小学奥数几何专题--复杂直线型面积-6(六年级)竞赛测试.doc
小学数学奥数测试题复杂直线型面积6_人教版-教育文档
第 1 页2019年小学奥数几何专题——复杂直线型面积-61．如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？ 2．如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于 ．3．如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?4．四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．5．如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形的面积；⑵？6．如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．7．如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．8．如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积． 9．在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．10．已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．11．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．12．右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．13．如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米． 14．如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？ 15．下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？16．如图， 中，，，互相平行，，则．17．如图，平行，且，，，求的长．18．如图， 中，，，，，互相平行，，则 ．19．如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求ABCDEF AB ED =AF CD =BC EF =AB ED AF CD BC EF FD BD 24FD =18BD =ABCDEF ABC 1E AC D BC :1:2BD DC =AD BE F DFEC ABCD 22EC DE =F DG ABCD AC BD O ABD BCD 132AO =3DO =CO DO BGC :AG GC =ABCD O CEF △OEF △ODF △BOE △OCF △GCE △ABCD :2:3BE EC =:1:2DF FC =DFG 2ABCD ABCD 3M AD ABCD E BC AE BD F BEF ABCD ABCD :3:2BC CE =ODE ABCD ABED ABCD ABED ABCD CE DF OFBC ABC ∆DEFG AB CD K DEFG :1:3AK KB =BKD ∆ABCD E F G H AB BC CD DA mn()m n +ABC △DE FG BC AD DF FB ==::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形DE BC 2AD =5AB =4AE =AC ABC △DE FG MN PQ BC AD DF FM MP PB ====::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形ABCD 4F BC E DC :1:3DE EC =AF BE G ABG S △20．如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点， 交于，求的面积． ABCD E F AB AD BFEC M BMG第 1 页参考答案1．432 【解析】 如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．2． 【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，, 设份，则份，份，份，如图所标所以 方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于． 3．5/12【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米. 4．2【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而BCD ∆CD AF DEF ∆ED AB EF BC AG BGFD BGFD 2418432⨯=ABCDEF 432512CF 12ABF ACF S BD S DC ==△△1ABF CBF S AES EC==△△1BDF S =△2DCF S =△3ABF S =△3AEF EFC S S ==△△551212DCEF ABC S S ==△DE 1133ABD ABC S S ==△△11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△11ABD ADE S BF FE S ==△△111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△DFEC 5121DEF S =△551212BCD S S ==△阴影ABCD :1:3ABDBCDSS=AH BD H CG BD G主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵，∴，∴． 解法二：作于，于． 5．6；1：3【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．6．2/3【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以， 那么． 7．72【解析】连接，．因为，，所以． 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米． 8．1【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．9．12【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==236OC =⨯=:6:32:1OC OD ==AH BD ⊥H CG BD ⊥G 123BGCS⨯=⨯6BGCS=()():12:361:3AG GC =++=BCD △244616+++=BCO △CDO ∆1628÷=OCF △844-=BCO △BOE △OCE △862-=::2:41:2COE COF EG FG S S ∆∆===::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==11221233GCE CEF S S ∆∆==⨯=+AE FE :2:3BE EC =:1:2DF FC =3111()53210DEFABCD ABCD SS S =⨯⨯=长方形长方形12AEDABCD SS =长方形11::5:1210AG GF ==510AGDGDFS S==12AFDS =16AFDABCD SS =长方形ABCD 72M AD :1:2AM BC =22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG S S S S =⨯⨯=△△△△（）（）1AGM S =△123MCD S =+=△1224312++++=224S =+=阴影:1:3S S =阴影正方形1S =阴影DE :1:2BE AD =2129S =+=梯形（）3ECDS =△12ABCDS=第 3 页10．21 【解析】 连接．由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)． 11．6 【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．12．4 【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)． 13．9 【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)． 14．12 【解析】由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和AC ABCD :3:2BC CE =:2:3CE AD =22:::2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS=⨯⨯=6AOCS=9AODS=6915ABCACDSS==+=61521+=AE AD BC AECD OCD OAES S ∆∆=4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=236OCD S ∆=6OCD S ∆=AE AD BC AECD OCD OAE S S ∆∆=2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=216OCD S ∆=4OCD S ∆=ABED ()111681222ADE ABEDS S∆==⨯+=1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=8244⨯÷=DE CF EDCF EOD FOCS S∆=EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅2816EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=4EOD S ∆=4812ECD S ∆=+=ABCD 12224⨯=OFBC 245289---=DEFG DA BC ADBC ADBC BDK ∆ACK ∆:1:3AK KB =ACK ∆ABC ∆11134=+BDK ∆ABC ∆14ABC ∆A BC M M BC AM DE =ABM ∆的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．那么的面积为． 15．5 【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形 的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么．16．1：3：5【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，， 因此份，份，进而有份，份，所以 17．10【解析】由金字塔模型得，所以 18．1：3：5：7：9 【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有ACM ∆DEFG ABC ∆DEFG BDK ∆148124⨯=EG AG DE M AEGD AMD ∆AEGD 14AMD 21111248⨯⨯=111482-⨯=AC EF AF EC N EF AC 2AC EF =BEF ABC 14BEF 21111248⨯⨯=AEFC 113288-=AEFC :1:2EF AC =221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=EFN 3118122424⨯=+++BENF 1118246+=111463-⨯=11:3:223=32m n =325m n +=+=1ADE S =△22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△4AFG S =△9ABC S =△3DEGF S =四边形5FGCB S =四边形::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形:::2:5AD AB AE AC DE BC ===42510AC =÷⨯=1ADE S =△22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△4AFG S =△3DEGF S =四边形5FGNM S =四边形7MNQP S =四边形9PQCB S =四边形::::1:3:5:7:9ADEDEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形第 5 页19．32/11 【解析】方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以． 方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以． 20．1/30【解析】 解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以，并得、是的三等分点，所以，所以，所以，； 又因为，所以．解法二：延长交于，如右图，可得，，从而可以确定的点的位置，，，(鸟头定理)，可得 AE AF DC M ::1:1AB CM BF FC ==4CM =3CE =::4:7GB GE AB EM ==4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△,AE EF4224ABF S =⨯÷=△4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△E F AB AD //EF BD ::1:2FD BC FH HC ==::1:2EB CD BG GD ==::2:3CH CF GH EF ==G H BD BG GH =::2:3BG EF BM MF ==25BM BF =11112224BFD ABD ABCDS S S ∆∆==⨯=13BG BD =1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=CE DA I ::1:1AI BC AE EB ==M ::2:3BM MF BC IF ==25BM BF =13BG BD =2121115353430BMG BDF ABCDS S S ∆∆=⨯=⨯⨯=。
六年级奥数题及答案：求面积(高等难度)_题型归纳
求面积答案：
至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.
【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的
为正方形中心对角线交点连接oeof分别与afbg交于af与ec的交点为p连接opmof的面积为正方形面积的n中点opn面积等于fpn面积又opn面积与opm面积相等所以opn面积为mof面积的为正方形面积的八边形面积等于opm积（高等难度）_题型归纳
求面积：（高等难度）
小学六年级奥数题及答案：几何面积
六年级奥数上册讲义
六年级奥数下册讲义
六年级奥数免费电子书上下册
小升初重点中学数学真题汇总
小升初入学数学模底试题汇总（26套）
如图已知正方形abcd的边长为10厘米e为ad中点f为ce中点g为bf中点求三角形g的面积
小学六年级奥数题及答案：几何面积
小学六年级奥数题及答案：几何面积
1.如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米， E为AD中点， F为CE 中点， G为BF中点，求三角形BDG的面积．
2.几何面积
E 、M 分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ 、CP 、MP 彼此平行，若AD=5 ，BC=7 ,AE=5 ，EB=3 ．求阴影部分的面积．
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-1(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-1（六年级）竞赛测试姓名:_____________年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】如图，正方形ABCD的边长为6， 1.5，2．长方形EFGH的面积为多少．【答案】33【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，,所以长方形EFGH面积为33．【题文】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？评卷人得分【答案】6.4【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．∵在正方形中，边上的高，∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，．∴正方形与长方形面积相等．长方形的宽(厘米)．【题文】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【答案】13.5【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：可得：、、，而即；而，．所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：．【题文】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分的面积．【答案】15【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．（法2）连接、．由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少?【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，,求阴影部分的面积．【答案】2.7【解析】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．【题文】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)【答案】43【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有，即，所以．又，所以．【题文】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积.【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【题文】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【答案】70【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三l连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【题文】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【答案】50【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【题文】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．【答案】1：18【解析】连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【题文】如图所示的四边形的面积等于多少？【答案】144【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)【题文】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．【答案】10【解析】如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于，，所以．而，所以，那么、、三点在一条直线上．由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．根据面积比例模型，的面积为．【题文】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．【答案】2.5【解析】如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，所以梯形的面积为：()．又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．那么()，所以()．【题文】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？【答案】432【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．【题文】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于（）．【答案】【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，,设份，则份，份，份，如图所标所以方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，而．所以则四边形的面积等于．【题文】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【答案】平方厘米【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.【题文】四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．【答案】2【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．【题文】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？【答案】6；1：3【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．【题文】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．【答案】【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，根据蝴蝶定理，，所以，那么．【题文】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．【答案】72【解析】连接，．因为，，所以．因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．【题文】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．【答案】1【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．【题文】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．【答案】12【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．【题文】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．【答案】21【解析】连接．由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】6【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．【答案】4【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．【题文】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．【答案】9【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．【题文】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？【答案】12【解析】由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．那么的面积为．【题文】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？【答案】5【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，那么．【题文】如图，中，，，互相平行，，则（）．【答案】1：3：5【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，所以，，因此份，份，进而有份，份，所以.【题文】如图，平行，且，，，求的长．【答案】10【解析】由金字塔模型得，所以【题文】如图，中，，，，，互相平行，，则．【答案】1：3：5：7：9【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．所以有【题文】如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求.【答案】【解析】方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．方法二：连接，分别求，，根据蝴蝶定理，所以．【题文】如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积．【答案】【解析】解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，所以，并得、是的三等分点，所以，所以，所以，；又因为，所以．解法二：延长交于，如下图，可得，，从而可以确定的点的位置，，，(鸟头定理)，可得【题文】如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？【答案】【解析】 (法)由，有，所以，又，所以，所以，所以占的，所以．(法)如图，连结，则(，而，所以，()．而()，因为，所以，则()，阴影部分面积等于()．【题文】如右图，三角形中，，，求．【答案】27：16【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【题文】如右图，三角形中，，，求.【答案】10：9【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以【题文】如右图，三角形中，，，求.【答案】15：8【解析】根据燕尾定理得（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）所以本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【题文】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为多少，三角形的面积为多少，三角形的面积为多少？【答案】，，【解析】连接、、．由于，所以，故；根据燕尾定理，，，所以，则，；那么；同样分析可得，则，，所以，同样分析可得，所以，．【题文】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．【答案】19【解析】连接BG，份根据燕尾定理，，得(份)，(份)，则(份)，因此,同理连接AI、CH得,,所以三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19【题文】如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的多少倍．【答案】7【解析】如图，连接．根据燕尾定理，，，所以，，那么，．同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．【题文】如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?【答案】【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以同理可得，,,而，所以，．同理，,所以，,,【题文】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？【答案】【解析】连接、、．根据燕尾定理，，，所以，那么，．类似分析可得．又，，可得．那么，．根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．【题文】右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？【答案】336【解析】连接、．根据燕尾定理，，，所以；再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．根据题意，有，可得(平方厘米)【题文】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【答案】【解析】令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP ⑴求：在中，根据燕尾定理，设(份)，则(份),(份),(份),所以，所以,,所以,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的⑵求：在中，根据燕尾定理, 所以,同理在中，根据燕尾定理,所以，所以同理另外两个五边形面积是面积的，所以【题文】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【答案】【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在中根据燕尾定理，,所以,同理,所以，同理根据容斥原理，和上题结果【题文】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【答案】24【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米。
小学六年级奥数系列讲座几何综合(含答案解析)
几何综合（一）几何图形的设计与构造．涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题．1．今有9盆花要在平地上摆成9行，其中每盆花都有3行通过，而且每行都通过3盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行.【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法．2．已知如图12-1，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5厘米．求这个六边形的周长．【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母，因为∠BAF=120°，而么∠IAF=180°-∠BAF=60°．又∠EFA=120°，而∠IFA=180°-∠EFA：60°，则△IAF为等边三角形．同理△BCG、△EHD、△IGH均为等边三角形．在△IAF中，有IA=IF=AF=9(厘米)，在△BGC中，有BG=GC=BC=1(厘米)，有IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即为大正三角形的边长，所以有IG=IH=GH=19(厘米)．则EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米)，在△EDH中，DH=EH=5(厘米)，所以CD=GH-GC-DH=19-1-5=13(厘米)．于是，原图中六边形的周长为1+9+9+5+5+13=42(厘米)．3．图12-2中共有16条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的．为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度?【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左的路程，往上的路程等于往下的路程．于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以2即为所求的周长．所以，最少的量出下列6段即可．4．将图12-3中的三角形纸片沿虚线折叠得到图12-4，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2：3．已知图12-4中3个画阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少?【分析与解】设重叠部分的面积为x，则原三角形面积为1+2x，粗实线的面棚为1+x.因此(1+2x)：(1+x)=3：2，解得x=1，即重叠部分面积为1．5．如图12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米．问：大正六角星形的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，在正六边形ABCDEF 中,与面积相等，12个组成小正六角星形，那么由6个及12个组成的正六边形的面积为16÷12×(12+6)=24(平方厘米)．而通过下图，我们知道，正六边形ABCDEF 可以分成6个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角的面积相等，所以大正六角星形的积为24÷6×12=48(平方厘米)．6．如图12-6所示，在三角形ABC 中，DC=3BD ，DE=EA ．若三角形ABC 的面积是1．则阴影部分的面积是多少?【分析与解】 △ABC 、△ADC 同高，所以底的比等于面积比，那么有33.44ADC ABC ABC DC S S S BC ∆∆∆=⨯=⨯=而E 为AD 中点，所以13.28DEC ADC S S ∆∆== 连接FD ，△DFE 、△FAE 面积相等，设,FEA S x ∆=则．FDE S ∆的面积也为x ，11.44ABD ABC S S ∆∆==12,4BDF ABD FEA FDE S S S S x ∆∆∆∆=--=-而3.8FDC FDE DEC S S S x ∆∆∆=+=+ 13:(2);()1:348BDF FDC S S x x ∆∆=-+=，解得356x =.所以，阴影部分面积为333.8567DEC FEA S S ∆∆+=+=7．如图12-7，P 是三角形ABC 内一点，DE 平行于AB ，FG 平行于BC ，HI 平行于CA ，四边形AIPD 的面积是12，四边形PGCH 的面积是15，四边形BEPF 的面积是20．那么三角形ABC 的面积是多少?【分析与解】 有平行四边形AIPD 与平行四边形PGCH 的面积比为IP 与PH 的比，即为12：15=4：5．同理有FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5．如图12-7(a)，连接PC 、HD ，有△PHC 的面积为152△DPH 与△PHC 同底PH ，同高，所以面积相等，即152DPH S ∆=，而△DPH 与△EP H 的高相等，所以底的比即为面积的比，有::3:5DPH EPH S S DP PE ∆∆==，所以551525.3322EPH DPH S S ∆∆=⨯=⨯⨯如图12-7(b)所示，连接FH 、BP ，4108;5IFP EPH FBP IP IP S S S PH PH ∆∆∆===⨯=如图12-7(c)所示，连接FD 、AP ，396.42DPG DFP APD PG PG S S S FP FP ∆∆∆===⨯=有925122015872.22ABC AIPD BEPFCGPHIFP DGP EHP S SSSS S S ∆∆∆∆=+++++=+++++=8．如图12-8，长方形的面积是小于100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形，①号正方形的边长是长方形长的512，②号正方形的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】 有①号正方形的边长为长方形长的512，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的712. 而②号正方形的边长为宽的18，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的78. 所以在长方形中有：712长=78宽，则长：宽=12：8，不妨设长的为12k ，宽为8k ，则①号正方形的边长为5k ，又是整数，所以k 为整数，有长方形的面积为962k ,不大于100．所以k 只能为1，即长方形的长为12，宽为8．于是，图中①号正方形的边长为5，②号正方形的边长为1，则未标号的正方形的边长为7，所以剩余的阴影部分的面积为： 22212851721.⨯---=9．如图12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形重叠部分，C，D，E是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5．那么这个长方形的长与宽之比是多少?【分析与解】以下用E横表示E部分横向的长度，E坚竖表示E部分竖向的长度，其他下标意义类似．有E横：D横=5：4，A横：B横=l：2．而E横+A横=D横+B横，所以有E横：D横：A横：B横=5：4：1：2．而A横+B横+C横=E横+A横对应为5+1=6，那么C横对应为3．而A面积：B面积：C面积=1：2：3，所以A坚=B坚=C坚．有A坚+C坚竖对应为6，所以A坚=C坚对应为3．那么长方形的竖边为6+C坚对应为9，长方形横边为E横+6+D横对应为5+6+4=15．所以长方形的长与宽的比为15：9=5：3．10．如图12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是lO．那么，正方形盒子的底面积是多少?【分析与解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变．并且有变化后，黄色露出面积+红色部分面积，绿色露出面积+红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积．所以，黄色露出面积+红色部分面积=绿色露出面积+红色部分面积，于是．黄色露出面积=绿色露出面积，而它们的和为14+10=24，即黄色露出面积=绿色露出面积=12．有黄：空白=红：绿，12：空白=20：12，解得空白=7.2，所以整个正方形纸盒的底面积为12+7.2+20+12=51.2．11．如图12-11，在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有6个球袋A，B，C，D，E，F，其中AB=EF=130厘米．现在从4处沿45°方向打出一球，碰到桌边后又沿45°方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45°方向弹出，如此继续下去．假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中?【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到FA的距离，后一个数是点到FD的距离，于是A的位置为(0，150)，球经过的路线为：(0,150)→(150,0) →(260,110) →(220，150) →(70，0) →(0，70) →(80，150) →(230,0) →(260，30) →(140，150) →(0，10) →(10，0) →(160，150) →(260，50) →(210,0) →(60，150) →(0，90) →(90，0) →(240，150) →(260，130) →(130，0)．因此，该球最后落入E袋．12．长方形ABCD是一个弹子盘，四角有洞．弹子从A出发，路线与边成45度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止．如图12-12．当AB=4，AD=3时，弹子最后落入B洞．问：若AB=1995，AD=1994时，弹子最后落入哪个洞?在落入洞之前，撞击BC边多少次?【分析与解】撞击AD边的点，每次由A向D移动2；撞击BC边的点，每次由C向B移动2．因为第一次撞击BC边的点距C点1，第一次撞击AB边的点距A点为2，1994÷2=997．所以最后落人D洞，在此之前撞击BC边997次．13．10个一样大的圆摆成如图12-13所示的形状．过图中所示两个圆心A，B作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少?【分析与解】直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1个1个而1个1个正好组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆．那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是4：6=2：3．14．在图12-14中，一个圆的圆心是0，半径r=9厘米，∠1=∠2=15°.那么阴影部分的面积是多少平方厘米?( 取3.14)【分析与解】有AO=OB，所以△A OB 为等腰三角形，AO=OC，所以△A OC为等腰三角形.∠ABO=∠1=15°，∠AOB=180°-∠1-∠ABO=150°. ∠ACO=∠2=15°,∠AOC=180°-∠2-∠ACO=150°. 所以 ∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=60°，所以扇形BOC 的面积为260942.39360π⨯⨯≈(平方厘米)．15．图12-15是由正方形和半圆形组成的图形．其中P 点为半圆周的中点，Q 点为正方形一边的中点．已知正方形的边长为10，那么阴影部分的面积是多少?(π取3.14)【分析与解】 过P 做AD 平行线，交AB 于O 点，P 为半圆周的中点，所以0为AB 中点．有2ABCD DPC 101S 1010100S 12.522ππ=⨯==⨯⨯=半圆，（）. AOP OPQB 101101S 510+37.5S 105550.2222∆⎡⎤⎛⎫=⨯⨯==++⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦梯形（）， 阴影部分面积为ABCD AOP DPC OPQB S S S S 10012.537.55012.512.551.75.ππ∆+-=+--=+≈半圆梯形-几何综合(二)内容概述勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题．典型问题2．如图30-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=1010=100,ABCD S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 21110x-x =DG GF=(10-x)x=,222DGF S ∆⨯又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆ 阴影部分的面积为:DGF ABD BEF ABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米).方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)．阴影部分△DFB的面积为50平方厘米．4.如图30-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?【分析与解】为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I=1800-(∠1+∠2),而∠1=1800-∠3,∠2=1800-∠4,有∠I=∠3+∠4-1800同理,∠H=∠4+∠5-1800,∠G=∠5+∠6-1800,∠F=∠6+∠7-1800,∠E=∠7+∠8-1800, ∠D=∠8+∠9-1800,∠C=∠9+∠10-1800,∠B=∠10+∠11-1800,∠A=∠11+∠3-1800则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)-9×1800而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9-2)×1800=12600．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I=2×12600-9×1800=90006．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙.现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体案如图30-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式.设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度,则我们将这种选择方式记为(a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依据，并按边长递增的方式一一列出．第一类情况：以为特征的有7组：第二类情况：以为特征的有6组：第三类情况有如下三组：共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2．5，5，14.5)．(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)．(1，2，5，5.5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2.5，4.5，7)，(1，2，2.5，4.5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12). 1020251,,2,,,999⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,2,2.4,4.8,5), 131025147813101,,,,,1,,,,636333313⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.8.如图30-8，ABCD 是平行四边形，面积为72平方厘米，E ，F 分别为边AB,BC 的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，连接EC ，并在某些点处标上字母，因为AE 平行于DC ，所以四边形AECD 为梯形，有AE:DC=1:2，所以:1:4AEG DCG S S ∆∆=, AGD ECG AEG DCG S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯,且有AGD ECG S S ∆∆=,所以:1:2AEG ADG S S ∆∆=,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG ：GD=1:2，同理FH ：HD=1:2．有AED AEG AGD S S S ∆∆∆=+,而111822AED ABCD S S ∆=⨯⨯=(平方厘米) 有EG:GD=:AEG AGB S S ∆∆,所以1612AEG AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 21212AGD AED S S ∆∆=⨯=+(平方厘米) 同理可得6HFC S ∆=(平方厘米), 12DCH S ∆=(平方厘米),44624DCG AEG S S ∆∆==⨯=(平方厘米)又GHD DCG DCH S S S ∆∆∆=-=24-12=12(平方厘米)所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12=24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72-24=48(平方厘米)．10．图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】 如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG ．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，120101002ABF S ∆=⨯⨯=即1003x =，那么正方形内空白部分的面积为40043x =. 所以原题中阴影部分面积为400800202033⨯-= (平方厘米)．12．如图30-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．【分析与解】 如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把左下图中的每一部分阴影称为A ，右下图中的每一部分阴影称为B ．大半圆的面积为13332A B ++小圆的面积219322ππ=⨯⨯=而小圆的面积为π，则9133223A B πππ⎛⎫+=-÷= ⎪⎝⎭， 原题图中的阴影部分面积为小半圆面积与阴影A 、B 的面积和，即为5236πππ+=14.如图30-14，将长方形ABCD 绕顶点C 顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD 边扫过部分的面积．(π取3.14)【分析与解】 如下图所示，如下图所示，端点A 扫过的轨迹为AA A '''，端点D 扫过轨迹为DD D '''，而AD 之间的点，扫过的轨迹在以A 、D 轨迹，AD ，A D ''所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD 上某点扫过，所以AD 边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为A D C ACA ACD S S S S ''''∆∆+--直角扇形直角扇形CD D ,而直角三角形A D C ''、ACD 面积相等．所以=A D C ACA ACD ACA S S S S S S ''''''∆∆+---直角扇形直角扇形CD D 扇形扇形CD D222290909=(54)7.065()36036044AC CD ππππ-=-==平方厘米即AD 边扫过部分的面积为7．065平方厘米．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲 复杂直线型计算
第八讲复杂直线型计算我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 本讲知识点汇总：我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 一、角度问题1. n 边形的内角和是()1802n ︒⨯-；2. n 边形的外角和是360°． 二、基本直线形的面积计算：三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）． 三、直线形中的比例关系1. 等高三角形：面积比等于底的比．2. 共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积．如右图所示，阴影三角形与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的13，右侧边占大三角形右侧边的12，那么它的面积就是大三角形的111236⨯=． 3. 沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关系，则有比例关系a c eb d f==成立．4. 长方形中的比例关系：bbb12::S S a b=abS 2 S1aba b（1） 共边长方形的面积比等于另一组边的比．如右图所示，12S a S b=．（2） 如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四，则有面积比例：3124S S aS S b ==．将其写成交叉相乘的形式可得1423S S S S ⨯=⨯．5. 一般四边形中的比例关系：（1） 如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面积有3124S SS S =的比例关系成立．（2） 如右图所示，连接四边形的一条对角线CD ，并在CD 上取一点O ，连接OA 和OB ，将四边形分为四部分．立．上述两个比例关系还可以通过交叉相乘，写成1423S S S S ⨯=⨯6. 金字塔模型：右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是金字塔模型．金字塔模型的比例关系如右图： 1122a b a b =和11112122a b c a a b b c ==++． 7. 燕尾三角形：上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC 被线段AD 一分为二，且有比例关系12::S S a b =． 如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．a b= 外比：3124S S BD S S CD== BC D内比：1234S S AO S S OD== 12cc = 金字塔模型面积之间的比例关系如图中所示．例1．A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．则A、B中阴影部分的周长之差是多少厘米？「分析」根据图中标出的字母，你能用字母a、b分别表示出长方形的长和宽以及两图中阴影部分的周长之差吗？练习1、下图中，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形．如果阴影部分的周长是l20(阴影部分周长由内、外两部分组成)，那么大正六边形的周长是多少？例2．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度数？AC DEFBBaA练习2、如下图，已知ABCDEF是正六边形，ABIJK是正五边形，ABGH是正方形，图中∠AFK、∠AHK哪个大，它们的差是多少度？例3．如图，四边形ABCD与四边形CNMP都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF 的面积分别是21和43，则三角形BNE的面积为多少？「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平行线作为我们的解题突破口呢？练习3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面积是多少？例4．已知四边形ABCD 是平行四边形，三角形AEF 的面积为4，三角形CDE 的面积为9，那么平行四边形的面积等于多少？「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出．练习4、图中的梯形被分成四小块，其中两块的面积已经标出，那么梯形的面积是多少？例5．如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、35、49．那么图中阴影图形的面积为多少？「分析」图中的阴影三角形是包含在长方形中的．如何利用三角形与长方形的面积比来求阴影部分呢？AB CDO 416例6．如图所示，ABCD 是一个长方形，点E 在CD 延长线上．已知AB =5，BC =12，三角形AFE 的面积等于15，那么三角形CFE 的面积等于多少？「分析」在这道题中你首先能求出哪些部分的面积请先求出，然后再根据这些面积的关系去寻找图中的线段长度关系．A BCDE几何原本《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷．这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作．在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作．《几何原本》集整个古希腊数学的成果和精神于一书．既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识．除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．《几何原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图形的知识（即几何知识）．1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》．1600年，明代数学家徐光启（1562- 1633）与利玛窦相识后，便经常来往．1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的．《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）．《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设．（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础．全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的．比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证．都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明．欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材．它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材．历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了伟大的贡献．两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就．课堂内外作业1. 如图，它是由若干块面积为12平方厘米的小长方形砖和3块白色小正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？2. 如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于A 点，求∠1等于多少度？3. 如图，ABCD 是一个长方形，E 为CD 边的一个三等分点，如果图中阴影部分面积为1，求长方形ABCD 的面积．4. 如图，面积为4的正方形ABCD 中，E 、F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．5. 如图，三角形ABC 的面积是1，D 、E 、F 分别是相应边的三等分点，三角形ADO 的面积是多少？CBFBCDC EDCFE第八讲 复杂直线型计算例题：例7． 答案：16厘米详解：长方形的长为2a b +，宽为a b +．再根据长比宽多8厘米，就能求出8b =厘米．长方形A 中，阴影部分的周长为()6424b a b a b +-=+．长方形B 中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，等于()2246a b a b a b +++⨯=+．两者相差22816b =⨯=厘米．例8． 答案：168︒详解：因为△CDF 是正三角形，所以60CFD FCD ∠=∠=︒．正五边形的内角和是()521803180540-⨯︒=⨯︒=︒，每个内角是5405108︒÷=︒．因此1086048BCF ∠=︒-︒=︒．△BCF 是等腰三角形，所以()18048266BFC ∠=︒-︒÷=︒，同理DFE ∠也等于66︒．因此看得到360360666066168BFE BFC CFD DFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．例9． 答案：22详解：如图连接AM ，因为PM ∥AD ，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP 与三角形AFM 面积相等；同样道理三角形BEN 与三角形AEM 面积相等，所以三角形BEN 面积=43－21=22． 例10． 答案：30详解：三角形AFE 与三角形DCE 构成沙漏模型，而已知面积比为4:9，所以对应边长比为EF :EC =2:3，因此FE :FC =2:5．三角形AFE 又与三角形BFC 构成金字塔模型，所以三角形AFE 与三角形BFC 的面积比为4:25，因此三角形BFC 的面积为25，所以四边形ABCE 的面积为25－4=21，因此平行四边形的面积为21+9=30．例11． 答案：15详解：:12:241:2GE EH ==，所以13GE GH =．:49:357:5GF FH ==，所以512FH GH =．由此可得，15113124EF GH =--=．而1128ACDJ S EF S GH =⨯=阴影，因此阴影部分的面积等于()11122449351588ACDJ S ⨯=⨯+++=．例12． 答案：30详解：三角形ABF 与三角形DEF 构成沙漏模型，所以AB AFDE FD=，即21530AB FD DE AF ⋅=⋅=⨯=，所以306FD AB =÷=，又因为AD=12，所以AF=6，因此2155DE AF =⨯÷=．所以三角形CFE 的面积=()230CD DE FD +⨯÷=．练习：1. 答案：90简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的3倍，因此阴影部分外周长等于总周长的34，即3120904⨯=．2. 答案：3︒简答：四边形内角等于90°，五边形内角等于108°，六边形内角等于120°，所以1089018KAH ∠=︒-︒=︒，12010812KAF ∠=︒-︒=︒．△AFK 与△AHK 都是等腰三角形，因此()18018281AHK ∠=︒-︒÷=︒， ()18012284AFK ∠=︒-︒÷=︒，两者相差3︒．3. 答案：25简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可．4. 答案：36简答：三角形AOD 与三角形BOC 构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4，所以对应边长比为OD :OB =1:2，因此三角形AOD 与三角形BOA 的面积比为1:2，所以三角形BOA 的面积为8．由蝴蝶模型可知三角形COD 的面积也是8，所以梯形的面积是4+16+8+8=36．作业：1. 答案：270简答：设小长方形的长为x ，宽为y ．从水平方向的线段可以看出533x x y =+，因此23x y =．所以小长方形的长宽比为3:2，而相应小正方形的边长就是321-=份．由此可得小长方形的面积是白色小正方形的326⨯=倍，即1262÷=．接着把小长方形与小正方形的面积相加即可得到答案．2. 答案：75°简答：如右图，添加一个点F ．△ADE 是正三角形，所以，因此，由于△AFE 是由△BFE 折叠而来的，因此两个三角形完全相同，都是直角三角形，而且．因此．3. 答案：24简答：由，得：，．又由，得，所以整个长方形的面积为24． 4. 答案：1简答：不妨设．由EF 与AB 平行，得． 所以，，16ABFE S a =四边形．又，所以，阴影部分面积为． 5. 答案：简答：AD :AB =1:3由金字塔模型可知．在三角形ADO 与三角形EFO 中由沙漏模型可知DO :OE =AD :EF ，而由金字塔模型可知EF :AB =2:3，所以DO :OE =AD :EF =1:2，因此，因此三角形ADO 的面积为．127:1:3ADO ADE S S =△△ :1:9ADE ABC S S =△△ 1276=1a 816=3a 28==33ADE BCF ABFE ABCD ABCD S S S S S --=△△四边形四边形四边形 9AOB S a =△ 3EOA FOB S S a ==△△ :::1:3OE OB OF OA EF AB === =OEF S a △ 3=12DAC ACE S S =△△ 3CD CE = =4ACE S △ =3=3OAE OCE S S △△ ::1:3CO OA EC AB == 19075FEA ∠=︒-∠=︒ 1152FEA FEB BEA ∠=∠=∠=︒ =906030BEA ∠︒-︒=︒ 60AED ∠=︒ FCD。
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-4(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-4（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx 题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【答案】5【解析】连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【题文】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．评卷人得分【答案】50【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【题文】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【答案】48【解析】连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍．因此，平行四边形的面积为(平方厘米)．【题文】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【答案】24【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【题文】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？【答案】12.5【解析】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【题文】如图所示，正方形边长为6厘米，，．三角形的面积为多少平方厘米？【答案】10【解析】由题意知、，可得．根据”共角定理”可得，；而；所以；同理得，;，，故(平方厘米)．【题文】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．【答案】18【解析】(法)本题是性质的反复使用．连接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面积．(法)用共角定理∵在和中，与互补，∴{{l∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【题文】如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．【答案】13.2【解析】连接．由共角定理得，即同理，即所以连接，同理可以得到所以平方米【题文】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是多少？【答案】60【解析】连接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．【题文】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【答案】3.5【解析】∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以【题文】如图，，，，，．求．【答案】1/10【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．最后求得的面积为．【题文】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？【答案】12【解析】连接、．因为，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到，，，所以平方厘米．【题文】四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【答案】13/6【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形．假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为．由于，，所以与三角形的面积之比为．同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的，所以的面积的面积为．【题文】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是多少？【答案】【解析】从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是．【题文】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．【答案】28【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接、．∵，∴．同理，，，∴(平方厘米)．【题文】图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少？【答案】48【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是．【题文】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【答案】100【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．【题文】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【答案】8【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．【题文】如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少？【答案】6【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．【题文】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】50【解析】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．方法二：连接CF，那么CF平行BD ，所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．【题文】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【答案】13.5【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：可得：、、，而即；而，．所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：．【题文】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．【答案】15【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．（法2）连接、．由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．【题文】是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是．【答案】34【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是多少平方厘米．【答案】30【解析】连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)．【题文】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？【答案】22.5【解析】，等高，所以面积的比为底的比，有,所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)，(平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米．【题文】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【答案】5【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则，，所以，阴影部分面积为．【题文】如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是多少？【答案】【解析】根据题意可知，，所以，那么，故．【题文】是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？【答案】3【解析】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以．【题文】如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？【答案】16【解析】根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差．如右上图，连接、．由于，所以．而，，所以(平方分米)．【题文】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【答案】10【解析】连接交于点，并连接．如下图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有：，因为，所以．【题文】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【答案】2【解析】连接交于点，并连接．如右上图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有:，因为，所以．【题文】右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．【答案】49.5【解析】连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形．由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米．那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米．又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)．【题文】如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【答案】6.5【解析】方法一：连接对角线．∵是长方形∴∴，∴，∴∴．方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以【题文】如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点．若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米？【答案】10【解析】，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．【题文】如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】【解析】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米．，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米．【题文】如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么？【答案】24【解析】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以．【题文】如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于多少？【答案】【解析】根据题意可知，，所以，．【题文】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是多少？【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，求四边形的面积.【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？【答案】1.8【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【题文】如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【答案】32.5【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．【题文】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．【答案】70【解析】连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？【答案】5【解析】连接．∵，∴，又∵，∴，∴，．【题文】如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．【答案】50【解析】连接，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【题文】如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？【答案】12.5【解析】由于，所以可以用共角定理，设份，份，则份，份，由共角定理，设份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面积是平方厘米【题文】已知的面积为平方厘米，，求的面积．【答案】24【解析】，设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米【题文】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．【答案】18【解析】(法)本题是性质的反复使用．连接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面积．(法)用共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以．【题文】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比．【答案】【解析】连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．【题文】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，则四边形的面积是多少？【答案】60【解析】连接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．【题文】如图，，，，，．求．【答案】【解析】本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的种情况．最后求得的面积为．【题文】一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的，黄色三角形面积是．问：长方形的面积是多少平方厘米？【答案】60【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的，而绿色三角形面积占长方形面积的，所以黄色三角形面积占长方形面积的．已知黄色三角形面积是，所以长方形面积等于（）．【题文】如图，长方形的面积是，是边的中点，在边上，且.那么，阴影部分的面积是多少？【答案】【解析】连接，因为是中点所以的面积为又因为，所以的面积为，又因为面积为，所以阴影部分的面积为：.【题文】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．【答案】3【解析】三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半，三角形ADE又是三角形ADC面积的一半．三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三角形FED的面积．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【答案】15【解析】连接．∵∴又∵∴，∴．【题文】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？【答案】3.5【解析】∵在和中，与互补，∴．又，所以．同理可得，．所以。
六年级奥数几何练习题
六年级奥数几何练习题在六年级奥数几何练习题中，我们将通过讨论一些常见的几何问题和解决方法，帮助同学们提高解题能力和对几何概念的理解。
在本文中，我们将涵盖以下几个主题：平面几何、立体几何、图形的性质以及几何推理。
一、平面几何平面几何是几何学中的一个重要分支，涵盖了许多与平面内图形相关的概念与性质。
在这一部分，我们将讨论关于点、线、角、图形等方面的练习题。
1. 关于点、线、角的练习题(1) 练习题1：已知平面上有三个不在一条直线上的点A、B、C，连接AB、BC、CA三条线段，这三条线段是否可能构成一个三角形？为什么？(2) 练习题2：已知两条直线a和b相交于点O，角AOB的度数为60°，求直角三角形AOB中角A和角B的度数。
2. 关于图形的性质的练习题(1) 练习题3：在平面直角坐标系中，点A(3, 4)和点B(-2, 1)分别为矩形ABCD的两个对角线的端点，求矩形ABCD的面积和周长。
(2) 练习题4：在平面直角坐标系中，点A(0, 0)和点B(5, 0)为正方形ABCD的两个对角线的端点，求正方形ABCD的面积和周长。
二、立体几何立体几何是研究与立体图形相关的几何学分支，例如立方体、长方体、圆柱体等等。
在这一部分，我们将探讨常见的立体图形的性质以及相关计算题。
1. 关于立体图形的性质的练习题(1) 练习题5：已知一个半径为r的圆柱体的高度为h，求该圆柱体的体积和表面积。
(2) 练习题6：一个立方体的体积为64立方厘米，求它的棱长和表面积。
2. 关于计算题的练习题(1) 练习题7：一个正方体的体积和表面积之和为135立方厘米，求该正方体的棱长。
(2) 练习题8：正方体的一个顶点为A，一条棱上的中点为B，连接点B和立方体的对角线中点，并延长至立方体的另一面，求点B和立方体另一面的交点的坐标。
三、图形的性质图形的性质是指图形的特征和规律，包括对称性、相似性、全等性、平行性等。
在这一部分，我们将介绍与图形性质相关的一些练习题。
面积问题的六年级奥数题及答案
面积问题的六年级奥数题及答案面积问题的六年级奥数题及答案1.面积如下图(a)，计算这个格点多边形的面积.分析这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.解：矩形面积是6×4=24.直角三角形I的面积是：6×2÷2=6.直角三角形Ⅱ的'面积是：4×2÷2=4，直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4.所求三角形的面积是：24-(6+4+4)=10(面积单位).2.等差数列求等差数列1，6，11，16…的第20项.解：首项a1=1，又因为a2;大于a1;，公差d=6-1=5，所以运用公式(1)可知：第20项a20=a1=(20-1)×5=1+19×5=96.3.排列由数字0，1，2，3，4组成三位数，可以组成多少个不相等的三位数?解答：要求组成不相等的三位数，所以，数字可以重复使用。
个位可填0，1，2，3，4中的任意一个，十位也一样，百位不能填0，要将三个数位填满才组成三位数，这是分步完成，所以用乘法原理，共有个。
4.排列由数字0，1，2，3，4组成三位数，可以组成多少个无重复数字的三位偶数?解答：因为要求组成无重复数字的三位偶数，那么个位只能填0，2，4。
(1)若个位填0，从剩下的4个非零数字中选一个填百位，再从剩下的3个数字中选任选一个来天填十位，有：1×4×3=12个;(2)若个位填2或4，从剩下的三个非零数字中选一个来填百位，再从剩下的3个数字中任选一个来填十位，有2×3×3=18个。
因此，所有满足条件的三位数共有：12+18=30(个)。
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-3(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-3（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【答案】8【解析】．【题文】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【答案】100【解析】评卷人得分对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．【题文】图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【答案】8【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．【题文】如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少．【答案】6【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．【题文】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】50【解析】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．方法二：连接CF，那么CF平行BD ，所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．【题文】已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积．【答案】20【解析】如果注意到为一个正方形的对角线(或者说一个等腰直角三角形的斜边)，那么容易想到与是平行的．所以可以连接、，如上图．由于与平行，所以的面积与的面积相等．而的面积为，所以的面积也为20．【题文】图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．【答案】49.5【解析】连接、，由于与平行，可知四边形构成一个梯形．由于面积为6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知的面积为12平方厘米，的面积为6平方厘米，的面积为3平方厘米．那么正方形的面积为平方厘米，所以其边长为6厘米．又的面积为平方厘米，所以(厘米)，即正方形的边长为3厘米．那么，五边形的面积为：(平方厘米)．【题文】如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是平方厘米．求图中阴影部分的面积．【答案】12.8【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底．所以到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，所以阴影部分的面积乙的面积．设甲、乙、丙的面积分别为份，则阴影面积为份，梯形的面积为份，从而阴影部分的面积(平方厘米)．【题文】如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？【答案】6.5【解析】方法一：连接对角线．∵是长方形∴∴，∴，∴∴．方法二：连接，由图知，所以，又由，恰好是面积的一半，所以是的中点，因此，所以【题文】如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比．【答案】1：2【解析】方法一：因为，，所以，．因为，所以，所以，．同理可得，，．因为，所以空白部分的面积，所以阴影部分的面积是．，所以阴影面积与空白面积的比是．【题文】如图所示，三角形中，是边的中点，是边上的一点，且，为与的交点．若的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面积是多少平方厘米．【答案】10【解析】，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．【题文】如图，在梯形中，，，且的面积比的面积小10平方厘米．梯形的面积是多少平方厘米？【答案】115【解析】根据题意可知，则，，而平方厘米，所以，则平方厘米．又，所以平方厘米．所以(平方厘米)．【题文】如图，是梯形的一条对角线，线段与平行，与相交于点．已知三角形的面积比三角形的面积大平方米，并且．求梯形的面积．【答案】28【解析】连接．根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大4平方米，而三角形与三角形面积相等，因此也与三角形面积相等，从而三角形的面积比三角形的大4平方米．但，所以三角形的面积是三角形的，从而三角形的面积是(平方米)，梯形的面积为：(平方米)．【题文】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是，，．那么图中阴影部分的面积是多少？【答案】97【解析】三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又因为三角形的面积三角形的面积长方形面积，所以可得：阴影部分面积．【题文】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【答案】【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有为直角，而，所以也为直角.而.与同高，所以面积比为底的比，及===，设的面积为“8”，则的面积为“5”．是由折叠而成，所以有、面积相等，是由、、组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为=平方厘米．即阴影部分的面积为平方厘米．【题文】如图，长方形的面积是2平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】平方厘米【解析】如下图，连接，、的面积相等，设为平方厘米;、的面积相等，设为平方厘米，那么的面积为平方厘米．，．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多，②式右边比①式右边大0.5，有，即,．而阴影部分面积为平方厘米．【题文】如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道,且．则两块地和的面积比是多少【答案】1：2【解析】方法一：连接．设的面积为1，的面积，则根据题上说给出的条件，由得，即的面积为、;又有，、，而；得，所以．方法二：连接，设(份)，则,设则有，解得，所以方法三：过点作∥交于点，由相似得,又因为，所以，所以两块田地ACF和CFB的面积比【题文】如图，，，被分成个面积相等的小三角形，那么|【答案】24【解析】由题意可知，，所以，；又，所以，同样分析可得，所以．【题文】如图，在角的两边上分别有、、及、、六个点，并且、、、、的面积都等于1，则的面积等于．【答案】【解析】根据题意可知，，所以，．【题文】、分别为直角梯形两边上的点，且、、彼此平行，若，，，．求阴影部分的面积．【答案】25【解析】连接、．由于、、彼此平行，所以四边形是梯形，且与该梯形的两个底平行，那么三角形与、三角形与的面积分别相等，所以三角形的面积与三角形的面积相等．而三角形的面积根据已知条件很容易求出来．由于为直角梯形，且，，，，所以三角形的面积的面积为：．所以三角形的面积为25．【题文】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)【答案】43【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．根据图形的容斥关系，有，即，所以．又，所以．【题文】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，求三角形的面积．【答案】40【解析】连接，．根据题意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面积是40．【题文】如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？【答案】128【解析】连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米.【题文】如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少【答案】40【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：．【题文】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少【答案】6【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少？【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？【答案】1.8【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【题文】如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】12【解析】因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米．又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)．【题文】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为多少？【答案】2.7【解析】如图，连接．根据蝴蝶定理，，所以；，所以．又，，所以阴影部分面积为：．【题文】如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【答案】32.5【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是（）．【答案】48【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】已知正方形的边长为10，，，则？【答案】53【解析】如图，作于，于．则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以．【题文】如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3．求长方形的面积．【答案】67【解析】如图，过作∥，过作∥，、交于，连接．则另解：设三角形、、的面积之和为，则正方形的面积为．从图中可以看出，三角形、、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为．【题文】如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？【答案】717【解析】由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大．由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大．长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即与相等时它们的积最大，此时长方形的面积也最大，所以此时三角形面积最小．当与相等时，，此时三角形的面积为：．(也可根据得到三角形的面积)【题文】是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是（）．【答案】34【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比．【答案】1【解析】(法1)设，，，．连接知，，，；所以；同理．于是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积．(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．【题文】如图，、、、分别是四边形各边的中点，与交于点，、、及分别表示四个小四边形的面积．试比较与的大小．【答案】【解析】如图，连接、、、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知．【题文】如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积是多少？【答案】【解析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接、、、，因为，，所以，在中，，在中，，在中，，在中，．因为，所以．又因为，所以．【题文】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【答案】【解析】分层次来考虑：⑴如下左图，，，所以．又因为，，所以；．⑵如右上图，已知，；所以；所以，即是三等分点；同理，可知、、都是三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，．【题文】有正三角形，在边、、的正中间分别取点、、，在边、、上分别取点、、，使，当和、和、和的相交点分别是、、时，使．这时，三角形的面积是三角形的面积的几分之几？请写出思考过程．【答案】【解析】连接、、，显然，是正三角形将放大至如图⑵．连，由对称性知，．因此，．同理，．所以，．【题文】如图：已知在梯形中，上底是下底的，其中是边上任意一点，三角形、三角形、三角形的面积分别为、、．求三角形的面积．【答案】21【解析】如图，设上底为，下底为，三角形与三角形的高相差为．由于，所以．即．又，所以．【题文】如图，已知是梯形，∥，，，，求的面积．【答案】6【解析】本题是09年六年级试题，初看之下，是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四边形内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为、这两个点的位置不明确．再看题目中的条件，，，这两个条件中的前一个可以根据差不变原理转化成与的面积差，则是与的面积差，两者都涉及到、以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过、分别作梯形底边的平行线．如右图，分别过、作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为．再过作的垂线．由于，所以，故．根据差不变原理，这个差等于与的面积之差．而与有一条公共的底边，两个三角形边上的高相差为，所以它们的面积差为，故．再看，它的面积等于是与的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边，边上的高也相差，所以这两个三角形的面积之差为，故．由于，所以，则，所以．【题文】如图，是一个四边形，、分别是、的中点．如果、与的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形的面积为多少．【解析】连接、、．由于是的中点，所以与的面积相等，而比的面积大1，所以比的面积大1；又由于是的中点，所以的面积与的面积相等，那么的面积比的面积大1，所以的面积为9．假设的面积为，则的面积为．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知的面积为，的面积为．要使这两个三角形的面积为整数，可以为1，3或7．由于的面积为面积的一半，的面积为面积的一半，所以与的面积之和为四边形面积的一半，所以与的面积之和等于四边形的面积，即：，得．将、3、7分别代入检验，只有时等式成立，所以{{10l连接，，，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．【题文】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？【答案】15连接．∵∴又∵∴，∴．。
小学奥数讲义6年级-14-直线形面积综合-难版
一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，有时合理添加辅助线是解决问题的关键。
我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1（3）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DC BA知识梳理【例1】★如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．E【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326⨯÷=(平方厘米)．【小试牛刀】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米， 则阴影部分的面积是 平方厘米．【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225÷=平方厘米．【例2】★★如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA典型例题【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =， ∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =SCGH DGH，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【小试牛刀】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCFBBFCGE【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段．把H 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形．这9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等．因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH 、BCH 和CDH 的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48． 【例3】★★★已知图中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。
小学奥数几何专题--简单直线型面积(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数几何专题--简单直线型面积（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．【答案】七边形【解析】几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形．【题文】数一数，图中共有多少个角？【答案】8【解析】锐角、直角各4个，共8个角．【题文】将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？【答案】8【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度即为所求．4×2=8厘米【题文】用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？【答案】14【解析】拼成的图形长和宽最接近时，新的图形周长最短．即新图形边长为3和4时，周长最短，为(3+4)×2=14【题文】一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是4和9，这个三角形的周长可能是多少？【答案】10，11；22【解析】第一个三角形：如果腰为3，则周长为4+3+3=l【题文】下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？【答案】三角形：4,7；长方形：1,2；平行四边形：1,2,3,6；菱形：1,6【解析】三角形有2个：4和7；长方形有2个：1和2(正方形也属于长方形)；平行四边形有4个：1、2、3、6(正方形、长方形、菱形也属于长方形)；菱形有2个：1和6(正方形也属于菱形)．【题文】请看下图，共有多少个正方形？【答案】14【解析】假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正方形有9个；面积为4的正方形有4个；面积为16的正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．【题文】长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？【答案】如解析【解析】共有三种情况，如下图，分别剩下5、4、3个角．【题文】有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米．不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？【答案】3【解析】3种．【题文】把一个正方形分割为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8．如何分？【答案】如解析.【解析】如下图所示．【题文】数一数下图中有多少个正方体木块？【答案】7【解析】从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块．【题文】一个正方体的8个顶角被截去后，得到一个新的几何体．这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？【答案】36【解析】这个正方体的8个顶点被截去后，多了8个面，因此共有6+8=14个面；多了(3-1)×8=16个点，因此共有8+16=24个点；多了3×8条棱，因此共有12+3×8=36条棱．【题文】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【答案】绿；蓝；白【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．【题文】将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上．【答案】A—D、B—E、C—F【解析】本题所给的是一组立体几何图形．但是，我们注意到：由于图(a)、(b)、(c)都是同一个正方体的不同摆法．所以，图(a)、(b)、(c)可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置．因此，这三个图形的转化只能是前后转动．把图(a)向后翻转一次(90°)得图(b)．由此可知，字母A的对面是D，把图(a)向前翻转一次(90°)得图(c)，所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对．因此，正方体中，相对的字母分别是A—D、B—E、C—F．【题文】有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？【答案】25【解析】25．【题文】图中的3个图形都是由A，B，C，D(线段或圆)中的两个组合而成，记为 A*B， C*D，A*D．请你画出表示A*C的图形．【答案】【解析】由图知A表示“|”，B表示大圆，C表示小圆，D表示“—”，则A*C表示的图形为：．【题文】图是由9个小人排列成的方阵，但有一个人没有到位．请你根据图形的规律，在标有问号的位置画出你认为合适的小人．【答案】【解析】我们注意每组的三个图案，上部的图案为，中部的图案为，下部的图案为：，所以标有问号的小人为：．【题文】如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作：按上述规则完成5次操作以后，剪去所得小正方形的左角．问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔?【答案】256【解析】一次操作后，层数由1变为4，若减去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上有4个小洞孔．连续三次操作，折纸层数为4×4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4×4＝16个小洞孔．连续四次操作，折纸层数为4×4×4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4×4×4＝64个小洞孔．按上面规律，知：连续第五次操作，折纸层数为4×4×4×4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4×4×4×4＝256个小洞孔．【题文】如图8-4，用4个大小相同的立方体拼成图中的形状．如果用涂料涂立方体中的一个侧面需用工料费3元，那么涂完图中的所有表面，共需要工料费多少元?【答案】54【解析】图中的立体图形共有3+3+4+4+2+2＝18个面需要涂色，那么共需18×3＝54元工料费．【题文】己知在每个正方体的6个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7．等于如图，现在把5个这样的正方体一个挨着一个连接起来，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中标有问号的那个面上所写的数是多少?【答案】3【解析】从正面往后数，1的对面为7－1＝6，6的紧贴面为8－6＝2，2的对面为7－2＝5，5的紧贴面为8－5＝3，3的对面为7－3＝4，于是从左往右数，第1个不是1、6、3、4，只能是2或5；当是2时，对面为5，5的紧贴面为8－5＝3，3的对面为7－3＝4，4的紧贴面8－4＝4，4的对面对7－4＝3，即为标有问号的面；当是5时，对面为2，2的紧贴面的8－2＝6，6的对面对7－6＝1，1的紧贴面为8－1＝7，不满足题意．所以，图中标有问号的那个面上所写的数是3．【题文】在图的5个图形中，有一个不是正方体的展开图，那么这个图形的编号是几?【答案】3【解析】我们知道①、②、④、⑤可以组成一个正方体，而③不管怎么沿线折叠总是有两个面重叠，无法构成一个正方体．所以不是正方体展开图的为③号图．【题文】请你在图上画出3种与图8-9不一样的设计图，使它折起来后都成为图8-8所示的长方体盒子，其中的粗线与棱的交点均为棱的中点．【答案】如解析【解析】【题文】如图所示，剪一块纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．那么这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【答案】74【解析】多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面．下图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点，共18个顶点．棱数要分三层来数，上层从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分分为6条．一共15×2+6＝36条棱．20+18+36＝74．所以多面体的面数、顶点数和棱数的总和为74．【题文】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有3面涂上红色的小正方体比有2面涂上红色的小正方体多多少块?【答案】12【解析】三面涂上红色的小正方形有2×4+5×4＝28(个)；两面涂上红色的小正方形有3×4+1×4＝16(个)，所以多出28－16＝12(个)．【题文】若干棱长为1的立方体拼成了一个11×11×11的大立方体，那么从一点望去，最多能看到多少个单位立方体?【答案】331【解析】从一点望去，最多可以看见三个两两相邻的面，如下图所示：而每个面对应有11×11＝121个小立方体，但是注意到公共棱上对应的小正方体被计算了两次，应减去三个棱上对应的小立方体，但是此时顶点(望去的那一点)又多减了1次，所以必须补上，于是有：一眼看去，有121×3－11×3+1＝331个单位立方体可以看到．【题文】有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2，4，6，…，18，20．若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有多少个至少是一面有漆的?【答案】8000【解析】题中需算至少一面的有漆的，我们只需把所有的小立方体个数减去一面都没有漆的小立方体个数即可．全部的小立方体共有23+43+63+…+183+203个；而每个立方体的内部都没有染色，这时内部的立方体的棱长为原立方体的棱长减2，所以内部的小立方体有(2－2)3+(4－2)3+(6－2)3+(8－2)3+…+(18－2)3+(20－2)3＝23+43+63+…+183个．所以，至少一面有漆的小正方体有[23+43+63+…+183+203]－[23+43+63+…+183]＝203＝8000个．【题文】已知一个正方体木块能分割成若干个棱长为l厘米的小正方体木块，并且在这个大的正方体木块的5个面上涂上红色，把它分割成若干个棱长1厘米的小正方体木块后，有两面涂上红色的共有108块．那么只有一面涂上红色的有多少块?【答案】897【解析】如下图，我们假设最底面没有涂色，那么每条棱上的对应的小正方体都是两面涂有红色，除了被圈出的4个小正方体为3面有色．有标有“”的边上染有红色的小正方体为：(棱长－2)；标有“■”的边上染有红色的小正方体为：(棱长－1)．有(棱长－2)×4+(棱长－1)×4＝108，所以棱长为15，而一面有色只是在染色的5个面内，及未涂色面的顶点上，所以共有(15－2)×(15－2)×5+4＝897块．【题文】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米?【答案】48【解析】如下图所示，我们将长方体的顶点标上字母：注意到，我们尽量让小虫多走长方形的长，此时有A→B→C→D→A→E→F→G→H→E，小虫共走了6+5+6+5+4+6+5+6+5＝48分米．当然与上面的路线对称的路线也是符合题意的．所以，小虫最多能爬48分米．【题文】如图，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依次重复上述操作过程．问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色?【答案】白【解析】由初始状态第一次翻转后红面为底面，第二次翻转后蓝面变为底面，这时黄面正对着你；第三次翻转后，黄面变为底面，第四次翻转后红面变为底面，这时白面对着你．继续按规则操作，会发现连续翻转到第八次出现红面正对着你．次后，第八次错作，面对你重复出现，形成一个循环．由于100÷8＝12……4，所以完成第100次操作后面对你的面与完成第四次操作面对你的面相同，是白色．。
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-13(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-13（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】四个面积为的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【答案】13/6【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形，则与都是正三角形．假设正六边形的边长为为，则与的边长都是，所以大正三角形的边长为，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为，三角形的面积为．由于，，所以与三角形的面积之比为．同理可知、与三角形的面积之比都为，所以的面积占三角形面积的评卷人得分，所以的面积的面积为．【题文】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形的面积是多少？【答案】【解析】从图中可以看出，虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的，所以虚线外图形的面积等于，所以五边形的面积是．【题文】如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．【答案】28【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接、．∵，∴．同理，，，∴(平方厘米)．【题文】图中的、、分别是正方形三条边的三等分点，如果正方形的边长是，那么阴影部分的面积是多少？【答案】48【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的个边就都被分成了相等的三段．把和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形．这个三角形的底边分别是在正方形的个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一．阴影部分被分割成了个三角形，右边三角形的面积和第第个三角形相等：中间三角形的面积和第第个三角形相等；左边三角形的面积和第个第个三角形相等．因此这个阴影三角形的面积分别是、和的三分之一，因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一．正方形的面积是，阴影部分的面积就是．【题文】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．【答案】100【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接、、，则，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得，，所以阴影部分的面积就等于正方形的面积，即为平方厘米．【题文】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【答案】8【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系．连接(见右上图)，可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等．因为三角形是三角形与三角形的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．【题文】如图，与均为正方形，三角形的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为多少？【答案】6【解析】如图，连接，比较与，由于，，即与的底与高分别相等，所以与的面积相等，那么阴影部分面积与的面积相等，为6平方厘米．【题文】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】50【解析】方法一：三角形BEF的面积，梯形EFDC的面积三角形BEF的面积，而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．方法二：连接CF，那么CF平行BD ，所以，阴影面积三角形BDF的面积三角形BCD的面积(平方厘米)．【题文】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【答案】13.5【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：可得：、、，而即；而，．所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：．【题文】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【答案】15【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．（法2）连接、．由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．【题文】是边长为12的正方形，如图所示，是内部任意一点，、，那么阴影部分的面积是多少？【答案】34【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如下图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，的面积是多少平方厘米？【答案】30平方厘米【解析】连接．根据题意可知，的面积为面积的，的面积为面积的，所以的面积为面积的．而的面积为5平方厘米，所以的面积为(平方厘米)．【题文】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？【答案】22.5【解析】，等高，所以面积的比为底的比，有,所以=(平方厘米)．同理有(平方厘米)，(平方厘米)．即三角形的面积是22.5平方厘米．【题文】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【答案】5【解析】如图，将大长方形的长的长度设为1，则，，所以，阴影部分面积为．【题文】如图，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面积分别是89，28，26．那么三角形的面积是多少？【答案】【解析】根据题意可知，，所以，那么，故．【题文】是长方形内一点，已知的面积是，的面积是，求的面积是多少？【答案】3【解析】由于是长方形，所以，而，所以，则，所以．【题文】如右图，过平行四边形内的一点作边的平行线、，若的面积为8平方分米，求平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米？【答案】16【解析】根据差不变原理，要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差，相当于求平行四边形的面积与平行四边形的面积差．如右上图，连接、．由于，所以．而，，所以(平方分米)．【题文】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【答案】10【解析】连接交于点，并连接．如下图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有：，因为，所以．【题文】如右图，正方形的面积是，正三角形的面积是，求阴影的面积．【答案】2【解析】连接交于点，并连接．如右上图所示，可得，所以与面积相等(同底等高)，所以有:，因为，所以．。
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-11(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-11（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx 题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】如图，点、、在线段上，已知厘米，厘米，厘米，厘米，将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是平方厘米，上边部分面积是平方厘米，则三角形的面积是多少平方厘米？【答案】128【解析】连接设的面积是,由于所以的面积是、的面积是由于上半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为下半部分的面积是平方厘米所以的面积是()平方厘米，因为是的2倍所以可以列方程为：()解得，的面积为平方厘米.评卷人得分【题文】如图，正方形的边长为10，四边形的面积为5，那么阴影部分的面积是多少？【答案】40【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以阴影部分的面积为：．【题文】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形的面积是多少？【答案】6【解析】如图所示，设上的两个点分别为、．连接．根据面积比例模型，与的面积是相等的，那么与的面积之和，等于与的面积之和，即等于的面积．而的面积为正方形面积的一半，为．又与的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形的面积，所以四边形的面积为：．【题文】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为多少？【答案】10【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．【题文】如图所示，矩形的面积为24平方厘米．三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则四边形的面积是多少平方厘米？【答案】1.8【解析】因为三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即12平方厘米，又三角形与三角形的面积之和为平方厘米，则三角形与三角形的面积之和是平方厘米，则四边形的面积三角形面积三角形与三角形的面积之和三角形面积(平方厘米)．【题文】如图，如果长方形的面积是平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【答案】32.5【解析】如图，过、、、分别作长方形的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为厘米，面积等于平方厘米．设、、、的面积之和为，四边形的面积等于，则，解得(平方厘米)．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为的正方形，则阴影部分四边形的面积是．【答案】48【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？【答案】68【解析】如图所示，分别过阴影四边形的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形，易知长方形的面积为平方厘米．从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于、、、四个长方形的面积之和，等于正方形的面积加上长方形的面积，为平方厘米，所以四个空白三角形的面积之和为平方厘米，那么阴影四边形的面积为平方厘米．【题文】已知正方形的边长为10，，，则？【答案】53【解析】如图，作于，于．则四边形分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等，而中间的小长方形的面积为，所以．【题文】如图，三角形的面积是，、的长度分别为11、3．求长方形的面积．【答案】67【解析】如图，过作∥，过作∥，、交于，连接．则另解：设三角形、、的面积之和为，则正方形的面积为．从图中可以看出，三角形、、的面积之和的2倍，等于正方形的面积与长方形的面积之和，即，得，所以正方形的面积为．【题文】如图，长方形中，，．、分别是边上的两点，．那么，三角形面积的最小值是多少？【答案】717【解析】由于长方形的面积是一定的，要使三角形面积最小，就必须使、、的面积之和最大．由于、、都是直角三角形，可以分别过、作、的平行线，可构成三个矩形、和，如图所示．容易知道这三个矩形的面积之和等于、、的面积之和的2倍，而这三个矩形的面积之和又等于长方形的面积加上长方形的面积．所以为使、、的面积之和最大，只需使长方形的面积最大．长方形的面积等于其长与宽的积，而其长，宽，由题知，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当与的差为0，即l【解析】（法1）特殊点法．由于是内部任意一点，不妨设点与点重合(如上中图)，那么阴影部分就是和．而的面积为，的面积为，所以阴影部分的面积为．（法2）寻找可以利用的条件，连接、、、可得右上图所示：则有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以阴影部分的面积是：即为：．【题文】如图所示，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求阴影部分与四边形的面积之比．【答案】1【解析】(法1)设，，，．连接知，，，；所以；同理．于是；注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形；因此四块阴影的面积和就等于四边形的面积．(法2)特殊值法(只用于填空题、选择题)，将四边形画成正方形，很容易得到结果．【题文】如图，、、、分别是四边形各边的中点，与交于点，、、及分别表示四个小四边形的面积．试比较与的大小．【答案】【解析】如右图，连接、、、，则可判断出，每条边与点所构成的三角形都被分为面积相等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于、这两个不同的组合，所以可知．【题文】如图，四边形中，，，，已知四边形的面积等于4，则四边形的面积是多少？【答案】4/3【解析】运用三角形面积与底和高的关系解题．连接、、、，因为，，所以，在中，，在中，，在中，，在中，．因为，所以．又因为，所以．【题文】如图，对于任意四边形，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形，求四边形的面积是四边形的几分之几？【答案】【解析】分层次来考虑：⑴如下左图，，，所以．又因为，，所以；．⑵如右上图，已知，；所以；所以，即是三等分点；同理，可知、、都是三等分点；所以再次应用⑴的结论，可知，．。
高斯小学奥数六年级上册含答案第08讲 复杂直线型计算
第八讲复杂直线型计算我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 本讲知识点汇总：我们在之前的学习中已经详细学习了直线形长度、角度以及面积的计算，并学习了直线形中的各种比例关系．下面我们就对这些知识作一下总结． 一、角度问题1. n 边形的内角和是()1802n ︒⨯-；2. n 边形的外角和是360°． 二、基本直线形的面积计算：三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形面积公式（详细公式略）． 三、直线形中的比例关系1. 等高三角形：面积比等于底的比．2. 共角三角形：面积比等于共角夹边比的乘积．如右图所示，阴影三角形与大三角形共享一个角，它的左侧边占大三角形左侧边的13，右侧边占大三角形右侧边的12，那么它的面积就是大三角形的111236⨯=． 3. 沙漏三角中的比例关系：如下图所示，上下两个三角形底边平行，另两边呈交叉关系，则有比例关系a c eb d f==成立．4. 长方形中的比例关系：bbb12::S S a b=abS 2 S1aba b（1） 共边长方形的面积比等于另一组边的比．如右图所示，12S a S b=．（2） 如右图所示，长方形被一对分别平行于长、宽的线段一分为四，则有面积比例：3124S S aS S b ==．将其写成交叉相乘的形式可得1423S S S S ⨯=⨯．5. 一般四边形中的比例关系：（1） 如右图所示，当四边形被对角线分为四个部分的时候，这四块的面积有3124S SS S =的比例关系成立．（2） 如右图所示，连接四边形的一条对角线CD ，并在CD 上取一点O ，连接OA 和OB ，将四边形分为四部分．立．上述两个比例关系还可以通过交叉相乘，写成1423S S S S ⨯=⨯6. 金字塔模型：右图三角形中添加一条与底边平行的平行线，就是金字塔模型．金字塔模型的比例关系如右图： 1122a b a b =和11112122a b c a a b b c ==++． 7. 燕尾三角形：上面的等高三角形中我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC 被线段AD 一分为二，且有比例关系12::S S a b =． 如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．a b= 外比：3124S S BD S S CD== BC D内比：1234S S AO S S OD== 12cc = 金字塔模型面积之间的比例关系如图中所示．例1．A、B是两个大小完全一样的长方形，已知这个长方形的长比宽长8厘米，图中的字母表示相应部分的长度．则A、B中阴影部分的周长之差是多少厘米？「分析」根据图中标出的字母，你能用字母a、b分别表示出长方形的长和宽以及两图中阴影部分的周长之差吗？练习1、下图中，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形．如果阴影部分的周长是l20(阴影部分周长由内、外两部分组成)，那么大正六边形的周长是多少？例2．如图，ABCDE是正五边形，CDF是正三角形，那么∠BFE等于多少度？「分析」正五边形的每个内角是多少度？等边三角形每个内角又是多少度？由此如何求出∠BFE的度数？AC DEFBBaA练习2、如下图，已知ABCDEF是正六边形，ABIJK是正五边形，ABGH是正方形，图中∠AFK、∠AHK哪个大，它们的差是多少度？例3．如图，四边形ABCD与四边形CNMP都是平行四边形，若三角形DFP与三角形AEF 的面积分别是21和43，则三角形BNE的面积为多少？「分析」两个平行四边形为我们提供了几组平行线这个条件，那么如何使用平行线作为我们的解题突破口呢？练习3、图中的长方形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么阴影部分的面积是多少？例4．已知四边形ABCD 是平行四边形，三角形AEF 的面积为4，三角形CDE 的面积为9，那么平行四边形的面积等于多少？「分析」这道题中有一个“沙漏形”是可以用在解题中的请你找出．练习4、图中的梯形被分成四小块，其中两块的面积已经标出，那么梯形的面积是多少？例5．如图，大长方形被分为四个小长方形，面积分别为12、24、35、49．那么图中阴影图形的面积为多少？「分析」图中的阴影三角形是包含在长方形中的．如何利用三角形与长方形的面积比来求阴影部分呢？AB CDO 416例6．如图所示，ABCD 是一个长方形，点E 在CD 延长线上．已知AB =5，BC =12，三角形AFE 的面积等于15，那么三角形CFE 的面积等于多少？「分析」在这道题中你首先能求出哪些部分的面积请先求出，然后再根据这些面积的关系去寻找图中的线段长度关系．A BCDE几何原本《几何原本》（希腊语：Στοιχεῖα）是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13卷．这本著作是现代数学的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作．在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，把人们公认的一些事实列成定义和公理，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学．而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作．《几何原本》集整个古希腊数学的成果和精神于一书．既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识．除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比．《几何原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，如今见到的《几何原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图形的知识（即几何知识）．1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》．1600年，明代数学家徐光启（1562- 1633）与利玛窦相识后，便经常来往．1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》．后9卷是1857年由我国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚历译完的．《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容，定义、公理、公设、命题（包括作图和定理）．《几何原本》第一卷列有23个定义，5条公理，5条公设．（其中最后一条公设就是著名的平行公设，这些定义、公理、公设就是《几何原本》全书的基础．全书以这些定义、公理、公设为依据逻辑地展开他的各个部分的．比如后面出现的每一个定理都写明什么是已知、什么是求证．都要根据前面的定义、公理、定理进行逻辑推理给予仔细证明．欧几里得的《几何原本》是中学生学习数学基础知识的好教材．它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材．历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而做出了伟大的贡献．两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材．哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就．课堂内外作业1. 如图，它是由若干块面积为12平方厘米的小长方形砖和3块白色小正方形砖砌起来的一面墙，问这块墙的面积是多少？2. 如图，将一个正方形的左上角和左下角折起来，并且交于A 点，求∠1等于多少度？3. 如图，ABCD 是一个长方形，E 为CD 边的一个三等分点，如果图中阴影部分面积为1，求长方形ABCD 的面积．4. 如图，面积为4的正方形ABCD 中，E 、F 是DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．5. 如图，三角形ABC 的面积是1，D 、E 、F 分别是相应边的三等分点，三角形ADO 的面积是多少？CBFBCDC EDCFE第八讲 复杂直线型计算例题：例7． 答案：16厘米详解：长方形的长为2a b +，宽为a b +．再根据长比宽多8厘米，就能求出8b =厘米．长方形A 中，阴影部分的周长为()6424b a b a b +-=+．长方形B 中，阴影部分有6条边，它的周长其实就等于大长方形的周长，等于()2246a b a b a b +++⨯=+．两者相差22816b =⨯=厘米．例8． 答案：168︒详解：因为△CDF 是正三角形，所以60CFD FCD ∠=∠=︒．正五边形的内角和是()521803180540-⨯︒=⨯︒=︒，每个内角是5405108︒÷=︒．因此1086048BCF ∠=︒-︒=︒．△BCF 是等腰三角形，所以()18048266BFC ∠=︒-︒÷=︒，同理DFE ∠也等于66︒．因此看得到360360666066168BFE BFC CFD DFE ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．例9． 答案：22详解：如图连接AM ，因为PM ∥AD ，所以由蝴蝶模型可知三角形DFP 与三角形AFM 面积相等；同样道理三角形BEN 与三角形AEM 面积相等，所以三角形BEN 面积=43－21=22． 例10． 答案：30详解：三角形AFE 与三角形DCE 构成沙漏模型，而已知面积比为4:9，所以对应边长比为EF :EC =2:3，因此FE :FC =2:5．三角形AFE 又与三角形BFC 构成金字塔模型，所以三角形AFE 与三角形BFC 的面积比为4:25，因此三角形BFC 的面积为25，所以四边形ABCE 的面积为25－4=21，因此平行四边形的面积为21+9=30．例11． 答案：15详解：:12:241:2GE EH ==，所以13GE GH =．:49:357:5GF FH ==，所以512FH GH =．由此可得，15113124EF GH =--=．而1128ACDJ S EF S GH =⨯=阴影，因此阴影部分的面积等于()11122449351588ACDJ S ⨯=⨯+++=．例12． 答案：30详解：三角形ABF 与三角形DEF 构成沙漏模型，所以AB AFDE FD=，即21530AB FD DE AF ⋅=⋅=⨯=，所以306FD AB =÷=，又因为AD=12，所以AF=6，因此2155DE AF =⨯÷=．所以三角形CFE 的面积=()230CD DE FD +⨯÷=．练习：1. 答案：90简答：阴影部分的外周长与大正六边形相同，而阴影部分的外周长等于内周长的3倍，因此阴影部分外周长等于总周长的34，即3120904⨯=．2. 答案：3︒简答：四边形内角等于90°，五边形内角等于108°，六边形内角等于120°，所以1089018KAH ∠=︒-︒=︒，12010812KAF ∠=︒-︒=︒．△AFK 与△AHK 都是等腰三角形，因此()18018281AHK ∠=︒-︒÷=︒， ()18012284AFK ∠=︒-︒÷=︒，两者相差3︒．3. 答案：25简答：如图作辅助线构造蝴蝶模型即可．4. 答案：36简答：三角形AOD 与三角形BOC 构成沙漏模型，而已知面积比为4:16=1:4，所以对应边长比为OD :OB =1:2，因此三角形AOD 与三角形BOA 的面积比为1:2，所以三角形BOA 的面积为8．由蝴蝶模型可知三角形COD 的面积也是8，所以梯形的面积是4+16+8+8=36．作业：1. 答案：270简答：设小长方形的长为x ，宽为y ．从水平方向的线段可以看出533x x y =+，因此23x y =．所以小长方形的长宽比为3:2，而相应小正方形的边长就是321-=份．由此可得小长方形的面积是白色小正方形的326⨯=倍，即1262÷=．接着把小长方形与小正方形的面积相加即可得到答案．2. 答案：75°简答：如右图，添加一个点F ．△ADE 是正三角形，所以，因此，由于△AFE 是由△BFE 折叠而来的，因此两个三角形完全相同，都是直角三角形，而且．因此．3. 答案：24简答：由，得：，．又由，得，所以整个长方形的面积为24． 4. 答案：1简答：不妨设．由EF 与AB 平行，得． 所以，，16ABFE S a =四边形．又，所以，阴影部分面积为． 5. 答案：简答：AD :AB =1:3由金字塔模型可知．在三角形ADO 与三角形EFO 中由沙漏模型可知DO :OE =AD :EF ，而由金字塔模型可知EF :AB =2:3，所以DO :OE =AD :EF =1:2，因此，因此三角形ADO 的面积为．127:1:3ADO ADE S S =△△ :1:9ADE ABC S S =△△ 1276=1a 816=3a 28==33ADE BCF ABFE ABCD ABCD S S S S S --=△△四边形四边形四边形 9AOB S a =△ 3EOA FOB S S a ==△△ :::1:3OE OB OF OA EF AB === =OEF S a △ 3=12DAC ACE S S =△△ 3CD CE = =4ACE S △ =3=3OAE OCE S S △△ ::1:3CO OA EC AB == 19075FEA ∠=︒-∠=︒ 1152FEA FEB BEA ∠=∠=∠=︒ =906030BEA ∠︒-︒=︒ 60AED ∠=︒ FCD。
六年级奥数学练习试卷思维培训资料 几何一-直线形面积 (2)
小升初名校真题专项测试-----几何篇（一）测试时间：15分钟 姓名_________ 测试成绩_________1、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA 的面积是1335，求三角形ABC 的面积. （06年清华附中入学测试题）【解】根据定理：==，所以四边形ACDE 的面积就是6-1=5份，这样三角形35÷5×6=42。
ABC BED ∆∆3211⨯⨯612、四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是______米.（06年实验中学入学测试题）【解】小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=4，所以每个三角形的面积是1，这个图形是“玄形”，所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长，所以求出短边长就是1。
3、如图在长方形ABCD 中，△ABE 、△ADF 、四边形AECF 的面积相等。
△AEF 的面积是长方形ABCD 面积的______ (填几分之几)。
（03年资源杯试题）。
【解】连接AC ，首先△ABC 和△ADC 的面积相等，又△ABE 和△ADF 的面积相等，则△AEC 和△AFC 的面积也相等且等于ABCD 的1/6，不难得△AEC 与△ABE 的面积之比为1/2，由于这两个三角形同高，则EC 与BE 之比为1/2，同理FC 与DF 之比也为1/2。
从而△ECF 相当于ABCD 面积的1/18，而四边形AECF 相当于ABCD 面积的1/3，从而答案为1/3-1/18=5/18。
FDC4、如图1，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为_____ （01年同方杯）【解】设图示两个三角形的面积分别为a 和b ，因为△AED 面积等于ABCD 的一半，则△ABE 加上△DEC 的面积也等于ABCD 的一半。
(完整word版)六年级奥数-直线形面积的计算
六年级奥数－直线形面积的计算
1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．
2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．
3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．
4.如上图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．
5．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（
6.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，
AD=DH．求四边形EFGH的面积．
7．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，
已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．
8．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、
BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．
六年级奥数－直线形面积的计算解答
1.3个
2.3个
3.3对
4．证明：∵△ABC与△DBC等底等高，
∴S△ABC=S△DBC
又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC
S△DOC=S△DBC—S△BOC
∴S△AOB=S△COD．
5．4×4÷2=8
6. 连结BD，将四边形ABCD分成两个部分．连结FD，可得S△AEH+S△CGF=2×1=2．同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）。
六年级求面积奥数竞赛试题
六年级求面积奥数竞赛试题在六年级的奥数竞赛中，求面积问题通常涉及到一些基本的几何图形，如三角形、四边形、圆等，以及它们的组合。
以下是一些可能的试题和解题思路：1. 三角形面积问题：- 题目：给定一个三角形，其底边长为10厘米，高为8厘米，求这个三角形的面积。
- 解题思路：根据三角形面积公式 \( A = \frac{1}{2} \times\text{底边} \times \text{高} \)，代入数值计算。
2. 四边形面积问题：- 题目：一个长方形的长是15厘米，宽是8厘米，求它的面积。
- 解题思路：长方形面积公式 \( A = \text{长} \times\text{宽} \)，代入数值计算。
3. 圆的面积问题：- 题目：已知一个圆的半径是7厘米，求这个圆的面积。
- 解题思路：圆的面积公式 \( A = \pi r^2 \)，其中 \( r \)是半径，代入数值计算。
4. 组合图形面积问题：- 题目：一个正方形内嵌有一个最大的圆，正方形的边长是14厘米，求这个圆的面积。
- 解题思路：首先确定圆的直径等于正方形的边长，即直径为14厘米，然后计算圆的半径，再使用圆面积公式求解。
5. 不规则图形面积问题：- 题目：一个不规则图形由一个三角形和一个矩形组成，三角形的底边长为12厘米，高为6厘米，矩形的长为10厘米，宽为5厘米，求整个图形的面积。
- 解题思路：分别计算三角形和矩形的面积，然后将它们相加。
6. 图形分割与组合问题：- 题目：一个矩形被分割成两个相等的三角形，矩形的长是20厘米，宽是10厘米，求每个三角形的面积。
- 解题思路：首先计算矩形的面积，然后除以2得到每个三角形的面积。
7. 图形变换问题：- 题目：一个正方形的边长增长了50%，求新正方形的面积是原来的多少倍。
- 解题思路：计算边长增长后的数值，然后计算新正方形的面积，与原面积比较。
8. 比例问题：- 题目：如果一个矩形的长和宽都增加10%，那么它的面积增加了多少百分比？- 解题思路：设原矩形的长和宽分别为 \( l \) 和 \( w \)，计算新矩形的长和宽，然后计算面积增加的百分比。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小学奥数几何专题--复杂直线型面积-6（六年级）竞赛测试
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题简答题xx题xx 题xx题总分
得分
一、xx题
评卷人得分
（每空xx 分，共xx分）
【题文】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？
【答案】432
【解析】
如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．
【题文】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于．
【答案】
【解析】
方法一：连接，根据燕尾定理，，,
设份，则份，份，份，如图所标
所以
方法二：连接，由题目条件可得到，，所以，，
而．所以则四边形的面积等于．
【题文】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
【答案】5/12
【解析】
设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.
【题文】四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的多少倍．
【答案】2
【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高
相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题．
解法一：∵，∴，∴．
解法二：作于，于．
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
【题文】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形的面积；⑵？
【答案】6；1：3
【解析】⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，
．
【题文】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．
【答案】2/3
【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；
⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，
根据蝴蝶定理，，所以，
那么．
【题文】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．
【答案】72
【解析】
连接，．
因为，，所以．
因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．
【题文】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．
【答案】1
【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝴蝶定理可以知道
，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．
【题文】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是多少平方厘米．
【答案】12
【解析】连接，根据题意可知，根据蝴蝶定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)．
【题文】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．
【答案】21
【解析】
连接．
由于是平行四边形，，所以，根据梯形蝴蝶定理，
，所以(平方厘米)，(平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．
【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．
【答案】6
【解析】
连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，
，故，所以(平方厘米)．
【题文】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米．
【答案】4
【解析】
连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．根据蝴蝶定理，
，故，所以(平方厘米)．另解：在平行四边形中，(平方厘米)，所以
(平方厘米)，根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．
【题文】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为多少平方厘米．
【答案】9
【解析】
连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝴蝶定理，，所以，所以(平方厘米)，(平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．
【题文】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形
的面积48，，则的面积是多少？
【答案】12
【解析】
由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和
的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是
面积的．由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．
那么的面积为．
【题文】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于多少？
【答案】5
【解析】
左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．
如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形的面积为，梯形的面积为．在梯形中，由于，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，
那么．
【题文】如图，中，，，互相平行，，则
．
【答案】1：3：5
【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，
所以，，
因此份，份，
进而有份，份，所以
【题文】如图，平行，且，，，求的长．
【答案】10
【解析】由金字塔模型得，所以
【题文】如图，中，，，，，互相平行，，则
．
【答案】1：3：5：7：9
【解析】设份，，因此份，进而有
份，同理有份，份，份．
所以有
【题文】如图，已知正方形的边长为，l方法二：连接，分别求，
，根据蝴蝶定理，所以
．
【题文】如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积．
【答案】1/30
【解析】
解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，
所以，
并得、是的三等分点，所以，所以，所以，
；
又因为，所以．
解法二：延长交于，如右图，
可得，，从而可以确定的点的位置，
，，(鸟头定理)，可得。