2019学年九年级数学上(北师大版)第四章《图形的相似》技巧点拨(含解析)

专训一：证比例式或等积式的技巧构造平行线法1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·CF＝BF·EC.(第1题)2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，试证明：AB·DF＝BC·EF.(第2题)构造相似三角形法3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.求证：BP·CP＝BM·CN.(第3题)三点定型法4．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠AED＝60°.求证：AD·AB＝AE·AC.(第4题)等比过渡法5．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.求证：CE2＝DE·PE.(第5题)专训二：巧用“基本图形”探索相似条件1.平行线型．2．相交线型．3．字母型．4．旋转型．平行线型1．如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D.(1)求证：AE·BC ＝BD·AC.(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．(第1题)相交线型2．如图，点D ，E 分别为△ABC 的边AC ，AB 上的点，BD ，CE 交于点O ，且EO BO ＝DOCO ，试问△ADE 与△ABC 相似吗？请说明理由．(第2题)字母型3．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，E 为AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于点F.求证：AB AC ＝DFAF .(第3题)旋转型4．如图，已知∠DAB ＝∠EAC ，∠ADE ＝∠ABC. 求证：(1)△ADE ∽△ABC ； (2)AD AE ＝BD CE.(第4题)专训三：利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系证明两线段的数量关系1．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)证明两线段的位置关系类型1.证明两线段平行2．如图，已知点D为等腰直角三角形ABC的斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接CE，AE.求证：AE∥BC.(第2题)类型2.证明两线垂直3．如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AB·AD ，BC 2＝BA·BD ，求证：CD ⊥AB.(第3题)4．如图，已知矩形ABCD ，AD ＝13AB ，点E ，F 把AB 三等分，DF 交AC 于点G ，求证：EG ⊥DF.(第4题)专训四：图形的相似中五种热门考点比例线段及性质1．下列各组长度的线段，成比例线段的是( ) A ．2 cm ，4 cm ，4 cm ，8 cm B ．2 cm ，4 cm ，6 cm ，8 cm C ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cmD ．2.1 cm ，3.1 cm ，4.3 cm ，5.2 cm2．若a 2＝b 3＝c 4＝d7≠0，则a ＋b ＋c ＋d c＝________.3．如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离约为________(5≈2.236，结果精确到0.01)．(第3题)平行线分线段成比例4．如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与ADAF相等的是()A.ABEF B.CDEF C.BOOE D.BCBE(第4题)(第5题)5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC为边向三角形外作正方形ACDE，连接BE交AC于F，若BF＝ 3 cm，则EF＝________.6．如图，在△ABC中，AM∶MD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，求AE∶EC的值．(第6题)相似三角形的性质与判定7．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB ＝4，则OE的长是()A．2 B. 2 C．1 D.1 28．在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE∶ED＝3∶1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AEF∶S四边形ABCE为()A．3∶4 B．4∶3 C．7∶9 D．9∶7(第7题)(第8题)(第10题)9．若两个相似多边形的面积之比为1∶4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是________．10．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是________．11．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC 的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的长．(第11题)12．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，点M是BC的中点，连接MN，已知AB＝10，BC＝15，MN＝3.(1)求证：BN＝DN；(2)求△ABC的周长．(第12题)13．如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC 于点E，点F是BC的延长线上一点，且CE＝CF，BE的延长线交DF于点M.(1)求证：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的边长为2，求ME·MB.(第13题)相似三角形的应用14．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD(结果精确到0.1 m)．15．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其中BA ＝CD，BC＝20 cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm.为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm，那么横梁EF的长应为多少？(材质及其厚度等忽略不计)(第15题)16．某市区的街道大多用“经几纬几”表示，小明妈妈开的一家店铺恰好在经八路与纬九路的交汇处，简称“经八纬九”，我们将其记作(8，9)．那么经九纬八应记作________．17．某军事行动中，对军队部署的方位，采用钟代码的方式来表示．例如，北偏东30°方向45 km的位置，与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东30°的时刻是1：00，那么这个地点就用代码010045来表示．按这种表示方式，南偏东40°方向78 km的位置，可用代码表示为________．(第18题)18．如图，已知正方形ABCD ，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，则点C′的坐标为________．19．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均是小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长(结果保留根号)．(第19题)答案解码专训一1．证明：过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M ， ∵CM ∥AB ，△CMF ∽△BDF. ∴BF CF ＝BD CM .又∵CM ∥AD ，∴AE EC ＝ADCM .∵D 为AB 的中点， ∴BD CM ＝AD CM .∴BF CF ＝AEEC ，即AE·CF ＝BF·EC.2．证明：过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，∴△DGF ∽△ECF ，△ADG ∽△ABC.∴EF DF ＝CE DG ，AB BC ＝AD DG .∵AD ＝CE ，∴CE DG ＝AD DG .∴AB BC ＝EFDF .即AB·DF ＝BC·EF.点拨：过某一点作平行线，构造出“A ”型或“X ”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．(第3题)3．证明：如图，连接PM ，PN. ∵MN 是AP 的垂直平分线， ∴MA ＝MP ，NA ＝NP. ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°. ∴∠2＋∠4＝60°. ∴∠5＋∠6＝120°.又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°. ∴∠5＝∠7.∴△BPM ∽△CNP. ∴BP CN ＝BMCP ，即BP·CP ＝BM·CN. 4．证明：∵∠A ＝35°，∠C ＝85°，∴∠B ＝180°－∠A －∠C ＝180°－35°－85°＝60°. ∵∠AED ＝60°，∴∠AED ＝∠B. 又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACB. ∴AD AC ＝AEAB ，即AD·AB ＝AE·AC.5．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，∴∠AEP ＝∠BED ＝∠AGB ＝90°. ∴∠P ＋∠PAB ＝90°，∠PAB ＋∠ABG ＝90°.∴∠P ＝∠ABG .∴△AEP ∽△DEB. ∴AE DE ＝PEBE ，即AE·BE ＝PE·DE.又∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠BEC ＝90°且∠CAB ＋∠ACE ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.∴∠ACE ＝∠CBE.∴△AEC ∽△CEB. ∴AE CE ＝CEBE ，即CE 2＝AE·BE.∴CE 2＝DE·PE.解码专训二1．(1)证明：∵ED∥BC，∴ADAB＝AEAC.∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC.∴AEAC＝DEBC.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC. ∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝BD.∴AEAC＝BDBC，即AE·BC＝BD·AC.(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，h△BDE表示△BDE中DE边上的高，h△ABC表示△ABC中BC边上的高，∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴S△ADES△BDE＝h△ADEh△BDE＝32.∴h△ADEh△ABC＝35.∵△ADE∽△ABC，∴DEBC＝h△ADEh△ABC＝35.∵DE＝6，∴BC＝10.2．解：相似．理由如下：因为EOBO＝DOCO，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO.所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∴∠BAC＝∠ADB＝90°.又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，∴△ABC∽△DBA.∴ABAC＝DBDA，∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC＝EA. ∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.∴∠BDF＝∠BAD.又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF.∴DBAD＝DFAF.∴ABAC＝DFAF.(第3题)点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：AE·AB ＝AF·AC ，可由两组“射影图”得AE·AB ＝AD 2，AF·AC ＝AD 2，∴AE·AB ＝AF·AC.4．证明：(1)∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAE ＝∠BAC. 又∵∠ADE ＝∠ABC ，∴△ADE ∽△ABC.(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴AD AE ＝ABAC . ∵∠DAB ＝∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC. ∴AD AE ＝BD CE .解码专训三1．证明：∵DE ∥BC ，∴∠NEO ＝∠MBO ，∠ENO ＝∠BMO.∴△NEO ∽△MBO.∴NE MB ＝ONOM .同理可得DN MC ＝ON OM .∴DN MC ＝NE BM .∴DN NE ＝MCBM . ∵DE ∥BC ，∴∠ANE ＝∠AMC ，∠AEN ＝∠ACM.∴△ANE ∽△AMC.∴AN AM ＝NEMC .同理可得AN AM ＝DN BM ，∴DN BM ＝NE MC .∴DN NE ＝BMMC . ∴MC BM ＝BMMC .∴MC 2＝BM 2.∴BM ＝MC.2．证明：过点C 作CO ⊥AB 于点O ，∵DE ＝CD ，DE ⊥CD ，∴∠ECD ＝∠CED ＝45°.∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠B ＝45°.∴∠CAB ＝∠CED.又∵∠AOC ＝∠EDC ＝90°，∴△ACO ∽△ECD. ∴AC CO ＝EC CD .又∵∠ACE ＋∠ECO ＝∠OCD ＋∠ECO ＝45°，∴∠ACE ＝∠OCD. ∴△ACE ∽△OCD.∴∠CAE ＝∠COD ＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴∠CAE ＋∠ACB ＝180°.∴AE ∥BC.3．证明：∵AC 2＝AB·AD ，∴AC AD ＝AB AC .又∵∠A ＝∠A ， ∴△ACD ∽△ABC.∴∠ADC ＝∠ACB.又∵BC 2＝BA·BD ，∴BC BD ＝BABC .又∵∠B ＝∠B ， ∴△BCD ∽△BAC.∴∠BDC ＝∠BCA. ∴∠ADC ＝∠BDC.∵∠BDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∴CD ⊥AB.4．证明：设AE ＝EF ＝FB ＝AD ＝k ，则AB ＝CD ＝3k.∵CD ∥AB ，∴∠DCG ＝∠FAG ，∠CDG ＝∠AFG .∴△AFG ∽△CDG ，∴FGDG＝AF CD ＝23.设FG ＝2m ，则DG ＝3m ，∴DF ＝FG ＋DG ＝2m ＋3m ＝5m.在Rt △AFD 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝5k 2，∴DF ＝5k.∴5m ＝5k.∴m ＝55k.∴FG ＝255k.∴AF FG ＝2k 255k ＝5，DF EF ＝5k k ＝ 5.∴AF FG ＝DF EF .又∠AFD ＝∠GFE ，∴△AFD ∽△GFE. ∴∠EGF ＝∠DAF ＝90°.∴EG ⊥DF.解码专训四1．A 2.4 3.49.44 cm 4.D 5.3 cm(第6题)6．解：过D 点作DN ∥AC ，交BE 于N ，如图． 易知△DMN ∽△AME ，△BDN ∽△BCE.∵BD DC ＝23，∴BD BC ＝25. ∴DN CE ＝BD BC ＝25.∵AM MD ＝41，∴AE DN ＝AM MD ＝41. ∴AE EC ＝DN EC ·AE DN ＝25×41＝85.7．A 8.D 9.6，12 10．4或247 点拨：∵△ABC 沿EF 折叠B 和B′重合，∴BF ＝B′F ，设BF ＝x ，则CF ＝8－x ，当△B′FC ∽△ABC 时，B′F AB ＝CF BC ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴x6＝8－x 8，解得：x ＝247，即：BF ＝247；当△FB′C ∽△ABC 时，FB′AB ＝FC AC ，则x 6＝8－x6，解得：x ＝4，当△ABC ∽△CB′F 时，同法可求BF ＝4，故BF ＝4或247.11．(1)证明：∵E 是Rt △ACD 的斜边的中点，∴DE ＝EA.∴∠A ＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A＝90°＋∠A ，∴∠FDC ＝∠FBD.又∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC.∴FBFD ＝FDFC.∴FD 2＝FB·FC ； (2)解：∵FB ＝5，BC ＝4，∴FC ＝9.∵FD 2＝FB·FC ，∴FD 2＝45.∴FD ＝3 5. 12．(1)证明：∵AN 平分∠BAD ，∴∠1＝∠2. ∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°.在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎨⎧∠1＝∠2，AN ＝AN ，∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ；(2)解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，DN ＝BN.∵点M 是BC 的中点，∴MN 是△BDC 的中位线，∴CD ＝2MN ＝6，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41.点拨：注意一般出现高、角平分线重合的情况，都可以利用三角形全等找到等腰三角形．13．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝DC ，∠BCE ＝∠DCF ＝90°，又∵CE ＝CF ，∴△BCE ≌△DCF.∴∠CBE ＝∠CDF.∴∠CBE ＋∠BEC ＝∠CDF ＋∠DEM ＝90°.∴BM ⊥DF. (2)解：易知∠CBD ＝45°，∵BE 平分∠DBC ，∴∠DBM ＝∠FBM ＝22.5°.由(1)知∠BMD ＝∠BMF ＝90°，∴∠BDM ＝∠F ＝67.5°.∴BD ＝BF.∴DM ＝FM ＝12DF.∵正方形ABCD 的边长为2，∴BD ＝BF ＝22，CF ＝22－2. 在Rt △DCF 中，DF 2＝DC 2＋CF 2＝4＋(22－2)2＝16－8 2. ∴DM 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DF 22＝4－2 2.∵∠CDF ＝∠DBM ，∠DME ＝∠BMD ，∴△DME ∽△BMD.∴DM MB ＝MEDM ，即DM 2＝ME·MB.∴ME·MB ＝4－2 2.14．解：设CD ＝x m ，∵AM ⊥EC ，BN ⊥EC ，CD ⊥EC ，∴MA ∥CD ∥BN.又MA ＝EA ，∴EC ＝CD ＝x m ．易知△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC .即1.75x ＝1.25x －1.75，解得x ＝6.125≈6.1，即路灯的高度CD 约为6.1 m .15．解：过点C 作CM ∥AB ，分别交EF 、AD 于点N 、M ，作CP ⊥AD ，分别交EF 、AD 于点Q 、P.由题意得四边形ABCM 是平行四边形，∴EN ＝AM ＝BC ＝20 cm .∴MD ＝AD －AM ＝50－20＝30(cm )．由题意知CP ＝40 cm ，PQ ＝8 cm .∴CQ ＝32 cm .∵EF ∥AD ，∴△CNF ∽△CMD.∴NF MD ＝CQ CP ，即NF 30＝3240，解得NF ＝24 cm .∴EF ＝EN ＋NF ＝20＋24＝44(cm )．即横梁EF 的长应为44 cm .16．(9，8)17．044078 点拨：南偏东40°方向，时针正好指到4点40分，因而代码前4位是0440，代码的后两位是78，则代码是044078.18．(2，1)或(0，－1)19．解：(1)△A ′B′C′如图所示：(第19题)(2)如图，四边形AA′C′C 的周长为AA′＋A′C′＋CC′＋AC ＝2＋22＋2＋42＝4＋6 2.。