3第三章 函数
离散数学第3章 函数
显然fC不是函数。可见如果一个函数不是双射的， 它的逆就不是函数。
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第三章 函 数 2.自变元与函数值(像源与映像) ：
f:XY, 如果<x,y>∈f,称x是自变元(像源)，称 y是x 的函数值(x的映像) 。
<x,y>∈f y=f(x) f:XY 3.定义域、值域 ：f:XY, f的定义域，记作Df 即
Df ={x|x∈X，y(y∈Y，<x,y>f)} =X
注意:这里把g写在f的左边了.所以叫左复合. g f :XZ,即 g f 是X到Z的函数.这样写是为了
照顾数学习惯: g f(x)=g(f(x))
复合函数的计算方法同复合关系的计算.
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复合函数
例1 f:XY, g:YZ X={1,2,3} Y={1,2,3,4,} Z={1,2,3,4,5,} f= {<1,2>,<2,4>,<3,1>} g={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } g f={ <1,3>,<2,5>,<3,2>,<4,1> } {<1,2>,<2,4>,<3,1>} ={<1,5>,<2,1>,3,3>} g f g 用有向图复合: f X Z X Y X 。 1 。 。 。 1 。 1 1 1 。 2 。 2 。 。 2 。 2。 3 。 2 3 。 。 3。 4 。 4 3。 3 。 。 5 。 5
第三章 3.1.2 第1课时 函数的表示法
3．1.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点 函数的表示法思考 任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？答案 不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁RQ .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段． 特别提醒 函数三种表示法的优缺点比较1．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)＝________.x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )123答案 3解析 ∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.2．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则其定义域是________．答案 [－2,3]解析 由图象可知f (x )的定义域为[－2,3]．3．已知f (x )的图象如图，则f (x )的值域为________．答案 [－4,3]解析 由f (x )的图象知，f (x )的值域为[－4,3]．4．若一次函数f (x )的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函数的解析式为________． 答案 f (x )＝x ＋1解析 由题意设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1.一、函数的三种表示法例1 已知完成某项任务的时间t 与参加完成此项任务的人数x 之间适合关系式t ＝ax ＋bx .当x＝2时，t ＝100；当x ＝14时，t ＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人． (1)写出函数t 的解析式； (2)用列表法表示此函数； (3)画出函数t 的图象．解 (1)由题设条件知，当x ＝2时，t ＝100， 当x ＝14时，t ＝28，列出方程组⎩⎨⎧2a ＋b2＝100，14a ＋b14＝28，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以t ＝x ＋196x .又因为x ≤20，x 为正整数，所以函数的定义域是{x |0<x ≤20，x ∈N }．(2)x ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t 197 100 68.3 53 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6 x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 t 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t 的图象是由20个点组成的一个点列， 如图所示．(学生)反思感悟 理解函数表示法的三个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1 已知函数f (x )＝－x －1，x ∈{1,2,3,4}， 试分别用图象法和列表法表示函数y ＝f (x )． 解 用图象法表示函数y ＝f (x )，如图所示．用列表法表示函数y ＝f (x )，如表所示．x 1 2 3 4 y－2－3－4－5二、函数的图象的画法 例2 作出下列函数的图象： (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．解 (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分． 如图所示，(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分．如图所示，(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．如图所示，(教师) 延伸探究根据作出的函数图象求其值域． 解 观察图象可知： (1)中函数的值域为[1,5]． (2)中函数的值域为(0,1]． (3)中函数的值域为[－1,8]． (学生)反思感悟 作函数y ＝f (x )图象的方法(1)若y ＝f (x )是已学过的函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y ＝f (x )不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y ＝f (x )的图象．跟踪训练2 作出下列函数的图象： (1)y ＝1－x (x ∈Z )； (2)y ＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,3]．解 (1)因为x ∈Z ，所以图象为直线y ＝1－x 上的孤立点，其图象如图①所示． (2)y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，当x ＝1,3时，y ＝0； 当x ＝2时，y ＝－1，其图象如图②所示．三、求函数的解析式例3 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(2)已知f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )． 解 (1)方法一 (换元法)：令t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2，t ≥1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝x ＋2x ＝x ＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1. 因为x ＋1≥1，所以f (x )的解析式为f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (x ＋1)＋f (x －1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＋a (x －1)2＋b (x －1)＋c ＝2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，2b ＝－4，2a ＋2c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－1，∴f (x )＝x 2－2x －1.(3)f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，令x ＝1x ， 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x， 于是得关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 的方程组⎩⎨⎧f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x.解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(学生)反思感悟 求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可．(2)配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．(3)待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性． 跟踪训练3 (1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知函数f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，求f (x )． 解 (1)方法一 (配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2 ＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.方法二 (换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， 即f (x )＝x 2－5x ＋6. (2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又f (f (x ))＝4x ＋8，∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8. ∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.函数图象的应用典例已知函数f(x)＝x2－2x(x>1或x<－1)，(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．解f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．(1)由图可知，函数f(x)的值域为(－1，＋∞)．(2)f(x)的图象与直线y＝m有2个不同交点，由图易知m>3.[素养提升](1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．1．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是()A．R B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)答案 C解析由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．2．已知函数f(2x－1)＝4x＋6，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝2x＋8 B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝2x＋2 D．f(x)＝4x＋2答案 A解析因为f(2x－1)＝4x＋6＝2(2x－1)＋8，所以f(x)＝2x＋8.3．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x 12 3f(x)230A．3 B．2 C．1 D．0答案 B解析由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案 1解析由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.5．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则函数f(x)的解析式为________________．答案f(x)＝－x2－4x－1解析设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，由y＝f(x)过点(－3,2)，得a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.1．知识清单： (1)函数的表示法． (2)函数的图象． (3)求函数解析式．2．方法归纳：待定系数法、换元法、数形结合法． 3．常见误区：求函数解析式时易忽视定义域．1．购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，用解析法将y 表示成x (x ∈{1,2,3,4})的函数为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x (x ∈R )C ．y ＝2x (x ∈{1,2,3，…})D ．y ＝2x (x ∈{1,2,3,4}) 答案 D解析 题中已给出自变量的取值范围，x ∈{1,2,3,4}． 2．已知f (1－2x )＝1x 2，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．4 B.14 C ．16 D.116答案 C解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x2＝16.3．已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝x 2＋6x B ．f (x )＝x 2＋8x ＋7 C ．f (x )＝x 2＋2x －3 D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案 A解析 方法一 设t ＝x －1，则x ＝t ＋1. ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5，∴f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .方法二 ∵f (x －1)＝x 2＋4x －5＝(x －1)2＋6(x －1)，∴f (x )＝x 2＋6x ，∴f (x )的解析式是f (x )＝x 2＋6x .4．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝2，则a 的值为( )A ．－1B ．5C ．1D ．8答案 C解析 由3x ＋2＝2得x ＝0，所以a ＝2×0＋1＝1.5．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )答案 D解析 由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 答案 5解析 将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 7．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________.答案 2x －23解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ，依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23. 8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x (kg)与其运费y (元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________ kg.答案 19解析 设一次函数解析式为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得⎩⎪⎨⎪⎧ 330＝30a ＋b ，630＝40a ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝30，b ＝－570.即y ＝30x －570， 若要免费，则y ≤0，所以x ≤19.9．画出二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)求函数f (x )的值域．解 f (x )＝－(x －1)2＋4的图象如图所示．(1)f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0，所以f (1)>f (0)>f (3)．(2)由图象可知二次函数f (x )的最大值为f (1)＝4，则函数f (x )的值域为(－∞，4]．10．(1)已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，求f (x )； (3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，求f (x )．解 (1)方法一 (换元法)：令x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1，∴f (x )＝3x －1.方法二 (配凑法)：f (x ＋1)＝3x ＋2＝3(x ＋1)－1，∴f (x )＝3x －1.(2)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， 令t ＝x －1x，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2. (3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代替x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.11．函数y ＝x 1＋x 的大致图象是( )答案 A解析 方法一 y ＝x 1＋x的定义域为{x |x ≠－1}，排除C ，D ，当x ＝0时，y ＝0，排除B. 方法二 y ＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，由函数的平移性质可知A 正确．12．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( )A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0<x <10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5<x <10)答案 D解析 由题意得y ＋2x ＝20，所以y ＝20－2x ，又2x >y ，即2x >20－2x ，即x >5，由y >0即20－2x >0得x <10，所以5<x <10.13．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为________． 答案 －1解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)， 所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3] ＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1， 求得a ＝－1.14．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________________．答案 F (x )＝3x ＋5x(x ≠0) 解析 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x (m ≠0，且x ≠0)，则F (x )＝kx ＋m x. 由F ⎝⎛⎭⎫13＝16，F (1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x (x ≠0)．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 A解析对于第一幅图，水面的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋b满足f(3)＝3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．解由f(3)＝3，得b＝－3a－9.由f(x)≥x恒成立可知，x2＋ax＋b≥0恒成立，所以a2－4b≤0，所以a2＋12a＋36＝(a＋6)2≤0，所以a＝－6，b＝9.所以f(x)＝x2－5x＋9.。
高一第三章函数问题知识点
高一第三章函数问题知识点函数是数学中一种重要的概念，是研究数量关系的基础工具。
在高一的第三章函数问题中，我们要学习各种函数的性质和运算规则。
本文将详细介绍高一第三章函数问题的知识点。
一、函数的定义与表示方法函数是数学中的一种映射关系，可以表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数的表达式。
函数可以通过函数图像、函数表、解析式等多种方式表示。
二、函数的性质1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量可能的取值范围，值域是函数取得的所有可能的值。
2. 奇偶性：函数在对称中心点具有对称性的称为偶函数，对称中心点为原点的称为奇函数。
3. 单调性：函数在定义域上的取值随自变量的增减而增减的性质。
4. 最值与极值：函数的最值是函数取得的最大值和最小值，极值是函数在某一区间内的最大值和最小值。
5. 周期性：函数在一定的区间内有规律地重复出现的性质。
三、函数的基本运算1. 函数的四则运算：函数之间可以进行加减乘除的四则运算，结果仍为函数。
2. 函数的复合：将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形成新的函数。
3. 函数的反函数：满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x的函数之间称为互为反函数。
4. 函数的平移与伸缩：通过平移和伸缩可以改变函数的位置和形状。
四、常见函数的性质与图像1. 线性函数：y=kx+b，其中k为斜率，b为截距，图像为一条直线。
2. 幂函数：y=x^n，其中n为常数，图像形状由n的正负以及大小决定。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为底数，大于1时为增长函数，小于1时为衰减函数。
4. 对数函数：y=log_a(x)，其中a为底数，反映a的x次幂等于y，常见的对数函数为以10为底的常用对数函数log(x)和以e为底的自然对数函数ln(x)。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，图像为周期性波动的曲线。
五、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，例如物体自由落体运动的高度与时间的关系、经济学中的供需曲线、生物学中的种群增长模型等等。
3第三章 复变函数的积分3第三章 复变函数的积分
1第三章 复变函数的积分复变函数积分是研究解析函数的一个重要工具。
解析函数的许多重要性质，诸如“解析函数的导函数连续”及“解析函数的任意阶导数都存在”这些表面上看来只与微分学有关的命题，却是通过解析函数的复积分表示证明的，这是复变函数论在方法上的一个特点。
同时，复变函数积分理论既是解析函数的应用推广，也是后面留数计算的理论基础。
§3.1 复变函数积分的概念1 积分的定义复变函数积分主要考察沿复平面上曲线的积分。
今后除特别声明，当谈到曲线时一律是指光滑或逐段光滑的曲线，其中逐段光滑的简单闭曲线简称为围线或周线或闭路。
在第一章中曾定义了曲线的方向，这里回顾并作更仔细些的说明：对于光滑或逐段光滑的开曲线，只要指明了其起点和终点，从起点到终点，也就算规定了该曲线的正方向C ；对于光滑或逐段光滑的闭曲线C ，沿着曲线的某方向前进，如果C 的内部区域在左方，则规定该方向为C 的正方向（就记为C ），反之，称为C 的负方向（记为-C ）（或等价地说，对于光滑或逐段光滑的闭曲线，规定逆时针方向为闭曲线的正方向，顺时针为方向为闭曲线的负方向）；若光滑或逐段光滑的曲线C 的参数方程为)()()(t iy t x t z z +==，)(βα≤≤tt 为实参数，则规定t 增加的方向为正方向，即由)(αz a =到)(βz b =的方向为正方向。
定义3.1.1 复变函数的积分 设有向曲线C ：)(t z z =，βα≤≤t ，以)(αz a =为起点，)(βz b =为终点，)(z f 沿C 有定义。
在C 上沿着C 从a 到b 的方向（此为实参数t 增大的方向，作为C 的正方向）任取1-n 个分点：b z z z z a n n ==-,,,,110 ，把曲线C 分成n 个小弧段。
在每个小弧段上任取一点k ζ，作和∑=∆=nk k k n z f S 1)(ζ，其中1--=∆k k k z z z ，记{}n z z ∆∆=,,max 1 λ，若0→λ时（分点无限增多，且这些弧段长度的最大值趋于零时），上述和式的极限存在，极限值为J （即不论怎样沿C 正向分割C ，也不论在每个小弧段的什么位置上取k ζ，当0→λ时n S 都趋于同一个数J ），则称)(z f 沿C 可积，称J 为)(z f 沿C （从a 到b ）的积分，并记为⎰=Cdz z f J )(，即为∑⎰=→∆=nk k kCz f dz z f 1)(lim )(ζλ。
第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明
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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数， 其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
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合作探究 提素养
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定义法证明(判断)函数的单调性
【例 1】 证明：函数 f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． [思路点拨] 设元任取x1，x2∈0，1且x1＞x2 ―→ 作差：fx1－fx2 ―变―形→ 判号：fx2>fx1 ―结―论→ 减函数
[解] 函数在[－1,0]，[2,4]上是减函数，在[0,2]，[4,5]上是增函 数．
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3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间． [解] 先画出 f(x)＝x－2－x22－x－2x3－，3x<，－－1或1≤x>x3≤，3 的图像，如图．
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所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1,3]；单调增 区间为[－1,1]，[3，＋∞)．
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提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式 乘积的形式.
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1．证明：函数y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数． [证明] 设x1>x2>－1，则 y1－y2＝x1x＋1 1－x2x＋2 1＝x1＋x11－xx22＋1.
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∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴x1＋x11－xx22＋1>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝x＋x 1在(－1，＋∞)上是增函数．
第三章第三节函数的连续性
第三章 §3 函数的连续性（第一讲）一、函数连续性的定义变量u 的增量 12u u u -=∆ （从1u 变到2u ）可正可负 设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义（含0x 点）。
在点0x ， 自变量的增量为 )(00x x x x x x ∆+=-=∆相应有函数的增量 00()()y f x x f x ∆=+∆- 连续性：定义1 若0)]()([lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 称)(x f 在点0x 连续 定义2 若)()(lim )()(lim 00000x f x x f x f x f x x x =∆+=→∆→或称)(x f 在点0x 连续 （满足3点，1º在0()U x 有定义，2º)(limx f xx →存在，3º 等于)(0x f 在区间上连续：)(x f 在区间I 上每点都连续如：x y sin =在),(+∞-∞连续，x y ln =在),0(+∞连续即I x ∈∀有)()(lim 0x f x x f x =∆+→∆ 注：连续即⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→x f x f xx x x 0lim )(lim 左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→；右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→结论：)(x f 在0x 连续⇔左、右连续（讨论分段函数在分界点的连续性）如：[]6ln )1(lim ln )1ln(lim55=+=+→→x x x x 例1：cos 02()0(0)xx x f x x a ⎧≥⎪+=<>,()0a f x x =求使在连续解： 21)0(=f ， 212cos lim0=++→x x x ax a a x x x x a a x x 21(lim lim00=-+=----→→∴当2121=a时，即1=a 时，)(x f 在0=x 连续。
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质
高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数的基本性质高一数学第三章函数的基本性质知识要点函数是数学中的基本概念之一，它在数学和实际问题的求解中起到重要的作用。
本文将介绍高一数学第三章中关于函数的基本性质，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数定义函数是一种特殊的关系，表示一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
函数可以用符号表示，例如：f(x) = 2x + 1其中f表示函数名，x表示自变量，2x + 1表示函数的表达式，它们之间用等号连接。
二、函数的定义域和值域定义域是指函数的自变量的所有可能取值的集合，通常用D表示。
在上面的函数例子中，自变量x可以取任意实数值，所以定义域为全体实数。
值域是指函数的因变量的所有可能取值的集合，通常用R表示。
同样以例子函数f(x) = 2x + 1为例，它的值域是全体实数。
三、函数的奇偶性如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于定义域内的任意一个实数x，都有f(-x) = -f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称其为非奇非偶函数。
四、函数的图像与性质函数的图像是函数在平面直角坐标系上的几何表示。
函数的图像可以通过绘制函数的各个点来获得。
函数的图像具有以下性质：1. 对称性：偶函数的图像以y轴为对称轴，奇函数的图像以原点为对称中心；2. 单调性：如果对于定义域内的两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递增的；如果x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称函数f(x)在该区间上是递减的；3. 最值：函数在定义域上的最大值称为最大值，函数在定义域上的最小值称为最小值；4. 零点：函数的零点是指使得f(x) = 0的自变量取值。
五、函数的初等函数性质初等函数是指常见的基本函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
第三章 函数
⑶ 在函数的定义中，如果集合 A 和 B 都是通常的数集， 则这里定义的函数就是数学中的函数，其中“自变量”、 “定义域”、“值域”等概念与数学中的函数一致。因此， 离散数学中的函数概念是通常函数概念的推广。 ⑷ 谈到函数，必须涉及两个集合：定义域 A、值域包 B。 在证明题中，需首先明确定义域 A 和值域包集合 B
成为一种特殊的“关系”。函数主要涉及把一个有限集合变换成
另一个有限集合的离散函数。例如，编译程序把一组高级语言命 令的集合变成机器语言指令的集合。
§3.1 函数的概念
一，基本概念
函数：设有集合 Biblioteka 、B，f 是一个由 A 到B 的关系，如果对于每
个 a∈A，存在唯一的 b∈B 使得 af b(或 f (a) = b)，则
练习
有关习题：
12
作业
p112 习题 1、2、3
作业
有关习题：
13
二，函数相等
函数相等：设有函数 f：A→B 和 g：C→D，如果 A=C 和B =D ， 并且对所有的 a∈A（或 a∈C ）都有 f (a)= g (a)， 则称函数 f 和 g 是相等 的，记为 f =g
思考：设有函数 f ：A→B ，S A， 等式 f (A)－f (S) = f (A －S) 成立吗？为什么？
有关习题：
基本概念
4
我们从反面来理解函数，看什么样的关系 不是函数？
⑴ 在关系 f ：A→B 中，若对于某个 a∈A，不存在 b∈B，
使得 a f b ，则 f 不是函数 例： f = {(n1，n2)︱n1，n2∈N，n2＝小于 n1 的素数的个数} ⑵ 在关系 f ：A→B 中，若对于某个 a∈A，存在 b1∈B 和 b2∈B ，且 b1≠b2，使得 af b1 和 af b2 同 时成立，则
第三章 函数的概念与性质(课堂笔记)
第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念1.概念的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =f (x ),x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f x x ∈A }叫做函数的值域．2.函数三要素：定义域、对应关系、值域。
3.区间若a ,b ∈R ,且a <b ，则（1）x |a ≤x ≤b =a ,b 闭区间（2）x |a <x <b =a ,b 开区间（3）x |a ≤x <b =a ,b ) 半开半闭区间x |a <x ≤b =(a ,b ]半开半闭区间∞表示无穷大，R =-∞,+∞（4）x |x <a =-∞,a x |x ≤a =-∞,a ] （5）x |x >a =(a ,+∞)x |x ≥a =[a ,+∞)4.常见求函数定义域方法(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根号下被开方数大于等于零；(3)零的零次方无意义；a 0=1,a ≠0(4)对数式的真数大于零；(5)定义域多个取值范围同时满足，求交集。
例：函数f (x )=-x 2+4x +12+1x -4的定义域是.解：要使函数有意义，需满足-x 2+4x +12≥0x -4≠0，即-2≤x ≤6x ≠4 .即-2≤x <4或4<x ≤6，故函数的定义域为[-2,4)⋃4,6 ．5.判断函数为同一函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系也完全一致，那么这两个函数是同一个函数。
3.1.2函数的表示方法1.函数的表示方法：表格法、图像法、解析式法2.分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段函数。
新教材2023年高中数学 第3章 函数的概念与性质 3
(3)利用(2)和条件 f13＝－1 可得 f(3)，求得 f(m)＝2，将不等式 f(x)－ f(x－2)≥2 化为 f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得 f(x)≥f[m(x－ 2)]，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
[解析] (1)令 x＝y＝1，得 f(1)＝2f(1)，故 f(1)＝0. (2)证明：令 y＝1x，得 f(1)＝f(x)＋f1x＝0， 故 f1x＝－f(x)．任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝f(x2) ＋fx11＝fxx21. 由于xx21>1，故 fxx21>0，从而 f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
[解析] (1)任取 x1，x2∈[3，5]且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11－＋12－xx22－＋12 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2 ＝x13＋x21－xx2＋2 2
∵x1，x2∈[3，5]且x1<x2， ∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)， ∴函数 f(x)＝xx－ ＋12在 x∈[3，5]上为增函数．
学科素养
逻辑推理——抽象函数 典例5 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对
任意x，y∈(0，＋∞)都成立．当x>1时， f(x)>0.
(1)求f(1)； (2)求证：f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果 f13＝－1，求满足不等式 f(x)－f(x－2)≥2 的 x 的取值范围．
第3章3.3幂函数
❖
1
(5)如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= km/s .
t
s= a2 ;
3
这些函数的解
析式有什么共
同特征？
都是形如
y=xα 的函数
S
讲授新课
一、幂函数的概念
1.幂函数的定义
一般地，函数 y=xα叫做幂函数,其中x为自变量,α
为常数.
2.幂函数的解析式的特征：
①xα的系数为1，
以 f(x)＝x3.因为 f(x)＝x3 在 R 上为增函数，所以由 f(a－3)>f(1－a)，得 a－3>1－a，解
得 a>2.所以满足不等式 f(a－3)>f(1－a)的实数 a 的取值范围是(2，＋∞).
变式1： 已知幂函数f()= 的图象过点P（2,8），
证明：f()在（0,+∞）上的单调递减。
典例讲解
例2： 利用单调性判断下列各值的大小.
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.2- 0.3 与 0.3-0.3
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)上是增函数,
∵5.2＜5.3
∴ 5.20.8 ＜5.30.8
关于这五个幂函数的图象，其中 = ， = ， = − ，
我们在初中已经画过了。
1
2
思考：如何画出 = 3 , = ,的图象？
讲授新课
1. 五种常见幂函数的图象
y=x3
y=x2
y=x
4
1
3
y= x 2
2
1
(1,1)
(-1,1)
-6
-4
-2
-1
(-1,-1)
新教材高中数学第三章函数3.1.3函数的奇偶性(第1课时)函数奇偶性的概念课件新人教B版必修第一册
已知函数 y＝f(x)是 的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
解析：选 D.因为 f(x)是偶函数，且图像与 x 轴有四个交点，所
以这四个交点每组两个关于 y 轴一定是对称的，故所有实根之
和为 0.
利用函数的奇偶性求参数
(1)若函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函数，且定义域为
第三章 函 数
3．1.3 函数的奇偶性
第 1 课时 函数奇偶性的概念
第三章 函 数
考点
函数奇偶 性的判断
奇、偶函 数的图像 奇、偶函 数的应用
学习目标 结合具体函数，了解函数奇偶 性的含义，掌握判断函数奇偶 性的方法 了解函数奇偶性与函数图像 对称性之间的关系 会利用函数的奇偶性解决简 单问题
核心素养 数学抽象、
(2)作出函数在 y 轴另一侧的图像，如图所示．
观察图像可知 f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，f(－1)<f(－3)，所以 f(1)<f(3)．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．
即有－1≤x≤1 且 x≠0，
则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为 f(－x)＝
1－(－x)2 －x
＝－ 1－x x2＝－f(x)．
所以 f(x)为奇函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0， f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当 x<0 时，－x>0， f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有 f(－x)＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数．
第三章函数
第三章 函数一、基础知识定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。
定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。
A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。
集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。
通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A→B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。
中考数学冲刺复习之第三章《函数》
也叫正比例函数，它的图象是经过_原__点___的一条直线．
2.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象、性质如下表：
二、例题与变式
【考点1】待定系数法，一次函数的性质 【例1】已知一次函数的图象经过(0，6)，(－1，4) 两点．(1)求一次函数的解析式； (2)当－2<x<1时，求y的取值范围； (3)当－3≤x≤2时，求 y的最大值与最小值． 解：（1）y=2x+6 （2）2<y<8 （3）最大值为10，最小值为0.
【变式3】如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化
的图象，根据图象的信息回答下列问题：
(1)乙车前4秒钟行驶的的路程为___4_8______米； (2)在0到8秒钟甲车的速度每秒钟增加__4____米； (3)在4到8秒钟内，甲车的速度与乙车的速度相比，谁大？
解：（3）甲
三、过关训练
A组
1.函数 y 2 x 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
解：S=－3x+24（0<x<8） 如图1.
【变式2】设P(x，0)是x轴上的一个动点，它与x轴 上表示－2的点的距离为y，求y关于x的函数解析式， 并画出这个函数的图象．
解： y=|x－(－2)|=|x+2| x+2（x≥－2）,
= －x－2（x<－2）.
如图2 .
【考点3】求直线与坐标轴的交点，分类思想
式2x＋m>－x－2的解集为__x_>__2_________．
B组 5．在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3过点A
(5，m)，把点A向左平移2个单位长度，再向上平 移4个单位长度，得到点C.过点C且与y＝2x平行的 直线交y轴于点B. (1)求直线CB的解析式； (2)求直线CB与坐标轴围成的面积．
第三章函数的极值与最值
一、函数极值的定义
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有定义 , x0是 (a,b)内的一个点 ,
如果存在着点 x0的一个邻域 ,对于这邻域内的 任何点 x,除了点 x0外, f ( x) f ( x0 )均成立 ,就称 f ( x0 )是函数 f ( x)的一个极大值 ;
(4) 求极值.
例1 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 数 2 9 x 5 的.极 解 f(x ) 3 x 2 6 x 9 3 (x 1 )x ( 3 ) 令f(x)0，得x 驻 1 1 ,x 2 点 3 . 列表讨论
x ( ,1) 1
f(x) 0
所 以 ,函 数 f(x )在 x 0 处 取 得 极 大 值
例2 求出 f(x ) 函 x 3 3 x 2 数 2x 4 2的 0 .极 解 f(x)3x26x2 43 (x 4 )x ( 2 ) 令f(x)0，得x 1 驻 4 , x 点 2 2 . f(x ) 6 x 6 , f(4)18 0, 故极大f(值 4)60,
定理2(第一充分条件)
(1)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 ),
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极大值.
(2)如果x(x0 , x0),有f '(x) 0;而x(x0, x0 )
有f '(x) 0，则f (x) 在x0 处取得极小值.
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
新教材2023年高中数学 第3章 函数的概念与性质 3
课堂检测 ·固双基
1．函数y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，则函数的值域为 ( C )
A．(5，9)
B．[5，9]
C．{5，7，9}
D．{5，6，7，8，9}
[解析] 当2≤x≤4且x∈N*时，x＝2，3，4.
所以函数值域为{5，7，9}．
2．下列各组函数中，表示同一函数的是
(A )
A．y＝x 与 y＝3 x3 B．y＝x2 与 y＝xx3 C．y＝1 与 y＝(x＋1)0 D．y＝|x|与 y＝( x)2
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念 第2课时 函数的概念(二)
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基
必备知识 ·探新知
知识点 1 同一个函数 前提条件 结论
__定__义__域___相同 ___对_应__关__系___完全一致 这两个函数是同一个函数
1
B．R
D．{－1，0，1}
[解析] 函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}．
关键能力 ·攻重难
题型探究
题型一
函数的值域
典例1 函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是
(B)
A．(－3，0]
B．(－3，1]
C．[0，1]
D．[1，5)
[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与
第三章 函数的概念和性质
A 、 第三章 函数的概念和性质Ⅰ 教学要求（1）了解映射的概念.（2）理解函数的概念，了解函数的三种表示法，理解分段函数的定义及表示法.（3）理解函数的单调性和奇偶性.（4）了解反函数的概念，掌握简单函数的反函数的求法，了解函数)(x f y =的图像与它的反函数)(1x f y -=的图像之间的关系.（5）掌握一元二次函数的性质及其图像，掌握解一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.（6）会用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式.（7）了解函数的实际应用.Ⅱ 教材分析、教学建议和练习题解答现实世界中许多量之间有依赖关系，一个量变化时另一个量随着起变化，函数是研究各个量之间确定性依赖关系的数学模型，在工业革命时代，函数是数学中最基本的概念之一. 现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展. 由此促使了离散数学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一.映射也是日常生活中许多现象的抽象.中学生学习映射的概念，至少有三方面的好处：作为现代社会的居民，能看懂信息时代的书报、电视；在日常生活中把事情做好；能更好理解函数的概念，反函数的概念.函数的图像是数形结合的基础，要让学生理解函数的图像的意义.本教材从函数的图像引出奇函数与偶函数的概念，既直观，同时又揭示了其本质. 本教材运用映射的观点阐述反函数的概念，给出反函数的求法，这与传统的方法不同.我们有创新，使得反函数概念的本质容易理解，使得反函数的求法严谨且易于掌握. 本章第三单元讲一元二次函数，这是在初中讲一元二次函数的基础上进一步讲清楚道理，运用第二单元函数的单调性和奇偶性的一般理论来具体地研究一元二次函数的性质和图像，既让学生学习如何运用理论研究具体函数的性质和图像，又使画函数图像的方法严谨、科学.待定系数法是数学中的一种重要方法，本章用一节介绍如何用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式.总之，本章首先介绍映射和函数的概念，然后讨论函数的一般性质，最后运用函数的单调性和奇偶性的一般理论研究一元二次函数，并且介绍了一元二次不等式的解法. 本章的重点是：映射的概念，函数的概念，函数的图像，函数的单调性、奇偶性；一元二次函数的性质和图像，一元二次函数的最大值或最小值；解一元二次不等式的图像法；待定系数法.本章的难点是：映射的概念，点M在函数的图像上的充分必要条件，反函数的概念，函数的实际应用.学好本章的关键是：了解映射的概念，理解函数的图像的意义.本章教学时间约需15课时，具体分配如下：3.1 映射1课时3.2 函数的定义及记号1课时3.3 函数的三种表示法1课时3.4 分段函数1课时3.5 函数的单调性1课时3.6 函数的奇偶性2课时3.7 函数的图像2课时3.8 反函数1课时3.9 一元二次函数的性质及其图像1课时3.10 用待定系数法求函数的解析式1课时3.11 函数的实际应用1课时本章小结2课时3.1 映射1. 集合的概念与映射的概念是现代数学中最基本的两个概念. 在信息时代，映射的概念比函数的概念更基本. 理解了映射的概念，就能更深刻地理解函数的概念.2. 在讲映射的定义时，要着重指出：有两个集合和一个对应法则，并且这个对应法则使第一个集合的每一个元素，都有第二个集合中唯一确定的元素与它对应.3. 设f是集合A到集合B的一个映射，则把A叫做定义域，把B叫做值域.许多教材没有给第二个集合起名字，有的教材把第二集合叫做陪域.4. 一个映射f：BA→由定义域、值域和对应法则组成，它们称为映射的三要素，因此两个映射相等的定义应当是：定义域相等，值域相等，对应法则相同.3.1的练习答案1.（1）不是；（2）是.2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是；（5）不是.3.（1）不是；（2）是；（3）是；（4）不是；（5）不是.4. 是3.2 函数的定义及记号1. 在现实世界中有不少变量之间有确定性的依赖关系，函数就是研究这种关系的有力工具. 研究各种各样的函数的性质是数学的重要内容之一.2. 函数的概念包含三个要素：定义域，值域和对应法则. 从而两个函数相等当且仅当它们的定义域相等，并且对应法则相同.3. 例1（1）求函数值，例如求3xx=xf在处的函数值，实质上就是求-x,253)(=-=3,2=-=x x 处的函数值，实质上就是求3,2=-=x x 时，代数式35-x 的值，因此12335)3(,133)2(5)2(=-⨯=-=--⨯=-f f .由于在初中一年级已经学过代数式求值，因此给学生讲：求函数值实质上就是求代数式的值，学生便容易学会.在上述例子中，不要给学生说：“35)(-=x x f 的对应法则是‘乘5减3’，因此求处的函数值就是在2)(-x f －2乘5减3，即133)2(5)2(-=--⨯=-f .”这种讲法会使学生感到求函数值难学，因为要把一个函数的对应法则用语言叙述是很啰嗦的，再由对应法则来求函数值，显然是增加了难度.3.2的练习答案1.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.2. 是，定义域为{,,,,d c b a …，y ，z }，值域为{0，1，2，…，24，25}.3. f (1)=－37, f (2)=－34. 4. (1)31)2(;13-=+=b a a b . 5.（1）是；（2）是.6. (1) f (1)=1，g (1)=－1；(2) 1)]1([,3)]1([-==f g g f ； (3) 5496)]([,1639)13(22--=--=-x x x g f x x x f . 3.3 函数的三种表示法1. 函数的概念包含三个要素：定义域、值域和对应法则.目前中职阶段，值域通常取为实数集，因此表示一个函数就要指明它的定义域和对应法则.当函数f 的定义域A 是有限集时，可以用一张表格来表示函数，第一行写出A 的各个元素，第二行写出相应的函数值，这种表示函数的方法叫做列表法.2. 当f 的定义域A 是无限集或有限集时，通常要寻找一个或几个式子来表示对应法则，即用一个或几个等式来表示函数，这种方法叫做公式法. 这一个或几个等式叫做这个函数的解析表达式，简称为解析式.教材中公式法下的第(2)个例子，设}1,0{B },6,5,4,3,2,1,0{A ==.考虑A 到B 的一个对应法则f ：⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=A,,0A,,1)(x x x f 当当 这是A 到B 的一个映射，从而是定义域为A 、值域为B 的一个函数这个例子来自组合设计与现代通信和密码的关系.本教材有意识地举一些信息时代的例子，目的是使中职数学不要囿于传统的教材中，而能透出信息时代的一些气息.在上面这个例子中，集合A 到集合B 的一个对应法则f 用了两个等式来表示；当A∈x时，0)(,A ;1)(=∉=x f x x f 时当.习惯上把这样的函数叫做分段函数. 其实不必用这个术语，因为不管用几个等式表示函数，都无非是给出了定义域到值域的一个对应法则，多一个术语，会使学生多一份负担，所以我们在教材中没有出现“分段函数”这个术语，希望教师不要补充这个术语.3. 在用公式法表示定义域为数集的函数时，如果没有标明定义域，那么我们约定：函数)(x f 的定义域是指所有使解析式有意义（即，在解析式给出的对应法则下有象）的实数x 组成的集合，不再每次声明. 此外要注意，在实际问题中，还必须结合问题的实际意义来确定自变量x 的取值范围.在上面一段话里，我们阐明了什么叫做“使解析式有意义”，即“在解析式给出的对应法则下有象”. 例如，求函数31)(-=x x f 的定义域，解法如下： 03)(≠-⇔x x f 的解析式有意义3≠⇔x .因此函数),3()3,()(+∞-∞ 的定义域是x f .在上面这个例子中，“)(x f 的解析式有意义”指的是“在解析式给出的对应法则下有象”. 由于x 在)(x f 的解析式给出的对应法则下没有象当且仅当03=-x ，因此)(x f 的解析式有意义当且仅当)3(03≠≠-x x 即. 这样讲是确切的，因为表达式31-x 是一个分式，它当然是有意义的；只是分式函数31)(-=x x f 当3=x 时没有象，此时称分式函数31)(-=x x f 的解析式当3=x 时没有象，此时称为分式函数31)(-=x x f 的解析式当3=x 时没有意义.在这里我们区分了“分式”与“分式函数”这两个不同的概念：分式．．指的是表达式．．．),,),(),(()()(等等或y x g y x f x g x f 其中)()(x g x f 与是一元多项式，且)(x g 不是零多项式（或),(),(y x g y x f 与是二元多项式，且),(y x g 不是零多项式，等等），而分式函数．．．．指的是由分式给出的映射．．，这一段话是为教师写的，不要给学生讲. 在求函数的定义域时，我们采用等价术语来叙述，既严谨又简捷.4. 用平面直角坐标系里的圆形表示函数的方法称为图像法.用图像法表示函数的最大优点是直观，因为函数的图像是数形结合的基础. 为此首先要把什么是函数的图像搞清楚. 教材中给函数的图像下了一个定义：设)(x f 是定义域为A 的一个函数，任取A ∈a ，在平面直角坐标系Oxy 里，描出坐标为M a f a 的点))(,(.当a 取遍A 的所有元素时，坐标为))(,(a f a 的点组成的集合，称为函数)(x f 的图像.从这个定义应即得出：点)(A,)(),(a f b a x f b a M =∈⇔且的图像上在.即，点)(),(x f b a M 在的图像上当且仅当它的横坐标a 属于定义域，纵坐标b 等于a 处的函数值.这个结论十分重要，它是利用函数的图像研究函数性质的基础.3.3的练习答案1.（1）f (x )的解析式有意义⇔53035≠⇔≠-x x ，因此)(x f 定义域为),53()53,(+∞-∞ ; （2）f (x )的解析式有意义⇔x 37-≥0⇔x ≤37，因此)(x f 定义域为]37,(-∞； （3）f (x )的解析式有意义⇔162-x ≥0⇔x ≤－4或x ≥4, 因此)(x f 定义域为);,4[]4,(+∞--∞（4）f (x )的解析式有意义⇔216x -≥0⇔－4≤x =4，因此)(x f 定义域为]4,4[-;（5）f (x )的解析式有意义⇔1523-+x x ≥0⇔－32≤x ＜51，因此)(x f 定义域为)51,32[-； （6）f (x )的解析式有意义⇔x x 5123-+≥0⇔x ≤－32或x ＞51，因此)(x f 定义域为),51(]32,(+∞--∞ . 2.（1）532)2(;)1(4122+-+x x a . 3.图略4.点M 、Q 都不在函数)(x f 的图像上.5.（1）(a , f (a ))；（2） (－a , f (－a )).6.（1）);,31()31,0)[4(];3,2)[3(];23,0)[2();,21()21,0[+∞-+∞ (5)(－∞,－5) ]7,6)(6(]; 7,5-（.7. 图像略8. 证明：)0()(≠+=k b kx x f 的图像经过原点 ⇔ f (0)=0 ⇔ k ·0+b =0⇔ b =03.4 分段函数1. 自变量在不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.2. 教材给出了分段函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈+∈),1(.1]1,0[,2x x x x .要求作出此函数的图像.3.4的练习答案1.1)0()}5({-==f f f .2.（1）.8101)]3([,7)]5([,161)]3([-=--==f f f f f f （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-<-=-R ,132·3.313,2.313 ≥,529)]([133x x x x x f f x x 3.（1）)0 ≥()]([4x x x g f =；（2）)0(1)]([>-=x xx f g . 4.图略 二、函数的性质3.5 函数的单调性1. 判断函数f (x )在区间上是增函数还是减函数，如果我们在画函数f (x )的图像时没有默让函数的单调性，那么用图像法判断f (x )的单调性，它具有直观易懂的优点，但是要注意：我们不能默认函数f (x )的单调性，去用一条光滑的曲线联结描出的各点，然后又让学生从这样画出的图像去判断f (x )的单调性，在画基本初等函数时在某个区间上的图像时，往往是要先用定义证明函数的单调性，然后才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到该函数在某个区间上的图像，之后利用对称性等画出该函数在另一个区间上的图像，这样对于该函数在另一个区间上的单调性就可以从图像来判断了.2. 对于任意的一次函数)0(≠+=k b kx y 的单调性，自然应当用定义法去判断. 教材的例1写出了求解过程，先统一写出)()(21x f x f -的表达式，然后分k ＞0和k ＜0两种情形判断)()(21x f x f -的正负.例2是讨论二次函数[)+∞--+=,13)1(21)(2在x x f 上的单调性. 必须先用定义法判断),1[3)1(21)(2+∞--+=在x x f 上是增函数，才能用一条光滑曲线联结描出的各点，得到),1[3)1(21)(2+∞--+=在x x f 上的一段图像.利用对称性.就能判定函数在]1,(--∞上是减函数，在),1[+∞-上是增函数.还有一种方法判定函数单调性，我们将在第三册中讲到. 定理：设函数f (x )在闭区间),(,],[b a b a 在开区间上连续内可导.（1）如果在内),(b a )('x f ＞0,那么],[)(b a x f 在上是增函数；（2）如果在内),(b a )('x f ＜0,那么],[)(b a x f 在上是减函数；（3）如果在内),(b a )('x f =0,那么],[)(b a x f 在上是常数.3.5的练习答案1. 任取121),,(,x x x 且+∞-∞∈＜2x ，有－3x 1＞－3x 2⇒－3x 1－2＞－3x 2－2⇒)(1x f ＞)(2x f因此),(23)(+∞-∞--=在x x f 上是减函数.2. 任取),,0[,21+∞∈x x 且x 1＜x 2，有212x ＜222x⇒212x +5＜222x +5⇒)(1x f ＜)(2x f因此上在),0[52)(2+∞+=x x f 是增函数.3. 任取),0(,21+∞∈x x ，且x 1＜x 2，有21122121)(555)()(x x x x x x x f x f -=-=-, 由于，x 2＞x 1，x 1x 2＞0，因此)(1x f －)(2x f ＞0从而 )(1x f ＞)(2x f 这表明()+∞=,05)(在xx f 上是减函数. 4. 任取),3[,21+∞x x ，且1x ＜2x ，有2x ＞1x ≥3⇒2x －3＞1x －3≥0⇒(2x －3)2＞(1x －3) 2≥0⇒－5)3(3122+-x ＜－5)3(3121+-x ⇒)(2x f ＜)(1x f所以),3[5)3(31)(2+∞+--=在x x f 上是减函数. 3.6 函数的奇偶性1. 本教材在阐述奇函数和偶函数的定义和性质上有创新.我们抓住了讨论函数奇偶性的实质是研究函数图像的对称性. 因此我们先复习图形关于直线对称的概念, 然后探索定义域为A 的函数)(x f 的图像在什么条件下关于原点对称?运用点P (a , b )在)(x f 的图像上的充分必要条件，我们推导出定义域为A 的函数)(x f 的图像E 关于原点对称 ⇔ E 上每一点))(,(a f a P 关于原点的对称点))(,(a f a M --仍在E 上⇔ A ),()(A,∈-=-∈-a a f a f a 对一切且.由此引出了奇函数的定义，并且上述推理也就证明了奇函数的图像关于原点对称，起了一箭双雕的作用.对于奇函数也是先复习圆形关于原点O 对称的概念，然后探索函数)(x f 的图像关于原点O 对称的充分必要条件：由此引出奇函数的定义，并且证明了奇函数的图像关于原点对称.我们这种讲法阐明了为什么要引进奇函数和偶函数的概念，而且简捷地证明了奇函数和偶函数的图像的对称性.2. 我们在教材中结合图形推导出“点),(b a P 关于y 轴的对称点Q 的坐标是),(b a -.关于原点的对称点M 的坐标是（b a --,）”这两个结论. 它们在探索)(x f 的图像的对称性时有用.3. 我们在例1中给出了判断一个函数)(x f 是不是奇函数的方法：求出)(x f 的定义域A.如果对于任意的)()(A,A,x f x f x x -=-∈-∈并且有都有，那么)(x f 是奇函数. 如果能找到一个)()(A,c f c f c -≠-∈使得，那么)(x f 不是奇函数.例2中给出了判断一个函数)(x f 是不是偶函数的方法：求出)(x f 的定义域A ，如果对于任意的A ∈x ，都有－A ∈x ，并且有)()(x f x f =-，那么)(x f 是偶函数.如果能找一个A ∈d ，使得)()(d f d f ≠-，那么)(x f 不是偶函数.例1和例2给出的方法是教学的基本要求，应让学生学会.3.6的练习答案1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）不是.2.（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是.3. 证明：由于)(x f 、)(x g 都是定义域相同的偶函数，因此对于任意A ∈x ，有A ∈-x ，并且)F()()()()()F(x x g x f x g x f x =+=-+-=-.因此)(x F 是偶函数.4. )5(-f =－3.5.)3(f ＞)1(f .6. 证明：由于)(x f 、)(x g 都是定义域为A 的奇函数.因此对于任意A A,∈-∈x x 有，并且[])()()()()()()()(x h x g x f x g x f x g x f x h -=+-=--=-+-=-，)()()()]()][([)()()(x P x g x f x g x f x g x f x P ==--=--=-， 因此)(x h 是奇函数，)(x P 是偶函数.3.7 函数的图像1. 如果已经判断出)(x f 是奇函数，那么在画)(x f 的图像时，可以先画出y 轴右边的部分，然后利用对称性画出y 轴左边的部分. 这里的基本作图是，会作出点P 关于原点的对称点N ，这只要联结PO ，且延长至N ，使线段ON 的长度等于线段PO 的长度，则点N 就是点P 关于原点的对称点.2. 如果已经判断出)(x f 是偶函数，那么在画)(x f 的图像时，只要先画出y 轴右边的部分，然后利用对称性画出y 轴左边的部分，这里的基本作图法是，会作出点P 关于y 轴的对称轴Q ，这只要过点P 作y 轴垂线，设垂足为M ，把这垂线往左延长至点Q ，使线段MQ 的长度等于线段PM 的长度，则点Q 就是点P 关于y 轴的对称点.3.7的练习答案1. (1) (2)是偶函数，(3) (4) (5) (6)不是偶函数.2. (1)是；(2)是；(3)不是；(4)不是.3. 图略4.（1）2123)2(;3432--=+-=x x y x y . 5 ~7. 图略.3.8 反函数1. 我们在反函数的概念和求法上与传统的讲法不同，我们有创新. 传统的讲法大致是：给了函数的解析式，例如x y 3=.反解出y x 31=. 于是对于y 在R 中的任何一个值，通过式子y x 31=，x 在R 中都有唯一确定的值和它对应.因此也可以把y 作为自变量（∈y R ），x 作为y 的函数，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们对调函数式y x 31=中的字母x 、y ，把它与成x y 31=.传统的讲法没有清晰地揭示反函数概念的本质，通过对调字母x 与y ，学生很难看清楚反函数与原来函数的关系.传统的讲法在反解出)(y g x =时，由于没有写出反解过程. 因此导致一些误会和差错. 传统的讲法对于用列表法表示的函数（不知道函数的解析式），没有给出反函数的概念. 而当今信息时代，由于计算机科学和信息科学的迅速发展，离散数学的地位加强，遇到的函数不一定能用公式表示，因此传统的讲法已不适应时代的要求.基本上述原因，我们对于反函数的概念和求法采取了新的讲法.2. 对于反函数的概念，我们给出这样的定义：如果函数)(x f y =有反函数，那么我们的讲法可以立即得出，严格单调函数一定有反函数. 3. 关于反函数的求法，我们给出了函数)(x f 的解析式，求它的反函数（仍用函数式表示）. 对于用公式法表示的函数，我们给出的求反函数的方法是科学的. 以教材中例1的（3）为例：解b a x x y 对应到把2213-≠+-= )2(213-≠+-=⇔a a a b )2(13)2(-≠-=+⇔a a a b)3,2(12)3(≠-≠+=-⇔b a b a b)3,2(312≠-≠-+=⇔b a bb a a b xx y 对应到把3312≠-+=⇔ 因此函数213+-=x x y 的反函数是 ∈-+=x xx y (,313R 且3≠x ). 求213+-=x x y 的反函数，就是要寻找一个函数使得，对于原来函数的值域中的每一个b ，当原来的函数把a 对应到b 时，所求的函数把b 对应到a . 上述求解过程满足这一要求. 从反函数的定义知道，我们首先要知道原来的函数)(x f y =的值域；才能判断出所求出的函数是不是反函数（因为反函数必须是对于)(x f y =的值域中每一个元素b ，都有)(x f y =的定义域中唯一的一个元素a 与它对应）.我们求反函数的方法是在求解过程中先求出了原来函数的值域，然后才求出了反函数. 这是符合反函数定义的要求的.我们是怎样求出原来函数的值域的呢？上述例子中，在第二步等价于b (a +2)=3a －1(a ≠－2),3.3=≠b b 因为假如从此式看出，则上式左边=3(a +2)=3a +6,而上式右边=3a －1.由此推出6=1-，矛盾，所以3≠b .即原来函数的值域是{b ∈R|（b ≠3）}. 于是对于原来函数值域中的每一个元素b ，在（3－b ）a =2b +1而边除以（3－b ）（此时3－b ≠0，因此可以用它作除数）得，b b a -+=312.从而求出了反函数为)3(312≠-+=x x x y .4. 有的教材在讲求反函数时是像下述那样讲的： “由213+-=x x y ,可得y y x -+=312，所以函数213+-=x x y 的反函数是xx y -+=312（∈x R 且3≠x ）.”这种讲法没有详细写出反解的过程，在得出y y x -+=312时，没有讨论3≠y . 就把y -3当除数用了，这是不严谨的. 这种讲法没有事先求出原来函数的值域，因此所求出的函数xx y -+=312是否为反函数无从判断. 这种讲法容易引起误会以至产生差错，不少复习资料由此引出求原来函数值域的方法：“先求反函数，再从反函数的解析式求出定义域，它就是原来函数的值域.”这种方法是错误的，以213+-=x x y 为例，在反解时，如果不讨论3≠y ，就用)3(y -去除两边，得出y y x -+=312，然后又说从3312≠-+=x xx y 看出，因此得出反函数的定义域为{x ∈R |x ≠3}，于是原来函数的值域为{y ∈R |y ≠3}. 这是先默认3≠y ，用(3－y )去除两边得到y y x -+=312，然后又说从x =yy -+312看出3≠y ，这在逻辑上是混乱的，这种思维方式是错误的. 由此看出，教数学不能只是教计算，而不管计算过程是否合理；教数学不能只是看答案对不对，而不管其思维方式是否正确. 这些都是直接关系到我们培养的学生的素质啊！定理1 如果函数)(x f y =有反函数，那么)(x f y =的图像与它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称.学习数学一定要掌握基本理论，有了理论的指导，解题就会有思路，就能通过逻辑推理深入揭示事物之间的内在联系以及它们的本质.三、一元二次函数及其应用3.9 一元二次函数的性质及其图像1. 一元二次函数的图像在初中时已讲过，但是一些道理没有讲. 鉴于一元二次函数是非常重要的一类函数，有必要在中学阶段打下扎实的基础，因此我们在教材中用一节来讲一元二次函数的性质和图像, 这是在初中的基础上的提高.2. 我们在教材一开始就让学生动脑筋：如何正确．．、简便．．地画一元二次函数25212-+=x x y 的图像？然后分析：先把函数的表达式配方得，()31212-+=x y . 利用3.7节例3的结论，()31212-+=x y 的图像有对称轴1-=x . 因此只要先画出图像在直线1-=x 的右边的一半. 从而列表时只需要列出1-=x ，0，1，2，3，…时相应的函数值. 接着在平面直角坐标系Oxy 中描点. 描完点后，不是马上连线，而是先利用3.4节例3的结论：3)1(212-+=x y 在区间),1[+∞-上是增函数，这时才知道可以用一条光滑曲线把描出的各点联结起来. 最后利用对称性，画出图像在直线1-=x 的左边的部分.这样画函数的图像既简便又科学.传统的画函数图像的方法是：列表，描点，连线.前两步虽然正确，但是较麻烦（如果先讨论对称性，则可减少一半的工作量）.第三步连线是不科学的. 在还没有讨论函数的单调性时，怎么知道如何联结描出的有限几个点？更不应该的是，事先不讨论单调性，但是却默认函数有单调性，“用一条光滑曲线联结各点”，然后又让学生从图像上看出函数是增函数或减函数. 这在逻辑上是混乱的，这种思维方式是不正确的.也许有人会说，让中学生讨论函数的单调性要求太高了，那么让我们来看一看，)(x f =),1[3)1(212+∞--+在x 上是单调性的讨论： 任取1x ，2x ),1[+∞-∈，且1x ＜2x ，有2x ＞1x ≥－1⇒12+x ＞11+x ≥0⇒(12+x )2＞(11+x )2 ⇒()312122-+x ＞()312121-+x ⇒()2x f ＞()1x f , 因此),1[3)1(21)(2+∞--+=在区间x x f 上是增函数. 从上述讨论过程看到，用的都是不等式的性质，并不困难，而且正好是复习巩固不等式的性质. 我们又注意了分散难点，把这个讨论放在3.4节的例3，到3.8节时只是引用这个结论. 因此中学生是能够接受先讨论函数的单调性，再连线的.３. 在讲完()31212-+=x y 的图像后，我们给出顶点的概念，并且让学生观察顶点坐标)3,1(--与表达式有什么联系？观察顶点坐标与函数的最小值有什么联系？从函数的图像（我们已正确地画出了函数的图像）看出函数在顶点横坐标往左的区间上的单调性，以及图像的开口方向. 在观察的基础上，我们抽象出一般的一元二次函数()02≠++=a c bx ax y 的性质和图像. 由于其论证与()31212-+=x y 的性质和图像的论证类似，因此我们在教材中就不写出了.４. 在让学生画一个具体的一元二次函数的图像时，先配方，然后求出对称轴，接着先画图像在对称轴右边的一半（列表，描点，连线. 由于已经讲了一般的一元二次函数的单调性，因此在连线之前不用再讨论单调性了），最后利用对称性画出图像在对称轴左边的部分.５. 本节的练习除了画二次函数的图像以外，还有写出顶点坐标，求函数的最大值或最小值，求一元二次函数的最大（小）值的基本方法是将表达式配方. 这应让学生掌握. 这是因为配方在数学中是常用的一种技巧.至于直接利用顶点坐标来求最大 (小)值的方法，对于课时较充裕的学校也可以介绍. 我们在教材中把它作为思考题，让学生思考.3.9的练习答案1.（1）对称轴为5=x ，顶点坐标为)223,5(-，图略； （2）对称轴为41=x ，顶点坐标为)87,41(-，图略. 2.（1）当1-=x 时，y 达到最小值2；（2）当2-=x 时，y 达到最大值5；（3）当23=x 时，y 达到最小值41-； （4）当2=x 时，y 达到最大值1. 3.（1）顶点坐标)421,3(-，对称轴为x =3； （2）841)25(-=f ； （3）)415()41(f f >-. 4.（1）对称轴为45=x ，顶点坐标为)825,45(-，函数最小值为825-，]45,(-∞为单调递减区间，),45[+∞为单调递增区间，函数图像开口向上； （2）对称轴为3=x ，顶点坐标为)27,3(，函数最大值为27，]3,(-∞为单调递增区间，),3[+∞为单调递减区间，函数图像开口向下.5.（1）顶点坐标为（3，－2）.),63()63,(+∞+--∞∈ x 时，y ＞0；()63,63+-∈x 时，y ＜0.]3,(-∞∈x 时，函数为单调递减函数； ),3[+∞∈x 时，函数为单调递增函数. （2）顶点坐标为（－1，3）. )261,261(+---∈x 时，y ＞0；),261()261,(+∞+----∞∈ x 时，y ＜0.]1,(--∞∈x 时，函数为单调递增函数；),,1[+∞-∈x 时，函数为单调递减函数.3.10 用待定系数法求函数的解析式1. 在许多数学问题或实际问题中，建立了函数的模型后，需要求其中的未知的系数，这可以通过列方程组并且解这个方程组求出，从而求出函数的解析式，这种方法叫做待定系数法.它是数学中重要的一种方法.本节主要是介绍如何用待定系数法求一元一次函数和一元二次函数的解析式，并且介绍了它们在实际问题中的应用.2. 一次函数的解析式)0(≠+=k b kx y 有2个系数k ,b ,因此需要列出两个彼此独立的方程来求未知系数k ,b ,于是需要已知两个条件来列两个方程.3. 一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的解析式有3个系数，因此用待定系数法求这3个系数时，需要列出3个彼此独立的方程，于是通常要给出这个函数当自变量取3个不同数时相应的函数值.4. 如果知道一元二次函数g (x )的图像的顶点坐标为（e , d ），则可以假设g (x )的解析式为d e x a x g +-=2)()(.这时只要再知道图像所经过的一个点的坐标，就可以求出系数a .5. 如果知道一元二次函数)(x g 的图像的对称轴是直线e x =，则可以假设)(x g 的解析式为d e x a x g +-=2)()(.这时只要再知道图像上两个点的坐标，就可以列出两个方程，从而求出待定系a 、d.6. 为了让学生了解待定系数法在日常生活中的应用，教材的例3求出了扔铅球时铅球在空中飞行轨道（抛物线的一段）的解析表达式.3.10的练习答案1. 设这个一次函数的解析式为b kx y +=，其中k ,b 待定.由于P （2，－5），Q （－1，7）在这个函数的图像上，因此有⎩⎨⎧=+--=+.7,52b k b k 解得 3,4=-=b k因此所求一次函数的解析式为34+-=x y .2. 设这个正比例函数的解析式为kx y =，其中k 待定，由于点（2，8）在这个函数的图像上，因此有8=2k ,解得 k =4.。
讲义-第三章《函数》
例：求函数y=3x2+2x+1的最小值及它图像的对称轴，并说明图像的单调区间。
（3）图像法：用图像来表示两个变量的函数关系。特点是直观表示变化趋势。
2.分段函数：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则。
★3.3函数的单调性：
1.内涵:是指函数的增减性，反应在图像上就是看函数是增函数还是减函数。
2.增函数、减函数的等价说法：增函数就是在给定的区间上随着自变量x的增大（减小）而增大（减小），减函数是随着自变量x的增大（减小）而减小（增大）。
第三章函数
★3.1函数的概念（难点）
1.定义：有两个变量x和y，如果给定一个x值，就相应的确定了唯一的y值，那么我们就称y是x的函数。其中x表示自变量，y表示因变量。
2.函数的实质：是表示两个数集的元素之间按照某种对应法则确定的一种对应关系。
3.函数符号y=f（x）是一个抽象的数学符号，它是“y是x的函数”这句话的数学表示，并非表示f与x的乘积。在该符号中，f表示对应法则，等式y=f（x）表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y。
★3.4函数的奇偶性
1.内涵：指函数的对称性。
2.奇偶性：奇函数：图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形（中心对称）
偶函数：图像是以y轴为对称轴的对称图形（轴对称）
3.判断函数的奇偶性的方法:
如满足f(-x)=-f(x)时，函数为奇函数；如满足f(-x)=f(x)时，函数为偶函数。
4.重点：（1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的一种性质；
3.根据函数的解析式判断一个函数在给定区间上是增函数还是减函数的一般步骤是：
离散数学第三章 函数
第三章 函数
二、反函数
1、定义1：设f：AB是双射，则逆关系 f -1：BA
是从B到A的函数，称为 f 的反函数。
记 f -1 ：BA。 由定义可知：当函数 f：AB的反函数存在，若 f (x) = y，则f -1 (y) = x 且
f f 1 I A , f 1 f I B
f 0 ( x) x n 1 n f ( x ) f ( f ( x ))
第三章 函数
(2) 定理2： 设f: A→B,则 f。IB=IA。f=f
(3) 定理3：设有函数f：AB，g：BC
① 若f ，g是单射，则f g也是单射。
② 若f ，g是满射，则f g也是满射。
所以 f。g={(x, 4x 2+4x+2)}， g。f={(x, 2x 2+3)}
f。f={(x, 4x+3)}， g。g={(x, x 4+2x 2+2)}
第三章 函数
2、性质：
⑴ 定理1：设有函数f：AB，g：BC，h：
CD，则f ( g h) 和( f g ) h都是函数，且
③ 若f ，g是双射，则f g也是双射。
注：定理3的逆不成立。
第三章 函数
例3：设A={ 1, 2, 3 }, B={ a, b, c, d }, C={ x, y, z }
令 f = {(1, a), (2, b), (3, c)},
g = {(a , x), (b, y), (c, z), ( d, z)}
f ( g h) = ( f g ) h = f g h 证明： f。(g。h)(x) =(g。h) (f (x))=h (g (f (x)) =h((f。g) (x))=(f。g)。h (x)
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一、教案头授课内容： §3.1 函数 授课班级 授课时间2课时授课地点：教 室 教学 目标能力（技能）目标 知 识 目 标素质（情感）目标在初中所学基础上，进一步理解函数的概念。
掌握函数的三要素及函数表示法。
教学重点与难点理解函数的概念。
教学方法 讲练结合 能力训练任务 教学参考资料二、教学设计复习引入：1、初中学过那些函数？2、函数的概念。
讲授新课：一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f : A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记做)(x f y =,A x ∈，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合｛)(x f ｜A x ∈｝叫做函数的值域。
议一议：P 58（1）y =1（R x ∈）是函数吗？ （2）y =x 与xx y 2=是同一函数吗？例1 求下列函数的定义域： （1）()31+=x x f （2）()x x f -=2 （3）()1-=x xx f 解：（1） ∵ x +3≠0 ∴ x ≠-3∴ 函数()31+=x x f 的定义域是｛x ｜x ≠-3｝ （2） ∵ 2-x 0 ∴ x ≤2∴ 函数()x x f -=2的定义域是｛x ｜x ≤2｝（3） ∵ ⎩⎨⎧≠≥10x x ∴ x ≥0且x ≠1∴ 函数()1-=x xx f 的定义域是｛x ｜x ≥0且x ≠1｝ 练一练：P 58 （1）()91-=x x f （2）()9-=x x f （3）()91-=x x f （4）()4141-++=x x x f （5）()x x x f -++=44 （6）()3252--+=x x x x f 例2 求函数()122-+=x x x f ，在x = -1，0，2时的值。
解：31)1(-=-f ； 2)0(-=f ； 3)1(=f ； 27576)2(+=f 例3 已知函数)(x f = 4x +1，}4,3,2,1,0{∈x ，求这个函数的值域。
解：∵1)0(=f 5)1(=f 9)2(=f 13)3(=f 17)4(=f ∴ 函数)(x f = 4x +1的值域是｛1，5，9，13，17｝ 练习：P 591、下列每组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ （1）2)(x x f =与||)(x x g = （2）1)(=x f 与x x x g ||)(=（3）x x f =)(与2)()(x x g = （4）1)(=x f 与xx x g =)( 2、求下列函数的定义域： （1）341)(-=x x f （2）34)(-=x x f （3）341)(-=x x f （4）34)(-=x xx f （5）211)(+-++=x x x f 3、已知432)(2--=x x x f ，请填下表：x-2 -1 0 21 a-a )(x f4、已知221)(x x f -=，∈x ｛0，1，3，5｝，求这个函数的值域。
小结：本节主要讲了函数的概念及其有关运算。
作业：P 67 1 2 4 六、教学后记：一、教案头授课内容： §3.2 函数的表示法 授课班级 授课时间2课时授课地点：教 室 教学 目标能力（技能）目标 知 识 目 标素质（情感）目标了解函数不同表示法的优缺点。
能熟练掌握函数的三种不同表示。
教学重点与难点函数的三种不同表示的相互间转化。
准确画出函数的图像教学方法 讲练结合 能力训练任务 教学参考资料二、教学设计复习引入：1、求函数()x x x f ++-=112、已知()tt t f 21-=，求)2(f ，)21(f ，)2(f3、已知1)(2-+-=x x x g ，∈x ｛1，2，3｝，求这个函数的值域。
讲授新课：函数的表示法，通常有三种：解析法、列表法、图像法。
1、解析法：把两个变量之间的函数关系用等式来表示，这种表示函数的方法叫做解析法。
例如，)0()(≠+=a b ax x f ； )0()(≠=k xkx f ； )0()(2≠++=a c bx ax x f ； 例1 一商店有某品牌29英寸彩电100台，每台售价2200元，求售出这种彩电的台数与收款总数的函数关系式。
解：设售出的某品牌29英寸彩电x 台，收款总数为y 元。
∴ y =2200x （)1000,≤≤∈x N x练一练：P 61一台拖拉机的油箱中储油42公升，使用时每小时消耗公升，试列出油箱中剩油量Q 和使用时间t 之间的函数关系式。
2、列表法：把两个变量之间的对应值列成表格来表示函数关系，这种方法叫做列表法。
3、图像法：把自变量x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图像。
用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做图像法。
例2 某种日记本，每本2元，买n 本日记本的钱数（元）为,2)(n n f = +∈N n ，画出这个函数的图像。
解：例3 作出下列函数的图像，并求它的值域： （1）12+=x y ∈x ｛-1，0，1，2，4｝ （2）1||2)(+=x x f ∈x Z 且｜x ｜≤2 想一想：P 63函数()x x x f -+-=11的图像是什么图形？ 三、练习：P 632、（1）某商店有计算器120台，每台售价50元，求售出台数x 与收款总数y （元）之间的函数关系式。
（2）A ，B 两地相距100千米，某人以每小时5千米的速度步行，从A 地向B 地行走，求行走时间x （小时）和人与B 地的距离y （千米）之间的函数关系式。
（3）长方形面积为60米2，写出它的长x (长不大于10米)与宽y （米）之间的函数关系式。
小结：本节主要讲了函数的三种表示法。
作业：P 63 3三、教学后记：4 6 1 2 3o12 3 5 f （n ）（元）n(本)一、教案头授课内容： §3.3 分段函数 授课班级 授课时间2课时授课地点：教 室 教学 目标能力（技能）目标 知 识 目 标素质（情感）目标使学生掌握分段函数的特征及画法。
教学重点与难点分段函数的画法。
教学方法 讲练结合 能力训练任务 教学参考资料二、教学设计复习引入：函数有几种表示法？ 讲授新课：例1 在国内投寄平信（本埠），每封信不超过20克重付邮资60分，超过20克重而不超过40克重付邮资120分，依此类推，每封x 克重（0<x ≤60）的平信应付邮资（单位：分） 解：12018040o60y （分）20 60x(克)例2 画出函数⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,||x x x x x y 的图像。
练一练：P 65 画出下列函数的图像：例3 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费，每月用电不超过100度时，按每度0.57元计费，每月用电超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计费。
（1）设月用电x 度时，应交电费y 元，当x ≤100和x >100时，分别写出y 关于x 的函数关系式；（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额76元63元45元6角184元6角问小王家第一季度交纳电费多少度? 练习：P 66 1小结：本节主要讲了分段函数图像的画法。
作业：P 68 5 6 三、教学后记：一、教案头授课内容： §3.4 函数的单调性 授课班级授课时间2课时授课地点：教 室 教学目标能力（技能）目标 知 识 目 标素质（情感）目标理解函数单调性概念。
掌握判断函数单调性的方法。
会证明一些简单函数在某个区间上的单调性教学重点与难点函数单调性的概念和判断教学方法 讲练结合 能力训练任务教学参考资料二、教学设计复习引入： 问题1：观察下列函数的图象，指出图象变化的趋势.f x () = 2⋅x+1oxy(1) (2) (3)(4)观察：1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？图（1）1、从左至右图象上升还是下降____?2、在区间________上，随着x的增大，f(x)的值随着______ ．图（2）1、在区间____ 上，f(x)的值随着x的增大而______．2、在区间_____ 上，f(x)的值随着x的增大而_____．问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思么？讨论得到：在某一区间内，⇔图象在该区间内呈逐渐上升趋势；⇔图象在该区间内呈逐渐下降趋势，函数的这种性质称为函数的单调性.讲授新课：函数单调性定义1．增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．2．减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.例1如图是函数)y 的图像，定义域是[- 4, 5]，试根据图像找出函数的单(xf调区间及在每个单调区间上函数的增减性。
例2 证明：函数12)(+=x x f 在),(+∞-∞上是增函数。
解：设x 1、x 2∈),(+∞-∞，且x 1<x 2，那么12)(11+=x x f 12)(22+=x x f )(1x f -)(2x f =（121+x ）-)12(2+x =2（x 1-x 2） ∵ x 1<x 2，∴ x 1-x 2< 0 即 )(1x f <)(2x f∴ 函数12)(+=x x f 在),(+∞-∞上是增函数。
例3 证明函数2)(x x f -=（1）在区间)0,(-∞上是增函数。
（2）在区间),0[+∞是减函数。
解：略 练一练：P 71画出下列函数的图像，根据图像说出它们的单调区间； （1）2x y = （2）x x y 22+-= 练习：P 71 1 2 3 小结：本节主要讲了利用图像和函数单调性的定义来证明函数的单调性的方法。
作业：P 74 1 2三、教学后记：x一、教案头 授课内容： §3.5 函数的奇偶性授课班级授课时间 2课时 授课地点：教 室教学 目标 能力（技能）目标 知 识 目 标 素质（情感）目标 了解函数奇偶性的定义，会判断或证明一些函数的奇偶性； 学会运用函数图像理解和研究函数奇偶性，培养学生判断、推理的能力;培养学生观察、归纳、抽象概括的能力，领会数形结合的数学思想。