【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(七)函数的奇偶性与周期性 理 新人教A版

限时集训(七) 函数的奇偶性与周期性

(限时：45分钟 满分：81分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3

C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

3．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －x x

>0

的解集为( )

A ．(－2,0)∪(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(0,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－2,0)∪(0,2)

4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

1－2－x

，x ≥0，

2x

－1，x <0，

则该函数是( ) A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减 C ．奇函数，且单调递增

D ．奇函数，且单调递减

5．(2013·广州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )

A ．f (－25)

B ．f (80)

C ．f (11)

D ．f (－25)

6．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )

A ．(1,3)

B ．(－1,1)

C ．(－1,0)∪(1,3)

D ．(－1,0)∪(0,1)

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．若函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.

8．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．

9．(2013·徐州模拟)设函数f (x )是定义在R 上周期为3的奇函数，若f (1)<1，f (2)＝2a －1a ＋1

，则a 的取值范围是________． 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不

等式fx ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12<0的解集． 11.已知函数f (x )＝x 2

＋a x

(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．

12．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；

(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调增(或减)区间．

答 案

限时集训(七) 函数的奇偶性与周期性

1．D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.1

3

0 8.－1 9．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

10．解：∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝0. 又∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，

若fx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0＝f (1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>0，x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12<1，

即0

⎪⎫x －12<1，解得12

x ⎝

⎛⎭

⎪⎫x －12 <0，

x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12 <－1.

∴x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12<－1，解得x ∈∅. ∴原不等式的解集是x 12

4

11．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2

对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2

＝x 2

＝f (x )．

故f (x )为偶函数；

当a ≠0时，f (x )＝x 2

＋a x

(x ≠0，常数a ∈R )， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；

f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，

即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． 故函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (2)设2≤x 1

f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 2

2－a x 2

＝x 1－x 2x 1x 2

[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，

要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须f (x 1)－f (x 2)<0恒成立， ∵x 1－x 2<0，∴x 1x 2(x 1＋x 2)－a >0， 即x 1x 2(x 1＋x 2)>a 恒成立．

又∵x 1＋x 2>4，x 1x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16. ∴a 的取值范围是(－∞，16]． 12．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，

f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，

所以f (x )是以4为周期的周期函数，

所以f (π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．

故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．

又0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则－1≤x ≤0时f (x )＝