2018版考前三个月高考数学理科(全国通用)总复习文档：解答题滚动练4 Word版含解析

解答题滚动练4
1.(2017·佳木斯一中期中)已知函数f (x )＝
34sin 2x ＋1
2
cos 2x . (1)求函数f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合；
(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (A )＝1
2，a ＝1，求△ABC 周长的最
大值. 解 (1)f (x )＝
34sin 2x ＋12×12(1＋cos 2x )＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋14，由2x ＋π6
＝2k π＋π2，得x ＝k π＋π6，k ∈Z ，当x ＝k π＋π6，k ∈Z 时，f (x )有最大值3
4
，即f (x )取最大值时x 的
集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ＝k π＋π
6，k ∈Z . (2)f (A )＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋14＝12，sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， ∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6， ∴2A ＋π6＝5π6，A ＝π
3
，
∴12＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π
3＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2
4
，
∴b ＋c ≤2，a ＋b ＋c ≤3，即△ABC 周长的最大值为3. 2.已知数列{a n }满足：a 1＝－2
3，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4
(n ∈N *).
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n ＋1是等差数列，并求{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足：b n ＝3
2(a n ＋1)(n ∈N *)，若对一切n ∈N *，都有(1－b 1)(1－b 2)…(1－b n )
≤
λ
2n ＋1
成立，求实数λ的最小值. 解 (1)因为a n ＋1＋1＝－2a n －33a n ＋4＋1＝a n ＋1
3a n ＋4
，
因为1
a n ＋1＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1，所以1a n ＋1＋1－1
a n ＋1＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1a n ＋1是首项为3，公差为
3的等差数列，所以1a n ＋1＝3n ，∴a n ＝1
3n －1.
(2)由(1)知b n ＝1
2n ，设f (n )＝
2n ＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12·34·56
…2n －12n (n ≥1，
n ∈N *
)，由f (n ＋1)f (n )＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4
＜1，得λ≥
32，即λ的最小值为3
2
. 3.几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即甲公司与乙公司，“快递员”的工资是“底薪＋送件提成”，这两家公司对“快递员”的日工资结算方案为：甲公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；乙公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：
(1)求乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系； (2)若将频率视为概率，回答下列问题：
①记甲公司的“快递员”日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和期望；
②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由.
解 (1)由题意，当0≤n ≤83时，y ＝120元，当n ＞83时，y ＝120＋(n －83)×10＝10n －710， ∴乙公司的快递员日工资y (单位：元)与送件数n 的函数关系为
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
120，0≤n ≤83，
10n －710，n ＞83. (2)X 的所有可能取值为152，154，156，158，160.
①由题意，P (X ＝152)＝0.1，P (X ＝154)＝0.1，P (X ＝156)＝0.2，P (X ＝158)＝0.3，P (X ＝160)＝0.3， ∴X 的分布列为
∴期望E (X )＝152×0.1＋154×0.1＋156×0.2＋158×0.3＋160×0.3＝157.2. ②设乙公司的日工资为Y ，则
E (Y )＝120×0.1＋130×0.2＋150×0.1＋170×0.4＋190×0.2＝159.
由于甲公司的日工资的期望(均值)没有乙公司的日工资的期望(均值)高，∴小王应当到乙公司应聘“快递员”的工作.
4.已知函数f (x )＝1
2
x 2＋a cos x ，g (x )是f (x )的导函数.
(1)若f (x )在⎝⎛⎭⎫π
2，f ⎝⎛⎭⎫π2处的切线方程为y ＝π＋22x －π2
＋4π8，求a 的值； (2)若a ≥0且f (x )在x ＝0时取得最小值，求a 的取值范围； (3)在(1)的条件下，当x ＞0时，求证
g ′()x 2＋38
x 2
＞1
x x e -. (1)解 f ′(x )＝x －a sin x ，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝π2－a ＝π＋22，
∴a ＝－1，经验证a ＝－1符合题意. (2)解 g (x )＝f ′(x )＝x －a sin x ， 则g ′(x )＝1－a cos x .
①当a ＝0时，f (x )＝1
2x 2，显然在x ＝0时取得最小值，
∴a ＝0符合题意； ②当a ＞0时，
(i)当1
a ≥1即0＜a ≤1时，g ′(x )≥0恒成立，
∴g (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又g (0)＝0，
∴当x ＜0时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，当x ＞0时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )在x ＝0时取得最小值， ∴当0＜a ≤1时符合题意；
(ii)当0＜1a ＜1，即a ＞1时，在(0，π)内存在唯一x 0使g ′(x )＝0，即cos x 0＝1
a .
当x ∈(0，x 0)时，
∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴cos x ＞cos x 0＝1
a ，
∴g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1a －cos x ＜0， ∴g (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴g (x )＜g (0)＝0， 即f ′(x )＜0，
∴f (x )在(0，x 0)上单调递减， ∴当x ∈(0，x 0)时，f (x )＜f (0)，
这与f (x )在x ＝0时取得最小值，即f (x )≥f (0)矛盾， ∴当a ＞1时不合题意. 综上，a 的取值范围是[0，1]. (3)证明 由(1)知，a ＝－1，
此时g (x )＝x ＋sin x ，g ′(x )＝1＋cos x ，
∴
g ′(x )2
＝1＋cos x 2＝⎪⎪⎪⎪cos x 2≥cos x
2
， ∴若要证原不等式成立，只需证cos x 2＋38x 2＞e x －1
x
成立.
由(2)知，当a ＝1时，f (x )≥f (0)恒成立，即1
2x 2＋cos x ≥1恒成立，
即cos x ≥1－1
2x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，
∴cos x 2≥1－1
8x 2(当且仅当x ＝0时取“＝”)，
①
∴只需证1－18x 2＋3
8
x 2＞1
x x
e -成立，即1＋1
4
x 2＞1x x
e -.
又由基本不等式知，1＋1
4
x 2≥x (当且仅当x ＝2时取“＝”)，
②
∵①②两个不等式取”＝”的条件不一致， ∴只需证x ≥1x x
e
，
两边取对数得ln x ≥1－1
x
，
③
下面证③式成立，令φ(x )＝ln x －1＋1
x ，
则φ′(x )＝1x －1x 2＝x －1
x
2，
∴φ(x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )≥φ(1)＝0，
即ln x －1＋1x ≥0，∴ln x ≥1－1
x .
即③式成立，∴原不等式成立.。