第二部分 专题一 第六讲 第二课时 冲刺直击高考

限时：40分钟 满分：48分

1．(满分12分)设a ≥0，函数f (x )＝[x 2＋(a －3)x －2a ＋3]e x ，g (x )＝2－a －x －4x ＋1

. (1)当a ≥1时，求f (x )的最小值；

(2)假设存在x 1，x 2∈(0，＋∞)，使得|f (x 1)－g (x 2)|<1成立，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝[x 2＋(a －1)x －a ]e x ＝(x ＋a )(x －1)e x ， ∵a ≥1，

∴当x ∈(－∞，－a )时，f (x )单调递增，当x ∈(－a,1)时，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )单调递增．

∴函数f (x )的极大值点为x 1＝－a ，极小值点为x 2＝1， 而f (1)＝(1－a )e ≤0，f (－a )＝

a ＋3

e a

>0， 令h (x )＝x 2＋(a －3)x －2a ＋3，则其图像的对称轴为x ＝3－a

2>－a ，h (－a )＝a ＋3>0，

∴当x ≤－a 时，h (x )＝x 2＋(a －3)x －2a ＋3>0， ∴f (x )>0.

当x >－a 时，f (x )的最小值为f (1)＝(1－a )e ≤0. ∴f (x )的最小值是(1－a )e.

(2)由(1)知，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上的值域是[(1－a )e ，＋∞)，当0≤a <1时，f (x )在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞)．

而g (x )＝2－a －x －4

x ＋1≤3－a －2

(x ＋1)·4

x ＋1

＝－a －1，当且仅当x ＝1时，等号

成立，

故g (x )在(0，＋∞)上的值域为(－∞，－a －1]， ∴当a ≥1时，令(1－a )e －(－a －1)<1，解得a >e

e －1，

当0

⎫e

e －1，＋∞.

2．(满分12分)(2012·石家庄模拟)已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，a ∈R. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当x ≥1时，f (x )≤

ln x

x ＋1

恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax

x ，

若a ≤0，则f ′(0)>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1

a ， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1

a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，

所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1

a ，＋∞上单调递减． 所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；

当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭

⎫1

a ，＋∞上单调递减． (2)f (x )－ln x x ＋1＝x ln x －a (x 2

－1)

x ＋1

，

令g (x )＝x ln x －a (x 2－1)(x ≥1)， 则g ′(x )＝ln x ＋1－2ax . 令F (x )＝g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ， 则F ′(x )＝

1－2ax

x

. ①若a ≤0，则F ′(x )>0，g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增， g ′(x )≥g ′(1)＝1－2a >0，

所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0， 从而f (x )－

ln x x ＋1≥0，即f (x )≥ln x

x ＋1

，不符合题意． ②若0

2，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，F ′(x )>0，所以g ′(x )在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递增， 从而g ′(x )>g ′(1)＝1－2a >0，

所以g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0， 所以f (x )－

ln x x ＋1≥0，即f (x )≥ln x x ＋1

，不符合题意． ③若a ≥1

2

，则F ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立．

所以g ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，g ′(x )≤g ′(1)＝1－2a ≤0，从而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )≤g (1)＝0，

f (x )－

ln x x ＋1≤0，即f (x )≤ln x

x ＋1

，符合题意． 综上所述，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.

3．(满分12分)设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )

与直线y ＝3

2

x 在(0,0)点相切．

(1)求a ，b 的值；

(2)证明：当0

9x x ＋6

. 解：(1)由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为3

2

，

又y ′⎪

⎪⎪⎪

⎪⎪x ＝0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋

12x ＋1＋a x =0＝32＋a ，得a ＝0. (2)证明：法一：由基本不等式，当x >0时， 2(x ＋1)·1

2＋1.

记h (x )＝f (x )－9x

x ＋6，则

h ′(x )＝

1x ＋1＋12x ＋1－54(x ＋6)2

＝

2＋x ＋12(x ＋1)－54(x ＋6)2

(x ＋6)2

＝(x ＋6)3－216(x ＋1)

4(x ＋1)(x ＋6)2

.

令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，

则当0

因此h (x )在(0,2)内是递减函数，又h (0)＝0， 得h (x )<0.于是当0

x ＋6.

法二：由(1)知f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1－1. 由均值不等式，当x >0时，

2(x ＋1)·1

2＋1.①

令k (x )＝ln (x ＋1)－x ， 则k (0)＝0，k ′(x )＝

1

x ＋1－1＝－x x ＋1

<0， 故k (x )<0，即ln(x ＋1)0时，f (x )<3

2

x .