大学生数学竞赛复习
数学竞赛经验分享备考技巧题目分析答题心态等数学竞赛经验分享
数学竞赛经验分享备考技巧题目分析答题心态等数学竞赛经验分享在数学竞赛中取得好成绩需要有备而来。
以下是我分享的一些备考技巧、题目分析以及答题心态，希望能对大家在数学竞赛中有所启发。
备考技巧：1. 掌握考纲和考试要求：在备考前，了解各个数学竞赛的考纲和考试要求非常重要。
不同竞赛的考试内容和难度可能存在差异，所以要针对性地进行备考。
2. 夯实基础知识：数学竞赛并不追求生僻的知识点，而是要求对基础知识的掌握。
因此，在备考过程中，要注重巩固基础知识，将各个知识点融会贯通。
3. 刷题提高能力：刷题是备考的重要环节。
通过大量的练习，能够提高解题的速度和准确性。
初期可以选择一些基础题进行练习，逐渐提高难度，以提升自己的解题能力。
题目分析：1. 阅读题目：在参加数学竞赛时，首先要仔细阅读题目。
对于陈述不清晰的题目，可以用自己的语言重新描述一遍，确保自己理解清楚题意。
2. 分析解题方法：每道题都有多种解题方法，要学会分析题目的特点，选择最适合自己的解题方法。
有些题目可能需要用到多个方法结合，提高自己的解题灵活性。
3. 纸上演算：在开始计算之前，可以在试卷或草稿纸上进行演算，列出已知条件、求解步骤等，以免在解题过程中出现错误。
答题心态：1. 自信积极：数学竞赛中最需要的就是自信。
坚信自己的能力，并且积极面对每一道题目，相信自己可以解答出来。
2. 保持冷静：数学竞赛常常有时间限制，容易让人感到紧张。
但是在紧张时，要保持冷静，不要让情绪影响自己的判断和计算能力。
3. 遇到难题不放弃：数学竞赛中难题常常存在，遇到困难不要轻易放弃。
可以先尝试用自己熟悉的方法解题，如果无法解决，可以尝试一些其他的方法或者向他人请教。
数学竞赛是一个很好的提高数学能力和解决问题能力的平台。
通过备考技巧的学习和实践，掌握题目分析的方法和提高答题心态，相信每个人都能在数学竞赛中取得优异的成绩。
让我们一起享受数学竞赛的乐趣吧！。
大学生数学知识竞赛试题及复习资料
兴趣数学学问竞赛复习题一、填空题1、〔苏步青〕是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。
2、〔华罗庚〕是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。
3、编有三角学，被称为“李蕃三角〞且自称为“三书子〞的是〔李锐夫〕。
4、世界上攻克“哥德巴赫揣测〞的第一个人是〔陈景润〕。
5、〔姜立夫〕是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人〞，这是中国大百科全书和中国现代数学家传对他的共同评价。
6. 设有n个实数,满意<1(1,2,3,…), 12…1912+… ,那么n的最小值207. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,那么这个顶角的度数为90°8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不一样,来了2021们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024把钥匙.9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为2104 .10. 假设实数x满意x4+36<13x2,那么f(x)3-3x的最大值为1811 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。
这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当时的要价降低了1美分。
" 厨师买了＿18只鸡蛋12.f(x)∈[0,1],那么(x)+1的取值范围为[7/9,7/8]13. 函数ｆ〔ｘ〕及ｇ〔ｘ〕的定义域均为非负实数集，对随意的ｘ≥0，规定ｆ〔ｘ〕＊ｇ〔ｘ〕＝ｍｉｎ｛ｆ〔ｘ〕，ｇ〔ｘ〕｝．假设ｆ〔ｘ〕＝3－ｘ，ｇ〔ｘ〕＝，那么ｆ〔ｘ〕＊ｇ〔ｘ〕的最大值为〔2√3－1〕14．∈N,且满意342(1)=379(),设×103×102×10,那么M的值为1949 .15. 用E(n)表示可使5k是乘积112233…的约数为最大的整数k,那么E(150)= 297516. 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，那么可有_2500种不同的取法．17. 从正整数序列1,2,3,4,…中依次划去3的倍数和4的倍数,但是其中是5的倍数均保存,划完后剩下的数依次构成一个新的序列1=12=23=54=7,…,那么A2003的值为3338.18. .连接凸五边形的每两个顶点总共可得到十条线段(包括边在内),现将其中的几条线段着上着颜色,为了使得该五边形中随意三个顶点所构成的三角形都至少有一条边是有颜色的那么n的最小值是＿ 419. x0=20031+ (n>1∈N),那么x2003的整数部分为200321. ≥01,2,…,2003,且a12+…2003=1,那么{a123, a234,…, a2}的最小值为3/2007 _.22. 对于每一对实数,函数f满意f(x)(y)()1,假设f(1)=1,那么使f(n)(n≠1)的整数n共有＿1个.23.在棱长为a的正方体内包容9个等球,八个角各放一个,那么这些等球最大半径是. (√3-3/2)a24.都不为0,并且有()()().那么有1 .二、选择题1、被誉为中国现代数学祖师的是〔1、C 〕。
高校数学模型竞赛复习资料及习题解析
高校数学模型竞赛复习资料及习题解析高校数学模型竞赛是一项重要的学术竞赛活动，旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
为了帮助参赛同学更好地准备比赛，本文将提供一些复习资料和习题解析。
一、复习资料1. 教材复习高校数学竞赛通常以大学数学课程为基础，因此熟悉相关教材是复习的基础。
首先，需要掌握大学数学分析、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，并理解其基本概念和定理证明。
其次，需要学习相关课程的应用部分，如微分方程、最优化理论等。
2. 历年竞赛试题了解历年竞赛试题是复习的重要环节。
通过分析历年试题，可以了解竞赛的出题风格、难度以及题型变化趋势。
同时，可以找到一些典型的解题方法和思路，从而提高解题的效率和准确性。
历年试题可以通过高校数学竞赛官方网站、竞赛论坛或相关参考书籍获取。
3. 竞赛辅导材料为了帮助同学们更好地理解数学模型竞赛，一些教育机构和个人编写了一些辅导材料。
这些材料通常包括模型建立的方法、问题求解的思路以及典型题目的解析等内容。
可以选择一些受欢迎的辅导材料进行学习和参考。
二、习题解析在进行习题解析之前，有几点需要注意。
首先，对于每道习题，应该明确其所属的数学领域和解题思路。
其次，应该注重练习各种类型的题目，包括理论证明题、计算题和应用题等。
最后，要理解题目中所给条件和要求，并灵活运用所学知识进行解答。
接下来，我们将通过解析两道典型习题，来帮助大家更好地理解数学模型竞赛的解题方法。
1. 习题一：某公司生产产品A和产品B，每单位A产品需要花费2小时，每单位B产品需要花费3小时。
公司共有1000小时的生产时间。
如果公司希望利润最大化，应该生产多少单位的A产品和多少单位的B产品？解析：设生产A产品的单位数为x，生产B产品的单位数为y。
根据题目条件，可以列出如下两个方程：2x + 3y ≤ 1000目标函数：z = 3x + 2y通过解方程组可以求得最优解。
2. 习题二：某地区共有A、B、C三个汽车租赁公司，每个公司分别提供不同型号的车辆租赁服务。
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义.docx
全国大学生数学竞赛（非数学专业）微分学一、基本概念与内容提要1.出参数方程确定的函数的导数则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ©'(/)二儿‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t 'd 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0® 1dt(p\ty dx~ [©(ordt2.多元函数微分学全微分：衣二空血臬密•腸式不变^=—dx + — Jy + —dx oydx dy dz处的切线对和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。
二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O]— = —dt du dt dv dt偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，，z = /(s) y = >o(x o Jo Zo)z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv—= ----- ---- 1 -- ---dx du dx dv dxf du . du fdu =—dx-\ --- dy dx dydv = ^dx^dydx dy隐函数的求导公式：隐函数F(X,)')F O 尘=_・dx F y台7 F隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx Ed~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑) J 比_ Pydu _ 1 3(F,G) dv _ 1 a (F,G) du _ 1 Q(F,G) Ox J 6(x,v) ' 8x‘ J 8(u.x) ' dy J 6(>\v)二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数y = y(x)由方程xe f(y) =e y\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,则器,CF72.已知函数z = w(x,y)e ax+,y9且— =0,确定a,b ,使得函数z =z(x,y)满足 dxdy82z dz 8z n -------------------- z = 0 • Cd c c oxoy ox dy求訝罷4. 己知＜2山(1 +戶)，求y = t — arctan e 1V 丿5. 设函数i 心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,dx~ dy~W](x, 2x) = x 29 求 wfj (x, 2x).解:u(x,2x) = x 两边对兀求导,得到：山(兀,2兀)+ 2弘；(兀,2兀)=1,代入”|'(兀,2兀)=/求[-x 2得：弘；(兀,2兀)= - ；u[(x,2x) = x 2两边对 x 求导,得到:wfj (兀,2兀)+ 2U [2(X 92X ) = 2x ；\ — x~ u ； (x,2x)= 两边对 x 求导，得到 «2i (兀,2x) + 2M 22 (x,2x) = -x.以上两式与 驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u ；2=u ：\，故U^,2x) = --x 8x 2 dy2 12J " 3用全微分求解隐函数隐函数方程组ygzT[G(x,y,u,v) = OJ 』F,G)d(u.v)ar一加竺avaG-avFv GrD 巩化G) dy J Q(u,y)3.设函数/⑴有二阶连续的导数,5.设z = z(x,y)是方程F(z +上,z -一) = 0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导 兀 y数，以及 F u (w,v) = F v (W ,v)^(),求证兀3密+小(兀+刃籍+)异笑=0 ox dxdy dy导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6.设函数/(%)在［0,+oo)上连续，在(0,+oo)上可导,一川科)满足帶+弊』2詁严必(1) .求函数广(x)(x>0)的表达式;⑵•若ME 求出册522 q其中0(t)具有一阶导数，曲线y = 0(f)与y=f e~uclii + —在匸1处相2e8.设一元函数W = /(r)当0。
全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义
全国大学生数学竞赛（非数学专业）复习讲义微 分 学一、基本概念与内容提要1. 由参数方程确定的函数的导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ， 则'')(')('/t t x y t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ===⋅=ϕψ )('1)]('[)('')(')(')(''])(')('[)(222t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ⋅-=⋅==或 dt dx y dt dy ]'[''= 2.多元函数微分学z z u u u dz dx dy du dx dy x y x y z∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂全微分： dz 具有形式不变性。
()()()()00y000000,,,xz f x y f x y f x y x y z y y =⎧⎪⎨=⎪⎩、、偏导数的几何意义：和分别表示曲线在点，，x y 处的切线对轴和轴的斜率。
函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。
连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。
二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。
二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。
偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。
函数连续是可微的必要不充分条件。
(,)(,)[(),()]x y z dz f x y x f x y ydz z u z v z f u t v t dt u t v t∆≈=∆+∆∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂全微分的近似计算：多元复合函数的求导法： [(,),(,)](,)(,)z z u z vz f u x y v x y x u x v xu u v vu u x y v v x y du dx dy dv dx dy x y x y∂∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂ 当，时， 22(,)0()()x x x y y y F F F dy d y dy F x y dx F dx x F y F dx∂∂==-=--⋅∂∂隐函数的求导公式：隐函数， ， ＋ (,,)0y x z zF F z zF x y z x F y F ∂∂==-=-∂∂隐函数， ， (,,,)0(,)(,,,)0(,)1(,)1(,)1(,)1(,),(,)(,)(,)(,)u v u v F FF F F x y u v FG u vJ G G G x y u v G G u v u vu F G v F G u F G v F G x J x v x J u x y J y v y J u y ∂∂=⎧∂∂∂===⎨=∂∂∂⎩∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅=-⋅=-⋅=-⋅∂∂∂∂∂∂∂∂隐函数方程组： , ,二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. 2. 已知函数,),(byax ey x u z +=且02=∂∂∂y x z ，确定b a ,，使得函数),(y x z z =满足02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z . 3. 设函数)(t f有二阶连续的导数，()1,r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂. 4. 已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx . 5.设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入 21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''用全微分求解隐函数5. 设),(y x z z =是方程0)1,1(=-+yz x z F 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，以及0),(),(≠'='v u F v u F v u ，求证：022=∂∂+∂∂yz y x z x 和.0)(2232223=∂∂+∂∂∂++∂∂y z y y x z y x xy x z x导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6. 设函数)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞上可导，已知0)(lim 0='+→x f x 且函数)(22y x f u +=满足⎰⎰+≤+++=∂∂+∂∂2222.11222222y x t s dsdt t s y u x u （1）.求函数)0)((>'x x f 的表达式； （2）.若,0)0(=f 求.)1ln()(lim 20x x f x ++→7. 设函数y=f(x)由参数方程()()221x t t t y t ϕ⎧=+⎪>-⎨=⎪⎩确定，且()22341d y t dx =+，其中()t ϕ具有二阶导数，曲线()y t ϕ=与22132t u y edu e-=+⎰在t=1处相切，求函数()t ϕ.8．设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且(1)0,(1)1f f '==，又u f =满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂，试求()f r 的表达式。
数学竞赛备考攻略
数学竞赛备考攻略一、数学竞赛备考的秘诀在备考数学竞赛时，首先要做的是掌握基础知识。
只有打牢基础，才能在竞赛中游刃有余。
因此，建议同学们在备考过程中，要注重对基础知识的巩固和提升。
其次，要注重练习和实战。
通过大量的练习题和模拟考试，可以帮助同学们熟悉竞赛的考题类型和解题技巧，提高应试能力。
同时，也可以帮助同学们在竞赛中更加从容应对各种挑战。
另外，要注重思维的拓展和创新。
数学竞赛注重的不仅仅是计算能力，更重要的是逻辑思维和问题解决能力。
因此，同学们在备考过程中，要多思考、多探索，培养自己的创新意识和解决问题的能力。
二、数学竞赛备考的技巧在备考数学竞赛时，同学们可以尝试一些技巧来提高备考效率。
首先，可以尝试分块学习法，将知识点分成小块，逐一攻克，避免一次性学习过多内容导致混淆。
其次，可以尝试错题集法，将做错的题目整理成错题集，反复攻克，加深记忆。
另外，可以尝试背诵法，将重要公式、定理等内容进行背诵，提高记忆力和运用能力。
同时，也可以尝试固定时间复习法，每天固定时间进行复习，保持学习的连续性和稳定性。
三、数学竞赛备考的心态在备考数学竞赛时，同学们要保持良好的心态。
不要因为一时的困难而放弃，要坚持不懈，相信自己的能力。
同时，要保持乐观的心态，积极面对挑战，相信自己一定能取得好成绩。
另外，要保持自信，相信自己的实力和努力一定会得到回报。
同时，也要保持平和的心态，不要因为一时的得失而过分悲喜，要保持冷静，稳定地备考，取得好成绩。
通过以上的备考攻略和技巧，相信同学们一定能在数学竞赛中取得优异的成绩。
加油吧，未来的数学之星！。
大学数学比赛试题及答案
大学数学比赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = x^2 + 2x + 1 \)C. \( y = \ln(x) \)D. \( y = \sin(x) \)答案：A2. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极大值点是：A. \( x = -1 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = 2 \)D. \( x = 3 \)答案：B3. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式值是：A. 2B. 4C. -2D. -4答案：C4. 以下哪个级数是收敛的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 圆的方程 \( x^2 + y^2 = r^2 \) 中，半径 \( r \) 为 5，则圆的面积是 ________。
答案：78.546. 函数 \( f(x) = \sin(x) \) 在区间 \( [0, \pi] \) 上的定积分是 ________。
答案：27. 矩阵 \( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \) 的逆矩阵是 ________。
答案：\( \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \)8. 给定函数 \( g(x) = 2x^2 - 5x + 3 \)，其在 \( x = 2 \) 处的导数值是 ________。
大学生数学知识竞赛题库
大学生数学知识竞赛题库
一、竞赛介绍
该竞赛为大学生数学知识竞赛，旨在提高大学生的数学素养和综合应用能力。
竞赛内容包括数学知识与技能应用、数学模型的建立、分析、解决问题等。
二、竞赛题库
以下为该竞赛的题库示例：
1. 题目一
交换两个变量的值（不使用临时变量）。
示例：
输入: a = 1, b = 2
输出: a = 2, b = 1
2. 题目二
如果当前的月份数字为 m，第一天是星期 w，那么当月的天数
n 是多少？（不考虑闰年）
示例：
输入: m = 3, w = 2
输出: n = 31
3. 题目三
某工程项目需要两年时间完成，项目分为 n 个子任务，需要 m 个人来完成。
假设所有子任务可以分开进行，并且其完成时间不同，存在时间瓶颈。
设计一种算法，使得项目可以在两年内完成，同时
尽可能均衡各个子任务的完成时间。
示例：
输入: n = 5, m = 2, time = [12, 8, 10, 5, 7]
输出: [12, 10], [8, 7], [5]
三、总结
该竞赛题库涵盖了多个数学领域，从基础运算到综合应用均涉及，对于大学生的综合应用能力提高有很好的促进作用。
高校数学竞赛知识点总结
高校数学竞赛知识点总结一、数学分析1. 极限与连续(1) 极限的定义及性质(2) 无穷小量与无穷大量(3) 函数的连续性及常用函数的连续性2. 导数与微分(1) 导数的定义及性质(2) 高阶导数及相关性质(3) 函数的微分及相关性质(4) 隐函数与参数方程求导3. 积分与微积分基本定理(1) 定积分的概念及性质(2) 牛顿-莱布尼茨公式(3) 微积分基本定理与换元积分法(4) 分部积分法(5) 定积分的应用4. 函数极值与最值(1) 函数的极值与最值的概念(2) 求极值的求解方法(3) 函数的凹凸性及拐点5. 泰勒公式与泰勒展开(1) 泰勒公式的公式及应用(2) 泰勒展开及相关问题二、线性代数1. 行列式(1) 行列式的定义与性质(2) 行列式的性质及应用(3) 二、三阶行列式的展开2. 矩阵与矩阵运算(1) 矩阵的定义及常见类型(2) 矩阵运算及相关性质(3) 矩阵的秩及应用3. 线性方程组(1) 线性方程组的基本概念(2) 线性方程组的解的存在性及解的判定(3) 线性方程组的解的性质及相关问题4. 线性变换(1) 线性空间与线性变换的概念(2) 线性变换的性质及相关问题(3) 线性变换的标准形与正交化5. 特征值与特征向量(1) 特征值与特征向量的概念(2) 特征值与特征向量的性质及相关问题(3) 对角化及应用三、概率与统计1. 随机事件与概率(1) 随机事件的基本概念及性质(2) 概率的定义及性质(3) 条件概率与全概率公式(4) 贝叶斯公式及其应用2. 随机变量与概率分布(1) 随机变量的概念及性质(2) 离散型随机变量及其分布(3) 连续型随机变量及其分布(4) 期望与方差3. 大数定律与中心极限定理(1) 大数定律的概念及相关定理(2) 中心极限定理及其应用4. 统计学基础(1) 样本与总体的概念(2) 统计参数的估计(3) 假设检验及相关定理四、几何与代数1. 解析几何(1) 空间直角坐标系与方程(2) 空间曲线与曲面的相关问题(3) 空间曲线与曲面的参数方程2. 空间解析几何(1) 空间解析几何的基本概念及相关问题(2) 空间曲线的参数方程及相关问题(3) 空间曲面的参数方程及相关问题(4) 空间直角坐标系3. 代数学基础知识(1) 多项式的因式分解及其性质(2) 代数方程组的解及相关问题(3) 二次型的标准形及相关问题五、数论与离散数学1. 数论基础知识(1) 整数的基本性质及相关问题(2) 素数及其性质(3) 二次剩余及相关问题2. 离散数学基础知识(1) 集合及其运算(2) 关系及其运算(3) 函数及其运算(4) 图论基础知识以上便是高校数学竞赛的知识点总结，涵盖了数学分析、线性代数、概率与统计、几何与代数、数论与离散数学等多个方面的知识点。
全国大学生数学竞赛复习资料
1、 导数与偏导数例1.1 设函数()x f 在点x =0处有定义，f ()0=1，且().01s i n )1l n (lim20=-⋅+-→ex x f x x x 证明：函数()x f 在0=x 处可导，并求().0f '例1.2 设函数()()()011>+=x x x f x，证明：存在常数,,B A 使得当0+→x 时，恒有()()22x o Bx Ax e x f +++=， 并求常数.,B A例1.3 设()x f 在()+∞∞-,内二阶可导，且()0≠''x f 。
（1） 证明：对于任何非零实数x ，存在唯一的()()()10<<x x θθ，使得 ()()()().0x x f x f x f θ'+= （2） 求().lim 0x x θ→例1.4 求使不等式βα++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤⎪⎭⎫⎝⎛+n n n e n 1111对所有的自然数n 都成立的最大的数α和最小的数β。
例1.5 设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()(),02,0<⎪⎭⎫⎝⎛+>b a f a f b f a f 证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使得()().ξξf f ='例1.6 （1）设函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内二阶可导，且()0||>≥''m x f （m 为常数），又()()0==b f a f ，证明：()()28||max a b mx f bx a -≥≤≤。
例1.7 已知函数()x f 在[]1,0上三阶可导，且()()(),00,01,10='=-=f f f 证明：()()1,0,1,0∈∃∈∀ξx ，使()()()ξf x x x x f '''-++-=31122。
例1.8设函数()x f 在[]1,0上二阶可导，且满足()1||≤''x f ，()x f 在区间()1,0内取得最大值41。
数学竞赛备考要点大揭秘
数学竞赛备考要点大揭秘数学竞赛备考在很多学生心中都是一个艰巨的任务，而且常常会因为缺乏合适的备考方法而感到困惑。
但其实，只要掌握了一些备考要点，面对数学竞赛就会变得更加游刃有余。
本文将为大家揭秘数学竞赛备考的要点，帮助大家高效备考。
一、理清考试内容首先，对于数学竞赛备考，要明确考试的具体内容。
不同级别的数学竞赛所考察的知识点和技能要求是有所不同的。
因此，在备考之前，要仔细阅读考试大纲，了解每个知识点的重要性和考点特点。
只有理清考试内容，才能有针对性地制定备考计划。
二、系统复习基础知识数学竞赛离不开扎实的基础知识，因此在备考过程中，要充分利用课本和参考书进行系统复习。
有时候，一些容易被忽视的基础知识点常常是竞赛中的高频考点，因此不可偷懒。
复习时可以采用分类复习法，将知识点分成若干个类别，逐一进行复习。
同时，要注重对基础知识的概念理解和运用能力的培养，不仅要知其然，更要知其所以然。
三、注重解题技巧的训练数学竞赛的考题往往会设计较高的难度，因此解题技巧的训练就显得尤为重要。
在备考过程中，可以通过积累经典题目和习题的解题方法，来提高自己的解题能力。
此外，要注重培养数学思维、逻辑推理和运算能力，通过练习不同类型的题目，提高解题的速度和准确性。
四、进行模拟测试模拟测试是备考的重要环节之一，可以帮助考生熟悉考试形式和应对考试压力。
在备考过程中，可以参加一些公开的模拟考试或者自行组织模拟测试，以检验自己的备考情况和进步程度。
同时，要认真分析和总结模拟测试的结果，找出自己的不足之处，有针对性地进行补充和强化。
五、注意时间管理时间管理是备考成功的关键之一。
在实际考试中，往往存在时间紧张的情况，考生需要在有限的时间内完成试卷。
因此，在备考过程中，要注重训练自己的时间控制能力。
可以通过划定时间段进行专项练习，或者尝试完成一些时间较短的小练习，逐渐提高自己的解题速度。
六、保持良好的心态最后，备考过程中要保持良好的心态。
数学竞赛备考是一个长期的过程，遇到困难和挫折是难免的。
数学竞赛复习资料及练习
数学竞赛复习资料及练习
引言
数学竞赛是学生提高数学能力和解决问题能力的重要途径。
为了帮助竞赛学生有针对性地复和练，本文提供了一些数学竞赛复资料和练建议。
复资料推荐
以下是一些适合数学竞赛复的资料推荐：
1. 教材复：首先，建议学生仔细研读与竞赛相关的数学教材，牢固掌握基础知识。
2. 题目集：购买一些经典的数学竞赛题目集，如《数学竞赛题精选》等，根据题目类型和难度进行有针对性的刷题。
3. 真题回顾：找到过去的数学竞赛试题，并进行回顾和分析。
了解常见题型和考察要点，提高解题思路和方法。
4. 网上资源：在互联网上搜索数学竞赛的相关资料，如在线题库、解题视频等。
这些资源能够帮助学生更全面地了解和掌握数学
竞赛的知识和技巧。
练建议
除了复资料，下面是一些建议的练方法：
1. 刷题：大量刷题是提高解题能力的关键。
学生可以根据自己
的能力选择适当的题目，在有限时间内进行大量的练。
2. 分析错题：对于做错的题目，学生应该认真分析错误的原因，并找出解题的差错点。
通过反思和纠正错误，进一步提高解题能力。
3. 模拟考试：定期进行模拟考试，模拟真实竞赛环境。
这能够
帮助学生提高应试能力和时间管理能力。
4. 组队讨论：找一些竞赛研究伙伴，进行讨论和交流。
分享解
题思路和方法，共同提高解题能力。
结论
通过合理的复习和有针对性的练习，学生能够有效提高数学竞赛的成绩。
希望上述提供的复习资料和练习建议能够帮助到竞赛学生，加油！。
大一数学竞赛知识点
大一数学竞赛知识点大一数学竞赛是对大一学生数学能力的一种综合考核，涵盖了大一数学课程的各个知识点。
为了在竞赛中取得好成绩，学生需要对以下几个关键知识点进行深入理解和掌握。
一、数列与数列极限1. 数列的定义和表示方法2. 数列的性质：有界性、单调性、有界单调性、递推关系3. 数列的极限定义与性质4. 常见数列的极限计算方法：等差数列、等比数列、调和数列等5. 无穷数列与级数二、函数与极限1. 函数的定义和性质2. 函数的极限定义与性质3. 极限的四则运算法则4. 无穷小与无穷大概念及其运算5. 函数的连续性及其判定方法三、微分学1. 导数的定义与性质2. 常见函数的导数计算方法：初等函数、反函数、复合函数、参数方程函数等3. 函数的单调性、极值、凹凸性及其判定方法4. 隐函数与相关变换5. 常微分方程四、积分学1. 不定积分的定义与性质2. 基本积分公式及常用积分方法3. 定积分的定义、性质与计算方法4. 曲线长度、旋转体体积的计算5. 参数方程与极坐标下的积分计算五、向量代数与空间解析几何1. 向量及其运算2. 向量的数量积与向量积3. 平面与直线的方程与位置关系4. 空间中的平面与直线的位置关系与距离计算5. 空间中曲线的方程与曲面的方程六、级数与幂级数1. 级数的收敛性和敛散性判定方法2. 常数项级数的性质：和与部分和3. 正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法4. 幂级数的收敛半径与收敛区间5. 幂级数的求和及函数展开七、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质2. 多元函数的偏导数与全微分3. 多元函数的极值与条件极值4. 隐函数与隐函数的导数5. 杂项：拉格朗日乘数法、多元函数积分等八、概率与统计基础1. 随机事件与样本空间2. 概率及其性质：加法规则、乘法规则、全概率公式、贝叶斯公式3. 随机变量及其概率分布：离散型和连续型随机变量4. 期望、方差、协方差与相关系数5. 样本统计量及其抽样分布：样本均值与样本方差以上是大一数学竞赛的一些重要知识点，希望同学们能够针对这些内容进行系统的学习和复习，扎实掌握其中的概念和方法。
如何高效备考数学竞赛
如何高效备考数学竞赛数学竞赛作为一项具有挑战性和专业性的学科竞赛，对于参与者来说备考是至关重要的。
一个高效的备考计划能够帮助考生有条不紊地准备，并在竞赛中发挥出最佳水平。
本文将为您介绍如何高效备考数学竞赛的几个关键步骤。
第一步：制定备考计划备考计划是备考的基础，它能够帮助考生有条理地安排学习时间和内容。
首先，要明确竞赛的时间和考试的要求，然后根据自身时间安排和个人情况，制定一个适合自己的备考计划。
在备考计划中，可以设置每天的学习时间、每周的复习时间以及每个阶段的重点知识点和习题。
同时，要注意合理安排休息时间，避免过度劳累。
第二步：选择合适的学习材料数学竞赛的学习材料种类繁多，考生应根据自身水平和考试要求选择适合的学习材料。
优秀的教材和习题集可以帮助考生理解知识点和解题技巧，并提供大量的练习题供考生练习。
同时，可以参考以往的竞赛试题和模拟试卷，通过解析题目和答案，了解竞赛的出题规律和解题思路。
此外，可以参加一些针对数学竞赛备考的培训班或者参加竞赛论坛，与其他竞赛者交流经验和学习方法。
第三步：系统学习与巩固基础知识数学竞赛的基础知识包括数论、代数、几何等多个领域，考生应该系统地学习这些知识，并通过做题来巩固。
首先，要掌握每个知识点的基本概念和定义，并理解其应用和证明方法。
然后，要通过大量的习题练习来巩固和提高自己的解题能力。
可以选择一些典型的例题进行分析，总结解题的一般思路和方法。
此外，可以结合参考书和习题集中的答案和解析，对照自己的解题过程，找出不足和错误，并及时进行纠正。
第四步：注重综合运用和创新思维数学竞赛强调对数学知识的综合运用和创新思维能力的培养。
在备考过程中，要多做一些综合性和创新性的题目，特别是一些复杂的综合题和问题解决题。
通过解决这些题目，考生可以锻炼自己的综合思考能力和创新意识，提高解决问题的能力。
此外，要多进行一些数学思维训练，包括数学推理、数学证明和数学建模等方面的训练，这有助于拓宽思维广度和加深对数学的理解。
大学数学竞赛试题
大学数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数 \( f(x) = \sin x + \cos x \)，求\( f(\frac{\pi}{4}) \) 的值是：A. \( \sqrt{2} \)B. \( 1 \)C. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)D. \( 0 \)E. \( -1 \)2. 若 \( a, b \) 是方程 \( x^2 + 3x - 4 = 0 \) 的根，求\( a^2 + 3a - 4 \) 的值是：A. \( 0 \)B. \( 1 \)C. \( 4 \)D. \( 8 \)E. \( 16 \)3. 设 \( a, b, c \) 是三角形的三边长，且 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，根据勾股定理，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形E. 不规则三角形4. 一个函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) 的导数 \( g'(x) \) 是：A. \( 3x^2 - 6x \)B. \( 3x^2 - 6 \)C. \( x^2 - 6x + 4 \)D. \( -3x^2 + 12x - 4 \)E. \( 3x^2 - 12x \)5. 圆 \( x^2 + y^2 = 4 \) 上到直线 \( 2x - y + 6 = 0 \) 的距离最远的点是：A. \( (0, 2) \)B. \( (-2, 0) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, -2) \)E. \( (1, \sqrt{3}) \)6. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 的值是：A. \( 2 \)B. \( 1 \)C. \( 0 \)D. \( \frac{1}{2} \)E. \( \infty \)二、填空题（每题4分，共20分）7. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx = \) __________。
大学数学竞赛知识点总结
大学数学竞赛知识点总结一、数学分析1. 极限和连续性极限的概念：设函数y=f(x)，x趋于a时y的极限为L，如果对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么我们就称L是这个函数在x趋于a时的极限。
连续性的概念：如果在x=a处，f(a)存在且极限存在，那么函数在x=a处连续。
2. 微分学导数的定义：设函数y=f(x)，若极限lim(x→0) (f(x+h)-f(x))/h存在，则称此极限为f(x)在x处的导数，记为f'(x)。
微分的概念：y=f(x)在x=x0处可微，则称f(x)在x=x0处可微，且f'(x0)dx是f(x0+dx)-f(x0)的线性近似。
导数的运算法则：加法法则、常数乘法法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则。
3. 积分学定积分的概念：设f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]上任取n个点x1,x2,…,xn=x0，xi的数量级为Δxmax→0时当n→∞时，当Δxmax→0极限存在且不依赖于选取的点x1,x2,…,xn=x0，这时称此极限为f(x)在[a,b]上的定积分，记为∫abf(x)dx。
定积分的性质：定积分的线性性、定积分的可加性、定积分的估值、定积分的区间可加性等。
4. 级数与收敛性级数的概念：级数是一列项的和，即无穷数列a1,a2,…,an,…的和Sn=a1+a2+…+an+…。
收敛与发散的判定：级数无穷和Sn的极限存在并且有限时，即lim(n→∞)Sn存在且有限时，级数收敛，否则级数发散。
5. 函数的一致收敛性与傅立叶级数一致收敛性的概念：设函数列{fn(x)}在区间I上有界，如果对于任意的ε>0，存在N(ε)，使得当n>N(ε)时，|fn(x)-f(x)|<ε对于一切x∈I都成立，那么称函数列{fn(x)}在区间I上一致收敛于f(x)。
傅立叶级数的概念：在区间(-π,π)上，函数f(x)可以展开为正弦和余弦的无限级数形式，这个级数就称为傅立叶级数。
数学专业的数学竞赛备考指南
数学专业的数学竞赛备考指南在当今高度竞争的社会中，数学竞赛成为了衡量学生数学能力和解决问题能力的重要途径之一。
作为数学专业的学生，参加数学竞赛不仅可以锻炼自己的技能，还可以提升个人的学术素养和实践能力。
本文将为数学专业的学生提供一些备考数学竞赛的指南，帮助他们在竞赛中取得更好的成绩。
一、了解竞赛内容与要求在备考数学竞赛之前，首先要认真研究所参加竞赛的内容和要求。
不同的竞赛可能涵盖的知识点和题型都会有所不同，因此要仔细阅读竞赛规则和要求，确保自己对竞赛的内容有一个全面的了解。
二、系统学习数学基础知识无论是任何竞赛，扎实的数学基础知识都是参赛者成功的基石。
数学专业的学生应该重点复习和学习高等数学、线性代数、数学分析等基础课程的相关内容。
建议对于重要的数学定理和公式要牢记于心，掌握其思想和推导过程，以便在竞赛中能够运用自如。
三、刷题提高解决问题的能力数学竞赛的题目往往需要灵活运用数学知识解决问题，所以刷题是提高解题能力的关键。
数学专业的学生可以根据竞赛的要求选择合适的题目进行练习。
在刷题的过程中，要注重总结题目的解题思路和方法，培养自己的分析和推理能力，提高解决问题的速度和准确性。
四、参加竞赛模拟考试模拟考试是检验备考成果和发现不足的有效方式。
数学专业的学生可以参加一些数学竞赛的模拟考试，模拟真实竞赛的环境和时间，提前适应竞赛的紧张氛围。
通过模拟考试可以评估自己的备考情况，发现弱点并及时进行调整和补充。
五、参加团队讨论和交流数学竞赛不仅是个人能力的体现，还与团队合作和交流息息相关。
数学专业的学生可以加入数学竞赛的团队或者组织，和其他同学一起进行讨论、分享解题经验和策略。
通过相互交流和合作能够拓宽自己的思维和视野，提高解决问题的能力。
六、保持良好的心态和积极态度备考数学竞赛是一个漫长而艰苦的过程，可能会遇到各种困难和挑战。
数学专业的学生要保持良好的心态和积极的学习态度，勇于挑战和克服困难。
相信自己的实力，相信付出必有回报，在竞赛中保持自信，发挥出最佳水平。
大二数学竞赛知识点汇总
大二数学竞赛知识点汇总数学竞赛作为提高学生数学能力和培养解决问题能力的一种重要途径，在大二阶段已经成为许多学校和学生的重要课外活动之一。
为了帮助大二学生更好地备战数学竞赛，下面将对大二数学竞赛的知识点进行详细汇总。
1. 高等代数1.1 行列式与矩阵行列式的定义及性质、矩阵的定义和运算、行列式与矩阵的关系等。
1.2 线性方程组高斯消元法、矩阵的秩和最简阶梯形、线性相关与线性无关等。
1.3 向量空间向量空间的基本概念、子空间、向量空间的维数、向量组的秩等。
2. 数学分析2.1 极限与连续性数列极限、函数极限、连续函数的性质和判定等。
2.2 导数与微分函数的导数、导数的运算法则、高阶导数、微分的应用等。
2.3 积分与定积分不定积分、定积分的定义和性质、积分中值定理、曲线的弧长等。
3. 概率论与数理统计3.1 随机事件与概率随机事件、概率的定义、基本概率公式、条件概率、独立性等。
3.2 随机变量与概率分布随机变量的定义和分类、离散型随机变量和概率分布、连续型随机变量和概率密度函数等。
3.3 统计与抽样统计指标的计算、抽样分布、参数估计、假设检验等。
4. 几何学4.1 解析几何平面解析几何、空间解析几何、曲线的参数方程等。
4.2 点、直线、平面的位置关系点到直线的距离、点到平面的距离、直线与平面的交线等。
4.3 三角学三角函数、三角恒等式、解三角形等。
以上是大二数学竞赛的主要知识点汇总，希望对即将参与竞赛的同学有所帮助。
在准备竞赛过程中，建议同学们进行系统的知识点复习，并结合大量的练习题进行巩固和提高。
祝愿大家在数学竞赛中取得优异的成绩！。
大学数学竞赛试题及答案
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. iC. √2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, -1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C3. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。
A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A4. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C5. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式。
A. 0B. 1C. 7D. 8答案：C6. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数g(x) = 2x - 3，求g(4)的值：________。
答案：58. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度：________。
答案：59. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的极小值点：________。
答案：x = 110. 已知一个球的体积是(4/3)π，求该球的半径：________。
答案：1三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1始终成立。
证明：略12. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该函数的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
通过二阶导数检验，可知x = 1为极大值点，x = 3为极小值点。
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e1' = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
' e2 = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , ' e3 = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
a + a + a = 1,
' 3 ' 1
1
的直角坐标系。相应的坐标变换公式为
1 ' m 1 x − y' + z ' , 在新的直角坐标系中， x= 2 2(2 + m 2 ) 2 + m2 ' 原平面的方程为：z = 0. 1 ' m 1 ' ' x − y + z, y = − 2 2 2 2(2 + m ) 2+m 2 m z=− y' − z'. 2(2 + m 2 ) 2 + m2
点的坐标变换公式： 点的坐标变换公式：
x = a1 + a11 x ' + a12 y ' + a13 z ' , y = a2 + a21 x ' + a22 y ' + a23 z ' , z = a3 + a31 x + a32 y + a33 z .
' ' '
这是从新坐标求旧 坐标， 坐标，下面还会讨 论从旧坐标来求新 坐标。 坐标。
' 1 ' e2 = (a11 , a21 , a31 ) = a12 e1 + a22 e2 + a32e3 ,
· O'
e1' e 2
e = (a13 , a23 , a33 ) = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
' 3
e1
写成矩阵的形式
' e1' e2 ( ' e3 ) = ( e1 e2
a11 e3 ) a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
任何一点 P ,如果其旧坐标为( x, y, z ) ，新坐标 ' ' ' ' e3 为( x , y , z ), 那么
而
' uuu r e2 e' 3 OP = xe1 + ye2 + ze3 , O P• · ' uuur O ' ' ' ' ' ' ' O P = x e1 + y e2 + z e3 . ' e1 e uuuu r O ' 2 OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 . O r uuu uuuu' uuur r e1 ' OP = OO + O P ' ' ' ' ' ' = a1e1 + a2 e2 + a3e3 + x e1 + y e2 + z e3 .
x = c1 1 x ' + c 2 1 y ' + c 3 1 z ' , y = c1 2 x ' + c 2 2 y ' + c 3 2 z ' , z = c1 3 x + c 2 3 y + c 3 3 z .
' ' '
⇔ ( x, y, z ) = ( x , y , z )C
' ' '
练习：求过点(2,0,3)的平行于y轴的平面，使得它与曲面 y 2 + 9 xz = 60的交线是圆。
解：设过点P(2,0,3)平行于y轴的平面π 的法向量为( A,0, C ). 则π 的方程可表示为 : A( x − 2) + C ( z − 3) = 0 : 1 1 ' ' 以P(2,0,3)为原点e3 = ( A,0, C ).e1 = (C ,0, − A), 2 2 2 2 A +C A +C ' ' ' ' e2 = e3 × e1' =(0,1,0)为新的基本向量建立空间直角坐标系Pe1' e2 e3 .
问题：如何求正交矩阵C？
e c11 c12 c13 ' ' 'T 记： =c21 c22 c23 = e1 e2 e3 =e C e c c c 31 32 33
(
)
' 1 ' 2 ' 3
' ' 以原点为新原心，以为 e1' , e2 , e3新的基本向量建立 ' ' 空间直角坐标系 [O , e1' , e2 , e3 ], 坐标变换公式为：
写成矩阵的形式
x a1 a11 a12 y = a +a a22 2 21 z a a 3 31 a32 ' e1'的 e2 的
x' a13 y' . a23 a33 z ' ' e3 的
旧 坐 标
O的旧坐标
'
旧 坐 标
旧 坐 标
是互相垂直的单位向量, 因为e , e , e 是互相垂直的单位向量 即
' 1
' 2
' 3
1,当i = j; e ⋅e = 0,当i ≠ j.
' i ' j
从而可以得到下面一组正 交条件： 交条件：
a + a + a = 1, ⇔ e ⋅ e = 1
F ( x, y, z ) = XDX T + XB + c = 0 X = ( x, y, z ), B = (b1 , b2 , b3 )T ,
a11 D = a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
Φ( x, y, z ) = XDX T 称为F的二次项部分，是个二次型. 由线性代数的知识可知、存在一个正交矩阵C可把 二次型Φ( x, y, z )化为标准型.CDC T = diag (λ1 , λ2 , λ3 )
单叶双曲面和原平面的交线的方程为 1 ' m 1 ' m ' 2 ' 2 ( x− y ) + (− x− y) 2 2 2(2 + m 2 ) 2(2 + m 2 )
−( −
'
2 2(2 + m )
2
y ) =1
' 2
m 2 − 2 '2 '2 x + 2 y = 1. m +2
z =0 所以，当
x = 1+ t x = 1+ t 7 所以直母线有两条L1 : y = −4 , L2 : y = −4 − t , 4 z = 1− t 1 z = 1+ t 4
m2 − n2 = 0 如果:l = 0.上式化为 只有零解. 5m + 7 n = 0. 2 + m 2 − n 2 + 3m + n = 0 所以不妨假设l = 1.上式化为 解得 : 7 + 5m + 7 n = 0. 7 m = − (n + 1), 代入第一式得 : 49(n + 1)2 − n 2 − 105(n + 1) + 25n = −50. 5 1 7 从而有n1 = −1, m1 = 0, n2 = , m2 = − . 4 4
在新的坐标系[O, ]，二次曲面S的方程变为 Φ ( x ' , y ' , z ' ) = λ3 x '2 + λ3 y '2 + λ3 z '2 + 2( x ' , y ' , z ' )CB + c = 0
' Φ ( x ' , y ' , z ' ) = λ3 x '2 + λ3 y '2 + λ3 z '2 + 2b1' x ' + 2b2 y ' + 2b3' z ' + c = 0,
坐标变换
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ]
O ' = (a1 , a2 , a3 )
' e3
新坐标系[O , e , e , e ] uuuu r ' OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 .
'
' 1
' 2
' 3
e3
O
' e2
e = (a11 , a21 , a31 ) = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
二次曲面：三元二次方程所表示的曲面
S = {( x, y, z ) ∈ R 3 : F ( x, y, z ) = a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0}