大学生数学竞赛复习

二次曲面：三元二次方程所表示的曲面
S = {( x, y, z ) ∈ R 3 : F ( x, y, z ) = a11 x 2 + a22 y 2 + a33 z 2 + 2a12 xy + 2a13 xz + 2a23 yz + 2b1 x + 2b2 y + 2b3 z + c = 0}
其中
坐标变换
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ]
O ' = (a1 , a2 , a3 )
' e3
新坐标系[O , e , e , e ] uuuu r ' OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 .
'
' 1
' 2
' 3
e3
O
' e2
e = (a11 , a21 , a31 ) = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
' 1 ' e2 = (a11 , a21 , a31 ) = a12 e1 + a22 e2 + a32e3 ,
· O'
e1' e 2
e = (a13 , a23 , a33 ) = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
' 3
e1
写成矩阵的形式
' e1' e2 ( ' e3 ) = ( e1 e2
2 13 2 23 2 33
a11a12 + a21a22 + a31a32 = 0, a12 a13 + a22 a23 + a32 a33 = 0, a13 a11 + a23 a21 + a33 a31 = 0.
e ⋅ e j = ? e' ⋅ e = a 21 1 2
' i
这说明e1'的第二个旧坐标是a21，也说明e2的第一个新坐标是a21.
F ( x, y, z ) = XDX T + XB + c = 0 X = ( x, y, z ), B = (b1 , b2 , b3 )T ,
a11 D = a12 a 13 a12 a22 a23 a13 a23 a33
Φ( x, y, z ) = XDX T 称为F的二次项部分，是个二次型. 由线性代数的知识可知、存在一个正交矩阵C可把 二次型Φ( x, y, z )化为标准型.CDC T = diag (λ1 , λ2 , λ3 )
写成矩阵的形式
x a1 a11 a12 y = a +a a22 2 21 z a a 3 31 a32 ' e1'的 e2 的
x' a13 y' . a23 a33 z ' ' e3 的
' 3 ' 1
1
的直角坐标系。相应的坐标变换公式为
1 ' m 1 x − y' + z ' , 在新的直角坐标系中， x= 2 2(2 + m 2 ) 2 + m2 ' 原平面的方程为：z = 0. 1 ' m 1 ' ' x − y + z, y = − 2 2 2 2(2 + m ) 2+m 2 m z=− y' − z'. 2(2 + m 2 ) 2 + m2
单叶双曲面和原平面的交线的方程为 1 ' m 1 ' m ' 2 ' 2 ( x− y ) + (− x− y) 2 2 2(2 + m 2 ) 2(2 + m 2 )
−( −
'
2 2(2 + m )
2
y ) =1
' 2
m 2 − 2 '2 '2 x + 2 y = 1. m +2
z =0 所以，当
其中： 1' , b2 , b3' )T = CB (b '
接下来在通过移轴，可把二次曲面的方程化 为17种标准型之一
例：确定实数m的值，使平面x + y − mz = 0与单叶双曲面x 2 + y 2 − z 2 = 1相交，交线分别为椭圆，双曲线。
1 解：取e = (1,1, − m), e = (1, −1,0), 2 2 2+m 1 ' ' ' e2 = e3 × e1 = (− m, − m, −2)作为基本向量建立新 2 2(2 + m )
2 11 2 21 2 31 ' 1 ' 1 2 2 2 a12 + a22 + a32 = 1,
e1' = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
' e2 = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , ' e3 = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
a + a + a = 1,
x = c1 1 x ' + c 2 1 y ' + c 3 1 z ' , y = c1 2 x ' + c 2 2 y ' + c 3 2 z ' , z = c1 3 x + c 2 3 y + c 3 3 z .
' ' '
⇔ ( x, y, z ) = ( x , y , z )C
' ' '
C A ' x = 2+ x + z' A2 + C 2 A2 + C 2 那么坐标变换公式为: y = y' −A C ' z = 3+ x + z' A2 + C 2 A2 + C 2
' ' 那么在坐标系Pe1' e2 e3中, 平面π 的方程为z ' = 0.曲面的方程为 C A −A C '2 ' ' ' y + 9(2 + x + z )(3 + x + z ' ) = 60 A2 + C 2 A2 + C 2 A2 + C 2 A2 + C 2
| m |> 2, 交线是椭圆，
即：
z =0
'
| m |< 2, 交线是双曲线， | m |= 2, 交线是一对平行直线。
练习1：求过点(2,0,3)的平行于y轴的平面，使得它与曲面 y 2 + 9 xz = 60的交线是圆。 练习2：在二次曲面2 x 2 + y 2 − z 2 + 3 xy + xz − 6 z = 0上，求过了点 (1, −4,1)的所有直母线的方程。
P
因为
e = a11e1 + a21e2 + a31e3 ,
' 1 ' e2 = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3 , ' e3 = a13e1 + a23e2 + a33e3 .
= (a1 + a11 x ' + a12 y ' + a13 z ' )e1 + (a2 + a21 x ' + a22 y ' + a23 z ' )e2 + (a3 + a31 x ' + a32 y ' + a33 z ' )e3 = xe1 + ye2 + ze3 .
旧 坐 标
O的旧坐标
'
旧 坐 标
旧 坐 标
是互相垂直的单位向量, 因为e , e , e 是互相垂直的单位向量 即
' 1
' 2
' 3
1,当i = j; e ⋅e = 0,当i ≠ j.
' i ' j
从而可以得到下面一组正 交条件： 交条件：
Baidu Nhomakorabea
a + a + a = 1, ⇔ e ⋅ e = 1
a11 e3 ) a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
任何一点 P ,如果其旧坐标为( x, y, z ) ，新坐标 ' ' ' ' e3 为( x , y , z ), 那么
而
' uuu r e2 e' 3 OP = xe1 + ye2 + ze3 , O P• · ' uuur O ' ' ' ' ' ' ' O P = x e1 + y e2 + z e3 . ' e1 e uuuu r O ' 2 OO = a1e1 + a2 e2 + a3e3 . O r uuu uuuu' uuur r e1 ' OP = OO + O P ' ' ' ' ' ' = a1e1 + a2 e2 + a3e3 + x e1 + y e2 + z e3 .
练习：求过点(2,0,3)的平行于y轴的平面，使得它与曲面 y 2 + 9 xz = 60的交线是圆。
解：设过点P(2,0,3)平行于y轴的平面π 的法向量为( A,0, C ). 则π 的方程可表示为 : A( x − 2) + C ( z − 3) = 0 : 1 1 ' ' 以P(2,0,3)为原点e3 = ( A,0, C ).e1 = (C ,0, − A), 2 2 2 2 A +C A +C ' ' ' ' e2 = e3 × e1' =(0,1,0)为新的基本向量建立空间直角坐标系Pe1' e2 e3 .
练习：在二次曲面2 x 2 + y 2 − z 2 + 3 xy + xz − 6 z = 0上，求过了点 (1, −4,1)的所有直母线的方程。
解:设过点(1, −4,1)的直母线的方程为: x = 1 + lt y = −4 + mt 代入曲面的方程得: z = 1 + nt −4 + mt 2(1 + lt )2 +( − 4 + mt )2 −(1 + nt )2 + 3 1 + lt )( − 4 + mt )+ ( (1 + lt )(1 + nt )− 6(1 + nt ) = 0 : 整理得到 t 2 (2l 2 + m 2 − n 2 + 3ml + nl ) − t (7l + 5m + 7 n) = 0 由于直线包含在曲面上, 所以上式对所有的t都成立.所以 2l 2 + m 2 − n 2 + 3ml + nl = 0 7l + 5m + 7 n = 0.
所以交线的方程为 C A C −A '2 ' ' ' y + 9(2 + x + z )(3 + x + z' ) A2 + C 2 A2 + C 2 A2 + C 2 A2 + C 2 = 60 z' = 0
即
−A C '2 ' y + 9(2 + x )(3 + x ' ) = 60 化简得: A2 + C 2 A2 + C 2 z' = 0 −9 AC '2 27C − 18 A ' x + x + y '2 = 6 2 A + C2 A2 + C 2 z' = 0
x = 1+ t x = 1+ t 7 所以直母线有两条L1 : y = −4 , L2 : y = −4 − t , 4 z = 1− t 1 z = 1+ t 4
m2 − n2 = 0 如果:l = 0.上式化为 只有零解. 5m + 7 n = 0. 2 + m 2 − n 2 + 3m + n = 0 所以不妨假设l = 1.上式化为 解得 : 7 + 5m + 7 n = 0. 7 m = − (n + 1), 代入第一式得 : 49(n + 1)2 − n 2 − 105(n + 1) + 25n = −50. 5 1 7 从而有n1 = −1, m1 = 0, n2 = , m2 = − . 4 4
化简得由于交线是个圆;当并且仅当:
−9 AC = 1.即 2 2 A +C 1 1 2 2 −9 AC = A + C , 解得 : A = (−9 + 77)C , A = (−9 − 77)C 2 2
所以所求的平面为:(9 - 77)( x - 2) - 2( z - 3) = 0, (9 + 77)( x - 2) - 2( z - 3) = 0,
在新的坐标系[O, ]，二次曲面S的方程变为 Φ ( x ' , y ' , z ' ) = λ3 x '2 + λ3 y '2 + λ3 z '2 + 2( x ' , y ' , z ' )CB + c = 0
' Φ ( x ' , y ' , z ' ) = λ3 x '2 + λ3 y '2 + λ3 z '2 + 2b1' x ' + 2b2 y ' + 2b3' z ' + c = 0,
问题：如何求正交矩阵C？
e c11 c12 c13 ' ' 'T 记： =c21 c22 c23 = e1 e2 e3 =e C e c c c 31 32 33
(
)
' 1 ' 2 ' 3
' ' 以原点为新原心，以为 e1' , e2 , e3新的基本向量建立 ' ' 空间直角坐标系 [O , e1' , e2 , e3 ], 坐标变换公式为：
点的坐标变换公式： 点的坐标变换公式：
x = a1 + a11 x ' + a12 y ' + a13 z ' , y = a2 + a21 x ' + a22 y ' + a23 z ' , z = a3 + a31 x + a32 y + a33 z .
' ' '
这是从新坐标求旧 坐标， 坐标，下面还会讨 论从旧坐标来求新 坐标。 坐标。