概率论与数理统计教程(魏宗舒第二版)1-4章答案
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
概率论与数理统计答案(华东师大魏宗舒版)
概率论与数理统计答案（华东师大魏宗舒版）第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
概率论与数理统计教学教程(魏宗舒第二版)4章答案解析
(2 − 2)!!
法, 故可知2根绳子能接成环形的概率为
.
(2 − 1)!!
或者我们也看如下计算. 设有2根绳子时, 尾部两两相接共有 ()种接法, 而成环形的接法有()种.
=
10000
(︂ )︂4
9
1−
.
10
1.8 有5双不同的鞋, 从中任取4只, 问没有一双配对的概率.
4
解: 方法一: 从5双鞋中任取4只, 共有10
中取法. 4只鞋中恰有两双的取法有52 种, 4只鞋中恰有一双的
取法为: 先从5双中取一双, 再以以下方式取剩余的两只: 1) 从剩余的左脚或者右脚中任取两只; 2)或者从剩
事件 表示该学生是运动员.
(1) 叙述事件 ¯ 的意义.
(2) 在上面条件下 = 成立?
(3) 上面时候关系式 ⊂ 是正确的.
(4) 什么时候¯ = 成立?
解: (1). ¯ 表示被选的学生是三年级不是运动员的男生.
(2). = ⇔ ⊂ , 所以 = 成立, 当且仅当运动员都是三年级男生.
.
黑球有种情况, 故所求的概率为
+
4.10 任取一个正数, 求下列事件的概率：
(1)该数的平方的末位数字是1；
(2)该数的四次方的末位数字是1；
(3)该数的立方的最后两位数字都是1.
解: (1). 一个数的末位数上的数字有10种情况. 要使平方后的末位数字是1, 则该数的末位是1或者9, 所
2
= 80. 故所求概率为 = 8/10
= 8/21.
概率论与数理统计(魏宗舒)答案
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j ji A A 11)]([=≠=; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为n j i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案
第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。
概率论与数理统计第二版课后习题答案
概率论与数理统计第二版课后习题答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域。
而课后习题是学习这门学科的重要环节，通过解答习题可以巩固所学知识，提高问题解决能力。
本文将为大家提供《概率论与数理统计第二版》课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
第一章：概率论的基本概念1. 事件A、B相互独立，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，求P(A∪B)。
解答：由于A、B相互独立，所以P(A∩B)=P(A)×P(B)=0.3×0.4=0.12。
根据概率的加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.4-0.12=0.58。
2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，若P(A∩B)=0.3，求事件“既不发生A也不发生B”的概率。
解答：事件“既不发生A也不发生B”可以表示为A和B的补集的交集，即A'∩B'。
根据概率的补集公式，P(A')=1-P(A)=0.4，P(B')=1-P(B)=0.3。
由于A、B相互独立，所以P(A'∩B')=P(A')×P(B')=0.4×0.3=0.12。
第二章：离散型随机变量及其分布律1. 设随机变量X的分布律为：P(X=k)=C(10,k)×(0.3)^k×(0.7)^(10-k)，其中C(10,k)表示10中取k的组合数。
求P(X≥6)。
解答：P(X≥6)=1-P(X<6)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)]=1-[C(10,0)×(0.3)^0×(0.7)^10+C(10,1)×(0.3)^1×(0.7)^9+C(10,2)×(0.3)^2×(0.7)^8+ C(10,3)×(0.3)^3×(0.7)^7+C(10,4)×(0.3)^4×(0.7)^6+C(10,5)×(0.3)^5×(0.7)^5]=1 -[1×1×(0.7)^10+10×0.3×(0.7)^9+45×0.09×(0.7)^8+120×0.027×(0.7)^7+210×0. 0081×(0.7)^6+252×0.00243×(0.7)^5]=1-0.0282≈0.9718。
概率论与数理统计(魏宗舒)答案
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j ji A A 11)]([=≠=; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为n j i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
概率论与数理统计(魏宗舒)答案
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j ji A A 11)]([=≠=; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为n j i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
概率论与数理统计(魏宗舒)答案
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， =A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1)n i iA 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j ji A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nji j i jiAA ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂ (5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6)ni in i iA A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
概率论与数理统计教程(第二版) 魏宗舒 第一章
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
(3) 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }（3）1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个b b 1+ω，则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}， 当b 被奇数时：1135{,,,,}b A ωωωω= 当b 为偶数时：21351{,,,,}b A ωωωω+=1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？ 解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
概率论与数理统计(魏宗舒)答案
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j ji A A 11)]([=≠=; (4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为n j i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂(6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
魏宗舒《概率论与数理统计教程》(第2版)(考研真题 事件与概率)【圣才出品】
第1章 事件与概率1、选择题1．设事件A ，B 相互独立，则（ ）.[数一、数三2014研]A ．0.1B ．0.2C ．0.3D．0.4【答案】B【解析】，故，。
2．设事件A 与事件B 互不相容，则（）。
[数三 2009研]A．B ．C ．D．【答案】D【解析】由题意可知，P （AB ）＝0P （）＝1，即。
2、填空题1．设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P（AB）＝，P＝，则P（AB|）＝__________．[数一、数三2012研]【答案】【解析】由条件概率的定义知，P（AB︱）＝，其中P（）＝1－P（C）＝1－＝，P（AB）＝P（AB）－P（ABC）＝－P（ABC），由于A，C互不相容，即AC＝Ø，ABC AC，得P（ABC）＝0，代人得P（AB）＝，故P（AB︱）＝．3、解答题1．袋中有1个红球，2个黑球与3个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球．以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数．（Ⅰ）求P｛X＝1︱Z＝0｝；（Ⅱ）求二维随机变量（x，y）的概率分布．[数一、数三2009研]【分析】（Ⅰ）求条件概率，直接利用计算；（Ⅱ）先确定X，y的可能取值，然后逐个计算X，y取每一对值的概率．解：由于本题是有放回地取球，则基本事件总数为．（Ⅰ）．（Ⅱ）X，Y的可能取值均为0，1，2，且．所以二维随机变量f（x，y）的概率分布为表1－1【评注】本题为基础题型．古典概型概率计算公式如下：．。
概率论与数理统计课后习题答案(魏宗舒编)(1-4章)
1 1 24 2 23 2 22 2 2 2 0 x y 2,0 y x 1 。因此所求概率为 P ( A) 0.121 24 2
1.17 在线段 AB 上任取三点 x1 , x 2 , x3 ，求： (1) x 2 位于 x1与x3 之间的概率。 (2) Ax1 , Ax 2 , Ax3 能构成一个三角形的概率。
1 1 包含 A32 2 A3 A5 2 3 6 个样本点。于是
2 3 6 9 。 8 7 14 1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段 能构成一个三角形的概率。 P ( A)
5 解 样本点总数为 3 10 。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件 A “所取三条线段能构成一个三角形”包含 3 个样本点， 3 于是 P ( A) 。 10 1.7 一个小孩用 13 个字母 A, A, A, C , E , H , I , I , M , M , N , T , T 作组字游戏。如果字母的各种排 列是随机的（等可能的） ，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？ 解 显然样本点总数为 13 ! ，事件 A “恰好组成“MATHEMATICIAN”包含 3 ! 2 ! 2 ! 2 ! 个样本点。 所以 P ( A)
1 解 (1) P ( A) 3
1 1 1 3 3 2 1 (2) P( B ) 1 2
1.18 在平面上画有间隔为 d 的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边 长为 a, b, c （均小于 d ） ，求三角形与平行线相交的概率。 解 分别用 A1 , A2 , A3 表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与 分别用 Aa , Ab , Ac , Aab , Aac , Abc 表示边 a, b, c ， 平行线相交， 显然 P( A1 ) P( A2 ) 0. 所求概率为 P( A3 ) 。 二 边 ab, ac, bc 与 平 行 线 相 交 ， 则 P( A3 ) P( Aab Aac Abc ). 显 然 P ( A
魏宗舒版概率论与数理统计教程课后习题解答_副本
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 ，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1 ，2 ，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则 {1 ，2 ，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) A {1 ，2 } (ⅱ) B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC 成立？ (3)什么时候关系式B C 是正确的？ (4) 什么时候B A 成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC 等价于AB C ，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i 1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) ni i A 1 ; (2) n i i n i i A A 11 ; (3) n i nij j j i A A 11)]([ ;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nji j i j i A A 1,；1.4 证明下列各式： (1)A B B A ; (2)A B B A(3) C B A )()(C B A ; (4) C B A )()(C B A (5) C B A )( )(C A )(C B (6)ni ini i A A 11证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。