数字逻辑第2章布尔代数基础
逻辑代数基础知识讲解
2. 与普通代数相似的定律
交换律 A·B=B·A
A+B=B+A
结合律 (A·B)·C=A·(B·C) (A+B)+C=A+(B+C)
分配律 A·(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
以上定律可以用真值表证明，也可以用公式证明。例如， 证明加对乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。
事情通过为逻辑“1”， 没通过为逻辑“0”。
第三步：根据题义及上述规定 列出函数的真值表如表。
2007、3、7
一般地说，若输入逻辑变量A、B、 C…的取值确定以后，输出逻辑变量L的 值也唯一地确定了，就称L是A、B、C的
逻辑函数，写作：
L=f（A，B，C…）
逻辑函数与普通代数中的函数相比较，有两个 突出的特点： （1）逻辑变量和逻辑函数只能取两个值0和1。 （2）函数和变量之间的关系是由“与”、 “或”、“非”三种基本运算决定的。
“⊙”的对偶符号，反之亦然。由以上分析可以看出， 两 变量的异或函数和同或函数既互补又对偶，这是一对特殊 函数。
2007、3、7
2.3 逻辑代数的基本定律和规则
2.3.1 基本定律
1. 逻辑变量的取值只有0和1，根据三种基本运算的定 义，可推得以下关系式。 0-1律： A·0 =0 A+1 =1 自等律：A·1=A A+0=A 重叠律：A·A=A A+A=A 互补律：A·A=0 A+A=1
反演规则是反演律的推广，运用它可以简便地求出一个
函数若的F反函A数B 。 C例 D如：AC, 则 F [(A B) C D](A C);
数字逻辑基础2
2、吸收法 （１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。 是另 项 是 F1 A B A BCD( E F ) A B 多外 的 另 运用摩根定律 余 一 因 外 如 的个 子 一 果 。乘 ， 个 乘 F2 A B CD ADB A BCD AD B 积则乘积 项这积项 ( A AD) ( B BCD) A B （２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ＋Ｂ，消去多余的变量。 因项 的 F AB C A C D BC D 子 的 反 F AB A C B C 如 AB C C ( A B) D 是 因 是 果 多子 另 一 AB ( A B )C 余， 一 个 AB C ( A B) D 的则 个 乘 AB ABC AB C AB D 。这 乘 积 AB C 个积项 AB C D
A B C D
& ≥1 F
与或非门的逻辑符号
5、同或运算：逻辑表达式为：
F AB AB AB
A B 同或门的逻辑符号
A 0 0 1 1
B F 0 1 1 0 0 0 1 1 真值表
=
F
L=A+B
2.2.3逻辑函数及其表示法
一、逻辑函数的建立： 1、逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连 接起来所构成的式子。 输入逻辑变量：等式右边的字母A、B、C、D 输出逻辑变量：等式左边的字母F 原变量，反变量。 2、逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、… 的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称 F是A、B、C、…的逻辑函数。记为 F f ( A, B, C,) 注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。
数字逻辑布尔代数基础知识
数字逻辑布尔代数基础知识数字逻辑布尔代数是计算机科学和电子工程中的重要基础知识。
它提供了一种分析和设计数字电路的方法，通过逻辑运算实现了信息处理和控制。
本文将简要介绍数字逻辑布尔代数的基本概念和应用。
一、布尔代数的基本概念1. 真值表和逻辑运算符布尔代数使用真值表来表示逻辑运算的结果。
常见的逻辑运算符包括与（AND）、或（OR）、非（NOT）、异或（XOR）等。
它们的真值表分别表示了不同运算的逻辑规则和输出结果。
2. 逻辑门和逻辑电路逻辑门是数字电路中实现逻辑运算的基本构件，常见的逻辑门包括与门（AND）、或门（OR）、非门（NOT）等。
逻辑电路通过将逻辑门连接起来实现复杂的逻辑功能，如加法器、多路选择器等。
3. 布尔函数和逻辑代数布尔函数是布尔代数中的一个重要概念，它描述了逻辑运算的输入和输出之间的关系。
布尔函数可以使用逻辑表达式或真值表来表示，通过代数运算可以对其进行化简和优化。
二、布尔代数的应用1. 组合逻辑电路组合逻辑电路是一种没有存储元件的数字电路，其输出仅由输入决定。
通过使用布尔代数的方法，可以对组合逻辑电路进行分析和设计，实现各类数字电路功能，如加法器、译码器等。
2. 时序逻辑电路时序逻辑电路是一种带有存储元件的数字电路，其输出不仅由输入决定，还与电路内部的状态有关。
时序逻辑电路常用于计数器、寄存器、时钟等电路的设计。
3. 布尔代数在计算机科学中的应用布尔代数是计算机科学中的基础知识，对于计算机程序的编写和逻辑设计有重要的影响。
在计算机算法中，布尔代数的运算常用于判断条件和逻辑控制。
同时，布尔代数也被广泛应用于计算机网络、数据库系统等领域。
总结：数字逻辑布尔代数是计算机科学和电子工程中的重要基础知识，通过逻辑运算实现了信息处理和控制。
它涉及了布尔代数的基本概念，如真值表、逻辑运算符，以及应用领域，如组合逻辑电路、时序逻辑电路和计算机科学。
熟练掌握数字逻辑布尔代数的知识，对于理解和设计数字电路以及计算机系统都具有重要意义。
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
2第二章布尔代数基础
第2章 逻辑函数及其简化
表 2 – 1 与逻辑的真值表 (a) A 假 假 真 真 B 假 真 假 真 F 假 假 假 真 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 (b) F 0 0 0 1
A
B
E
F
图 2 – 1 与门逻辑电路实例图
7
第2章 逻辑函数及其简化
由表2 - 1可知，上述三个语句之间的因果关系属于与 逻辑。 其逻辑表达式(也叫逻辑函数式)为：
2
第2章 逻辑函数及其简化
2.1 逻辑代数
2.1.1 基本逻辑 逻辑运算是逻辑思维和逻辑推理的数学描述。 具有“真”与“假”两种可能，并且可以判定其 “真”、 “假”的陈述语句叫逻辑变量。一般用英文大 写字母A，B， C， …表示。例如，“开关A闭合着”， “电灯F亮着”， “开关D开路着”等均为逻辑变量，可 分别将其记作A，F，D； “开关B不太灵活”， “电灯 L价格很贵”等均不是逻辑变量。
两变量的“异或”及“同或”逻辑的真值表如表2 - 4所 示。
表 2-4 “异或”及“同或”逻辑真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1
F = A⊕ B
0 1 1 0
F = A⊙ B 1 0 0 1
30
第2章 逻辑函数及其简化
反函数的定义：对于输入变量的所有取值组合，函数 F1和F2的取值总是相反，则称F1和F2互为反函数。记作：
非运算的运算规则是：
0 =1
−
1=0
16
−
第2章 逻辑函数及其简化
2.1.2 基本逻辑运算
1. 逻辑加（或运算） 逻辑加（或运算）
P = A+ B
逻辑加的意义是A或B只要有一个为1，则函数值P就为1。它表 示或逻辑的关系。在电路上可用或门实现逻辑加运算，又称为或运 算。运算规则为： 0＋0＝0 0＋1＝1 A＋0＝A
第二章 逻辑代数基础
A B A B
______
A (B C) A (B C) A B C
__________ _____
A ( B C ) A B C A B C
________
3.反演定理
对于任意一个逻辑式 Y ，若将其中所有的“•”换成 “＋”， “＋”换成“•”，0换成1，1换成0，原变量 __ 换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是 Y
2、非逻辑真值表 A 0 1 Y
3 、非逻辑函数式
Y=A 或： Y A
1
0
4、 非逻辑符号
A
1
Y
或： 5 、 非逻辑运算 0=1 1=0
四、 几种最常见的复合逻辑运算
1 、 与非 Y=A B A B & Y
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
Y 1 1 1 0
3 、 同或 Y= AB+A B =A⊙B A B Y
（还原律）
证明： A B A B A ( B B ) A 1 A
4.
A ( A B) A
（吸收律）
证明： A ( A B) A A A B A A B A (1 B) A 1 A
5. A B A C B C A B A C
c. 非非律： ( A) A
A+A=A
d. 吸收律：A + A B = A
A (A+B) = A
A AB A B
e. 摩根定律： ( AB) A B
A .B A B 反演律（摩根定律）： A B A B
数字电路和数字逻辑
1. 晶体二极管及其单方向导电特性
通常情况下，可把一些物体划分成导体（双向导电）和 绝 缘体（不导电）两大类。在这两类物体的两端有电压存在时， 会出现有电流流过或无电流流过物体的两种不同情形。
人们也可以制作出另外一类物体，使其同时具备导体和绝
缘体两种特性，其特性取决于在物体两端所施加电压的方向， 当在一个方向上有正的电压（例如 0.7V）存在时，可以允许电 流流过（如图所示），此时该物体表现出导体的特性；
计算机中常用的逻辑器件，包括组合逻辑和时序逻辑电路 两大类别；也可以划分为专用功能和通用功能电路两大类别。
组合逻辑电路的输出状态只取决于当前输入信号的状态， 与过去的输入信号的状态无关，例如加法器，译码器，编码器， 数据选择器等电路；
时序逻辑电路的输出状态不仅和当前的输入信号的状态有 关，还与以前的输入信号的状态有关，即时序逻辑电路有记忆 功能，最基本的记忆电路是触发器，包括电平触发器和边沿触 发器，由基本触发器可以构成寄存器，计数器等部件；
而在相反的方向上施加一定大小的电压时， +
-
该物体中不会产生电流，表现出绝缘体的
的特性，即该物体只能在单个方向上导电， 这样的物体被称为半导体。制作出的器件
电流 i
被称为二极管。
二极管的内部结构及其开关特性
绝缘体和导体不同的导电特性是由于它们不同的原子结构 特性造成的。
通过在绝缘材料中有控制地掺加进少量的导电物质，可以 使得到的材料有一定的导电特性。例如在 4价的硅材料（每个原 子核周围有 4个电子）中掺杂进少量 5价的金属材料形成 N型材 料，或者掺杂进少量 3价的金属材料形成 P型材料，使新得到的 材料中总的原子核数量与电子的数量不满足 1:4 的关系， N型 材料中形成有极少量的带负电荷的多余电子， P型材料中缺少 极少量的电子（反过来称为有极少量的带正电的空穴），这些 电子和空穴可以成为导电的载流子。当把这样的两种材料结合 在一起时，就表现出在单个方向导电的特性，这就是半导体， 做成器件就是二极管。当P型材料一端（称为二极管的正极）有 比N型材料一端（称为二极管的负极）高 0.7 伏的电压时，就会 产生从正极流向负极的电流，小的反向电压则不会产生电流。
布尔代数基础
布尔代数基础和布尔函数的化简和实现布尔代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。
因此这里从应用的角度向读者介绍布尔代数，而不是从数学的角度去研究布尔代数。
一、布尔代数的基本概念1、布尔代数的定义域和值域都只有“0”和“1”。
布尔代数的运算只有三种就是“或”(用＋表示)，“与”(用·表示)和“非”(用￣表示，以后用’表示)。
因此布尔代数是封闭的代数系统，可记为B=(k，＋，·，￣，0，1)，其中k表示变量的集合。
2、布尔函数有三种表示方法。
其一是布尔表达式，用布尔变量和“或”、“与”和“非”三种运算符所构成的式子。
其二是用真值表，输入变量的所有可能取值组合及其对应的输出函数值所构成的表格。
其三是卡诺图，由表示逻辑变量所有可能取值组合的小方格所构成的图形。
3、布尔函数的相等可以有两种证明方法，一种是从布尔表达式经过演绎和归纳来证明。
另一种就是通过列出真值表来证明，如两个函数的真值表相同，则两个函数就相等。
二、布尔代数的公式、定理和规则1、基本公式有交换律、结合律、分配律、0—1律、互补律、重叠律、吸收律、对合律和德·摩根律。
值得注意的是分配律有两个是：A·(B+C)=A·B+A·C和A+B·C=(A+B)·(A+C)，另外就是吸收律，A+AB=A；A+A’B=A+B它们是代数法化简的基本公式。
2、布尔代数的主要定理是展开定理(教材中称为附加公式)。
3、布尔代数的重要规则有对偶规则和反演规则。
三、基本逻辑电路1、与门F=A·B2、或门F=A+B3、非门F=A’(为了打字的方便，以后用单引号“’”表示非运算，不再用上划线表示非运算)4、与非门F=（A·B）’5、或非门F=（A+B）’6、与或非门F=（A·B+C·D）’7、异或门F=A’B+AB’=A⊕B8、同或门F=A’B’+AB=A⊙B四、布尔函数的公式法化简同一个布尔函数可以有许多种布尔表达式来表示它，一个布尔表达式就相应于一种逻辑电路。
数字逻辑随堂练习答案
*数字逻辑o第一章进位计数制o第二章、布尔代数▪第一节、“与”“或”“非”逻辑运算的基本定义▪第二节、布尔代数的基本公式及规则▪第三节、逻辑函数的代数化简法▪第四节、逻辑函数的图解化简法▪第五节、逻辑函数的列表化简法o第三章组合逻辑电路的设计▪第一节、常用门电路▪第二节、半加器和全加器的分析▪第三节译码器的分析▪第四节、其它常用电路分析o第四章组合逻辑函数的设计▪第一节、采用门电路实现组合逻辑电路的设计▪第二节、转化成“与非”“或非”“与或非”形式▪第三节、组合电路设计中几个问题的考虑▪第四节、组合逻辑电路设计举例o第五章大规模集成电路▪第一节、由中规模器件构成的组合逻辑电路▪第二节、由中规模器件构成的组合逻辑电路设计▪第三节、采用只读存贮器实现组合逻辑电路设计▪第四节、组合逻辑电路中的竞争与险象*o第六章时序电路的分析▪第一节、同步时序电路▪第二节、触发器的逻辑符号及外部特性▪第三节、时序电路的状态表和状态图▪第四节、同步时序电路的分析方法o第七章同步时序电路的设计▪第一节、概述▪第二节、形成原始状态表的方法▪第三节、状态化简▪第四节、同步时序电路设计举例▪第五节、状态编码*o第八章异步时序电路的分析和设计▪第一节、脉冲异步电路的分析和设计▪第二节、电平异步电路概述▪第三节、电平异步电路分析▪第四节、电平异步电路的设计▪第五节、时序电路中的竞争与险象*o第九章数字逻辑计算机辅助设计方法▪3 / 205 / 207 / 209 / 2011 / 20A. B. C. D. 参考答案：D13 / 2015 / 2017 / 20。
数字逻辑
第二章逻辑代数基础逻辑代数是描述、设计数字系统的重要工具，是由逻辑学发展而来的。
逻辑学是研究逻辑思维和推理规律的一门学科。
19世纪中布尔（Boole）创立了布尔代数，即用代数形式来描述、研究逻辑学问题。
二十世纪初香农（Shannon）把布尔代数应用于继电器构成的开关电路，称为开关代数。
目前逻辑门是数字系统的基础，因此把开关代数又称为逻辑代数。
2.1 逻辑代数的基本概念2.1.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑代数有两个逻辑常量：逻辑0和逻辑1。
不同于普通代数中的0和1，逻辑0和逻辑1不具有数量的概念，而是两个对立的状态。
数字系统中可用电平值或元件状态表示逻辑0和逻辑1。
逻辑变量是一个符号，它可以取值逻辑0或逻辑1。
逻辑代数中，若某逻辑变量F 的取值唯一地由一组变量A 1, A 2, …, A n 的取值确定，则称这样的逻辑关系为逻辑函数关系，可表示为：F = f ( A 1, A 2, …, A n )其中，称逻辑变量F 为逻辑因变量或输出变量，多用于描述数字系统的输出状态；变量组A 1, A 2, …, A n 称为逻辑自变量或输入变量，常用于描述数字系统的输入状态。
与普通代数中的函数不同，逻辑函数中的变量仅能取离散值逻辑0、逻辑1，逻辑函数中的运算可分解为与、或、非这三种逻辑运算。
逻辑函数相同的概念为，若有逻辑函数F 1= f 1( A 1, A 2, …, A n )F 2= f 2( A 1, A 2, …, A n )且对于A 1, A 2, …, A n 的所有取值组，F 1 、F 2的取值都相同，则认为逻辑函数F 1 、F 2相同。
2.1.2 逻辑运算逻辑代数中有“与”、“或”、“非”三种逻辑运算。
1. “与”运算若决定某事件发生的多个条件同时满足时，该事件才能发生，称这样的逻辑关系为“与”逻辑。
逻辑代数中用“与”运算描述“与”逻辑，其运算符为“·”或“∧”。
“与”运算式可表示为：F = A ·B或F = A∧B“与”运算也称为逻辑乘。
布尔代数的基本运算与性质
布尔代数的基本运算与性质布尔代数是一种逻辑代数，用于对逻辑表达式进行运算和分析。
它是以数学符号和运算为基础，对逻辑关系进行描述和计算的一种工具。
在计算机科学和电子工程等领域，布尔代数被广泛应用于数位逻辑电路和逻辑编程等方面。
本文将介绍布尔代数的基本运算与性质。
一、布尔代数的基本运算1. 与运算（AND）与运算是布尔代数中最基本的运算之一，它采用逻辑与操作符“∧”表示。
与运算的规则是：只有在两个变量同时为真时，结果才为真；否则结果为假。
例如，变量A和变量B的与运算可以表示为 A ∧ B。
2. 或运算（OR）或运算是布尔代数中另一个基本运算，它采用逻辑或操作符“∨”表示。
或运算的规则是：只要两个变量中有一个为真，结果就为真；否则结果为假。
例如，变量A和变量B的或运算可以表示为 A ∨ B。
3. 非运算（NOT）非运算是布尔代数中最简单的运算，它采用逻辑非操作符“¬”表示。
非运算的规则是：翻转变量的取值，如果原来为真，则结果为假；如果原来为假，则结果为真。
例如，变量A的非运算可以表示为 ¬A。
二、布尔代数的性质1. 结合律布尔代数的运算满足结合律，即运算的结果与运算的先后顺序无关。
例如，对于与运算，A ∧ (B ∧ C) 的结果和 (A ∧ B) ∧ C 的结果相同。
2. 分配律布尔代数的运算满足分配律，即一个运算符在有两个不同的运算符作用时，结果相同。
对于与运算和或运算，有以下两个分配律：- A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)- A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)3. 吸收律布尔代数的运算满足吸收律，即一个变量与该变量的运算结果相同。
例如，A ∨ (A ∧ B) 的结果和A的结果相同。
4. 对偶性原理布尔代数的运算满足对偶性原理，即一个布尔代数式子中的与运算（∧）与或运算（∨），变量的取反（¬）可以互换。
例如，对于布尔表达式 A ∧ B ∨ C，可以通过对偶性原理转换为 A ∨ B ∧ ¬C。
布尔代数基础
(2) (3) (4)
A－B＝，当且仅当AB； (A－B)∪B＝A∪B； C∩(A－B)＝(C∩A)－(C∩B)。
（分配律）
交关于差是可分配的。但是，并关于差却不是可分配 的。大家可以通过思考和举一反例来认识这一点。 定义2 集合A，B的对称差AB定义为A与B之差和B与A 之差的并，即AB＝(A－B)∪(B－A)。 显然，A与B的对称差也可以写成如下的定义形式： AB＝(A∩B’)∪(B∩A’)。 由定义2，我们还可以得到对称差的其它几种表示形式 或等价定义。 定理16 若A，B是两个集合，则 (1) AB＝(A∪B)∩(A’∪B’)， (2) AB＝(A∪B)－(A∩B)，
第五章
布尔代数基础
本章主要介绍布尔代数的基本知识，它可以为学生今 后学习计算机逻辑代数，数字逻辑，计算机组成原理，二 进制运算，以及数理逻辑提供一个基础。 5.1 集合的基本概念与基本运算 由事物或对象组成的集体，无论它们是由其成员通过 枚举方式直接表示出来的，还是由其成员所具有的某些本 质属性表示出来的，都称为集合。 称两个集合是相等的，如果构成这两个集合的成员完 全相同。集合的成员也叫元素。 一个集合A中元素的个数叫做集合A的基数，记为│A│。 请注意，•这不是基数的严格的定义。对有穷集合，这样定
今后，我们也采用这种方式，将一部分证明工作留给读者。 证明 (1) 用反证法。设A∩B≠ ，则必存在非空元素 x∈A∩B，故x∈A且x∈B，此与B为A的补集合矛盾。所以，
A∩B＝。 □ 例4 设A＝{a,b,c,d}，B＝{c,d,e,f}，C＝{e,f,g,h}， 则 A∩B＝{c,d}， A∪B＝{a,b,c,d,e,f}， A∩C＝， A∪C＝{a,b,c,d,e,f,g,h}。 根据定义，不难证明定理2。 定理2 对任意集合A和集合B，有 (1) A∩B＝B∩A， （交换律） (2) A∪B＝B∪A， （交换律）
数字逻辑 第二章 布尔开关代数_1
3 逻辑图
采用规定的图 形符号，来构 成逻辑函数运 算关系的网络 图形
• 例：三人就某一提议进行表决，请画出该问题的逻
辑图表达。 解：step1:问题描述 设输入变量A、B、C代表三人，F代表表决结果， 两人以上同意者为1（表示通过），否则为0。 A、B、C：同意为1，不同意为0。 F：通过为1，不通过为0。
x Ie =x
x +Ie =x
Ie不改变元素的值。
• 交换律（Commutative Properties） 交换律（ ）
X+Y=Y+X X·Y=Y·X
• 结合律（Associative Properties） 结合律（ ）
(X+Y)+Z=X+(Y+Z) (X·Y) ·Z=X·(Y·Z)
• 分配律（Distributive Properties） 分配律（ ）
反之亦然。 反之亦然。
例：求下列逻辑函数的对偶式：
s1 = x • y + z） （
′ s1 = x + y • z） （
s2 = ab + cd
′ s2 = (a + b)(c + d )
s3 = ab + c + d
′ s3 = (a + b)cd
•反演规则
将逻辑函数中 ●变+，+变成●（注意省略的“●”号）； 1变成0，0变成1; 原变量变成反变量,反变量变成原变量; 即得到原逻辑函数的反函数。
Content
1 2 3 4 5
二进制逻辑函数
开关代数★ 开关代数★
功能完全操作集 用布尔代数简化布尔方程 开关函数的实现
• 集合
计算机数字逻辑基础.ppt
数字逻辑
• 数字系统归根到底是对“0”和“1”进行处理， 它们是通过电子开关电路（如门电路、触发器等） 实现的。这些开关电路具有下列基本特点：
• 从线路内部看是开关导通，或是开关截止；从线 路的输入输出看，或是高电平，或是低电平。
由这3种基本逻辑运算，就可以构造出任何 逻辑运算来。显而易见，逻辑代数是一种比普 通代数简单得多的代数系统。
例如，普通代数中的变量取值可为正、负无穷大之 间的任意数，而逻辑代数中的变量取值只能为0或1： 普通代数中的变量运算包括加、减、乘、除、乘方、 开方等许多种，而逻辑代数中的变量运算只有 “与”、“或”、“非”3种。
•4 计数器
பைடு நூலகம்
本逻辑部件包括全 加器、译码器、奇
•5 寄存器
偶校验器、计数器、 寄存器等。
例子、利用“与非门”实现一位二进制加法
A B
低位 A B
进位（高位）
输入 A 0 0 1 1 输入 B 0 1 0 1 输出 P 00 01 01 高10
1、全加器
• 什么叫全加器？为了说明这个问题，我们先来分析 两个二进制数的相加过程。设有两个4位二进制数相 加，其竖式如下：
• 组合逻辑器件和时序逻辑器件两大类。
• 如果该器件的输出状态仅与当时的输入状态 有关，而与过去的输入状态无关，则称为组合逻 辑器件，组合逻辑电路的基本单元为门电路，常 用的组合逻辑器件有加法器、算术逻辑运算单元 （ALU）、译码器等；
• 如果逻辑器件的输出状态不但与当时的输入
有关，而且还与电路在此刻以前的状态有关，则
称为时序逻辑器件，时序逻辑器件内必须包含能 存储信息的记忆元件——触发器，它是构成时序 逻辑电路的基础，常用的时序逻辑器件有计数器、 寄存器等。
计算机数字逻辑与布尔代数简介
计算机数字逻辑与布尔代数简介数字逻辑与布尔代数是计算机科学中非常重要的基础知识，它们是现代计算机技术的基石。
通过学习数字逻辑与布尔代数，我们能够深入了解计算机是如何工作的，以及如何设计和优化计算机系统。
本文将简要介绍数字逻辑与布尔代数的基本概念，并说明它们在计算机科学中的应用。
数字逻辑是研究数字之间的关系和运算规律的一门学科。
在计算机科学中，数字逻辑主要应用于描述计算机内部的运算过程。
数字逻辑的基本元素包括逻辑门、寄存器、计数器等。
逻辑门是数字逻辑的基本构建块，常见的逻辑门包括与门、或门、非门等。
通过组合不同类型的逻辑门，我们可以实现复杂的逻辑运算，比如加法、减法、乘法等。
布尔代数是一种用于描述逻辑关系的代数体系。
在布尔代数中，变量取值只能是0或1，分别表示假和真。
布尔代数定义了逻辑运算的规则，比如与、或、非等。
通过布尔代数，我们可以描述复杂的逻辑表达式，从而实现对计算机系统的精确控制。
数字逻辑与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用。
它们被广泛应用于计算机的逻辑设计、电路设计、编程语言设计等方面。
在计算机的逻辑设计中，我们使用数字逻辑来描述计算机内部的数据运算逻辑，通过设计不同的逻辑电路来实现计算、存储等功能。
在编程语言设计中，我们使用布尔代数来描述程序中的逻辑运算，通过控制程序中的布尔表达式来实现不同的逻辑分支。
总之，数字逻辑与布尔代数是计算机科学中非常重要的基础知识，它们是现代计算机技术的基石。
通过深入学习数字逻辑与布尔代数，我们可以更好地理解计算机是如何工作的，提高计算机系统的设计与性能。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
布尔代数与数字逻辑电路设计
布尔代数与数字逻辑电路设计布尔代数是数学的一个分支，用于处理逻辑值而不是数值的代数系统。
布尔代数常用于计算机科学和电子工程领域，特别是在数字逻辑电路设计中起着重要作用。
在本文中，将探讨布尔代数的基本概念以及如何应用于数字逻辑电路的设计中。
### 布尔代数基本概念布尔代数基于两个逻辑值：真(true)和假(false)。
布尔代数定义了逻辑运算，包括与(and)、或(or)、非(not)、异或(xor)等。
这些逻辑运算可以应用于表示逻辑语句，如“A AND B”、“A OR B”、“NOT A”等。
布尔代数还引入了逻辑门的概念，逻辑门是用来实现布尔运算的电路元件。
常见的逻辑门包括与门(and gate)、或门(or gate)、非门(not gate)、异或门(xor gate)等。
这些逻辑门可以根据输入信号的逻辑值输出确定的逻辑值。
### 数字逻辑电路设计数字逻辑电路是利用数字信号进行信息处理的电路，广泛应用于计算机、通信、控制系统等领域。
数字逻辑电路由逻辑门和逻辑元件组成，根据布尔代数的原理来设计。
在数字逻辑电路设计中，首先确定电路的需求，包括输入信号、输出信号以及逻辑功能。
然后根据需求选择合适的逻辑门组合，设计电路的逻辑结构。
最后进行电路的布线和调试，确保电路可以正确地实现所需功能。
### 布尔代数在数字逻辑电路设计中的应用布尔代数为数字逻辑电路设计提供了理论基础和方法论。
通过布尔代数的逻辑运算，可以将复杂的逻辑功能进行简化，并实现高效的数字逻辑电路设计。
在数字逻辑电路设计中，可以利用布尔代数的定理和规则来优化电路设计，减少逻辑门的数量，提高电路的性能和可靠性。
例如，通过德摩根定理可以将逻辑表达式进行简化，通过卡诺图法可以找到最小化的逻辑表达式。
### 总结布尔代数与数字逻辑电路设计密切相关，是电子工程领域的重要理论基础。
掌握布尔代数的基本概念和应用方法，可以帮助工程师设计出高效、可靠的数字逻辑电路。
数字逻辑 第二章 逻辑代数基础
•
⊕
+ 低
4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者
A(BC)可用ABC代替。
第二章 逻辑代数基础
二、真值表 依次列出一个逻辑函数的所有输入变量取值组合及其相 应函数值的表格称为真值表。 一个n个变量的逻辑函数，其真值表有2n行。例如，
真值表由两部分组成：
左边一栏列出变量的所有 取值组合，为了不发生遗漏， 通常各变量取值组合按二进制 数码顺序给出；右边一栏为逻 辑函数值。
重要规则
逻辑代数有3条重要规则。 一、代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位 置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。这个规则 称为代入规则。 例如，将逻辑等式A(B+C)=AB+AC中的C都用(C+D)代替， 该逻辑等式仍然成立，即 A〔B+(C+D)〕= AB+A(C+D) 代入规则的正确性是显然的，因为任何逻辑函数都和逻 辑变量一样，只有0和1两种可能的取值。
第二章 逻辑代数基础
2.1.3
逻辑函数的表示法
如何对逻辑功能进行描述？ 常用的方法有逻辑表达式、真值表、卡诺图3种。 一、逻辑表达式 逻辑表达式是由逻辑变量和“或”、“与”、“非” 3种运算符以及括号所构成的式子。例如
函数F和变量A、B的关系是： 当变量A和B取值不同时，函数F的值为“1”； 取值相 同时，函数F的值为“0”。
第二章 逻辑代数基础
三、卡诺图
卡诺图是由表示逻辑变量 所有取值组合的小方格所构 成的平面图。 这种用图形描述逻辑函数的方法，在逻辑函数化简中十 分有用，将在后面结合函数化简问题进行详细介绍。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
逻辑函数除了使用逻辑代数表示以外，还可以使用一种称为 “真值表”的表格表示。
真值表是由输入变量所有可能取值的组合与这些组合值对 应的输出变量的值构成的表格。真值表分为左、右两个部分。
左边部分每一列是输入变量的名字。右边部分的每一列是 输出变量的名字。左边部分是输入变量所有的取值的组合。
对于逻辑变量A1，A2，……An的任何一组取值，分别代入
2.1.3 IEEE逻辑符号
如前所述，逻辑函数是由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算 构成。为了象表示电阻、电容和三极管一样，用图形化的方式表示不同 的逻辑函数，美国国家标准学会( the American National Standards Institute, ANSI )和美国电气与电子工程师协会(the Institute of Electrical and Electronic Engineers, IEEE) 在1984年制定了一个逻辑 函数符号标准。如图2-1所示。
图2-2是IEEE标准的“与”、“或”、“非”、“与非”、“或非”、“ 异或”、“异或非( 同或)”逻辑函数符号。
≥1
基本逻辑运算
≥1
复合逻辑运算
2.1.4 逻辑代数的公理、定理和规则
逻辑代数系统有它的公理系统，公理系统不需要证明。逻辑代数系
统的公理为逻辑代数的定理提供证明的依据。公理和定理也为逻辑代数
2.1.2基本逻辑运算
1.“与”运算 “与”运算的运算符是“·”、“*”、“∧”或是空。在本书中使用“”表示“与 ”运算符。
2.1.2基本逻辑运算
2．“或”运算 “或”运算的运算符是“+”、“∨”。本书中使用“+”表示“或”运算符。
2.1.2基本逻辑运算
3．“非”运算 “非”运算的运算符是“ ”或“ ” ，本书中使用“ ” 表示“非”运算符。
幸运的是，数字系统中采用的是“0”和“1”两个不同的值
。因此布尔代数可以用来作为分析和设计逻辑电路的数学工具 。
从应用的角度，布尔代数应用于逻辑电路领域称其为逻辑 代数。
本章介绍逻辑代数的基本理论和运算方法，其中包括逻
辑代数基本概念，逻辑函数的定义，逻辑代数的公理、定理和 规则，小项与大项的概念以及使用小项和大项表达逻辑函数的 标准形式。
在此基础上，介绍应用逻辑代数法和卡诺图法化简逻辑 函数的原理与方法。
2.1.1 逻辑代数的基本概念
逻辑代数包含逻辑变量集K(A、B、C、…)，每个变量的取 值只可能为常量“0”或“1”。这里的“0”和“1”没有量的概念，是用 来表达矛盾双方，是一种形式上的符号。
逻辑代数中逻辑变量之间是逻辑关系。逻辑关系用逻辑运算 符表示。使用逻辑运算符连接逻辑变量及常量“0”或“1”构成逻辑代 数表达式。
数字逻辑第2章布尔代数基 础
第2章 布尔代数基础
2.1 逻辑代数基础 2.1.1 逻辑代数的基本概念 2.1.2 基本逻辑运算 2.1.3 IEEE逻辑符号 2.1.4 逻辑代数的公理、定理和规则
2.2逻辑函数 2.2.1 逻辑函数表达式的基本形式 2.2.2 逻辑函数的标准形式 2.2.3 逻辑函数表达式的转换
证明提供演绎的数学基础。
1、公理系统
公理1 0 - 1律
对于任意的逻辑变量A，有
A+0=A
A ∙1 = A
A+1=1
公理2 互补律
对于任意的逻辑变量A，存在唯一的A,使得
A+A=1
AA=0
公理3 交换律
对于任意的逻辑变量A和B，有
A+B=B+A
AB=BA
A ∙0 = 0
公理4 结合律
对于任意的逻辑变量A、B和C，有
如果一个逻辑函数有n个变量，则输入变量所有的取值有2n 个组合。右边部分是把左边每一行输入变量的取值带到逻辑函 数中去运算，把运算的结果“0”或者“1”填进来。这样就完成了把 逻辑函数用真值表表示。
逻辑函数有的比较简单，有的相当复杂。但是它们都是 由“与”、“或”、“非”三种最基本的逻辑运算构成。下面分别介绍 这三种逻辑运算符、逻辑表达式、逻辑函数和逻辑函数符号。
2.3 逻辑函数的化简 2.3.1 代数化简法 2.3.2 卡诺图化简法
研究数字系统中逻辑电路设计和分析的数学工具是布尔代数。 布尔代数是由逻辑变量集K(A、B、C、…)，常量“0”、“1”以及“与”、“或” 、“非”3种基本逻辑运算构成的代数系统。 逻辑变量集K是布尔代数中变量的集合，它可以用任何字母表示，每个 变量的取值只能为常量“0”或“1”。 在数字系统中使用布尔变量表示开关电路的输入或输出。这些变量的每 一个取值是“0”或“1”两个不相同的值。“0”可以代表低电压，“1”可以代表高电 压。F( False )和T( True )也可以用于表示“0”或“1”。 布尔代数把矛盾的一方假设为“1”，另一方假设为“0”，使之数学化。 这样可以使用布尔代数中的公理和定理对物理现象作数学演算，达到逻 辑推理的目的。
(A+B)+C=A+(B+C) (AB)C=A(BC)
公理5 分配律
对于任意的逻辑变量A、B和C，有
A + ( B C ) = ( A + B )( A + C )
A(B+C)=AB+AC
2、基本定理
根据逻辑代数的公理，推导出逻辑
0+1=1 0· 0 = 0 0· 1 = 0
2.1.2基本逻辑运算
4. “与非”运算 “与非”函数是由“非”函数和“与”函数导出。
2.1.2基本逻辑运算
5. “或非”运算 “或非”函数是由“非”函数和“或”函数导出。
2.1.2基本逻辑运算
6．“异或”运算 “异或”运算的运算符是“⊕”。
2.1.2基本逻辑运算
7．“同或”运算 “同或”运算也可以称为“异或非”运算，其运算符是“⊙”。
1+0=1
1+1=1 1· 0 = 0 1· 1 = 1
3、逻辑代数的重要规则： 逻辑代数有三条重要规则，它们是代入规则、反演规则和
对偶规则。这三条规则常常使用在逻辑表达式的运算和变换中
1 ) 逻辑函数的相等
如果两个逻辑函数：
F1 = f1 (A1,A2,…，An),
F2 = f2 ( A1,A2,…,An)