【泄露天机】2018届全国统一招生高考押题卷文科数学(一)试卷(含答案)

2018年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（一）注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数132i z =+，121i z z +=+，则复数12z z ⋅=（ ） A ．47i -- B ．2i --C ．1+iD ．14+5i【答案】A【解析】根据题意可得，21i 32i 2i z =+--=--，所以()()1232i 2i 47i z z ⋅=+⋅--=--． 2．集合{}|A x x a =<，{}3log 1B x x =<，若{}3A B x x =<，则a 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．(]0,3C ．(],3-∞D ．(),3-∞【答案】B【解析】根据题意可得{}{}3log 103x B x x x <=<<=，因为{}3AB x x =<，所以03a <≤．3．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（如下图），四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空部分为一个小正方形（黄实）．若直角三角形中一条较长的直角边为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（ ）A ．14B ．13C ．125D ．2573【答案】C【解析】根据题意得，另外一条直角边长为6，所以“黄实”区域的面积为()286=4-，大正方形的面积是228+6=100，所以小球落在“黄实”区域的概率是4110025=． 4．若双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于其实轴长，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．22【答案】C【解析】由题意可知：2b a =，224ba =，2224c a a -=，5e =．5．将函数215log cos π262x y ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- B ．1πsin 26y x ⎛⎫⎪⎝⎭=- C ．1sin 2y x =-D ．1sin2y x = 【答案】D【解析】因为215log cos π26152cos π26x y x ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，所以沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到曲线为1251151π1cos ππcos ππcos sin 236236222y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．6．如图的程序框图，则输出y 的最大值是（ ） A ．3B ．0C ．15D ．8此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】C【解析】当3x =-时，3y =；当2x =-时，0y =；当1x =-时，1y =-；当0x =时，0y =；当1x =时，3y=；当2x =时，8y =；当3x =时，15y =，所以y 的最大值为15．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图侧视图A ．2π+B ．1+πC ．2+2πD ．12π+【答案】A【解析】根据三视图可得该几何体为一个长方体和半个圆柱组合所成，21112π122π2V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+．8．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）A ．2xx y =B ．22xy =-C ．e xy x =-D ．|2|2x y x =﹣【答案】D【解析】对于A ，函数()2x x xf =，当0x >时，0y >，0x <时，0y <，不满足题意；对于B ，当0x ≥时，()f x 递增，不满足题意；对于C ，当0x ≥时，()0f x >，不满足题意．故选D ．9．在平面直角坐标系中，已知直线l的方程为：20x y -=，圆C 的方程为()222423100x y ax y a a +--++=>，动点P 在圆C 上运动，且动点P 到直线l 的最大距离为2，则圆C 的面积为（ ） A ．π或(201π- B ．πC．(201π+D ．π或(201π+【答案】B【解析】因为()()2222224231210x y ax y a x a y a +--++=-+--=，所以()()22221x a y a -+-=，圆C 的圆心为(2,1)a ，半径为a ．因为点P 在圆C 上的动点，所以P 到直线l的最大距离为2a +=，当a ≥时，解得11a =-11-当202a <<时，解得1a =，符合题意，所以1a =，2S a =π=π圆． 10．已知函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，函数()()5g x f x =-；数列{}n a 为等差数列，且公差不为0，若()()190g a g a +=，则129a a a +++=（ ）A ．45B ．15C ．10D ．0【答案】A【解析】由函数()y f x =为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调函数，可知()()5g x f x =-关于()5,0对称，且在R 上是单调函数， 由()()190g a g a +=，所以1910a a +=，即55a =， 根据等差数列的性质，1295945a a a a +++==．11．若x =()()22e x f x x ax =-的极值点，则函数()y f x =的最小值为（ ）A．(2e +B ．0C．(2-D ．e -【答案】C【解析】()()22e x f x x ax =-，∴()()()()2222e 2e 212e x x xf x x a x ax x a x a '⎡⎤=-+=+--⎣⎦-，由已知得，0f '=，∴220a +-=，解得1a =．∴()()22e x f x x x =-，∴()()22e x f x x '-=，所以函数的极值点为，当(x ∈时，()0f x '<，所以函数()y f x =是减函数，当(,x ∈-∞或)x ∈+∞时，()0f x '＞，函数()y f x =是增函数．又当()(),02,+x ∈-∞∞时，220xx ->，()0f x >，当()0,2x ∈时，220x x -<，()0f x <，∴()min f x 在()0,2x ∈上，又当(x ∈时，函数()y f x =递减，当)x ∈时，函数()y f x =递增，∴()(min 2f x f==-．12．已知0b a >>，函数()2log 21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],a b 上的值域为132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则ab =（ ） A ．14B ．12C ．2D【答案】D【解析】()2log 2211log log 2xf x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()a x b ≤≤，又()2110ln2f x x x '=--<，所以()y f x =在[],a b 上递减，∴()()312f a f b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即2213log 11log 2a ab b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①，由1y t x =+与2log y x =的图象只有唯一交点可知方程21log t x x +=只有唯一解，经检验122a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩是方程组①的唯一解，所以ab =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知变量x 、y 满足203500x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =--的最小值为_______．【答案】4-【解析】根据约束条件画出可行域，直线2z x y =--过点()1,2A 时，z 取得最小值是4-．14．在直角ABC △中，=2BAC π∠，H 是边AB 上的动点，=8AB ，=10BC ，则HB HC ⋅的最小值为___________． 【答案】16-【解析】以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()8,0B ，()0,6C ，设点(),0H x ，则[]0,8x ∈，∴()()()28,0,688x x x x x B H x H C =--=--=⋅-， ∴当4x =时，HB HC ⋅的最小值为16-．15．已知ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，满足()sin sin 2sin cos αβααβ+-=，则sin 2sin()αβα-的最大值为________．【解析】因为()sin sin 2sin cos αβααβ+-=， 所以sin cos cos sin sin 2sin cos αβαβααβ+-=， 所以cos sin sin cos sin αβαβα-=，即()sin sin βαα-=， 因为ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，所以2βα=，则sin 2sin 22sin cos 2cos sin()sin sin αααααβααα===-，因为ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2cos α⎡∈⎣，所以sin 2sin()αβα-16．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，=AB CD =，BD =，沿BD 把ABD△翻折起来，且平面ABD ⊥平面BCD ，此时A ，B ，C ，D 在同一球面上，则此球的体积为___________．【答案】776π 【解析】因为AB BD ⊥，且平面ABD ⊥平面BCD ，所以AB ⊥平面BCD ，如图，三棱锥A BCD-可放在长方体中，()()()2222+237=22R +=，34777=326V ⎛⎫π=π ⎪ ⎪⎝⎭球．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()cos sin b a C C =-；（1）求角A ；（2）若10a =，2s n in i s B C =，求ABC △的面积． 【答案】（1）3π4A =；（2）1． 【解析】（1）∵，∴由正弦定理可得：sin sin cos sin sin B A C A C =-，·······1分可得：()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C A C +=+=-，·······2分 ∴cos sin sin sin A C A C =-，·······3分由sin 0C ≠，可得：sin cos 0A A +=，·······4分 ∴tan 1A =-，·······5分 由A 为三角形内角，可得3π4A =．·······6分 （2）因为2s n in i s B C =，所以由正弦定理可得2b c =，·······7分因为2222cos a b c bc A =+-，3π4A =，可得：2c =，·······9分 所以2b =，·······10分所以1sin 12ABC S bc A ==△．·······12分18．（12分）如图所示，已知CE ⊥底面ABC ，2ABC π∠=，2AB BC CE ==， 112AA BB CE ∥∥＝＝，D 为BC 的中点． （1）求证：1DE AC ⊥；（2）若1CE =，求三棱锥1E A DC -的体积．【答案】（1）见解析；（2）13． 【解析】（1）连接1B C ，交DE 于F ， 因为CE ⊥面ABC ，11AA BB CE ∥∥，所以1BB BC ⊥，CE BC ⊥，所以1B BC △和ECD △为直角三角形， 又1=BB BC ，1==2CE BC DC ， 所以1=45B CB EDC ∠∠=︒，所以90CFD ∠=︒，即1DE B C ⊥，·······3分 又已知CE ⊥底面ABC ，2ABC π∠=， 所以CE AB ⊥，AB BC ⊥，所以AB ⊥面1B BCE ，DE ⊂面1B BCE ，所以AB DE ⊥，又11A B AB ∥，所以11A B DE ⊥，·······5分 ()cos sin b a C C =-1111A B B C B =，所以DE ⊥面11A B C ，又1AC ⊂面11A B C ，所以1DE A C ⊥．·······6分 （2）根据题意可得，22AB BC CE ===，所以11E A CD A ECD V V --=，·······7分 由1AA CE ∥，得1AA CDE ∥平面， 所以111111=1123323E A CDA ECD ECD V V S AB --=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△．·······12分19．（12分）支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比．从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如下，（1）记A 表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；（3）根据支付人数的频率分布直方图，对两种支付方式的优劣进行比较． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）0.62；（2）有；（3）支付宝更优．【解析】（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得： ()()001200140024003400405062P A =++++⨯=......．·······3分 （2）根据题意，补全列联表可得：·······5分则有()222006266383415705663510010096104K ⋅⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯..，·······7分 故有的把握认为支付人数与支付方式有关．·······8分（3）由频率分布直方图可得，微信支付100个地区支付人数的平均数为：1(27.50.01232.50.01437.50.02442.50.034x =⨯+⨯+⨯+⨯47.50.04052.50.032+⨯+⨯57.50.02062.50.01267.50.012559.42471+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=）.；·······10分 支付宝支付100个地区支付人数的平均数为：2(37.50.00442.50.02047.50.04452.50.068x =⨯+⨯+⨯+⨯57.50.04662.50.01067.50.0085510.4752.35+⨯+⨯+⨯⨯=⨯=）；比较可得：21x x <，故支付宝支付更加优于微信支付．·······12分20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在椭圆上，有124MF MF +=，椭圆的离心率为12e =；（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知()4,0N ，过点N 作直线l 与椭圆交于A ，B 不同两点，线段AB 的中垂线为l '，记l '的纵截距为m ，求m 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1122m -<<． 【解析】（1）因为124MF MF +=，所以24a =，所以2a =，·······1分 因为12e =，所以1c =，·······2分 所以222413ba c =-=-=，·······3分99%所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．·······4分 （2）由题意可知直线l 的斜率存在，设l :()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆()221434x y y k x ⎧==-+⎪⎨⎪⎩，消去y 得()2222433264120k x k x k +-+-=，·······5分21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+，·······6分 又()()()22223244364120kk k ∆=--+->，解得：1122k -<<，······7分设A ，B 的中点为()00,P x y ，则2120216243x x k x k +==+， ()00212443ky k x k =-=-+，·······8分 所以l '：()001y y x x k -=--，即222121164343k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，化简得：21443ky x k k =-++，·······9分 令0x =，得2443k m k =+，11,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，·······10分 ()222161243k m k -+'=+，当11,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0m '>恒成立，所以2443k m k =+在11,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上为增函数，所以1122m -<<．·······12分 21．（12分）已知函数()=ln e x f x a x -； （1）讨论()f x 的极值点的个数；（2）若2a =，求证：()0f x <． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）根据题意可得，()()e =e 0x xa a x f x x x x-'-=>，·······1分 当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =是减函数，无极值点；·······2分当0a >时，令()0f x =，得e0xa x -=，即e x x a =，又e xy x =在()0,+∞上是增函数，且当x →+∞时，e xx →+∞，所以exx a =在()0,+∞上存在一解，不妨设为0x ，所以函数()y f x =在()00,x 上是单调递增的，在()0,x +∞上是单调递减的． 所以函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点；总之：当0a ≤时，无极值点； 当0a >时，函数()y f x =有一个极大值点，无极小值点．·······5分（2）()=2ln e xf x x -，()()2e =0xx f x x x-'>，由（1）可知()f x 有极大值()0f x ，且0x 满足00e 2x x =①， 又e xy x =在()0,+∞上是增函数，且02e <<，所以()00,1x ∈，·······7分 又知：()()000max 2ln e x f x f x x ==-，②·······8分 由①可得002e x x =，代入②得()()00max 022ln f x f x x x ==-，·······9分令()22ln g x x x=-，则()()2221220x g x x x x +'=+=>恒成立， 所以()g x 在()0,1上是增函数，所以()()0120g x g <=-<，即()00g x <，·······11分 所以()0f x <．·······12分请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。