正态分布 c++
正态分布加减乘除计算公式
正态分布加减乘除计算公式正态分布是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中广泛应用，特别是在统计学和概率论中。
正态分布的概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = 1/(σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))其中，μ是分布的均值，σ是标准差，e是自然对数的底数。
根据该公式，我们可以进行正态分布的加减乘除计算。
让我们来看看正态分布的加法运算。
假设有两个正态分布X和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。
我们可以将X和Y的概率密度函数相加，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1+μ2，标准差为√(σ1²+σ2²)。
这个过程可以用以下公式表示：Z ~ N(μ1+μ2, √(σ1²+σ2²))接下来，让我们讨论正态分布的减法运算。
假设有两个正态分布X 和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。
我们可以将X和Y的概率密度函数相减，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1-μ2，标准差为√(σ1²+σ2²)。
这个过程可以用以下公式表示：Z ~ N(μ1-μ2, √(σ1²+σ2²))接下来，让我们来讨论正态分布的乘法运算。
假设有两个正态分布X和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。
我们可以将X和Y的概率密度函数相乘，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1*μ2，标准差为√((σ1*μ2)²+(σ2*μ1)²)。
这个过程可以用以下公式表示：Z ~ N(μ1*μ2, √((σ1*μ2)²+(σ2*μ1)²))让我们来讨论正态分布的除法运算。
假设有两个正态分布X和Y，它们的均值分别为μ1和μ2，标准差分别为σ1和σ2。
我们可以将X和Y的概率密度函数相除，得到一个新的正态分布Z，其均值为μ1/μ2，标准差为√((σ1/μ2)²+(σ2/μ1)²)。
医学统计学之正态分布的概念与特征(doc 10页)
医学统计学之正态分布的概念与特征(doc 10页)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑1统计的工作内容？P2实验设计、收集资料、整理资料、分析资料2资料的类型 P2-P3(1)计量资料：观察指标用定量的方法测定其数值的大小所得的资料。
一般用度量衡单位表示。
如身高、体重、浓度。
(2)计数资料：（分类）疗效(3)等级分组资料3变异与同质的概念？P3（1）变异：在临床治疗中，用同样的药物治疗病情相同的病人，疗效也不尽相同，即使在实验室里，动物与动物之间也有明显的差异，这种现象称为个体差异或者变异。
（2）同质：研究对象某一个或者几个属性相同称为同质，例如同种族、年龄、性别的健康人。
4总体样本的概念？P3(1)总体：是同质的个体所构成的全体。
有限总体：研究单位是有限的。
无限总体：研究单位是无限的。
(2)样本：从总体中随机抽取部分有代表性的观察单位。
其实测值的集合。
5误差的类型？P6（1）系统误差（2）随机测量误差（3）抽样误差6概率的概念特征？P6概念：描写某一事件发生的可能性大小的一个量度。
特征：（1）肯定发生的时间成为必然事件。
概率为12）可能发生也可能不发生的事件称为随机事件或者偶然事件概率0-1（3）概率小于等于0.05或者小于等于0.01事件成为小概率事件。
7频率的概念？频率指样本的实际发生率。
8,频率表的绘制步骤？P8-P9(1)求极差：最大值减最小值（2）确定组距分组：组距=极差除以10（3）划计（4）计数9描写集中与离散趋势的指标？集中趋势：算术均数、中位数、几何均数离散趋势：全距、四分位间距方差、标准差、变异系数10.频数分布表的用途？P10(1)作为陈述资料的形式，可以替代原始的资料，便于进一步分析。
（2）便于观察资料的分布类型，医学研究中常见的资料分布类型可以分为对称分布和偏态分布两大类。
（3）便于发现资料中某些远离群体的特大或者特小的可疑值。
（4）当样本含量比较大时，可用各组段的频率作为概率的估计值。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
正态分布及其经典习题和答案
25.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。
答案：8.5。
解析：设两数之积为X ，∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。
概率论第五章：正态分布
例1 设随机变量 X ~ N (1, 22 ) , 求 P{1.6 X 2.4}
解 P{1.6 X 2.4} P{1.6 1 X 1 2.4 1}
P{2.6 X 1 1.4} P{2.6 / 2 (X 1) / 2 1.4 / 2}
P{1.3 (X 1) / 2 0.7} (0.7) (1.3)
解 由P{X C} P{X C}, 即 1 P{X C} P{X C}
所以 P{X C} 0.5
另一方面, P{X C} P{ X 3 C 3} (C 3) 0.5
C3 0 ,
2 C 3.
2
2
2
例 4(2004年) 设 X ~ N(0,1),对于给定的 (0,1),数 满足 P{X } . 若P{ X x} ,则x等于
二. 标准正态分布N(0, 1)
X ~ f (x)
1
x2
e 2,
x
2
E( X ) xf (x)dx
x
e
x2 2
dx
0(奇函数)
2
D( X ) E{[ X E( X )]2} [x E( X )]2 f (x)dx
x2
1
x2
e 2 dx 1
2
例1 已知随机变量X的密度函数为
X ~ f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x
2
E( X ) xf (x)dx
x
(x)2
e 2 2 dx
2
t x
t
2
e
t2 2
dt
D( X ) (x )2 f (x)dx 2
(二)标准正态分布N(0, 1)
X ~ f (x)
1
正态分布的概念及表和查表方法
正态分布概念及图表正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由A·棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P·S·拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
目录1历史发展2定理3定义▪一维正态分布▪标准正态分布4性质5分布曲线▪图形特征▪参数含义6研究过程7曲线应用▪综述▪频数分布▪综合素质研究▪医学参考值历史发展正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年首次提出的，但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布，高斯这项工作对后世的影响极大，他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称，后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他，也是出于这一工作。
但现今德国10马克的印有高斯头像的钞票，其上还印有正态分布的密度曲线。
这传达了一种想法：在高斯的一切科学贡献中，其对人类文明影响最大者，就是这一项。
在高斯刚作出这个发现之初，也许人们还只能从其理论的简化上来评价其优越性，其全部影响还不能充分看出来。
这要到20世纪正态小样本理论充分发展起来以后。
拉普拉斯很快得知高斯的工作，并马上将其与他发现的中心极限定理联系起来，为此，他在即将发表的一篇文章（发表于1810年）上加上了一点补充，指出如若误差可看成许多量的叠加，根据他的中心极限定理，误差理应有高斯分布。
正态分布 课件
；
• 特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6862 ；
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
[答案] B
[解析] 仔细对照正态分布密度函数：f(x)＝ 21πσe－
(x－μ)2
2σ2 (x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及
正态分布
• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分 布直方图 无限接近于 一条总体密度曲 线，在总体所在系统相对稳定的情况下， 总体密度曲线就是或近似地是以下函数的 图象：
• 其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图 象为 正态分布密度曲线，简称 正态曲线 ．
• (4)曲线与x轴之间的面积为 1 ；
• (5) 当 σ 一 定 时 ， 曲 线 随 μ 的 变 化而沿 x 轴 平移；
• (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定：σ越小，
曲线越“
瘦高”，表示总体的分布越
集中 ；σ越大，曲线越“
矮胖 ”，表示
总体的分布越 分散 ．
• 4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概
率P(μ－a<X≤μ＋a)＝
称 性 得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ， 所 以
P(6<X≤7)＝
＝0.1359.
• [点评] 解此类题首先由题意求出μ及σ的
值，然后根据三个特殊区间上的概率值及
正态曲线的特点(如对称性，与x轴围成的 面积是1等)进行求解．
• [例5] 某年级的一次信息技术测验成绩近 似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于 60分为不及格，求：
正态分布 参考值
2
(e表示常数2.71828 ，-∞＜ X ＜+∞)
则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中， 为总体均数， 为总体标准差。
5
正态分布图示
.4
f(x)
.3
.2
.1
0
x
6
方差相等、均数不等的正态分布图示
3 1 2
7
均数相等、方差不等的正态分布图示
2
1 3
正态分布
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
1
正态分布
德国数学家Gauss发现 最早用于物理学、天文学 Gaussian distribution 1889年是高尔顿 (Francis Galton,1822-1911) 创先把该曲线称作正态曲线。
8
正态分布的特征
正态分布有两个参数(parameter)，即位置 参数(均数)和变异度参数(标准差)。
高峰在均数处； 均数两侧完全对称。 正态曲线下的面积分布有一定的规律。
9
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
21
估计频数分布
☆ 正态变量x转化为标准正态变量u，（公式
u
X
）再用u值查表，得所求区间面积
占总面积的比例。
22
某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布， 其 均 数 为 3150g ， 标 准 差 为 350g 。 若 以 2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比 例。
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与方差的估计，卡方分布
数理统计2：为什么是正态分布，正态分布均值与⽅差的估计，卡⽅分布上⼀篇⽂章提到了⼀⼤堆的统计量，但是没有说到它们的⽤处。
今天，我们就会接触到部分估计量，进⼊到数理统计的第⼀⼤范畴——参数估计，同时也会开始使⽤R 语⾔进⾏模拟。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：为什么是正态分布为什么要突然提到正态分布的参数估计？原因有以下⼏个。
⾸先，正态分布是⽣活中最常见的分布，许多随机事件的分布可以⽤正态分布来概括。
林德贝格勒维中⼼极限定理告诉我们，⼆阶矩存在的独⽴同分布随机变量列{ξn }，记它们的和为S n ，E(ξ1)=µ，D(ξn )=σ2，则S n −nµ√n σd→N (0,1).刚刚学完概率论的同学应该对这个结论不陌⽣。
⽽中⼼极限定理的条件实际上并不需要这么强，林德贝格费勒定理去除了同分布的约束，只要{ξn }满⾜∀τ>0，1∑nk =1D(ξk )n∑k =1∫|x +E(ξk )|≥τ∑n k =1D(ξk )(x −E(ξk ))2d F k (x )→0,就有∑nk =1(ξk −E(ξk ))∑nk =1D(ξk )d→N (0,1).这说明⾃然界中微⼩随机项的累积效应普遍服从中⼼极限定理。
另外，正态分布的信息完全由两个参数所决定：期望和⽅差，即前两阶矩。
因此，如果我们假定总体是服从正态分布的，就只需要对其两个参数作估计，这给问题的讨论带来⽅便。
最后就是正态分布在实⽤上的意义了，两个独⽴正态分布的和、差甚⾄乘积都是正态分布，这在实⽤上也很⽅便，所以许多时候即使总体不服从正态分布，也近似认为服从正态分布。
Part 2：正态分布均值估计既然正态分布完全由两个参数所决定，那么只要知道出这两个参数的值（或者范围），就能确定总体的全部信息。
然⽽，在实际⽣活中要获得绝对正确的正态分布参数是不可能的，因为⽣活中的总体情况总是未知，要认识总体，我们只能从总体中抽取⼀系列样本，再通过样本性质来估计总体。
第六章 正态分布
第六章正态分布一、基本概念1、正态分布连续性随机变量中重要的分布是钟型概率分布，就是正态分布（normal distribution），也称为常态分布，是一种连续型随机变量的概率分布。
学生的身高、体重、成绩等都是正态分布常见的例子，很高、很矮的都比较少，多数处于正常身高；很胖、很瘦的也较少，多数是正常体重；成绩很高和很低的是少数，多数同学属于中等成绩。
2、标准正态分布在正态分布中，随机变量X是以μ和σ为参数，当μ和σ取值固定，μ=0，σ=1时，随机变量X的概率密度变为：2221Zey-=π，(,)Z∈-∞+∞，相应的正态分布N(0,1)称为标准正态分布。
标准正态分布是正态分布的特殊情况，由于μ和σ取值固定，不依赖于参数μ和σ，而是固定的、唯一的。
3、Z值Z值又称为标准分数，它是以平均数为参照点，以标准差为单位的描述原始数据在总体中相对位置的量数。
我们可以通过计算Z值将一般正态分布转换为标准正态分布。
例如某个数值的Z值为－1.5，则说明这个数值低于均值1.5倍的标准差。
二、基本方法1、Z值的计算Z值的计算公式为：Z=（X—μ）/σ。
假设),(~2σμNX，根据Z值计算公式转换后，Z=()σμ-X~N（0,1），这样就将一般正态分布转换成标准正态分布。
某班同学平均体重为50公斤，标准差为10，某同学同学为70，将这个分数转化为Z 值。
Z=（X—μ）/σ=（70—50）/10= 2表明这个同学的体重在分布中高于均值2个标准差。
2、标准正态分布表使用方法标准正态分布表是根据标准正态分布中随机变量与其概率的对应关系绘制的，表中数值是变量值X所对应的分布函数ф（x）的数值表。
首先只根据Z值公式将正态分布转化为标准正态分布，就可以通过查表得到对应的概率值。
对于负的变量值，转化：ф（—x）=1—ф（x）一般情况下，设X~(0,1)，则有：P（X<a）=ф（a），P（a<X<b）=ф（b）—ф（a）P （X>a ）=1—ф（a ）具体查表时，我们可以看到，标准正态分布表第一行和第一列均表示X 值，列为X 的整数位和第一位小数位，行为X 的第二位小数位，交叉处的值就是对应的概率。
正态分布及其计算
正态分布的方差
总结词
方差是衡量数据离散程度或波动范围的统计量。
详细描述
方差是衡量数据离散程度或波动范围的统计量，用于描述数据分布的宽度或分散 情况。在正态分布中，方差的大小决定了分布的宽度，即数据点离期望值的平均 距离。方差越大，数据分布越分散；方差越小，数据分布越集中。
正态分布的偏度与峰度
总结词
偏度描述数据分布的不对称性，峰度描述数据分布的尖锐程度。
详细描述
偏度是描述数据分布不对称性的统计量，用于衡量数据分布偏向某一方向的程度。正态分布的偏度接近0， 表示分布相对对称。峰度是描述数据分布尖锐程度的统计量，用于衡量数据分布曲线的峰部特征。正态分 布的峰度接近3，表示分布相对平坦。
03
CHAPTER
1 2 3
遗传学研究
正态分布用于描述基因频率和遗传特征的分布情 况，分析遗传变异和遗传疾病的风险。
临床试验
在临床试验中，正态分布用于描述患者生理指标 和治疗效果的分布情况，评估药物的有效性和安 全性。
生态学研究
在生态学研究中，正态分布用于描述物种数量和 种群密度的分布情况，分析生态系统的稳定性和 变化趋势。
正态分布及其计算
目录
CONTENTS
• 正态分布的简介 • 正态分布的计算 • 正态分布的性质 • 正态分布的假设检验 • 正态分布在实际中的应用
01
CHAPTER
正态分布的简介
正态分布的定义
正态分布是一种概率分布，描述了许 多自然现象的概率规律。在正态分布 中，数据点的概率密度函数呈现钟形 曲线，且曲线关于均值对称。
布规律。
02
CHAPTER
正态分布的计算
正态分布的期望值
总结词
标准正态分布
标准正态分布标准正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，也称为正态分布或高斯分布。
它具有许多重要的特性，广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域。
本文将介绍标准正态分布的定义、性质和应用，并对其在实际问题中的意义进行探讨。
首先，让我们来了解一下标准正态分布的定义。
标准正态分布是均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数可以用数学公式表示为：\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\]其中，\(x\) 表示随机变量的取值，\(e\) 是自然对数的底。
这个公式描述了标准正态分布曲线在不同取值处的概率密度，呈现出典型的钟形曲线。
标准正态分布具有许多重要的性质。
首先，它是一个关于均值对称的分布，即分布的左右两侧关于均值对称。
其次，约68%的数据落在均值附近的一个标准差范围内，约95%的数据落在两个标准差范围内，约99.7%的数据落在三个标准差范围内。
这一性质被称为“68-95-99.7法则”，在实际问题中具有重要的应用价值。
在实际应用中，标准正态分布有着广泛的应用。
例如，在质量控制中，我们可以利用标准正态分布来进行质量抽样检验，判断产品是否合格。
在市场营销中，我们可以利用标准正态分布来分析消费者的购买行为，制定营销策略。
在金融领域，我们可以利用标准正态分布来评估资产的风险和收益。
标准正态分布的应用贯穿于各个领域，为我们提供了重要的统计工具。
总之，标准正态分布作为统计学中的重要概率分布，具有着重要的理论意义和广泛的应用价值。
通过对其定义、性质和应用的了解，我们可以更好地理解和应用标准正态分布，为实际问题的分析和解决提供有力的支持。
希望本文能够帮助读者更深入地了解标准正态分布，并在实际问题中加以应用。
正态分布及σ原则
实施控制措施
采取有效的控制措施，确保过程 稳定受控，并持续改进以达到目 标σ水平。
σ原则实施过程中的问题与解决方案
数据不足或不准确
增加数据采集频率，提高测量设备的准确性和可靠性。
过程不稳定
通过调整工艺参数、优化设备维护等措施，提高过程的稳定性。
目标σ水平过高
重新评估产品特性的要求和市场竞争力，调整目标σ水平。
跨部门协作与沟通
加强各部门之间的协作与沟通，共同推动σ 原则的持续改进与优化。
05
正态分布与σ原则的案例分
析
案例一：正态分布在质量控制中的应用
总结词
正态分布是质量管理中常用的概率分布，用于描述生产过程中产品特性的分布情况。
详细描述
在质量控制中，正态分布被广泛用于分析产品质量特性，如尺寸、重量、强度等。通过分析数据的分 布情况，可以确定产品合格率、过程能力指数等关键指标，进而优化生产过程，提高产品质量。
正态分布及σ原则
• 正态分布概述 • σ原则概述 • 正态分布与σ原则的关系 • σ原则的实施与优化 • 正态分布与σ原则的案例分析
目录
01
正态分布概述
正态分布的定义
01
描述频数分布的规律
正态分布是一种描述频数分布规律的数学模型，常用于统计学中。
02
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，表示随机变量取值概率随着数值的增大或减小
案例二：σ原则在生产过程中的应用
总结词
σ原则是一种以正态分布为基础的过程控制 方法，用于评估生产过程的稳定性和能力。
VS
详细描述
在生产过程中，σ原则通过对生产数据的统 计分析，确定过程的均值和标准差，进而 评估过程的稳定性和能力。通过调整生产 参数，降低过程波动，提高产品质量和生 产效率。
数学概率中c
数学概率中c
c值是数学概率中的重要参数之一，通常用于计算正态分布中的概率密度函数。
它代表的是标准差与平均值之比，即c = σ / μ。
在正态分布中，68%的数据落在平均值附近的一个标准差范围内，95%的数据落在两个标准差范围内，99.7%的数据落在三个标准差范围内。
因此，c值越大，正态分布的曲线越扁平，数据分布越分散；反之，则越陡峭，数据分布越集中。
在实际应用中，c值常常用于统计分析和预测模型的建立，可以帮助我们更准确地描述和理解数据的分布规律。
- 1 -。
正态分布标准化公式
正态分布标准化公式
1、正态分布标准化公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。
2、证明；因为X～N（μ，σ^2），所以P（x）=（2π）^（-1/2）*σ^（-1）*exp{[-（x-μ）^2]/（2σ^2）}。
注：F（y）为Y的分布函数，Fx（x）为X的分布函数。
而F（y）=P（Y≤y）=P（（X-μ）/σ≤y）=P（X≤σy+μ）=Fx（σy+μ）。
所以p（y）=F'（y）=F'x（σy+μ）*σ=P（σy+μ）*σ=[（2π）^（-1/2）]*e^[-（x^2）/2]。
从而，N（0，1）。
正态分布标准化的意义是可以方便计算，是一种统计学概念。
原本的正态分布图形有高矮胖瘦不同的形态，实际上是积分变换的必然结果，就好比是：
1.y=kx+b直线，它不一定过原点的，但是通过变换就可以了：大Y=y-b；大X=kx；===>大Y=大X。
2.y=a*b乘积，通过变换就可以变成加法运算：Ln（y）=Lna+Lnb。
3.y=ax²+bx+c通过变换就可以变成标准形式：y=a（x+b/（2a））²+（c-b²/（4a））。
正态分布的标准化也只不过是“积分变换”而已，虽然高矮胖瘦不同的形态，但是变量的线性伸缩变换并不改变其量化特性，虽然标准化以后都变成期望是0，方差是1的标准分布了，但这种因变量自变量的依赖关系仍然存在，不用担心
会“质变”。
正态分布曲线
2.正态曲线的性质
ms(x)
(xm)2
1 e 2s2
2s
,x(,)
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
2.正ms 态(x 曲)线的21性s质e(x2 sm2)2 ,x(,)
称 为形状参数。
s=2
m
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面概积率规律（重要）
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
X=m
正态曲线下的面概积率规律（重要）
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2 x2 x1
X=m
3.特殊区间的概率:
若X~N ( m , s ) ,则2 对于任何实数a>0,概率
m m P ( ax≤ a )m m a a m,s(x )d x
x=μ
m-a m+a
特别地有（熟记）
P(msXms)0.6826, P(m2sXm2s)0.9544, P(m3sXm3s)0.9974.
X
0 函数解析式为：
m,s(x)
1
e
2s
(xm)2
2s2 x(,)
式中的实数m、s是参数 表示总体的平均数与标准差
思考：你能否求出小球落 在（a, b]上的概率吗？
正态分布及其性质
0.0228
5.标准正态分布 (1) ~ N (0,1)， 则的分布函数通常 用 ( x )表示， 且 ( x ) = P ( ≤ x ) 对于x ≥0， ( x )的值可在标准正态 分布表中查到 , 而x < 0的 ( x )的值 可用 : ( x ) = 1 - ( x )
2.正态分布的期望与方差 若 ~ N ( , 2 ), 则的期望与方差分布为：
E = , D = 2
3.正态曲线
f ( x)
1 2
e
( x ) 2 22
,xR
N(, )或N(, )
2
L 总体平均数
D 标准差
Y
x
X
4.正态曲线的性质
正态分布复习巩固
1.正态分布与正态曲线
如果随机变量的概率密度为：
f(x)
1 2
e
( x ) 2 22
（x R, , 为常数，且 0), 称服从参数 为、的正态分布，用 N（， ）表示，
2
f(x) 的表示式可简记为 N ( , 2 )或N ( , )， 它的密度曲线简称为正 态曲线.
例题10.一建桥工地所需要的钢筋的长度服从 正态分布N（ 8， 4 ），质量员在检查一大批钢 筋的质量时，发现有的钢筋长度少于2，他是 让钢筋工继续用钢筋切割机截割钢筋呢？ 还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
解：设检验出的钢筋长 度为a，则a 2. 8, 2,| a | 3 这说明这一钢筋的长度 出现在区间 （ 3， 3）之外，理应拒绝假设. 所以质检员应马上让钢 筋工停止生产， 立即检修钢筋切割机.