直线型面积
小学数学几何直线型面积的计算完整版题型训练+详细答案
⼩学数学⼏何直线型⾯积的计算完整版题型训练+详细答案直线形⾯积的计算例题讲解：板块⼀：基础题型：1．如图，四边形ABCD是直⾓梯形，其中AD=12（厘⽶），AB=8（厘⽶），BC= 15（厘⽶），且三⾓形ADE、四边形DEBF、三⾓形CDF的⾯积相等，阴影三⾓形DEF的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：四边形ABCD的⾯积是（12+15）×8÷2=108（平⽅厘⽶），108÷3=36（平⽅厘⽶）。
CF=36×2÷8=9(厘⽶)，FB=15-9=6(厘⽶)，AE=36×2÷12=6（厘⽶），EB=8-6=2（厘⽶）。
阴影三⾓形DEF的⾯积是36-2×6÷2=30（平⽅厘⽶）2．⼀块长⽅形的⼟地被分割成4个⼩长⽅形，其中三块的⾯积如图所⽰（单位：平⽅⽶），剩下⼀块的⾯积应该是多少平⽅⽶？解析：40×15÷30=20（平⽅⽶）3．如图，在三⾓形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍，三⾓形DEC的⾯积是3平⽅厘⽶．请问：三⾓形ABC的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：三⾓形ADC的⾯积是3×3=9（平⽅厘⽶），三⾓形ABC的⾯积是3×9=27（平⽅厘⽶）4．如图，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍，三⾓形ABC的⾯积为36平⽅厘⽔．三⾓形BDE的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：三⾓形BAE的⾯积是36÷3×2=24（平⽅厘⽶），三⾓形BDE的⾯积24÷3×2=16（平⽅厘⽶）5．如图所⽰，已知三⾓形BEC的⾯积等于20平⽅厘⽶，E是AB边上靠近⽇点的四等分点，三⾓形AED的⾯积是多少平⽅厘⽶？平⾏四边形DECF的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：（1）三⾓形AED的⾯积是20×3=60（平⽅厘⽶）（2）三⾓形DEC的⾯积是20+60=80（平⽅厘⽶），三⾓形DEC的⾯积是平⾏四边形DECF 的⾯积的⼀半，也是平⾏四边形ABCD的⾯积的⼀半，所以平⾏四边形DECF的⾯积是80×2=160（平⽅厘⽶）6．如图，已知平⾏四边形ABCD的⾯积为36，三⾓形AOD的⾯积为8．三⾓形BOC的⾯积为多少？解析：根据⼀半模型可知，三⾓形AOD的⾯积和三⾓形BOC的⾯积是平⾏四边形ABCD 的⾯积的⼀半，所以三⾓形BOC的⾯积是36÷2-8=107．如图，长⽅形ABCD的⾯积是96平⽅厘⽶，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD上靠近C点的四等分点．阴影部分的⾯积是多少平⽅厘⽶？解析：链接BD ，可知三⾓形ABD 的⾯积和三⾓形BDC 都是96÷2=48（平⽅厘⽶），三⾓形ABE 的⾯积是48×32=32（平⽅厘⽶）。
第十三讲直线型图形面积的计算
第十三讲 直线型面积的计算不规那么图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规那么图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规那么图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规那么图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理〞〔即：集合A 与集合B 之间有：AB A B A B S S S S =+-〕合并使用才能解决。
〖经典例题〗例1、下列图是边长为4厘米的正方形,AE =5厘米、OB 是多少厘米？ 分析：连接BE ,那么8442121=⨯⨯==∆正方形S S ABE (平方厘米). 从另一角度看,OB S ABE ⨯⨯=∆521,于是8521=⨯⨯OB .所以 825OB =⨯÷=3.2(厘米)。
例2、正方形ABCD 的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG 的长DG 为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米?分析：连结AG ，1122ADG ABCD DEFG S S S ==, 因此ABCD S =4×4=16平方厘米，那么DE=16÷5=3.2cm 。
〖方法总结〗这两个题目主要是对各种根本图形面积公式的灵活应用，同底或同高时我们可以用分配率将两个三角形的面积一起求和或者求其比例关系。
在解题过程中做辅助线是经常用到的方法，对于辅助线的做法，一般都是先观察一下要求的图形所在的图形是不是一个规那么图形，如果不是，我们就要填上辅助线，将其构造成规那么图形。
〖稳固练习〗练习1：如下列图，在正方形ABCD 中，三角形ABE 的面积是8平方厘米，它是三角形DEC 的面积的54。
求正方形的面积。
练习2：平行四边形ABCD 的面积是150，EF ∥AD ，求阴影局部面积。
练习3：如图，在长方形ABCD 中，BC ＝10，ABO S =8，BCO S ＝12，ADO S ＝10，求AB 。
练习4：如图，长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别是8、4、6，求阴影局部的面积。
003直线型面积
３３、一块正方形的钢板，先截去宽 ５ 分米的长方 形，又截去宽 ８ 分米的长方形（如下图），面积 比原来的正方形减少 １８１ 平方分米，原正方形的 边长是多少？
３４、如图 １６－５，长方形 ＡＢＣＤ 的面积是 ２ 平 方厘米，ＥＣ＝２ＤＥ，Ｆ 是 ＤＧ 的中点．阴影部分的 面积是多少平方厘米？ ３５、如图 １６－６，已知 Ｄ 是 ＢＣ 中点，Ｅ 是 ＣＤ 的中点，Ｆ 是 ＡＣ 的中点．三 角形 ＡＢＣ 由①～⑥这 ６ 部分组成，其中②比⑤多 ６ 平方厘米．那么三角 形 ＡＢＣ 的面积是多少平方厘米？
等
于多少？
３０、人民路小学操场长 90 米，宽 45 米，改造后，长增加 10 米，宽增 加 5 米。现在操场面积比原来增加多少平方米？
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31、一个长方形，如果宽不变，长增加 6 米，那么它的面积增加 54 平 方米，如果长不变，宽减少 3 米，那么它的面积减少 36 平方米，这个长 方形原来的面积是多少平方米？
３２、下图是一个养禽专业户用一段长 １８ 米的篱笆和一堵墙围成的一个长 方形养鸡场，求占地面积有最大有多大。
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２１、一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠（如图甲），阴影部分面积
占原纸片面积的 2 ；再把左下角往上折叠（如图乙），乙图中阴影部分面 7
积占原纸片面积的＿＿＿＿＿＿＿＿＿ （答案用分数表示）．
２２、设正方形的面积为 ｌ，图中 E、F 分别为 AB、
AD 的 中 点 ， GC＝ 1 FC ，则阴影部分的面积 3
思维数学-基本直线型面积公式
基本直线型面积公式知识精讲在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形。
在日常生活中，我们最常见的直线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形.在有关直线形的计算中，计算周长和计算而积是最常见的两类。
我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线型的面积。
正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如图1 ：试一试正方形的边长是6厘米，面积是平方厘米。
长方形的长是8厘米，宽为4厘米，面积是平方厘米。
正方形面积是121平方厘米。
它的边长是厘米。
长方形的面积是48平方厘米，宽为4厘米，长为厘米。
例题1如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜，其中茄子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形。
请问：剩下的苦瓜地的面积是多少？「分析」左上角是面积为16的正方形，那么它的边长是多少？你还能求出哪些线段的长度呢？练习1如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？如图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形。
如图这个平行四边形的面积和拼成长方形的面积相同，都等于长方形的长×宽。
长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段，在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高。
于是：平行四边形面积=底×高如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如图1所示。
同样得到相对于这条底的若干条高，如图2所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。
第03讲 基本直线型面积公式(教师版)-三升四暑期数学奥数培优讲义
一、基本直线形面积计算公式（四上）第3讲 基本直线型面积公式 四年级 暑期知识点熟练掌握各种图形面积公式，梯形和三角形的面积公式最后一定要除以2.理解每个图形的高是什么，会做高.一、 长方形、正方形1、如下图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜．其中栽种茄子的面积是16平方米，栽种黄瓜的面积是28平方米，栽种豆角的面积是32平方米，栽种莴笋的面积是72平方米，而且左上角栽种茄子的田地恰好是一个正方形．请问：剩下的栽种苦瓜的田地面积是多少？【答案】116【解析】课堂例题方法精讲7222814428116×−=−=．2、（金帆四年级春季）如图有九个小长方形，其中编号为1，2，3，4，5的5个小长方形的面积分别为2，4，6，8，10平方米，求6号长方形的面积．【答案】15【解析】根据已知面积相互间的倍数关系可将各块面积求出，如图所示．二、三角形求面积3、如下图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：阴影三角形的面积是多少？【答案】42平方厘米【解析】×÷=．阴影三角形的底是6，高是14，所以阴影三角形的面积是6142424、如图，小正方形的边长为6厘米，大正方形的边长为11厘米，请问：图中阴影部分的面积？【答案】15平方厘米【解析】阴影三角形的第是6，高是5，所以面积是15．5、如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米．请问：阴影部分的面积是多少？【答案】12平方厘米【解析】×÷+×÷=．将阴影部分分成左右两个三角形，根据三角形面积公式25227212三、平行四边形6、下图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出阴影平行四边形的面积．【答案】【解析】平行四边形的底是4高是11，所以面积是44．7、如下图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影平行四边形的面积是多少？【答案】91平方厘米【解析】×=．阴影部分是平行四边形，面积是137918、图中，平行四边形的面积是24，大正方形的边长是8，小正方形的面积是________．【答案】9【解析】平行四边形的面积等于底乘高，平行四边形的高就是大正方形的边长，底是小正方形的边长，所以小正方形的边长是2483×=．÷=，所以小正方形的面积是3399、如图，两个一样的长方形相互错开2厘米拼在一起，长方形的长是10厘米，宽是4厘米，请问：图中阴影平行四边形的面积是多少？【答案】64平方厘米【解析】阴影平行四边形的底是8高是8，所以面积是64．四、梯形10、一个正方形和一个长方形按下图的方式排放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为11厘米，宽为8厘米，那么阴影部分的面积是多少？【答案】30平方厘米【解析】正方形的边长是7，阴影部分是一个梯形，说以阴影部分的面积是()() 87117230 +×−÷=．11、如图，两个正方形按如图方式放在一起，小正方形的边长为3厘米，大正方形的面积是49平方厘米．请问：阴影部分的面积是多少？【答案】50【解析】梯形的面积是()()3737250+×+÷=．12、如图，ABCD 是直角梯形，△AEC 和△EBD 都是等腰直角三角形，已知梯形高为20，那么梯形的面积是______（改自2010年4月18日考试真题）【答案】200 【解析】上下两个三角形均为等腰直角三角形，由此可知梯形上下底之和即为梯形的高，故梯形面积为20202200×÷=．13、如图所示，平行四边形的一边长为15厘米，这条边上的高为6厘米，一条线段将此平行四边形分成了两部分，它们的面积相差18平方厘米．请问：其中梯形的上底是多少厘米？【答案】3厘米【解析】如下图所示，从线段的顶点做边的平行线，把梯形又分成了一个三角形和一个小平行四边形，分割出的三角形显然和原来的三角形面积相等．那么最左边的小平行四边形的面积就是多出来的18平方厘米，又其高为6厘米，它的底边长又正好是所需求的梯形的上底长．所以，梯形的上底长为1863÷=厘米．1、如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一个正方形．请问：剩下的黄瓜地的面积是多少？【答案】12平方米【解析】24212÷=平方米．2、如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形．如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米．那么阴影平行四边形的面积是多少？【答案】144平方厘米【解析】第是12高是12，所以面积是144．3、右图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积． 36 1824随堂练习【答案】30【解析】阴影三角形的第是6高是10，所以面积是30．4、如下图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米．请问：图中的阴影图形的面积是多少平方厘米？【答案】14平方厘米【解析】根据梯形面积公式()()6886214+×−÷=．1、在下面的三角形中，以AB 为底作高，正确的是__________．课后作业【答案】C【解析】C，从这条边的对应的顶点做高．2、如图，大正方形被分成三块区域．左上角的正方形面积为4，右上角的长方形面积为6，那么大正方形的面积是__________．【答案】25【解析】左上角正方形的边长是2，所以面积为6的长方形的长是3，所以大正方形的边长是5，大正方形的面积是25．3、下图中，大正方形的面积是64，小正方形的面积是36．那么平行四边形的面积是__________．【答案】48【解析】×=．小正方形的边长是6，大正方形的边长是8，阴影部分的面积四68484、下图是边长为8和6的两个正方形拼成的，根据图中所示的线段长度，阴影三角形的面积是_________.【答案】24【解析】阴影三角形的底是6，高是8，所以面积是24．5、如图，两个正方形并排放在一起，小正方形的面积是81平方厘米，大正方形的面积是169平方厘米．那么阴影梯形的面积是___________平方厘米．【答案】242平方厘米【解析】小正方形的边长是9，大正方形的边长是13，所以图中梯形的上底是9，下底是13，高是22，说以面积是242．6、（金帆四年级春季）如图，平行四边形ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm2，求CF的长．【答案】5cm【解析】同时加上BCFG可知，梯形ABCD面积比△BCE面积大10cm2．直角三角形BCE的面积为2×÷=，108240cm故()+÷．4010105CF cm。
小升初——直线型面积问题的五大模型
小升初直线型面积问题解题思路梳理（五大模型）【内容提要】一．三角形等积变形（共边模型）（熟练掌握）二．鸟头模型（掌握）三．蝴蝶模型（掌握）．燕尾模型（掌握）五．金字塔、沙漏模型（了解）一、三角形等积变形①.两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的面积相等。
拓展:夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。
②.两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍那么它的面积也是另一个的n倍；③.两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍,那么它的面积也是另一个的n倍。
一半模型二．鸟头模型（共角模型） 三．蝴蝶模型 ⑴任意四边形中的比例关系 ⑵梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） △ AM" &. AD* AE 四．燕尾模型 五．金字塔模型 AD A£ 」AH~^4C如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE= EF=FD,求三角形ABF、CDF、ABD、ACD 的面积。
如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三角形，已知: S = 2,S△ADE △AEC如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且^OAB、△ABC. △BCD.△CDE、△DEF的面积都等于1，则4DCF的面积等于________ 。
[例4](★★★★)如图，等腰4ABC中，AB=AC=12cm, BD、DE、ER、FG把它的面积5等分,求AF、FD、DC、AG、GE、EB 的长。
ABC 的面积是2，则4DEF 的面积是多少? 如图，已知四边形ABCD 、BEFG 、CHIJ 为正方形，正方形ABCD 边长为10,正方形BEFG 边 长为6,求阴影部分的面积。
丙 h C H[例 6] (★★★★)如图，E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若AD=5， BC=7,AE=5，EB=3。
求阴影部分的面积。
如图，已知^DEF 的面积为7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF= 3AF,求4ABC 的面积。
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
2017年秋季教材-03-直线型图形面积2-S
第3讲直线型图形面积2思维启航一、训练目标知识传递：学会倍比、蝴蝶、鸟头、沙漏、燕尾等模型的几何问题。
能力强化：画图能力、操作能力、分析能力、观察能力。
思想方法：图形思想、转化思想、运动思想。
二、知识与方法归纳组合图形：组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：（1）切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；（2）仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；（3）适当采用增加辅助线等方法帮助解题；（4）采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
思维进阶例1.如图所示，已知正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD的边长为10厘米，正方形CEFG边长为8厘米。
则阴影部分的面积是多少平方厘米？例2.如下图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是8厘米和10厘米，求阴影部分的面积。
思维训练1.大正方形的边长是10厘米，小正方形的边长是8厘米，阴影部分的面积是多少？例3.如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍到D，把它的另一边AC延长2倍到E，得到一个较大的三角形ADE，已知三角形ADE的面积是36平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？例4.如图，在△ABC中，DC=3BD，DE=EA，若△ABC面积是2平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？思维训练2.如图，长方形ABCD 的面积是24，F 是AD 的中点，且E 为AB 的三等分点。
则阴影部分的面积是多少？例5.如右图所示，BE=2EC ，FC=FD ，△ABC 的面积是60平米厘米，那么四边形DBEF 的面积多少平方厘米？例6.如图，三角形ABC 被分成6个三角形，己知其中4个三角形的面积，三角形ABC 的面积是多少？D思维深化（训练时间： 满分：120分，训练得分： ）1.计算题。
第16讲 直线型面积
各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．1．图16-1中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍， EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?【分析与解】ABD，ABC 等高，所以面积的比为底的比，有12ABD ABCS BD SBC ==,所以ABD S=1122ABCS ⨯=⨯180=90(平方厘米)．同理有13ABE ABDAE SS AD=⨯=×90=30(平方厘米)，34AFE ABEFE S S BE=⨯=×30=22.5(平方厘米)．即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．2．如图16-2，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【分析与解】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABDABDEA SS SAB==．同理36EAHEADEADABD AHSS SSAD===．类似的，还可得6FCGBCDSS=，有()66EAHFCGABDBCDABCD SSSSS +=+==30平方厘米．连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFBABCSS=，6DHGACDSS=，有()66EFBDHGABCACDABCD SSSSS +=+==30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD⨯⨯=2×3=6，所以EAHS=6ABDS．类似的，还可得FCGS =6BCDS，有EAHS+FCGS=6（ABDS+BCDS)=6ABCD S =30平方厘米．连接AC ，还可得EFB S =6ABC S，DHG S=6ACDS，有EFBS+DHG S=6（ABC S+ACDS）=6ABCD S=30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．评注：方法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角的两边乘积的比为面积比．这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可以自己试试．3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【分析与解】 方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有ADE DECS S=AEEC，所以ADE S =AEEC×6.同理有ABE BCES S=AEEC，所以ABE S =AEEC×7．所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)所以ADES=767+×39=18(公顷)，ABES =767+×39=21(公顷.)显然，最大的三角形的面积为21公顷．方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE×EB)：(CE×DE)．同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE ×DE)：(BE×EC)． 所以有ABES×CDE S=ADES×BCES，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即S×6=S×7，所以有△A BE 与△ADE 的面积比为7：6，S=7×39=21公顷，ADE S=667×39=18公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷．评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用.4. 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?【分析与解】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABCS S=AEAC，所以ABE S =AEAC×ABC S =15ABCS同理有AEF S=AFABABES ,即=AEF S=15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S=ABC S-(AEF S+CDE S+BDF S )=(1-16-15-18)ABCS =61120ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120．5．如图16-5，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方【分析与解】 如下图，连接FC ，△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为13y 平方厘米．BCD S=2x+2y=1，BDE S=x +13y=l ×13=13． 所以有x+y=0.53x+y=1⎧⎨⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即x =0.25,y =0.25．而阴影部分面积为y+23y=53×0.25=512平方厘米．评注：将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求出解的方法称为“凌氏类蝶形法”．类蝶形问题必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．类似的还有一道题：△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大1.2平方厘米，则△ABC 的面积是_______平方厘米? 有兴趣的同学可以自己试试．6．如图16-6，已知D 是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米?【分析与解】因为E是DC中点，F为Ac中点，有AD=2FE且阳平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A2D：F2E=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积的4 4-1=43，即为18×43=24．因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24+24=48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．评注：梯形中连接两条对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：运用比例知识，知道：①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比．②左、右部分的面积相等．③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有∠ABC为直角，而∠CED=∠ABC，所以∠CED也为直角.而CE=CB=5.△A DE 与△CED 同高，所以面积比为底的比，及ADE CEDS S=AE EC =13-55=85，设△ADE 的面积为“8”，则△CED 的面积为“5”．△CED 是由△CDB 折叠而成，所以有△CED、△CDB 面积相等，△ABC 是由△ADE 、△CED、△CDB 组成，所以ABC S =“8”+“5”+“5”=“18”对应为12×5×12=30，所以“1”份对应为53，那么△ADE 的面积为8×53=1313平方厘米． 即阴影部分的面积为1313平方厘米．8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【分析与解】 不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．所以梯形的面积为12×(2+3)×18=45，所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23．评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x 下底为3x ．9．图16-10中ABCD 是梯形，三角形ADE 面积是1．8，三角形ABF 的面积是9,三角形BCF 的面积是27．那么阴影部分面积是多少?面积为“右”．左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.△ADE 的面积为1.8，那么△A EF 的面积为1.2，则EF ：DF=AEF S ：AEDS=1.2：3=0.4．△CEF 与△CDF 的面积比也为EF 与DF 的比，所以有ACES=0.4×ACDS=0.4×(3+9)=4.8．即阴影部分面积为4.8．10．如图16-11，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 △ADD 与△BCO 的面积比为AD 平方与BC 平方的比，即为9：81=19．而△DCO 与△ABO 的面积相等为12，又BCOS ABOS×DCOS=ADO S×BCOS=12×12=144，因为144÷9=4×4，所以ADO S=4，则BCOS=4×9=36，而梯形ABCD 的面积为△ADO、△BCO 、△ABO 、△CDO 的面积和，即为4+36+12+12=64平方厘米．即梯形ABCD 的面积为64平方厘米．11．如图16-12，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【分析与解】 连接BF ，四边形BCDF 为梯形，则BFE 的面积与黄色CDE 的面积相等为 6.6636FEDBCEBFECDESSSS⨯=⨯=⨯=，所以3649BCES=÷=.9615BCDBECCDES S S=+=+=.又因为BD 是长方形ABCD 的对角线，15ABDBCDS S==所以FED15411ABDS SS =-=-=绿色四边形ABEF 红色.绿色四边形面积为11平方厘米．12．如图16-13，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积．【分析与解】 因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC =16 ×CD ，即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米．13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?【分析与解】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：大正方形的面积为32111105510+++=，所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为32:105=3：4，所以IG=47．下面两个长方形的面积之比为11:510=2：l ，所以IG=13． 那么LI=4157321-=，那么阴影小正方形的面积为55252121441⨯=．14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH ．设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米．Powered by Powered by DGH 、HMG 的面积相等，GCF 与GPF ；FBE 与EOF ，HAE 与HNE 这3对三角形的面积也相等．阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100．阴=(6+100)÷2=53．即阴影部分的面积为53平方厘米．15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：(49+①+35)+(13+②)=12矩形的面积， ①+阴+②=12矩形的面积． 比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97．。
2013寒假 6年级 第06讲 直线型面积3
2.
如图， E 在 AC 上， D 在 BC 上，且 AE : EC 2 : 3 , BD : DC 等于 22 cm2 ，则三角形 ABC 的面积 ．
1: 2 ， AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC 的面积
第六讲 直线型面积三
知识点拨 燕尾定理
在三角形 ABC 中, AD , BE , CF 相交于同一点 G ,那么 S
A F G B E C S ABG :S AGC =S BGE :S CGE =BE:EC S AGB :S CGB =S AGF :S CGF =AF:FC S AGC :S BGC =S AGD :S BGD =AD:DB
D C
G
F
A
E
B
5.
如图，在△ABC 中，△AEO 的面积是 1，△ABO 的面积是 2，△BOD 的面积是 3，则四边形 DCEO 的面积是多少？
6.
如图，
ABC 中 BD
2DA ， CE
2EB ， AF
2FC ，那么
ABC 的面积是阴影三角形面积的
A
倍．
D G F H B E I C
3
课后练习
4
3
7 7
2
课堂练习
1. 如图所示，在 △ABC 中， BE : EC
3:1 ， D 是 AE 的中点，那么 AF : FC
．
A F
D
B
2. 如图所示，在 ABC 中， CP 于 ．
E
C
1 CB, CQ 2
1 CA, BQ 与 AP 相交于点 X ，若 ABC 的面积为 6 ，则 ABX 的面积等 3
第1讲四年级数学思维能力拓展专题突破系列(二十二)直线型面积计算讲义(含答案)
四年级数学思维能力拓展专题突破系列（二十二）直线型面积计算------直线形面积计算基础（1）1、掌握基本图形的面积公式2、会灵活应用多种方法求图形面积掌握基本图形面积的求法灵活应用面积公式例题1：用两块同样的等腰直角三角形可以拼成几种规则的几何图形？例题2：下图由两个正方形组成，其边为6cm和4cm，求阴影面积是多少？例题3：下图平行四边形的面积是多少？CD多长？例题4：下图已知阴影部分的面积24cm2，求平行四边形的面积？例题5：下图是一个梯形，面积为56 cm2，里面是一个空白长方形，求阴影部分的面积？（即是该课程的课后测试）练习1：四个大小相同的正方形拼成了一个大正方形，大正方形的周长比原来四个正方形周长和减少了8厘米。
大正方形的面积是多少？练习2：一张长方形的纸周长为40厘米，如果把这张纸按长边平分对折那么得到的新的小长方形周长为28厘米。
问原来大长方形纸的面积为多少？练习3：求下图的面积。
练习4：8个长为5宽为3的相同长方形组成了如下图的形状，求大长方形的面积。
练习5：如图是楼梯的侧面，每级台阶都一样，问这个侧面的面积为多少？练习1：解析：4平方厘米。
四个小正方形拼成一个大正方形相当于少了8个小边长，所以每个小边长为1厘米。
那么大正方形边长2厘米，则面积为2×2=4平方厘米。
练习2解析：96平方厘米。
新的小长方形相对于之前大的长方形周长少了一个大边的长度，所以原来的大边为12厘米，那么原来的宽为40÷2—12=8厘米。
所以原来的面积=12×8=96（平方厘米）。
练习3：解析：把原图看成一个大长方形挖去了一个小长方形，如下图。
则面积为大长方形面积减去小长方形面积：9×12-6×5=78练习4：解析：显然大长方形的长为5×3=15，宽为3×2+5=11，所以面积为15×11=165。
练习5：解析：如下图切一刀，然后拼成一个新的长方形。
五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)
五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形温馨提示：该文档包含本课程的讲义和课后测试题，课后测试题即每一部分内容对应的“课后练习”。
认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。
（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。
2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。
3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的13。
4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。
因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
直线型面积
第一讲 直线型面积（一）卷Ⅰ这一讲我们主要介绍的知识点：1. 三角形和平行四边形的等积变换.2. 三角形面积公式1sin 2S ab c =的变形应用及几个重要规律. 3. 勾股定理及其应用.本讲的主线是介绍并反复运用三角形面积公式1s i n 2S a b c =的变形应用及几个重要规律，灵魂在于卷Ⅱ的知识点所渗透的思想及原创题目，我相信这也会是教师上课的亮点所在。
作业相对于例题来说比较简单。
【例1】 如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE=1，求△BEF的面积．分析：本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想. 连接AC.∵AB//CD ，∴S △ADE =S △ACE同理：AD//BC ，∴S △ACF =S △ABF又S △ACF =S △ACE +S △AEF ，S △ABF =S △BEF +S △AEF ∴ S △ACE =S △BEF ， 即S △BEF =S △ADE =1．专题精讲教学目标F E D C B A F ED C BA[前铺] 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．分析：本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE.（我们通过△ABE 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.） ∵在平行四边形ABCD 中，12ABES AB AB =⨯⨯边上的高， ∴ABEABCD 1SS 2=（也就是等积变换的重要依据③的特殊情况）同理，ABEAEGF 1SS 2=.∴平行四边形ABCD 与AEGF 面积相等.[拓展] 如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？GFEDCBAGFEDCBA GFD B AGFD CB A分析：本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明：连接AG.（我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）. ∵在正方形ABCD 中，G12AB S AB AB =⨯⨯边上的高， ∴ABGABCD1SS 2=（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，ABGEFGB 1SS 2=长. ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等. 长方形的宽=8×8÷10=6.4（厘米）.【例2】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．四边形EFGC 的面积是多少平方厘米?分析：连接FC.△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为13y 平方厘米．BCD S =2x+2y=1，BDE S =x+13y=l×13=13，所以有x+y=0.53x+y=1⎧⎨⎩①②． 解得x=0.25,y=0.25．四边形EFGC 的面积是为y+23y=53×0.25=512平方厘米． 本题主要体现出代数思想在几何题中的运用，面对棘手的几何题目我们借助于这样的思想就可以迎刃而解。
六年级小升初数学总复习【图形与几何】专题训练(解析卷)
六年级小升初数学总复习【图形与几何】专题训练(解析卷)六年级小升初数学总复【图形与几何】专题训练【解析卷】直线型面积】1.在图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
解答：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边形ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
2.图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米，求CD的长。
解答：连结CB。
三角形DCB的面积为4×4÷2-2=6（厘米2），CD=6÷4×2=3（厘米）。
3.有红、黄、绿三块同样大小的正方形纸片，放在一个正方形盒的底部，它们之间互相叠合。
已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14。
绿色面积是10，求正方形盒子底部的面积。
解答：把黄色正方形纸片向左移动并靠紧盒子的左边。
由于三个正方形纸片面积相等，所以原题图可以转化成下页右上图。
此时露出的黄、绿两部分的面积相等，都等于（14+10）÷2=12.因为绿：红=A∶黄，以是绿×黄=红×A，A=绿×XXX÷红12×12÷20=7.2.正方形盒子底部的面积是红+黄+绿+A=20+12+12+7.2=51.2.三角形的等积变换】：4.如左下图是两个相同的直角三角形叠在一起组成的，求阴影部分的面积。
单位：分米）谜底：32.5平方分米。
拓展：如图所示，已知正方形ABCD和正方形EFGC，且正方形EFGC的边长为6厘米，请问图中阴影部分面积是多少？答案：18平方厘米。
5.如图所示，在平行四边形ABCD中，DE=EF=FC,BG=GD.已知三角形GEF的面积是4平方厘米，求平行四边形的面积。
五年级数学思维能力拓展专题突破系列(二)用比例解直线型面积问题讲义(含答案)
五年级数学思维能力拓展专题突破系列（二）用比例解直线型面积问题——简单直线型面积图形认识简单直线型图形并了解直线型图形面积的求法1、认识简单直线型图形2、了解直线型图形面积的求法1. 计算下图的面积：AB=12，BF=10，EF=8，DE=5。
（单位：厘米）2. 已知△ABC，ADEF是正方形，BE=10，CE=8，求△BDE和△EFC的面积之和是多少？3. 如图，ABCF是梯形，EFCD是正方形，AF=6，BC=8，求三角形AEF的面积是多少？（即是该课程的课后测试）1. 简答题：小学要学的五个常规直线型图形是哪些？2. 简答题：有哪些常用技巧？3. 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见下图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？4. 在下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
5. 如图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
1. 答案：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形。
2. 答案：割补法，平移法，旋转法，差不变等。
3. 答案：1 3将两个这样的三角形拼成一个平行四边形。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13，根据商不变性质，将阴影面积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的13。
4. 答案：24题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法与矩形联系起来。
我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见图）。
因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。
乙的面积是4×6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。
5. 答案：14平方厘米因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。
将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。
04直线型面积3
第四讲 直线型面积（三）一、知识精讲相似三角形性质(平行线分线段成比例)相交线段AD 和AE 被平行线段BC 和DE 所截，得到的三角形ABC 和ADE形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）ADAB=AE AC=DE BCG FE D A相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方：22ABC ADE S AB S AD ∆∆=. 在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化．二、典例精讲【典例1】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________．A ED CB【变式】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【典例2】 已知正方形ABCD ，过C 的直线分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ，且10cm AE =，15cm AF =，求正方形ABCD 的边长．FAEDCB【变式】 如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边120BC =毫米，高80AD =毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？GNPAD CB【典例3】 图中ABCD 是边长为12cm 的正方形，从G 到正方形顶点C 、D 连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF 长度为4cm ，那么三角形GDC 的面积是多少？ABCD E FG【变式】 如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？【典例4】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？FEDCBA【变式】 如右图，长方形ABCD 中，16EF =，9FG =，求AG 的长．DABC EFG【典例5】 (第21届迎春杯试题)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △GFAEDCB【变式】 已知长方形ABCD 的面积为70平方厘米，E 是AD 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，求阴影EHO △的面积是平方多少厘米？DC BA三、能力检测1.已知ABC △中，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △．A ED CB2.如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？FDB3.如图，三角形PDM 的面积是8平方厘米，长方形ABCD 的长是6厘米，宽是4厘米，M 是BC 的中点，则三角形APD 的面积是 平方厘米．ABCDP M4.如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====， 则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．Q E GNMF PA D CB5.如图，在ABC △中，有长方形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH 是ABC △ 边BC 的高，交DE 于M ，:1:2DG DE =，12BC =厘米，8AH =厘米，求长方形的长和宽．E H GMFAD CB6.如图，长方形ABCD 中，E 为AD 的中点，AF 与BE 、BD 分别交于G 、H ，OE 垂直AD 于E ，交AF 于O ，已知5cm AH =，3cm HF =，求AG ．ABCDEF GHO7.(2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛(队际赛))如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少？C。
06直线型面积1
第六讲 直线型面积（一）直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如左图12::S S a b =③两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；特例：夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【典例1】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E【变式1】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB【典例2】(2008年北京四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．A【变式2】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？BaS 2S 1DC BA【典例3】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．BA【变式3】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA二、鸟头定理（共角定理）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比：如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 (或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A【典例4】如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【变式4】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBA【典例5】如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【变式5】如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB CDC EB A【典例6】已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【变式6】如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB A能力检测1.如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与 BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？2.(第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红F D ECB A3.(97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN BN=.那么，阴影部分的面积是多少？4.如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．F ED CBA5.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？EDCBA6.如图，在ABC△中，延长AB至D，使B D A B=，延长BC至E，使12C E B C=，F是AC的中点，若ABC△的面积是2，则DEF△的面积是多少？AB C D EF。
eps线条面积计算规则
eps线条面积计算规则（最新版）目录1.EPS 线条与面积概述2.EPS 线条面积计算规则3.计算 EPS 线条面积的实例正文一、EPS 线条与面积概述EPS（Expanded Polystyrene）即聚苯乙烯泡沫，是一种具有优良保温性能的材料。
在建筑、装饰等领域中，EPS 线条常用于屋面、外墙等建筑构件，以提高建筑物的保温性能。
EPS 线条可以制作成各种形状，如直线、弧线、曲线等，其宽度和厚度也根据实际需求进行定制。
EPS 线条的面积是指其外表面积，通常以平方米（m）为单位进行计算。
在实际应用中，为了便于计算和施工，EPS 线条常常被分为标准尺寸，如 100mm ×100mm、150mm×150mm 等。
二、EPS 线条面积计算规则1.计算 EPS 线条面积时，需要先确定线条的形状和尺寸。
对于直线型线条，可以直接测量其长度（L）和宽度（W），然后使用公式：面积（A）=长度（L）×宽度（W）。
2.对于弧线型和曲线型线条，需要先计算其展开长度。
展开长度是指将弧线或曲线展开成直线后的长度。
计算展开长度时，可以使用数学中的微积分方法，将弧线或曲线分割成无数小段，然后计算各段长度的和。
展开长度计算完成后，再根据直线型线条的计算方法，计算 EPS 线条的面积。
3.在实际施工中，EPS 线条的接缝处需要留出一定的间距，以保证线条的稳定性和美观性。
因此，在计算 EPS 线条面积时，需要将接缝处的面积扣除。
通常，接缝处的宽度为线条宽度的 10%～20%。
三、计算 EPS 线条面积的实例假设某建筑项目中，需要使用 100mm×100mm 的 EPS 线条，长度为 20m，宽度为 30m。
首先，根据直线型线条的计算方法，可得 EPS 线条的面积为：面积=长度×宽度=20m×30m=600m。
然后，考虑接缝处的面积。
假设接缝处宽度为线条宽度的 15%，则接缝处面积为：接缝面积=长度×宽度×接缝宽度比例=20m×30m×15%=90m。
第一讲直线形面积的计算-(带完整答案)五年级奥数
第一讲直线型面积的计算内容概述前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！开学了！去奥数网学习数学！CDB例题精讲【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。
分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2 。
【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。
如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。
那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE= 1/2 BC（3）S△ADE= 1/4 S△ABC分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。
如右图（1），连接DC、BE。
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC= 1/2S△ABC= S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常用结论③可得：DE与BC平行。