的雏形出现公元前3世纪。
在欧几里得《几何原本》卷二对钝角三角形和锐角三角形三边关系的阐述中，利用勾股定理将余弦定理的几何形式进行了证明。
1593年，法国数学家韦达首次将欧几里得的几何命题写成了我们今天熟悉的余弦定理的三角形式，直到20世纪，三角形式的余弦定理才一统天下。
“余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，以几何定理的身份出现，直到1951年，美国数学家荷尔莫斯在其《三角学》中才真正采用解析几何的方法证明了余弦定理，至于向量方法的出现，更是晚近的事了。
”从新旧教材的内容设计对比来看，无论是问题的提出，定理的证明，简单应用都呈现出变化。
旧教材数学第二册（下）中，余弦定理被安排在第五章《平面向量》的第二节解斜三角形中。
基于特殊到一般的数学思想，从直角三角形切入，提出问题后，直接用向量的方法推导定理。
新教材将余弦定理安排在独立章节《解三角形》中,首先给出探究：如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，从量化的角度研究这个问题，也为余弦定理解三角形的类型做了铺垫。
在定理的推导过程中，同样用了向量方法，但在推导前提出思考：联系已经学过的知识，我们从什么途径来解决这个问题？新教材还结合余弦定理和余弦函数的性质，分别对三种形状的三角形进行了量化分析，旧教材没有涉及此内容。
2021_2022学年高中数学第1章解三角形1.1.2余弦定理学案
1.1.2 余弦定理学 习 目 标核 心 素 养1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1.借助余弦定理的推导过程，提升学生的逻辑推理素养．2.通过余弦定理的应用，提升学生的数学运算素养．1．余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍公式表达 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab思考：在△ABC 中，若a 2<b 2＋c 2，则△ABC 是锐角三角形吗？[提示] 不一定．因为△ABC 中a 不一定是最大边，所以△ABC 不一定是锐角三角形． 2．余弦定理及其变形的应用 (1)利用余弦定理的变形判定角在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． (2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求三角．②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．思考：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？[提示] 由余弦定理可知：不妨设a ，b 边和其夹角C 已知，则c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c 唯一，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，因为0<B <π，所以B 唯一，从而A 也唯一．所以三角形其他元素唯一确定．1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝ ．219 [根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6×cos 120°＝76，c ＝219.]2．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则B ＝ ． 60° [cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝4＋1－34＝12，B ＝60°.]3．在△ABC 中，若a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则A ＝ ． 120° [∵a 2＝b 2＋bc ＋c 2， ∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12，又∵A 为△ABC 的内角， ∴A ＝120°.]4．以下说法正确的是 (填序号).①在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；②余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形； ③利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题； ④在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．②③④ [①错误．由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．②正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形． ③正确．结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确． ④正确．余弦定理可以看作勾股定理的推广．]已知两边与一角解三角形【例1】 在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a . [解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.法二：由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[跟进训练]1．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． [解] 根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b ＝2 2. 又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边解三角形【例2】 已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的各角的大小． 思路探究：已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解．[解] 设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)， 利用余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋（3＋1）2k 2－4k 226（3＋1）k 2＝22， ∴A ＝45°.同理可得cos B ＝12，B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝75°.1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[跟进训练]2．在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . [解] 根据余弦定理， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝（6＋23）2＋（43）2－（26）22×（6＋23）×43＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（26）2＋（6＋23）2－（43）22×26×（6＋23）＝22， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.正、余弦定理的综合应用 [探究问题]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2，则sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？[提示] 设△ABC 的外接圆半径为R .由正弦定理的变形，将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a 2＝b 2＋c 2可得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C .反之将sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R代入sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 可得a 2＝b 2＋c 2.因此，这两种说法均正确．2．在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则C ＝π2成立吗？反之若C ＝π2，则c 2＝a 2＋b 2成立吗？为什么？[提示] 因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2－c 2＝0，由余弦定理的变形cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0，即cos C ＝0，所以C ＝π2，反之若C ＝π2，则cos C ＝0，即a 2＋b 2－c 22ab ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2.【例3】 在△ABC 中，若(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ，判断△ABC 的形状． 思路探究：[解] 法一：(角化边)∵(a －c ·cos B )·sin B ＝(b －c ·cos A )·sin A ， ∴由正、余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝(b －c ·b 2＋c 2－a 22bc )·a ， 整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)·a 2， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2. ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b .故△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 法二：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为： (sin A －sin C cos B )sin B ＝(sin B －sin C cos A )sin A ， 即sin C cos B sin B ＝sin C cos A sin A . ∵sin C ≠0，∴sin B cos B ＝sin A cos A . ∴sin 2B ＝sin 2A .∴2B ＝2A 或2B ＋2A ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．1．(变条件)将例题中的条件“(a －c cos B )·sin B ＝(b －c cos A )·sin A ”换为“a cos A ＋b cos B ＝c cos C ”其他条件不变，试判断三角形的形状．[解] 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．2．(变条件)将例题中的条件“(a －c cos B )·sin B ＝(b －c cos A )·sin A ”换为“lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B 为锐角”判断△ABC 的形状．[解] 由lgsin B ＝－lg 2＝lg 22， 可得sin B ＝22，又B 为锐角，∴B ＝45°. 由lg a －lg c ＝－lg 2，得a c ＝22，∴c ＝2a .又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝a 2＋2a 2－22a 2×22＝a 2， ∴a ＝b ，即A ＝B .又B ＝45°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．利用余弦定理判断三角形形状的两种途径(1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再根据边之间的关系判断．(2)化角的关系：将条件转化为角与角之间关系，通过三角变换得出关系进行判断．[跟进训练]3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求角B 的大小；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .[解] (1)由题意及正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64.故由正弦定理得a ＝b ·sin Asin B＝1＋ 3.由已知得，C ＝180°－45°－75°＝60°，c ＝b ·sin Csin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.1．本节课要掌握的题目类型(1)已知三角形的两边与一角，解三角形． (2)已知三边解三角形．(3)利用余弦定理判断三角形的形状． 2．本节课的易错点有两处 (1)正弦定理和余弦定理的选择已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．(2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件．1．判断正误(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．( ) (2)在△ABC 中，若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 一定为钝角三角形． ( ) (3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×[提示] 由余弦定理可知，已知△ABC 的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC 是唯一的，(3)错误．2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )A ．π3B ．π6C ．π4D ．π12B [由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋（43）2－（13）22×7×43＝32，所以C ＝π6，故选B.] 3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若满足等式(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°C [由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴cos C ＝－12，∴C ＝120°.]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C ，2b ＝3a ，则cos A ＝ ．13[由B ＝C ，2b ＝3a ， 可得b ＝c ＝32a ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.]5．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . [解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理导学案 新人教A版必修5(2021年整理)
1.1.2 余弦定理1。
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3。
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论；4.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.难点1。
向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程;2。
余弦定理在解三角形时的应用思路；3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．1．余弦定理三角形中任何一边的________等于其他两边的________的和减去这两边与它们的______________的余弦的积的________．即a2＝__________________,b2＝_______，c2＝__________________.2．余弦定理的推论cos A＝________________;cos B＝________________；cos C＝________________。
3．在△ABC中：（1)若a2＋b2－c2＝0,则C＝________；（2)若c2＝a2＋b2－ab，则C＝________;（3）若c2＝a2＋b2＋错误!ab，则C＝________。
合作探究（重难点突破）试用向量的数量积证明余弦定理．知识点一已知三角形两边及夹角解三角形例1在△ABC中，已知a＝2,b＝2错误!，C＝15°,求A.总结解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理，本例中的条件是已知两边及其夹角，而不是两边及一边的对角，所以本例的解法应先从余弦定理入手．变式训练1 在△ABC中,边a,b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.知识点二已知三角形三边解三角形例2已知三角形ABC的三边长为a＝3,b＝4，c＝错误!,求△ABC的最大内角．总结已知三边求三角时，余弦值是正值时，角是锐角，余弦值是负值时，角是钝角．变式训练2 在△ABC中,已知BC＝7，AC＝8，AB＝9,试求AC边上的中线长．知识点三利用余弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2＋b2)sin（A－B)＝（a2－b2)sin(A＋B），试判断该三角形的形状．变式训练3 在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题:（1)已知两边和夹角，解三角形．（2）已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．（1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方,那么第三边所对的角是锐角．(2）如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.当堂检测（训练达标）一、选择题1．在△ABC中，a＝7,b＝4错误!，c＝错误!，则△ABC的最小角为（)A.错误!B。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理学案含解析新人教A版必修542
1.1.2 余 弦 定 理[提出问题]在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. 问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定．问题2：你能利用正弦定理求出BC 吗？ 提示：不能．问题3：能否利用平面向量求边BC ？如何求得？ 提示：能．∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，∴|BC ―→|2＝|AB ―→|2＋|AC ―→|2－2AB ―→·AC ―→ ＝|AB ―→|2＋|AC ―→|2－2|AB ―→||AC ―→|cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60° ＝7.∴|BC ―→|＝7.问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b ，c ，A 表示a? 提示：能． [导入新知] 余弦定理对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．[例1] (1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角； (2)a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C 的大小． [解] (1)由c >b >a ，知C 最大，∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C ＝120°.(2)∵a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，∴设a ＝x ，则b ＝3x ，c ＝2x (x >0)． 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 223x ·2x＝32，∴A ＝30°.同理cos B ＝12，cos C ＝0，∴B ＝60°，C ＝90°. [类题通法]已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和另外两角的余弦值． 解：∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°<A <180°，∴A ＝120°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋52－322×7×5＝1314；cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32＋72－522×7×3＝1114.[例[解] 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b ＝4 6.法一：由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝96＋3＋2－642×463＋＝22， ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理a sin A ＝bsin B，∴8sin A ＝46sin 60°，∴sin A ＝22.∵b ＞a ，c ＞a ， ∴a 最小，即A 为锐角． 因此A ＝45°.故C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法]已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好．[活学活用]在△ABC 中，已知a ＝22，b ＝23，C ＝15°，解此三角形． 解：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3 ＝(6－2) 2， ∴c ＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝32＋6－22－222×236－2＝22. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝45°， 从而B ＝120°.法二：由正弦定理得sin A ＝a sin Cc＝22×6－246－2＝22. ∵a ＜b ，∴A ＜B ， 又∵0°＜A ＜180°，∴A 必为锐角，∴A ＝45°，从而得B ＝120°.[解] 法一：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°， ∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°， ∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝6×123＝1.∴A ＝90°， ∴C ＝60°.法二：由b ＜c ，B ＝30°，b ＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形． 由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋32＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形， ∴a ＝3. [类题通法]已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．[活学活用]已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0. 解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5[例4] 在△C ＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．[解] 由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.代入sin C ＝2sin B cos A ，得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc.整理得a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.故C ＝π3.又因为a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形． [类题通法]判断三角形的形状的方法判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状．[活学活用]在△ABC 中，若cos A ＝sin Bsin C ，试判断其形状．解：由cos A ＝sin Bsin C得cos A ＝b c ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2， 因此△ABC 是以C 为直角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面图形中线段长[典例] (12分)如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．[解题流程][规范解答][活学活用]如图所示，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC＝7，DC ＝3，求AB 的长．解：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又∵0°＜C ＜180°， ∴sin C ＝5314.在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314·2·7＝562.[随堂即时演练]1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．10解析：选A 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋(53)2－2×5×53×cos 30°＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C 由c 2－a 2－b 22ab＞0得－cos C ＞0，所以cos C ＜0，从而C 为钝角， 因此△ABC 一定是钝角三角形．3．(天津高考改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝________. 解析：由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°， 化简得AC 2＋3AC －4＝0， 解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)． 答案：14．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则 c ＝________；sin A ＝________.解析：根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2. 因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，于是，由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cosA ＝22＋22－122×2×2＝78，于是sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝158.答案：21585．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0. ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)．∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝52＋32－2×5×3×35＝16.∴c ＝4，即第三边长为4.[课时达标检测]一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径为( ) A.823B.143C.73D.733解析：选D 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32－2×8×3×12＝49，∴a ＝7.由正弦定理，得asin A ＝2R ，∴R ＝733.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c .∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°. 故△ABC 是等边三角形．4．(全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2 B. 3 C ．2D ．3解析：选D 由余弦定理得5＝b 2＋4－2×b ×2×23，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)，故选D.5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：选C ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ， ∴由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ， 即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12，∴0<A ≤π3. 二、填空题6．(福建高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ， 所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1， 因为0°＜B ＜180°，所以B ＝90°，所以AB ＝22－32＝1. 答案：17．(北京高考)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则b c＝________. 解析：在△ABC 中，∠A ＝2π3， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . ∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0，∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，∴b c＝1.答案：18．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则C ＝________.解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝5k ，c ＝7k ， 由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0°＜C ＜180°，所以C ＝120°.答案：120°三、解答题9．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入c ＝a cos B ， 得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2.∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·c a.∴b ＝c .∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．10．(天津高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，求cos A 的值．解：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c . 又b －c ＝14a ， ∴12c ＝14a ，即a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解：(1)根据正弦定理得2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3.12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0， 故cos B ＝22. 所以B ＝45°.。
广东省汕头市高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定
1.1.2余弦定理一、教材分析“余弦定理”是人教A版数学必修5的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延续。
它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其他数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，具有广泛的应用价值。
二、学情分析：本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了进一步的认识，在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。
但总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不够深入，知识的系统性不强，使得学生在余弦定理推导方法的探求上存在一定的难度。
三、教学目标1.知识与技能：（1）了解向量法证明余弦定理的推导过程；（2）掌握余弦定理的两种表示形式及其与勾股定理之间的联系；（3）会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
（4）会利用有关知识判断三角形的形状。
2.过程与方法：（1）利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，体会向量知识的数学学习中的工具性作用，使学生了解运用向量方法解决相关数学问题的基本思路，提高学生对向量知识的重视程度。
（2）通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题的方法，体会正弦定理和余弦定理在解三角形问题中的优缺点；（3）由已知三边求三角问题推导归纳出判断三角形形状一般方法，使学生在交流探讨中提升数学素养，体会由特殊到一般，由整体到局部的过程，培养学生的化归思想、整体思想、类比思想等数学思想方法。
3.情感态度与价值观：（1）通过实际问题引入，帮助学生发现生活中的数学问题，让学生感悟数学的美，提高学生对数学的学习兴趣，培养学生用数学方法解决实际问题的能力；（2）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的能力；通过三角函数、余弦定理、正弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理(2)学案 新人教A版必
2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理（2）学案新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理（2）学案新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1．1.2 余弦定理（二)学习目标1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式。
2.会用余弦定理解三角形。
3。
能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一已知两边及其中一边的对角解三角形思考在△ABC中，若B＝30°，AB＝2错误!，AC＝2,可以先用正弦定理错误!＝错误!求出sin C ＝错误!.那么能不能用余弦定理解此三角形？如果能,怎么解？答案能．在余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B中，已知三个量AC＝b，AB＝c，cos B，代入后得到关于a的一元二次方程，解此方程即可．梳理已知两边及其一边的对角,既可先用正弦定理，也可先用余弦定理，满足条件的三角形个数为0,1，2，具体判断方法如下:设在△ABC中，已知a,b及A的值．由正弦定理错误!＝错误!，可求得sin B＝错误!。
（1)当A为钝角时,则B必为锐角，三角形的解唯一；（2)当A为直角且a>b时,三角形的解唯一；（3）当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系：①当a〈CD时,无解；②当a＝CD时，一解；③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点,此时B为锐角或钝角，此时B的值有两个．④当a≥b时,一解．（4)如果a>b,则有A〉B，所以B为锐角，此时B的值唯一．知识点二判断三角形的形状思考1 三角形的形状类别很多，按边可分为等腰三角形，等边三角形,其他;按角可分为钝角三角形，直角三角形，锐角三角形．在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判断？答案不需要．如果所知条件方便求角，只需判断最大的角是钝角，直角,锐角；如果方便求边，假设最大边为c，可用a2＋b2－c2来判断cos C的正负．而判断边或角是否相等则一目了然，不需多说．思考2 △ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A,B一定相等吗？答案∵A，B∈(0，π)，∴2A，2B∈(0,2π），∴2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝错误!。
高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理教案 新人教A版必修5-
1.1.2 余弦定理一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.能利用计算器进行运算.二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．投影仪、幻灯片两X第一X:课题引入图片(记作A)如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2=C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?第二X:余弦定理(记作B)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一: a2=b2+c2-2bcco s A，b2=c2+a2-2caco s B,c2=a2+b2-2abco s C,形式二:co s A=bc ac b22 22-+,co s B=ca ba c22 22-+,co s C=ab cb a22 22-+教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形两角、一边和两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB,垂足为D,那么在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2=CD2+BD2.∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD2,又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD2,∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·CO s A,∴a2=b2+c2-2ab c os A.类似地可以证明b 2=c 2+a 2-2caco s B .c 2=a 2+b 2-2ab c os C .另外,当A 为钝角时也可证得上述结论,当A 为直角时，a 2+b 2=c 2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片B ) 推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 在幻灯片B 中我们可以看到它的两种表示形式: 形式一:a 2=b 2+c 2-2bcco s A , b 2=c +a 2-2caco s B , c 2=a 2+b 2-2abco s C .形式二:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.师 在余弦定理中,令C =90°时,这时co s C =0,所以c 2=a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用. [合作探究]2.向量法证明余弦定理 (1)证明思路分析师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生 向量数量积的定义式a ·b =|a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角.师 在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法那么,而在数量积的构造上那么以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,那么构造CA CB •这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b . 由向量加法的三角形法那么，可得BC AB AC +=,∴,cos 2)180cos(22)()(222222a B ac c BC B BC AB AB BC BC AB AB BC AB BC AB AC AC +-=+-︒+=+•+=+•+=•即B 2=C 2+A 2-2AC CO s B .由向量减法的三角形法那么，可得AB AC BC -=,∴222222cos 2cos 22)()(c A bc b AB A AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB AC BC BC +-=+•-=+•-=-•-=•即a 2=b 2+c 2-2bcco s A .由向量加法的三角形法那么,可得BC AC CB AC AB -=+=,∴,cos 2cos 22)()(222222a C bab BC C BC AC AC BC BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=+•-=+•-=-•-=•即c 2=a 2+b 2-2abco s C .[方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法那么. (2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB属于同起点向量,那么夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,那么夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,那么夹角仍是角C .[合作探究]师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 生〔留点时间让学生自己动手推出〕从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.师 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理那么指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生〔学生思考片刻后会总结出〕假设△ABC 中，C =90°，那么co s C =0，这时c 2=a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片B )通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况. (2)两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下. ［例题剖析］[例1]在△ABC 中，B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形〔角度精确到1°，边长精确到1 c m 〕. 解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bcco s A =602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A ≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0, 因为C 不是三角形中最大的边，所以CC ≈33°,B =180°-A -C =180°-41°-33°=106°.[例2]在△ABC 中，a =134.6 c m ，b =87.8 c m ，c =161.7 c m ，解三角形.解：由余弦定理的推论,得co s A =7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′;co s B =7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′;C =180°-(A +B )=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.[知识拓展] 补充例题：[例1]在△ABC 中,a =7,b =10,c =6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , ∴A ≈44°.∵c os C =140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1,∴C ≈36°.∴B =180°-(A +C )=180°-(44°+36°)=100°. [教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.[例2]在△ABC 中,a =2.730,b =3.696,c =82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′). 分析:此题属于两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据斜三角形求解经验,假设用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解：由c 2=a 2+b 2-2abco s C 22-2×2.730×3.696×co s82°28′, 得c ≈4.297.∵c os A =297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7,∴A ≈39°2′.∴B =180°-(A +C )=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′. [教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角那么用余弦定理可免去判断取舍的麻烦. [例3]在△ABC 中,A =8,B =7,B =60°,求C 及S △ABC .分析:根据条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC =21ac sin B 可以求出. 假设用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2=c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法. 解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A , ∴A 1=81.8°,A 2=98.2°, ∴C 1=38.2°,C 2=21.8°.由Ccsin 60sin 7=︒,得c 1=3,c 2=5, ∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC =310sin 212=B ac .解法二:由余弦定理得b 2=c +a 2-2caco s B , ∴72=c +82-2×8×cco s60°, 整理得c 2-8c +15=0, 解之,得c 1=3,c 2=5.∴S △ABC =36sin 211=B ac 或S △ABC = 310sin 212=B ac . [教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,表达出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用X 围;三边求角或两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习 1.在△ABC 中:(1)c =8,b =3,b =60°,求A ; (2)a =20,b B =29,c =21，求B ; (3)a =33,c =2,b =150°,求B ; (4)a =2,b =2，c =3+1,求A .解： (1)由a 2=b 2+c 2-2bcco s A ，得a 2=82+32-2×8×3co s60°=49.∴A =7.(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B =90°. (3)由b 2=c 2+a 2-2caco s B ,得b 2=(33)2+22-2×33×2co s150°=49.∴b =7.(4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A =45°. 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率. 2.根据以下条件解三角形(角度精确到1°). (1)a =31,b =42,c =27; (2)a =9,b =10,c =15.解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A ≈48°.由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°.∴C =180°-(A +B )=180°-(48°+93°)≈39°.(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3,∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0,∴B ≈40°.∴C =180°-(A +B )=180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:〔1〕余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；〔2〕余弦定理的应用X围：①三边求三角；②两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1〔1〕、2〔1〕题.余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法; (1)三边求任意角;。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理(二)学案 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数
1．1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一 余弦定理及其推论1．a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos__B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C ．2．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．3．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角．知识点二 正弦、余弦定理解决的问题思考 以下问题不能用余弦定理求解的是________． (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形； (2)已知两角和一边，解三角形；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形． 答案 (2)题型一 利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，其中a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 答案 A解析 方法一 在△ABC 中，由已知得1＋cos B 2＝12＋a2c， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b 22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形．方法二 原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π2，即△ABC 为直角三角形．反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 答案 B解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形． 题型二 正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .(1)证明 根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得： sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )． 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π， 有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以sin A sin B ＝sin C .(2)解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的．在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解．同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息． (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用． 跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． 解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理， 得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3. 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C.证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ，∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C，故等式成立．反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异．形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种．(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b 2，求证：a ＋c ＝2b .解 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立．例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围． 错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① ∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析 忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角．由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k （k ＋2）<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(13，5)C ．(5，13)D ．(1，5)∪(13，5) 答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5)．1．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形 答案 B解析 由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2．在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sinC sin B ，则A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120°D ．30° 答案 C解析 由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ，结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析 由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍)．∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8)答案 B解析 只需让3和a 所对的边均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a22·1·3>012＋a 2－322·1·a >01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．答案 1解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1或a ＝－2(舍)．6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，则此三角形是________三角形． 答案 钝角解析 4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形．1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系．若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系． 2．解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理．(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯．。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理教学设计 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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1。
1.2 《余弦定理》教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2。
过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理.从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学过程：一、创设情景C如图1．1-4，在∆ABC中，设BC=a，AC=b,AB=c,已知a，b和∠C，求边c b aA c B（图1．1-4)二、新课讲解:联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理一导学案新人教A版必修5
1.1.2 余弦定理(一)教学目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：让学生通过观看《1.1.2余弦定理（一）》课件“课题引入—实际情景”部分，与大家分享自己对余弦定理的了解。
通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价。
二、自主学习1．a 2＝__________________________________________，b 2＝__________________________________________，c 2＝__________________________________________.2．cos____＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos____＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos____＝a 2＋b 2－c 22ab .提示：1．b 2＋c 2－2bc cos Ac 2＋a 2－2ca cos Ba 2＋b 2－2ab cos C2．ABC三、合作探究探究点1：余弦定理的推导问题1 根据勾股定理，若△ABC 中，∠C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？提示：当a ＝b ＝c 时，∠C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .问题2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？提示：ab cos C ＝|CB →||CA →|cosCB →，CA →＝CB →·CA →. ∴a 2＋b 2－2ab cos C＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2.猜想得证．例1 已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c.解如图，设CB→＝a，CA→＝b，AB→＝c，由AB→＝CB→－CA→，知c＝a－b，则|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C.所以c2＝a2＋b2－2ab cos C.名师点评：所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁．桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方．探究点2：适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题问题1 观察知识点二第1条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？提示：每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角．故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形．问题2 观察知识点二第2条中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？提示：每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形．例2 在△ABC 中，已知b ＝60cm ，c ＝34cm ，A ＝41°，解三角形．(角度精确到1°，边长精确到1cm)解 根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676.78，所以a ≈41(cm)．由正弦定理得，sin C ＝c sin A a ≈34×sin41°41≈0.5440.因为c 不是三角形中最大的边，所以C 为锐角，利用计算器可得C ≈33°，所以B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(41°＋33°)＝106°.名师点评：已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角．例3 在△ABC 中，已知a ＝134.6cm ，b ＝87.8cm ，c ＝161.7cm ，解三角形．(角度精确到1′)解∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝87.82＋161.72－134.622×87.8×161.7≈0.5543，∴A ≈56°20′.∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝134.62＋161.72－87.822×134.6×161.7≈0.8398，∴B ≈32°53′.∴C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.名师点评：已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba 求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理．四、当堂检测1．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．42．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3B.π6C.π4D.π123．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A.518B.34C.32D.78提示：1．B 2.B 3.D 五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形．(2)已知三边求三角形的任意一角．2．余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．(3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．六、课例点评本节课教学过程以“解三角形”为主题，以“提出问题—确定方案—探究解决”为主线，从解三角形完备性出发，提出问题，引发学生思考，引导和组织学生积极探究，学生完整经历从解三角形中自然发现余弦定理的过程，并对余弦定理的内涵和外延做了一定的研究。
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2
∴ AC AC (AB BC) (AB BC) AB 2AB BC BC
2
2
AB 2 | AB | | BC | cos(180 B) BC
c2 2accos B a2 .
即 b2 c2 a2 2ac cos B
让学生试证： a2 b2 c2 2bc cos A ， c2 a2 b2 2abcosC 。
cos B a2 c2 b2 ， 2ac
cos C a2 b2 c2 2ac
师生行 为
设计意图
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六、 课后作业
学生记录，课 第一、二题的设置目
1、 在 ABC 中，a=7，b=8，c=3，解直角三角形；
后完成
的让学生对本节课的
2、 在 ABC 中， b=4, c 15 , C 60 ，解直角三角形； 3、在 ABC 中，a:b:c=3:5:7，求 ABC 的最大角；
回顾和巩固。第三题 引发学生思考，为下 个课时做铺垫
板书设计
1.1.2 余弦定理
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2abcosC
应用：已知两边一夹角，解三角形
推论： cosA b2 c 2 a 2 2bc
解析：由余弦定理得
。 教师带领学
生 归 纳 总 结 设置简单的练习，让学
c2 a 2 b2 2ab cosC 42 42 2 4 4 3 32 16 3 解题思路，留 2 下足够时间
2、已知等腰三角形的底边长为 6，一腰长为 12，求顶角的余弦 让学生动手
值。
1.1.2 余弦定理
课型 讲授新课
学习者 分析
学习本课前，学生应具备如下知识： 1、 掌握勾股定理、直角三角形的正弦，余弦关系 2、 向量的数量积、向量的坐标表示、正弦定理
知识 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决 两类基
技能 本的解三角形问题。
过程
教
利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基
教师组织上 课，提出问题 问题，学生观 察、思考并回 答问题 教师总结并 引入新课
通过教师问学生答的互 动形式，引发学生思考， 用贴近生活的现实问题 对学生进行情感教育， 提高学生对科学研究的 兴趣，引起学生的学习 热情，稳定学生情绪， 带领学生进入课堂
现在题目可转化为，在任意三角形中，已知两边和一夹角，要 求第三边。 复习正弦定理，引导学生思考运用现有的知识能否解决，从而 引入新课
由 a2 b2 c2 2bc cos A ，得 cos 2ac cos B ，得 cos B a2 c2 b2
2ac c2 a2 b2 2abcosC ，得 cos C a2 b2 c2
教学反思
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本节课为《余弦定理》的第一课时，对于学生的主要目标我定位于理解余弦定理的证明，并学会运用 余弦定理解决简单的问题。 课前引入选用台风问题，目的在于通过贴近生活地例子，引发学生的学习兴趣，并借例题对学生进行 情感教育，引导学生在自然灾害来临之际做好防范工作，并使学生明白数学在科学研究中的重要地位， 培养学生对于数学学习的兴趣。 为了保持课堂的连贯性，在证明定理 后解决台风问题，目的在于使学生体验运用新知识解决问题的快 乐。本环节设计的不足在于对学生来说，理解题目是一个难点，因此我采用 PPT 演示辅助，在学生进 行思考后进行讲解，给出学生一个正确的答案，不要求学生会算，只求理解。但本环节在时间的把控 上仍需进一步调整。 例一采用的是一个可用正弦定理有可用余弦定理来解决的题目，主要在于公式的套用在课前问题已经 引导学生使用，那么在例一，引导学生运用解方程的方式来运用余弦定理，并引导学生对正弦定理与 余弦定理的使用的利弊进行分析，深化学生对问题的理解。 例二主要在于对余弦定理的推论进行推导。 课堂练习尽量简单，课堂小结尽量详细，课后作业在巩固知识的基础上为下节课做好铺垫。 本节课在用时上还是相对 比较紧凑，主要在于对学生的引导上，留给学生思考的空间，对于普通班的 学生来说，课堂上对知识点的理解和体会是掌握知识的关键，因此，我们在授课的过程中应留给学生 充分时间进行体会。于是，用 PPT 等对媒体手段辅助是非常重要的，是一个既直观有节省时间 的好方 法，但是，在例题的讲解上我们仍需要大量详细的板书，规范学生的解题格式，从而理清学生的解题 思路。
实践，熟悉解
解：设顶角为 A，底边长为 a，腰长分别为 b，c，则
题思路。
生体验亲自用新学的知 识解决问题的乐趣，理 清和熟悉解题思路，掌 握本课知识。
b2 c 2 a 2 12 2 12 2 62 7
cosA
2bc
2 12 12 8
五、课堂小结
1、余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2abcosC
教师 PPT 演 示、板演，讲 解，学生思考 问题并在教 师的引导下 观察、回答老 师的问题、听 讲，识记
讲解新课， 引导学生将 三角形三边的问题转化 为向量关系来解决，证 明得出余弦定理，由已 知的知识得出新的知 识，使学生明白数学知 识环环相扣的道理，教 导学生认真学好每个知 识点。
提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
一、 创设情境，引入新课
情景：某海滨城市附近海面上有一台 风，据监测，当前台风中心位于城市 O
O
海岸线
的东偏南（其中 cos 2 ）方向 300km
10
的海面 P 处（如图所示），并以 20km/h
Q
45
P
r
的速度向西偏北 45方向移 动，台风侵
袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不
教学流程安排 活动流程图
活动内容和目的
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一、 创设情境，引入新课 (3 分钟) 二、 讲解新课，温故知新（10 分钟） 三、 学习例题，归纳方法（15 分钟） 四、 课堂小练，巩固发展（12 分钟） 五、 课堂小结，归纳升华（3 分钟） 六、 布置作业，复习强化（2 分钟）
由台风的例子提出问题，引入新课，提高学生的学习热情， 激发学生思考的动力； 分别运用坐标法和勾股定理证明余弦定理，并对余弦定理进 行讲解 引导学生利用余弦定理去解决例题，并归纳方法； 学生通过引导，启发、实践，解决练习，并巩固、发展、提 高； 通过小结，使学生明确本课的重难点，理清本课线索，启发 学生思路； 使学生在完成作业的过程中加深 对本课的内容的理解，对 本课的重难点进行强化；
a2 9a 18 0 ，得 a=3 或 6。
当 a=3 时， A 30 ， C 120
当 a=6 时，由正弦定理得
sin A
a sin B
6 1 2
1
b
3
仔细听讲，理 解并动手记 录。
并分析正弦定理与余弦 定理在运用上的利弊， 使学生明白，数学的乐 趣就是用最方便的方法
故 C 180 A B 180 60 45 75
思路总结：已知三角形三边，求三角形的三个角，可用余弦定
理的推论将其中两个角求出来，在运用内角和定理求出第三个
角。
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四、课堂练习
1、在 ABC 中，a=4，b=4， C 30 ，则 c2
断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
提示：如图所示，，设 t 小时后台风中心 为 Q，此时台风侵袭的
圆形区域半径为 10t+60(km)。若在 t 小时后城市 O 受到台风的
侵 袭 ， 则 OP 10t 60 ， 而 由 题 目 知 PO=300 ，
PQ=20t, OPQ （ - 45）。
的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
用符号语言表示 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 a2 2ac cos B
问题与情境
师生行为
设计意图
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c2 a2 b2 2abcosC
2、 基本应用：已知三角形两边与他们的夹角，求第三边
和
学
本的解三角形问题
方法
目
情感
标
态度 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向
和价 量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
值观
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
教学难点 勾股定理在余弦定理的发现。
教学方法 讲授法、讨论法
教学用具 PPT 课件、三角尺
2 2 3 （ 2 6）
2
所以 A 60，B 45
给出例二，让 学生思考，之 后引导学生 利用余弦定 理推导出它 的推论，并解 决问题
通过例二，引导学生利 用余弦定理推导它的推 论，解决例二，并得出 已知三角形三边，求三 角形三个角类型题的解 题思路。使学生感受数 学上举一反三的妙趣， 体会数学之美。
余弦定理的应用范围： （1）已知两边及它们的夹角，求第三边。
教 师 带 领 学 小结本课的知识点，为 生总结本课 学生点明本课的重难 的知识内容， 点，为学生理清本节课 学 生 明 确 本 思路，引导 学生学会运 课的重难点， 用本课的知识解决问题 学会应用所
学知识。
问题与情境
（2）已知三边求三角： cosA b2 c 2 a 2 , 2bc
即 t2 36t 288 0 ，解得12 t 24