数据结构-chap7 (3)最小生成树

v4
深度和广度优先生成树
采用DFS遍历图所得到的生成树称为深度优先生成树，采用 BFS遍历图所得到的生成树称为广度优先生成树 v1
v1
v2 v3 v2 v7 v4 v5 v1 v3 v6 v8 v7
v2 v4 v5
v3
v6
v8
v7
v4
v5
v6
v8
深度优先生成树
广度优先生成树
自测题 1 深度优先(广度优先)生成树
0
1
2
3
4
5
6 V2 3
5 6
V1 1 V3 5
5
V4
2
4 V6
V5
6
v1 v2 v3 v4 v5 v6
4
V1
6 6 1 5 5 3
k 0
1 5 5 6 4
5 3 5 6 4 2 6 2 6
closedge adjvex lowcost
6 V2 3 5
V1 1 V3 6 i 5 4
5 V4 V2 V5 2
V1 1
V1 1 V3 V4 V6 5
{v1} V3 6 V3 4 {v1，v3}
V1 V2 V5 U V-U
{v2，v3， V4，v5，v6} {v2，V4， v5，v6}
1 V3
V4 4 V6 k
6
V5
2
V6 1 3
V1 5 V1 5
7.4 最小生成树
一 图的生成树
二 最小生成树
一、图的生成树
对于一个有n个顶点的无向连通图，它的边数≥n-1条。若从中选择n-1条边，使 得无向图仍然连通，则由n个顶点及这 n-1条边组成的图被称为原无向图的生 成树。
v3
v3
v3
v4 v2 v1
v3
v2
v4
v2 v1v4Fra bibliotekv1 生成树不唯一
v2
v1
如此继续下去, 直到网络中的所有顶点都加入到U 中为止。
例如:
a
18 16
19 14 12
b
7
5
c
3
e
8
g
27
d
f
21
所得生成树权值和 = 14+8+3+5+16+21 = 67
构造过程中，设置了一个辅助数组closedge[]，存放从生成树 顶在点集合U内顶点到生成树外顶点集合V-U中各顶点上具有最小 权值的边。
如何实现这个操作过程的算法？
分析 ： （1）它主要有两项操作：按条件选择一条边; 将顶点加入到U集合中。 （2）网中的每个顶点不是在U集合中，就是在V-U集合中。
设计一个辅助数组closedge[ ]：记录从集合U到集合V-U具有最小权值的边。
对每个属于V-U集合的顶点，在辅助数组中存在一个相应的分量 closedge[i-1]，它包括两个域：
6
V2
V1
5
1
V3
5
V1
V4 V2 V5
V1 V4 V2 V5
3 6
V5
5 4
1
V3 5
V3 5 V3 5
1
V3
1
V3
V4
6
2
V6
4
V6
4
V6
2
k
5
3 1
closedge
adjvex lowcost
adjvex lowcost adjvex Lowcost
i
2
0 0 0
3
V1 5
V6 2 0
4
V3 6
2
3
4
5
v1,v3
v3,v6
v6,v4
1
V3 5
5
5

1 5 5 6 4
k 3 5
5 3 5 6 4 2 6 2 6
closedge adjvex lowcost
i
0
2
V1 0
3
V6
4
V3
0
2 0
6
V3 0
for (i=1; i<n; i++) { //选择其余G.vexnum-1个顶点
2
3
4
5
v1,v3
v3,v6
5
5

1 5 5 6 4
k 2 5
5 3 5 6 4 2 6 2 6
closedge adjvex lowcost
i
0
1
V3 5
2
V1 0
3
V1 V6 5 2
4
V3
0
6
V3 4 0
for (i=1; i<n; i++) { //选择其余G.vexnum-1个顶点
一个域：表示在该顶点与V-U集合中某些顶点构成的边中 权最小的那条边的权值，若该顶点进入U集合，则值为0。 另一个域：表示这条最小权值的边对应的在V-U集合中的顶点下标。
辅助数组closedge[]类型定义如下：
#define MAX_NUM 10 struct { int adjvex; float lowcost; }closedge[MAX_NUM];
i
0
1
V1 6
2
V1 1
3
V1
5 V1
0
5

for (i=1; i<n; i++) { //选择其余G.vexnum-1个顶点
k = minimun(closedge); //求出T的下一个结点：下标为k的顶点 printf(closedge[k].adjvex，G.vexs[k]); 0 1 closedge[k].lowcost=0;//下标为k的顶点加入U中 0 6 for(j=0; j<G.vexnum; j++) if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) 1 6 //新顶点加入U后重新选择最小边 2 1 5 closedge[j]={G.vexs[k]，G.arcs[k][j].adj }; 3 5 } 4 3 }
整个算法的执行过程可以描述为：
{ 初始化closedge数组的内容；
选择某个顶点k作为生成树的根结点，并将它加入到U集合中；
重复下列操作n-1次： 选择一条满足条件的边； 输出这条边的两个端点；
修改V-U集合中的顶点信息，寻找与U集合中构成最小权值的边。
}
void Mini_SpanTree_PRIM(MGraph G，VertexType u) { //用Prim算法从值为u的顶点出发构造网G的最小生成树T，输出T的各条边 k = LocateVex(G，u); //生成树根结点的下标 for(j=0; j<G.vexnum; ++j) //辅助数组初始化 if(j!=k) closedge[j] = {u, G.arcs[k][j].adj}; //{ adjvex，lowcost} closedge[k].lowcost = 0; //初始，U={ u }
k = minimun(closedge); //求出T的下一个结点：下标为k的顶点 printf(closedge[k].adjvex，G.vexs[k]); 0 1 closedge[k].lowcost=0;//下标为k的顶点加入U中 for(j=0; j<G.vexnum; j++) 0 6 if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) 1 6 //新顶点加入U后重新选择最小边 2 1 5 closedge[j]={G.vexs[k]，G.arcs[k][j].adj }; 5 3 } 4 3 }
6
V5
1
普里姆（Prim）算法 基本思想：
从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发,
选择与它关联的具有最小权值的边 ( u0, v ),
将其顶点加入到生成树顶点集合U中。
以后每一步中，
从一个顶点在 U 中,而另一个顶点不在 U 中的各条边中， 选择权值最小的边(u, v)，把它的顶点加入到集合 U 中。
k = minimun(closedge); //求出T的下一个结点：下标为k的顶点 printf(closedge[k].adjvex，G.vexs[k]); 0 1 closedge[k].lowcost=0;//下标为k的顶点加入U中 for(j=0; j<G.vexnum; j++) 0 6 if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) 1 6 //新顶点加入U后重新选择最小边 2 1 5 closedge[j]={G.vexs[k]，G.arcs[k][j].adj }; 5 3 } 4 3 }
v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 0 1 3 2 4 4 2 2 4 ∧ 5 ∧ 5 ∧ 3 4 ∧ 5 ∧
0 0 1
生成森林

当图中包括多个连通分量时，在遍历图时，每个连
通分量是一棵生成树，生成树的不相交集合形成生
成森林。
二、最小生成树
实际问题：假设连通图G的顶点表示城市，边表示连接两个城市之间
{v5} { }
4
普里姆（Prim）算法
详细过程：
设置两个集合，U集合中的元素是在生成树中的结点， V-U集合中的元素是不在生成树中的顶点。 首先，选择一个作为生成树根结点的顶点，并将它放入U集合。 然后，在那些一端顶点在U集合中，而另一端顶点在V-U集合中的边中找一条权 最小的边，并把这条边和那个不在U集合中的顶点加入到生成树中，输出这条 边，将其顶点添加到U集合中；重复这个操作n-1次。
closedge adjvex lowcost
adjvex lowcost
4
V1
6
V3 5
2
5
0
说明：初始状态时,由于U={v1},则到V-U中各顶点的最小边,即为从依附于顶点v1 的各条边中,找到一条权值最小的边(u0,v0)=(1,3)为生成树上的第一条边,将 v0(=v3)并入集合U,再修改辅助数组中的值.先将closedge[2].lowcost改为‘0’, 以示顶点v3已并入U;然后,由于边(v3,v2)上的权值小于closedge[1].lowcost,则 需修改closedge[1]为边(v3,v2)及其权值.同理修改closedge[4]和closedge[5]。
的通信线路。若有n个城市，连接这n个城市最少需n-1条边，则图的生
成树就表示所有可行的通信线路。 最小生成树：n个顶点网络的生成树有n个结点，n-1条分枝。假设 网络中有m条边(m≥n-1)，用MST表示许多可能的生成树的集合，每棵
树中n-1条分枝上的权之和用WG(T)表示，则使得
WG(Tmin)=Min{WG(T)| T MST} 的生成树Tmin便是网络的最小生成树。
V3 6 V3 6
5
V3 4
0 0
U
{v1，v3}
{v1，v3，v6} {v1，v3， V6，v4}
V-U
{v2，V4， v5，v6}
{v2，V4， v5} {v2， v5}
6
V2
V1
5
1
V3
5 5 4
1
V3 5 0 0 V4 V2 V5
V1
V1 V4
1
V3
V2
5 1
3 6
V5
6
2
V6
4
V6 V5
对每个viV-U，在closedge中存在一个相应分量closedge[i-1]， 它包括两个域：
closedge[i-1].lowcost = Min{cost(u，vi)| u U}, 即存放生成树顶点集合U内顶点到生成树外各顶点V-U 的各边上的当前最小权值； closedge[i-1].adjvex：存储该边依附的在U中的顶点， 即记录生成树顶点集合外V-U各顶点距离集合内U哪个顶点 最近(即权值最小)。
2
3
4
5
v1,v3
5
5

1 5 5 6 4
k 2 0
5 3 5 6 4 2 6 2 6
closedge adjvex lowcost
i
0
1
V1 V3 6 5
2
V1 1 0
3
V1
4
V1 V3 6
0
5
V1 V3 4
for (i=1; i<n; i++) { //选择其余G.vexnum-1个顶点
k = minimun(closedge); //求出T的下一个结点：下标为k的顶点 printf(closedge[k].adjvex，G.vexs[k]); 0 1 closedge[k].lowcost=0;//下标为k的顶点加入U中 for(j=0; j<G.vexnum; j++) 0 6 if(G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) 1 6 //新顶点加入U后重新选择最小边 2 1 5 closedge[j]={G.vexs[k]，G.arcs[k][j].adj }; 5 3 } 4 3 }
算法：Prim算法 和Kruskal算法。
构造最小生成树的方法 构造最小生成树的准则:
必须使用且仅使用该网络中的n-1 条边来联结网络中的 n 个顶点； 不能使用产生回路的边； 各边上的权值的总和达到最小。
V1
1 2
V6
V2
V1
1
V6
1
V5
1
1
5 6
V4 V3
V2
1
5 6
V4 V3
3 1
V3
V4
4 2
V6
closedge
adjvex lowcost
i
2
0
0 0
3
0
0 0
4
V3 6
5
0
0 0
U
{v1，v3， V6，v4}
V-U
{v2， v5}
k
1
adjvex lowcost adjvex Lowcost
V2 3
0
{v1，v3， V6，v4，v2} {v1，v3，V6， v4， v2 ， v5}