计算流体力学第5章 跨声速小扰动势流混合差分方法
计算流体力学有限差分法
计算流体力学有限差分法流体力学有限差分法(Finite Difference Method，FDM)是一种常用的计算流体力学的方法。
它是基于流体力学基本方程对系统求解压力、速度和位置变化的一种近似数值方法，这些方程可以使用有限差分法求解得到准确结果。
一、流体力学有限差分法的概念1、端点条件：端点条件是差分方程组确定变量的边界条件，主要有边界条件和内部条件。
2、场变量定义：流动的物质可以用速度、压力和密度来描述，这种变量称为场变量。
3、有限差分法：有限差分法试图使描述精度在最小情况下得到一个可以接受的结果。
它将待求解区域划分为若干个小块，并且计算每一个小块上的变量。
4、边界条件：边界条件是用来描述物理事件发生的时候的物理量，如压力、流动量等。
二、流体力学有限差分法的基本步骤1、数学模型：开发有限差分方程，用来描述流体力学问题，这种模型可以由流体力学的基本方程得到。
2、网格划分：将区域网格划分成更小的网格，为了更准确的解决流体力学问题。
3、空间离散：将每一个网格按照有限差分公式空间离散，获得离散的压力方程式。
4、时间离散：在解决大规模动态流体力学问题时，通过一个更小的时间步骤进行求解。
5、求解：用适当的方法和算法求解有限差分方程式，获得求解结果。
三、流体力学有限差分法的优势1、高精度：使用此法，可以获得较高数值精度，从而准确描述流体力学过程。
2、计算效率：该方法可以快速找出有效的解决方案，并且计算效率更高。
3、计算能力：此方法可以处理复杂的物理问题，而且没有太多的硬件限制。
4、收敛性：当求解复杂的物理问题时，有限差分法不太容易出现"收敛"的情况。
5、可靠性：此方法可以快速、准确的求解出可靠的结果，相对于其他求解方法，其精度更高。
四、总结流体力学有限差分法是一种常用的计算流体力学的方法。
它易于实施，并且可以获得较高数值精度，从而准确描述流体力学过程。
处理复杂的物理问题时，它可以提供较快、较准确的结果，更能可靠性和可靠性更好。
【计算流体力学】第5讲-差分方法3
通量差分分Байду номын сангаас （FDS）： 耗散低、分辨率高
Step 1: 运用差分格式，计算
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
Step 2: 运用Riemann解， 计算
F j 1/ 2
F
(U
L j 1/
2
,U
) R
j 1/ 2
Step 3: F Fj1/2 Fj1/2
x
x
U ,U L j 1/ 2
R j 1/ 2
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
13
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
u j u j1 u j1 u j
二阶精度区
TVD区
二阶精度TVD区（二 者交集）
1
通量分裂技术： 模型方程 NS/ Euler 方程
Step 1 针对模型方程构造差分格式
u a u 0 t x
u uˆ j1/2 uˆ j1/2
x
x
a0
uˆ j1/2 =......
格式1
a0
uˆ j1/2 =......
6
➢ Steger-Warming 具体步骤 （以一维为例）
u a u 0
t x
计算流体力学讲义_2008
计算流体力学目录第一章引论1.1计算流体力学及其特征1.2计算流体力学发展的历史1.3计算流体力学研究内容1.4第二章流体力学方程与模型方程2.1 流体力学基本方程2.2 模型方程及其数学性质2.3 双曲型方程初边值问题第三章有限差分数值解法3.1有限差分方法3.2差分方程3.3差分解法的理论基础3.4 差分修正方程分析3.5小扰动稳定性分析方法3.6高精度格式以及精度分析第四章有限体积等方法4.1 有限体积法4.2 其他方法介绍第五章代数方程组求解5.1高斯消去法5.2追赶法5.3迭代法5.4 其他常用方法第六章可压缩流体力学方程组差分解法6.1一维方程以及Jocobin系数矩阵6.2一维Euler方程的离散6.3其他离散方法6.4多维问题差分解法6.5粘性项的差分解法第七章可压缩流体力学方程组的差分解法7.1控制方程性质分析7.2人工压缩方法7.3非定常原始变量法求解7.4涡量—流函数法第八章渗流力学方程组求解8.1 渗流力学方程组以及方程性质8.2 单相渗流力学方程求解8.3 多相渗流力学方程组求解第九章网格生成技术9.1网格理论9.2结构网格9.3非结构网格以及混合网格第十章计算流体力学在石油工程中应用10.1计算流体力学软件介绍10.2计算流体力学软件学习10.3计算流体力学软件使用实例第一章引论（3学时）1.1 计算流体力学及其特征1.1.1 定义利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的数学方程，揭示流体运动的物理规律，研究定常流体运动的空间物理特征和非定常流体运动的时-空物理特征1.1.2 特点：1. 扩大了研究范围，原则上可以求解如何流体力学控制方程所能描述的流体力学问题2. 可以给出比较完整的定量结果3. 数值解是离散近似解放，与精确解有误差4. 对复杂问题需要与理论分析和实验研究相结合1.1.3 先导课1. 流体力学以及高等流体力学：解决流体力学基本方程建立的问题2. 数学物理方程：解决流体力学方程的数学性质分析3. 线性代数：解决流体力学方程组的矩阵运算问题4. 计算方法或数值分析：代数方程组的求解方法计算流体力学主要解决偏微分方程组向代数方程组离散方法问题1.2 计算流体力学发展历史计算流体力学的发展：促进了流体力学问题新规律、新机理的研究，也促进了相关偏微分方程组相关理论的发展。
中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第5讲-差分方法3
（1）
2
保证“系数非负”
1 un j
a u
k k
n j k
ak 0
且
Cn 0, j 1
Dn 0, j 1
2
Cn Dn 1 j 1 j 1
则格式（1）是TVD格式
1 n n n n n n un un j j C j 1 (u j 1 u j ) D j 1 (u j u j 1 )
t
a
n un j 1 u j 1
2x
a 2 t n n (u j 1 2u n j u j 1 ) 2 2x
1 n n n n n n un un j j C j 1 (u j 1 u j ) D j 1 (u j u j 1 )
2 2
6
Copyright by Li Xinliang
2） 重要概念： 网格 Reynolds数 以网格尺度度量的Reynolds数
Re x Rex
j+1
含义： 数值振荡—— 流动尺度为网格尺度 网格 Reynolds数小，该尺度的能量 被耗散掉—— 不发生振荡
网格足够小：不会发生振荡； 网格小于激波的实际厚度，则不会振荡
有效网格点数： 一个波长里 面的网格点数 （PPW: Point per Wavelength)
PPW
x
2 2 k x
GVC2 格式
u j 1 / 2 (3u j u j 1 ) / 2 (u j u j 1 ) / 2 when u j u j 1 u j 1 u j when u j u j 1 u j 1 u j
(b1x) 2 I
【计算流体力学】第5讲-差分方法3
ui1, ui1,
ui ui
, ,
ui1 ui1
, ,
...) ...)
if if
a0 a0
f
j 1/ 2
=f
j1（ /2 ...,f
,
j 1
f
j
,
f
j1,...)
具体步骤 （逐点分裂）：
通量分裂
fj
j=1,2,3……N
f
j
,
f
j
差分格式
f ,f
j +1/2 j +1/2
f +
=
f
j 1/ 2
利用了性质 f(U) A U (AU)
x
x x
一般情况下：
变系数，A 不能与导数交换
f AU A U
x x
x
f B U
x
x
B A
分裂后 A 失去了A的性质（可以 像常数一样与求导交换）
实质： 没有做到解耦；
只是把原变量重新组合，组合后波的传播方向的保证 f+ 向正 向传播，f-向负向传播
f
j 1/
2
x
x
f f + f =+
x x x
13
3. 特征重构方法
常系数方程组：
U t
A U x
0
U t
S1ΛS U x
0
V t
Λ V x
0
vk t
k
vk x
0
变系数情况—— 局部冻结系数
完全 解耦
U f(U) 0 U A U 0
t x
t x
在基架点上系数 A j 不变
U t
f 0
流体流动模拟的数值计算方法计算流体力学和离散元素法
流体流动模拟的数值计算方法计算流体力学和离散元素法流体流动模拟是指利用数值计算方法来研究流体力学和离散元素法的一种技术。
在科学研究和工程应用中，流体流动模拟能够提供对流体流动过程的深入理解和有效预测。
本文将介绍流体流动模拟的数值计算方法以及其在流体力学和离散元素法中的应用。
一、数值计算方法在流体流动模拟中的作用数值计算方法是流体流动模拟的核心技术之一，它通过离散化流体力学方程和物理边界条件，将流体流动问题转化为离散的代数方程组。
常见的数值计算方法包括有限差分法、有限体积法和有限元法等。
有限差分法是最早应用于流体流动模拟的数值计算方法之一，它将流体流动领域划分为离散的网格点，并通过近似差分公式来计算网格点上的物理量。
有限差分法具有简单易实现和较高计算精度等优点，但对网格的剖分和边界条件的处理比较复杂。
有限体积法是一种以控制体积为基础的数值计算方法，它将流体流动领域划分为离散的控制体积，并通过对控制体积内流体的平均物理量进行计算。
有限体积法在处理复杂流动问题时具有较好的数值稳定性和精度，尤其适用于非结构网格的模拟。
有限元法是一种广泛应用于力学问题求解的数值计算方法，它将流体流动领域划分为离散的有限元单元，并通过构造合适的基函数来描述流体的物理行为。
有限元法在处理复杂流动问题时具有较好的网格适应性和数值精度，但相对于有限差分法和有限体积法而言，计算量较大。
二、流体力学中的数值计算方法流体力学是研究流体运动规律和流体力学性质的学科，其中数值计算方法在流体力学的模拟和分析中起到重要的作用。
在流体力学中，数值计算方法可以用于求解流体流动的速度场、压力场和温度场等物理量。
通过数值模拟，可以得到流体流动的速度分布、压力分布和温度分布等信息，进而分析和预测流动过程中的各种现象和特性。
数值计算方法在流体力学中的应用包括但不限于气体动力学、湍流模拟、多相流动和辐射传热等领域。
在气体动力学中，数值计算方法可用于模拟飞行器的气动特性和空气动力学效应；在湍流模拟中，数值计算方法可用于研究流体流动中的湍流结构和湍流能量传递；在多相流动中，数值计算方法可用于分析气液、气固和液固两相流动的相互作用和界面行为；在辐射传热中，数值计算方法可用于模拟能量的传输和转化过程。
流体力学中的计算流体力学方法
流体力学中的计算流体力学方法在流体力学领域，计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）是一种重要的数值模拟方法。
它结合了数学、物理和计算机科学，用于分析和预测气体和液体在流动过程中的行为。
本文将介绍流体力学中常用的计算流体力学方法，包括数值离散化、网格生成和求解算法。
1. 数值离散化数值离散化是计算流体力学的基础，其目的是将连续域中的流动问题转化为离散化的数学模型。
最常用的数值离散化方法包括有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）、有限体积法（Finite Volume Method，简称FVM）和有限元法（Finite Element Method，简称FEM）。
在有限差分法中，流动域被划分为离散的网格单元，运用差分近似替代微分操作，对控制方程进行离散化求解。
有限体积法则将流动域划分为有限体积，对控制方程进行积分求解。
而有限元法则将流动域划分为有限元，通过建立形函数和权函数的关系对控制方程进行近似求解。
2. 网格生成网格生成是计算流体力学中至关重要的一步，它决定了数值模拟的精度和计算效率。
网格生成的目标是将流动域离散成适合数值计算的网格单元。
常见的网格类型包括结构化网格和非结构化网格。
在结构化网格中，每个网格单元的几何形状和大小都相同，可以使用简单的坐标表示。
结构化网格具有计算精度高、数值稳定性好的优点，适用于简单流动情况。
非结构化网格则具有处理复杂几何形状的能力，适用于复杂流动情况。
3. 求解算法求解算法用于计算流体力学中的控制方程，其中包括连续方程和动量方程。
常用的求解算法包括显式方法和隐式方法，以及基于时间步进的迭代求解方法。
在显式方法中，时间步长通过稳定性条件限制，将未知量的时间导数用已知量的空间导数逼近。
隐式方法则以更大的时间步长进行迭代，通过求解非线性代数方程组来得到近似解。
基于时间步进的迭代求解方法则将隐式方法与迭代求解方法相结合，提高了求解的效率和稳定性。
计算流体力学常用数值方法简介[1]
![计算流体力学常用数值方法简介[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/310938f7fab069dc50220171.png)
计算流体力学常用数值方法简介李志印 熊小辉 吴家鸣(华南理工大学交通学院)关键词 计算流体力学 数值计算一 前 言任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的,这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。
利用数值方法通过计算机求解描述流体运动的控制方程,揭示流体运动的物理规律,研究流体运动的时一空物理特征,这样的学科称为计算流体力学。
计算流体力学是一门由多领域交叉而形成的一门应用基础学科,它涉及流体力学理论、计算机技术、偏微分方程的数学理论、数值方法等学科。
一般认为计算流体力学是从20世纪60年代中后期逐步发展起来的,大致经历了四个发展阶段:无粘性线性、无粘性非线性、雷诺平均的N-S方程以及完全的N-S方程。
随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展,利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高,现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。
经过40年来的发展,计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段,在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题,其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。
现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形,确定其气动载荷,从而有效地提高了设计效率,减少了风洞试验次数,大大地降低了设计成本。
此外,计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域,显示了计算流体力学强大的生命力。
随着计算机技术的发展和所需要解决的工程问题的复杂性的增加,计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线,包括计算机技术、计算方法、网格技术和可视化后处理技术等多种技术的综合体。
目前计算流体力学主要向二个方向发展:一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理,开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究;另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动,解决工业生产中的各种问题。
高等计算流体力学讲义(5)
高等计算流体力学讲义（5）§7. TVD 格式一、背景1.求解线性波动方程0t x u au a const +==的经典差分格式 （1）一阶迎风格式（First order ）11100n nj j n nj j nnj j u u a u u a u u a λ++-⎧-<⎪=-⋅⎨->⎪⎩， 其中txλ∆=∆。
上式也可以写为： 11/21/21/2111/211()()()22()()22n n n n j j j j n nn n nj j j j j n n n n n j j j j j u u f f a a f u u u u a a f u u u u λ++-+++---=--=+--=+--（2）Lax －Friedrichs 格式 （First order ）()111111202n nn n n jj j j j u u u u u a t x +-++--+-+=∆∆或11/21/21/2111/211()1()()22()()22n n n nj j j j n n n nn j j j j j n n n n n j j j j j u u f f a f u u u u a f u u u u λλλ++-+++---=--=+--=+-- （3）Lax －Wendroff 格式 （second order ）()()1211112222n n n n j j j jn n n j j j uu u u a t au u u txx++-+---∆+=-+∆∆∆。
或11/21/221/21121/211()()()22()()22n n n n j j j j n n nn n j j j j j n n nn n j j j j j u u f f a a fu u u u a a f u u u u λλλ++-+++---=--=+--=+--（4）Warming －Beam 格式 （Second order ）()()()()12122121212212342022342022n n nn n jj j j jn n n j j j n n n n n j j j j jn n nj j j uu u u u a t au u u a txxu u u u u a t au u u a txx+----+++++-+-∆+=-+>∆∆∆-+--∆+=-+<∆∆∆2．二阶以上的差分或有限体积格式在间断附近的解可能会出现振荡。
中科院计算流体力学最新讲义CFD2020第5讲差分方法3
•特点： 沿特征线
， u不变
•特征线未相交— —总变差不变
•特征线相交—— 总变差减小
•结论： 单个双曲型方程，总变差不增 •（Total Variation Diminishing： TVD）
•j= 1
•j=N 单调函数
•振荡函数
by Li Xinliang
•2 概念： 单调格式、保单调格式与TVD格式 •j=
•二阶迎风
•二阶中心
by Li Xinliang
•新格式 ：
•根据Harten定理，可知 •时，可满足TVD性质
•(2) 精度条件
•显然
格式为2 阶中心
•可验证： 格式为2阶迎风
•二者组合仍为二阶
•二阶精度区
•TVD区
•二阶精度TVD区（ 二者交集）
by Li Xinliang
•限制器（limiter)
•2阶中心 的修正量
•2阶迎风 的修正量
•精度高，但有些情况下预 测结果“不靠谱”
•作为“标杆”检 验高阶修正量是 否可用
•趋势相反时，不可用； •相差超过2倍时，不可用
by Li Xinliang
•2 以 L-W格式为基础改造的格式
•历史上，TVD格式是在Roe、L-W、B-M （或其组合）基础上改进 •80年代初、这些格式是主流
•很难计算对粘性敏感的问题
解
•改进措施：
•
A: 局部施加人工粘性
•
B: 高阶人工粘性
•分离流—— 对粘性敏感
•Von Neumann
•MacCormack
•转捩——对粘性敏
by Li Xinliang
•4) 数值振荡的定量描述—— 总变差
计算流体力学讲义
0.
前言
目前在航空、航天、汽车等工业领域，利用 CFD 进行 的反复设计、分析、优化已成为标准的必经步骤和手 段。 当前 CFD 问题的规模为：机理研究方面如湍流直接模
拟，网格数达到了109（十亿）量级，在工业应用方面， 网格数最多达到了107（千万）量级。
1.计算流体力学的发展及应用
一、计算流体力学的发展
o 研究计算方法，包括并行算法和各种新型算法；
o 研究涡运动和湍流，包括可压和不可压湍流的直接数值模拟、
大涡模拟和湍流机理；
o 研究网格生成技术及计算机优化设计； o 研究CFD用于解决实际流动问题，包括计算生物动的数值模拟等。
1.计算流体力学的发展及应用
0.
前言
自上世纪六十年代以来 CFD技术得到飞速发展，其原动力是不断 增长的工业需求，而航空航天工业自始至终是最强大的推动力。 传统飞行器设计方法试验昂贵、费时，所获信息有限，迫使人们 需要用先进的计算机仿真手段指导设计，大量减少原型机试验， 缩短研发周期，节约研究经费。四十年来， CFD在湍流模型、网 格技术、数值算法、可视化、并行计算等方面取得飞速发展，并 给工业界带来了革命性的变化。如在汽车工业中，CFD和其它计 算机辅助工程（CAE）工具一起，使原来新车研发需要上百辆样 车减少为目前的十几辆车；国外飞机厂商用 CFD取代大量实物试 验，如美国战斗机 YF-23采用CFD进行气动设计后比前一代 YF-17 减少了60％的风洞试验量。
计算流体力学应用研究中的关键问题包括：对应用于各种具体情 况的数学模型、对复杂外形的描述以及对计算网格的划分做进一 步研究；探索更有效的算法来提高计算精度，并降低计算费用； 进一步开展计算流体力学在各方面的应用等。
2. 计算流体力学常用数值方法简介
流体力学实验装置的流体流动传分子分析方法
流体力学实验装置的流体流动传分子分析方法流体力学实验是对流体在不同条件下的流动行为进行研究和测试的科学实验。
在进行流体力学实验时，我们常常需要对流体的流动传递进行分子级别的分析，以便更深入地了解流体的运动规律和特性。
本文将介绍一些常用的流体流动传分子分析方法，帮助读者更好地理解流体力学实验装置中的流体流动过程。
1. 拉格朗日法在流体力学实验中，拉格朗日法是一种常用的分子级别分析方法。
拉格朗日法将流体中的每个微小粒子视为一个独立的物体，通过跟踪每个粒子的运动轨迹，可以精确地描述流体的运动状态。
在实验装置中，通过使用激光等技术对流体中的微小颗粒进行追踪，可以实现对流体流动的细致观测和分析。
2. 欧拉法除了拉格朗日法外，欧拉法也是流体力学实验中常用的分析方法之一。
欧拉法将流体视为一个连续的介质，通过数学模型描述流体在空间中的运动规律。
在实验装置中，通过将流体流动过程建模为连续性方程和动量方程等数学表达式，可以对流体的流动行为进行定量分析和计算。
3. 动力学模拟在流体力学实验中，动力学模拟是一种基于计算机仿真的分子级别分析方法。
通过将流体流动过程建立在数值模拟平台上，可以模拟出流体在不同条件下的流动行为，并对流体的力学特性进行深入分析。
动力学模拟在实验装置中的应用越来越广泛，为流体力学研究提供了新的思路和方法。
4. 压力梯度测量在流体力学实验中，通过测量流体中的压力梯度可以进行流体流动传分子分析。
压力梯度是流体在空间中压力变化的梯度，通过对不同位置压力值的测量和比较，可以揭示流体在流动过程中的压力分布规律和流速变化情况。
压力梯度测量是流体力学实验中的重要技术手段，可以为流体流动特性的分子级别分析提供可靠的数据支持。
5. 流体速度场分析除了压力梯度测量外，流体速度场分析也是流体力学实验中常用的分子级别分析方法之一。
通过使用流速传感器等设备对流体中的速度场进行实时监测和记录，可以获取流体在不同位置和时刻的流速数据，并进一步分析流体的运动规律和速度分布情况。
计算流体力学第5章 跨声速小扰动势流混合差分方法
3 2 V F F ( t ) 与其等价的微分方程为 0 2 t x xt 6
稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。
dx u, u a dt
V其稳定性条件
x Max { u , u a , u a } u a t
即
t 1 x u a
第五章 时间推进法
内容
守恒形式欧拉方程 非定常欧拉方程的特征线 非定常欧拉方程显式差分 多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法 无粘流计算的人工粘性 加速收敛的方法及算例
重点
多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法
5-1 守恒形式的非定常欧拉方程
F是复合函数
F F U x U x
U 1 U U 2 U 3
F1 U 1 F F2 A U U1 F3 U1 F1 U 2 F2 U 2 F3 U 2 F1 U 3 F2 U 3 F3 U 3
一、引言
激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方
法。 不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。
非定常二维可压缩欧拉方程
( u ) ( v) 0 t x y u u u p u v 0 t x y x v v v p u v 0 t x y y p p p u v a2 ( u v ) 0 t x y t x y
其中，U,F,G,H是列向量
u U v w E
u uv 2 G u p vw ( E p )v
u u2 F uv uw ( E p )u
计算流体力学new
§ 3-2多维稳态扩散
例3.3 二维受热平板。板厚1cm，导热系数k=1000w/(mk),西侧边界有 稳定热流输入，热流强度q=500kw/m2.东侧和南侧边界绝热，北侧 边界保持常温，TN=100º C. 求板内温度分布。
T T k k 0 x x y y
e
3.边界节点1离散 e d dT e T2 T1 T1 TA ( ) w qx 0 dx qdx ( )e w dx w (x)e (x / 2) w dx 2 a1T1 a2T2 a0T0 TA qx x
3.1
3.边界节点5离散
a5T5 a4T4 a6T6
2 TB qx x
最后整理得到：
求得：
T1 150 T2 218 T 254 3 T4 258 T5 230
整理得：
2000 T1 1000 T5 1000 T2 50000 同样方法离散节点3、4、5、8、9、10、11、12
最后整理得到：
T1 500 T 2 500 .. .. .. .. T3 .. .. .. .. .. T .. 4 T5 0 0 .. T 2000 12
T1 140 T2 220 T 300 3 T4 380 T5 460
解得：
3.1
例3.2 厚L=2cm无限大平板，左端TA=100º C ,右端TB=200º C ,导热系 数λ=1000w/(mK),内热源q=1000KW/m2,求稳态下棒温度分布. 解:
跨音速s形进气道内外流场的混合差分计算
跨音速s形进气道内外流场的混合差分计
算
跨音速S形进气道是一种常见的航空发动机进气道形式，其内外流场的混合问题一直是研究的热点之一。
为了解决这一问题，混合差分计算方法被广泛应用于跨音速S形进气道的内外流场计算中。
混合差分计算方法是一种数值计算方法，它通过将计算区域划分为若干个小区域，然后在每个小区域内进行差分计算，最终得到整个计算区域的流场分布。
在跨音速S形进气道内外流场的混合问题中，混合差分计算方法可以有效地模拟气流在进气道内外的混合过程，从而得到准确的流场分布。
在混合差分计算方法中，需要考虑的因素包括进气道的几何形状、气流的速度、温度、压力等参数，以及气流在进气道内外的混合过程。
为了准确地模拟这些因素，需要采用高精度的数值计算方法，并对计算结果进行验证和修正。
通过混合差分计算方法，可以得到跨音速S形进气道内外流场的各种参数分布，如速度、压力、温度等。
这些参数对于航空发动机的设计和优化具有重要意义，可以帮助工程师们更好地理解气流在进气道内外的混合过程，从而提高发动机的性能和效率。
跨音速S形进气道内外流场的混合问题是一个复杂而重要的问题，混合差分计算方法是解决这一问题的有效手段。
未来，随着计算机
技术的不断发展和数值计算方法的不断改进，我们相信混合差分计算方法将会在航空发动机设计和优化中发挥越来越重要的作用。
计算流体力学
计算流体力学1、数值的耗散与频散：在数值解中出现的振幅衰减波长加宽的现象叫数值耗散，与高阶偶次空间偏导数有关；在数值解中出现解得主波后有一系列频及传播速度不等的尾波的现象叫数值频散，与高阶奇次偏导数有关。
2、湍流模型理论：湍流模式理论或简称湍流模型，就是以雷诺平均运动方程与脉动运动方程为基础，依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，而建立起得一组描写湍流平均量的封闭方程组。
3、修正的偏微分方程：与差分方程相等价的微分方程称之为修正的微分方程。
4、自适应网格:为了计算具有高雷诺数的流场，必须将流场内的网格加密，但是实际计算中并不需要对全流场的网格所有部分同样加密，只需在某些部分，如物面附近、尾流区等得网格加密即可。
因此需要事先估计一些变化较快的区域，但这种估计又是是正确的。
有时则不正确。
特别是不定常流动，流动过程本身就是变化的，所以需要不断的调整网格的位置和疏密，这样就产生了自适应网格。
5、CFL 条件：定义tC xμ=? ，不等式1C ≤ 称为CFL 条件，此条件一般应用于双曲线偏微分方程的显式格式。
物理意义：即在时间步长内，波的位移应小于空间步长。
数学意义：差分方程解的依赖区域包含微分方程解得依赖区域。
1、简答CFD 方法求解流动问题的基本步骤答：①确定流动模型；②计算区域离散化；③用离散节点变量代替场；④将控制方程中偏导数进行离散，得到线性方程组；⑤边界条件和初值条件离散化；⑥离散的线性方程组求解，得到离散值；⑦计算结果数据处理。
2、简述离散偏微分方程的三个原则及LAX 定理三原则；相容性、稳定性、收敛性。
LAX 定理：对于一个选定的线性偏微分方程的初值问题，对应的差分方法是相容的，则差分方程解得收敛性和稳定性事等价的或者说稳定性是收敛性的充要条件。
3、简述差分格构造的基本规律，并应用规律方程0t xμμλ??+=?? 利用网格点（）（）（）构造方程的差分格式，并验证其离散格式的精度等级。
弹性力学-05(差分法与变分法)
（5-10）
—— 应力函数差分方程 x 12 4 0 5 1 9 A 13
弹性体边界外一行的节点，称为虚结点。 如：节点13、14等。
（c ）
y
h
将其代入式（b），有：
2 2 f h f f 3 f 0 h x 2 x 2 0
0 2 2 f h f f1 f 0 h 2 x 0 2 x 0
任一点 0 处应力分量的差分格式：
2 1 x 0 y 2 h 2 ( 2 4 ) 2 0 0 2 1 y 0 2 2 (1 3 ) 2 0 x 0 h
x 12 8 11 3 7 4 0 2 10 y h 5 1 6 9
在弹性体内每一点均可建立上述方程，即：
0 x 4 2 x 2y 2 y 4 0 0 0 0
4
4
y h
优点： 收敛性好、程序设计简单、 非线性适应好。 代表性软件：FLAC
f f f 1 3 2h x 0
y h
x h
3 0 1
缺点：当边界几何形状复杂时，解的精度受到限制。 （2）等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的 积分方程 假设未知函数 整个区域内
定值条件 精确解 （均质、边界条件简单）
近似解 （1）有限差分法 （数值解） （2）等效积分法（包括变分法） （3）有限单元法 （4）边界单元法 …… f1 f 3 （1）有限差分法（FDM） f 代替 2h x 0 要点：差分 微分； x h 3 0 1
弹性力学第五章差分法
应力函数的差分解（12）
将应力函数在B点周围泰勒展开：
将0，1以及9点的坐标代入上式：
0
1 B9
第18页，本讲稿共22页
差分法实例（1） q
问题：正方形的深梁，上边受有均布 向下的铅直载荷q，由下角点处的反力 维持平衡，试求应力分量。
18 17 16 J KL M 22 I 3 2 1 23 H 6 5 4
差分法实例（2） q
3）对边界内各结点可列15个差分方程 18 17 16
如。对结点1：
J KL M 22 I 3 2 1
23 H 6 5 4
24 G 9 8 7
25 F 12 11 10
26 E 15 14 13
4）解方程并计算边界外一行各结点 值。 D C B A 21 20 19
y
5）计算应力。
为基点使
。
2）然后由 式计算面力的矩及面 力之和计算边界上各结点的 值及 y 必需的一些 ， 值。
3）将边界外一行各虚结点的 值用 边界内相应的结点处的 值表示。
4）对边界内各结点建立差分方程 ，求解方程并计算应力分量。
x
12
h
845
11 3 0 1 9 A 13
726
10
h
B
14
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x
12
h
845
11 3 0 1 9 A 13
726
10
h
B
y
14
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差分公式的推导（3）
x
12
h
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11 3 0 1 9 A 13
726
10
h
B
y
14
跨音速小扰动方程的多重解
跨音速小扰动方程的多重解施发树;董松野;于守志【期刊名称】《计算物理》【年(卷),期】1992(9)4【摘要】本文利用Engguist-Osher格式离散跨音速小扰动方程(TSD)和边界条件,选择不同初场计标绕NACA0012翼型二维定常位势流场,同时,用Murman-Cole非守恒和守恒两格式计算并进行了比较,着重用数值实验进一步探讨多重解问题,发现并总结出下列几点很有参考价值的规律和现象。
首先,用E-O格式求解跨音速小扰动方程存在多重解。
与M-C非守恒格式相比,它排除了零攻角以外的多重解现象。
仅在很窄的马赫数M。
范围内(0.84～0.86)获得三个解,一个为对称解,另外两个为一正一负的非对称解,这是一个新的发现。
其次,对称性特征量或者叫环流强度Γ>10^(-3)量级时,无法收敛到对称解。
只有取零初场或差不多完全对称的收敛场(Γ介于10^(-3)～10^(-15)之间)作为初场,才能收敛到对称解。
注意松弛因子能影响多重解的收敛。
另外M～C守恒格式的收敛值、收敛速度、稳定性、多重解现象与E-O格式相比稍差或相似,但在音速点附近,C_p值不够连续光滑,其激波最多占据两个网格。
M-C非守恒格式不唯一现象要宽广复杂得多。
一般地,超临界流动时,以零初场和小攻角、低马赫数的收敛解作为大攻角、高马赫数下的初场,收敛到物理解,反之则不然,亚临界流动时,解唯一。
但亦有反常的情况。
M-C非守恒格式捕捉激波位置准确且收敛快速,但在音速点附近,和M-【总页数】1页(P381-381)【关键词】跨音速流动;小扰动理论;解;多重性【作者】施发树;董松野;于守志【作者单位】航空航天部31所【正文语种】中文【中图分类】O354.2【相关文献】1.扰动的时滞微分方程的多重周期解与Hamilton系统 [J], 成荣2.一类含有扰动项的椭圆型方程边值问题多重解存在性研究 [J], 张继超;李成岳3.一类扰动时滞微分方程的多重周期解 [J], 成荣4.一类含有扰动项的Kirchhoff型方程解的多重性 [J], 汤碧云;蓝永艺5.跨音速小扰动方程的多重解 [J], 施发树;董松野;于守志因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
m_∞≤1和≥1的跨音速细长旋转体升力问题的有限差分计算
m_∞≤1和≥1的跨音速细长旋转体升力问题的有限差分计算
有限差分计算是一种有效的计算方法，可以用来解决跨音速细长旋转体升力问题。
近年，有限差分计算受到越来越多的关注，越来越多的研究者将其应用于跨音速细长旋转体升力问题解决中。
有限差分计算应用于跨音速细长旋转体升力问题，首先利用线性网格有限元表示跨音速细长轮式，其次利用航空科学的基本流体力学原理，利用薛定谔-富兹系数预测方法进行空气动力学模型，最后利用拟合方法进行位置和扇叶上各分量的实验数据处理，基于广义贝塔系数实现有限差分计算。
有限差分计算应用于跨音速细长旋转体升力问题之后，得到了各指标随Mach 数m_∞变化趋势，其中，m_∞小于1时，跨音速细长旋转体的最大升力系数达到了其上限，而m_∞大于1时，该旋转体的最大升力系数随m_∞的增大而减小。
因此，有限差分计算可有效解决m_∞小于1或大于1时跨音速细长旋转体的升力问题。
总之，有限差分计算应用于跨音速细长旋转体升力问题，可以解决Mach数
m_∞在1以下和1以上时跨音速细长旋转体升力问题。
其原理在于薛定谔-富兹系数预测方法进行空气动力学模型，以及基于广义贝塔系数实现有限差分计算。
有限差分计算大大提高了跨音速细长旋转体升力问题解决的效率，因此得到了广泛的应用。
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v2 (e )d 2
v v2 令 E (CvT ) (e ) 2 2
绝势流动能量方程为：
Ed EV ndA p(v n )dA t A
三、微分形式的守恒非定常流欧拉方程（3D）
( u ) ( v ) ( w) 0 t x y z 2 ( u ) ( u u ) ( uv ) ( uw) 0 t x y z ( v ) ( uv ) ( v 2 p ) ( vw) 0 t x y z ( w) ( uw) ( vw) ( p w2 ) 0 t x y z E [( E p )u ] [( E p )v ] [( E p ) w] 0 t x y z
积分型的矢量矩阵表达式
Ud W ndA 0 t
五、气体状态方程
引入完全气体状态方程
方程组封闭可解
p (r 1)Cv T RT
例:一维流欧拉方程具体表达式
U F 0 t x
其中，
U u E
3 2 V F F ( t ) 与其等价的微分方程为 0 2 t x xt 6
稳定性条件：差分方程依赖区不小于微分方程依赖区。
dx u, u a dt
V其稳定性条件
x Max { u , u a , u a } u a t
即
t 1 x u a
截断误差
ui( n 1) ui( n )
t ( n ) n) 2 [ui 1 ui( ] O ( t ) 1 2x
x a t
（微分依赖区与差分依赖区重合）
u
( n 1) i
u
(n) i
1 (n) n) （ui 1 ui( 1） 2
精确平移条件：特征线
或引入总焓 h0，则
E p h0
( h0 p ) ( h0 u ) ( h0 v ) ( h0 w)) 0 t x y z
根据连续方程改写为
Dh0 1 p 0 Dt t
四、守恒的欧拉方程组的缩写 通用形式
U F G H 0 t x y z
或
( u a)
t 1 x
CFL ！没有经过严格证明的结论
六、二维流欧拉方程组
方程通用形式
U F G 0 t x y
其中U,F,G同前
两步法格式: ①预估 ( n 1)
ui , j
u
u
(n) i, j
t ( n ) t ( n ) (n) [ Fi , j Fi 1, j ] [Gi , j Gi(,nj )1 ] x y
五、一维流欧拉方程组差分格式
方程通用格式
V F 0 t x
预估式
V、F表达式同前
U
( n 1) i
U
(n) i
t ( n ) V ( n具有一阶精度 ) [ Fi Fi 1 ] x
校正式
U
( n 1) i
1 (n) t ( n 1) ( n 1) n 1) 具有二阶精度 [ui ui ( Fi 1 Fi (V )] 2 x
①校正
( n 1) i, j
1 (n) t ( n ) t ( n1) ( n 1) ( n 1) {ui , j ui , j [ Fi 1, j Fi , j ] [Gi , j 1 Gi(,nj1) ]} 2 x y
以差分算子Lxy表示，则
U
n 1
u 2 F u p ( E p )u
令
u m
则
U m E
m 2 3 r m F (r 1) E 2 3 rm E r 1 m 2 2
显示格式的计算率降低
Efficiency of explicit scheme decrease
用两步时间分裂的差分格式将多维差分方程分解为多个一 维差分格式 Two step time decomposition method is to decompose
一、引言
激波存在时，流场有旋，不存在势函数，不能用速势方
法。 不记粘性时，可以用欧拉方程描述流场。
非定常二维可压缩欧拉方程
( u ) ( v) 0 t x y u u u p u v 0 t x y x v v v p u v 0 t x y y p p p u v a2 ( u v ) 0 t x y t x y
x at const 上u不变
n) ui( n1) ui( u 1 i i 1） 2
特征线
i-1
i
一阶显示差分格式将不稳定，不能用
三、二阶精度的显示格式
利用Taylor级数可构造二阶精度显示差分格式
2 2 a t a ( t ) n) ( n) ( n) ( n) ( n) 3 ui( n1) ui( n) [ui( u ] （ u 2 u ＋ u ） + O ( t ) 1 i 1 i 1 i i 1 2 2x 2(x)
u
( n 1) i
u
(n) i
at ( n ) n) (ui 1 ui( 1) x
1 at ( n 1) ui( n 1) {ui( n ) ui( n 1) (ui 1 ui( n 1) )} 2 x
1 at ( n ) n) ui( n 1) {ui( n ) ui( n ) [ui ui( 1] 2 x
§5-4 多维流的时间分裂法
Time deposition method of Multi-dimension flow
维数增加，稳定性所允许的最大时间步长减小。
Number of dimensions increase leads the stability time step decrease
F是复合函数
F F U x U x
U 1 U U 2 U 3
F1 U 1 F F2 A U U1 F3 U1 F1 U 2 F2 U 2 F3 U 2 F1 U 3 F2 U 3 F3 U 3
方程的性质 方程是双曲型（对时间） 跨音速区包含激波 时间推进分法可以克服跨音速计算困难 基本思路：把定常问题化为非定常问题的渐进解（稳态） 全场统一用一种数值方法 可以使用有限体积方法
二、积分形式的守恒型非定常方程组
只有写成守恒形式的方程才能代表物理守恒律和间断面上的
第五章 时间推进法
内容
守恒形式欧拉方程 非定常欧拉方程的特征线 非定常欧拉方程显式差分 多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法 无粘流计算的人工粘性 加速收敛的方法及算例
重点
多维流的时间分裂法 非定常欧拉方程有限体积法
5-1 守恒形式的非定常欧拉方程
F1 F F 2 F3
令
0 1 0 (3 r ) m 2 m (3 r ) ( r 1) 2 rmE m2 E 3 m2 rm ( r 1) 3 ( r 1) 2 2
w wu H wv 2 w p ( E p ) w
可写成是向量矩阵形式
W ix F i y G iz H
则
U W 0 t
v uV pi W vV p j wV pk ( E p )v
5-3 非定长欧拉方程的显式格式
一、简单线性波动方程
ut aux 0
其解析解存在
x=at+c t
x
t
u f ( x, at )
沿特征线上
x at const
二、一阶精度显示差分
0
x
n) ( n) ui( n 1) ui( n) ui( u i 1 a 1 0 t 2x
差分方程稳定性：（差分方程依赖区不小于微分方程依赖区）
t ( )a x
CFL( Courant-Friedrichs-Lowy)数
令
则有
t CFL a x
CFL 1
当CFL=1时，差分方程的依赖区与微分方程依赖区重合， 得到的结果与精确解相同
四、二阶精度显示两步差分
预估： 校正：
即
at ( n ) at ( n ) [ui 1 (ui 1 ui( n ) )] x x
at ( n ) at ( n ) n) [ui (ui ui( 1 )]} x x
具有二阶精度
二步格式的构造
预估： ux 向后差分
x u( n)
ui( n1)
，具有一阶精度
给出中间结果
校正： 用中间结果构造向前差分
xu
得到二阶精度
可以反过来，先向前再向后差分，即
u
( n 1) i
u
(n) i
at ( n ) (ui 1 ui( n ) ) x
ui( n 1)
1 (n) a t ( n 1) n 1) {ui ui( n 1) (ui ui( 1 )} 2 x
物理守恒律。
连续方程：
d A (v n )dA t
动量方程： t 能量方程：
vd pndA (V n )VdA